特殊卵型曲线处理
卡西尼卵形线二级结论
卡西尼卵形线二级结论概述卡西尼卵形线是指由卡西尼椭圆函数描述的一个曲线，其形状类似于椭圆，却有一端延伸得更加细长，如同一个鸟巢的形状。
该曲线的特殊性质引起了科学家的极大兴趣，并且在多个研究领域中发现了相关的二级结论。
本文将对卡西尼卵形线的二级结论进行全面、详细、完整的探讨。
卡西尼椭圆曲线的定义卡西尼椭圆曲线的数学表达式为：(x^2 + y^2)^2 = a^2 * (x^2 - y^2)其中，(x, y)为曲线上任意一点的坐标，a为常数。
卡西尼椭圆曲线具有一个特殊的性质，即曲线上任意一点到两个焦点的距离的乘积等于常数的平方：PF1 * PF2 = a^2卡西尼卵形线的性质卡西尼卵形线具有以下几个重要性质：1.中点切线平行于传方向曲线：卡西尼卵形线的中点切线与焦线的夹角等于传方向曲线与焦线的夹角。
2.对角线交点处切线垂直于传方向曲线：卡西尼卵形线的对角线交点处的切线与传方向曲线垂直。
3.曲线外端点处切线过焦点：卡西尼卵形线的曲线外端点处的切线经过焦点，即焦点是曲线上所有切线的一个公共点。
卡西尼卵形线的二级结论二级结论一：焦点与极限在卡西尼卵形线上，焦点有以下重要性质：1.焦点是曲线的对称中心：任意取曲线上一点P和其对称点P’，则P和P’到焦点的距离之积相等。
2.焦点与曲线的对称轴上有垂直关系：曲线的对称轴与曲线上任意一点到焦点的距离的乘积为常数。
3.曲线上离焦点越远的点，其到焦点的距离趋近于曲线的半径：即当P到焦点的距离无限增大时，这个距离与曲线的半径趋于相等。
二级结论二：卡西尼卵形线与力学在力学领域中，卡西尼卵形线也有一些相关的二级结论：1.卡西尼卵形线的轨迹：如果一个质点被两个力限制在卡西尼卵形线上，那么该质点的轨迹将是卡西尼卵形线。
2.卡西尼卵形线的稳定性：在某些力学系统中，卡西尼卵形线是一个稳定的平衡位置，当质点偏离卡西尼卵形线时，力将会将其拉回。
3.卡西尼卵形线与天体运动的关系：天体的运动轨迹中存在一类特殊情况，即当天体被两个引力中心所限制时，其运动轨迹将形成卡西尼卵形线。
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距指的是两个不相交曲线之间的最小距离，其中一个曲线是一个卵形曲线，另一个曲线是两个相切的圆形。
这种测量学的应用场景很多，例如在工程中，设计人员需要确定不同零部件之间的最小间距以确保它们可以正确地互相配合，这就需要使用卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学。
另一个应用是在机器视觉技术中，卵形曲线两圆曲线间的最小间距可以作为图像特征来检测圆形物体之间的距离。
计算卵形曲线两圆曲线间的最小间距需要使用高等数学中的曲线和曲面的微积分知识，常用的方法是使用向量和点到曲线的距离公式来计算。
具体来说，可以先将卵形曲线和两个圆形拆分成多个小弧段，然后对每个弧段进行计算，最后取最小值作为两个曲线之间的最小间距。
卵形曲线缓和曲线参数
卵形曲线缓和曲线参数
卵形曲线的缓和曲线参数包括Ls1、Ly和Ls2。
其中，Ls1和Ls2是缓和曲线的长度，Ly是圆曲线的长度。
这些参数可以根据实际需求进行计算和调整，以适应不同的道路设计和行驶需求。
在计算这些参数时，需要考虑道路的曲线半径、设计速度、车辆的行驶特性等因素。
例如，根据缓和曲线的设置要求，Ls1和Ls2应满足一定的长度范围，以保证车辆在缓和曲线上的行驶平稳性和安全性。
同时，Ly的长度也需要根据圆曲线的半径和设计速度进行计算，以确保车辆在圆曲线上的行驶稳定性。
在实际应用中，可以使用专业的道路设计软件来计算这些参数，并根据计算结果进行道路设计和施工。
同时，还需要考虑道路的实际情况和交通流量等因素，对参数进行适当的调整和优化，以保证道路的安全、舒适和可靠性。
1。
卵形曲线计算方法
卵形曲线坐标计算方法一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。
三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
卵形曲线
[转]ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理2012-2-9 23:02阅读(0)转载自王中伟ROAD-2程序特殊应用04——卵形曲线的处理今天讨论的是有关ROAD-2程序特殊应用的最后一个主题了，就是卵形曲线的处理。
一、什么是卵形曲线什么是卵形曲线？这种曲线有何特别之处？在路线线型布置方面有什么优点？计算方面有什么不一样的地方？这一系列问题，有必要先弄清楚。
1．基本型曲线我们对比一下基本型曲线和卵形曲线的图形，先看基本型曲线：在描述基本型曲线的特点之前，我们先把一个概念描述清楚，就是：完整缓和曲线。
我们规定，凡是缓和曲线的一个端点的曲率为0（半径无穷大）的，不论长短，以及另一端曲率大小，都称为完整缓和曲线。
基本型曲线的特点是：它由三个曲线元素组成：第一缓和曲线+圆曲线+第二缓和曲线，用符号表达，就是：Ls1+Ly+Ls2，其中最关键的一点是关于缓和曲线的，不论是Ls1还是Ls2，都必须是完整缓和曲线，它连接直线和圆曲线，其中连接直线的那一端的曲率即为0。
基本型曲线是各种等级公路主线使用最多的线型，因此它的计算是最基本的要求。
凡是满足基本型曲线的定义的，其曲线要素、中桩坐标等均可使用同一套公式进行计算。
基本型曲线可以衍生出以下各种类型的曲线：（1）纯圆曲线：Ls1=Ls2=0（2）对称基本型曲线：Ls1=Ls2（3）凸形曲线：Ly=0（4）一侧带缓和曲线：Ls1=0，或者Ls2=0以上曲线的计算均可按基本型曲线公式计算。
也就是说，要使用基本型曲线公式计算，要么不带缓和曲线，如果要带，必须是完整缓和曲线。
两个基本型曲线直接相连的复曲线，均可按独立的两个基本型曲线进行计算，其中，两个同转向的基本型曲线直接连接的称为C型曲线，而两个相反转向的基本型曲线直接连接的称为S型曲线。
S型曲线在各种公路的平面线型中经常使用，而C型曲线则很少有使用的，究其原因，是因为其线型不好，仔细看一看吧，两曲率不相同的圆曲线之间缓和曲线的连接不合理。
笛卡尔卵形线 求参数
笛卡尔卵形线求参数笛卡尔卵形线（Cartesian oval）是一种在笛卡尔坐标系中的二维曲线，由法国数学家笛卡尔于17世纪提出。
它的数学表达式为：（x²/a²） + （y²/b²） = 1其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
笛卡尔卵形线是一种非常有特殊形状的曲线，它既有椭圆的特点，又有双曲线的特点。
从数学上来说，它是一个椭圆和一个双曲线的交点，因此也被称为交点曲线。
这种曲线在几何学和物理学中有着广泛的应用。
笛卡尔卵形线在几何学中有着重要的地位。
它的形状独特，可以用来描述一些特殊的几何问题。
例如，在光学中，当光线从一个焦点射入椭圆，经过反射后又汇聚到另一个焦点上，这个路径就可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在天文学中，行星的轨道和彗星的轨道也可以用笛卡尔卵形线来近似描述。
