高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题三 40分附加题大突破与抢分秘诀》第34题
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选考前小题狂练
小题狂练(四)1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{2,3,4}，则M ∩N ＝________.2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．3．为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为________．4．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝45°，则b ＝________.5．若过正三角形ABC 的顶点A 任作一条直线l ，则l 与线段BC 相交的概率为________．6．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2)，且当n ＝1时其图象过点(2,8)，则a 7的值为________．7．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ≤π2的部分图象如图，则φ的值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．9．如图是一个算法的流程图，则最后输出的S ＝________.10．设l是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是________．①如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β②如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β③如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ④如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l与α，β所成的角互余11．已知函数f(x)＝x33＋ax22＋2bx＋c在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，则z＝(a＋3)2＋b2的取值范围为________．12．平面向量a，b满足|a＋2b|＝5，且a＋2b平行于直线y＝2x＋1，若b＝(2，－1)，则a＝________.13．(2012·南师大附中阶段测试)已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是________．14．定义在实数集上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且f(x)在[－3，－2]上单调递减，又α，β是锐角三角形的两内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是________．参考答案小题狂练(四)1．解析M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}．答案M∩N＝{2,3}2．解析由(z－2)i＝1＋i，得z＝1＋ii＋2＝3－i，所以|z|＝10.答案 103．解析 平均数x ＝14＋17＋18＋18＋20＋216＝18， 故方差s 2＝16(42＋12＋02＋02＋22＋32)＝5.答案 54．解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴b ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.答案 4 65．解析 ∠BAC ＝60°，故所求的概率60°360°＝16.答案 166．解析 因为y ＝a n x 2在x ＝1处的切线斜率为2a n ，所以2a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，即a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，又8＝4a 1⇒a 1＝2，所以a 7＝a 1＋6×12＝5.答案 57．解析 由三角函数图象可得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π＝2πω，解得ω＝2.由函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，且0＜φ≤π2，所以φ＝π3.答案 π38．解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.答案 2 3 9．解析 这是一个典型的当型循环结构，当n ＝1,3,5,7,9,11时满足条件，执行下面的语句，S ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当n ＝13时不满足条件，退出循环，执行输出S ＝36.答案 3610．解析 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于β，即命题①正确；如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β，即命题②正确；如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ，即命题③正确；如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确．答案 ④11．解析 因为函数f (x )在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内取极小值，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＞0，f ′(1)＜0，f ′(2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＜0，1＋a ＋2b ＜0，a ＋b ＋2＞0，对应可行域如图，目标函数z ＝(a ＋3)2＋b 2的几何意义是可行域上的点(a ，b )到定点P (－3,0)的距离的平方，点P 到边界a ＋b ＋2＝0的距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，到点(－1,0)的距离的平方为4，因为可行域不含边界，所以z 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 12．解析 因为a ＋2b 平行于直线y ＝2x ＋1，所以可设a ＋2b ＝(m,2m )，所以|a＋2b |2＝5 m 2＝5，解得m ＝1或－1，a ＋2b ＝(1,2)或(－1，－2)，所以a ＝(1,2)－(4－2)＝(－3,4)或(－1，－2)－(4，－2)＝(－5，0)．答案 (－3,4)或(－5,0)13．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．答案 (－1,1)14．解析 因为f (x ＋2)＝f (x )⇒f (x )的周期为2，所以f (x )，x ∈[－1,0]的单调性与[－3，－2]一致，单调递减，又f (x )是偶函数，所以在[0,1]上单调递增．又α，β是锐角三角形的两个内角，所以π2＜α＋β＜π⇒0＜π2－β＜α＜π2⇒1＞sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β＞0⇒f (sin α)＞f (cos β)． 答案 f (sin α)＞f (cos β)。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选洞察高考热点32题《15页PPT
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高中新课程数学(苏教)二轮复习精选 洞察高考热点32题《
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选 25个必考问题 《必考问题17 数学思想在解题中的应用(一)》(含解析)
必考问题17 数学思想在解题中的使用(一)【真题体验】1．(2012·江苏卷改编)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象和函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________．分析 在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝|lg x |的图象如图，由图象可知，两个函数的图象的交点共有10个．答案 102．(2012·江苏改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ，x ≤0，2，x ＞0，则方程f (x )＝x 解的个数是________． 分析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知，函数f (x )和y ＝x 的图象的交点个数是3，即方程f (x )＝x 的解的个数为3.答案 33．(2012·苏中三市调研)若函数f (x )＝|2x －1|，则函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数为________．分析 将函数g (x )＝f (f (x ))＋ln x 在(0,1)上不同的零点个数转化为函数y ＝f [f (x )]图象在(0,1)上和y ＝－ln x 图象的交点个数，作出图象如图，可知两个函数图象在(0,1)上有3个交点，故不同的零点个数为3.答案 34．(2012·苏中三市调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则数k 的取值范围是________．分析 作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当＜x ＜1时，函数f (x )和y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)．答案 (0,1)5．(2012·南京、盐城模拟)若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是________．分析 利用分离参数将不等式有解问题转化为函数值域的求解，再利用导数研究函数性质，作出图象，借助图象求函数值域．由题意可知k ＝ln x －1x(x ＞0)，所以k 的取值范围即为函数f (x )＝ln x －1x (x ＞0)的值域．因为f ′(x )＝2－ln x x 2(x ＞0)，由f ′(x )＝0解得x ＝e 2，且x ∈(0，e 2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增；x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )递减，且该函数只有一个零点e ，所以函数图象的大致形状如图，故其值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1e 2，即为k 的取值范围．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，1e 2 【高考定位】高考对本内容的考查主要有：函数和方程思想、数形结合思想都是高中数学的基本思想，也是高考的重点，是解题中重要的、常用的思想方法，使用函数和方程思想、数形结合的方法，很多棘手的问题能迎刃而解，且解法简捷．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常和函数、不等式等构成综合题，难度以中高档题居多．【应对策略】掌握函数和方程思想在解题中的使用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．理解许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决．理解数形结合的本质，就是根据数和形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．理解数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维的过程，有助于把握数学问题的本质，知道它是数学的规律性和灵活性的有机结合.必备知识1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．3．实现数形结合，常和以下内容有关：①实数和数轴上的点的对应关系；②函数和图象的对应关系；③曲线和方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．必备方法1．函数和方程思想(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0，函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点．(2) 函数和不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象和性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要．(4) 分析几何中的许多问题，常需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程和二次函数的有关理论．(5) 立体几何中有关线段、面积、体积的计算，也常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．2．数形结合的思想方法使用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，这在解填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．命题角度一利用函数和方程相互转化的观点解决函数、方程问题[命题要点] ①函数零点和方程的根相互转化；②函数和不等式相互转化.【例1】► (2012·徐州信息卷)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋b. (1)当b ＝1时，若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＞0且b ＝0时，求证：函数f (x )存在唯一零点的充要条件是a ＝1；(3)设m ，n ∈(0，＋∞)，且m ≠n ，求证：m －n ln m －ln n＜m ＋n 2. [审题视点][听课记录][审题视点] 函数单调性的讨论，函数零点存在的充要条件，以及不等式的证明．(1)解 当b ＝1时，f ′(x )＝1x －a (x ＋1)－a (x －1)(x ＋1)2＝x 2＋(2－2a )x ＋1x (x ＋1)2. 因为f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，所有f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即x 2＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，由x 2＋(2－2a )x ＋1≥0，得2a －2≤x ＋1x. 设g (x )＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)，所以g (x )≥2，当且仅当x ＝1x时，等号成立． 即x ＝1时，g (x )有最小值2，所以2a －2≤2，解得a ≤2.所以a 的取值范围是(－∞，2]．(2)证明 f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x ＞0)． 当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．综上所述，f (x )的单调递减区间为(0，a )；f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)．①充分性：a ＝1时，在x ＝1处有极小值也是最小值，即f min (x )＝f (1)＝0.f (x )在(0，＋∞)上有唯一的一个零点x ＝1.②必要性：f (x )＝0在(0，＋∞) 上有唯一解，且a ＞0，f (a )＝0，即ln a －a ＋1＝0.令g (a )＝ln a －a ＋1，g ′(a )＝1a －1＝1－a a. 当0＜a ＜1时，g ′(a )＞0，在(0,1)上单调递增；当a ＞1时，g ′(a )＜0，在(1，＋∞)上单调递减．g max (a )＝g (1)＝0，f (a )＝0只有唯一解a ＝1.f (x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解时必有a ＝1.综上，在a ＞0时，f (x )＝0在(0，＋∞)上有唯一解的充要条件是a ＝1.(3)证明 不妨设m ＞n ＞0，则m n ＞1，要证m －n ln m －ln n＜m ＋n 2，只需要m n －1ln m n ＜m n ＋12，即证ln m n ＞2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1， 只需证ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1＞0， 设h (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1，由(1)知，h (x )在(1，＋∞)上是单调增函数，又m n ＞1，有h ⎝⎛⎭⎫m n ＞h (1)＝0，即ln m n －2⎝⎛⎭⎫m n －1m n＋1＞0成立，所以m －n ln m －ln n ＜m ＋n 2. 函数f (x )在区间D 上单调递增，一般转化为其导函数f ′(x )≥0恒成立，再利用不等式恒成立知识求解．函数零点的讨论通常是利用导数研究函数性质，充要条件的证明基本是要从充分性、必要性两个方面证明，而代数中的不等式证明一般是利用函数性质以算代证．【突破训练1】 (2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)若方程f (x )＝|m |在[－4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)＞g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解 (1)方程f (x )＝|m |，即|x －m |＝|m |，此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m .要使方程|x －m |＝|m |在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解．∴2m ≥－4且2m ≠0.则m 的取值范围是[－2,0)∪(0，＋∞)(2)原命题等价于：对于任意x 1∈(－∞，4]，任意x 2∈[3，＋∞)，f (x 1)min ＞g (x 2)min .对于任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 (m ≤4)，m －4 (m ＞4). 对于任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9 (m ＜3)，m 2－7m (m ≥3). ①当m ＜3时，0＞m 2－10m ＋9.∴1＜m ＜3.②当3≤m ≤4时，0＞m 2－7m .∴3≤m ≤4.③当m ≥4时，m －4＞m 2－7m .∴4≤m ＜4＋2 3综上所述，1＜m ＜4＋2 3.故m 的取值范围为(1,4＋23)．命题角度二 利用图象研究复杂函数的性质[命题要点] ①讨论复杂函数的性质；②和复杂函数零点、复杂方程有关的问题．【例2】► (2012·扬州期末检测)若关于x 的方程|x |x －1＝kx 2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 方程有四个不同的实数根是本题的唯一条件，怎么使用是解题的关键．分析 易知方程|x |x －1＝k x 2有一个根是0，当x ≠0时，原方程可变形为1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (x －1)，x ＞0，－x (x －1)，x ＜0有3个非零根，所以即为函数y ＝1k 和y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)，x ＞0，－x (x －1)，x ＜0有3个横坐标不是0的交点，作出图象如图，所以－14＜1k＜0，解得k ＜－4. 答案 (－∞，－4)有关比较复杂的方程根的个数问题，一般要对方程化简变形，利用数形结合的方法求解，在画图时，要注意尽可能是研究动直线和定曲线的交点个数．【突破训练2】 (2012·镇江质量检测)方程1x －1＝2sin πx 在区间[－2 010,2 012]所有根之和等于________．分析 作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝1x －1和y ＝2sin πx ，x ∈[－2 010,2 012]的图象有4 020个交点，两两关于点A (1,0)对称，所以每两个对称点的横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为2×2 010＝4 020.答案 4 020命题角度三 数形结合在求取值范围中的使用[命题要点] ①讨论抽象函数的性质；②利用数形结合建立关系求取值范围．【例3】► (2012·徐州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋12，x ∈⎣⎡⎭⎫0，12，2x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 分段函数及方程之间的关系，建立目标函数求取值范围．