新疆石河子第二中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题

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新疆石河子第二中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题
、单选题 1 . “[ ”是“-丄- -'-”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不
必要条件 2.下列命题中，假命题的是（ A.'，亠 B.
sinx C.
X -
4- i >o
D.
3. A.
4. A. 方程
农广J
r / - |表示的曲线是（ 一个圆和一条直线 已知椭圆的长轴长是 X 2 16 B. B. 一个圆和一条射线
C.
一个圆 D.
一条直线
8,焦距为6，则此椭圆的标准方程是（
X 2 16
2 2 y x
或一 7
7
2 乞1
16
2
C.—
16 2
y
25
D.
X 2
16 2
L 1 25
X 2 或 25 2
y 16 5. 若方程 C:x 1 （ a 是常
数），
则下列结论正确的是（
A. 0, ，方程 C 表示椭圆
B. ,0 , 方程 C 表示双曲线
C. ,0 ，方程 C 表示椭圆
D. a R ，方程C 表示抛物线 6.已知双曲线 C ： a A. B
2 2
X 7.过椭圆—— y
4 2
) 16 的一个焦点为 A. （*°）,则双曲线€的渐近线方程为 4x 十
41 y — 0 D. 4x±3y = 12 的左焦点作与x 轴垂直的直线I 与椭圆交于不同的两点
A,B ，则|AB|=
2 2
x &已知椭圆-2 a y 牙 1 (a > b > 0) b 2 的一条弦所在的直线方程是 x - y+5=0,弦的中点坐标
M （- 4, 1）,则椭圆的离心率是（ A. - B. 2 -1 C. 2 D. 9 •若双曲线 I I * （「0, b 9的一条渐近线被圆（x<2）
■所截得的弦 A. 2 B. C.- D. x 2 10.已知椭圆一 4 2
y ~2
a 2 x 1与双曲线— a
2 -1有相同的焦点, 2 a 的值是
A. 1 B . 2 C . 3 D. 4 11 •设抛物线• 上一点丨到此抛物线准线的距离为 到直线13x + 4y + 12 = 0的距离为d 2 ，则：'的最小值为（ )•
16 18 B. C. D. 12.有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆 2 b 1
和双曲线
2 x ~2 m
2
每 1(a m 0)的
n
实线部分组成, 已知两曲线有共同焦点 M N; A B 分别在左右两部分实线上运动， 则'
周长的最小值为 A. 2 a m B. C. 2 b n D.
二、填空题 13•点P 是圆 C: (x 2)2
2
y 36上一动点，A （-2,0）,线段AP 的中垂线与 PC 交于M 当
点P 在圆上运动时， M 的轨迹方程为
1 ^3 1 14•已知复数z — —i ，则一|z|的共轭复数是 ___________________________
2
2
z
2 2
1和双曲线—-—1的公共焦点F 1,F 2， 3 1
2
16 .如图所示，点 F 是抛物线y 8x 的焦点，点
(x 2)2 y 2
16的实线部分上运动，且 AB 总是平行于
围是
三、解答题
17 .已知m R ,命题p :对 x 0,1 ,不等式2x 2 m 2 3m 恒成立；命题 q : x 1,1 ,使得m ax 成立• (1)若p 为真命题，求m 的取值范围；
⑵当a 1时，若p q 假，p q 为真，求m 的取值范围•
18. ( I)已知某椭圆的左右焦点分别为— ■- ，且经过点- ，求该椭
圆的标准方程；
(n)
已知某椭圆过点
-，求该椭圆的标准方程•
19•在直角坐标系1
-中，设动点-二到定点
的距离与到定直线； --的距离相等，
记三的轨迹为二.又直线•匸的斜率为2且过点…，-二与二交于上' 二两点，求■■- 的长.
2 2 _
20. 已知双曲线C 和椭圆乡牛1有公共的焦点，且离心率为3.
2
X
15•椭圆—
6
P 是两曲线的一个交点,
那么cos F 1PF 2的值是
A
，
(I)求双曲线C 的方程.
(n)经过点 M 2,1作直线I 交双曲线C 于A , B 两点，且M 为AB 的中点，求直线I 的方程并求弦
长.
21. 设动点1>(心)(、20)到定点|F ((L 】啲距离比它到X ：轴的距离大1,记点卩的轨迹为曲线C .
(1) 求点 的轨迹方程；
(2) 若圆心在曲线c|上的动圆hl 过点4(0⑵，试证明圆hl 与皆由必相交，且截K 轴所得的弦 长为定值.
端点构成正三角形.
(1) 求椭圆C 的标准方程； (2)
设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x
3上任意一
点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点 P, Q.
(i )证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点); (ii )当丄旦最小时，求点T 的坐标.
PQ
参考答案
BBDBB ACBAA AA
1. B
22.已知椭圆C :
b 2
1 ( a b 0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个
【解析】试题分析：因为L… -•，所以In x 1 Ini，即1 x 0，因而“二「”
是“ |' ”的必要而不充分条件
考点：1.对数的运算；2.充要条件.
> ［视频
2. B
【解析】，将指数视为整体，利用指数函数性质判断为正确；’，利用正弦函数的有界性，判断为错误；c, ，可知P，判断为正确；方程= 2的解是
卜I惋，判断为正确，故选.
3. D
【解析】由题意二7：可化为卜- Y =二或■；),
v江3 U在K^+¥-2 = 0的右方，
-X2+ X2 -2 = O(x 3 >0)不成立，八°,
-方程(L + 丁=H表示的曲线是一条直线.
故本题正确答案为1
4. B
【解析】由于2a 8,2c 6,则a 4,c 3, b2 a2 c2 16 9 7，则椭圆的方程为
2 2 2 2
z y-=1 或0 y_ 1，选B.
16 7 7 16
5. B
【解析】对于A,当a 1时，方程C表示圆，故A不正确。

