2.2.1推理与证明:直接证明与间接证明
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014~2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程:
已知正实数 a、b 满足 a+b=1,求 2a+1+ 2b+1的最
大值.
解:∵
2a+1· 2≤
2a+12+ 2
22=a+32,
2b+1· 2
≤
2b+12+ 2
22=b+32,
相 加 得 2a+1 · 2 + 2b+1 · 2 = 2 ( 2a+1 + 2b+1)≤a+b+3=4.
综合法: ∵a、b、c∈R+,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, ∴2(a2+b2+c2)≥(ab+bc+ac), ∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, ∴ a2+b32+c2≥a+3b+c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点,熟练应用分析法与综合法证明 命题.
重点难点
• 重点:综合法和分析法的概念及思考过程、特点. • 难点:综合法和分析法的应用.
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1.定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;
• (2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明 ,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明,常用分析法;
• (3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式;
数学证明中的直接证明与间接证明
数学是一门严谨的学科,其核心在于推理与证明。
在进行数学证明时,有直接证明和间接证明两种方法。
直接证明是通过逻辑推理直接得出结论,而间接证明则是通过反证法或者归谬法,通过推翻事实的否定来得出结论。
本文将分别介绍直接证明和间接证明,并分析它们在数学证明中的应用。
首先,我们来讨论直接证明。
直接证明是最常见、最直接的证明方法。
其核心思想是根据已知条件和数学定理,一步一步地推导出结论。
直接证明通常包括假设、推理和结论三个步骤。
首先,我们根据题目给出的条件假设一些前提条件,然后利用已知的定理和公理进行推理,最后根据这些推理得出结论。
直接证明的优点是逻辑性强、直观明了,容易让读者明白推理的过程。
此外,对于一些简单的数学问题,直接证明能够很快得出结论,省去了许多繁琐的步骤。
然而,直接证明的弊端是有时难以找到合适的定理进行推理,或者推导过程中的中间步骤比较复杂。
在遇到这种情况时,我们就需要采用间接证明的方法。
其次,我们来讨论间接证明。
间接证明有两种形式,一种是反证法,另一种是归谬法。
反证法的基本思想是通过假设反命题的真假进行推导,如果得出一个恒真的结论,则原命题成立。
归谬法则是通过假设原命题为真进行推导,最后得出一个恒假的结论,从而推翻了原命题。
间接证明的优点是可以处理一些复杂的数学问题,特别是那些直接证明困难的问题。
间接证明可以通过假设反命题的真假或者假设原命题的真假,利用反证法或归谬法的推导过程将问题的复杂性降低,从而得出结论。
然而,间接证明的过程通常较为繁琐,需要较高的抽象思维能力和逻辑推理能力。
在实际的数学证明中,常常需要根据题目的要求和限制条件选择合适的证明方法。
有时,我们可以通过观察和归纳总结出一些数量关系或性质,然后用直接证明进行推导。
而对于一些性质复杂的数学问题,我们可能需要采用间接证明的方法。
因此,掌握直接证明和间接证明的技巧对于解决数学问题至关重要。
总之,数学证明中的直接证明和间接证明是两种常用的推理方法。
直接证明与间接证明_知识讲解
直接证明与间接证明【要点梳理】要点一:直接证明直接证明最常见的两种方法是综合法和分析法,它们是思维方向相反的两种不同的推理方法. 综合法定义:一般地,从命题的已知条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,经过演绎推理,一步步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明,我们把这种思维方法叫做综合法.... 基本思路:执因索果综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后导出待证结论或需求的问题.综合法这种由因导果的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.综合法的思维框图:用P 表示已知条件,Q 表示要证明的结论,123...i Q i n =(,,,,)为已知的定义、定理、公理等,则综合法可用框图表示为: 11223...n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒(已知) (逐步推导结论成立的必要条件) (结论)要点诠释(1)从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理实际上是寻找它的必要条件;(2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹;(3)因用综合法证明命题“若A 则D ”的思考过程可表示为:故要从A 推理到D ,由A 推演出的中间结论未必唯一,如B 、B 1、B 2等,可由B 、B 1、B 2进一步推演出的中间结论则可能更多,如C 、C 1、C 2、C 3、C 4等等.所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“瓶颈”.综合法证明不等式时常用的不等式(1)a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号);(2)2a b +≥a ,b ∈R*,当且仅当a =b 时取“=”号); (3)a 2≥0,|a |≥0,(a -b )2≥0;(4)2b a a b +≥(a ,b 同号);2b a a b+≤-(a ,b 异号); (5)a ,b ∈R ,2221()2a b a b +≥+, (6)不等式的性质定理1 对称性:a >b ⇔b <a .定理2 传递性:a b a c b c >⎫⇒>⎬>⎭. 定理3 加法性质:a b a c b c c R >⎫⇒+>+⎬∈⎭. 推论 a b a c b d c d >⎫⇒+>+⎬>⎭. 定理4 乘法性质:0a b ac bc c >⎫⇒>⎬>⎭. 推论1 00a b ac bc c d >>⎫⇒>⎬>>⎭. 推论2 0*n n a b a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭.定理5 开方性质:0*a b n N >>⎫⇒>⎬∈⎭ 分析法定义一般地,从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立(已知条件、定理、定义、公理等),或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立的一种证明方法,叫做分析法.基本思路:执果索因分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发,分析使之成立的条件,即寻求使每一步成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.分析法这种执果索因的证明方法,其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.分析法的思维框图:用123i P i =L (,,,)表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等,Q 所要证明的结论,则用分析法证明可用框图表示为: 11223...Q P P P P P ⇐→⇐→⇐→→得到一个明显成立的条件(结论) (逐步寻找使结论成立的充分条件) (已知)格式:要证……,只需证……,只需证……,因为……成立,所以原不等式得证.要点诠释:(1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻找它的充分条件.(2)由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.综合法与分析法的横向联系(1) 综合法是把整个不等式看做一个整体,通过对欲证不等式的分析、观察,选择恰当不等式作为证题的出发点,其难点在于到底从哪个不等式出发合适,这就要求我们不仅要熟悉、正确运用作为定理性质的不等式,还要注意这些不等式进行恰当变形后的利用.分析法的优点是利于思考,因为它方向明确,思路自然,易于掌握,而综合法的优点是宜于表述,条理清晰,形式简洁.我们在证明不等式时,常用分析法寻找解题思路,即从结论出发,逐步缩小范围,进而确定我们所需要的“因”,再用综合法有条理地表述证题过程.分析法一般用于综合法难以实施的时候.(2)有不等式的证明,需要把综合法和分析法联合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q ;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P .若由P 可以推出Q 成立,就可以证明结论成立,这种边分析边综合的证明方法,称之为分析综合法,或称“两头挤法”.分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系,分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.命题“若P 则Q ”的推演过程可表示为:要点二:间接证明 间接证明不是从正面确定命题的真实性,而是证明它的反面为假,或改证它的等价命题为真,间接地达到目的,反证法是间接证明的一种基本方法.反证法定义:一般地,首先假设要证明的命题结论不正确,即结论的反面成立,然后利用公理,已知的定义、定理,命题的条件逐步分析,得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论,以此说明假设的结论不成立,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.反证法的基本思路:假设——矛盾——肯定①分清命题的条件和结论.②做出与命题结论相矛盾的假设.③由假设出发,结合已知条件,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果.④断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明原命题为真.反证法的格式:用反证法证明命题“若p则q”时,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下:要点诠释:(1)反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立,即结论的反面成立,在已知条件和“假设”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论,从而判定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定是正确的.(2) 反证法的优点:对原结论否定的假定的提出,相当于增加了一个已知条件.反证法的一般步骤:(1)反设:假设所要证明的结论不成立,假设结论的反面成立;(2)归谬:由“反设”出发,通过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾;(3)结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误,既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.要点诠释:(1)结论的反面即结论的否定,要特别注意:“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”,不是“都不是”;“都有”的反面为“不都有”,即“至少有一个没有”,不是“都没有”;“都不是”的反面是“部分是或全部是”,即“至少有一个是”,不是“都是”;“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少有一个有”,不是“都有”(2)归谬的主要类型:①与已知条件矛盾;②与假设矛盾(自相矛盾);③与定义、定理、公理、事实矛盾.