笛卡尔卵形线在物理学中也有着重要的应用。
例如，在电磁学中，当一个带电粒子在两个电荷之间运动时，其路径也可以用笛卡尔卵形线来描述。
另外，在力学中，当一个质点在一个中心力场中运动时，其轨迹也可以是笛卡尔卵形线。
这些应用都是基于笛卡尔卵形线的数学性质和几何形状的特点。
笛卡尔卵形线还在工程学和计算机图形学中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，通过控制椭圆的长轴和短轴的长度，我们可以绘制出各种各样的卵形线，从而实现复杂的图形效果。
另外，在工程学中，通过研究笛卡尔卵形线的性质，可以设计出一些具有特殊功能的曲线，用于解决一些实际问题。
笛卡尔卵形线是一种具有特殊形状和重要应用的曲线。
它在几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
通过研究笛卡尔卵形线的性质和应用，我们可以深入理解这个曲线的数学本质，同时也可以将它应用于解决实际问题。
希望通过本文的介绍，读者对笛卡尔卵形线有更加深入的了解。
卵形曲线计算(1)
2、卵形曲线计算本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。
卵形曲线设计计算如下：运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。
然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的“T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。
卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）图2.1 卵形曲线示意图[11]122112122212121212120.27001451.220.480.8,,,242422F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--=====2212122211221221212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700350367.737002135227.23135227.23193.18,93.187001451.2224F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-⨯⨯==-=≤=≤========反推：22222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22193.1893.1896.59,46.592222749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====⨯⨯==========--=-1749.01 2.210.003 2.217000.00310.03D R -=≤==≤综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。
公路路线设计中卵形曲线的运用张泽
公路路线设计中卵形曲线的运用张泽发布时间：2021-09-30T07:53:59.561Z 来源：《防护工程》2021年14期作者：张泽[导读] 卵形曲线是由一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。
其组成形式为直线—缓和曲线(A1)—圆曲线(R1)—缓和曲线—圆曲线(R2)—缓和曲线(A2)—直线的顺序组合构成的路线线形。
本文根据相关规范以及设计经验，经过计算论证对卵形曲线从设置条件、计算方法、交通安全性评价三方面对其运用探析，以期能在相关工作中提供参考。
张泽四川公路工程咨询监理有限公司四川成都 610000摘要：卵形曲线是由一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。
其组成形式为直线—缓和曲线(A1)—圆曲线(R1)—缓和曲线—圆曲线(R2)—缓和曲线(A2)—直线的顺序组合构成的路线线形。
本文根据相关规范以及设计经验，经过计算论证对卵形曲线从设置条件、计算方法、交通安全性评价三方面对其运用探析，以期能在相关工作中提供参考。
关键词：卵形曲线；回旋线；回旋线参数；卵形曲线计算；交通安全性评价0引言平面线形的三要素为直线、圆曲线和缓和曲线，在路线平面线形设计中通过灵活运用基本要素可组合成多种平面线形的组合形式。
主要有：基本型、S形、C形、卵形、凸形、回头曲线和复合型等。
设计中对于曲线的选择主要以基本型、S形为主，低等级道路设计中对于回头曲线的采用也较为常见，而C形、卵形、凸形、复合型曲线除了卵形在砸道设计中常见，一般仅在地形条件特殊困难，路线严格受限时采用。
对与各种曲线组合的使用在《公路路线设计规范》（JTG D20-2017）（以下称《规范》）中对其使用条件均作了相关规定。
卵形曲线的应用除匝道设计中使用外在低等级道路设计中因其较C形和凸形曲线安全性、驾驶体验较好。
通常在地形地貌、地质水文、建设规模受限时采用卵形曲线，因卵形曲线具有连续的曲率，能保持较好的线形协调性，受到了设计者的青睐，在道路设计中被越来越多的采用。
卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤
50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。
在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。
以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。
曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。
LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] -L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] -L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11]完整缓和曲线切线角（即两切线交角）p2=90L2÷(A2)L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。
卵形曲线规范条文适应性及应用分析
论文THESIS112 China Highway道路路线设计中，平面线形主要由直线、圆曲线和回旋线3种要素组成。
曲线形式的选用要根据曲线半径、地形及地物、技术规范要求等来选择。
一般曲线分为单曲线和复曲线两种。
单曲线是指设计一个半径的曲线。
根据技术规范要求及地形情况考虑是否设置回旋线。
复曲线为两个或两个以上圆曲线半径径相连接，包括同向复曲线和反向复曲线。