分析 作出函数f (x )的图象如图，由图象可知当0≤x 1＜12≤x 2＜2时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＋12＝2x 2－1，所以x 1f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－1－122x 2－1，令2x 2－1＝t ∈⎣⎡⎭⎫22，1，由二次函数图象可知函数递增，所以y ＝⎝⎛⎭⎫t －12t ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24，12，即为x 1f (x 2)的取值范围． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－24，12求解取值范围的问题，一般要先建立目标函数，而本题在建立目标函数的过程中，图象起了直观、明了的作用，而求二次函数在给定区间的值域，实质也是图象法的使用．【突破训练3】 (2012·盐城模拟)若关于x 的不等式x 2＜2－|x －a |至少有一个负数解，则实数a 的取值范围是________．分析 因为不等式x 2＜2－|x －a |至少有一个负数解，即|x －a |＜2－x 2有负数解，在同一坐标系中作出函数y ＝|x －a |和y ＝2－x 2的图象，如图，当y ＝x －a 和y ＝2－x 2相切时，求得a ＝－94，将y ＝|x －a |右移到图中位置时，不等式刚好无负数解，此时a ＝2，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－94，2. 答案 ⎝⎛⎭⎫－94，2 16．解题时要有使用函数和方程思想、数形结合思想的意识一、在研究复杂方程根的个数时要能够数形结合【例1】► 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1 (x ≤0)，f (x －1) (x ＞0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．分析 作出函数f (x )和y ＝x ＋a 的图象如图，由图象可知0≤a ＜1时，两图象有两个交点，方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，所以所求实数a 的取值范围是[0,1)．答案 [0,1)老师叮咛：这道题是已知方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，但由于函数f (x )的分析式未知，所以从代数的角度显然行不通，如果从图形的角度理解，将代数问题(方程的根)转化为几何问题(两个函数图象的交点个数)，使问题得以顺利解决.二、在抽象函数性质的研究中要重视数形结合思想的使用【例2】► 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点个数为________．分析 偶函数f (x )的周期为2，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，作出函数f (x )的部分图象如图，而函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点即为函数f (x )和y ＝log 4|x |的图象的交点横坐标，由图象可知，交点有6个，故函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点是6个．答案 6老师叮咛：这道题中函数f (x )在R 上的分析式没有给出，所以函数y ＝f (x )－log 4|x |的零点用代数法无法求解，就算你能求出函数f (x )在R 上的分析式，那也会是一个浩大的工程，所以这类题，“以形助数”几乎是唯一的方法．三、函数问题中的主元思想很重要【例3】► 已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4＞2m ＋4x 恒成立，求x 的取值范围．解 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3，原题转化为m (x －2)＋(x －2)2＞0恒成立，为m 的一次函数(这里思维的转化很重要)，当x ＝2时，不等式不成立．∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3，问题转化为g (m )在m ∈⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12＞0，g (3)＞0，解得：x ＞2或x ＜－1.老师叮咛：首先明确本题是求x 的取值范围，这里注意另一个变量m ，不等式的左边恰是m 的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选 25个必考问题 《必考问题18 数学思想在解题中的应用(二)》(含解析)
必考问题18 数学思想在解题中的应用(二)【真题体验】1．(2012·南通期末调研)已知函数f (x )＝3sin x2，如果存在实数x 1，x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析 由条件可得f (x 1)＝f (x )min ＝－3，f (x 2)＝f (x )max ＝3，所以|x 1－x 2|的最小值等于12个周期，而周期T ＝2π12＝4π，故|x 1－x 2|min ＝12T ＝2π.答案 2π2．(2012·苏锡常镇四市调研)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，且与x 轴交于A ，B 两点，若AC ⊥BC ，则a 的值为________．解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为实数，a ≠0)的图象过点C (t,2)，所以at 2＋bt ＋c ＝2，设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则由韦达定理可得x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca ，且AC ⊥BC 可以转化为k AC ·k BC ＝2t －x 1·2t －x 2＝－1，变形得(t －x 1)(t －x 2)＝－4，即为c a ＋ba t ＋t 2＝－4⇒at 2＋bt＋c ＝－4a ＝2⇒a ＝－12.答案 －123．(2012·启东中学模拟)若关于x 的不等式x 2＋2x ＋a ＋2＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________．解析 利用二次函数图象可以将问题转化为Δ＝4－4(a ＋2)＜0，解得a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)4．(2012·江苏卷改编)解关于x 的不等式：log a ⎝⎛⎭⎫1－1x ＞1. 解 解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不 等式．而对数函数的单调性因底数a 的取值不同而不同，故需对a 进行分类讨论． 若a ＞1，则原不等式等价于1－1x ＞a ⇒11－a＜x ＜0，若0＜a ＜1，则原不等式等价于⎩⎨⎧1－1x＞0，1－1x ＜a⇒1＜x ＜11－a； 综上所述，当a ＞1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪11－a ＜x ＜0；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪1＜x ＜11－a .【高考定位】高考对本内容的考查主要有：1．分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置．2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．所以转化与化归是高考必考思想方法．试题类型基本是解答题，经常与函数与导数、不等式、数列等构成综合题，难度以中高档题居多．【应对策略】掌握当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．熟悉数学中的常见转化，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．必备知识1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定．但可以在解题时不断地总结经验．如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或者较为隐蔽的“个别”情况未必成立．这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论．常见的“个别”情形略举以下几例：(1)“方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数解”转化为“Δ＝b 2－4ac ≥0”时忽略了个别情形：当a ＝0时，方程有解不能转化为Δ≥0；(2)等比数列{a 1q n －1}的前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q中有个别情形：q ＝1时，公式不再成立，而是S n ＝na 1；(3)设直线方程时，一般可设直线的斜率为k ，但有个别情形：当直线与x 轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑；(4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为x a ＋ya ＝1，但有个别情形：a ＝0时，再不能如此设，应另行考虑．2．化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识、经验来解决问题；(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；(5)正难则反原则：当问题正面解决遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解．必备方法1．分类讨论：(1)分类原则：分类对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论；(2)分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论；(3)含参数问题的分类讨论是常见题型；(4)注意简化或避免分类讨论．2．等价转化：熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题．命题角度一 分类讨论思想在解题中的应用[命题要点] ①公式中的分类讨论，如数列公式；②函数、不等式中的分类讨论． 【例1】► (2012·泰州期末)已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为c n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求c 1，c 2，c 3；(2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{c n ＋1－λc n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由；(3)求出所有的满足条件的数列{a n }． [审题视点] [听课记录][审题视点] 等差数列的概念、通项公式的应用． 解 (1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10，∴在a 1与a 2之间插入－1、0，c 1＝－12；在a 2与a 3之间插入2、3、4，c 2＝3；在a 3与a 4之间插入6、7、8、9，c 3＝152.(2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1，∴c n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n2＝n 2＋2n －92，假设存在λ使得{c n －1－λc n }是等差数列，∵(c n ＋1－λc n )－(c n －λc n －1)＝c n ＋1－c n －λ(c n －c n－1)＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1时{c n ＋1－λc n }是等差数列． (3)由题意满足条件的数列{a n }应满足a n －a n －1n ＋1＝a n ＋1－a n n ＋2，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝n ＋2n ＋1，∴a n ＋1－a n a n －a n －1·a n －a n －1a n －1－a n －2…a 4－a 3a 3－a 2·a 3－a 2a 2－a 1＝n ＋2n ＋1·n ＋1n…54·43＝n ＋23，∴a n ＋1－a n ＝13(a 2－a 1)·(n ＋2)，∴a n －a n －1＝13(a 2－a 1)·(n ＋1)，…，a 3－a 2＝13(a 2－a 1)×4，a 2－a 1＝13(a 2－a 1)×3，∴a n －a 1＝13(a 2－a 1)·(n －1)(3＋n ＋1)2(n ≥2)∴a n ＝16(a 2－a 1)(n －1)(n ＋4)＋a 1(n ≥2)，又∵n ＝1时也满足条件∴形如a n ＝a (n －1)(n ＋4)＋b (a ，b ∈R )的数列均满足条件．数列问题中涉及分类讨论的公式有两个，即a n 与S n 之间的关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1S n －S n －1，n ≥2和等比数列的求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1(1－q n )1－q，q ≠1.【突破训练1】 (2012·泰州月考)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2x ，正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，且满足f (a )·f (b )·f (c )＜0，若实数d 是函数f (x )的一个零点，那么下列四个判断：①d ＜a ；②d ＞a ；③d ＞c ；④d ＜c 中有可能成立的序号为________．解析 因为正实数a ，b ，c 是公差为正数的等差数列，所以a ，b ，c 由小到大等距离地分布在x 轴的正半轴上，又f (a )·f (b )·f (c )＜0，而在(0，d )上，均有f (x )＞0，在(d ，＋∞)上，均有f (x )＜0，则a ，b ，c 可能都在d 的右侧，也可能a ，b 在d 的左侧，c 在d 的右侧，所以判断①②④均可能成立，③不可能成立．答案 ①②④命题角度二 等价转化思想在解题中的应用[命题要点] ①等价转化在代数中的应用；②等价转化在几何中的应用．【例2】► (2012·南师附中模拟)记F (a ，θ)＝a 2＋2a sin θ＋2a 2＋2a cos θ＋2，对于任意实数a 和θ，F (a ，θ)的最大值与最小值的和是________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 利用斜率公式将问题转化为过点作圆的两条切线，再利用直线与圆相切的条件，求解最大值、最小值．解析 F (a ，θ)＝2a sin θ＋a 2＋22a cos θ＋a 2＋2＝sin θ＋a 2＋22a cos θ＋a 2＋22a，几何意义是动点(cos θ，sin θ)与动点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 连线的斜率，其中动点(cos θ，sin θ)在圆心在原点，半径为1的圆上，动点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a ，－a 2＋22a 在射线y ＝x (x ≤－2或x ≥2)上，作出图形可知F (a ，θ)的最大值与最小值分别是过点⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线的斜率，且当⎝⎛⎭⎫－a 2＋22a，－a 2＋22a 为(2，2)或(－2，－2)时，两条切线的斜率分别是最大值与最小值，不妨设过点(2，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线方程为y －2＝k (x －2)，即为k x －y ＋2(1－k )＝0，所以2|1－k |k 2＋1＝1，化简得k 2－4k ＋1＝0，由韦达定理得k 1＋k 2＝4，即F (a ，θ)的最大值与最小值的和为4.答案 4分式函数的最值问题经常与过两点的直线的斜率公式联系起来，实现代数与几何之间的等价转化．还有很多类似的转化，如求某一区间上函数z ＝2x ＋y 的最值，其几何意义与直线的纵截距有关，函数z ＝x 2＋y 2的最值，与点(x ，y )到原点的距离的平方有关，平时学习时要注意积累．【突破训练2】 (2012·启东中学模拟)若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．解析 函数f (x )在区间(－1,1)内恰有一个极值点可以等价转化为f ′(x )＝0在区间(－1,1)内恰有一个解，因为f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，所以f ′(－1)f ′(1)＝(3－2－a )(3＋2－a )＜0，解得1＜a ＜5，当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(x ＋1)(3x －1)＝0，解得x ＝－1或x ＝13，满足题意；当a ＝5时，f ′(x )＝3x 2＋2x －5＝(x －1)·(3x ＋5)＝0，解得x ＝1或x ＝－53，不满足题意，综上，实数a 的取值范围是[1,5)．答案 [1,5)17．等价转化是关键，分类讨论要重视一、分类讨论不要造成漏解【例1】► 已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．解析 当双曲线的焦点在x 轴上时，ba ＝2，解得e ＝5；当双曲线的焦点在y 轴上时，a b ＝2，b a ＝12，解得e ＝52，所以该双曲线的离心率为5或52. 答案5或52老师叮咛：双曲线的渐近线方程与焦点位置有关，本题中焦点位置不确定，所以要对焦点位置进行讨论，当焦点在x 轴上时，渐近线方程为y ＝±\f(b,a )x ，当焦点在y 轴上时，渐近线方程为y ＝±a bx .二、应用等价转化思想将不熟悉问题转化为熟悉问题【例2】► 已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )＞0，|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，则给出下列四种说法，其中正确的序号是________．①直线l 与直线P 1P 2不相交；②直线l 与线段P 2P 1的延长线相交；③直线l 与线段P 1P 2的延长线相交；④直线l 与线段P 1P 2相交．解析 将符号语言转化为图形语言．由(Ax 1＋By 1＋C )·(Ax 2＋By 2＋C )＞0知，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)的同侧，由|Ax 1＋By 1＋C |＞|Ax 2＋By 2＋C |，结合点到直线的距离公式可得点P 1比点P 2到直线l 的距离大，故直线l 与线段P 1P 2的延长线相交．答案 ③老师叮咛：不熟悉的、陌生的问题要根据形式，利用所学知识向熟悉的问题转化，这是解题能力很重要的方面，所以平时学习时要注意知识之间的交汇处，突出知识体系的建立．``。
(推荐)高中新课程数学(苏教)二轮复习精选_25个必考问题__《必考问题20_排列组合、概率、随机变
命题角度一 与计数原理有关的问题 [命题要点] 此类问题较为综合，涉及的知识面较广，思考的 难度和广度较大，应加强训练．
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【例 1】►(2011·江苏，23)设整数 n≥4，P(a，b)是平面直角坐标 系 xOy 中的点，其中 a，b∈{1,2,3，…，n}，a＞b. (1)记 An 为满足 a－b＝3 的点 P 的个数，求 An； (2)记 Bn 为满足13(a－b)是整数的点 P 的个数，求 Bn.
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2．概率、随机变量及其分布 (1)求随机变量的概率分布的基础是求随机变量取各个可能 值的概率，其中要注意随机变量取各个可能值的概率满足 的性质．对于常用的两点分布、超几何分布、二项分布要 熟练掌握．
n
(2)随机变量的均值(期望)：E(X)＝∑i＝1xipi；
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热点命题 角度
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必备方法 1．解排列、组合问题时注意以下几点：(1)审题分析是排列
问题，还是组合问题，按照元素的性质分类，按照事件 发生的过程分步；(2)分清运算的性质，只要是分类计数， 就是加法运算，只要是分步计数，就是乘法运算，在综 合问题中，常常在分类中有分步，在分步中有分类；(3) 要掌握定位排列的处理方法，掌握分类组合处理的思想 方法；(4)排列、组合问题的答案较大时，不易直接验证， 因此在检查结果是否正确时，应该着重检查所设计的解 决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可以通过 一题多解验证结论．
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(2)特殊的概率分布列：①0－1分布(两点分布)符号表示：X～0 －1分布； ②超几何分布：1°符号表示：X～H(n，M，N)； 2°概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)＝CrMCCMNnN－－rM； ③二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1°符号表示： X～B(n，p)；2°概率分布列：P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k. 注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n) ＝1.
