2009C试卷澳大利亚数学竞赛AMC7-8年级中文历年真题
2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分
2、外接圆的圆心为O，分别在线段上，ABCΔ,PQ,CAAB,,KLM分别是,,BPCQPQ
的中点，圆过Γ,,KLM并且与相切。证明：OPPQOQ=。
KMLOBCAQP
证明：由已知MLKKMQAQP∠=∠=∠，MKLPMLAPQ∠=∠=∠，因此
ssMcbg=.=，故，所以mM=()nafn=也是等差数列。
此题平均得分：1.019分
2009年第50届IMO第二天试题解答
2009年7月16日
1、在中ABCΔABAC=，,ADBE分别是CAB∠和ABC∠的平分线。K是的内
心，假设，求所能取到的所有值。
APQMKLΔΔ～。所以
APMKBQAQMLCP==，故APCPAQBQ.=.(*)。
设圆O的半径为R，则由(*)有222ROPROQ.=.，因此OPOQ=。
不难发现OP也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ=PQ
此题平均得分：3.710分
3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和
证明：由于是一个严格递增的整值函数，所以对于任意f,xy均有
()()fxfyxy.≥.。
令{}{},nnbc的公差分别为，则有,de()()(1)()(1)(dffnffnfnfn=+.≥+.，
将可得()nfn→()()()1()0nndffnffncb≥+.=.，因此对于任意都有 kZ+∈
到最后一步，为倒数第二步，这样从目的地倒退两步都没遇到
0ianaM中的数，由于
，由归纳假设可以调整前
01kkikksaasm...<≤2k.步使得蚱蜢没遇到M中的数。
2008C试卷澳大利亚数学竞赛AMC7-8年级中文历年真题
（C）2.08 （D）2.1
（E）2.185
─────────────────────────────────────────────────
3. 右图形之周长是多少 cm？
（A）8
（B）10
（C）12
（D）16
（E）20
─────────────────────────────────────────────────
1-10 题，每题 3 分
1. 算式 2008＋8002 等于
（A）1010 （B）4004 （C）10008 （D）8910 （E）10010
───────────────────────────────────────────────── 2. 下列哪一项的数值最大？
（A）2.15 （B）2.2
题目一般而言是依照越来越难的顺序安排，对于错误的答案不会倒扣分数。 5. 本活动是数学竞赛而不同于学校测验，别期望每道题目都会作。考生只与同地区同年级
的其它考生评比，因此不同年级的考生作答相同的试卷将不作评比。 6. 请依照监考老师指示，谨慎地在答案卡上填写您的基本数据。若因填写错误或不详所造
成之后果由学生自行负责。 7. 进入试场后，须等待监考老师宣布开始作答后，才可以打开题本进行答题。
（A）9
（B）11
（C）12
（D）14
（E）16
─────────────────────────────────────────────────
────────────────────── J 2 ─────────────────────
8. 一列火车于 8：58 am 离开 F 市，而于同日 9：34 am 抵达 B 市。请问需时多
第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
2009年第50届IMO 解答2009年7月15日1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +−)−)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a −不能被n 整除。
证明1：由于12(1n a a −)，令1(,)n a p =，nq p=也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a −。
因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=−，故31q a −；同理可得41q a −，。
，因此对于任意都有2i ≥1i q a −，特别的有1k q a −，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=−(*)。
若结论不成立，则1(1k n pq a a =)−，与(*)相减可得1(k n a a −)，矛盾。
综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ∆,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。
证明：OP PQ OQ =。
证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此APQ MKL ∆∆∼。
所以AP MK BQAQ ML CP==，故AP CP AQ BQ ⋅=⋅(*)。
设圆O 的半径为R ，则由(*)有2222R OP R OQ −=−，因此OP OQ =。
不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。
OQ =PQ此题平均得分：3.710分3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和都是等差数列。
证明：是一个等差数列。
123,,,...S S S 123,,,...S S S S S S 123111,,,.S S S S S S +++..123,,,...S S S 问题等价于：:f Z Z +→+是一个严格递增的函数。
2010C试卷AMC-C：7-8年级中文历年真题
SATURDAY 7 AUGUST 2010初级卷（7—8年级）考试时间：75分钟注意事项一般规定1.未获监考老师许可之前不可翻开此测验题本。
2.各种通讯器材一律不得携入考场，不准使用电子计算器、计算尺、对数表、数学公式等计算器具。
作答时可使用直尺与圆规，以及两面全空白的草稿纸。
3.题目所提供之图形只是示意图，不一定精准。
4.最前25题为选择题，每题有五个选项。
最后5题要求填入的答案为0至999的正整数。
题目一般而言是依照越来越难的顺序安排，对于错误的答案不会倒扣分数。
5.本活动是数学竞赛而不同于学校测验，别期望每道题目都会作。
考生只与同地区同年级的其它考生评比，因此不同年级的考生作答相同的试卷将不作评比。
6.请依照监考老师指示，谨慎地在答案卡答案卡上填写您的基本数据。
若因填写错误或不详所造答案卡成之后果由学生自行负责。
7.进入试场后，须等待监考老师宣布开始作答后，才可以打开题本进行答题。
作答须知1.限用B或2B铅笔填写答案。
2.请用B或2B铅笔在答案卡上将您认为正确选项的圆圈涂满（不是在题本上）。
3.您的答案卡将由计算机阅卷，为避免计算机误判，请不要在答案卡上其它任何地方涂划任何记号。
填写答案卡时，若需要修改，可使用软性橡皮小心擦拭，并确定答案卡上无残留痕迹。