宜用反证法证明的题型:①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;比如“存在性问题、唯一性问题”等;②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.比如带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.要点诠释:反证法体现出正难则反的思维策略(补集的思想)和以退为进的思维策略,故在解决某些正面思考难度较大和探索型命题时,有独特的效果.【典型例题】【高清课堂:例题1】类型一:综合法证明例1.求证:a4+b4+c4≥abc(a+b+c).【证明】∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),又∵a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,a2b2+c2a2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2abc(a+b+c).∴2(a4+b4+c4)≥2abc(a+b+c),即a4+b4+c4≥abc(a+b+c).【总结升华】利用综合法时,从已知出发,进行运算和推理得到要证明的结论,并且在用均值定理证明不等式时,一要注意均值定理运用的条件,二要运用定理对式子作适当的变形,把式分成若干部分,对每部分运用均值定理后,再把它们相加或相减.举一反三:【变式1】已知a,b是正数,且a+b=1,求证:114a b+≥.【证明】证法一:∵a,b∈R,且a+b=1,∴2a b ab +≥,∴12ab ≤, ∴1114a b a b ab ab++==≥. 证法二:∵a ,b ∈R +,∴20a b ab +=>,11120a b ab +≥>, ∴11()4a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭. 又a +b =1,∴114a b+≥. 证法三:1111224a b a b b a a b a b a b a b b a+++=+=+++≥+⋅=. 当且仅当a =b 时,取“=”号.【变式2】求证:5321232log 19log 19log 19++<. 【证明】待证不等式的左端是3个数和的形式,右端是一常数的形式,而左端3个分母的真数相同,由此可联想到公式,1log log a b b a =转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式. ∵ 1log log a b b a =, ∴左边∵, ∴5321232log 19log 19log 19++<. 例2.已知数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,并且S n +1=4a n +2(n =1,2,…),a 1=1.(1)设b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),求证:数列{b n }是等比数列.(2)设2n n na c =(n =1,2,…), 求证:数列{c n }是等差数列. 【证明】(1)∵S n +1=4a n +2,∴S n +2=4a n +1+2,两式相减,得S n +2―S n +1=4a n +1―4a n (n =1,2,3,…),即a n +2=4a n +1―4a n ,变形得a n +2―2a n +1=2(a n +1―2a n ).∵b n =a n +1-2a n (n =1,2,…),∴b n +1=2b n (n =1,2,…).由此可知,数列{b n }是公比为2的等比数列.由S 2=a 1+a 2=4a 1+2,a 1=1,得a 2=5,b 1=a 2―2a 1=3.故b n =3·2n ―1.(2)∵2n n n a c =(n =1,2,…) ∴11111122222n n n n n n n n n n n a a a a b c c ++++++--=-== 将b n =3·2n -1代入,得134n n c c +-=(n =1,2,…). 由此可知,数列{c n }是公差34d =的等差数列,它的首项11122a c ==,故3144n c n =-. 【总结升华】本题从已知条件入手,分析数列间的相互关系,合理实现了数列间的转化,从而使问题获解,综合法是直接证明中最常用的证明方法.举一反三:【变式1】已知数列{}n a 满足15a =, 25a =,116(2)n n n a a a n +-=+≥.求证:{}12n n a a ++是等比数列;【证明】 由a n +1=a n +6a n -1,a n +1+2a n =3(a n +2a n -1) (n ≥2),∵a 1=5,a 2=5∴a 2+2a 1=15,故数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列.【变式2】在△ABC 中,若a 2=b (b +c ),求证:A =2B .【证明】∵a 2=b (b +c ),222222()cos 22b c a b c b bc A bc bc+-+-+==, 又222222222()22cos 2cos 12121222()2a c b b c b c b bc c b B B ac a b b c b ⎛⎫+-++---⎛⎫=-=-=-== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,∴cos A =cos2B .又A 、B 是三角形的内角,故A =2B .例3.如图所示,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .求证:(1)P A ∥平面EDB ;(2)PB ⊥平面EFD .【证明】(1)连结AC 交BD 于O ,连结E O .∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点,在△P AC 中,E O 是中位线,∴P A ∥E O .而E O ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ,∴P A ∥平面EDB .(2)PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ,∴PD ⊥DC .由PD =DC ,可知△PDC 是等腰直角三角形,而DE 是斜边PC 上的中线,∴DE ⊥PC .①同样由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥BC .∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.而DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF=E,∴PB⊥平面EFD.【总结升华】利用综合法证明立体几何中线线、线面和面面关系的关键在于熟练地运用判定定理和性质定理.举一反三:【变式1】如图,设在四面体PABC中,90ABC∠=o,PA PB PC==,D是AC的中点.求证:PD垂直于ABC∆所在的平面.【证明】连PD、BD因为BD是Rt ABC∆斜边上的中线,所以DA DC DB==又因为PA PB PC==,而PD是PAD∆、PBD∆、PCD∆的公共边,所以PAD∆≅PBD PCD∆≅∆于是PDA PDB PDC∠=∠=∠,而90PDA PDC∠=∠=o,因此90PDB∠=o∴PD AC⊥,PD BD⊥由此可知PD垂直于ABC∆所在的平面.【变式2】如图所示,在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证:(1)EF⊥CD;(2)平面SCD⊥平面SCE.【证明】(1)∵SA⊥平面ABCD,F为SC的中点,∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线.∴12AF SC=.又∵四边形ABCD是正方形,∴CB⊥AB.而由SA ⊥平面ABCD ,得CB ⊥SA ,∴CB ⊥平面SAB .又∵SB ⊂平面SAB ,∴CB ⊥SB .∴BF 为Rt △SBC 的斜边SC 上的中线,∴12BF SC =. ∴AF =BF ,∴△AFB 为等腰三角形.又E 为AB 的中点,∴EF ⊥AB .又CD ∥AB ,∴EF ⊥CD .(2)由已知易得Rt △SAE ≌Rt △CBE ,SE =EC ,即△SEC 是等腰三角形,∴EF ⊥SC .又∵EF ⊥CD 且SC ∩CD =C ,∴EF ⊥平面SCD .又EF ⊂平面SCE ,∴平面SCD ⊥平面SCE .类型二:分析法证明例4. 设0a >、0b >,且a b ≠,用分析法证明:3322a b a b ab ++>.【证明】要证3322a b a b ab +>+成立,只需证33220a b a b ab +--> 成立,即证22()()0a a b b b a -+->成立,即证22()()0a b a b -->成立,也就是要证2()()0a b a b +->成立,因为0a >、0b >,且a b ≠,所以2()()0a b a b +->显然成立,由此原不等式得证.【总结升华】1.在证明过程中,若使用综合法出现困难时,应及时调整思路,分析一下要证明结论成立需要怎样的充分条件是明智之举.从结论出发,结合已知条件,逐步反推,寻找使当前命题成立的充分条件的方法.2. 用分析法证明问题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”“也即证”等词语.举一反三:【变式1】设a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac bc +≤【证明】当ac +bc ≤0时,不等式显然成立.当ac +b d >0时,要证明ac bd +只需证明(ac +b d)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2),即证明a 2c 2+2abc d+b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2,只需证明2abc d≤a 2d 2+b 2c 2,只需证明(a d -bc )2≥0. 而上式成立,∴2222ac bd a b c d +≤+⋅+成立. 【变式2】求证:123(3)a a a a a --<---≥【证明】分析法: 要证123(3)a a a a a --<---≥成立, 只需证明321(3)a a a a a +-<-+-≥, 两边平方得232(3)232(2)(1)a a a a a a -+-<-+--(3)a ≥, 所以只需证明(3)(2)(1)a a a a -<--(3)a ≥, 两边平方得22332a a a a -<-+,即02<,∵02<恒成立,∴原不等式得证.【变式3】用分析法证明:若a >0,则212122-+≥-+a a a a . 【证明】要证212122-+≥-+a a a a , 只需证212122++≥++aa a a . ∵a >0,∴两边均大于零,因此只需证2222)21()21(++≥++a a a a 只需证)1(222211441222222a a a a a a a a +++++≥++++, 只需证)1(22122a a a a +≥+,只需证)21(2112222++≥+a a a a , 即证2122≥+a a ,它显然成立.∴原不等式成立.例5. 若a ,b ,c 是不全相等的正数,求证:lg2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c . 【证明】要证lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c , 只需证lg 2b a +·2c b +·2a c +>lg (a ·b ·c ), 只需证2b a +·2c b +·2a c +>abc . 但是,2b a +0>≥ab ,2c b +0>≥bc ,2a c +0>≥ac .且上述三式中的等号不全成立,所以,2b a +·2c b +·2a c +>abc . 