其中，同向复曲线分为卵形复曲线、凸形复曲线及C 形复曲线等几种形式。
路线设计中，卵形曲线在受地形、地物及其他条件限制时应用较为广泛。
卵形曲线卵形曲线是两同向圆曲线半径用回旋线径相衔接。
最基本的组合形式为回旋线—圆曲线—回旋线—圆曲线—回旋线。
常用的卵形曲线有双心和三心卵形曲线2种。
一个回旋线连接2个同向圆曲线的组合线形，叫双心卵形曲线。
在双心卵形曲线基础上，再用一个回旋线连接第三个同向圆曲线的组合线形，叫三心卵形曲线。
在实际应用当中要注意与C 形曲线的区别：与卵形曲线相比，C 形曲线也是2个同向不同半径的圆曲线相连接的一种形式，不同之处在于C 形曲线在两同向圆曲线回旋线曲率为零处径相衔接，等同于在两同向曲线之间设置的直线长度为零。
这种设置无论对线形还是行车舒适都有一定的影响，而卵形曲线是在不同半径的同向圆曲线之间，用1条回旋线A 相衔接，回旋线曲率半径是从半径R 1过渡到半径R 2。
卵形曲线两同向曲线间的衔接方式要比C 形曲线两同向曲线间的衔接方式要好，同时线形的整体性及行车舒适性都要比C 形曲线优，故C 形曲线仅限于地形条件特殊困难，路线严格受限时方可采用。
卵形曲线回旋线长度的计算《公路路线设计规范》（JTG D20—2006）9.2.4回旋线的运用第（4）条规定：①卵形曲线的回旋线参数宜选R 2/2≤A ≤R2 (R2为小圆曲线半径)。
②两曲线半径之比，以R 2/R 1=0.2～0.8卵形曲线规范条文适应性及应用分析文/中交第二航务工程勘察设计院有限公司 戴琪 曾庆桓为宜。
卵形线方程
卵形线方程
摘要：
1.卵形线方程的定义
2.卵形线的性质
3.卵形线在数学和物理学中的应用
4.卵形线的发展历程
5.我国在卵形线研究方面的贡献
正文：
卵形线方程是描述一种特殊曲线的数学方程，该曲线形状类似于鸟卵，因此得名卵形线。
在数学和物理学中，卵形线具有很多独特的性质和应用，如在波动理论、统计物理和天体物理学等领域都有重要的应用。
卵形线是三阶代数曲线，其方程一般可以写成：x^3 + y^3 + 3axy = 0。
通过改变参数a、x 和y 的值，可以得到不同形状的卵形线。
卵形线具有如下一些性质：首先，卵形线具有三个分支，每个分支都呈卵形；其次，卵形线的分支在x 轴和y 轴上都有渐近线；最后，卵形线具有一个对称中心，即原点。
卵形线的研究历程可以追溯到19 世纪。
当时，德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Carl Weierstrass）首次提出了卵形线的概念，并研究了其一些基本性质。
自那时以来，许多数学家和物理学家都对卵形线进行了深入研究，发现了它在波动理论、统计物理和天体物理学等领域的重要应用。
我国在卵形线研究方面也取得了一定的成果。
近年来，我国数学家和物理
学家在卵形线的理论研究和应用方面做出了很多贡献。
例如，我国学者在卵形线的稳定性、振动特性和拓扑结构等方面取得了一系列重要成果，为卵形线的研究发展做出了贡献。
总之，卵形线是一种具有独特性质和应用的曲线，其研究在数学和物理学等领域具有重要意义。
从魏尔斯特拉斯提出卵形线的概念，到现代学者在卵形线研究方面取得的一系列成果，卵形线的研究历程充满了挑战和发现。
卵形曲线计算方法
一．概述近年来随着我国公路建设的发展，全封闭、全立交的高等级公路已经成为我国公路网中的重要组成部分，组成立交的基本单元是匝道，匝道的平面线形组合相对比较复杂，计算烦琐，特别是卵形曲线的计算更加抽象难懂。
卵形曲线的计算方法主要有曲直法、解析法、拟合法、积木法、综合法、弦切法等。
由于其他方法理论抽象、计算烦琐。
因此一般工程放样中主要以弦切法为主。
本文重点介绍弦切法在立交匝道卵形曲线敷设计算中的应用。
二、弦切法的基本原理及计算思路对于路线平面线形而言，无论是绵延不断的公路，还是局部线形组合复杂的立交匝道，其基本构成单元不外是圆曲线、缓和曲线、直线。
一段圆曲线的终点，可以认为是其弦长（弧长所对应的）在相应方向上的延伸所构成的；一段缓和曲线的终点，也可以认为是由一方向和距离所构成的。
因此，在一段路线的起终点坐标和切线方位角固定的情况下，便能容易的求出坐标增量，方位增量的计算式，进而求得各曲线参数。
对于任何一种线形单元，只要知道起点坐标（X0，Y0）和切线方位角ɑ（可以假设为任意值），即可根据弦长S和相关参数确定其线形。
以下图2-1所示卵形曲线为例，若给定R1、R2和回旋曲线参数A，即、终可求得该缓和曲线长、交点坐标（XM，YM）、切线长T1、T2、偏角ɑJ点坐标（XZ，YZ）和终点切线方位角。
这样求得的终点坐标，曲率半径和切线方位角又可以作为下一线形单元起点的相应资料。
交点J的坐标：Xm=T1×COS（ɑ）+X0Ym=T1×SIN（ɑ）+Y0终点坐标：Xz=Xm+T2×COS（a+aj)Yz=Ym+T2×SIN(a+aj)根据卵形曲线的特点，可以计算出如下参数：L1=A2/R1，L2= A2/R2，L=L2-L1（R1>R2),或L=L1-L2 （R1<R2)根据回旋曲线上任意点的相对坐标计算公式：X=L S-L S5/40/A4+L S9/3456/A8，Y=L S3/6/A2-L S7/336/A6+L S11/42240/A10即可计算出卵形曲线起终点在相对坐标系中的坐标(X1,Y1) 和（X2，Y2）。
卡西尼卵形线二级结论
卡西尼卵形线二级结论卡西尼卵形线二级结论，指的是卡西尼卵形线上每一点处的切线与该点到两个焦点的连线垂直。
这个结论的发现和证明，对于理解卡西尼卵形线的性质和应用具有重要的意义。
我们可以通过几何推导来理解卡西尼卵形线二级结论。
假设卡西尼卵形线的方程为(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)，其中a为常数。
我们可以求得卡西尼卵形线上任一点处的切线方程为yy' = (x^2 - a^2)y - ax^2。
根据二级结论，切线与该点到两个焦点的连线垂直，即切线的斜率与该点到两个焦点连线的斜率的乘积为-1。
通过求解切线方程的斜率，我们可以得到该结论的表达式。
卡西尼卵形线二级结论也可以通过微积分的方法进行证明。
我们可以利用曲线的参数方程来推导卡西尼卵形线上任一点处的切线和该点到两个焦点连线的斜率之间的关系。
通过对参数方程进行求导，并考虑到卡西尼卵形线的特殊性质，我们可以得到该结论的证明。
卡西尼卵形线二级结论的应用非常广泛。
在物理学中，卡西尼卵形线的形状与天体的运动轨迹有关，通过研究卡西尼卵形线的性质，我们可以推导出天体的运动规律。
在工程学中，卡西尼卵形线的形状可以用于设计曲线形道路，提高交通的安全性和流畅性。
在数学的研究领域，卡西尼卵形线是一种非常有趣的曲线，通过研究其性质，可以拓展数学的深度和广度。
总结起来，卡西尼卵形线二级结论是对卡西尼卵形线性质的一个重要结论。
通过几何推导和微积分的方法，我们可以理解和证明该结论。
卡西尼卵形线二级结论的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学和数学等领域。
研究和应用卡西尼卵形线二级结论，对于推动科学的发展和应用的创新具有重要的意义。
