2012年中考数学复习考点跟踪训练49_方程、函数与几何相结合型综合问题
(完整版)2012年湘教版中考数学系统复习资料(全面)
《株洲中考》目录第一部分数与代数第一节：实数课时1：有理数课时2：实数课时3：实数的运算第二节：代数式课时4：整式及其运算课时5：因式分解课时6：分式及其运算课时7：二次根式第三节：方程与方程组课时8：一元一次方程与二元一次方程组课时9：一元二次方程与分式方程课时10：列方程（组）解应用题第四节：不等式与不等式组课时11：一元一次不等式（组）及其解法课时12：列一元一次不等式（组）解应用题第五节：函数及其图象课时13：函数及其图象课时14：一次函数课时15：反比例函数课时16：二次函数第二部分：空间与图形第六节：图形的初步认识课时17：点、线、面、角课时18：相交线、平行线第七节：三角形与四边形课时19：三角形课时20：全等三角形课时21：四边形课时22：特殊四边形的性质与判定第八节：图形与变换课时23：图形的平移、轴反射与旋转课时24：相似三角形课时25：位置的确定、平面直角坐标系第九节：解直角三角形。
课时26：锐角三角函数课时27：解直角三角形第十节：圆课时28：圆的有关性质课时29：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系。
课时30：圆与圆的位置关系、圆锥课时31：视图与投影第十一节：图形与证明：课时32：命题、证明、反证法课时33：尺规作图。
第三部分：统计与概率课时34：统计课时35：概率第四部分：实践与综合应用课时36：方程与函数综合课时37：圆与相似综合课时38：代数与几何综合测试卷：综合测试（一）数与代数卷综合测试（二）空间与图形综合测试（三）统计与概率综合测试（四）实践与综合应用中考数学模拟试卷（一）中考数学模拟试卷（二）中考数学模拟试卷（三）中考数学模拟试卷（四）中考数学备考策略初中数学学业考试是具有合格考试和选拔功能的考试，是义务教育阶段的终结性考试，也是全面、正确反映初中毕业生在学科学习目标方面所达到的水平考试，考试结果既是学生是否达到毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题24：方程、不等式和函数的综合
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题24：方程、不等式和函数的综合一、选择题1. （2012福建龙岩4分）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有【】①y=x②y=－2x＋1 ③1y=x-④2y=3xA．1个B．2个C．3个D． 4个【答案】【考点】【分析】2. （20121b yx+ =A. y【答案】【考点】【分析】∴△=（2－2b）2－8（b2－1）=－4（b＋3）（b－1）=0，解得：b=－3或1。
∵反比例函数1byx+=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0。
∴b＜－1。
∴b=－3。
∴反比例函数的解析式是13yx-=，即2yx=-。
故选D。
3.（2012山东菏泽3分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】A ．B ．C ． D【答案】【考点】【分析】4.（2012【 】A C 【答案】【考点】二次函数的图象，一次函数的性质。
【分析】∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m ＞0，n ＜0。
∴m ＜0，∴一次函数y mx n =+的图象经过二、三、四象限。
故选C 。
5. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线1y=2x上，点N 在直线y =x +3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y =﹣abx 2+（a +b ）x 【 】A ．有最大值，最大值为92-B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为92-【答案】B 。
【考点】关于y 轴对称的点的坐标，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。
【分析】∵M ，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为（a ，b ），∴N 点的坐标为（﹣a ，b ）。
又∵点M 在反比例函数1y=的图象上，点N 在一次函数y =x +3的图象上， 29+2。
中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。
学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。
同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例：1、与相似及圆有关的基本图形2、正方形中的基本图形3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；（4）特殊图形的辅助线及其迁移．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。
2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《多各函数交叉综合问题》
2012年中考数学总复习重点知识专题讲解第五讲 多种函数交叉综合问题【知识点诠释】初中数学所涉及的函数无非也就一次函数，反比例函数以及二次函数。
二次函数基本上只会考和一次函数的综合问题，二次函数与反比例函数基本不会涉及。
所以如何掌握好一次函数与反比例函数的综合问题就成为了又一重点。
这类题目本身并不会太难，很少作为压轴题出现，一般都是作为一道中档次题目来考察考生对于一次函数以及反比例函数的掌握。
所以在中考中面对这类问题，一定要做到避免失分。
【例1】2010，西城，一模将直线4=y x沿y 轴向下平移后，得到的直线与x 轴交于点904⎛⎫⎪⎝⎭，A ，与双曲线(0)=>k y x x 交于点B ．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点B 的纵标为m ，求k 的值（用含有m 的式子表示）． 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。