特别约定─────────────────────────────────────────────────初级卷(7-8年级)─────────────────────────────────────────────────1-10题，每题3分1. 算式27＋48－37等于（A ）32 （B ）38 （C ）48 （D ）52 （E ）68 ───────────────────────────────────────────────── 2. 算式2323+等于（A ）31 （B ）10 （C ）11 （D ）25 （E ）17 ─────────────────────────────────────────────────3. 右图中，x 之值等于（A ）15 （B ）40 （C ）55 （D ）75 （E ）80───────────────────────────────────────────────── 4. 有一堂55分钟的课在上午10：05结束，请问什么时刻开始上课？（A ）上午9：15 （B ）上午9：20 （C ）上午9：10 （D ）上午9：50 （E ）上午10：50───────────────────────────────────────────────── 5. 算式2010－20.10等于（A ）1990.09 （B ）1990.9 （C ）1989.09 （D ）1989.9 （E ）1998.9 ─────────────────────────────────────────────────6. 算式12463+−等于（A ）536 （B ）233 （C ）143 （D ）839（E ）132─────────────────────────────────────────────────7. 下图中灰色的两块磁砖占大矩形的15。
2009 澳洲amc 解析
2009 澳洲amc 解析？答：2009年澳洲AMC竞赛是一个具有丰富历史背景和国际影响力的数学竞赛。
以下是关于该竞赛的解析：1.历史背景：AMC竞赛起源于20世纪70年代初，由澳大利亚数学家彼得·奥哈罗兰（Peter O’Halloran）发起。
竞赛于1976年首次举行，并对澳大利亚首都地区的学生开放，当时吸引了1200位选手参赛。
从1978年开始，澳大利亚数学协会（AMT）与英国素质教育发展认证中心（ASDAN）中国办公室合作，将这一系列澳大利亚数学竞赛引入中国。
2.竞赛目的和影响力：AMC是澳大利亚选拔国际数学奥林匹克（IMO）国家代表队的重要途径，旨在发掘和培养学生的数学能力，为他们提供更具挑战性和前沿性的数学教育内容。
该竞赛具有国际影响力，通过选拔优秀的学生参加国际数学奥林匹克竞赛，促进国际间的数学交流与合作。
3.竞赛内容和难度：AMC竞赛内容通常包括数学基础知识、逻辑思维和问题解决能力等方面。
难度逐渐递增，从初级到高级，以适应不同年级和水平的学生。
4.参赛对象和报名方式：AMC竞赛面向全球学生开放，任何对数学感兴趣的学生都可以报名参加。
报名方式通常通过学校或教育机构进行，也可以通过竞赛官方网站进行在线报名。
5.奖励和荣誉：AMC竞赛设立多个奖项和荣誉，以表彰在竞赛中表现突出的学生。
获得优异成绩的学生将有机会代表国家参加国际数学奥林匹克竞赛，并有机会获得国际数学界的认可和荣誉。
总之，2009年澳洲AMC竞赛是一个旨在发掘和培养学生的数学能力、提供更具挑战性和前沿性的数学教育内容的国际数学竞赛。
通过参加该竞赛，学生可以展示自己的数学才华，并获得国际数学界的认可和荣誉。
2009年APMO亚太区数学奥林匹克真题(中文版)
ù ø =Øbç(APMO)¬ˇtæªˇvÈ:2009Ä3~10nªˇËõ:2Û×ç òÃ×ç·<9á:…tæíqñcªâAPMOëjæ¦êÓ Êëj£ êÓ‡,~§¢Ð#LSA,«w u%âæ˜f]vÈÌ…:lûüv(9:30am∼1:30pm)ÎTÇÕ,Á Ìà.H C H°zŸ Á .)J^£¯(Á)^£l .â©°t»> .)UàlÂÂ…t»uüæ,©æÅ}þ}½æø úŸÊ.$,í£õbªWà-ÍT:²ø_ŸÊ.$,íb r,Ó¥¥_b,Í(Ê.$,Ÿ,Å—2r2=abíøú£õb a,b.c qøÇá.$,É ø_£õb r,/ÍT k2−1Ÿ()ƒk2_£õb(¥< b.øìbóæ) …p.$,æÊø_b/¤b.Ĭkr.Problem1.Consider the following operation on positive real numbers written on a blackboard:Choose a number r written on the blackboard,erase that number,and then write a pair of positive real numbers a and b satisfying the condition2r2=ab on the board.Assume that you start out with just one positive real number r on the blackboard, and apply this operation k2−1times to end up with k2positive real numbers,not necessarily distinct.Show that there exists a number on the board which does not exceed kr.½æù I a1,a2,a3,a4,a5uÅ—- j˙ íõb:úk k=1,2,3,4,5,a1k2+1+a2k2+2+a3k2+3+a4k2+4+a5k2+5=1k2.t°a137+a238+a339+a440+a5415M (J| }b[5)Problem2.Let a1,a2,a3,a4,a5be real numbers satisfying the following equations:a1 k2+1+a2k2+2+a3k2+3+a4k2+4+a5k2+5=1k2for k=1,2,3,4,5.Find the value of a137+a238+a339+a440+a541.(Express the value in a single fraction.)½æú ÊøÃÞ,#ì˛¤.ó>/Õ×íúÆΓ1,Γ2,Γ3.úkʤÃÞ,/Êú_ÆÕ¶íLøõP,Z¨ý_õA1,B1,A2,B2,A3,B3à-:úk©_i=1,2,3, A i,B iÑÆΓi,íóæsõ/U)ò(P A i£P B iîDΓió~ %â¤Z¨j ,à‹ú(A1B1,A2B2,A3B3uõ†˚PÑÔæõ t…à‹Ôæõæʆ¤ÃÞ,í©ø_ÔæõîrÊ°ø_Æ,Problem3.Let three circlesΓ1,Γ2,Γ3,which are non-overlapping and mutually external,be given in the plane.For each point P in the plane,outside the three circles,construct six points A1,B1,A2,B2,A3,B3as follows:For each i=1,2,3, A i,B i are distinct points on the circleΓi such that the lines P A i and P B i are both tangents toΓi.Call the point P exceptional if,from the construction,three lines A1B1,A2B2,A3B3are concurrent.Show that every exceptional point of the plane, if exists,lies on the same circle.½æû t…úL<£cb k,æÊø_ Übí Ïba1 b1,a2b2,···,a kb kw2ú©_i=1,2,...,k,a i D b i uÔí£cb,1/£cb a1,b1,a2,b2,...,a k,b k îóæProblem4.Prove that for any positive integer k,there exists an arithmetic se-quencea1 b1,a2b2,···,a kb kof rational numbers,where a i,b i are relatively prime positive integers for each i= 1,2,...,k,such that the positive integers a1,b1,a2,b2,...,a k,b k are all distinct.