卵形曲线的相关总结
目录一、定义 (1)二、卵形曲线的应用 (1)三、计算卵形曲线上点坐标的方法 (1)1、一般坐标计算 (1)辛甫生公式 (2)四、案例计算 (3)1、使用一半坐标计算方法 (3)2、使用辛甫生公式计算 (4)卵形曲线一、定义卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。
也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。
二、卵形曲线的应用西直门立交桥是北京市二环路西北的一座立交桥，位于北京市老城墙西北角，原北京内城西直门原址上。
从1994年开始，北京市政工程设计研究院用了整整4年的时间，做出了新立交桥的设计。
1999年，投资2个亿的崭新的西直门立交桥拔地而起……仅仅过了两年，这里成了北京最堵车的地方之一。
三、计算卵形曲线上点坐标的方法1、一般坐标计算首先补全缓和曲线。
在缓和曲线中R1L1= R2(L1+L2) ,使用此公式求的所补缓和曲线的长度。
利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线与x轴夹角β，而δ=1β/3。
α1为YH 点的切线方位角，则ox 的方位角α＝α1- β。
o-YH 的坐标方位角α =α+δ+180°。
使用缓和曲线的参数方程求得YH 点在自定义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH 的距离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x 0 ，y 0 ）。
缓和段上任一点可利用缓和曲线参数方程计算出在自定义坐标系下的坐标，再利用坐标转换求得各点在施工坐标系下的坐标。
缓和曲线参数方程：坐标转换公式：辛甫生公式[]i A Ai A i n DK DK x x αααααcos cos cos 4cos 2cos 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=[]i A Ai A i n DK DK y y αααααsin sin sin 4sin 2sin 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=ZHZHy y x Y x y x X +∆+∆-=+∆+∆=ααααcos sin sin cos 旧旧新旧旧新四、案例计算1、使用一半坐标计算方法AB 段以A （ZH ）点为原点切线方向为X 轴，垂直于切线方向为Y 轴，使用缓和曲线参BC 段与AB 段在同一个自定义坐标系中，使用公式CD 段缓和曲线是不全的缓和曲线，需要将其补全后再使用缓和曲线参数方程计算。
卡西尼卵形线面积最大值
卡西尼卵形线面积最大值卡西尼卵形线，这个名字听起来就像是从某个科幻电影里走出来的角色。
它可是数学界的小明星！说起卡西尼卵形线，不得不提的就是它的那种优雅和神秘，仿佛在讲述着宇宙的秘密。
简单来说，卡西尼卵形线是一种特殊的曲线，它的魅力在于它的面积最大值。
在几何学中，很多时候我们都想知道，怎么才能让某个形状变得更大，卡西尼卵形线就是一个很好的例子。
想象一下，像个小孩子一样，抓着一只气球，气球越大，越让人开心，不是吗？所以，面积的最大化就像是那只胖乎乎的气球，充满了无限可能。
咱们先来聊聊卡西尼卵形线的构成。
它其实是由两个焦点决定的，听起来是不是有点复杂？别担心，简单来说，就是你想象两个小点，然后围绕着这两个点形成的那条曲线。
这条曲线的形状就像是一个微微扭动的橄榄，既有个性，又不失温柔。
这条线可以用一个方程来表示，虽然方程看起来有些吓人，但它其实是在告诉我们，如何找到那最完美的形状，让面积达到最大值。
这就像是在寻找一块完美的蛋糕，大家都想要那一大块，谁不想尝尝呢？在这个过程中，我们不得不提到一个很有趣的概念，就是极值。
这就是数学中的一种“竞争”，谁能更大，谁就赢。
就像在比赛中，选手们为了夺冠而拼尽全力。
在卡西尼卵形线的世界里，我们可以通过调整焦点之间的距离，来影响面积的大小。
焦点离得越近，曲线就越“胖”，面积也就越大；反之，焦点远了，曲线就瘦了，面积也缩水了。
就像你跟朋友一起吃饭，点了很多菜，大家一起分享，那种感觉简直太美妙了。
探索卡西尼卵形线的最大面积，不只是单纯的数学问题。
这就像人生中的许多事情，追求最大化的过程中，我们会发现许多小乐趣。
就在那一个小细节里，就能找到让人会心一笑的瞬间。
比如，在学习的过程中，我们可能会碰到很多困难，就像在攀登一座高山，可能会跌倒、会气馁。
但只要坚持，最终站在山顶的那一刻，俯瞰风景，那种成就感真的是无与伦比的。
说到这里，大家可能会好奇，这个卡西尼卵形线在实际生活中有什么用呢？虽然它在数学上看起来是个抽象的概念，但它的应用可广泛得很！在物理学、天文学，甚至工程设计中，都能见到它的身影。
卡西尼卵形线二级结论
卡西尼卵形线二级结论卡西尼卵形线是一种在数学和物理领域中非常重要的曲线，它由法国天文学家吉安·达米安·德·卡西尼于1673年首次发现。
这条曲线是由两个焦点之间的点所绘制的曲线，其中两个焦点之间的距离等于该曲线的长轴长度。
卡西尼卵形线在天文学、物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛应用。
一、卡西尼卵形线的定义和性质1. 定义：卡西尼卵形线是由两个焦点A和B之间距离为2a的所有点P构成的曲线，其中a是长轴长度。
2. 性质：（1）对于任意一条经过A、B两点的直线l，其与曲线交点P满足PA×PB=2a²。
（2）当l通过A、B两点时，交点P位于中垂线上；当l与长轴平行时，交点P位于短轴上。
（3）该曲线对称于长轴和短轴，并且具有四分之一旋转对称性。
（4）当a=b时，该曲线变成一个圆。
二、卡西尼卵形线的历史和应用1. 历史：卡西尼卵形线是由法国天文学家吉安·达米安·德·卡西尼于1673年首次发现的。
他使用望远镜观察土星的环，发现环上的某些部分呈现出奇特的形状，后来经过计算，他发现这些形状正是由卡西尼卵形线所描述的。
2. 应用：（1）天文学：在天文学中，卡西尼卵形线被用来描述行星和恒星之间的引力场。
（2）物理学：在物理学中，卡西尼卵形线被用来描述电子云和原子核之间的相互作用力。
（3）工程学：在工程学中，卡西尼卵形线被用来设计一些特殊的机械结构。
（4）计算机图形学：在计算机图形学中，卡西尼卵形线被用来绘制一些复杂的图案和曲线。
三、卡西尼卵形线与其他曲线的关系1. 椭圆和双曲线：当焦点A、B重合时，该曲线变成一个椭圆；当焦点A、B无限远时，该曲线变成一个双曲线。
2. 柯西曲线和阿斯滕曲线：柯西曲线是由两个复数之间距离为常数的所有点构成的曲线，与卡西尼卵形线密切相关；阿斯滕曲线则是由两个点P、Q之间距离差为常数的所有点构成的曲线，也与卡西尼卵形线密切相关。
卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质