题目一般不难，设元以后计算就可以了。
本题先设平移后的直线，然后联立即可。
比较简单,看看就行.【解析】将直线x y 4=沿y 轴向下平移后经过x 轴上点A （0,49），设直线AB 的解析式为b x y +=4．则0494=+⨯b ． 解得9-=b ．∴直线AB 的解析式为94-=x y ． （2）设点B 的坐标为(),B x m ， ∵直线AB 经过点B ， ∴94-=B x m ． ∴49+=m x B ． ∴B 点的坐标为9,4m m +⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点B 在双曲线ky x=()0x >上， ∴49+=m k m ．∴492m m k +=．【例2】2010，丰台，一模如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2my x=的图象相交于A 、B 两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，12y y <【思路分析】第一问直接看图写出A ，B 点的坐标（－6,－2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m ，建立二元一次方程组求k,b 。
2012年中考数学复习考点跟踪训练46函数型综合问题
考点跟踪训练46 函数型综合问题一、选择题1．(2010·绥化)已知函数y＝1 x的图象如图所示，当x≥－1时，y的取值范围是( ) A．y＜－1 B．y≤－1C．y≤－1或y＞0 D．y＜－1或y≥0答案 C解析根据反比例函数的性质和图象，可知x≥－1时，在第三象限为y≤－1；在第一象限y>0，故选C.2．(2010·贵阳)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是( )A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2答案 D解析根据图象和数据可知，当y<0时，直线在x轴下方的部分，x的取值范围是x>2.3．(2010·黔东南州)在直角坐标系中，若解析式为y ＝2x 2－4x ＋5 的图象沿着x 轴向左平移两个单位，再沿着y 轴向下平移一个单位，此时图象的解析式为( )A ．y ＝2(x －3)2＋4B ．y ＝2(x －3)2＋2C ．y ＝2(x ＋1)2＋4D ．y ＝2(x ＋1)2＋2答案 D解析 y ＝2x 2－4x ＋5配方得y ＝2(x －1)2＋3，由题意得y ＝2(x －1＋2)2＋3－1，即y ＝2(x ＋1)2＋2.4．(2010·孝感)双曲线y ＝4x 与y ＝2x在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 设直线AB 交于x 轴于C ，则S △AOC ＝12×4＝2，S △BOC＝12×2＝1，∴S △AOB ＝2－1＝1.5．(2011·聊城)某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )A ．50 mB ．100 mC ．160 mD ．200 m答案 C解析 如图，以抛物线的顶点为坐标原点，平行于地面的直线为x 轴建立坐标系；设函数解析式为y ＝ax 2，当x ＝1时，y ＝－0.5，所以a ＝－0.5，y ＝－0.5x 2.当x ＝0.2时，y ＝－0.5×0.22＝－0.02；当x ＝0.6时，y ＝－0.5×0.62＝－0.18，所以每段防护栏的支柱长度为2×错误!＝1.6米，100段防护栏的支柱总长为100×1.6＝160米．二、填空题6．(2010·自贡)如图，点Q 在直线y ＝－x 上运动，点A 的坐标为(1,0)，当线段AQ 最短时，点Q 的坐标为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12解析 当AQ 垂直于直线y ＝－x 时，线段AQ 最短．在Rt △AOQ 中，AO ＝1，∠AOQ ＝45°，画QH ⊥OA 于H ，则QH ＝12OA ＝12，OH ＝12，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12. 7．(2011·怀化)出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．答案 4解析 由题意，得y ＝x (8－x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，y 有最大值．8．(2010·武汉)如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A (0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P (1，m )，则不等式组mx >kx ＋b >mx －2的解集是______________．答案 1<x <2解析 由直线y 1＝kx ＋b 过点A (0,2)，P (1，m )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝m ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝m －2，b ＝2，∴y 1＝(m －2)x ＋2，故所求的不等式组可化为mx >(m －2)x ＋2>mx －2，解得1<x <2.9．(2010·莆田)某同学利用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，列出的部分数据如下表：x 0123 4y 30－20 3经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：____________.答案y＝x2－4x＋3解析选取三点(0,3)，(1,0)，(3,0)，设抛物线的解析式为y ＝a(x－1)(x－3)，则a(0－1)(0－3)＝3，a＝1，∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.10．