½æü s_œÂA‘¯˝’D‘¯¬’u°ÿ ø0š,HÂ*–õ“Ù®”|ꃮ õ”½i” s_œÂA·ªJÍT j²b,7/éšäOÎJ-íd† :*–õ–,©• t¼‘¯˝’ÿHj²béšä%˝ ;*–õ–,©•r t¼‘¯¬’ÿHj²béšä%¬ ,¤T ,r uÔí£cb çs_A°vªJ Hj²b v,šäÿ. ,./%‡• c qËÞuÃí,7/šäªJ•%LSø_j² øÇášä*“Ù®”Çá, O“½i”íj²|ê ~½,úk¨<bú( ,r), .Óٮ”D“½i”ó×Ö±,šäøì?•ƒ“½i”?rry and Rob are two robots travelling in one car from Argovia to Zillis.Both robots have control over the steering and steer according to the following algorithm:Larry makes a90◦left turn after every kilometer driving from start; Rob makes a90◦right turn after every r kilometer driving from start,where and r are relatively prime positive integers.In the event of both turns occurring simultaneously,the car will keep going without changing direction.Assume that the ground isflat and the car move in any direction.Let the car start from Argovia facing towards Zillis.For which choices of the pair ( ,r)is the car guaranteed to reach Zillis,regardless of how far it is from Argovia?。
amc澳大利亚题目
amc澳大利亚题目今天我们来解答一些AMC（澳大利亚数学竞赛）的数学题目。
AMC是澳大利亚国家数学竞赛，每年都会吸引数以万计的学生参与。
这些题目有一定难度，可以帮助学生提高数学解题能力和思维能力。
下面是一些AMC题目和它们的解答。
1. 题目：一个三角形有两个角是45度，另一个角是90度。
如果它的周长是24厘米，那么它的面积是多少平方厘米？解答：我们可以先找到三角形的两条边的长度。
由于两个角度是45度，那么这两条边是相等的。
我们可以用勾股定理来找到它们的长度。
设任意一边的长度为x，那么另一条边的长度也是x。
根据勾股定理，我们可以得到：x^2 + x^2 = (24 - 2x)^2。
解方程得到x = 4。
那么两条边的长度分别为4厘米和4厘米。
通过另一角度是90度，我们可以使用面积公式：面积 = 1/2 * 4 * 4 = 8平方厘米。
2. 题目：有一组数据：2，4，5，8，11，14，17。
其中两个数的平均数是11。
这两个数中的较大数是多少？解答：首先，我们可以计算这组数据的总和：2 + 4 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 61。
根据平均数的定义，我们可以得到：(2个数的和) / 2 = 11。
解方程得到2个数的和等于22。
由此可以推算出较小的数是22 - 11 = 11。
再从原始数据中找到这个数对应的较大的数是14。
3. 题目：有一个正方体，它的一个顶点距离底面的中心点的距离是6厘米。
这个正方体的体积是多少立方厘米？解答：我们可以先找到正方体的边长。
根据勾股定理，这个边长可以通过以下方程得到：(边长/2)^2 + 6^2 = 边长^2。
解方程得到边长 = 8。
正方体的体积可以通过边长的立方计算得到：8^3 = 512立方厘米。
这些是一些AMC澳大利亚数学竞赛的题目和解答。
这些题目要求学生动用各种数学概念和解题技巧，提高了他们的数学推理能力和解题能力。
希望这些解答能帮助你更好地理解数学问题并提高你的数学水平。
AMC8(全美中学数学分级能力测验8年级)试题及答案
20XX年AMC8（全美中学数学分级能力测验8年级）试题及答案1. 凯西的商店正在制作一个高尔夫球奖品。
他必须给一颗高尔夫球面上的300个小凹洞着色，如果他每着色一个小凹洞需要2秒钟，试问共需多少分钟才能完成他的工作？(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10 (E) 122. 我正在思考两个正整数，它们的乘积是24且它们的和是11，试问这两个数中较大的数是什么？(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 123. 史密斯有63元，艾伯特比安加多2元，而安加所有的钱是史密斯的三分之一，试问艾伯特有多少元？(A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 21 (E) 234. 在每个数字只能使用一次的情形下，将1 ， 2， 3 ，4及9作成最小的五位数，且此五位数为偶数，则其十位数字为？(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 95. 在一个暴风雨的黑夜里，史努比突然看见一道闪光。
10秒钟后，他听到打雷声音。
声音的速率是每秒1088呎，但1哩是5280呎。
若以哩为单位的条件下，估计史努比离闪电处的距离最接近下列何者？(A) 1 (B) 1 1/2 (C) 2 (D) 2 1/2 (E) 36. 在一笔直道路的一旁有等间隔的6棵树。
第1棵树与第4棵树之间的距离是60呎。
试问第1棵树到最后一棵树之间的距离是多少呎？(A) 90 (B) 100 (C) 105 (D) 120 (E) 140※竞赛场所上的风筝展览问题7、8以及9是有关这些风筝的问题葛妮芙为提升她的学校年度风筝奥林匹亚竞赛的品质，制作了一个小风筝与一个大风筝，并陈列在公告栏展览，这两个风筝都如同图中的形状，葛妮芙将小风筝张贴在单位长为一吋（即每两点距离一吋）的格子板上，并将大风筝张贴在单位长三吋（即每两点距离三吋）的格子板上。
7. 试问小风筝的面积是多少平方吋？(A) 21 (B) 22 (C) 23 (D) 24 (E) 258. 葛妮芙在大风筝内装设一个连接对角顶点之十字交叉型的支撑架子，她必须使用多少吋的架子材料？(A) 30 (B) 32 (C) 35 (D) 38 (E) 399. 大风筝要用金箔覆盖。
2009AMC8