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 洞察高考热点32题《专题二 90分
π 1 1 当 sin θ＞3时， y′＞0； sin θ＜3时， y′＜0， ∵y＝sin θ 在0，4
上是增函数 1 ∴当角 θ 满足 sin θ＝3时，y 最小，最小为 4 2＋2；此时 BC＝
2－
2 m．(16 分) 2
【突破训练】 (2012·启东中学一模)如图，某单位准备修建一 个面积为600平方米的矩形场地(图中的ABCD)的围墙，且要 求中间用围墙EF隔开，使得图中ABEF为矩形，EFDC为正 方形，设 AB＝x 米，已知围墙 ( 包括EF) 的修建费用均为 800
【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：
一吊灯的下圆环直径为4 m，圆心为O，通过细绳悬挂在天 花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2 m ，在圆环上设置三个等分点 A1 ， A2 ， A3. 点 C 为 OB 上一点 (不包含端点 O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳
400×2
400 x·x ＝96 000，
400 当且仅当 x＝ ，即 x＝20 时等号成立． x 故当 x 为 20 米时，y 最小．y 的最小值为 96 000 元．(14 分)
【抢分秘诀】
1．常见的应用题：(1)函数与导数模型；(2)三角函数模型；(3) 函数与不等式模型；(4)数列模型． 2．解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设 置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决
元/米．设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．
(1)求出y关于x的函数解析式； (2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建 总费用y最小？并且求出y的最小值．
600 解 (1)设 AD＝t 米， 则由题意得 xt＝600， 且 t＞x， 故 t＝ x ＞ x，可得 0＜x＜10 6，(4 分) 则
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题一 70分填空题大突破与解题技法》第6题
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【突破训练】 有四个关于三角函数的命题： 1 p1 ：∃x∈R，sin ＋cos ＝ ；p2 ：∃x，y∈R，sin(x－y) 2 2 2 ＝sin x－sin y； p3：∀x∈[0，π], 1－cos 2x ＝sin x；p4：sin x＝cos y⇒x 2
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2x 2x
π ＋y＝ .其中假命题的是________． 2
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解析
1 p1：∃x∈R，sin 2＋cos 2＝2是假命题；p2 是真命题，
2x
2x
如 x＝y＝0 时成立；p3 是真命题，∵∀x∈[0，π]，sin x≥0，∴ 1－cos 2x π 2 ＝ sin x＝|sin x|＝sin x；p4 是假命题，如 x＝ ，y 2 2 π ＝2π 时，sin x＝cos y，但 x＋y≠2. 答案 p1，p4
专题一 70分填空题大
பைடு நூலகம்
突破与解题技法
考查命题真假的判断
【示例】► 对于△ABC，有如下四个命题： ①若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形； ②若sin B＝cos A，则△ABC是直角三角形； ③若sin2A＋sin2B＞sin2C，则△ABC是钝角三角形； ④若 A＝ B＝ C，则△ABC是等边三角形． cos 2 cos 2 cos 2 其中正确的命题个数是________． a b c
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解析
江苏省苏州十中2024年高三年级二轮复习数学试题导引卷(二)含附加题
江苏省苏州十中2024年高三年级二轮复习数学试题导引卷（二）含附加题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)24．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 5．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A 10B ．3C 5D ．26．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B．⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D．⎣⎦8．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．49．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 10．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞， B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，11．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭ D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题一 70分填空题大突破与解题技法》第8题
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【例2】► 有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形 包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸 的最小边长是________． 解析 如图，是某正四棱锥的平
面展开图，等腰△ABC的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的 最小值，由余弦定理得BC＝ 6＋ 2 a ＋a －2a cos 150° ＝ a. 2
4 32 4 3 可求得当 t＝ 时，ymax＝ ，此时 Vmax＝ ； 3 27 27
Байду номын сангаас
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法二
2
1 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为 θ，则 V＝3
2 π 2 ×2cos θ×sin θ＝3(1－sin θ)×sin θ，0＜θ＜2，记 y＝(1－t2)t,0 3 2 3 4 3 ＜t＜1， 利用导数可求得当 t＝ 3 时，max＝ 9 ， y 此时 Vmax＝ 27 . 4 3 答案 27
专题一 70分填空题大
突破与解题技法
考查空间几何体的面积、体积的计算
【例 1】► (2012· 南通模拟)设正四棱锥的侧棱长为 1，则其体积 的最大值为________． 解析 法一 1 2 设正四棱锥的底面边长为 x，则体积 V＝3x x42－x2，记 y＝t2(2－t)，t＞0，利用导数
x2 2 1－ 2 ＝ 6
2 2 2
答案
6＋ 2 2 a
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解题方法技巧：图形分析、直接计算法
1通过分析图形元素之间的数量关系，建立数学模型，求出计
算面积或体积所需要的相关要素. 2利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法. 3等体积法是处理体积问题的常用方法.
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【突破训练】 (2012·南通模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题一 70分填空题大突破与解题技法》第14题
解析
由题意画出函数 f(x)的部分图象如图，由图象可知，函
数 f(x)的值域为[0,4]，故①正确；当 n＝1 时，关于 x 的方程 f(x) 1 ＝2有 7 个不相等的实数根，故②错误；当 x∈[2n－1,2n](n∈N＋) 时，函数 f(x)的图象与 x 轴围成的图形是三角形，高为 23－n，所 1 以面积 S＝2×2n－1×23－n＝2， 故③正确； 由图象可知不等式 f(x) 6 ＞ x在[1,8]上无解，故④错误．
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Hale Waihona Puke 命题趋势：指数、指数函数与对数、对数函数在高考中都是B 级要求，主要考查指数函数、对数函数的概念、性质，试题难
度中等偏下.
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【突破训练】 已知定义在[1，＋∞)上的函数f(x)＝
3 4－8x－2，1≤x≤2， 1f x，x＞2， 2 2
答案
①③
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专题一 70分填空题大
突破与解题技法
考查指数、对数函数问题
lg3－ax 【示例】► 已知函数f(x)＝ 在区间(0,1]上是单调递减 a－1 函数，则实数a的取值范围是________． 解析 a＞1时a－1＞0,3－ax递减，∴f(x)递减，由3－ax＞0
3 在(0,1]内恒成立得 ＞1∴1＜a＜3；0＜a＜1时a－1＜0，3 a －ax递减，∴f(x)递增，不合题意；a＜0时，a－1＜0,3－ax 递增，∴f(x)递减，此时3－ax＞0在(0,1]内恒成立；a＝0或 a＝1时均不合题意，故a的取值范围是a＜0或1＜a＜3. 答案 (－∞，0)∪(1,3)
给出下列结论：
①函数f(x)的值域为[0,4]；②关于x的方程f(x)＝
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选《必考问题9 不等式及线性规划问题》(命题方向把握+命题角,含解析)
必考问题9 不等式及线性规划问题【真题体验】1．(2011·南京模拟)已知A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2＋2x ＋a ≥0}，A 、B 的交集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析 若A ，B 的交集是空集时，即x 2＋2x ＋a ＜0在1≤x ≤2上恒成立．令f (x )＝x 2＋2x ＋a ，因为对称轴为x ＝－1，所以y ＝f (x )在集合A 上递增，所以f (2)＜0即可，所以a ＜－8，所以A ，B 的交集不是空集时，实数a 的取值范围是a ≥－8.答案 [－8，＋∞)2．(2012·江苏，13)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎫x ＋a 22. 又∵f (x )＜c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a2＋c . ∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②由②－①得2c ＝6，∴c ＝9.答案 93．(2012·江苏，14)已知正数a ，b ，c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ，c ln b ≥a ＋c ln c ，则b a 的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≤4c ，3a ＋b ≥5c ，c ln b －a ≥c ln c ⇒b ≥c e ac .作出可行域(如图所示)．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，3a ＋b ＝5c ， 得a ＝c 2，b ＝72c .此时⎝⎛⎭⎫b a max ＝7. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4c ，b ＝c e ac ， 得a ＝4c e ＋1，b ＝4c e e ＋1.此时⎝⎛⎭⎫b a min ＝4c ee ＋14c e ＋1＝e.所以b a ∈[e,7]． 答案 [e,7]4．(2010·江苏，12)设实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．解析 根据不等式的基本性质求解.⎝⎛⎭⎫x 2y 2∈[16,81]，1xy 2∈⎣⎡⎦⎤18，13， x 3y 4＝⎝⎛⎭⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27]，x 3y4的最大值是27. 答案275．(2012·南京模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤1，y ≤2.则目标函数z ＝－2x ＋y的取值范围是________．解析 约束条件对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经过图中点(3,2)时取得最小值－4，经过点(0,2)时，取得最大值2，所以取值范围是[－4,2]．答案 [－4,2] 【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等式是C 级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)不等式作为一种重要工具，要理解不等式的性质、简单不等式的解法及含参数不等式的分类讨论等．【应对策略】对不等式的学习要立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，具体要注意以下几点：(1)学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数运算法则为依据解决问题；(2)解决某些不等式时，要与函数定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注意分类讨论思想；(3)要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数与方程思想、数形结合处理不等式问题；(4)利用线性规划解决实际问题时，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此要力求画图准确.必备知识1．一元二次不等式的求解步骤： 一变、二求、三画、四结论． 2．一元二次不等式恒成立的条件设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则ax 2＋bx ＋c ＞0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴上方⇔f (x )min ＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0恒成立(解集为R )⇔y ＝f (x )图象恒在x 轴下方⇔f (x )max ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝b 2－4ac ＜0. 3．二元一次不等式表示的平面区域直线定界，特殊点定域．注意：边界的虚实线．必备方法1．三个“二次”的关系一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．对于给定集合M 和给定含参数的不等式f (x )＞0，求不等式中的参数的取值范围问题，要看清楚题目的要求，再相应求解，不妨“对号入座”：(1)若M 是f (x )＞0的解集，则由M ＝{x |f (x )＞0}来求； (2)若f (x )＞0在M 上有解，则由M ∩{x |f (x )＞0}≠∅来求； (3)若f (x )＞0在M 上恒成立，则由M ⊆{x |f (x )＞0}来求．3．简单的线性规划问题解题步骤：一画二移三算四答，充分挖掘目标对象的几何意义！通常与直线的纵截距、斜率，圆的半径或半径的平方有关．命题角度一 一元二次不等式[命题要点] ①简单一元二次不等式的解法；②含参数的一元二次不等式的解法． 【例1】► 解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0. [审题视点] [听课记录][审题视点] 不等式的左端可以先分解因式，然后根据a ＞0，a ＝0，a ＜0的情况和方程ax 2－(2a ＋1)x ＋2＝0两个根的大小进行分类求解．解 不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0， 即(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＜0. ①若0＜a ＜12，则1a ＞2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ； ②若a ＝12，则不等式为(x －2)2＜0，不等式的解集为∅；③若a ＞12，则1a ＜2，此时不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2. (2)当a ＝0时，不等式即－x ＋2＜0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．(3)当a ＜0时，不等式可以化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)＞0. 由于1a ＜2，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)． 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1a ∪(2，＋∞)；当a ＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)； 当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2，1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1a ，2.含有参数的一元二次不等式在能通过因式分解求出对应方程根的情况下，按照本题的方法求解，但如果不能根据因式分解的方法求出其根，则需要按照不等式对应方程根的判别式的情况进行分类．【突破训练1】 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________.解析 由题意，可得a ≠0，且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －1a ＞0.由不等式解集的特点可得a ＞0且1a ＝12，故a ＝2.答案 2命题角度二 含参不等式恒成立问题[命题要点] 一元二次不等式有解、恒成立，求参数的取值范围．【例2】► (2012·镇江质量检测)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对任意a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 不等式中有两个变量，可以先看成关于其中一个变量的一元二次不等式恒成立，再考虑另一个变量．解析 先将不等式整理为关于a 的一元二次不等式为a 2－λba ＋8b 2－λb 2≥0，对任意a ∈R 恒成立，所以λ2b 2－4(8b 2－λb 2)≤0，即(λ2＋4λ－32)b 2≤0，对任意b ∈R 恒成立，则λ2＋4λ－32≤0，解得－8≤λ≤4.答案 －8≤λ≤4 ,含有多变量的不等式是近年来考查热点，要将不等式逐个看成关于某一变量的不等式，其它变量先看作常数，这样可以逐步减少变量个数，同时要看清是恒成立还是有解．【突破训练2】 已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0， 整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3，或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．命题角度三 线性规划问题[命题要点] 线性规划考题的新变化为：问题中的目标函数形式已不再局限为单一的、线性的，甚至有的问题隐含有线性规划知识，以上这些变化都可以通过适当的方法转化为较为基本的问题来解决．【例3】► (2012·苏锡常镇调研)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 3n的最小值为________．[审题视点] [听课记录][审题视点] 先对题干中恒成立问题进行转化，得到关于m ，n 的关系式，再利用线性规划知识解决．解析 因为不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0即为(2m －n )x ≥8－2n ，对任意x ∈[－4,2]都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(2m －n )≥8－2n －4(2m －n )≥8－2n ，所以m ，n 满足的不等式为⎩⎪⎨⎪⎧m ≥24m －3n ＋4≤0n ≤6，所以点(m ，n )对应的平面区域如图，n m 的几何意义是可行域上的点与原点的连线的斜率，所以nm ∈⎣⎡⎦⎤127，3，而目标函数m 4－n 4m 3n ＝m n －⎝⎛⎭⎫n m 3，令n m ＝t ∈⎣⎡⎦⎤127，3，则目标函数即为y ＝1t －t 3，其导数y ′＝－1t 2－3t 2＜0，所以函数y ＝1t －t 3在t ∈⎣⎡⎦⎤127，3上递减，故t ＝3时取得最小值－803. 答案 －803,线性规划是不等式的重要内容，与函数的综合是常见题型，一般方法是利用线性规划求出某个中间变量的取值范围，再利用换元法、导数等方法求最值．【突破训练3】 (2012·南师附中模拟)已知向量a ＝(x －z,1)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b .若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤2，则z 的取值范围是________．解析 由a ⊥b 得2(x －z )＋y －z ＝0⇒z ＝2x ＋y3，作出不等式组对应的平面区域如图，当目标函数y ＝－2x ＋3z 经过点(0,1)时，z 取得最小值13，经过点(2,2)时，z 取得最大值2，所以13≤z ≤2.答案 ⎣⎡⎦⎤13，29．解不等式要留意等号，画可行域要注意边界的虚实一、注意解不等式不能漏解【例1】► 不等式(x －4)x 2－3x －4≥0的解集是________．解析 当x 2－3x －4＞0时，x －4≥0，解得x ≥4；当x 2－3x －4＝0，即x ＝－1或4时，原不等式也成立，所以解集是{x |x ≥4或x ＝－1}．答案 {x |x ≥4或x ＝－1}老师叮咛：要考虑二次根式有意义的条件，当二次根式等于0时，则对x －4没有条件限制，所以要对根式是否为零进行讨论.否则，本题会出现下面的错误：因为\r(x 2－3x －4)≥0，所以x －4≥0，解得x ≥4，造成遗漏解的情况.二、注意可行域边界的虚实【例2】► 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)的一个零点在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围是________．解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ＞0)开口向上，纵截距是－1，一个零点在区间(1,2)内，所以a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0f (1)＝a ＋b －1＜0f (2)＝4a ＋2b －1＞0，作出点(a ，b )对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数过点(0,1)(不在区域内)时取得最小值－1(取不到)，即a －b ∈(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)老师叮咛：画可行域要特别注意边界能否取到，当区域不包含边界时，取值范围中等号取不到，如果忽视这一点，容易在等号上出错.三、注意目标函数的几何意义，尤其是平方、开方之类的问题【例3】► 在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，则λ2＋(μ－3)2的取值范围是________．解析 由OC →＝λOA →＋μOB →两边平方得OC →2＝(λOA →)2＋(μOB →)2＋2λμOA →·OB →，即为1＝λ2＋μ2＋2λμcos 〈OA →，OB →〉，所以cos 〈OA →，OB →〉＝1－λ2－μ22λμ∈(－1,1)，又λ，μ∈(0，＋∞)，所以化简即得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＞1－1＜λ－μ＜1，作出可行域如图目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义是区域上的点(λ，μ)到定点(0,3)的距离的平方，由点到直线的距离公式求得点(0,3)到λ－μ＋1＝0的距离为2，且取不到，故λ2＋(μ－3)2的取值范围是(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)老师叮咛：对目标函数λ2＋(μ－3)2的几何意义要理解正确，表示点(0，3)到λ－μ＋1＝0的距离的平方，如果忘记平方，就会出现(2，＋∞)的错误，所以考虑问题要细心.。
拿高分选好题第二波高中新课程数学苏教二轮复习精选第二部分 90分解答题大冲关 优质课件
③当 s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝aas＋－1b＝aaa2＋n－1ba，
若 a＞2，则 a2n－ba∉N*，又 a 与 a＋1 互质，故此时 t＝aaa2＋n－1ba
∉N*.