卡西尼卵形线的标准方程及简单几何性质我们知道，平面内到定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做椭圆；平面内到定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于|F 1F 2|）的动点的轨迹叫做双曲线.一个自然的问题平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹又是什么呢？一、卡西尼卵形线及其标准方程一般地，我们把平面内与两个定点F 1,F 2的距离之积等于常数（大于0）的点的轨迹叫做卡西尼卵形线（它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的）.这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点，两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距.43216543216543214321OxyF 1F 2取过两焦点F 1,F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy ,设M (x ,y )是卡西尼卵形线上任意一点，卡西尼卵形线的焦距为2c (c >0),那么，焦点F 1,F 2的坐标分别为(-c ,0),(c ,0),又设|MF 1|∙|MF 2|=a 2（a 为大于0的常数）.由卡西尼卵形线的定义，卡西尼卵形线就是下列点的集合：P ={M ||MF 1|∙|MF 2|=a 2,a >0},因为|MF 1|=(x +c )2+y 2,|MF 2|=(x -c )2+y 2,所以(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,两边平方，化简[(x +c )2+y 2]∙[(x -c )2+y 2]=a 4,(x +c )2(x -c )2+y 2[(x +c )2+(x -c )2]+y 4=a 4,(x 2-c 2)2+y 2(2x 2+2c 2)+y 4=a 4,x 4+y 4+2x 2y 2-2c 2x 2+2c 2y 2=a 4-c 4,(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,①我们称方程①为卡西尼卵形线的标准方程，它表示焦点在x 轴上，两个焦点分别是F 1(-c ,0),F 2(c ,0)的卡西尼卵形线.如果焦点F 1,F 2在y 轴上，且F 1,F 2的坐标分别为F 1(0,-c ),F 2(0,c ),那么卡西尼卵形线的方程为(x 2+y 2)2-2c 2(y 2-x 2)=a 4-c 4.这个方程也是卡西尼卵形线的标准方程.二、卡西尼卵形线的简单几何性质下面用卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4来研究卡西尼卵形线的几何性质.1.范围将方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4化为关于y2的一元二次方程得y4+2(x2+c2)y2+(x2-c2)2-a4=0,舍去负根，解得y2=4c2x2+a4-x2-c2,若y有意义，则4c2x2+a4-x2-c2≥0,化简得(x2-c2)2≤a4,解得c2-a2≤x2≤c2+a2.或者，因为a4=[(x+c)2+y2]∙[(x-c)2+y2]≥(x+c)2(x-c)2=(x2-c2),（当且仅当y=0时等号成立），所以-a2≤x2-c2≤a2,即c2-a2≤x2≤c2+a2.（1）当a≥c时，有c2-a2≤0,故0≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,c2+a2];当a<c时，有c2-a2>0,故c2-a2≤x2≤c2+a2,即x∈[-c2+a2,-c2-a2]∪[c2-a2, c2+a2].（2）由方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4得y2=4c2x2+a4-x2-c2,令t=4c2x2+a4,(t≥a2),则x2=t2-a4 4c2,所以y2=t-t2-a44c2-c2=-t2c-c2+a44c2≤a44c2,当且仅当t=2c2,即x2=4c4-a44c2时等号成立.由于x2≥0,须有4c4-a4≥0,即0<a≤2c,此时|y|max=a2 2c;当a>2c时，t>2c2,即t2c>c,不难看出此时若要使y2取得最大值，则要让t的值尽可能地小，又由t≥a2可知y2≤-a22c-c2+a44c2=a2-c2,当且仅当t=a2,即x=0时等号成立，此时|y|max=a2-c2.2.对称性在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，以-y代y,方程不变，这说明当点P(x, y)在卡西尼卵形线上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于x轴对称.同理，以-x代x,方程也不变，这说明如果点P(x,y)在卡西尼卵形线上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于y轴对称.以-x代x,-y代y,方程也不变，这说明当点P(x,y)在卡西尼卵形线上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在卡西尼卵形线上，所以卡西尼卵形线关于原点对称.综上，卡西尼卵形线关于x轴，y轴是对称的，这时，坐标轴是卡西尼卵形线的对称轴，原点是卡西尼卵形线的对称中心，卡西尼卵形线的对称中心叫做卡西尼卵形线的中心.3.顶点在卡西尼卵形线方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中，令x=0,得y2=a2-c2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与y轴有两个交点(0,a2-c2),(0,-a2-c2),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有一个交点(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴没有交点.令y=0,得x2=c2±a2,当a>c>0时，卡西尼卵形线与x轴有两个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),当a=c时，卡西尼卵形线与y轴有三个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(0,0),当0<a<c时，卡西尼卵形线与y轴有四个交点(c2+a2,0),(-c2+a2,0),(c2-a2,0),(-c2-a2,0),这些交点叫做卡西尼卵形线的顶点.4.离心率类比圆锥曲线，我们将ca称为卡西尼卵形线的离心率，用e表示，即e=ca.