对于B,当a 为负数时，方程 C 表示双曲线，故 B 正确。

对于C,当a 为负数时，方程 C 表示双曲线，故 C 不正确。

对于D,当a 0时，方程C 表示椭圆、圆或双曲线，故方程 C 不会表示抛物线。

故 D 不正
确。

综上，选B 。

6. A
【解析】由题意得，匸二予，则/
「= 16 沢 即u 3.
4 v =土
I
所以双曲线C 的渐近线方程为 3，即4x±3y = 0.
故选A. 7. C & B
9. A
7
= l(a>0,b>0)
|2b-n x 0| 2b
一 p3 c
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 （或离心率的取值范
c
e =-
围），常见有两种方法：①求出 a , c ,代入公式
；②只需要根据一个条件得到关于
a ,
b ,
c 的齐次式，结合 b 2= c 2 — a 2转化为a , c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （ e 的取值范围）.
【解析】 设直线与椭圆交点为
A X i ,% ,
B X 2,y 2 ，分别代入椭圆方程，由点差法可知
y
M
b 2
丁 X M ，代入 k=1,M(-4,1), a k
b 2
解得=
a
i ，e
与，选C.
【解析】 由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为±a\ =0 ，圆 心卜；心到渐近线距离为
（2屈到直线= O
的距离为
，整理可得 宀 X ，双曲线的离心率
.故选A .
即
4(c ：
-a 2)
2 【解析】不妨假设 PF 1
PF ?，则:
10. A
点睛：考察椭圆和双曲线的综合， 根据题意要得周长得最小值， 首先要将周长得表达式写出, 根
据椭圆和双曲线得性质得 AB BN AM AN 的关系将其替换到周长中，然后根据三角形两 边之和大于第三边得到答案
【解析】双曲线
x 2
2
—1 0
2
焦点在x 轴上，所以
x 2
2; 椭圆—
又 4
爲 1与双曲线
a
去）。