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若 a＝2，要 a2n－ba∈N*，则要 b＝2，此时 a2n－ba＝a2n－1， 由②知，a2n－1 能被 a＋1 整除， 故 t＝aaa2＋n－1ba∈N*，即 as－b 能被 a＋1 整除． 当且仅当 b＝a＝2 时，as－b 能被 a＋1 整除． 此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为 zn＝ 22n＋1(n∈N*)．
q＝2.
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(2)由(1)知，Sn＋1＝12Sn＋2，① 当 n≥2 时，Sn＝12Sn－1＋2，② ①－②得，an＋1＝12an(n≥2)，(6 分) 又 a2＝12a1，所以 an＋1＝12an(n∈N*)，所以{an}是首项为 2，公比 为12的等比数列，所以 an＝2n1－2.(8 分)
专题二 90分解答题大冲关 与评分细则
掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题
【示例】► (徐州市 2011－2012 学年度高三第一次质量检测 20) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＋1＝pSn＋q(p，q 为常 数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p. (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)是否存在正整数 m，n，使SSn＋n－1－mm＜2m2＋m 1成立？若存在， 求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理 由．
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即2n4－2m－2＞2m＋1 1，因为 2m＋1＞0，所以 2n(4－m)＞2， 所以 m＜4，且 2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)，因为 m∈N*，所以 m＝1 或 2 或 3.(12 分) 当 m＝1 时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以 n＝1； 当 m＝2 时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以 n＝1 或 2； 当 m＝3 时，由(*)得，2＜2n＜20，所以 n＝2 或 3 或 4， 综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)， (2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16 分)
高中新课程数学(苏教)二轮复习热点《专题二 90分解答题大冲关与评分细则》》(热点命题探究,含解析)
专题二90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题【示例】► (2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝13，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，AB →·AC →＝50.(1)求cos ∠BAC 的值；(2)求sin ∠CAD 的值；(3)求△BAD 的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD 中，利用余弦定理求cos ∠CAD ，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD 的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ，所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝5013×10＝513.(2分) (2)在△ADC 中，AC ＝10，AD ＝5，CD ＝65，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝102＋52－(65)22×10×5＝35.(4分) 因为∠CAD ∈(0，π)，所以sin ∠CAD ＝ 1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.(6分)(3)由(1)知，cos ∠BAC ＝513. 因为∠BAC ∈(0，π)，所以sin ∠BAC ＝ 1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.(8分) 从而sin ∠BAD ＝sin(∠BAC ＋∠CAD )＝sin ∠BAC cos ∠CAD ＋cos ∠BAC sin ∠CAD＝1213×35＋513×45＝5665.(11分) 所以S △BAD ＝12AB ·AD ·sin ∠BAD ＝12×13×5×5665＝28.(14分)评分细则 (1)没有写cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|直接计算的，扣1分.,(2)不交代∠CAD 的范围的，扣1分；,(3)不交代∠BAC 范围的，扣1分.【突破训练】 (2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝⎝⎛⎭⎫2cos C 2，－sin C ，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，2sin C ，且m ⊥n . (1)求角C 的大小；(2)若a 2＝2b 2＋c 2，求tan A 的值．解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.则2cos 2C 2－2sin 2C ＝0.(2分) (阅卷说明：无中间分)∵C ∈(0，π)，∴cos C 2＞0，sin C ＞0.∴cos C 2＝sin C (4分) (阅卷说明：得到2cos 2C ＋cos C －1＝0也得2分)则sin C 2＝12.(6分) 又C 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴C 2＝π6.则C ＝π3.(8分) (阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C ＝π3，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－ab . 又∵a 2＝2b 2＋c 2，∴a 2＝2b 2＋a 2＋b 2－ab .则a ＝3b .(10分)由正弦定理，得sin A ＝3sin B ．(11分)∵C ＝π3，∴sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A .(12分) 即sin A ＝－33cos A ．(13分)∵cos A ＝0上式不成立，即cos A ≠0，∴tan A ＝－3 3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事【示例】► (2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎P -ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ；(2)若平面P AC ⊥平面ABCD ，求证：平面P AC ⊥平面PDE .解题突破 (1)由E ，F 分别为AB ，PC 中点．取PD 的中点M ，再证四边形AEMF 是平行四边形．(2)在矩形ABCD 中，根据AB ＝2BC ，可得DA AE ＝CD DA，从而可证△DAE ∽△CDA .再证明DE ⊥AC ，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC ⊥平面PDE .证明 (1)法一 取线段PD 的中点M ，连接FM ，AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD . 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD . 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM .(5分)又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面P AD .(7分)法二 连接CE 并延长交DA 的延长线于N ，连接PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ，所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE .又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ，所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP .(5分)又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面PAD .(7分)法三 取CD 的中点Q ，连接FQ ，EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD .(2分)因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD .又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD .(5分)因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD .(7分)(2)设AC ，DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点．所以DA AE ＝CD DA ＝ 2. 又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°.由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°.即DE ⊥AC .(9分)因为平面PAC ⊥平面ABCD因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面P AC ，(12分)又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE .(14分)评分细则 (1)第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；(2)第二问，不用平面几何知识证明DE⊥AC，扣2分.【突破训练】(2012·南师附中统测)如图，在四棱锥P -ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝63，E是PB上任意一点．(1)求证：AC⊥DE；(2)当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面P AB.(1)证明连接BD，设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.(4分)又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面PDB，E为PB上任意一点，DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE.(7分)(2)解连ED.由(1)知AC⊥平面PDB，EF⊂平面PBD，所以AC⊥EF.S△ACE＝12AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB.S△ACE＝12×6×EF＝9，解得EF＝3，(10分)由PB⊥EF且PB⊥AC得PB⊥平面AEC，则PB⊥EC，又由EF＝AF＝FC＝3得EC⊥AE，而PB∩AE＝E，故EC⊥平面P AB.(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题【例1】► (2012·南京高三调研)经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u (单位：L)与速度v (单位：km/h)，的关系近似地满足u ＝⎩⎨⎧ 100v ＋23，0＜v ≤50，v 2500＋20，v ＞50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y (元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破 由u 是关于v 的分段函数，得y 也是关于v 的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫100v ＋23＋300·400v＝123 000v＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝⎩⎨⎧123 000v 690，0＜v ≤50，3v 250＋120 000v ＋600，v ＞50.(8分)(2)当0＜v ≤50时，y ＝123 000v＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝123 00050＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000v＋600(v ＞50) 由y ′＝3v 25－120 000v 2＝3(v 3－106)25v 2＝0，得v ＝100 当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v＋600单调递减． 所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400由于3 150＞2 400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．答当卡车以100 km/h 的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 (1)第一问，有一段求解错误的，扣4分；(2)第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】► (2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4 m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB )为2 m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3.点C 为OB 上一点(不包含端点O 、B )，同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第二部分 高考热点39题《专题一 70分填空题大突破与解题技法》第10题
答案
2
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解题方法技巧：由图象挖掘性质 三角函数的图象与性质具有密不可分的关系，如振幅A、最大
值、最小值、周期、单调性、奇偶性、对称性等重要性质都在
图象上有所反映，要充分利用图象研究三角函数性质．
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【突破训练】 若函数 f(x)＝
π 2sinωx＋4(ω＞0)的图象相邻两
3 个对称中心之间的距离是2，则实数 ω 的值是________． 解析 由 f(x)＝
π 2sinωx＋4的相邻两个对称中心间的距离
专题一 70分填空题大
突破与解题技法
考查三角函数的图象与性质
π 【示例】► 如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0， ≤φ≤π) 2 的部分图象，其中A，B两点之间的距离为3，那么f(－1)＝ ________.
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解析
由函数图象求解析式，பைடு நூலகம்求函数值．由A，B两点之间
T 2π π π 的距离为3得 2 ＝3⇒T＝6＝ ω ⇒ω＝3，又f(0)＝2sin φ＝1，且2
3 2π 2π 是2，得函数周期为 3，故 ω ＝3，解得 ω＝ 3 . 答案 2π 3
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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 必考问题 专项突破《必考问题5 解
π π 11π ∵0＜C＜π，∴－6＜2C－6＜ 6 ， π π π ∴2C－6＝2，∴C＝3，sin B＝2sin A，
a 1 由正弦定理，得 ＝ ，① b 2 π 由余弦定理，得 c ＝a ＋b －2abcos ，即 a2＋b2－ab＝3，② 3
[审题视点] (1)将原函数解析式通过恒等变换化简成 y＝Asin(ωx ＋φ)形解决； (2)通过正、余弦定理的结合解题． [听课记录]
1＋cos 2x 1 π 3 2x－ －1， 解 (1)f(x)＝ 2 sin 2x－ － ＝ sin 6 2 2
2π 则 f(x)的最小值是－2，最小正周期是 T＝ 2 ＝π.
2．余弦定理及其推论 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论：cos A＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ， a2＋b2－c2 cos C＝ .变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2 2ab ＝2accos B，a2＋b2－c2＝2abcos C.