随着e的变化，卡西尼卵形线共呈五种形态，参见下表e的值曲线形态(0,22)4321432154321321O xyF1F2a=4,c=22 221321432121O xya=22,c=2F1F2(22,1)13213211O xya=2,c=2.2F1F2113213211O xya=2,c=2F1F2(1,+∞)13213211Oxya =1.9,c =2当e ∈(0,22)时，曲线是中部凸出的封闭曲线.当e =22时，轨迹是中部扁平的封闭曲线；当e ∈(22,1)时，轨迹是中部凹进的封闭曲线（呈“花生”形状）；当e =1时，轨迹是伯努利双纽线（呈“∞”形状）；当e >1时，轨迹是两支封闭曲线，其形状像两个鸡卵，这也是卵形线名字的由来.观察五种形态的曲线可以发现：当c 一定时，令a 由一个趋于0的正数连续变化至趋于无穷大，对应卡西尼卵形线会从“两个极小的鸡卵”逐渐变大至有一个公共点的闭合曲线（伯努利双纽线），接着，随着a 持续变大使“两枚鸡卵”的“卵壳”逐渐相互融合（呈花生形状），再继续变大成为一个大型的“鸡卵”.例1（2024年8月广东八校高三联合检测11）到两个定点的距离为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1(-c ,0)和F 2(c ,0)且c >0,动点M 满足|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ,则下列描述正确的是A.曲线C 的方程是(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于12a 2【答案】ABD【解析】设M (x ,y ),则由|MF 1|∙|MF 2|=a 2(a >0),得(x +c )2+y 2∙(x -c )2+y 2=a 2,化简得(x 2+y 2)2-2c 2(x 2-y 2)=a 4-c 4,A 正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程均不变，说明曲线C 关于坐标轴对称，B 正确；令曲线C 的方程中的y =0得x 2=c 2±a 2,当c =a 时，x =0或x =2c ;当c <a 时，x =±c 2+a 2;当c >a 时，x =±c 2±a 2,C 不正确；S △MF 1F 2=12|MF 1|∙|MF 2|sin ∠F 1MF 2≤12|MF 1|∙|MF 2|=a 22,D 正确.故答案选ABD.例2（2011年北京卷理科14）曲线C 是平面内与两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是.【答案】②③【解析】设P (x ,y )是曲线C 上的任意一点，则由题意得(x +1)2+y 2∙(x -1)2+y 2=a 2(a >1),将原点(0,0)代入得a 2=1,即a =±1,与a >1矛盾，故①不正确；以-x 代x ,-y 代y ,方程不变，这说明当点P (x ,y )在曲线C 上时，它关于原点的对称点P '(-x ,-y )也在曲线C 上，所以曲线C 关于坐标原点对称，②正确；S △F 1PF 2=12|PF 1|∙|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1|∙|PF 2|=a 22,③正确.例3(2023年广州一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，M (-2,0)，N (2,0)，动点P 满足|PM |⋅|PN |=5，则下列结论正确的是( )A.点P 的横坐标的取值范围是-5,5B.OP 的取值范围是1,3C.△PMN 面积的最大值为52D.PM +PN 的取值范围是25,5 【答案】BC【解析】设点P (x ,y )，则依题意得[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，对于A ，25=[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]≥(x +2)2(x -2)2=(x 2-4)2，当且仅当y =0时取等号，解不等式(x 2-4)2≤25得-3≤x ≤3，即点P 的横坐标的取值范围是[-3,3]，A 错误；对于B ，[(x 2+y 2+4)+4x ][(x 2+y 2+4)-4x ]=25，则x 2+y 2+4=25+16x 2，显然0≤x 2≤9，因此|OP |=x 2+y 2=25+16x 2-4∈[1,3]，B 正确；对于C ，方法一，由[(x +2)2+y 2][(x -2)2+y 2]=25，得y 4+2(x 2+4)y 2+(x 2-4)2-25=0,解得y 2=16x 2+25-x 2-4,令t =16x 2+25(t ≥5),则x 2=t 2-2516,所以y 2=t -t 2-2516-4=-t 4-2)2+2516 ≤2516,当且仅当t =8,即x =±394时等号成立，此时|y |max =54,所以S △PMN =12|MN |∙y P ≤12×4×54=52,C 正确；方法二，S △PMN =12|PM ||PN |sin ∠MPN ≤12|PM ||PN |=52，当且仅当∠MPN =90°时取等号，当∠MPN =90°时，点P 在以线段MN 为直径的圆x 2+y 2=4上，由x 2+y 2=4x 2+y 2+4=25+16x 2 解得x =±394y =±54，所以△PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，PM +PN =5+1=6，D 错误.故选BC .例4(2022年山东济南一模12)平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，M -2,0 ，N 2,0 ，动点P 满足PM ⋅PN =5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C .则下列结论正确的是( )A.曲线C 与y 轴的交点为0,-1 ，0,1B.曲线C 关于x 轴对称C.△PMN 面积的最大值为2D.OP 的取值范围是1,3【答案】ABD【详解】设点P(x,y)，依题意得[(x+2)2+y2][(x-2)2+y2]=25，整理得x2+y2=16x2+25-4，对于A，当x=0时，解得y=±1，即曲线C与y轴的交点为0,-1，0,1，A正确；对于B，因x2+(-y)2=x2+y2=16x2+25-4，由-y换y方程不变，曲线C关于x轴对称，B 正确；对于C，当x2=32时，y2=32，即点P62,62在曲线C上，S△PMN=12|MN|×62=6，C不正确；对于D，由y2=16x2+25-4-x2≥0得：x4-8x2-9≤0，解得0≤x2≤9，于是得|OP|2=x2+y2=16x2+25-4∈[1,9]，解得1≤OP≤3，D正确.故答案选ABD.例5（漯河市2023-2024学年高二下学期期末质量监测11）我们在解析几何学习过程中知道椭圆、双曲线定义分别是到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.