因此lg 2b a ++ lg 2c b ++ lg 2a c +>lg a +lg b +lg c . 【总结升华】这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.在实际证题过程中,分析法与综合法是统一运用的,把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合;没有综合也没有分析.问题仅在于,在构建命题的证明路径时,有时分析法居主导地位,综合法伴随着它;有时却刚刚相反,是综合法导主导地位,而分析法伴随着它.举一反三:【变式1】设a 、b 是两个正实数,且a ≠b ,求证:3a +3b >22ab b a +【证明】证明一:(分析法)要证3a +3b >22ab b a +成立,只需证(a +b )( 2a -ab +2b )>ab (a +b )成立,即需证2a -ab +2b >ab 成立.(∵a +b >0)只需证2a -2ab +2b >0成立,即需证()2b a ->0成立. 而由已知条件可知,a ≠b ,有a -b ≠0,所以()2b a ->0显然成立,由此命题得证. 证明二:(综合法)∵a ≠b ,∴a -b ≠0,∴()2b a ->0,即2a -2ab +2b >0,亦即2a -ab +2b >ab . 由题设条件知,a +b >0,∴(a +b )( 2a -ab +2b )>(a +b )ab即3a +3b >22ab b a +,由此命题得证.【变式2】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列,求证:113a b b c a b c +=++++ 【证明】要证原式成立,只要证3a b c a b c a b b c +++++=++, 即只要证1c a a b b c+=++ 即只要证2221bc c a ab ab b ac bc+++=+++; 而2A C B +=,所以060B =,由余弦定理得222b a c ac =+-所以222222222221bc c a ab bc c a ab bc c a ab ab b ac bc ab a c ac ac bc ab a c bc+++++++++===+++++-+++++. 类型三:反证法证明例6.【证明】=只需证22≠,即证10≠5≠,即证2125≠,而该式显然成立,≠不成等差数列.=2125≠∵,5≠,10≠∴,即3720+≠,即2≠,∴ ≠∴【总结升华】结论中含有“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适宜应用反证法. 举一反三:【变式1】求证:函数()f x =不是周期函数.【证明】假设()f x =则存在常数T (T≠0)使得对任意x ∈R ,都有成立.上式中含x=0,则有cos01=,2m =π(m ∈z 且m≠0). ①再令x=T ,则有1=,2n =π(n ∈Z 且n ≠0). ②②÷①得:32n m =, 这里,m ,n 为非零整数,故n m为有理数,而32无理数,二者不可能相等. 因此3()cos f x x =不是周期函数.【变式2】设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 为它的前n 项和.(1)求证:数列{S n }不是等比数列.(2)数列{S n }是等差数列吗?为什么?【解析】(1)证明:假设{S n }是等比数列,则2213S S S =, 即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.∵a 1≠0,∴(1+q )2=1+q +q 2.即q =0,与等比数列中公比q ≠0矛盾.故{S n }不是等比数列.(2)解:①当q =1时,S n =na 1,n ∈N*,数列{S n }是等差数列.②当q ≠1时,{S n }不是等差数列,下面用反证法证明:假设数列{S n }是等差数列,则S 1,S 2,S 3成等差数列,即2S 2=S 1+S 3,∴2a 1(1+q )=a 1+a 1(1+q +q 2).∵a 1≠0,∴2+2q =1+1+q +q 2,得q =q 2.∵q ≠1,∴q =0,这与等比数列中公比q ≠0矛盾.从而当q ≠1时,{S n }不是等差数列.综上①②可知,当q =1时,数列{S n }是等差数列;当q ≠1时,数列{S n }不是等差数列.【变式3】已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n =2a n -3n (n ∈N *).(1)求证{a n +3}为等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)数列{a n }是否存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.【解析】 (1) 证明:∵S n =2a n -3n (n ∈N *),∴a 1=S 1=2a 1-3,∴a 1=3.又由112323(1)n n n n S a n S a n ++=-⎧⎨=-+⎩得a n +1=S n +1-S n =2a n +1-2a n -3, ∴a n +1+3=2(a n +3),∴{a n +3}是首项为a 1+3=6,公比为2的等比数列.∴a n+3=6×2n-1,即a n=3(2n-1).(2)解:假设数列{a n}中存在三项a r,a s,a t (r<s<t),它们可以构成等差数列.由(1)知a r<a s<a t,则2a s=a r+a t,∴6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即2s+1=2r+2t,∴2s+1-r=1+2t-r(*)∵r、s、t均为正整数且r<s<t,∴(*)左边为偶数而右边为奇数,∴假设不成立,即数列{a n}不存在三项使它们按原顺序可以构成等差数列.例7. 已知a,b,c∈(0,1),求证:(1―a)b,(1―b)c,(1-c)a中至少有一个小于或等于14.【证明】证法一:假设三式同时大于14,即1(1)4a b->,1(1)4b c->,1(1)4c a->,三式相乘,得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->,又211 (1)24a aa a-+⎛⎫-≤=⎪⎝⎭,同理1(1)4b b-≤,1(1)4c c-≤,以上三式相乘,得1 (1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅-≤,这与1(1)(1)(1)64a ab bc c-⋅-⋅->矛盾,故结论得证.证法二:假设三式同时大于14.∵0<a<1,∴1-a>0.∴(1)11(1)242a ba b-+≥->=.同理(1)122b c-+≥,(1)122c a-+≥.三式相加,得33 22 >,∴原命题成立.【总结升华】从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形的问题多用反证法.比如这类带有“至少有一个”等字样的数学问题.举一反三:【变式】已知,,,0,1a b c R a b c abc ∈++==,求证:,,a b c 中至少有一个大于32. 【证明】假设,,a b c 都小于或等于32, 因为 1abc =,所以,,a b c 三者同为正或一正两负,又因为0a b c ++=,所以,,a b c 三者中有两负一正,不妨设0,0,0a b c ><<,则1,b c a bc a +=-=由均值不等式得()2b c bc -+≥,即12a a ≥, 解得33273482a ≥≥=,与假设矛盾,所以 ,,abc 中至少有一个大于32. 例8.已知:直线a 以及A ∉a .求证:经过直线a 和点A 有且只有一个平面.【证明】(1)“存在性”,在直线a 上任取两点B 、C ,如图.∵A ∉a ,B ∈a ,C ∈a ,∴A 、B 、C 三点不在同一直线上.∴过A 、B 、C 三点有且只有一个平面α∵B ∈α,C ∈α,∴a ⊂α,即过直线a 和点A 有一个平面α.(2)“唯一性”,假设过直线a 和点A 还有一个平面β.∵A ∉a ,B ∈a ,C ∈a ,∴B ∈β,C ∈β.∴过不共线的三点A 、B 、C 有两个平面α、β,这与公理矛盾.∴假设不成立,即过直线a 和点A 不可能还有另一个平面β,而只能有一个平面α.【总结升华】 这里证明“唯一性”时用了反证法.对于“唯一性”问题往往使用反证法进行证明,要注意与“同一法”的区别与联系.举一反三:【变式】求证:两条相交直线有且只有一个交点.【证明】假设结论不成立,即有两种可能:(1)若直线a 、b 无交点,那么a ∥b ,与已知矛盾;(2)若直线a 、b 不止有一个交点,则至少有两个交点A 和B ,这样同时经过点A 、B 就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.综上所述,两条相交直线有且只有一个交点.。
直接证明与间接证明
到结果的证明方法,它是利用已知 (1)______ 条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立的证明方法. 分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充 (2)______ 分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立 的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法.
索因法.它常见的书面表达形式是:“要证…,只需证…”或
“…⇐…”.利用分析法证明“若 A 则 B”命题的分析法思考过 程可用框图表示为:
图 10-2-2 分析法的思考顺序执果索因的顺序,是从 B 上溯寻其论据, 如 C、C1、C2 等,再寻求 C、C1、C2 的论据,如 B、B1、B2、 B3、B4 等等,继而寻求 B、B1、B2、B3、B4 的依据,如果其中之 一 B 的论据恰为已知条件,于是命题已经得证.
2 比数列,则 bq =bpbr.
即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+(2q-p-r) ∵p、q、r∈N*,
2 q -pr=0 ∴ 2q-p-r=0
2=0.
p+r2 =pr,(p-r)2=0, .∴ 2
∴p=r.与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
错源:犯循环论证的逻辑性错误
例 4:设 a、b、c、d 是正有理数, c、 d是无理数,求证: a c+b d是无理数.
误解分析:本题在推理证明过程中,容易犯循环论证的逻 辑性错误:因为 c为无理数,a 为正有理数,故 a c为无理数, 同理 b d也为无理数,两正无理数的和为无理数,故 a c+b d 为无理数.主要原因是对有关概念定理没有真正的理解掌握, 导致用任意的推广引申定理得出有利于论题成立的假判断.
高考一轮数学第六章 第六节 直接证明与间接证明
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1.(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角
至少有一个不大于60°”时,应假设
A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60° C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60° 解析:假设为:“三个内角都大于60°”. 答案: B
(
)
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2.若函数F(x)=f(x)+f(-x)与G(x)=f(x)-f(-x),其中 f(x)的定义域为R,且f(x)不恒为零,则 A.F(x)、G(x)均为偶函数 B.F(x)为奇函数,G(x)为偶函数 ( )
第 六 章 不 等 式、 推 理 与 证 明
第 六 节 直 接 证 明 与 间 接 证 明
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
提 能 力
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[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法. 了解分析法和综合法的思考过程及特点.