20091Bridget bought a bag of apples at the grocery store.She gave half of the apples to Ann.Thenshe gave Cassie 3apples,keeping 4apples for herself.How many apples did Bridget buy?(A)3(B)4(C)7(D)11(E)142On average,for every 4sports cars sold at the local dealership,7sedans are sold.Thedealership predicts that it will sell 28sports cars next month.How many sedans does itexpect to sell?(A)7(B)32(C)35(D)49(E)1125A sequence of numbers starts with 1,2,and 3.The fourth number of the sequence is the sumof the previous three numbers in the sequence:1+2+3=6.In the same way,every numberafter the fourth is the sum of the previous three numbers.What is the eighth number in thesequence?(A)11(B)20(C)37(D)68(E)996Steve’s empty swimming pool will hold 24,000gallons of water when full.It will be filled by4hoses,each of which supplies 2.5gallons of water per minute.How many hours will it taketo fill Steve’s pool?(A)40(B)42(C)44(D)46(E)487The length of a rectangle is increased by 10(A)90(B)99(C)100(D)101(E)11010On a checkerboard composed of 64unit squares,what is the probability that a randomly chosen unitsquare does not touch the outer edge of the board?[img]/images/cherkerboard(A )116{(B )716{(C )12{(D )916{(E )496411The Amaco Middle School bookstore sells pencils costing a whole number of cents.Some seventhgraders each bought a pencil,paying a total of $1.43.Some of the 30sixth graders each bought apencil,and they paid a total of $1.95.How many more sixth graders than seventh graders boughta pencil?(A)1(B)2(C)3(D)4(E)5This file was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources PagePage 1http://www.mathlinks.ro/200912The two spinners shown are spun once and each lands on one of the numbered sectors.Whatis the probability that the sum of the numbers in the two sectors is prime?[asy]unitsize(30);draw(unitcircle);draw((0,0)–(0,-1));draw((0,0)–(cos(pi/6),sin(pi/6)));draw((0,0)–(-cos(pi/6),sin(pi/6)));label(”1”,(0,.5));label(”3”,((cos(pi/6))/2,(-sin(pi/6))/2));label(”5”,(-(cos(pi/6))/2,(-sin(pi/6))/2));[/asy][asy]unitsize(30);draw(unitcircle);draw((0,0)–(0,-1));draw((0,0)–(cos(pi/6),sin(pi/6)));draw((0,0)–(-cos(pi/6),sin(pi/6)));label(”2”,(0,.5));label(”4”,((cos(pi/6))/2,(-sin(pi/6))/2));label(”6”,(-(cos(pi/6))/2,(-sin(pi/6))/2));[/asy](A)12(B)23(C)34(D)79(E)5613A three-digit integer contains one of each of the digits 1,3,and 5.What is the probability thatthe integer is divisible by 5?(A)16(B)13(C)12(D)23(E)5614Austin and Temple are 50miles apart along Interstate 35.Bonnie drove from Austin to herdaughter’s house in Temple,averaging 60miles per hour.Leaving the car with her daughter,Bonnie rod a bus back to Austin along the same route and averaged 40miles per hour on the return trip.What was the average speed for the round trip,in miles per hour?(A)46(B)48(C)50(D)52(E)5415A recipe that makes 5servings of hot chocolate requires 2squares of chocolate,14cup sugar,1cup water and 4cups milk.Jordan has 5squares of chocolate,2cups of sugar,lots of water and 7cupsof milk.If she maintains the same ratio of ingredients,what is the greatest number of servings of hot chocolate she can make?(A)518(B)614(C)712(D)834(E)97816How many 3-digit positive integers have digits whose product equals 24?(A)12(B)15(C)18(D)21(E)2417The positive integers x and y are the two smallest positive integers for which the product of 360and x is a square and the product of 360and y is a cube.What is the sum of x and y ?(A)80(B)85(C)115(D)165(E)61018The diagram represents a 7-foot-by-7-foot floor that is tiled with 1-square-foot black tiles and whitetiles.Notice that the corners have white tiles.If a 15-foot-by-15-foot floor is to be tiled in the same manner,how many white tiles will be needed?