故选 1有相同的焦点，所以 4 a 2 a 2，即
a 2 0解得 a 1,a 2 （舍
11. A
【解析】•••点I 到准线的距离等于点 到焦点的距离,
•••过焦点’作直线bm".；「=匸的垂线，则点到直线的距离为
最小值，
•^.,<1 直线；
-J
3 + 12| 5
12. A
【解析】由题得：设周长为
BM | |BN | 2a
AM AN 2m
AB | |BN | |AN | |AB 2a |BM | |AM | 2m
当且仅当M A B 共线时，△订「送■周长的最小
试题解析:
2x 2，贝U y 2x 2在［0 , 1］上单调递增, …y min
2
.
•.•对任意x € ［0 , 1］，不等式2x - 2> m - 3m 恒成立， 2 2 二 m 3m 2，即 m 3m 2 0,
解得1w m W 2.
••• m 的取值范围为1,2 .
⑵a =1时，y 2x 区间［-1, 1］上单调递增，
…y max 2 .
•••存在x € ［ - 1, 1］，使得m W ax 成立，
• n W 1.
椭圆方程中， PF 1 PF 2 2a 2J6，① 双曲线方程中，
PF 1 PF 2 2a 2J3，②
①②联立可得:
PF 1
46 43
PF 2 晶 73
而 F 1F 2 2c 4, 结合余弦定理有:
cos F PF 2
PR 2 PF 22 F /F ； 2PF I PF 2
6 3 2 18 6 3 2\18 16
2~~^~3
18 16 1 6
3.
17. (1) 1 w mic 2.(2) ( -g ,1) U (1,2］.
【解析】试题分析：本题主要考查简易逻辑，恒成立问题，不等式的解法.
2
2x 2 min m 3m ，然后解不等式即可.
(2)由题意得出m ax
(1)由题意得出
，再根据 p 且q
为假，p 或q 为真，得出 p 与q 必然一真一假，即可解答. (1)设 y
••• p q 假， p q 为真,
p 与q —真一假，
①当p 真q 假时， 〜口 1 m 2 " +
可得｛
，解得1<me 2；
m 1
②当p 假q 真时， 可得严诚m2，解得m 1.
m 1
综上可得1< n e2或n < 1.
•实数m 的取值范围是(1) U (1 , 2].
点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法 (1) 求出当命题p , q 为真命题时所含参数的取值范围； (2) 判断命题p , q 的真假性；
(3) 根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围.
—+ V 3 = 1 三十匚二1 2 (n) 4 2
【解析】试题分析：求椭圆方程可采用待定系数法，首先根据焦点位置设出椭圆方程， 将已
知条件代入方程求得参数值，从而确定椭圆方程
18.
试题解析:
4 16 4 4
，又椭
圆焦点为一一…，所以椭圆方程为
-
j 2 1 -
(n)设椭圆方程为
• 一 ，则有 ： ，解得
所以椭圆方程为 考点：椭圆方程与性质
19. 5
【解析】试题分析：根据抛物线的定义得动点P的轨迹r是抛物线，求出其方程为
试题解析:
••• c \ 3a ,
y =4玄•由直线方程的点斜式，算出直线 AB 的方程为y =2x ~-，再将直线方程与抛物
线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段 AB 的长.
试题解析：由抛物线的定义知，动点
P 的轨迹「是抛物线，方程•一 •
x-l y
直线-二的方程为-
】，即•
-
- •
设川3心)、县也宀)，"2龙7代入F 二牡
整理，得•「•-「• 所以“
1
■ .■- ■'
考点：抛物线的标准方程；两点间的距离公式
2
20.( I ) x 2 y
2
1
( n) y
4x 7
【解析】试题分析:
2
X (I )设双曲线方程为— a
2
占1(a
b
0,b 0),由题意得c 2 a 2 b 2 3，结合 e -
.3，可得 c 2
a
3a 2 , 故可得a 2
1, b 2
2，从而可得双曲线方程。

(n)由题
意知直线I 的斜率存在, 设直线 I 的方程为
1，与双曲线方程联立消元后根据
根与系数的关系可得 X i
X 2
4k 2 2k k 2 2
4，解得
4可得直线方程。