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.了解反证
结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法;
(3) 推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与 假设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明 显的. 返回
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[考题范例]
(12分) (2011· 安徽高考) (1)设x≥1,y≥1, 1 1 1 证明x+y+xy≤x+y +xy; (2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc +logca≤logba+logcb+logac.
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[精析考题]
[例3] (2011· 安徽高考)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x -1, 其中实数k1,k2满足k1k2+2=0. (1)证明l1与l2相交; (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.
直接证明与间接证明_分析法
直接证明与间接证明_分析法直接证明和间接证明是逻辑学中的两种证明方法。
直接证明是通过事实和逻辑推理直接得出结论的方法,而间接证明则是通过反证法来达到证明的目的。
下面将从分析法的角度来探讨直接证明和间接证明的特点和应用。
首先,直接证明是一种简洁明确的证明方法。
它通过逐步展示事实和推理过程,直接地得出结论。
直接证明要求每一步的推理都是严谨和合乎逻辑的,不允许出现漏洞和错误。
直接证明的优点在于它的证明过程清晰明了,逻辑性强,容易理解和接受。
对于一些简单的问题,直接证明是最常见和最有效的证明方法。
其次,直接证明适用于一些直观的、已知的情况。
例如,要证明一个三角形的三个内角之和等于180度,可以通过直接证明来达到目的。
我们可以利用平行线和同位角的性质,逐步推导出对应角相等,从而得出结论。
这种情况下,我们有直观的几何图形和一些已知的性质,通过推理和演绎可以直接得出结论。
然而,直接证明也有一定的局限性。
对于一些复杂的问题,直接证明可能会变得更加困难和繁琐。
有时候,问题本身的复杂性以及需要证明的结论的复杂性会导致直接证明的推理过程变得更加难以理解和掌握。
在这种情况下,间接证明就可以派上用场。
间接证明是一种通过反证法推导出结论的方法。
它假设待证命题的否定是成立的,然后通过推理和推导得出矛盾的结论,从而证明了原命题的正确性。
间接证明的优点在于它能够化复杂的问题为简单的矛盾,通过推理和演绎来证明原命题的正确性。
它可以避免直接证明中的复杂推理和繁琐的计算。
间接证明适用于一些复杂、难以直接证明的问题。
例如,欧几里得几何中的数学定理费马大定理就是一个典型的间接证明的例子。
费马大定理认为不存在任何正整数n大于2的整数解(x,y,z),使得x^n+y^n=z^n成立。
然而,这个定理的直接证明非常困难。
数学家费马通过间接证明的方法证明了该定理的正确性,从而为数学界做出了重大贡献。
总结起来,直接证明和间接证明是逻辑学中两种常见的证明方法。
直接证明与间接证明 知识点+例题+练习
教
学
过
程
1.分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知.
2.综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知.
3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然,容易
寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁;综合法从
条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.实际证题时常
常两法兼用,先用分析法探索证明途径,然后再用综合法叙述出来.
4.利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设的命
题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是
错误的.
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.(2014·安阳模拟)若a<b<0,则下列不等式中成立的是________.
①1
a<
1
b;②a+
1
b>b+
1
a;③b+
1
a>a+
1
b;④
b
a<
b+1
a+1
.
2.用反证法证明命题:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,应反设________成立.
3.(2014·上海模拟)“a=1
4”是“对任意正数x,均有x+
a
x≥1”的
________条件.教学效果分析。
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题,它告诉我们 是什么, 是根据前提推得的命题,它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ,它的思维过程是3、归纳推理有如下特点(1)归纳推理的前提是几个已知的 现象,归纳所得的结论是尚属未知的 现象,该结论超越了前提所包含的范围。
(2)由归纳推理得到的结论具有 的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它 作为数学证明的工具。
(填“能”或“不能”)(3)归纳推理是一种具有 的推理,通过归纳法得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么?首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);然后,对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上,检验的标准是什么?标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么?S 1具有P ;S 2具有P ;……;S n 具有P (S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象) 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ,则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】:,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数,有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法,必须认真学习领会,在归纳推理的过程中,应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
人教A版数学选修1-22.2.1
(2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明,经常用综合
法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明,常用分析法;
(3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发,逐步寻求使
它成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
数
学 选
(4)应用技巧:用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”、“只
因为 a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立,
数
学
选 修
所以 a2+b2≥ 22(a+b)成立.
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教 A
综上所述,不等式得证.
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第二章 推理与证明
『规律方法』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧.
(1)解题依据:分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不
等式和逻辑推理的基本理论;
典例3 已知 a、b、c 表示△ABC 的三边长,m>0,求证:a+a m+b+b m>c+c m. [解析] 要证明a+a m+b+b m>c+c m.
只需证明a+a m+b+b m-c+c m>0 即可,
所以a+a m+b+b m-c+c m=
数 学 选
ab+mc+m+ba+mc+m-ca+mb+m
第二章 推理与证明
C 先生上了公交车却发现没带钱包,售票员不由
分说让他下车,一位小伙子微笑着递过一块钱,C 先
生很感激.车上的人开始小声议论 C 先生是骗钱的,
就在 C 先生生气准备甩票下车的时候,借钱给他的小
伙子大声问:“能不能借一下您的手机?”C 先生递过手机,小伙子拨了个号
数 学
码,说了两三分钟的话,C 先生想这下可以证明我的清白了.下车后 C 先生打
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5.用反证法证明命题“如果 a>b,则3 a>3 b时,
假设的内容是________.”
3
3
3
33
3
解析: a与 b的关系有三种情况: a> b, a= b,
3
3
3
3
a< b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案: a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b, c 均为整数,且 f(0),f(1)均为奇数.求证:f(x)=0 无整 数根. [自主解答]假设 f(x)=0 有整数根 n,则 an2+bn+c =0 又 f(0),f(1)均为奇数,
解得-2<a<-1,则要使两方程至少有一个方程有
实数,则 a 的取值范围应为 a≤-2 或 a≥-1.
答案:A
归纳升华
1.用反证法证明“至少”“至多”型命题,可减少讨
论情况,目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么,避免出现错误.
2.用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下:
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理.( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) 解析:(1)对,反证法是间接证明问题的方法. (2)错,反证法是演绎推理,不是合情推理. (3)对,根据反证法的概念知说法正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√
所以(1-2a)+b≥ (1-a)b> 14=12. 同理(1-2b)+c>12,(1-2c)+a>12. 三式相加得 (1-2a)+b+(1-2b)+c+(1-2c)+a>32. 则32>32,矛盾,故假设不成立. 所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能都大于14.