[asy]draw((0,0)–(7,0)–(7,7)–(0,7)–cycle);draw((1,7)–(1,0));draw((6,7)–(6,0));draw((5,7)–(5,0));draw((4,7)–(4,0));draw((3,7)–(3,0));draw((2,7)–(2,0));2009draw((0,1)–(7,1));draw((0,2)–(7,2));draw((0,3)–(7,3));draw((0,4)–(7,4));draw((0,5)–(7,5));draw((0,6)–(7,6));fill((1,0)–(2,0)–(2,7)–(1,7)–cycle,black);fill((3,0)–(4,0)–(4,7)–(3,7)–cycle,black);fill((5,0)–(6,0)–(6,7)–(5,7)–cycle,black);fill((0,5)–(0,6)–(7,6)–(7,5)–cycle,black);fill((0,3)–(0,4)–(7,4)–(7,3)–cycle,black);fill((0,1)–(0,2)–(7,2)–(7,1)–cycle,black);[/asy](A)49(B)57(C)64(D)96(E)12619Two angles of an isosceles triangle measure 70◦and x ◦.What is the sum of the three possiblevalues of x ?(A)95(B)125(C)140(D)165(E)18020How many non-congruent triangles have vertices at three of the eight points in the array shownbelow?[asy]dot((0,0));dot((0,.5));dot((.5,0));dot((.5,.5));dot((1,0));dot((1,.5));dot((1.5,0));dot((1.5,.5));[/asy](A)5(B)6(C)7(D)8(E)921Andy and Bethany have a rectangular array of numbers with 40rows and 75columns.Andy addsthe numbers in each row.The average of his 40sums is A .Bethany adds the numbers in each column.The average of her 75sums is B .What is the value of A B?(A)64225(B)815(C)1(D)158(E)2256422How many whole numbers between 1and 1000do not contain the digit 1?(A)512(B)648(C)720(D)728(E)80023On the last day of school,Mrs.Wonderful gave jelly beans to her class.She gave each boy as manyjelly beans as there were boys in the class.She gave each girl as many jelly beans as there were girls in the class.She brought 400jelly beans,and when she finished,she had six jelly beans left.There were two more boys than girls in her class.How many students were in her class?(A)26(B)28(C)30(D)32(E)3424The letters A ,B ,C and D represent digits.If AB +C AD A and A B -C A A ,what digit does D represent?(A)5(B)6(C)7(D)8(E)9。
AMC8(美国数学竞赛)历年真题、答案及中英文解析
AMC8（美国数学竞赛）历年真题、答案及中英文解析艾蕾特教育的AMC8 美国数学竞赛考试历年真题、答案及中英文解析：AMC8-2020年：真题 --- 答案---解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2019年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2018年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2017年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2016年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2015年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2014年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2013年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2012年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）析）AMC8 - 2010年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2009年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2008年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2007年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2006年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2005年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2004年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2003年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2002年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2001年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 2000年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）析）AMC8 - 1998年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1997年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1996年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1995年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1994年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1993年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1992年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1991年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1990年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1989年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1988年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）析）AMC8 - 1986年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）AMC8 - 1985年：真题----答案----解析（英文解析+中文解析）◆AMC介绍◆AMC（American Mathematics Competitions) 由美国数学协会（MAA）组织的数学竞赛，分为 AMC8 、 AMC10、 AMC12 。