3．(2011· 江苏，15)在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为 a， b，c.(1)若
π sinA＋6＝2cos
A，求 A 的值；
1 (2)若 cos A＝ ，b＝3c，求 sin C 的值． 3
解
π (1)∵sinA＋6＝2cos
A，∴sin A＝ 3cos A，
必考问题5 解三角形
抓 住 命 题 方 向
【真题体验】 1． (2012· 南京、 盐城模拟)在△ABC 中， 已知 sin A∶sin B∶sin C ＝2∶3∶4，则 cos C＝________. 解析 因为 sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，由正弦定理可得 a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设 a＝2k，b＝3k，c＝4k(k＞0)，则 a2＋b2－c2 4k2＋9k2－16k2 1 由余弦定理可得 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2k×3k 1 答案 －4
高中新课程数学(苏教)二轮复习专项突破《必考问题2函数与方程及函数应用》热点命题
必考问题2 函数与方程及函数应用【真题体验】1．(2012·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10.答案 －102．(2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________．解析 因为函数f (x )在(－∞，1)，[1，＋∞)都是单调函数，所以由f (1－a )＝f (1＋a )得1－a,1＋a 分别在(－∞，1)，[1，＋∞)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＜11＋a ≥12(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a①或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥1，1＋a ＜1，2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，②①无解，②解得a ＝－34.答案 －343．(2012·天津改编)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －4|(x ≠4)，a (x ＝4)，若函数y ＝f (x )－2有3个零点，则实数a 的值为________．解析 函数y ＝f (x )－2有3个零点，即为函数y ＝f (x )与y ＝2的图象有3个不同的交点，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝2的图象如图，由图象可知a ＝2.答案 24．(2012·苏州期中调研)已知方程x 3＝3－x 的解在区间⎝⎛⎭⎫n 2，n ＋12内，n ∈Z ，则n 的值是________．解析 令h (x )＝x 3－(3－x )＝x 3＋x －3，∵h ′(x )＝3x 2＋1＞0，∴h (x )在定义域内为增函数，若其有零点则必唯一． ∵h (1)＜0，h ⎝⎛⎭⎫32＞0，∴h (x )＝0的解在区间⎝⎛⎭⎫1，32内，此时n ＝2. 答案 25．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a ，b (0＜b ＜a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是________．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r ＝12(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2，可得r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[]9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0＜2(a ＋b )9＜b 2，解得a b ＜54，又0＜b ＜a ⇒a b ＞1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 答案 ⎝⎛⎭⎫1，54 【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查． 【应对策略】方程根的个数的判断、利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点，尤其是利用数形结合确定方程根的个数更是重要考点，在填空题、解答题中都可以进行考查，对基本函数的图象熟练掌握即可解决此类问题．函数模型的建立、利用不等式或导数求函数最值都可能成为考点，尤其是利用导数求函数最值更是重要考点，一般在解答题中进行考查，难度多以中档题出现．解决此类问题应注意掌握几种常见的函数模型．若涉及分段函数问题，解题时，应注意根据图象信息恰当分类．再者解答应用题要认真审题，理清数量关系，将文字或图形或表格语言转化为数学语言，建立相应的目标函数即可解决此类问题.必备知识1．对于函数y＝f(x)，我们把满足f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，实质上函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，它是实数而不是点，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．2．函数零点的重要性质：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．3．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．4．常见的函数模型：(1)一次函数模型；(2)二次函数模型；(3)正比例和反比例函数模型；(4)指数函数模型；(5)对数函数模型．5．应用函数模型解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答．必备方法1．函数的零点：函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数．函数的零点分变号零点和不变号零点两种．变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y＝|x－1|有一个零点1，它是不变号零点，所以f(a)·f(b)＜0是函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的充分非必要条件．2．方程根的分布：求方程的根或根的近似值，就是求函数的零点值或其近似值．将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是能够简化运算程序，提高解决问题的效率．3．函数与方程的综合应用：数形结合是这种转化的重要依据，把数量关系和几何图形结合起来是函数综合应用借以考查数学综合能力的重要题型．4．函数应用题的解法：解答数学应用题是在阅读文字材料、理解题意的基础上对实际问题进行抽象概括，再转化为数学符号语言，最后进行数学化处理的过程.命题角度一函数与方程[命题要点] ①二次函数与二次方程；②确定方程解的个数，或者函数零点的个数；③已知方程解的个数或者函数零点的个数，确定参数的取值范围．【例1】►(2012·天一、淮阴、海门中学调研)若方程lg kx＝2lg(x＋1)仅有一个实根，那么k的取值范围是________．[审题视点][听课记录][审题视点] 根据函数图象将方程只有一个实根转化为函数图象只有一个交点．解析方程lg k x＝2lg(x＋1)仅有一个实根等价于函数y＝k x，y＝(x＋1)2，x＞－1的图象只有一个交点，在同一坐标系中作出函数图象如图，当直线y ＝k x 与y ＝(x ＋1)2，x ＞－1相切时，方程x 2＋(2－k )x ＋1＝0有两个相等的正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2－k )2－4＝0k －2＞0，解得k ＝4，当k ＜0时，y ＝k x 、y ＝(x ＋1)2，x ＞－1只有一个交点． 故k 的取值范围是k ＜0或k ＝4. 答案 {k |k ＜0或k ＝4}已知方程解的个数，求参数的取值范围，一般方法是优先考虑定义域，再对方程变形，转化为直线和曲线的交点个数，即已知两个函数图象在某个范围上的交点个数．求参数的范围，借助图象直观解题，注意图象一定要正确．【突破训练1】 二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数均为整数，若α，β∈(1,2)且α，β是方程f (x )＝0两个不等的实数根，则最小正整数a 的值为________．解析 根据条件进行等价转化，再利用二次函数图象直观求解．因为α，β∈(1,2)，且α，β是方程f (x )＝0两个不等的实数根，所以f (1)＞0，f (2)＞0，又二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数均为整数，且a ＞0，所以f (1)≥1，f (2)≥1，当a 最小时，必有f (1)＝1，f (2)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3a ，c ＝1＋2a ，代入Δ＝b 2－4ac ＞0中解得a ＞4.又当a ＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－15，c ＝11，满足题意，故最小正整数a 的值为5. 答案 5命题角度二 函数模型的应用[命题要点] ①函数模型的建立；②函数模型中的最值问题．【例2】► (2012·徐州高考考前信息卷)某公司经销某产品，第x 天(1≤x ≤30，x ∈N *)的销售价格为p ＝a ＋|x －20|(a 为常数)(元/件)，第x 天的销售量为q ＝50－|x －16|(件)，且公司在第18天该产品的销售收入为2 016元．(1)求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？(2)这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？ [审题视点] [听课记录][审题视点] 根据数量关系建立目标函数，将问题转化为分段函数的最值问题． 解 (1)设该公司第x 天的销售收入为f (x )，由已知，第18天的销售价格p ＝a ＋2，销售量q ＝48.所以第18天的销售收入f (18)＝(a ＋2)×48＝2 016，所以a ＝40.第20天的销售收入f (20)＝40×46＝1 840(元)．(2)由条件得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(34＋x )(60－x )， 1≤x ≤16，x ∈N *，(60－x )(66－x )， 17≤x ≤19，x ∈N *，(66－x )(20＋x )， 20≤x ≤30，x ∈N *.当1≤x ≤16时，f (x )＝(34＋x )(60－x )≤⎣⎡⎦⎤(34＋x )＋(60－x )22＝2 209.(当且仅当x ＝13时取等号)．所以，当x ＝13时取最大值f (13)＝2 209.当17≤x ≤19时，f (x )＝(60－x )(66－x )＝x 2－126x ＋60×66＝(x －63)2－9， 所以，当x ＝17时，f (x )取最大值为f (17)＝43×49＝2 107. 当20≤x ≤30时，f (x )＝(66－x )(20＋x )≤⎣⎡⎦⎤(66－x )＋(20＋x )22＝1 849.(当且仅当x ＝23时取等号)．所以当x ＝23时，f (x )取最大值f (23)＝1 849.由于f (13)＞f (17)＞f (23)，所以第13天该农户的销售收入最大，且最大为2 209元． 所以第20天的销售收入为1 840元；第13天该公司的销售收入最大，最大值为2 209元．函数模型的应用问题，解法程序化、模式化，一般是根据题意将实际问题转化为数学问题，再利用相应的数学知识解决问题，需要注意实际问题中的定义域要使函数有意义，而且要符合实际情况．【突破训练2】 (2012·无一、淮阴、海门中学调研)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0＜x ≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23， 则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a ＜t ≤12，∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a ，12上单调递增， 且g (0)＝3a ＋23，g ⎝⎛⎭⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝⎛⎭⎫12＝2⎝⎛⎭⎫a －14. 故M (a )＝⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12，0≤a ≤14，g (0)，14＜a ≤12，＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14＜a ≤12，∴当且仅当a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49＜a ≤12时超标．2．“新元”范围要考虑，不合题意要舍去一、对方程换元时要考虑“新元”的取值范围【例1】► 若关于x 的方程4x ＋a ·2x ＋a ＋1＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 解析 令2x ＝t ＞0，则问题转化为方程t 2＋at ＋a ＋1＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，利用分离参数得a ＝－t 2＋1t ＋1，所以实数a 的取值范围是函数y ＝－t 2＋1t ＋1在t ∈(0，＋∞)上的值域，令t ＋1＝m ＞1，则y ＝－(m －1)2＋1m＝2－⎝⎛⎭⎫m ＋2m ≤2－22，即y ≤2－22，故a ≤2－2 2. 答案 (]－∞，2－22老师叮咛：二次方程根的分布是函数与方程的重要内容，对于能够通过换元转化为二次函数或二次方程的问题，一般是先换元，将问题转化为“二次”的问题解决，但要注意，换元之后变量的范围与原来的就不一定一样，如本题，原方程是在R 上有解，但关于t 的方程就在t ∈(0，＋∞)上有解，常见错误只考虑利用Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，解得a ≤2－22或a ≥2＋2 2.二、正确应用函数图象确定方程实根个数【例2】► 函数f (x )＝x lg(x ＋2)－1的零点在(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k ＝________.解析 函数f (x )＝x lg(x ＋2)－1的零点即为方程lg(x ＋2)＝1x 的根，在同一坐标系中作出函数y ＝lg(x ＋2)与y ＝1x 的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或1.答案 －2或1 错误!三、函数模型的应用要注意将不合题意的结果舍去【例3】► 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析 因为c －a 是b －c 和b －a 的等比中项，所以c －ab －a ＝b －cc －a ，又由c ＝a ＋x (b －a )①得c －ab －a ＝x ，所以x ＝b －cc －a ⇒b －c ＝x (c －a )② 由①得b ＝c －a x ＋a ，代入②得 c －a x ＋a －c ＝x (c －a )，因为c －a ≠0，所以两边同时除以c －a 得1x －1＝x ，整理得x 2＋x －1＝0，且0＜x ＜1，解得x ＝5－12(舍去－5－12)．答案5－12老师叮咛：将函数的模型的应用题与数列、方程结合起来，这种题目真是难得一见.解题时要认真读懂题意，同时如果结果有几个，要注意将不合题意或不合实际问题的解舍去.。
拿高分选好题高中新课程数学苏教二轮复习专项突破《必考问题函数的图象和性质》热点命题
拿高分-选好题高中新课程数学(苏教)二轮复习专项突破《必考问题-－-函数的图象和性质》热点命题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ必考问题1 函数的图象和性质【真题体验】1.(2０11·江苏)函数f(ｘ)=log5（２x+1)的单调增区间是＿_____＿_．解析因为函数u＝2x+1,ｙ＝lｏｇ5ｕ在定义域上都是递增函数，所以函数f（ｘ）=ｌoｇ5(2x＋1)的单调增区间即为该函数的定义域,即2x＋１＞0,解得ｘ>-错误!，所以所求单调增区间是错误!.答案错误!2.(2０１１·江苏，2改编）已知函数y＝log2(ａｘ-１)在(1,２）上单调递增，则ａ的取值范围为＿____＿__．解析根据复合函数的单调性及对数函数的定义域求解．因为y=ｌog2(ax-1)在(１,2）上单调递增,所以u=ax－1在(1，2)单调递增,且恒大于0,即错误!⇒a≥1．答案［1,＋∞）3．(2０1０·江苏)设函数f(x)＝x(e x+a e-x）(ｘ∈R)是偶函数，则实数ａ的值为_＿______＿____＿．解析由题意可得g（ｘ）=e x+ａe-ｘ为奇函数,由g(0)=０,得ａ＝-１.答案-14．(2012·南京、盐城模拟)若函数f(x)=a-错误!是定义在(－∞，－1]∪[1，＋∞)上的奇函数，则f（x)的值域为________.解析由题意可得f(－1）＝-f（1)，解得a=-错误!，所以f(x)＝－错误!－＼ｆ(1，２x－1)，当x≥１时，得f（x）为增函数,2ｘ≥2,2x－1≥１,∴０<错误!≤1,∴－３错误!.由对称性知,当ｘ≤-1时，错误!＜f(ｘ)≤错误!.综上，所求2≤f(x)<-值域为错误!∪错误!．答案错误!∪错误!5．(2０1２·江苏)已知函数ｆ(x)＝x２+aｘ+b（a，b∈R）的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x）＜c的解集为(m，m+6)，则实数ｃ的值为_＿_＿＿_＿＿.解析由题意知f(ｘ)=x２+ａx＋b＝错误!2+ｂ-错误!.∵f(x)的值域为[0，＋∞),∴b－错误!＝0,即b＝错误!.∴f(x）＝错误!2．又∵f(x)<c，∴错误!2＜ｃ，即－错误!－错误!＜x<-错误!+错误!．∴错误!②－①，得2错误!＝6,∴c＝９．答案９【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B级要求,是重要考点;(２)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点,要求都是B 级；(3)幂函数是A级要求，不是热点考点，但要了解幂函数的概念以及简单幂函数的性质．试题类型一般是一道填空题,有时与方程、不等式综合考查．【应对策略】函数问题往往涉及许多重要的基础知识,不仅有常见的数学方法，还蕴含丰富的数学思想(如:等价转化、分类讨论、数形结合等）,体现了数学能力的高层次要求.在备考复习中,解答函数填空题，要注意小、巧、活，而函数综合题是江苏卷近几年每年必考的代数论证能力题的主要内容,充分体现了以导数为工具,以高中函数中的二次函数、指数和对数函数为载体的指导思想.要想在高考中得高分，必须对这一部分内容加以足够的重视．必备知识1．