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78;④若a 、b ∈R ,则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是( )。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选(B ) 例2 函数y =f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y =f (x )在(0,2)上是增函数, ∴ 0<x+2<2即-2<x <0∴函数y=f(x+2) 在(-2,0)上是增函数, 又∵函数y=f(x+2)是偶函数,∴函数y=f(x+2) 在(0,2)上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ,b ,c 全不相等∴ a b 与b a ,a c 与c a ,b c 与c b 全不相等。
∴ 2,2,2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1.如果数列{}n a 是等差数列,则( )。
(A )1845a a a a +<+ (B ) 1845a a a a +=+ (C )1845a a a a +>+ (D )1845a a a a =2.在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3.下面的四个不等式:①ca bc ab c b a ++≥++222;②()411≤-a a ;③2≥+abb a ;④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个二、填空题4. 已知 5,2==b a ,向量b a 与的 夹角为0120,则a b a .)2(-=5. 如图,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足n,n证明:如图,连接BD ,∵在△ABC 中,BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7.解:∵f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0,即ab +c =0;由①得 f (1)≥1,由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1,即a +b +c =1,又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ,∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ,只要x ∈[1,m ],就有f (x +t )≤x 取x =1时,有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0],取x =m ,有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时,对任意的x ∈[1,9],恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二:∵f (x -4)=f (2-x ),∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0,即a b +c =0;由①得 f (1)≥1,由②得 f (1)≤1∴f (1)=1,即a +b +c =1,a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时,恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时,恒有解令t = -4得,2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时,任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92.2直接证明2.2.1 综合法一、选择题(1)由等差数列的性质:若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填(B )。
高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义(含解析)苏教版选
直接证明[对应学生用书P26]1.若实数a,b满足a+b=3,证明:2a+2b≥4 2.证明:因为2a+2b≥22a·2b=22a+b,又a+b=3,所以2a+2b≥223=4 2.故2a+2b≥42成立.问题1:本题利用什么公式?提示:基本不等式.问题2:本题证明顺序是什么?提示:从已知到结论.2.求证:3+22<2+7.证明:要证明3+22<2+7,由于3+22>0,2+7>0,只需证明(3+22)2<(2+7)2,展开得11+46<11+47,只需证明6<7,显然6<7成立.所以3+22<2+7成立.问题1:本题证明从哪里开始?提示:从结论开始.问题2:证题思路是什么?提示:寻求上一步成立的充分条件.1.直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明.(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论.2.综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止,这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1.综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知,由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件.它的证明格式为:因为×××,所以×××,所以×××……所以×××成立.2.分析法证明问题时,是从“未知”看“需知”,执果索因逐步靠拢“已知”,通过逐步探索,寻找问题成立的充分条件.它的证明格式:要证×××,只需证×××,只需证×××……因为×××成立,所以×××成立.[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ,b ,c ∈R ,且a +b +c =1,求证:a 2+b 2+c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发,结合基本不等式,即可得出结论. [精解详析]∵a 2+19≥2a 3,b 2+19≥2b 3,c 2+19≥2c 3,∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2+19+⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2+19+⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2+19≥23a +23b +23c=23(a +b +c )=23. ∴a 2+b 2+c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题思路.第二步:转化条件、组织过程,把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路.第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,有些语言可做适当的修饰,反思总结解题方法的选取.1.设a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc =1, 求证:1a +1b +1c>a +b +c .证明:∵a >0,b >0,c >0,且abc =1, ∴1a +1b +1c=bc +ca +ab .又bc +ca ≥2bc ·ca =2abc 2=2c , 同理bc +ab ≥2b ,ca +ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等.∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立. ∴2(bc +ca +ab )>2(c +a +b ), 即bc +ca +ab >a +b +c , 故1a +1b +1c>a +b +c .2.(1)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a ⊥b ,则a ⊥c ”为真;(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).解:(1)证明:法一:如图,过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线a ,b ,c ,n 的方向向量分别是a ,b ,c ,n ,则b ,c ,n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得c =λb +μn ,则a·c =a·(λb +μn )=λ(a·b )+μ(a·n ),因为a ⊥b ,所以a·b =0, 又因为aπ,n ⊥π,所以a·n =0,故a·c =0,从而a ⊥c .法二:如图,记c ∩b =A ,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO ⊥π,垂足为O ,则O ∈c . ∵PO ⊥π,a π,∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ,b平面PAO ,PO ∩b =P ,∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ,∴a ⊥c .(2)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a ⊥c ,则a ⊥b .逆命题为真命题.分析法的应用[例2] 已知a >b >0,求证:(a -b )28a <a +b 2-ab <(a -b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单,结论比较复杂,我们可以从要证的结论入手,一步步探求结论成立的充分条件,即用分析法.[精解详析]要证明(a -b )28a <a +b 2-ab <(a -b )28b 成立,只需证(a -b )24a <a +b -2ab <(a -b )24b 成立,即证(a -b )24a <(a -b )2<(a -b )24b 成立.只需证a -b 2a <a -b <a -b2b成立.只需证a+b2a<1<a+b2b成立,即证a+b<2a且a+b>2b,即b<a.∵a>b>0,∴b<a成立.∴(a-b)28a<a+b2-ab<(a-b)28b成立.[一点通]在已知条件较为简单,所要证的问题较为复杂,无从入手的情况下,我们可从结论入手逆推,执果索因,找到结论成立的条件,注明必要的文字说明,再用综合法写出步骤.3.若P=a+a+7,Q=a+3+a+4,a≥0,求证:P<Q.证明:要证P<Q,主要证P2<Q2,只要证2a+7+2a(a+7)<2a+7+2(a+3)(a+4),即证a2+7a<a2+7a+12,即证0<12.因为0<12成立,所以P<Q成立.4.已知a、b是正实数,求证:ab+ba≥a+b.证明:要证ab+ba≥a+b,只需证a a+b b≥ab(a+b).即证(a+b-ab)(a+b)≥ab(a+b),即证a+b-ab≥ab.也就是要证a+b≥2ab.因为a,b为正实数,所以a+b≥2ab成立,所以ab+ba≥a+b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1, 求证:1+ab +bc +ca a +b +c +abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1,所以要证明1+ab +bc +caa +b +c +abc≥1成立,可转化为证明1+ab +bc +ca ≥a +b +c +abc 成立.[精解详析]∵a >0,b >0,c >0, ∴要证1+ab +bc +ca a +b +c +abc≥1,只需证1+ab +bc +ca ≥a +b +c +abc , 即证1+ab +bc +ca -(a +b +c +abc )≥0. ∵1+ab +bc +ca -(a +b +c +abc ) =(1-a )+b (a -1)+c (a -1)+bc (1-a ) =(1-a )(1-b -c +bc )=(1-a )(1-b )(1-c ), 又a ≤1,b ≤1,c ≤1, ∴(1-a )(1-b )(1-c )≥0,∴1+ab +bc +ca -(a +b +c +abc )≥0成立, 即证明了1+ab +bc +caa +b +c +abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难,这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的.(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法,也可先用综合法再用分析法,一般无具体要求,只要达到证题的目的即可.5.在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 成等差数列.求证:1a +b +1b +c =3a +b +c . 证明:要证1a +b +1b +c =3a +b +c, 只需证a +b +c a +b +a +b +c b +c =3,即c a +b +ab +c =1, 只需证c (b +c )+a (a +b )(a +b )(b +c )=1,即a 2+c 2+ab +bc b 2+ab +ac +bc=1.下面证明:a 2+c 2+ab +bcb 2+ab +ac +bc=1.∵A +C =2B ,A +B +C =180°, ∴B =60°. ∴b 2=a 2+c 2-ac .∴a 2+c 2+ab +bc b 2+ab +ac +bc =a 2+c 2+ab +bc a 2+c 2-ac +ab +ac +bc=1. 故原等式成立.6.若a ,b ,c 是不全相等的正数. 求证:lga +b2+lgb +c2+lgc +a2>lg a +lg b +lg c .证明:要证lga +b2+lgb +c2+lgc +a2>lg a +lg b +lg c 成立,即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2·b +c 2·c +a 2>lg(abc )成立,只需证a +b 2·b +c 2·c +a2>abc 成立,∵a +b2≥ab >0,b +c2≥bc >0,c +a2≥ca >0,∴a +b 2·b +c 2·c +a2≥abc >0,(*)又∵a ,b ,c 是不全相等的正数,∴(*)式等号不成立, ∴原不等式成立.1.综合法是由因导果,步骤严谨,逐层递进、步步为营,书写表达过程是条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难,不易达到所要证明的结论.2.分析法是执果索因,方向明确、利于思考,便于寻找解题思路.缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错.3.在解决一个问题时,我们常常把综合法和分析法结合起来使用.根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论P 1;根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件,寻找到条件P 2;当由P 1可以推出P 2时,结论得证.[对应学生用书P29]一、填空题1.在△ABC中,A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析:在△ABC中,由正弦定理得asin A=bsin B.又∵A>B,∴a>b,∴sin A>sin B反之,若sin A>sin B,则a>b,∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件.答案:充要2.设n∈N,则n+4-n+3________n+2-n+1(判断大小).