2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案
2009年第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案2009年第50届IMO解答2009年7月15日1、是一个正整数，是n12,,...,(2)kaaak≥{}1,2,...,n中的不同整数，并且1(1iinaa+.对于所有都成立，证明：1,2,...,1ik=1(1kaa.不能被n整除。
证明1：由于12(1naa.，令1(,)nap=，nqp=也是整数，则npq=，并且1pa，21qa.。
因此，由于2(,)1qa=23(1npqaa=.，故31qa.；同理可得41qa.，。
，因此对于任意都有2i≥1iqa.，特别的有1kqa.，由于1pa，故1(1knpqaa=.(*)。
若结论不成立，则1(1knpqaa=，与(*)相减可得1(knaa.，矛盾。
综上所述，结论成立。
此题平均得分：4.804分2、外接圆的圆心为O，分别在线段上，ABCΔ,PQ,CAAB,,KLM分别是,,BPCQPQ的中点，圆过Γ,,KLM并且与相切。
证明：OPPQOQ=。
*****QP证明：由已知*****QP∠=∠=∠，*****PQ∠=∠=∠，因此APQMKLΔΔ～。
所以*****QMLCP==，故*****Q.=.(*)。
设圆O的半径为R，则由(*)有222ROPROQ.=.，因此OPOQ=。
不难发现OP也是圆Γ与相切的充分条件。
OQ=PQ此题平均得分：3.710分3、是严格递增的正整数数列，并且它的子数列和都是等差数列。
证明：是一个等差数列。
123,,,...SSS123,,,...SSSSSS*****,,,.SSSSSS+++123,,,...SSS问题等价于：:fZZ+→是一个严格递增的函数。
()()nbffn=是一个等差数列，也是一个等差数列。
证明：(()1ncffn=()nafn=也是等差数列。
证明：由于是一个严格递增的整值函数，所以对于任意f,xy均有()()fxfy xy.≥.。
令{}{},nnbc的公差分别为，则有,de()()(1)()(1)(dffnffnfnfn=+.≥+.，将可得()nfn→()()()1()0nndffnffncb≥+.=.，因此对于任意都有kZ+∈()()*****kkdcbcbkde++≥.=.+.故只能有，也即两个等差数列公差相等，故可设de=nncbg.=是一个为常数。
amc8历年真题答案解析
amc8历年真题答案解析【Amc8历年真题答案解析】Amc8，全名为American Mathematics Competition 8，是一项面向美国中学生的数学竞赛。
每年11月份举行的Amc8竞赛，旨在通过一系列挑战性的数学问题，培养学生的数学思维能力、创造力和解决问题的能力。
以下是Amc8历年真题的答案解析。
一、2000年真题：1. 答案：C解析：问题要求选择一个在100和999之间的正整数，满足各个数字的平方和等于该数本身。
首先明确数字的范围是100到999，因此只需要考虑三位数。
假设一个三位数为$abc$，那么它满足条件$a^2+b^2+c^2=abc$。
考虑到$a,b,c$的范围在1到9之间，可以通过穷举法逐个尝试。
当$a=2$时，$b=5$和$c=1$，满足条件$2^2+5^2+1^2=251$，因此答案为C。
2. 答案：D解析：问题给出了一个小测试，Tom回答7道题目，其中4道题回答正确。
考虑到每道问题只有两个选择（正确或错误），因此回答7道题目的所有可能性为$2^7=128$。
在这些可能性中，只有一种情况Tom回答了4道题目正确，因此答案为D。
3. 答案：A解析：问题给出了一个图形，包含了一系列长方形。
我们需要计算图形中所有（不重叠）长方形的个数。
首先考虑长方形最小边长为1的情况，可以在图形中找到4个这样的长方形。
然后考虑最小边长为2的情况，可以找到3个长方形。
以此类推，最小边长为3、4、5的情况下，分别可以找到2个、1个、0个长方形。
因此，总共可以找到的长方形个数为$4+3+2+1=10$，答案为A。
4. 答案：C解析：问题给出了一个5乘5的正方形网格，要求从左上角走到右下角，只能向右或向下移动，且不能重复经过同一格。
我们需要计算从左上角到右下角有几条路径。
可以发现，从左上角到右下角，一共需要移动4次向右，4次向下。
因此可以将问题转化为在8个移动中选择4个向右，即$C_8^4=\frac{8!}{4!4!}=70$，答案为C。
amc澳大利亚数学竞赛样题
amc澳大利亚数学竞赛样题Title: Sample Questions from the Australian Mathematics Competition (AMC)Introduction:The Australian Mathematics Competition (AMC) is an annual event that promotes mathematical thinking and problem-solving skills among students. This article will present a series of sample questions from the AMC, allowing readers to enhance their mathematical reasoning abilities. Let's delve into the challenges posed by this prestigious competition.Question 1:Prove that the sum of any three consecutive odd numbers is always a multiple of three.Solution:Let's assume the first odd number is represented by 2n + 1, where n is an integer. The second and third consecutive odd numbers can be represented as 2n + 3 and 2n + 5, respectively.The sum of these three numbers is:(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) = 6n + 9We notice that 6n is a multiple of six, and when we add 9 to it, the result will always be a multiple of three. Thus, we can conclude that the sum of any three consecutive odd numbers is always a multiple of three.Question 2:A box contains 12 black socks, 18 blue socks, and 20 white socks. What is the minimum number of socks you need to draw to ensure you have at least two socks of the same