初三数学图形的认识、图形与证明(三)北师大版知识精讲

初三数学图形的认识、图形与证明（三）北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
图形的认识、图形与证明（三） 相似三角形
二. 教学目标：
通过对相似三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题
三. 教学重点、难点：
熟练地解决与相似三角形相关的问题
四. 课堂教学：
中考导航
⎪⎩
⎪
⎨⎧黄金分割比例的性质成比例线段比例线段
⎩
⎨
⎧相似三角形判定相似三角形性质
相似三角形
中考课程标准要求
【典型例题】
例1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
答案：B
例2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE ＋PF 的值为（ ）
A.
5
12 B. 2 C.
2
5
D.
5
13
答案：A
例 3. 某装饰公司要在如图所示的五角星形中，沿边每隔20厘米装一盏闪光灯。

若
)15(BC -=米，则需安装闪光灯（ ）
A. 100盏
B. 101盏
C. 102盏
D. 103盏
答案：A
例4. △ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ：FD=1：5，连接CF ，并延长交AB 于点E ，则AE ：EB 等于（ ）
A. 1：8
B. 1：6
C. 1：9
D. 1：10
答案：D
例5. （1）如图1所示，已知△ABC中，AB>AC，试用直尺（不带刻度）和圆规在图1中过点A作一条直线l，使点C关于直线l的对称点在边AB上（不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹。

）
图1
（2）如图2所示，已知格点△ABC，请在图2中分别画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和格点△A2B2C2，并使△A1B1C1与△ABC的相似比等于2，而△A2B2C2与△ABC的相似比等于5。

（说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形。

友情提示：请在画出的三角形的顶点处标上相对应的字母！）
图2
解：（1）l即为∠BAC的平分线所在的直线。

图略
（2）如图所示（所作图形只需符合题意即可）
例6. 在如图所示的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C=90°。

（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A'B'C，其中A、B 的对应点分别是A'、B'（不必写画法）；
（2）设（1）中AB的延长线与A'B'相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）。

解：（1）方格纸中Rt △A'B'C 为所画的三角形
（2）由（1）得∠A=∠A' 又∵∠1=∠2， ∴△ABC ∽△A'BD ∴
'
B 'A AB
BD BC =
∵BC=1，A'B=2，AB=1013BC AC 2222=+=+ ∴
210BD 1=
，即6.010
2
BD ≈= ∴BD 的长约为0.6
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一、选择题
1. 在比例尺为1：40000的工程示意图上，将于2005年9月1日正式通车的南京地铁一号线（奥体中心至迈皋桥段）的长度约为54.3cm ，它的实际长度约为（ ）
A. 0.2172km
B. 2.172km
C. 21.72km
D. 217.2km 2. 已知：如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）
A.
AC AE
AB AD =
B.
BD AD
BC AE =
C. AB
AE BC DE =
D. AB
AD BC DE =
3. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF//AB ，DE ：EA=2：3，EF=4，则CD 的长为（ ）
A.
3
16 B. 8 C. 10 D. 16
4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若AD=1，BD=4，则CD=（ ）
A. 2
B. 4
C. 2
D. 3
5. 如图，E 、G 、F 、H 分别是矩形ABCD 四条边上的点，EF ⊥GH ，若AB=2，BC=3，则EF ：GH=（ ）
A. 2：3
B. 3：2
C. 4：9
D. 无法确定
二、填空题 1. 若
31n n m 2=-，则=n
m
___________。

2. E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上一点，且D 为AE 的黄金分割点，即AD=AE 2
1
5-，BE 交DC 于点F ，已知15AB +=，则CF 的长为___________。

3. 在△ABC 和△A'B'C'中，若∠B=∠B'，AB=6，BC=8，B'C'=4，则A'B'=___________时，△ABC ∽△A'B'C'。

当A'B'=___________时，△ABC ∽△C'B'A'。

4. 已知两个等腰直角三角形的面积比为100：9，其中较小的一个等腰直角三角形斜边上
的中线为7cm，则较长的一个等腰直角三角形斜边上的长为___________。

5. 两个相似多边形的周长分别为l1、l2，面积分别为S1，S2，若l1：l2=2：3，S2－S1=30，则S1＋S2=___________。

三、解答题
1. 如图所示，已知：Rt△ABC与Rt△DEF不相似，其中∠C，∠F为直角，能否分别将两个三角形分割成两个三角形，使△ABC所成的每个三角形与△DEF所成的每个三角形分别对应相似？能的话请设计出一种分割方案。

2. 如图所示，有点光源S在平面镜上方，测得在平面镜的A点入射光线与反射光线在同一条直线上，在P点看到光源的反射光线。

测得AB=10cm，BC=20cm，PC⊥AC，且PC=24cm，试求点光源S距平面镜的距离即SA的长。

3. 如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b。

（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；
（2）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△BDC。

4. 在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即此比值越接近0.618，越给别人美感，A女士原本躯干（脚底与肚脐的长度）与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
5. 某学生从一塔形建筑物经过，只见这个建筑物的影子清楚地映在它北面平坦的空地上，这位同学想估算一下这座建筑物的高度，但身边未带任何测量工具，他忽然想起自己的身高为168cm，双脚的长度分别为25cm，于是，他利用这些条件把问题解决了，请你说明这位学生是如何解决这一问题的（写出估算过程和计算原理）。

试题答案
一、 1. C
2. C
3. C
4. A
5. B
二、
1. 32
2. 2
3. 3，3
16 4.
370
cm 5. 78
三、
1. 在△ABC 中，作∠1=∠E ，CG 交AB 于G ，在△DEF 中，作∠2=∠A ，FH 交DE 于点H ，则直线CG ，FH 就是所求的分割。

2. 由反射定律知∠1=∠2，∠SBA=∠PBC ， 又∵∠SAB=∠PCB=90° △SAB ∽△PCB ∴SA ：AB=PC ：CB ∴)(1220
24
10cm CB PC AB SA =⨯=⋅=
3. （1）a b BD 2= （2）22
b a a
b BD -=
4. 7.5cm
5. （1）用双脚量出了建筑物的影长和自己影长
（2）由相似三角形的性质，在同一时间内，建筑物的实高与其影长的比等于人的实高与其影长的比。

列出比例式计算出建筑物的高。