解析:要证n+4-n+3<n+2-n+1,只需证n+4+n+1<n+3+n+2,只需证(n+4+n+1)2<(n+2+n+3)2,即2n+5+2(n+4)(n+1)<2n+5+2(n+2)(n+3).只需证(n+1)(n+4)<(n+2)(n+3),只需证(n+1)(n+4)<(n+2)(n+3),即n2+5n+4<n2+5n+6,即4<6即可.而4<6成立,故n+4-n+3<n+2-n+1.答案:<3.如果a a+b b>a b+b a,则实数a,b应满足的条件是________.解析:a a+b b>a b+b a⇔a a-a b>b a-b b⇔a(a-b)>b(a-b)⇔(a-b)(a-b)>0⇔(a+b)(a-b)2>0,故只需a≠b且a,b都不小于零即可.答案:a≥0,b≥0且a≠b4.若三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在底面ABC上的射影为△ABC的________.(填重心、垂心、内心、外心之一)解析:如图,设S 在底面ABC 上的射影为点O , ∴SO ⊥平面ABC ,连接AO ,BO , ∵SA ⊥BC ,SO ⊥BC , ∴BC ⊥平面SAO , ∴BC ⊥AO . 同理可证,AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心. 答案:垂心5.已知函数f (x )=10x,a >0,b >0,A =f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2,B =f ()ab ,C =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a +b ,则A ,B ,C 的大小关系为________.解析:由a +b2≥ab ≥2ab a +b ,又f (x )=10x在R 上是单调增函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a +b ,即A ≥B ≥C . 答案:A ≥B ≥C 二、解答题6.已知函数f (x )=log 2(x +2),a ,b ,c 是两两不相等的正数,且a ,b ,c 成等比数列,试判断f (a )+f (c )与2f (b )的大小关系,并证明你的结论.解:f (a )+f (c )>2f (b ).证明如下:因为a ,b ,c 是两两不相等的正数, 所以a +c >2ac .因为b 2=ac ,所以ac +2(a +c )>b 2+4b , 即ac +2(a +c )+4>b 2+4b +4, 从而(a +2)(c +2)>(b +2)2. 因为f (x )=log 2(x +2)是增函数, 所以log 2(a +2)(c +2)>log 2(b +2)2, 即log 2(a +2)+log 2(c +2)>2log 2(b +2). 故f (a )+f (c )>2f (b ). 7.已知a >0,用分析法证明:a 2+1a 2-2>a +1a-2.证明:要证a 2+1a 2-2≥a +1a-2,只需证a 2+1a 2+2≥a +1a+ 2. 因为a >0,故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+1a 2+22≥⎝⎛⎭⎪⎫a +1a +22,即a 2+1a2+4a 2+1a 2+4≥a 2+2+1a 2+2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a +2,从而只需证2a 2+1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a , 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2+2+1a 2,即a 2+1a2≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.8.(某某高考改编)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS nn 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *).证明:由c =0,得b n =S n n=a +n -12d .又b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即⎝ ⎛⎭⎪⎫a +d 22=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +32d , 化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a . 因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a .从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .。
形式推理的直接证明与间接证明方法
形式推理的直接证明与间接证明方法形式推理作为数理逻辑的重要分支,通过严密的推理方法,可以从已知的前提推导出合理的结论。
在形式推理中,直接证明和间接证明是两种常见的证明方法。
本文将就这两种方法进行详细探讨,并分析其适用场景和特点。
一、直接证明方法直接证明方法是一种简单直接的推理方式,通过从已知的前提出发,逐步推导到目标结论,以达到证明的目的。
下面以一个具体的例子来说明直接证明的思路和步骤。
假设要证明一个命题P蕴含命题Q,即P→Q。
首先,我们可以从已知P的前提出发,通过逻辑推理得到Q的结论,即推导出Q。
在直接证明中,推导过程中的每一步都必须建立在已知的前提和已证明的结论之上,每一步都要经过严格的逻辑推导,确保推导过程的准确性和有效性。
直接证明方法的优点是简单直观,容易理解和掌握,推理过程清晰明了。
然而,直接证明适用于简单明了的命题,对于复杂或者繁琐的命题,推导过程可能会非常冗长和复杂,不利于推理的简化和提高效率。
二、间接证明方法间接证明方法是一种通过反证法来证明命题的推理方式。
当我们希望证明一个命题P时,可以先假设P不成立,即假设非P为真,然后从这一假设出发,推导出矛盾的结论,再通过排除法得出非P为假,即P成立的结论。
反证法的基本思想是,通过假设命题的反面来推导出矛盾,从而可以得出命题成立。
这种方法在一些特定的证明中非常有效,特别是当直接证明非常困难或者不可行时。
与直接证明方法相比,间接证明方法的优点在于,可以简化复杂的推理过程,通过将问题转化为矛盾的形式,更容易找到解决方案。
然而,间接证明的缺点是需要注意推导步骤的准确性,避免出现漏洞或者错误的推理过程。
三、直接证明与间接证明的比较分析直接证明和间接证明是形式推理中常用的两种方法,它们各有优劣,适用于不同的推理场景。
直接证明方法适用于简单清晰的命题,推导过程相对直接明了,容易理解和掌握。
对于直接证明适用的命题,我们可以通过逐步推导的方式来得到结论。
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》758PPT课件
总结:
若P为已知的条件、定义、公理、定 理等,Q表示结论,则综合法即为 P=>Q1=>Q2=>……=>Q
练练手:
例1 已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手:
例2 在三角形ABC中,三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c,且A,B,C成等差 数列,a,b.c成等比数列,求证:三角形 ABC是等边三角形。
C 中,求证:tan Atan B>1. (2) .设e1,e 2是两个 不共线向量,则向量e1
综合法
定义:一般地,利用已知条件 和数学定义、定理、公理等, 经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立, 这种方法叫做综合法。
经验传授:
为了很好地利用综合法解题,应做到以下几点:
1、解题时必须做到有理有据,不可想当然,凭 感觉;
2、每拿到一道题时,快速地判断这是哪一章、 哪一节的内容,把相关的内容、方法在脑海中过 一遍电影; 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述 改为符号表示; 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、 化简,将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学 马立军
复习旧知
1、推理方法有几种? 2、合情推理有几种?
归纳推理具体怎样操作? 类比推理有哪些经验之谈? 3、什么是演绎推理?以何种形式呈献?
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确? 2、你能举一些例子吗?
证明方法的种类
证明方法主要有两类:直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法:综合法和分析 法
直接证明和间接证明教案
2.2直接证明与间接证明教学目标:(1)理解证明不等式的三种方法:比较法、综合法和分析法的意义;(2)掌握用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式;(3)能根据实际题目灵活地选择适当地证明方法;(4)通过不等式证明,培养学生逻辑推理论证的能力和抽象思维能力. 教学建议:1.知识结构:(不等式证明三种方法的理解)==〉(简单应用)==〉(综合应用)2.重点、难点分析重点:不等式证明的主要方法的意义和应用;难点:①理解分析法与综合法在推理方向上是相反的;②综合性问题证明方法的选择.(1)不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满足条件的所有数都成立(或都不成立),而并非是带入具体的数值去验证式子是否成立.(2)比较法证明不等式的分析①在证明不等式的各种方法中,比较法是最基本、最重要的方法.②证明不等式的比较法,有求差比较法和求商比较法两种途径.由于a>b<==>a-b>0,因此,证明a>b,可转化为证明与之等价的a-b>0.这种证法就是求差比较法.由于当b>0时,a>b<==>(a/b)>1,因此,证明a>b(b>0),可以转化为证明与之等价的(a/b)>1(b>0).这种证法就是求商比较法,使用求商比较法证明一定要注意(b>0)这一前提条件.③求差比较法的基本步骤是:“作差变形断号”.其中,作差是依据,变形是手段,判断符号才是目的.变形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等,变成能够判断出差的符号是正或负的数(或式子)即可.④作商比较法的基本步骤是:“作商变形判断商式与1的大小关系”,需要注意的是,作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式.(3)综合法证明不等式的分析①利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法通常叫做综合法.②综合法的思路是“由因导果”:从已知的不等式出发,通过一系列已知条件推导变换,推导出求证的不等式.③综合法证明不等式的逻辑关系是:(已知)==〉(逐步推演不等式成立的必要条件)==〉(结论)(4)分析法证明不等式的分析①从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法.有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法,注意应强调“以上每一步都可逆”,并说出可逆的根据.②分析法的思路是“执果导因”:从求证的不等式出发,探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式.它与综合法是对立统一的两种方法.③用分析法证明不等式的逻辑关系是:(已知)<==(逐步推演不等式成立的必要条件)<==(结论)④分析法是证明不等式时一种常用的基本方法.当证明不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决.特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更实用.(5)关于分析法与综合法关系①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法.②在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,逐步地推导,最后达到题设的已知条件.即推理方向是:结论已知.综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题.即:已知结论.③分析法的特点是:从“结论”探求“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找结论的充分条件.综合法的特点是:从“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理实际上是要寻找已知的必要条件.④一般来说,对于较复杂的不等式,直接运用综合法往往不易入手,用分析法来书写比较麻烦.因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的.第一课时不等式的证明(比较法)教学目标1.掌握证明不等式的方法——比较法;2.熟悉并掌握比较法证明不等式的意义及基本步骤.教学重点: 比较法的意义和基本步骤.教学难点: 常见的变形技巧.教学方法;启发引导法.教学过程:(-)导入新课教师提问:根据前一节学过(不等式的性质)的知识,我们如何用实数运算来比较两个实数与的大小找学生回答问题.(学生回答:,,,)[点评]要比较两个实数与的大小,只要考察与的差值的符号就可以了,这种证明不等式的方法称为比较法.现在我们就来学习:用比较法证明不等式.目的:通过教师设置问题,引导学生回忆所学的知识,引出用比较法证明不等式,导入本节课学习的知识.(二)新课讲授【尝试探索,建立新知】作差比较法[问题] 求证教师引导学生分析、思考,研究不等式的证明.学生研究证明不等式,尝试完成问题.[本问点评]①通过确定差的符号,证明不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.③理论依据是:④由,,知:要证明只需证;需证明这种证明不等式的方法通常叫做比较法.目的:帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.【例题示范,学会应用】教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.例1.求证[分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得,将此式看作关于的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.证明:∵==,∴.[本例点评]①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号;②作差后,式子符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定;③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判断;④例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.例2. 已知都是正数,并且,求证:[分析]这是分式不等式的证明题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.证明:==.因为都是正数,且,所以.∴.