[套卷]浙江省诸暨市诸暨中学2013-2014学年度第一学期高三年级文科数学期中试题及答案

诸暨中学高三数学期中试卷（文科）说明：1、本试题卷分选择题和非选择题部分.满分150分，考试时间120分钟. 2、请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x =-<<==+∈R 则集合M N = ( ) A ．（-2，+∞）B ．（-2，3）C ．[)1,3D ．R2.设是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 ( ) A. 12- B. 2- C. 12D.23. 下列函数中周期为π且为偶函数的是( ) A ．)22sin(π-=x y B. )22cos(π-=x y C. )2sin(π+=x y D ．)2cos(π+=x y4. 设，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A ．若lm ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m // 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A B ．C D6．将函数()sin 22f x x x =的图象向左平移m 个单位（0m >），(,0)2π是所得函数的图象的一个对称中心，则m 的最小值为( ). A ．4πB ．6πC ．3πD ．12π7．函数()x f y =的图象如图所示，则导函8.设函数c bx ax x f ++=2)(，其中a ，b 都是正数，对于任意实数x ，等式)1()1(x f x f +=-恒成立，则当R x ∈时，)3()2(x x f f 与的大小关系为（ ）.A.)2()3(xxf f > B. )2()3(xxf f < C. )2()3(xxf f ≥ D. )2()3(xxf f ≤9.在矩形ABCD 中，1,AB AD ==, P 为矩形内一点，且AP =,若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈,則λ的最大值为 ( )A.32 C. D.10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F ,2F 是一对相关曲线的焦点,P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 ( ) A ．332 B ．2 C ．3 D ．2非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11.()32,0x x f x x -⎧-≤⎪=>，则))2((-f f =______________12.甲盒子里装有分别标有数字1,2,3的3张卡片，乙盒子里装有分别标有数字4,5的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ____________．13．已知圆x 2+y 2－2x －6y=0，过点E （0，1）作一条直线与圆交于A ，B 两点，当线段ABD ．A ．B ．C ．长最短时，直线AB 的方程为 . 14.若执行如图所示的框图， 输入11x =，x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 8, 则输出的数等于 .15．设2z x y =+，其中y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若z 的最小值，则k 的值为 .16.已知直线L 经过定点A(4,1),在x 轴，y 轴上的截距分别为a,b,且a,b 都大于零，则a+b 的最小值为_________________.17.已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为______________.三、解答题：本大题共5个小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明或演算过程。

18. （本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（I ）求角C 的大小；（IIcos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．1B 1A 1CA19.（本小题满分14分）记数列{}n a 的前n 项和n S ，且2122n c c S n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(c 为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于的等比数列．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求c 的值； （2）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20. （本题满分14分）在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知11,3BC BCC π=∠=，21==CC AB .（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下,求AE 和平面ABC 所成角正弦值的大小.21.（本题满分15分）已知函数R a ax x x f ∈+-=,13)(3．(Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；(Ⅱ) 求所有的实数a ，使得不等式1)(1≤≤-x f 对]3,0[∈x 恒成立．22．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．（I ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；（II ）是否存在垂直于y 轴的直线，使得被以AC求出的方程；若不存在，说明理由．诸暨中学2013学年第一学期期中考试数学答题卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）二、填空题：（本大题有7小题，每小题4分，共28分）11、_________________ 12、______________________13、_________________ 14、______________________15、_________________ 16、______________________17、_________________三、解答题：（本大题共5小题，共72分）18. （本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足s i n c o s .c A a C = （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．班级 姓名 学号 试场 …………………………………….装…………………………………………订………………………………………线………………………………………………..1B 1A 1CA19.（本小题满分14分）记数列{}n a 的前n 项和n S ，且2122n c c S n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(c 为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列．