已知两定点F1(-2,0),F2(2,0),动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,设P的轨迹为曲线C,则下列命题正确的是A.曲线C过原点B.P的横坐标最大值是22C.P的纵坐标最大值是32D.y02≤2ln(x02+1)【答案】ABD【解析】因为动点P(x0,y0)满足|PF1|∙|PF2|=4,所以(x0+2)2+y02∙(x0-2)2+y02=4,即[(x02 +y02+4)+4x0]∙[(x02+y02+4)-4x0]=16,即x02+y02+4=4x02+1,即y02=-x02+4x02+1-4,对于A项，当x0=0时，y0=0,所以曲线C过原点，A正确；对于B项，由-x02+4x02+1-4≥0得x02+4≤4x02+1,两边平方，化简得x04≤8x02,解得-22≤x0≤22,所以P的横坐标最大值是22,B项正确；对于C项，因为y02=-(x02+1-4x02+1+4)+1=-x02+1-22+1≤1,当且仅当x0=±3时等号成立，所以P的横坐标最大值是1,C项不正确；对于D项，若y02≤2ln(x02+1),即-x02+4x02+1-4≤2ln(x02+1),令t=x02+1,t∈[1,3],则-t2+4t-3≤2lnt2,即t2-4t+4lnt+3≥0,设f(t)=t2-4t+4lnt+3,t∈[1,3],则f'(t)=2t-4+4t≥22t∙4t-4=42-4,（当且仅当t=2时等号成立），所以f'(t)>0在[1,3]上恒成立，所以f(t)在[1,3]上单调递增，所以f(t)≥f(1)=0,即t2-4t+4lnt+3≥0成立，D项成立.故答案选ABD.。
卵形曲线设计运用
卵形曲线设计运用摘要：近年来，伴随我国城市化进程的快速发展，我国的城市基础设施建设工程的数量和规模也有了明显增加，其中，道路工程作为区域间经济文化交流的纽带，其建设质量更是得到了社会各界的广泛关注。
文章对卵形曲线设计运用进行了研究分析，以供参考。
关键词：卵形；曲线设计；运用1前言现如今，社会飞速发展，人们的出行需求也在不断增加。
大量车辆在道路上造成道路交通拥堵，造成一系列交通问题，影响道路交通安全。
此外，大型城镇不断扩张，中小城镇快速发展，城市的结构和规模发生了巨大的变化。
因此，研究城市道路交通分析和交通工程设计显得尤为重要。
2卵形曲线从结构上来看，卵形曲线是由一段回旋线将两段圆曲线组合在一起的一种曲线形式。
该曲线主要用于无法在相同方向的网曲线中插入直线的情况。
事实上，卵形曲线的设计原型是基本型单曲线，且基本型但曲线的应用范围要比卵形曲线更加广阔。
这主要是因为卵形曲线极易受到地形、路面设置和其他特殊条件的限制。
此外，C形曲线也是以单曲线为原型发展出来的一种曲线形式，其具体表现形式为由两段圆曲线在曲率为零处相连接。
由于C形曲线线路会给车辆的正常行驶造成影响，因此应用范围也较为狭窄，尽在部门特殊路段使用。
与C形曲线相比，卵形曲线的过渡方式更加优良，为汽车的行驶提供了更多的便利，因此在选择使用卵形曲线或者是C形曲线时，多以卵形曲线为主。
在设计卵形曲线时，为了发挥卵形曲线的优势应该将卵形曲线的回旋线参数设置在规定之上，连接两侧的圆曲线半径比例不应超过五倍，网曲线之间的距离应控制在极小的界限范围之内。
从卵形曲线的类型来看，通常将一道回旋线连接两道网曲线的组合形式规定为基本形式，在此基础上添加其他圆曲线，则依次被成为卵形曲线、四心卵形曲线等。
3卵形曲线采用的相关规定在公路勘测设计工作进行的过程中，之所以需要使用到卵形曲线，是为了可以让两个同向圆曲线直线插入长度不充足这个问题得到有效地解决，应用缓和曲线将两个同向圆曲线相互连接在一起，为了规避处于中间位置上的缓和曲线长度过大，或者曲率变化速度过快，一般情况下 R2/R1=0.2 ～ 0.8；缓和曲线各项参数的取值范围一般情况下是 0.5R2. 为宜，这是为了使连接两个同向圆曲线的回旋线曲率的变化不致过于急促；两圆曲线的间距 D 取值为 0.003 R2 ～ 0.03 R2 为宜。
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线轨迹方程
卡西尼卵形线，又称为卡西尼曲线，是由法国数学家卡西尼于1745年发现的一种具有特殊几何形状的曲线。
这条曲线的轨迹方程是一个著名的数学问题，它可以用来描述两个定点之间的运动规律，具有许多有趣的数学性质。
在数学上，卡西尼卵形线的轨迹方程可以用参数方程表示。
设两个定点为A和B，它们分别位于原点的左右侧，且到原点的距离为a。
如果点P在卡西尼卵形线上运动，且点P到点A和点B的距离之积等于常数k的平方，那么点P的轨迹就是卡西尼卵形线。
卡西尼卵形线的数学性质非常有趣。
首先，卡西尼卵形线是一个对称图形，关于原点对称。
其次，当常数k等于零时，卡西尼卵形线就是一个普通的圆。
当k增大时，卡西尼卵形线的形状会发生变化，变得更加扁平，直到最终变成一个双点曲线。
除了数学性质之外，卡西尼卵形线还有许多实际应用。
在天文学中，卡西尼曲线被用来描述行星围绕太阳的轨道。
在工程学领域，卡西尼卵形线被应用于光学器件的设计和分析。
在生物学中，卡西尼卵形线被用来研究生物体的运动规律。
总的来说，卡西尼卵形线是一个非常有趣并且具有重要意义的数学问题。
通过研究卡西尼卵形线的轨迹方程，我们可以更好地理解数学中的几何形状和运动规律，同时也可以将其应用于各个领域，为
人类的发展和进步做出贡献。
希望未来能有更多的数学家和科研工作者投入到卡西尼卵形线的研究中，探索出更多有趣的数学性质和实际应用，让数学这门学科发挥更大的作用。
纬地卵形曲线的绘制方法
浅谈卵形曲线绘制在山地等特殊地形施工，路线经常会出现卵形曲线等复杂线形，这里对卵形曲线在纬地上的一个绘制方法做简单基本介绍，其实在纬地使用手册上有此类介绍，重点就是根据实交点作出两个虚交点，从而把一条复杂曲线转换成两条简单曲线（缓和曲线+圆曲线，缓和曲线+圆曲线+缓和曲线），主要就是要知道两条圆曲线间的缓和曲线的起点方位角和坐标，在实际施工中，一般在曲线要素表上都有这些数据。
下面简单介绍一下步骤：首先，复核各段曲线的转角之和与主线转角是否吻合，例如：设第一缓和曲线长设计为Ls1，第一圆曲线长为Lh1，半径为R1，第二缓和曲线长设计为Ls2，第二圆曲线长为Lh2，半径为R2，第三缓和曲线长设计为Ls3.总转角位α：缓和曲线1：转角α1= Ls1*R1/（2*R1^2）圆曲线1：转角α2= Lh1/R1缓和曲线2：转角α3=[Ls2*(R1*R2)/(R2-R1)](1/2/R1^2- 1/2/R2^2)圆曲线2：转角α4= Lh2/R2缓和曲线3：转角α5= Ls3*R2/（2*R2^2）若α与α1+α2+α3 +α4 +α5在小数点后5位都吻合则可使用，在复核完角度之后，可求出切线长：具体步骤如下：求出圆曲线1终点的相对坐标：X=Ls1/2-Ls1^3/(240*R1^2)+R*sin(α1+α2)Y=Ls1^2/(24*R1)+R*(1-cos(α1+α2))切线长：T1=X-Y/tan(α1+α2)得出T1即可根据ZH点找出虚交1，再根据圆曲线1终点转角找出虚交2，从而得到2个交点。