即:[本例点评]①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号;②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法;3322例、已知都是实数且求证≠+>+a b a b a b a b ab3,,,33223223:()()()()a b a b ab a a b ab b +-+=---证明2222()()()()a a b b a b a b a b =---=--2()()a b a b =+-,0,0a b a b >∴+>Q 2()0a b a b ≠∴->Q 又23322()()0()()0a b a b a b a b ab +->+-+>故即3322a b a b ab ∴+>+[本例点评]①作差后是通过分组,提取公因式对差式进行恒等变形,化成n 个括号相乘的形式,从而推出差的符号;②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——分组,提取公因式法;求商比较法:1 ,,,,.a b b a a b a b a b a b ≥=例已知是正数求证当且仅当时等号成立:a b a b a b b a b a a b a a b a b b ---⎛⎫== ⎪⎝⎭证明(,,)0,1,0,1,.a b a b a a a b a b b b a b -⎛⎫≥>≥-≥∴≥ ⎪⎝⎭=根据要证的不等式的特点交换的位置不等式不变不妨设则当且仅当时等号成立,,.a b b a a b a b a b ∴≥=当且仅当时等号成立 小结:作商比较法的基本步骤是:“作商变形判断商式与1的大小关系”,需要注意的是,作商比较法一般用于证明不等号两侧的式子同号的不等式. (最后是与1比较)(三)课堂练习教师指定练习题,要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.练习:1.求证2.已知 , , ,d 都是正数,且,求证 目的:掌握用比较法证明不等式,并会灵活运用配方法和通分法变形差式,确定差式符号.反馈课堂教学效果,调节课堂教学.(四)布置作业2、已知:a ,b ∈R +.求证:a 5+b 5≥a 3b 2+a 2b 32211x x ≤+3、求证: .7341(0)q q q q +≥+>4、求证: 2,()a ba b R a b ab ++∈≥5、设a,b 求证:第二课时 综合法●教学目标(一)教学知识点综合法证明不等式.(二)能力训练要求1.理解综合法证明不等式的意义.2.熟练掌握过去学过的重要不等式,并用这些不等式来证明新的不等式.(三)德育渗透目标掌握综合法、分析法证明不等式,培养学生严谨周密的逻辑思维习惯,加强学生实践能力的训练,由因导果,进一步巩固学生辩证唯物主义思想观念的教育,确实提高学生的思想道德品质.●教学重点1.掌握综合法证明不等式的基本思路,即“由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证的结论.2.理解掌握用综合法证明不等式的逻辑关系.即A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B(结论).运用不等式的性质和已证明过的不等式时,要注意它们各自成立的条件.这样才能使推理正确,结论无误.3.在综合法证明不等式的过程中常用的关系有:(1)a 2≥0或(a ±b )2≥0.(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab 即a 2+b 2≥2|ab |. (3)ab b a ≥+2,对a >0,b >0,当且仅当a =b 时取“=”号. (4)当a ,b 同号时有ab b a +≥2,当且仅当a =b 时取“=”号. (5)33abc c b a ≥++ (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号. (6)a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0,b >0,c >0),当且仅当a =b =c 时取“=”号.●教学难点“由因导果”时,从哪个不等式出发合适是综合法证明不等式的难点.●教学过程1.课题导入[师]同学们,前面我们学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其几个重要的不等式.(打出投影片§ A,引导学生复习“算术平均数与几何平均数”的关系定理,阅读投影片§ A)我们要掌握下面重要的不等关系:(1)a 2≥0,或(a ±b )2≥0;(2)a 2+b 2≥2ab ,a 2+b 2≥-2ab ,即a 2+b 2≥2|ab |; (3)ab b a ≥+2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号; (4)ab ≤222b a +,(a ,b ∈R );ab ≤(2ab )2,(a ,b ∈R +),当且仅当a =b 时取“=”号;(5)abb a +≥2,(ab >0),当且仅当a =b 时取“=”号; (6)33abc c b a ≥++,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号;(7)a 3+b 3+c 3≥3abc ,(a ,b ,c ∈R +),当且仅当a =b =c 时取“=”号.今天,我们在上一节课学习“比较法”证明不等式的基础上,继续学习证明不等式的一种常用的重要的方法——综合法.2.讲授新课一般地,从已知条件出发,利用定义、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法。
《直接证明与间接证明》教案正式版
《直接证明与间接证明》教案教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.教学过程:一、复习准备:1. 已知 “若12,a a R +∈,且121a a +=,则12114a a +≥”,试请此结论推广猜想. (答案:若12,.......n a a a R +∈,且12....1n a a a +++=,则12111....n a a a +++≥ 2n ) 2. 已知,,a b c R +∈,1a b c ++=,求证:1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点?二、讲授新课:1. 教学例题:① 出示例1:已知a , b , c 是不全相等的正数,求证:a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) >6abc .分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.框图表示: 要点:顺推证法;由因导果.③ 练习:已知a ,b ,c 是全不相等的正实数,求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2:在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且A 、B 、C 成等差数列,a 、b 、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系?→ 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点.→ 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和)2. 练习:① ,A B 为锐角,且tan tan 3tan 3A B A B ++=,求证:60A B +=o . (提示:算tan()A B +)② 已知,a b c >> 求证:114.a b b c a c+≥--- 3. 小结:综合法是从已知的P 出发,得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅,直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习:1. 求证:对于任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=. (教材P 52 练习 1题)(两人板演 → 订正 → 小结:运用三角公式进行三角变换、思维过程)2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列,求证:113a b b c a b c+=++++.3. 作业:教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法(二)教学要求:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.教学过程:一、复习准备:1. 提问:基本不等式的形式?2. 讨论:如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. (讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)二、讲授新课:1. 教学例题:① 出示例1:求证3526+>+.讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件?→ 板演证明过程 (注意格式)→ 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.框图表示:要点:逆推证法;执果索因. ③ 练习:设x > 0,y > 0,证明不等式:11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4:见教材P 48. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推)⑤ 出示例5:见教材P 49. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求)2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示:设截面周长为l ,则周长为l 的圆的半径为2l π,截面积为2()2l ππ,周长为l 的正方形边长为4l ,截面积为2()4l ,问题只需证:2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结:分析法由要证明的结论Q 思考,一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅,直到所有的已知P 都成立;比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意)三、巩固练习:1. 设a , b , c 是的△ABC 三边,S 是三角形的面积,求证:222443c a b ab S --+≥.略证:正弦、余弦定理代入得:2cos 423sin ab C ab ab C -+≥,即证:2cos C C -≥cos 2C C +≤,即证:sin()16C π+≤(成立).2. 作业:教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求:结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.教学重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程.教学难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法.教学过程:一、复习准备:1. 讨论:三枚正面朝上的硬币,每次翻转2枚,你能使三枚反面都朝上吗?(原因:偶次)2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题:“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点,则O 在AB 的中垂线l 上,O 又在B C 的中垂线m 上, 即O 是l 与m 的交点。
数学证明中的直接证明与间接证明
数学证明中的直接证明与间接证明数学证明是数学领域中的重要内容,通过逻辑推理和严格的论证,以确保数学理论的正确性和可信度。
数学证明通常可以分为直接证明和间接证明两种形式。
本文将介绍直接证明和间接证明的含义、特点以及应用。
一、直接证明直接证明是一种常用的证明方法,它通过逻辑的推理和论证,直接从已知的命题出发,推导出所要证明的结论。
直接证明通常遵循以下步骤:1. 确定所要证明的命题或结论。
2. 列出已知条件和前提条件。
3. 运用逻辑推理、定义和定理等数学原理,一步一步地推导出结论。
4. 分析并验证证明过程中的每一步是否严谨、正确。
5. 结束证明,得出所要证明的命题。
直接证明的特点是逻辑性强、推理过程直观,并且能够根据已知条件直接得出结论。
因此,直接证明在数学证明中广泛应用于各个领域。
例如,我们来证明一个简单的数学定理:两个偶数的和是偶数。
定理:若a和b为偶数,则a+b为偶数。
证明:设a=2m,b=2n,其中m和n为整数。
则a+b=2m+2n=2(m+n)。
由于m和n为整数,所以m+n也是整数。
因此,a+b=2(m+n)为偶数。
证毕。
二、间接证明间接证明是一种通过反证法推导出结论的证明方法。
它假设所要证明的结论为假,通过运用逻辑推理和推导,得出与已知条件或已知结论相矛盾的结论,从而推断出所要证明的结论为真。
间接证明通常遵循以下步骤:1. 确定所要证明的命题或结论。
2. 假设所要证明的命题为假。
3. 运用逻辑推理和推导,推出与已知条件或已知结论相矛盾的结论。
4. 推断出所要证明的命题为真。
5. 结束证明,得出所要证明的命题。
间接证明的特点是通过对反证假设进行逻辑推理,将所要证明的结论转化为与已知条件相矛盾的结论。
它常常用于证明一些与质数、无理数、等级等有关的命题。
例如,我们来证明一个著名的数学定理:根号2是一个无理数。
定理:根号2是一个无理数。
证明:假设根号2是一个有理数,可以表示为根号2=p/q,其中p 和q互质。
2.2.1综合法和分析法(1)
C
因为:SA 平面ABC ABC成立 因为:SA⊥平面ABC成立 所以. SC成立 所以. AF⊥SC成立
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC, ,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过 例:如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E, E,过 SC的垂线 的垂线, 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足 S F,求证 为F,求证 AF⊥SC
2 2 2
点评:在解决问题时,我们经常把综合法和分析 点评:在解决问题时,我们经常把综合法和分析
法结合起来使用:根据条件结构特点去转化结论, 法结合起来使用:根据条件结构特点去转化结论, 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件, 得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件, 得到中间结论P 可以推出Q 得到中间结论P,若P可以推出Q,就可以证明结论 成立
特点:执果索因. 特点:执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点. 用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q ⇐ P1
P1 ⇐ P2
P2 ⇐ P3
…
得到一个明显 成立的结论
例题,求证: + 7 < 2 5 3
证明:因为 3 + 7和2 5都是正数,所以要证
3+ 7 <2 5
( ( 只需证, 3 + 7) < 2 5)
:.已 例:.已知a、b、c为不全相等的正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: + + > 3. a b c
利用已知条件和某些数学定义、公理、 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证, 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立, 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法 法叫做综合法 表示已知条件、已有的定义、公理、 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. ,Q表示所要证明的结论 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为: 则综合法用框图表示为:
高中数学选修2第二章小结(推理与证明)课件
1- 22 2 (n N *) 的值. 2. 猜想 11
2n个 n个
解 : 当 n= 1 时 , 当 n= 2 时 , 当 n= 3 时 , 猜想89 =33, 111111 - 222 = 110889 =333.