（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求c 的值； （Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T20. （本题满分14分）在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知11,3BC BCC π=∠=，21==CC AB（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下,求AE 和平面ABC 所成角正弦值的大小.21.（本题满分15分）已知函数R a ax x x f ∈+-=,13)(3．(Ⅰ) 求)(x f 的单调区间；(Ⅱ) 求所有的实数a ，使得不等式1)(1≤≤-x f 对]3,0[∈x 恒成立．22．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，过定点(0)C p ，作直线与抛物线22x py =（0p >）相交于A B ，两点．(Ⅰ)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB △面积的最小值；(Ⅱ)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案：一、选择题：CDABD;BDCCC二、填空题：11.7; 12.31 13.x+2y-2=0 14.41515.1 16.9 17.223-三、解答题：18.解：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C = 因为0,A π<<所以s i n 0.s i n c o s .c o s 0,t a n 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则------5分（II ）由（I ）知3.4B A π=-于是------6分cos()sin cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+== 从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==------14分19.解(1)由2122n c c S n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭得： 当1111,1;2,1(1)n n n n a S n a S S n c -===≥=-=+-.........3 故1(1)n a n c =+- (4)而521,,a a a 成公比不等于的等比数列，即()2114c c +=+且0c ≠，所以2c =………6 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，12-=n a n . ………………………………………………7分 ∴)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n …………10分∴12111111(1)()()23352121n n T b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦ 12)1211(21+=+-=n nn ………………………………12分20.解：（Ⅰ）∵11,3BC BCC π=∠=CC 1=2 ∴BC 1=321212CC BC BC =+ ∴BC BC 1⊥ ∵AB ⊥侧面11BB C C C C BB BC 111平面⊂ ∴AB BC 1⊥ 且BC ⋂AB=B 得证：1C B ABC ⊥平面 ------4分 （Ⅱ）连接BE 假设 E 为C 1C 的中点 BC=CE=1 3BCC 1π=∠ 等边1BEB ∆中3BEC π=∠同理：B 1C 1=C 1E=1 32E C B 11π=∠ ∴6EC B 11π=∠ 可得2BEB 1π=∠ 可证 EB EB 1⊥∵AB ⊥侧面11BB C C C C BB EB 111平面⊂ ∴AB EB 1⊥ 且EB ⋂AB=B 得证：ABE E B 1平面⊥ ABE AE 平面⊂ 得证1EA EB ⊥；------8分（Ⅲ）AB ⊥侧面11BB C C 1ABC AB 平面⊂ 得111ABC B BCC 平面平面⊥过E 做BC 1的垂线交BC 1于F EF ⊥平面ABC 1 连接AF 则为所求EAF ∠∵BC ⊥BC 1 EF ⊥BC 1 ∴BC ∥EF E 为C 1C 的中点 得 F 为C 1B 的中点21EF = 由（2）知5AE = ∴105521sin ==∠EAF ------14分21.解：(Ⅰ) f ′(x )＝3x 2－3a ．当a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )的增区间是(－∞，＋∞)． 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x或 x，故f (x )的增区间是(]和，＋∞)，f (x )的减区间是[]．………… 7分(Ⅱ) 当a ≤0时，由(Ⅰ)知f (x )在[0上递增，且f (0)＝1，此时无解．当0＜a ＜3时，由(Ⅰ)知f (x )在[0]上递减，在]上递增，所以f (x )在[0，上的最小值为f)＝1－2所以1,1,(0)1,f f f ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩即1,1,a ⎧≤⎪⎨≥⎪⎩ 所以a ＝1．当a ≥3时，由(Ⅰ)知f (x )在[0]上递减，又f (0)＝1，所以f＝－a ＋1≥－1，解得a ≤1此时无解．综上，所求的实数a ＝1．22．解：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为(0)N p -，，可设1122()()A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为y kx p =+，与22x=y 得22220x pkx p --=．由韦达定理得122x x pk +=，2122x x p =-． 于是12122AMN BCN ACNS S S p x x =+=-△△△·． 12p x x =-=2p ==， ∴当0k =，2min ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为y a =，设AC 的中点为O '，与AC 为直径的圆相交于点P ，Q PQ ，的中点为H ，则O H PQ '⊥，Q '点的坐标为1122x y p +⎛⎫⎪⎝⎭，．=，111222y p O H a a y p +'=-=--，222PH O P O H ''=-∴221111()(244y p a y =+---1()2p a y a p a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，22(2)PQ PH =∴14()2p a y a p a ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得=2=又由点到直线的距离公式得d =．从而112222ABN S d AB p ===△···∴当0k =时，2max ()ABN S =△．（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为y a =，则以AC 为直径的圆的方程为11(0)()()()0x x x y p y y -----=，将直线方程y a =代入得211()()0x x x a p a y -+--=， 则21114()()4()2p x a p a y a y a p a ⎡⎤⎛⎫=---=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△． 设直线与以AC 为直径的圆的交点为3344()()P x y Q x y ，，，，则有3PQ x =-=．令02p a -=，得2p a =，此时PQ p =为定值，故满足条件的直线存在，其方程为2py =， 即抛物线的通径所在的直线．。