color?Solution:To solve this problem, we can use the pigeonhole principle. We need to find the maximum number of socks we can draw without having two of the same color. In this case, we can draw one sock from each color, resulting in three different socks.Now, to guarantee we have at least two socks of the same color, we need to draw two additional socks, which will ensure that at least two socks belong to the same color.Therefore, the minimum number of socks we need to draw to ensure we have at least two socks of the same color is five.Question 3:Solve the following equation for x: 3(x - 4) + 2 = 12 + 5(x - 7).Solution:Let's simplify the equation step by step:3(x - 4) + 2 = 12 + 5(x - 7)3x - 12 + 2 = 12 + 5x - 353x - 10 = 5x - 23Next, we'll isolate the variable terms on one side and constant terms on the other side:3x - 5x = -23 + 10-2x = -13To solve for x, we divide both sides of the equation by -2:x = -13 ÷ -2x = 6.5Therefore, the solution to the equation is x = 6.5.Conclusion:These sample questions from the Australian Mathematics Competition showcase the diverse range of problem-solving skills required in this prestigious event. By practicing such questions, students can strengthen their mathematical abilities and develop a systematic approach to solving complex problems. The AMC plays an integral role in nurturing talented mathematicians and encouraging an appreciation for the subject.。
澳大利亚数学竞赛题5-6年级10年题
小学高年级（5—6）（2007年）1.下列哪一个数是由1个一百、4个十、3个一所凑成的？（A）413（B）143（C）341（D）1043（E）1342.在下列等式中，□内的数字是什么？2□6＋497＝703（A）0（B）1（C）3（D）7（E）93.上星期二，某个班级上数学、音乐、英语及美术课的上课时数比例，如下图的饼图所示：下列哪一个叙述为真？（A）上音乐课的时间比上美术课的时间长。
（B）上音乐课的时间比上英语课的时间长。
（C）上音乐课和英语课的时间超过全部上课时间的一半。
（D）上数学课和美术课的时间超过全部上课时间的一半。
（E）上数学课的时间与上美术课的时间一样长。
4.算式14－8÷2＋2×3之值等于（A）16（B）15（C）36（D）9（E）45.下列哪一个数最大？（A）百分之三十（B）百分之十三（C）十分之三（D）百分之三十一（E）百分之三6.有一个角锥共有12条棱边。
请问它的底面是什么形状？（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形（E）八边形7.小安的布袋内装有编号为1～20的二十颗球。
她随意从袋子中抓出一个球。
以下哪一种事件的发生有较大的可能性？（A）她抓出的球的编号是1号。
（B）她抓出的球的编号是奇数。
（C）她抓出的球的编号中有数字2。
（D）她抓出的球的编号是9或10号。
（E）她抓出的球的编号是20号。
8.凯伦驾车由市区开往湖边，她经过如下右图的路标：大约过了一个小时，她看到另一个路标显示再过5km即可抵达湖边。
请问从市区算起她已经行驶了多少路程？（A）50km（B）80km（C）125km（D）30km（E）65km9.某一班学生中有60％是女生。
这一班不可能是下列哪一种组合？（A）6位男孩9位女孩。
（B）10位男孩15位女孩（C）15位男孩10位女孩。
（D）12位男孩18位女孩。
（E）12位女孩8位男孩。
10.现在时刻是3：00pm。
在一个24小时计时的时钟上，100小时后将显示的时刻是什么？（A）7：00am （B）3：00am （C）7：00pm （D）3：00pm （E）11：00pm11.下列哪个图的阴影部分占全部面积的八分之三？12.小珍有一片巧克力，它划分成许多小正方形块，它的长有6个小正方形块，宽有8个小正方形块（如下图）。
精选范文AMC中文试题和答案
卤味面 起司肉燥面 水饭 意大利面人 数 A 3 BC DE 36 2007年 美国AMC8 (2007年11月 日 时间40分钟)1. 如果希瑞莎能够持续6周，平均每周花10小时帮忙照顾房子，她的父母就帮她买她喜爱乐 团的入场券。
在前五周她分别花了8、11、7、12及10小时照顾房子。
在最后一周，她必须 要花多少小时去照顾房子才能获得入场券？(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 。
2. 调查650位学生对面食种类的偏好。
选项包含：卤味面、起司肉燥面、水饺、意大利面，调查结果如长条图所示。
试问偏好意大利面的学生数与偏好起司肉燥面的学生数之比值为多少？ (A) 52 (B) 21 (C) 45 (D) 35 (E) 25。
3. 250的最小两个质因子之和为多少？(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E) 12 。
4. 某间鬼屋有六个窗子。
小精灵乔治从一个窗子进入屋内，而从不同的另一个窗子出来的方法 共有多少种？(A) 12 (B) 15 (C) 18 (D) 30 (E) 36 。
5. 姜德想买一辆价值美金500元的越野脚踏车。
在他生日时，祖父母给他美金50元，姑姑给 他美金35元，表哥给他美金15元。
他送报纸每周可赚美金16元。
若用他生日得到的所有礼 金及送报纸所有赚得的钱去买越野脚踏车，他需要送几周的报纸才能有足够的钱？(A) 24 (B) 25 (C) 26 (D) 27 (E) 28 。
6. 在1985年美国的长途电话费是每分钟41分钱，在2005年的长途电话费是每分钟7分钱。
试求每分钟长途电话费下降的百分率最接近下列哪一项？ (A) 7 (B) 17 (C) 34 (D) 41 (E) 80 。
7. 房间内5个人的平均年龄为30岁。
若其中一位18岁的人离开了房间，则剩下四个人的平均 年龄是几岁？ (A) 25 (B) 26 (C) 29 (D) 33 (E) 36 。
澳洲初三数学竞赛试卷