(2010·昆明)如图，点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在双曲线y＝k x(x>0)上，且x2－x1＝4，y1－y2＝2.分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形F OCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为_______________．答案y＝6x解析∵x2－x1＝4，y1－y2＝2，∴BG＝4，AG＝2.∴S△AGB＝4.∵S矩形AEOC＝S矩形OFBD，S矩形FOCG＝2，∴S矩形AEOC＝S矩形OFBD＝12(S五边形AEODB－S△AGB－S矩形FOCG)＋S矩形FOCG ＝12(14－4－2)＋2＝6，即AE·AC＝6，∴k＝6，∴y＝6x.三、解答题11．(2011·滨州)如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC.点A、B 在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC＝4米，点B到水平面距离为2米，OC＝8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱P A、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P？(无需证明)(3)为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是多少？(请写出求解过程)解 (1)以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴与射线CA 平行方向为x 轴正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2，由题意知点A 的坐标为(4,8)，且点A 在抛物线上，所以8＝a ×42，解得a ＝12， 故所求抛物线的函数解析式为y ＝12x 2.(2)延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D,则点A 、D 关于OC 对称．连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求．(3)由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上，所以点B 的坐标为(2,2)．又知点A 的坐标为(4,8)，所以点D 的坐标为(－4,8)． 设直线BD 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2k ＋b ＝2，－4k ＋b ＝8，解得k ＝－1，b ＝4.故直线BD 的函数解析式为y ＝－x ＋4，把x ＝0代入y ＝－x ＋4，得点P 的坐标为(0,4)．即两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米．12．(2011·重庆)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：月份x 123456789 价格y1(元/件)560580600620640660680700720 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至1 2月每件配件的原材料价格y2(元)与月份x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式；根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)与月份x满足函数关系式p2＝－0.1x＋2. 9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大？并求出这个最大利润；(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801,982＝9604,972＝9409,962＝9216,952＝9025)解(1)y1与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630.(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)＝(0.1x＋1.1)(1000－50－30－20x－540)＝(0.1x＋1.1)(380－20x)＝－2x2＋160x＋418＝－2(x－4)2＋450(1≤x≤9，且x取整数)，∵－2＜0,1≤x≤9，∴当x＝4时，w有最大值，且w＝450(万元)；去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝(x－29)2(10≤x≤12，且x取整数)，当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，∴当x＝10时，w有最大值，且w＝361(万元)．∵450＞361，∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元．(3)去年12月份销售量为：－0.1×12＋2.9＝1.7(万件)，今年原材料的价格为：750＋60＝810(元)，今年人力成本为：50×(1＋20%)＝60(元)，由题意，得5×[1000(1＋a%)－810－60－30]×1.7(1－0.1a%)＝1700，设t＝a%，整理，得10t2－99t＋10＝0，解得t＝99±940120.∵972＝9409,962＝9216，而9401更接近9409.∴9401≈97.∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980.∵1.7(1－0.1a%)≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10.答：a的整数值为10.13．(2011·河南)如图，一次函数y1＝k1x＋2与反比例函数y2＝k2 x的图象交于点A(4，m)和B(－8，－2)，与y轴交于点C.