函数的单调性、奇偶性(1)由f(x)是增(减)函数且f(x1)＜ｆ（x２)⇔ｘ1＜x2(ｘ１>x2)，另外定义的等价形式:设任意ｘ1,x2∈[ａ,b],且x1≠x2,那么f(x1)-f(x2)＞0(<０）⇔ｆ（x)在[a，b]上是增(减)函数，x1-x２(2）奇偶函数的性质①奇函数f(ｘ）若在原点有定义,则必过原点,即f(０）＝0;②如果f(x）是偶函数，那么ｆ(ｘ)＝f(|x|),反之亦真;③偶函数在对称于原点的两个区间上单调性相反，而奇函数则单调性相同.2.函数图象的变换(1）平移变换(左“加”右“减”,上“加”下“减”)．(2)对称变换ｙ＝ｆ(x)错误!y=－f(ｘ),y＝f(x)错误!y=ｆ(－x),ｙ＝ｆ（x)错误!y＝-f(-x)，y=f(x)错误!y=f(|x|）,y＝f(x）错误!ｙ=｜ｆ(ｘ）|.３．二次函数的图象与性质(1)二次函数ｆ(x)＝ax2+bｘ+ｃ的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.（2)求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合,特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴．必备方法1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体,研究函数问题时务必“定义域优先”.２.单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法.对于填空题,也可用一些命题,如两个增(减)函数的和函数仍为增(减）函数．3．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途径．4．对函数图象的研究应从其主要特征入手,如：定义域、值域、奇偶性、对称性、特征点、特征线、周期等．5．函数图象的对称性(１)若函数ｙ=f(x）满足f(a+x）=ｆ（a－ｘ)，即ｆ(x)=f(2ａ－x），则ｆ(x）的图象关于直线x＝a对称.(２）若f(x）满足f（a＋x)=f(ｂ-ｘ),则函数f(x)的图象关于直线x=错误!对称．(3）若函数ｙ＝f(ｘ）满足f(ｘ）＝2b-f(2ａ-x)，则该函数图象关于点(a,b)成中心对称.6．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题中.7.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.对于幂函数，掌握好考纲中列出的五种常用的幂函数即可.命题角度一函数性质的应用[命题要点] ①给定解析式,求函数定义域;②对分段函数的理解和应用；③函数奇偶性、单调性的应用.【例1】►（２０10·江苏)已知函数f(x)=错误!则满足不等式f(１－x2)>f(2x)的x的范围是__＿_____．［审题视点］［听课记录］[审题视点] 分段函数的单调性,可以画出图象,利用图象直观地判断单调性．解析作出函数f(x)的图象，如图所示利用图象得f(1－ｘ2)＞f（2x)⇔1－x２＞2x≥０或错误!解得0≤x<错误!－1或-１＜ｘ≤0，即x的范围是(－1,2-1)．答案(-1，错误!－1)分段函数是指在定义域内的不同部分上,有不同的解析表达式的函数,它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系,所以分段函数是函数部分的一个重要考点，应引起我们的高度重视．【突破训练1】(201２·常州一中期中，5）已知y＝f(x)是Ｒ上的奇函数,且x＞０时，ｆ(x）＝１，则不等式f(x２－x)＜ｆ（0)的解集为__＿_＿___.解析由条件ｙ=ｆ(x)为R上的奇函数,ｘ>0时,f(x)=1;则f(0)=０,x＜0时，f(x)=-1,函数图象如图所示，由ｆ(x２-ｘ)<f(0),得ｘ2－ｘ＜0，从而x∈（0，１).答案(0,1）命题角度二函数图象的应用[命题要点] ①应用函数图象研究函数性质；②应用图象确定方程根的个数．【例2】►(2０1２·苏州模拟)已知函数f（x)=错误!(x∈(－1,1)),有下列结论:①∀x ∈（-1,１)，等式ｆ（－x)+f(ｘ)=0恒成立:②∀ｍ∈[０,＋∞),方程|f（ｘ)|=m有两个不等实数根；③∀ｘ1，x２∈(-1,1）,若x1≠ｘ2，则一定有f（x１)≠f（ｘ２)；④存在无数个实数k，使得函数g(ｘ）＝f(x)-kx在(-１,1)上有三个零点，则其中正确结论的序号为__＿＿_＿＿_______．[审题视点][听课记录]［审题视点] 可以作出函数图象,利用图象直观判断函数的奇偶性、单调性及交点个数．解析因为f(-x）＝-f（ｘ)，函数ｆ(x）是奇函数，故①正确；当m＝０时,｜ｆ（ｘ）｜=0只有一个解，故②错误;作出函数f(x)在（-1,1)上的图象如图所示，可知f(x)在(－1，1)上是增函数,故③正确;由图象可知y=f(x),ｙ＝kx在(－1,１)上有三个不同的交点时,k有无数个取值，故④正确.答案①③④由于根据函数解析式不太清楚该函数的有关性质，或者直接计算太麻烦,甚至解不出，故要学会利用数形结合的方法直观判断.【突破训练2】(20１2·盐城调研,1２）若y=f（x)是定义在R上周期为2的周期函数,且ｆ(x)是偶函数，当ｘ∈［0,1]时f(x)=２x－1,则函数g(x)=f(ｘ)-ｌｏg5|x|的零点个数为_＿_____＿．解析∵ｆ（x)为偶函数,周期为２,0≤ｘ≤1时，f(x)=2x－１,又ｌog５|x|(x≠0)亦为偶函数, ∴只需分析g(x）=f(x)－lｏg5|x|在x>０时零点个数,如图所示，交点有4个，即ｇ(ｘ)在x＞0时有4个零点．由对称性,ｇ(ｘ)在x<0时亦有4个零点．综上可知,g(x)的零点共有8个．答案8ﻬ命题角度三函数的综合应用[命题要点] ①函数性质的综合应用;②函数与不等式等其它知识的综合;③复合函数的性质．【例３】►(2012·无锡模拟)设函数f(ｘ)＝lg错误!，其中a∈Ｒ,对于任意的正整数n(n≥2)，如果不等式ｆ（ｘ)>（x－1)lg n在区间[1，+∞）上有解，则实数ａ的取值范围为＿______＿__＿＿＿＿．［审题视点][听课记录]［审题视点] 本题是指数函数的性质与不等式的综合应用,用分离参数的方法转化为函数最值问题求解,注意指数函数单调性的应用．解析 [由题意可得函数f （x )＝l ｇ＼f(＼o （∑,＼s ＼u ｐ6(ｎ-1），ｉ=1)i ｘ+n x a,n )＝l ｇ错误!＞(ｘ－１)ｌg n =lg nx －1,即为错误!>nx －１在区间［1,+∞)上有解,分离参数可得1－a <错误!错误!ｍa ｘ，由指数函数的单调性可得函数y =错误!x+错误!x+错误!x＋…+错误!ｘ在区间[1，＋∞)递减，即x =1时取得最大值1＋２+３＋…+(n -１)n =n -12,所以1-a ＜n －12⇒ａ＞3－n2在ｎ≥2时恒成立,所以a >错误!max ,而错误!在［2，＋∞)上递减,所以当ｎ=2时取得最大值错误!,故a ＞错误!.]答案 错误!,关于不等式恒成立、有解问题，通常利用分离参数的方法将所求字母的取值范围转化为函数最值,再利用相关函数的单调性等性质求函数最值,要熟练掌握并且能够灵活应用这一解法．【突破训练3】已知函数f(ｘ)＝错误!2＋错误!2的定义域是［ａ，b]，其中0＜a＜b．(1)求ｆ(x)的最小值；(２）讨论f（x)的单调性．解(1）f(x）=错误!＋错误!－2错误!＋２＝错误!2－2错误!＋２-错误!．设t＝错误!+错误!,则由ｘ∈[a，b]，０＜a<ｂ,得ｔ≥２错误!,从而ｔ∈错误!,于是ｙ=t２-2t＋2－错误!=(t－1)2＋1－＼f(2ｂ,a)在错误!上单调递增，所以当t=2错误!,即x＝错误!时，f(x)mｉｎ＝2错误!２.(２)由ｔ＝错误!+错误!≥２错误!,当且仅当错误!＝错误!, 即x＝＼r(ab)时等号成立,且t＝＼f（x,ａ）＋＼ｆ(b，x）在[a,＼r（ab)]上单调递减,在[ａb，b]上单调递增,且ｙ=t2－２t+2-２错误!是错误!上单调递增函数，所以f（x）在区间[a,＼r（aｂ)]上单调递减,区间[错误!，ｂ］上单调递增.命题角度四 二次函数[命题要点] ①针对三个“二次”之间的关系进行命题;②针对二次函数的相关性质进行命题.【例4】► 已知二次函数f (x )＝a ｘ2＋bx （ａ、b 为常数且a ≠０)满足条件f (ｘ-３)=f (5-x )，且方程f （ｘ)＝x 有等根.(1）求f (x )的解析式;(2)是否存在实数m 、n (ｍ<n ），使ｆ(x )的定义域和值域分别为[m ，ｎ]和［3m ，3n ］?如果存在，求出ｍ、n 的值;如果不存在,请说明理由.［审题视点］[听课记录］[审题视点］ 先由二次函数的对称轴及对应方程的解确定a ，ｂ,再由二次函数的性质进行解题．解 (1）由f （x -３)＝f （5－ｘ）可知,函数f （x ）图象的对称轴为x =1,即-＼f （b,2ａ)＝1.①又方程f （x )=ｘ有等根，即ax 2＋(b -1）x =0有等根, ∴b －1=0，故b =１，代入①可得a =－＼ｆ(1，2）. ∴f (x ）=－＼f(１，２)x 2+ｘ.（2)∵f （x )=-＼f(１,2)ｘ2＋x =－12（x －1）2+＼f(１,2)≤＼f （1,2)，∴3n ≤12．∴m ＜n ≤16<1.∴函数f （x )在[ｍ,n ]上单调递增.假设存在实数ｍ、ｎ(m ＜n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和［3ｍ，3n ],则有错误!即ｍ、n 是方程f (ｘ)=3x 的两根，且m <ｎ≤1６.由f (ｘ)＝3ｘ得x 1＝－4、x 2＝０，所以m =－４，n =０. ∴存在实数m 、n ． , (1)利用三个“二次”的相互转化解题 二次方程二次函数二次不等式(２）处理二次方程根的分布问题,要注意数形结合、函数与方程等思想方法的运用,具体求解时一般考虑判别式、对称轴位置、函数在端点的符号、列出不等式（组)求解即可,对于大小比较问题，一般用比较法或函数的单调性进行.【突破训练4】 (２011·南通、无锡调研）已知13≤a ≤1，若f (x ）=ａx 2-２x +1在区间［１,３]上的最大值为M (a ），最小值为Ｎ(a )，令g (a )=M （a ）－N (ａ）．（１)求g (a ）的函数表达式；(2)判断ｇ(a ）的单调性,并求出g (a )的最小值.解 (１)函数ｆ(ｘ）＝ax 2－2x ＋1的对称轴为直线ｘ＝1a ，而13≤a ≤1,所以1≤错误!≤３.所以ｆ(ｘ）在[1,3]上N (a )＝f错误!=1－错误!.①当1≤错误!≤2时,即错误!≤a ≤1时,M (ａ)＝f （3)=9ａ－5.②当2<错误!≤３时，即错误!≤a <错误!时,M (ａ）＝ｆ（１)＝a －1．所以g （ａ）=M (ａ)－N (a ）＝错误!(2）由题意知ｇ(a )在错误!上单调递增，g (a )在错误!上单调递减，故ｇ（a )m ｉｎ=g 错误!=错误!.ﻬ１．函数图象和性质应注意的三个问题一、判断函数的奇偶性要严格按照定义和步骤错误!,则函数f(x)＝错误!【例1】►定义两种运算:a⊕ｂ＝＼r(a2-ｂ2）,a⊗b＝的奇偶性为______＿_．解析根据所给的运算定义得函数ｆ(x)＝错误!=错误!，求出函数的定义域为[-2,0)∪(０,2］,关于原点对称，且x－2≤0,所以函数f（x)＝错误!=错误!＝错误!,易知f(-ｘ)＝－f(x)，所以原函数为奇函数．答案奇函数老师叮咛：函数奇偶性是函数的重要性质,对奇偶性部分的常见题型及其解法要理解并且掌握，不要跳步,这在平时训练中要养成好的解题习惯.如本题,若不按照定义法判断函数奇偶性的步骤进行、函数的解析式没有化简变形等，就会出现下面的错误解法：根据所给的运算定义得函数二、正确应用函数性质和结论解题【例2】►已知偶函数ｆ（x）在区间[０,+∞)上单调递增，则满足f(2ｘ-1)＜f错误!的x取值范围是___＿___＿.解析由于ｆ(x）是偶函数，故f（x)=ｆ(|ｘ|),所以得f(|２ｘ－1｜)<ｆ错误!,再根据f(x)的单调性得｜２x-1|<＼f(1，3）,解得错误!＜x<错误!.答案错误!老师叮咛：函数奇偶性与单调性的综合是常见题型，一般解法是利用函数奇偶性的结论进行等价变形,如奇函数在x=0处有意义时，要充分利用f(０)＝0的结论,偶函数有f(x)=ｆ(|ｘ|)的结论简化运算，否则,会导致分类繁琐，很容易分类不全，造成漏解,如本题，如果不考虑2x-1为负数的情况，就会造成解集中漏解的情况，出现下面的错误解法：由题意可得0≤2ｘ－１＜＼f(１，3)，解得＼f(1,2）≤x<错误!.三、分段函数的单调性要考虑区间交汇处的函数值大小【例3】►已知函数f(x)=错误!满足对任意x1≠x2，都有错误!<0成立，则a 的取值范围是＿____＿_＿______．解析由题意知错误!解得0＜a≤错误!,所以a的取值范围是错误!．答案错误!老师叮咛:函数单调性是函数的重要性质,是必考知识点之一，其中分段函数的单调性又是一个难点，容易对单调性的定义理解不透彻,尤其是对分段函数各个单调区间之间的关系，认为分段函数在各段上递减，则函数f（x)在其定义域上就是单调减函数，即将两个减区间取了并集．如本题,会出现如下错误解法：由x1≠x2，都有＼f(f(ｘ1)-f(x2)，ｘ1－x2)<０得函数ｆ(x）在R上是单调减函数，所以错误!，解得0<ａ<1.。
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测1 苏教版(2)
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测1 苏教版(2)一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则该幂函数的解析式为f (x )＝________.2．(xx·山东改编)函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为________．3．已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋3，若f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＝4，则f (2 013)值为________．4．(xx·泰州期末)设A 为奇函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)图象上一点，在A 处的切线平行于直线y ＝4x ，则A 点的坐标为________． 5．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f x ＋1， x ≤2，3－x， x ＞2，则f (log 32)的值为________．6．设f (x )＝x 3＋log 2()x ＋x 2＋1，则不等式f (m )＋f (m 2－2)≥0(m ∈R )成立的充要条件是________．(注：填写m 的取值范围)7．定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx (a ，b ∈R )，若y ＝f (x )在区间[－1,2]上是单调减函数，则a ＋b 的最小值为________．9．给出下列说法：①若f ′(x 0)＝0，则f (x 0)是函数f (x )的极值；②若f (x 0)是函数f (x )的极值，则f (x )在x 0处可导；③函数f (x )至多有一个极大值和一个极小值；④定义在R 上的可导函数f (x )，若方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )无极值．其中正确说法的序号是________(填上你认为正确的所有说法的序号)10．(xx·盐城模拟)若y ＝f (x )是定义在R 上周期为2的周期函数，且f (x )是偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1，则函数g (x )＝f (x )－log 3|x |的零点个数为________． 11．(x x·常州质检)设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数 f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ＞k ，k ，f x ≤k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为______________．12．(xx·苏锡常镇调研)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n ＋m ＝________.13．(xx·南通密卷)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，那么k 的取值范围是________．14．对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减．其中是真命题的是________．(写出所有真命题的序号)二、解答题(本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(1)求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间和值域；(2)若方程lg(－x 2＋3x －m )＝lg(3－x )在[0,3]上有唯一解，求m 的取值范围． 16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x－kx ，x ∈R .(1)若k ＝e ，试确定函数f (x )的单调区间；(2)若k ＞0，且对于任意x ∈R ，f (|x |)＞0恒成立，试确定实数k 的取值范围． 17．(本小题满分14分)(xx·南京、盐城模拟)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业，其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为cv 2(c 为正常数)；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为v2(米/单位时间)，单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y . (1)将y 表示为v 的函数；(2)设0＜v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最少．18．(本小题满分16分)(xx·苏北四市调研)若函数f (x )在(0，＋∞)上恒有xf ′(x )＞f (x )成立(其中f ′(x )为函数f (x )的导函数)，则称这类函数为A 型函数． (1)若函数g (x )＝x 2－1，判断g (x )是否为A 型函数，并说明理由；(2)若函数h (x )＝ax －3－ln x －1－ax是A 型函数，求函数h (x )的单调区间；(3)若函数f (x )是A 型函数，当x 1＞0，x 2＞0时，证明f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)． 19．(本小题满分16分)(xx·泰州期末)已知函数f (x )＝12x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋12a ln x －2ax .(1)当a ＝－12时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )在f ′(x )的单调区间上也是单调的，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分16分)(xx·扬州中学质检)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞2x 的解集为(－1,3)．(1)若函数g (x )＝xf (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3内单调递减，求a 的取值范围；(2)当a ＝－1时，证明方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根；(3)当x ∈[0,1]时，试讨论|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件．过关检测(一) 1．