4. 演绎推理
从一般性原理出发, 推出某个特殊情况下 的结论, 这样的推理叫演绎推理. 三段论是演绎推理的一般模式, 包括: (1) 大前提 — 已知的一般原理; (2) 小前提 — 所研究的特殊情况;
(3) 结论 — 根据一般原理, 对特殊情况做出 判断.
5. 三段论 大前提:某类事物都有某特征, M 是 P.
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 第二章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
例6. 在数列 {an}, {bn} 中, a1=2, b1=4, 且 an, bn, an+1 成等差数列, bn, an+1, bn+1 成等比数列 (nN*). 求 a2, a3, a4 及 b2, b3, b4. 由此猜测 {an}, {bn} 的通项 公式, 并证明你的结论. 求证: an=n2+n, bn=(n+1)2. 证明: 数学归纳法, 2+1=2, 2=4, 2+ 2+(k ① 当a n = 1 时 , a = 1 b = (1 + 1) 解得 = k 3 k + 2 = ( k + 1) + 1). 1 1 k+1 2 =[ 结果与已知相符 , 2) 即 n( = 时+猜测成立 . bk+1=(k+ k1 +1) 1]2. 2+k, b =(k+1)2 成立, ② 假设当 n = k 时 , a = k k k 即 n=k+1 时猜测也成立 . 由已知得 根据①②两步可知 nN*时, an=n2+n, bn=(n+1)2 2=k2+k+a 2( k + 1) , 2 b = a + a , 都成立. k + 1 k k k+1 ( 推证 a , b 时 , 思路源于 k + 1 k + 1 ak+12=(k+1)2bk+1. ak+12=bkbk+1.. ∴猜测是正确的 求 a2, b2 时解方程组的思想)
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2.1.1直接证明与间接证明
1.直接证明
(1)综合法是由原因推导到结果的证明方法,它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.
(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法.
2.间接证明
反证法是假设命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法,它是一种间接的证明方法,用这种方法证明一个命题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立;
②根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止;
③断言假设不成立;
④肯定原命题的结论成立.
例题1、若10<<a ,10<<b 且b a ≠,则b a +,ab 2,22b a +,ab 2中最大的是( )
.A b a + .B ab 2 .C 22b a + .D ab 2
例题2、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于︒60”时,应假设( )
.A 三个内角都不大于︒60 .B 三个内角都大于︒60
.C 三个内角至多有一个大于︒60 .D 三个内角至多有两个大于︒60
例题3、 某个命题与正整数n 有关,若k n =(*N k ∈)时该命题成立,那么可推得1+=k n 时该命题也成立,现在已
知当5=n 时该命题不成立,那么可推得( )
.A 当6=n 时该命题不成立 .B 当6=n 时该命题成立 .C 当4=n 时该命题不成立 .D 当4=n 时该命题成立
例题4、用反证法证明命题:若整系数一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )存在有理数根,那么 c b a ,,中至少有
一个是偶数.下列假设中正确的是( ).
.A 假设 a ,b ,c 都是偶数 .B 假设 a ,b ,c 都不是偶数
.C 假设 a ,b ,c 至多有一个偶数 .D 假设 a ,b ,c 至多有两偶数
例题5、若0>>b a ,则b a 1+ a
b 1+(用“>”、“<”、“=”填空) 一、综合法证明:
例题6、已知c b a ,,为正实数,1=++c b a .
求证:(1)3
1222≥
++c b a ;(2)6232323≤+++++c b a
例题7、证明:若0>b a ,,则2
lg lg 2lg
b a b a +≥+.
二、分析法证明: 例题8、已知0>a ,求证:21212
2-+≥-+a a a a
例题9:、若0>>>>d c b a 且c b d a +=+,求证:c b d a +<+
三、反证法证明:
例题10、(2011.广东.理)已知数列{}n a 的前n 项和()21n
n a n S +=,且11=a .
(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令n n a b ln =,是否存在k (*2N k k ∈≥,),使得k b ,1+k b ,2+k b 成等比数列.若存在,
求出所有符合条件的k 值;若不存在,请说明理由.
例题11、已知实数0>y x ,,且2>+y x ,求证:
x y +1与y x +1中至少有一个小于2.
四、依据信息给予题中的推理证明
例题12、(2011年湖南醴陵测试)对于给定数列{}n c ,如果存在实常数q p ,使得q pc c n n +=+1对于任意*N n ∈都成立,我们称数列{}n c 是“M 类数列”.
(1)若n a n 2=,n n b 23⋅=,*
N n ∈,数列{}n a ,{}n b 是否为“M 类数列”?若是,指出它对应的实常数q p ,,若不是,请说明理由;
(2)证明:若数列{}n a 是“M 类数列”,则数列{}1++n n a a 也是“M 类数列”.
例题13、对于定义域为[]1,0的函数()x f ,如果同时满足以下三条:①对任意的[]1,0∈x ,总有()0≥x f ;②()11=f ;③若0021≥≥x x ,,121≤+x x ,都有()()()2121x f x f x x f +≥+成立.则称函数()x f 为理想函数.
(1)若函数()x f 为理想函数,求()0f 的值;
(2)判断函数()12-=x x g ,[]1,0∈x 是否为理想函数,并予以证明.
方法指导:
1.综合法是一种由因导果的证明方法,又叫顺推法.它常见的书面表达形式是“∵…,∴…”或“…⇒…”.利用综合法证明“若 A 则 B ”命题的综合法思考过程可用如下图的框图表示为:
综合法的思维过程是由因导果的顺序,是从A 推演到B 的途径,但由A 推演出的中间结论未必唯一,如B ,1B ,2B 等,可由B ,1B ,2B 能推演出的进一步的中间结论更多,如1C ,2C ,3C ,4C 等等,最终能有一个(或多个)可推演出结论B 即可.
2.分析法是一种执果索因的证明方法,又叫逆推法或执果索因法.它常见的书面表达形式是:“要证…,只需证…”或“…⇐…”.利用分析法证明“若 A 则 B ”命题的分析法思考过程可用下图的框图表示为:
分析法的思考顺序是执果索因的顺序,是从B 上溯寻其论据,如1C ,2C ,3C 等,再寻求1C ,2C ,3C 的论据,如B ,1B ,2B ,3B ,4B 等等,继而寻求B ,1B ,2B ,3B ,4B 的依据,如果其中之一B 的论据恰为已知条件,于是命题得证.
3.反证法是一种间接的方法,常常是利用直接证法如综合法、分析法有困难时利用反证法来证明,即“正难则反”.
注意:
分析法和综合法是对立统一的两种方法,分析法的证明过程,恰好是综合法的分析、思考过程,即综合法是分析法的逆过程.混淆了它们间的区别与联系易产生思维障碍.要注意两种证明方法的书写格式,否则易产生逻辑上的错误.利用反证法证明问题是从否定结论入手的,没有使用假设命题而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.。