(1)k1＝______，k2＝________；(2)根据函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是______________；(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD 交于点E ，当S 四边形ODAC ∶S △ODE ＝3∶1时，求点P 的坐标．解 (1)12，16.(2)－8＜x ＜0或x ＞4.(3)由(1)知，y 1＝12x ＋2，y 2＝16x .∴m ＝4，点C 的坐标是(0,2)，点A 的坐标是(4,4)． ∴CO ＝2，AD ＝OD ＝4.∴S 梯形ODAC ＝CO ＋AD 2·OD ＝2＋42×4＝12. ∵S 梯形ODAC ∶S △ODE ＝3∶1，∴S △ODE ＝13×S 梯形ODAC ＝13×12＝4.即12OD ·DE ＝4，∴DE ＝2.∴点E 的坐标为(4,2)．又点E 在直线OP 上，∴直线OP 的解析式是y ＝12x .∴直线OP 与y 2＝16x 的图象在第一象限内的交点P 的坐标为(4 2，2 2)．。
2012年中考数学知识点备考复习9.doc
八．几何计算题选讲几何计算题历年来是中考的热点问题。
几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。
解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。
一、三种常用解题方法举例例1． 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC交于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长. 解法一：（几何法）连结OT ，则OT ⊥CD ，且OT=21AB ＝5 BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2=CP ·CA. ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54.∵PE ∥BC ∴AC AP BC PE =，PE=5554×5=4. 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要注意图形中的隐含条件. 解法二：（代数法） ∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE =. ∴21==AB CB AE PE . 设：PE=x ，则AE=2 x ，EB=10–2 x .连结PB. ∵AB 是直径，∴∠APB=900.在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE . ∴21==AE PE EP EB .∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ）. 解得x =4. ∴PE=4.说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系. 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC.设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α，在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α. 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55.∴sin α=55555=, COS α=5525510=.∴PE=10×55255⨯=4. 说明：在几何计算中，必须注意以下几点：（1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.（2） 注意推理和计算相结合，先推理后计算，或边推理边计算，力求解题过程规范化. （3） 注意几何法、代数法、三角法的灵活运用和综合运用. 二.其他题型举例例2.如图，ABCD 是边长为2 a 的正方形，AB 为半圆O 的直径，CE 切⊙O 于E ，与BA 的延长线交于F ，求EF 的长.分析：本题考察切线的性质、切割线定理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.本题可用代数法求解.解：连结OE ，∵CE 切⊙O 于E ， ∴OE ⊥CF ∴△EFO ∽△BFC ，∴FB FE BC OE ，又∵OE=21AB=21BC ，∴EF=21FB 设EF=x ，则FB=2x ，FA=2x –2a∵FE 切⊙O 于E ∴FE 2=FA ·FB ，∴x 2=（2x –2a ）·2x 解得x =34a ， ∴EF=34a. 例3．已知：如图，⊙O 1 与⊙O 2相交于点A 、B ，且点O 1在⊙O 2上，连心线O 1O 2交⊙O 1于点C 、D ，交⊙O 2于点E ，过点C 作CF ⊥CE ，交EA 的延长线于点F ，若DE=2，AE=52 （1） 求证：EF 是⊙O 1的切线；（2） 求线段CF 的长； （3） 求tan ∠DAE 的值. 分析：（1）连结O 1A ，O 1E 是⊙O 2的直径，O 1A ⊥EF ，从而知 EF 是⊙O 1的切线.（2）由已知条件DE=2，AE=52，且EA 、EDC 分别是⊙O 1的切线和割线，运用切割线定理EA 2=ED ·EC ，可求得EC=10.由CF ⊥CE ，可得CF 是⊙O 1的切线，从而FC=FA.在Rt △EFC 中，设CF= x ，则FE= x +52.又CE=10，由勾股定理可得：（x +52）2= x 2+102，解得 x =54.即CF=54.（3）要求tan ∠DAE 的值，通常有两种方法：①构造含∠DAE 的直角三角形；②把求tan ∠DAE 的值转化为求某一直角三角形一锐角的正切（等角转化）.在求正切值时，又有两种方法可供选择：①分别求出两线段（对边和邻边）的值；②整体求出两线段（对边和邻边）的比值. 解：（1）连结O 1A ，∵O 1E 是⊙O 2的直径，∴O 1A ⊥EF ∴EF 是⊙O 1的切线..（2）∵DE=2，AE=52，且EA 、EDC 分别是⊙O 1的切线和割线 ∴EA 2=ED ·EC ，∴EC=10由CF ⊥CE ，可得CF 是⊙O 1的切线，从而FC=FA.在Rt △EFC 中，设CF= x ，则FE= x +52.又CE=10，由勾股定理可得：（x +52）2= x 2+102，解得 x =54.