全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版

所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0
(n 1)
2
sin x
发散. 由正项级数的比较判别法可知，
(n 1)
an 发散，即 0
d x 不绝 x
n 0
n 0
对收敛.
3．设y y(x) 由x 3 3x 2y 2y3 2 所确定，求y(x) 的极值。
0. 证明：级数
x0 x
n 1
f
n1
收敛。
f (x) 【参考证明】：由于 f (x) 在x 0 处连续且 lim 0, 则
f (0) lim f (x) lim x 0, f (0) lim
0.
x 0
x0 x
x0 x 0
f (x)
f (x)
又有y
，从而有
2
2y2 x2
y x0 1 0, y x2 1 0.
y 1
y 1
y 0
y 0
所以，y(0) 1为极大值，y(2) 1为极小值。
4．过曲线y 3 x x 0 上的点A 作切线，使得该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的
3 面积为 。求点A 的坐标。
4
1
【参考解答】：设切点A 的坐标为 t, 3 t ，曲线过A 点的切线为y 3 t 1 x t 。 33 t2
第二题：(12 分)计算定积分 I
dx.
1 cos2 x
0 x sinx arctanex
x sinx arctanex
【参考解答】：I
dx
dx
1 cos2 x
0 1 cos2 x
x sinx arctanex
x sinx arctanex
dx
dx
0 1cos2 x
0 1cos2 x
arctan ex arctan ex
x sin x dx
0
1 cos2 x
2
x sin x 0 1 cos2 x
dx
2
2
sin x dx
0 1 cos2 x
2
2
arctan
cos x
3 .
8
0
（其中 arctan ex
arctan ex
，另外
2
n k1
kak
1
a k
k
2
a21
a 1
3
a32
a 2
4
ann1
nan11 nan 1
a n
n
2
11
1
1
1
a a a a a
a a a
21 3 2
1
43
2
n 1 n n1 n 1 n
11 2
1 23
n
1
n
1
n
1
a 2n
1
1 n
n
1
a. 2n
a 因 为 0 a 1 ln n ， 所 以 0 n
所以V 是一个椭球， 是椭球V 的表面时，积分I 最小。
x, y, z 1
为了求该最小值，做变换x u, y v / 2, z w / 3 ，
，
u, v, w 6
3
I
u 2 v2 w2 1 dV
6 u2 v2 w21
3
2
d
d
1
r 2 1 r 2 sin dr
4
6 .
60
2013 年第五届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）
试卷及参考答案
一、解答下列各题(共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) .
n
1．求极限 lim 1 sin 1 4n2 . n
【参考解答】：因为 sin 1 4n 2 sin 1 4n2 2n sin
.
1 4n 2 2n
f (x) f (0) 1
应用洛必达法则，则有 lim lim
lim
f (0). 所以
x0 x2
x0 2x
x0 2 x 0
2
lim
x 0
f
n1 1
1
1
f (0). 由于
2
n1 n 2
收敛，所以
n 1
f
n1
收敛。
n2
第四题：(10 分)设 f (x) , f (x) m 0 a x b ，证明：
2
d
2r 2
I (r)
J
a
3
0
a
2 cos2 / 3 2 sin2
a
3
2
d
其中J
, 0 J .
a
0
a
2 cos2 / 3 2 sin2
a
因此当a 1和a 1，所求极限分别为 0 和 。当a 1 ，
2
d
J
3.
1 0 2 cos2 / 3 2 sin2
0
0
15
y dx x dy
第 六 题 ： (14 分 ) 设 Ia (r)
, 其中a 为常数，曲线C 为椭圆
a
C x2 y2
x2 xy y2 r 2 ，取正向。求极限 lim Ia (r).
r
u v u v
【 参 考 解 答 】： 作 变 换 x
,y
. 曲 线 C 变 为 uOv 平 面 上 的
2
b
2
a sin f (x)d x m .
【参考证明】：因为 f (x) m 0 a x b ，所以 f (x) 在 a,b 上严格单调增加，从而
有反函数。设A f (a), B f (b), 是 f 的反函数，则
0 y
1
1 ,
f (x) m
又 f (x) ，则 A B ，所以
1
1
n1
0 a 1 1 dx 1 ln n n
n
2
n
1x
n
1
1
所以u
，而
收敛，所以 u 收敛。
n n 1 n 2 n3/2
n 3/2
n 1
n n 1
(2)
a k
1
1 2
1 k
k
1, 2, ，则
1
1
n 1
n
S
2
k
a k
n k1 (k 1)(k 2) k1 (k 1)(k 2)
2
2
: 3 u 2 1 v2 r 2, 也是取正向且有x 2 y 2 u 2 v2 ，ydx xdy vdu udv, 22
vdu udv
I (r) a
.
a
u2 v2
3
作变换u
2 r cos , v
2r sin , 则有vdu udv 2 r 2d
3
3
21a
2r
b
B
sin y
2
a sin f (x)dx x (y) A (y)sin ydy 0
dy .
m
m
第五题：(14 分)设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型的曲面积分
I x3 x dy d z 2y3 y d z dx 3z3 z dx d y.
试确定曲面 ，使得积分 I 的值最小，并求该最小值。
1 ln n
1 ln n
且 lim
0,
n
n 2 n 2 n n 2
a
lim n 0. 于是S lim S 1 0 0 1.
n n 2
n n
所以
4
【参考解答】：设 围成的立体的体积为V ，则由高斯公式，有
I 3x 2 6y 2 9z 2 3 dV 3 x 2 2y 2 3z 2 1 dV
V
V
为了使得I 达到最小，就是要求V 使得x 2 2y 2 3z 2 1 0 的最大空间区域，即
V x, y, z | x 2 2y2 3z 2 1
x sin x
usin u
x sin x
sin x
dx
du
dx
dx.
0 1 cos2 x
0 1 cos2 u
0 1 cos2 x
0 1 cos2 x
这样可以得到第二个 ）
2
f (x)
第三题：(12 分)设 f (x) 在 x 0 处存在二阶导数 f (0) ，且 lim
令 y 0 ， 可 得 切 线 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 为 x 2t. 因 此 平 面 图 形 的 面 积 0
S Ax t 的面积-曲边梯形OtA 的面积 0
S 1 3 t 3t t 3 xdx 3 t 3 t 3 t 1 。
2
0
4
4
所以 A 的坐标为1,1 。
x sin x arctan ex