解析 设幂函数f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14代入解得α＝－2，故该幂函数的解析式为f (x )＝x －2.答案 x －22．解析 根据使函数有意义的条件求解．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1＜x ≤2，且x ≠0.答案 (－1,0)∪(0,2]3．解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013＝4，∴a log 212 013－b log 312 013＋3＝4，即－a log 22 013＋b log 32 013＋3＝4，∴a log 22 013－b log 32 013＝－1， ∴f (2 013)＝a log 22 013－b log 32 013＋3＝－1＋3＝2. 答案 24．解析 由函数f (x )＝x 3＋x ＋a (a 为常数)为奇函数得a ＝0，设点A 的横坐标为x ，则f ′(x )＝3x 2＋1＝4，解得x ＝－1或1，又f (－1)＝－2，f (1)＝2，所以A 点的坐标为(1,2)或(－1，－2)．答案 (1,2)或(－1，－2)5．解析 因为log 32∈(0,1)，所以log 32＋2∈(2,3)，所以f (log 32)＝f (log 32＋2)＝3－(log 32＋2)＝12×19＝118.答案 1186．解析 判断函数是奇函数，且在R 上是递增函数，∴f (m )＋f (m 2－2)≥0即为f (m 2－2)≥－f (m )＝f (－m )，∴m 2－2≥－m ，解得m ≥1或m ≤－2. 答案 m ≥1或m ≤－27．解析 因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，所以不等式f (a )≥f (2)即为f (|a |)≥f (2)，又函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2.答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)8．解析 由题意可知f ′(x )＝x 2＋2ax －b ≤0在区间[－1,2]上恒成立，∴1－2a －b ≤0且4＋4a －b ≤0，作出可行域如图，当直线经过两直线的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，取得最小值32. 答案 329．解析 对于说法①，对于可导函数f (x )，f (x 0)是函数f (x )的极值，除了要有f ′(x 0)＝0，还要在x ＝x 0的左右两边的导函数符号相反，所以①错误；f (x 0)是函数f (x )的极值时，由极值的概念可知，f (x )在x 0处不一定可导，所以②错误；函数f (x )极值点的个数可能有多个，所以③错误；方程f ′(x )＝0无实数解，则函数f (x )肯定无极值，但它的逆命题不对，所以答案选择④.答案 ④10．解析 利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中作出函数y ＝f (x )，y ＝log 3|x |的图象如图，由图象可知原函数有4个零点．答案 4 11．解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3|x |，x ＜－33或x ＞3313，－33≤x ＜0或0＜x ≤33，所以函数f 13(x )的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－33. 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－33(开区间也对) 12．解析 因为0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，所以0＜m ＜1＜n ，且m ＝1n.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2， 所以最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝2，所以m 2＝14，因为0＜m ＜1，所以m ＝12，n ＝2，所以m ＋n ＝52.答案 5213．解析 由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x 在(－∞，2]上有两个不同实根，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，9414．解析 ∵定义域关于原点对称，且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，①正确；∵f (x ＋2π)≠f (x )，∴2π不是函数f (x )的周期，②错误； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≠－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，∴点(π，0)不是函数f (x )的图象的一个对称中心，③错误； ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ≥0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，又∵函数f (x )是偶函数，∴在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递减，④正确，所以真命题的序号是①④. 答案 ①④15．解 (1)利用复合函数的单调性可知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|的单调递增区间即为函数y ＝|x ＋2|的递减区间，即(－∞，－2)；∵|x ＋2|≥0，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|∈(0,1]，即值域为(0,1]；(2)原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x －m ＞03－x ＞00≤x ≤3－x 2＋3x －m ＝3－x⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜3－x 2＋4x －3＝m令y 1＝－x 2＋4x －3，y 2＝m ，在同一坐标系内，画出它们的图象，如图．其中注意0≤x ＜3，当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时，原方程有唯一解，当m ＝1，或－3≤m ≤0时，原方程有唯一解，因此m 的取值范围为[－3,0]∪{1}．16．解 (1)由k ＝e 得f (x )＝e x－e x ，所以f ′(x )＝e x－e.由f ′(x )＞0得x ＞1，故f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)， 由f ′(x )＜0得x ＜1，故f (x )的单调递减区间是(－∞，1)． (2)由f (|－x |)＝f (|x |)可知f (|x |)是偶函数．于是f (|x |)＞0对任意x ∈R 恒成立等价于f (x )＞0对任意x ≥0恒成立．由f ′(x )＝e x－k ＝0得x ＝ln k . ①当k ∈(0,1]时，f ′(x )＝e x －k ＞1－k ≥0(x ＞0)．此时f (x )在[0，＋∞)上单调递增．故f (x )≥f (0)＝1＞0，符合题意．②当k ∈(1x (0，ln k ) ln k (ln k ，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 单调递减 极小值 单调递增依题意，k －k ln k ＞0，又k ＞1，∴1＜k ＜e.综合①，②得，实数k 的取值范围是0＜k ＜e.17．解 (1)潜入水底用时30v ，用氧量为30v×cv 2＝30cv ；水底作业时用氧量为5×0.4＝2；返回水面用时60v ，用氧量为60v ×0.2＝12v.所以y ＝30cv ＋2＋12v(v ＞0)．(2)y ＝30cv ＋2＋12v≥2＋230cv ×12v＝2＋1210c .当且仅当30cv ＝12v，即v ＝25c时取等号． 当25c ≤5，即c ≥2125时，v ＝25c时，y 的最小值2＋1210c . 当 25c ＞5，即c ＜2125时，y ′＝30c －12v 2＝30cv 2－12v 2＜0，因此函数y ＝30cv ＋2＋12v在(0,5]上为减函数，所以当v ＝5时，y 的最小值为150c ＋225.综上，当c ≥2125时，下潜速度为 25c 时，用氧量最小为2＋1210c ；当0＜c ＜2125时，下潜速度为5时，用氧量最小为150c ＋225.18．解 (1)因为g ′(x )＝2x ，所以xg ′(x )－g (x )＝2x 2－(x 2－1)＝x 2＋1＞0在(0，＋∞)上恒成立，即xg ′(x )＞g (x )在(0，＋∞)上恒成立，所以g (x )＝x 2－1是A 型函数．(2)h ′(x )＝a －1x ＋1－a x 2(x ＞0)，由xh ′(x )＞h (x )，得ax －1＋1－ax＞ax －3－ln x －1－ax，因为x ＞0，所以可化为2(a －1)＜2x ＋x ln x ，令p (x )＝2x ＋x ln x ，p ′(x )＝3＋ln x ，令p ′(x )＝0，得x ＝e －3，当x ∈(0，e －3)时，p ′(x )＜0，p (x )是减函数；当x ∈(e －3，＋∞)时，p ′(x )＞0，p (x )是增函数，所以p (x )min ＝p (e －3)＝－e －3，所以2(a －1)＜－e －3，a ＜1－12e －3.①当a ＝0时，由h ′(x )＝1－xx2＞0，得x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；②当a ＜0时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得0＜x ＜1，所以增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； ③当0＜a ＜12时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1，或x ＞1－a a ，所以增区间为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1；④当a ＝12时，h ′(x )≥0，所以，函数增区间为(0，＋∞)；⑤12＜a ＜1－12e －3时，由h ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x －1x 2＞0，得x ＜1－a a，或x ＞1， 所以增区间为(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ，1.(3)证明：函数f (x )是(0，＋∞)上的每一点处都有导数，且xf ′(x )＞f (x )在(0，＋∞)上恒成立，设F (x )＝f x x ，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2＞0在(0，＋∞)时恒成立， 所以函数F (x )＝f xx在(0，＋∞)上是增函数，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2＞x 1＞0，x 1＋x 2＞x 2＞0， 所以F (x 1＋x 2)＞F (x 1)，F (x 1＋x 2)＞F (x 2)， 即f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 1x 1，f x 1＋x 2x 1＋x 2＞f x 2x 2，所以f (x 1)＜x 1f x 1＋x 2x 1＋x 2，f (x 2)＜x 2f x 1＋x 2x 1＋x 2，两式相加，得f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)．19．解 (1)f (x )＝12x 2－116ln x ＋x (x ＞0)，f ′(x )＝x －116x ＋1＝16x 2＋16x －116x＝0解得x ＝－2－54或－2＋54，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－2＋54时单调减，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2＋54，＋∞时单调增，故f (x )在x ＝－2＋54时取极小值，无极大值．(2)f ′(x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12ax (x ＞0)，令g (x )＝x 2－2ax ＋34a 2＋12a ，Δ＝4a 2－3a 2－2a ＝a 2－2a ，设g (x )＝0的两根为x 1，x 2(且x 1＜x 2)， 10当Δ≤0时，即0≤a ≤2，f ′(x )≥0，∴f (x )单调递增，满足题意 20当Δ＞0时，即a ＜0或a ＞2时，①若x 1＜0＜x 2，则34a 2＋12a ＜0，即－23＜a ＜0时，f (x )在(0，x 2)上单调减，(x 2，＋∞)上单调增，f ′(x )＝x ＋34a 2＋12a x－2a ， f ′′(x )＝1－34a 2＋12a x2≥0，∴f ′(x )在(0，＋∞)单调增，不合题意； ②若x 1＜x 2＜0则⎩⎪⎨⎪⎧ 34a 2＋12a ≥0a ＜0，即a ≤－23时f (x )在(0，＋∞)上单调增，满足题意．③若0＜x 1＜x 2则⎩⎪⎨⎪⎧34a 2＋12a ＞0a ＞0即a ＞2时，∴f (x )在(0，x 1)单调增，(x 1，x 2)单调减，(x 2，＋∞)单调增，不合题意综上得a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[0,2] 20．解 (1)∵f (x )－2x ＞0的解集为(－1,3)，∴可设f (x )－2x ＝a (x ＋1)(x －3)，且a ＜0，因而f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＋2x ＝ax 2＋2(1－a )x －3a ① g (x )＝xf (x )＝ax 3＋2(1－a )x 2－3ax ，∵g (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3内单调递减，∴g ′(x )＝3ax 2＋4(1－a )x －3a 在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a3上的函数值非正，由于a ＜0，对称轴x ＝2a －13a ＞0，故只需g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 33＋43a (1－a )－3a ≤0，注意到a＜0，∴a 2＋4(1－a )－9≥0，得a ≤－1或a ≥5(舍去)． 故所求a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，即证方程2x 3＋x 2－4x －4＝0仅有一个实数根．令h (x )＝2x 3＋x 2－4x －4，由h ′(x )＝6x 2＋2x －4＝0，得x 1＝－1，x 2＝23，易知h (x )在(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－1，23上递减，h (x )的极大值h (－1)＝－1＜0，故函数h (x )的图象与x 轴仅有一个交点，∴a ＝－1时，方程f (x )＝2x 3－1仅有一个实数根，得证．(3)设r (x )＝f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1＝ax 2＋x ＋1，r (0)＝1，对称轴为x ＝－12a，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12≤a ＜0r 1＝a ＋2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－12r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝1－14a ≤3r 1＝a ＋2≥－3，解出－5≤a ＜0，故使|f (x )＋(2a －1)x ＋3a ＋1|≤3成立的充要条件是－5≤a ＜0.27140 6A04 樄21335 5357 南g^31967 7CDF糟U?Fc38664 9708 霈 25076 61F4 懴36070 8CE6 賦|•。
2021-2022年(新课程)高中数学二轮复习 精选过关检测2 苏教版
2021-2022年（新课程）高中数学二轮复习 精选过关检测2 苏教版一、填空题(本题共14小题，每小题5分，共70分)1．log 2sinπ8＋log 2cos π8＝________. 2．(xx·苏锡常镇调研)已知钝角α满足cos α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4的值为________．3．(xx·南京、盐城模拟)已知正△ABC 的边长为1，CP →＝7CA →＋3CB →，则CP →·AB →＝________.4．(xx·盐城模拟)函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间为________．5．(xx·盐城调研)△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2sin B,2－cos 2B )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2，－1，m ⊥n ，∠B ＝________.6．(xx·常州调研)在△ABC 所在平面上有三点P ，Q ，R ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，RA →＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为________．7．(xx·湖北卷)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.8．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝22，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3值为________．9．下列五个命题：①y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫x ＝k π2，k ∈Z ；③在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象有三个公共点； ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数； ⑤把y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6得到y ＝3sin 2x 的图象．其中真命题的序号是________．10．已知O 为平面内一点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．11．(xx·泰州期末)在等腰直角三角形ABC 中，A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M ，N 分别为AB 边和AC 边上的点，且M ，N 关于直线AD 对称，当PM →·PN →＝－12时，AMMB＝________.12．