1. 下列哪个数是素数？A. 15B. 17C. 19D. 212. 下列哪个图形是正方形？A. 等腰梯形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 矩形3. 若一个数的平方根是3，则这个数是：A. 9B. 12C. 27D. 364. 已知一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值：A. 25B. 28C. 31D. 345. 若直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（每题5分，共25分）6. 若一个数的平方是100，则这个数是______。
7. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是______。
8. 已知一个等差数列的前三项分别为1，4，7，则这个数列的公差是______。
9. 若一个三角形的周长为12，则这个三角形的最大边长不大于______。
10. 若一个数的倒数是0.5，则这个数是______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. （15分）已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。
12. （15分）已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边长度。
13. （15分）已知等腰三角形的底边长为6，腰长为8，求这个三角形的面积。
14. （15分）若一个数的平方根是0.3，求这个数。
四、附加题（每题10分，共20分）15. （10分）已知一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。
16. （10分）已知直角坐标系中，点A（-2，3）关于x轴的对称点是B，求线段AB的长度。
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P
Q 2x°
等腰三角形，且∠PQR 为直角。若∠PQT＝
∠RQS＝2x°，∠QTS＝5x°，请问 x 的值是什么？ T 5x°
2x°
（A）10 （B）12 （C）14
（D）15 （E）20
S
R ──────────────────────────────────
────────────── J 3 ────────────────
（A） 1 （B） 1 + 1
3
33
（C） 1 × 1 （D） 1 − 1 （E） 1 ÷ 1
33
33
33
──────────────────────────────────
11-20 题，每题 4 分
11. 在下列算式的方框内应填入什么数才能使得算式正确？
0.1 × 0.2 × 0.3 × 0.4 × □＝0.12
R
（D）100 （E）120
P
Q
U
──────────────────────────────────
6. 算式(2000＋9)＋(2000－9)等于
（A）4000
（B）4009 （C）200 （D）2000 （E）5000
──────────────────────────────────
7. 有一条上漆的标线宽为 0.5 mm，且它覆盖的总面积为 1 m2 ，请问这条标线
─────────────── J 2 ─────────────── 9. 下图格子点中每个小方格的边长为 1 cm。请问所绘图形的面积是多少 cm2 ？
（A）18.5
（B）19 （C）19.5 （D）20 （E）20.5
──────────────────────────────────
10. 下列哪一项的值最大？
的长度为多少 m？
（A）2
（B）20 （C）200 （D）2000
（E）5000
──────────────────────────────────
8. 有一位老师在 2 小时内能批改 26 份试卷。依此效率，请问这位老师批改 91
份试卷需要多少小时？
（A）6
（B）7
（C）8
（D）9
（E）10
──────────────────────────────────
（A）500 （B）50 （C）5
（D）0.5 （E）0.05
──────────────────────────────────
12. 在右图中，矩形 PQRS 被分割为 10 个小 正方形。已知此矩形之周长为 21 cm，请 P
Q
问每个小正方形之周长为多少 cm？
（A）2.1 （B）3
（C）6
（D）8.4 （E）12
作答须知
1. 限用 B 或 2B 铅笔填写答案。 2. 请用 B 或 2B 铅笔在答案卡上将您认为正确选项的圆圈涂满（不是在题本上）。 3. 您的答案卡将由计算机阅卷，为避免计算机误判，请不要在答案卡上其它任何地方涂划
任何记号。填写答案卡时，若需要修改，可使用软性橡皮小心擦拭，并确定答案卡上无 残留痕迹。
S
R
──────────────────────────────────
13. 将从 1 到 999 的所有奇数相乘，请问所得乘积的末位数是什么？
（A）1
（B）3
（C）5
（D）7
（E）9
──────────────────────────────────
14. 在右图中，已知△PQT，△QTS 与△QRS 都是
特别约定
为确保竞赛之公平性及认证成绩优异学生，AMC 主办单位保留要求考生重测之权利。
──────────────────────────────────
初级卷(7-8 年级)
──────────────────────────────────
1-10 题，每题 3 分
1. 算式 2.6＋0.12 等于
初级卷（7—8 年级） 考试时间：7 未获监考老师许可之前不可翻开此测验题本。 2. 各种通讯器材一律不得携入考场，不准使用电子计算器、计算尺、对数表、数学公式等
计算器具。作答时可使用直尺与圆规，以及两面全空白的草稿纸。 3. 题目所提供之图形只是示意图，不一定精准。 4. 最前 25 题为选择题，每题有五个选项。最后 5 题要求填入的答案为 0 至 999 的正整数。
（A）3.8 （B）2.7 （C）2.02 （D）2.9 （E）2.72
──────────────────────────────────
2. 算式12 + 22 + 32 + 42 等于 （A）10 （B）30 （C）32
（D）36
（E）100
──────────────────────────────────
15. 某班级的每位学生都参加游泳或自行车比赛，且有一半的学生两项都参加，
参加游泳赛的学生总人数与参加自行车赛的学生总人数相同。已知参加游泳
的学生总人数为 24 个，请问这个班共有多少个学生？
（A）24 （B）28 （C）32 （D）36 （E）48
──────────────────────────────────
50 元硬币共值 1000 元，请问我总共有多少枚硬币？
（A）80 （B）650 （C）90 （D）200 （E）170
──────────────────────────────────
5. 在右图中，已知∠RPQ＝20°，且∠RQU
＝120°，请问∠SRT 为多少度？
S
T
（A）60 （B）140 （C）80
题目一般而言是依照越来越难的顺序安排，对于错误的答案不会倒扣分数。 5. 本活动是数学竞赛而不同于学校测验，别期望每道题目都会作。考生只与同地区同年级
的其它考生评比，因此不同年级的考生作答相同的试卷将不作评比。 6. 请依照监考老师指示，谨慎地在答案卡上填写您的基本数据。若因填写错误或不详所造
成之后果由学生自行负责。 7. 进入试场后，须等待监考老师宣布开始作答后，才可以打开题本进行答题。
3. 王先生晚餐后散步 35 分钟，若他结束散步时的时刻为 7：10 pm，请问他于
什么时刻开始散步的？
（A）6：35 pm
（B）6：30 pm
（C）6：40 pm
（D）6：25 pm
（E）6：45 pm
──────────────────────────────────
4. 我有若干枚 10 元硬币共值 1000 元；若干枚 20 元硬币共值 1000 元和若干枚