最后就根据两个虚交坐所求的两段曲线，第一段为缓和曲线+圆曲线，由于纬地中接圆曲线的需有两条缓和曲线，可将第二条缓和曲线长度设为0，故此段曲线数据为：第一段缓和曲线长Ls1，半径由∞~R1；圆曲线半径为R1，长为Lh1；第二段缓和曲线长为0。
第二段曲线为缓和曲线+圆曲线+缓和曲线，故此段曲线数据为：第一段缓和曲线长Ls2，半径由R1~R2；圆曲线半径为R2，长度为Lh2；第二段缓和曲线长为Ls3，半径由R2~∞。
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第二曲线内移值， 且： &#、 & ! 分别为卵型曲线第一、 (" ) ( )! ! &# " ! !&’ ##! %" " %! - %# （! " #， !）
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曲线称为缓和曲线。公路平面线形设计中采用的缓 和曲线是回旋线。 如图 （*） 所示， 回旋线上任意一点 # 的曲率为： %! !$ & # 点处的切线角" 为： &! *F)’ " $ ! %! ・ ! （!） （*）
式中： 且 & 为 # 点至 () 点的弧长；% 为回旋参数， ! % G "&* ； " 为圆曲线半径； &* 为回旋曲线长。
式中：!## 为卵型曲线的第一切线长； !!! 为卵型曲 （ *+ ） 为 线的第二切线长； ’ ! 分别为以原公切点 ’#、 界的前、 后曲线段长； ’ " 为中间回旋曲线长； %# 、 %! 分别为卵型曲线第一、 第二切线增长值； 且： %# " (! )
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公路卵型曲线坐标测设一体化方法的研究
［摘要］ 给出了卵型曲线上任意一点的坐标计算方法， 并将这些坐标纳入到公路平面控制网的统一坐 标系统中， 因此， 可以直接利用公路平面控制网点， 借助于全站仪测设， 实现了卵型曲线测设的一体化， 这样将会大大的提高工作效率。
在高等级公路的平面设计中， 采用的形式可以 是多种多样的 ， 但归根结底是由直线、 园曲线、 缓和 曲线组合而成的， 如基本型、 卵型等。为 C 型、 7 型、 了满足汽车运行顺适性的要求及消除路线转向时的 曲率突变， 在路线转向时要加测曲线。特别像卵型 曲线， 若利用传统的测设方法， 会使路线的测设较为 复杂， 增加外业工作难度。但随着全站仪在公路行 业的广泛应用， 可以利用全站仪实现卵型曲线测设 一体化， 简化外业的测设工作。要实现全站仪公路 测设一体化， 将卵型曲线的逐桩坐标纳入到公路平 面控制网坐标系统将成为关键。本文导出了卵型曲 线的逐桩坐标纳入到公路平面控制网坐标系统的坐 标计算公式， 为卵型曲线测设的一体化提供了条件。
[ ] （/）
" 卵型曲线任意点在 /01 坐标系中 的坐标
卵型曲线是指由 “直线 ( 缓和曲线 （ 2# ）- 圆曲 线 （ # #）- 缓和曲线 （ 2 ）- 圆曲线 （ #! ）- 缓和曲线
右偏时 ? " # 。 当路线为左偏时 ? " - #， （!）43 5 41! 段上各点在 /01 坐标系中的坐 标。如图 （"） 所示，43 5 41! 段各点在 /! 431! 坐 标系中的坐标也可分成两段计算， 即： 若设该曲线段上任意一点到 43 点 43 5 14! ： 的弧长为 ( ， 将该弧长值代入 （"） 即可得该曲线段上
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回旋曲线上任意一点的坐标
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第&期
初东： 公路卵型曲线坐标测设一体化方法的研究
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所在的坐标系。 各 67 （ 8 ） 间的坐标方位角及距离可 以由坐标反算公式求出。 即对 67 已知距离 （ 8 ） 而言，
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算例
广东某高速公路一段卵型曲线设计数据的特征
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点号 交点 （ 34! ）,3 里程桩号
部分设计数据
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测设
通过以上各步的计算， 我们已经确定出了卵型
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卵型曲线坐标关系图
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部分点在地方坐标系坐标
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曲线上各细部点在 $(’ 坐标系 （即公路平面控制网 坐标系统） 中的坐标， 此时只要到野外找到任意两个 相互间通视， 且在该卵型曲线附近的公路平面控制 点， 即可对该卵型曲线进行测设， 实现卵型曲线测设 一体化。
当路线为左偏时 - * . &， 右偏时 - * & 。 （)）’%& ) %’! 段上各点在 $(’ 坐标系中的坐 标。 该曲线段上任意点坐标的计算是卵型曲线上各 点坐标计算的关键。该问题如果得到解决， 用全站 仪进行卵型曲线测设一体化将能较好的实现， 这将 会大大的减低外业测设的工作量及难度。 如图 （)） 所示，对联接两圆 曲线 / & 、 /& 的缓和 曲线段，若设 / & 0 /! ， 则该缓和曲线的起点，即曲 率半径为 * 的点一定在靠近半径为 /& 的圆曲线一 端，设该点为 ( ) ，以 () 为坐标原点，曲线的切线
方向为 $ ) 轴，与之垂直且指向曲线内侧的方向为 和曲 线 长 度 15 0 &/" 4 /, 2，两 相 接 圆 曲 线 半 径 ’ ) 轴，建立 $) () ’) 的独立坐标系，在该坐标系中， 见图 .。 因为： 由上述方法的原理编程可计算该卵型曲线逐桩 ( ) ’%& 弧长： 1 & * ,! 2 /& () %’! 弧长： 1 ! * ,! 2 /! 把 () ’%& 、 （)）即可算 () %’! 的弧长代入公式 得 ’% & 、 %’! 在 $) () ’) 坐标系中的坐标。 由 ’%& 、 %’! 在 $) () ’) 及 $(’ 坐标系中的坐 标，按公式 （+） 可以计算出这两个坐标系的转换参 数 $,、 （ $,、 为 () 在 $(’ 坐标系中的坐 ’, 、 ’,） !。 标， 为 与 ! $(’ $) () ’) 坐标系间的旋转参数。 $’%& $, #$% ! %’( ! !’%& + * （+） ’, %’( ! #$% ! #’%& ’’%& 坐标， 见表 !。