(I )由题意得椭圆
x 2
的焦点为 F '3,0 ,
F 2 3,0 ,
设双曲线方程为
0,b 0),
则c 2
a 2
b 2
c 2 3a 2
3,
解得a 2
1,
b 2 2 ,
2
• ••双曲线方程为x 2 -
1 .
2
（Il ）由题意知直线I 的斜率存在，设直线l 的方程为y1 k x 2，即y k x 2 1。

y k x 2
1
y 2
消去x 整理得
2
y
x
1 2
解得k 2 2 。

4k 2 2k 2 ，
k 2 2
解得k 4 .满足条件。

点睛:
解决直线与双曲线位置关系的问题的常用方法是设出直线方程， 把直线方程和双曲线方程组
成方程组，消元后转化成关于
x （或y ）的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的
思想解题.当直线与双曲线有两个交点的时候，不要忽视消元后转化成的关于
x （或y ）的方
2 2
程的x （或y ）项的系数不为0，同时不要忘了考虑判别式，要通过判别式对求得的参数
•••直线 2
x 2
2k 4k 2
x 4k 4 k 2
I 与双曲线交于A , B 两点，
2k
2 4k 2
$ 4 k 2 0
2 k 2 4k 4k 2
3 0’
x i ,y i
B X 2,y 2
则x 1 X 2
2,1 为AB 的中点
4 k 2 乗2
2k •直线I 的方程为y 4x2
1，即 y 4x 7 .
进行选择.
21.⑴J = 4）；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1 ）根据抛物线定义判断点的轨迹，再根据抛物线几何条件求标准方程，（2）结合题意设出圆心|疵||的坐标，并根据圆过点A得到圆的标准方程，在圆方程中令
后可得关于x的二次方程，根据此方程判别式可判断圆与x轴相交，同时并根据数轴上两点
间的距离求出弦长.
试题解析：（1）依题意知，动点p到定点Fl （0* 1）的距离等于P到直线V - 1的距离, •••曲线E是以原点为顶点，片（0, 1.）为焦点的抛物线. 设曲线C的方程为- ■■■:T,
i方程是
•.•圆M 过阖圆的方程为(x- a)3+ = +(b- 2?
2
令V =仆得工-2ax + 4b - 4 = 0
• b = (2仍，-丸4b - 4) = 4;? - 16b + 16 = L6 0 •••圆N［与轴必相交, 设圆M与乂轴的两交点分别为E W G7)
则= 叼•现= 4b”,
EG|° W -勺)'=(打+ 耳丁・钳迪=4, - 16b + 16-16 • EG =4
故圆截轴所得的弦长为定值.
22-⑴百亍 1 ；(
2)T 3,°
【解析】试题分析：(1)因为焦距为4,所以C 2，又a
.3b, a 2 b 2 c 2，由此可求出 a,b 的值，从而求得椭圆的方程 .(2)椭圆方程化为 x 2 3y 2 6.设PQ 的方程为x my 2 ,
代入椭圆方程得: y 2 4my 2 O . (i)设
PQ 的中点为M
X o ,y o ，求出
k oM , k oT ，只要 k oM
k oT , 即证得0T 平分线段 PQ. (ii)可用 m 表示出
PQ TF 可得:
|TF m 2 3 PQ 2.6岛
再根据取等号的条件, 可得 T 的坐标. .m 2 1
试题解答：(1) c 2，又a ,2^2
b 2,a 6, x 2 (2)椭圆方程化为 x 2 3y 2 6.
(i)设PQ 的方程为x my 代入椭圆方程得: 4my 2 o .
设PQ 的中点为 x o , y o ，贝U yo 2m 又TF 的方程为 所以k oM 业
X
o
PQ
1 m 2
|TF m 2
3 PQ 2「6 52
1 m
2 3,x )
m 2 3 m x 2，则 x 3 得 y
k oT ，即OT 过PQ 的中点，即0T 平分线段PQ.
16m 2 8 m 2 3
2」6 m 2 m 2
3 m 2
，所以
m 2 1
2
1 2 .6、m 2 1
2、6
1时取等号，此时 T 的坐标为T 3,
m 2
.3
26
【考点定位】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题 *「视频,。