(xx·通州检测改编)如图，在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC (包括边界)内任一点，则AN →·MP →的取值范围为________．13．已知O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，则△ABC 是________三角形．14．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 3αcos α＋cos 3αsin α的最小值为________．二、解答题(本题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知a ＝(sin α，1), b ＝(cos α，2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)若a ∥b ，求tan α的值； (2)若a ·b ＝125，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．16．(本小题满分14分)(xx·常州质量检测)已知m 、x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )；(1)当m ＞0时，若|a |＜|b |，求x 的取值范围；(2)若a·b ＞1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．17．(本小题满分14分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A是△ABC 的内角．(1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状．18．(本小题满分16分)在△ABC 中，cos A ＝1114，cos B ＝1314. (1)若AC ＝3，求△ABC 的面积S △ABC ； (2)若|CA →＋CB →|＝19，求AB 的长．19．(本小题满分16分)已知三点A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sinγ)，若向量OA →＋kOB →＋(2－k )OC →＝0(k 为常数且0<k <2)，求cos(β－γ)的最值及相应的k 值．20．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 所在的直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之和为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记BC ＋CAAB＝x . (1)求函数f (x )＝S 1S 2的解析式，并求f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的最小值．过关检测(二)1．解析 log 2sin π8＋log 2cos π8＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8cos π8＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π4＝log 224＝log 22－32＝－32.答案 －322．解析 因为α是钝角，所以α2是锐角，cos α＝2cos2α2－1＝－35，所以cos α2＝55，sinα2＝255，tanα2＝2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4＝2＋11－2＝－3.答案 －33．解析 CP →·AB →＝(7CA →＋3CB →)·AB →＝7CA →·AB →＋3CB →·AB →＝－72＋32＝－2.答案 －24．解析 f (x )＝sin 2x sin π6＋cos 2x cos π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，结合函数图象可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 5．解析 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，所以4sin B ·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B 2＋cos 2B －2＝0，所以2sinB ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋B ＋cos 2B －2＝0，即2sin B ＋2sin 2B ＋1－2sin 2B －2＝0，也即sin B ＝12，又因为0<B <π，所以B ＝π6或56π.答案 π6或56π6．解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－PA →，得PC →＝2AP →，所以P 为线段AC 的一个三等分点．同理可得Q 与R 的位置，所以△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形的面积，所以所求面积比为1∶3. 答案 1∶37．解析 由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM →＝23AD→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以有AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3. 答案 38．解析 由sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ＝2sin 2θ两边平方，得1＋sin 2θ＝2sin 22θ，解得sin 2θ＝1或sin 2θ＝－12.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2θ≠1，所以2θ＝7π6或2θ＝11π6， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－1或12. 答案 －1或129．解析 ①中，y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，故最小正周期是π，故①正确；②中，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎪⎪x⎭⎬⎫x ＝k π＋π2，k ∈Z ，故②不正确；③中，在同一坐标系中，y ＝sin x 的图象和y ＝x 的图象只有一个公共点，故③不正确；④中，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，在[0，π]上是增函数，故④不正确；⑤中，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π6，得到 y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝3sin 2x 的图象，故⑤正确．答案 ①⑤10．解析 由OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →得OP →－OA →＝AP →＝λ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →，取BC 的中点D ，则12BC →＝BD →，AB →＋12BC →＝AB →＋BD →＝AD →，即AP →＝λAD →，所以A ，P ，D 三点共线，又AD 为中线， 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心． 答案 重心11．解析 由等腰直角三角形ABC 中，A ＝90°，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点知AD ＝1，AP ＝12，又由PM →·PN →＝－12知(PA →＋AM →)·(PA →＋AN →)＝－12，化简得PA →2＋(AM →＋AN →)·PA →＋AM →·AN →＝－12，又M ，N 关于直线AD 对称，知|AM →|×12×cos 135°＋|AN →|×12×cos 135°＝－34，故AM ＝324，所以AMMB＝3.答案 312．解析 以点C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，建立如图所示直角坐标系，设P (x ，y )，则由题可知B (1,0)，A (0，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，所以AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3，MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －32，所以AN →·MP →＝x 2－14－3y＋32＝x 2－3y ＋54，直线AB 的方程为3x ＋y －3＝0. 由题可知⎩⎨⎧x≥0，y ≥0，3x ＋y －3≤0，由线性规划知识可知，当直线x2－3y ＋54－z ＝0过点A 时有最小值－74，过点B 时有最大值74.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74，74 13．解析 由OC →＝－(OA →＋O B →)，得|OC →|2＝(OA →＋OB →)2＝|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →，即2OA →·OB→＝|OC →|2－|OA →|2－|OB →|2＝－1，所以|AB |2＝(OB →－OA →)2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OB →·OA →＝1＋1＋1＝3，即|AB →|＝ 3.同理|BC →|＝|CA →|＝3，所以△ABC 是正三角形． 答案 正三角形14．解析 y ＝sin 3αcos α＋cos 3αsin α＝sin 4α＋cos 4αsin αcos α＝sin 2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2αsin αcos α＝1－12sin 22α12sin 2α＝2sin 2α－sin 2α. 设x ＝sin 2α，由0<α<π2，得0<x ≤1，于是转化为求函数y ＝2x－x (0<x ≤1)的最小值．因为y ＝2x－x 在(0,1]上为减函数，所以y min ＝2－1＝1.答案 115．解 (1)因为a ∥b ，所以2sin α＝cos α，所以tan α＝12.(2)因为a ·b ＝125，所以sin αcos α＋2＝125即sin 2α＝45.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以2α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 16．解 (1)|a |2＝x 2＋m 2，|b |2＝(m ＋1)2x 2＋x 2，因为|a |＜|b |，所以|a |2＜|b |2.从而x 2＋m 2＜(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12＜x 2，解得x ＜－mm ＋1或x ＞mm ＋1.(2)a·b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx ＞1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1＞0对任意的实数x 恒成立． 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＞0，m 2－4m ＋1m －1＜0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，m ＞233，或m ＜－233.所以m ＞233.所以，m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞.17．解 (1)由m ∥n ，得sin A (sin A ＋3cos A )＝32，即sin 2A ＋3sin A cos A ＝32，所以1－cos 2A 2＋32sin 2A ＝32，所以32sin 2A －12cos 2A ＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. 因为0<A <π，所以2A －π6＝π2，A ＝π3.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ，即bc ≤a 2＝4.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤ 3，当且仅当b ＝c ，即△ABC 是等边三角形时等号成立．故S 取得最大值时，△ABC 是等边三角形．18．解 (1)因为cos A ＝1114，cos B ＝1314，A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝5314，sin B ＝1－cos 2B ＝3314. 所以sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5314×1314＋1114×3314＝32.又由正弦定理，得BC sin A ＝ACsin B ，所以BC ＝3×53143314＝5，所以S △ABC ＝12×AC ×BC sin C ＝12×3×5×32＝1534.(2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即a 5314＝b3314，所以a 5＝b3，设a ＝5t ，b ＝3t ，(t ＞0)则由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25t 2＋9t 2－15t 2＝19t 2.又由19＝|CA →＋CB →|，得19＝(CA →＋CB →)2＝CA →2＋CB →2＋2CA →·AB →＝a 2＋b 2＋2ab cos C＝25t 2＋9t 2＋15t 2＝49t 2，所以t 2＝1949，所以AB 2＝19×1949＝19272，所以AB ＝197.19．解 由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋k cos β＋2－k cos γ＝0，sin α＋k sin β＋2－k sin γ＝0移项，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－k cos β－2－kcos γ，sin α＝－k sin β－2－k sin γ，两式平方相加，整理，得k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos(β－γ)＝1，所以cos(β－γ)＝－2k 2－4k ＋32k 2－k ＝1＋32k k －2＝1＋32k －12－2，于是由0<k <2，得k ＝1时，cos(β－γ)取最大值－12.又因为－1≤cos(β－γ)，此时1＋32k k －2≥－1且0<k <2，解得12≤k ≤32.所以当k ＝12或32时，cos(β－γ)取最小值－1.综上所述，当k ＝1时，cos(β－γ)取最大值－12；当k ＝12或32时，cos(β－γ)取最小值－1.20．解 (1)设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则斜边AB 上的高为h ＝ab c，所以S 1＝πah ＋πbh ＝πabc(a ＋b )，S 2＝π⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b －c 22，所以f (x )＝S 1S 2＝4ab a ＋b c a ＋b －c 2，又⎩⎪⎨⎪⎧a ＋bc ＝x ，a 2＋b 2＝c 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝cx ，ab ＝12x 2－1c 2，所以f (x )＝2x 2＋xx －1.在Rt △ABC 中，有a ＝c sin A ，b ＝c cos A ⎝⎛⎭⎪⎫0<A <π2， 则x ＝a ＋b c ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，所以x ∈(1，2]．(2)f (x )＝2x 2＋x x －1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋2x －1＋6， 设t ＝x －1，则t ∈(0，2－1]，y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋6在(0，2－1]上是减函数，故当x ＝(2－1)＋1＝2时，f (x )取最小值62＋8.39534 9A6E 驮23014 59E6 姦24884 6134 愴22121 5669 噩u278416CC1 況 ?35962 8C7A 豺27117 69ED 槭21312 5340 區?34176 8580 薀31944 7CC8 糈-。
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1 x＝2x′， x′＝ x， 2 所以 即 1 (8 分) y′＝2y， y＝2y′， 1 代入 y＝sin x 得：2y′＝sin 2x′，即 y′＝2sin 2x′.即曲线 y ＝sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y＝2 sin 2x.(10 分)
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A.
上页 下页 ，由 c d 0＝3， d
a＝2， 得 c＝3. a 再由 c
(5 分)
a＋b＝3， 1 3 b1 1＝31＝3，得 d c＋d＝3， 2 ∴A＝ 3
专题三 40分附加题大突破
与抢分秘诀
矩阵与变换
1 M＝ 0
【示例】► 设
0 2 ，N＝ 2 1
0 ，试求曲线 y＝sin x 在 0 1
矩阵 MN 变换下的曲线方程． 解题突破 程． 可先求出 MN， 再求曲线在 MN 变换下的曲线方
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解
b＝1， ∴ d＝0，
1 .(10 分) 0
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【抢分秘诀】 (1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序．
(2)记住求逆矩阵的过程．
(3)在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关 系．
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评分细则
1正确求出 MN 得 3 分.如果不正确本题不给分.,2
x＝2x′， 正确表示 1 得 8 分.,3没有正确表示 y＝2sin 2x，扣 y＝2y′， 1 分.
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【突破训练】 已知二阶矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3)， 且属于特 征值 3
1 的一个特征向量是 ，求矩阵 1
1 MN＝ 0
1 0 2 0 2 0
1 2 0 ＝ 1 0
，(3 分) 2
设(x，y)是曲线 y＝sin x 上的任意一点， MN 变换下对应的点 在 1 2 0 为(x′，y′)．则 0 x′ x y＝y′(5 分) 2