即CF=54.（3）解法一：（构造含∠DAE 的直角三角形） 作DG ⊥AE 于G ，求AG 和DG 的值.分析已知条件，在Rt △A O 1E 中，三边长都已知或可求（O 1A=4，O 1E=6），又DE=2，且DG ∥A O 1（因为DG ⊥AE ），运用平行分线段成比例可求得DG=,354,34=AG 从而tan ∠DAE=55. 解法二：（等角转化）连结AC ，由EA 是⊙O 1的切线知∠DAE=∠ACD.只需求tan ∠ACD.易得∠CAD=900，所以只需求AC AD 的值即可.观察和分析图形，可得△ADE ∽△CAE ，551052===CE AE AC AD .从而tan ∠ACD=55=AC AD ，即tan ∠DAE=55. 说明：（1）从已知条件出发快速地找到基本图形，得到基本结论，在解综合题时更显出它的基础性和重要性.如本题（2）求CF 的长时，要能很快地运用切割线定理，先求出CE 的长. （2）方程思想是几何计算中一种常用的、重要的方法，要熟练地掌握.例4.如图，已知矩形ABCD ，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AC 、AB 于M 、E ，CE 的延长线交⊙A 于F ，CM=2，AB=4.（1） 求⊙A 的半径；（2） 求CF 的长和△AFC 的面积. 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB=4，在Rt △ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2，∴（2+AD ）2=42+AD 2，解得AD=3.（2） A 作AG ⊥EF 于G.∵BG=3，BE=AB ―AE=1，∴CE=10132222=+=+BEBC由CE ·CF=CD 2，得CF=105810422==CE CD .又∵∠B=∠AGE=900，∠BEC=∠GEA ，∴△BCE∽△GAE.∴AE CE AG BC =，即,3103=AG S △AFC =21CF ·AG=536. 例5.如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=4，S △ABC =36，∠B 为锐角，且关于x 的方程x 2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根.D 是劣弧AC 上的任一点（点D 不与点A 、C 重合），DE 平分∠ADC ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F.（1） 求∠B 的度数；（2） 求CE 的长.分析：本题是一道综合了代数知识的几何计算题，考察了圆的有关性质，解题时应注意线段的转化.解：（1）∵关于x 的方程x 2–4xcosB+1=0有两个相等的实数根，∴Δ=（-4cosB ）2-4=0.∴cosB=21，或cosB=-21（舍去）. 又∵∠B 为锐角，∴∠B=600.（2） 点A 作AH ⊥BC ，垂足为H. S △ABC =21BC ·AH=21BC ·AB ·sin600=36，解得AB=6 在Rt △ABH 中，BH=AB ·cos600=6×21=3，AH=AB ·sin600=6×3323=，∴CH=BC-BH=4-3=1. 在Rt △ACH 中，AC 2+CH 2=27+1=28.∴AC=72±（负值舍去）.∴AC=72.连结AE ，在圆内接四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=1800，∴∠ADC=1200.又∵DE 平分∠ADC ，∴∠EDC=600=∠EAC. 又∵∠AEC=∠B=600，∴∠AEC=∠EAC ，∴CE=AC=72.例6. 已知：如图，⊙O 的半径为r ，CE 切⊙O 于点C ，且与弦AB 的延长线交于点E ，CD ⊥AB 于D.如果CE=2BE ，且AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2–3（r –2）x+ r 2–4=0的两个实数根.求（1）AC 、BC 的长；（2）CD 的长. 分析：（1）图中显然存在切割线定理的基本图形，从而可得△ECB ∽△EAC ，AC=2BC.又∵AC 、BC 是方程的两根，由根与系数关系可列出关于AC 、BC 的方程组求解.（2）∵CD 是Rt △CDB 的一边，所以考虑构造直角三角形与之对应.若过C 作直径CF ，连结AF ，则Rt △CDB ∽Rt △CAF ，据此可列式计算.解：（1）∵CE 切⊙O 于C ，∴∠ECB=∠A.又∵∠E 是公共角，∴△ECB ∽△EAC ，21==CE BE AC BC ，∴AC=2BC.由AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2–3（r –2）x+ r 2–4=0的两个实数根，∴AC+BC=3（r-2）；AC ·BC=r 2-4，解得r=6，∴BC=4，AC=8.（2） CO 并延长交⊙O 于F ，连结AF ，则∠CAF=900，∠CFA=∠CBD. ∵∠CDB=900=∠CAF ，∴△CAF ∽△CDB ，BC CF CD AC =.∴CD=381248=⨯=⋅CF BC AC . 说明：（1）这是一道代数、几何的综合题，关键是寻找相似三角形，建立线段之间的比例关系，再根据根与系数关系列等式计算；（2）构造与相似的直角三角形的方法有许多种，同学们不妨试一试.例7.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B. （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=CE ∶EB=6∶5，AE ∶EB=2∶3，求AB 的长和∠FCB 的正切值. 解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=900. ∴∠CAB+∠B=900，又∠PAC=∠B ，∴∠CAB+∠PAC=900.即PA ⊥AB ，∴PA 是⊙O 的切线. （2） 设CE=6a ,AE=2x,则ED=5a ，EB=3 x.由相交弦定理，得2x ·3x=5a ·6a ∴x=5a. 连结AD.由△BCE ∽△DAE ，得553==ED EB AD BC .连结BD.由△BED ∽△CEA ，得25==AE BE AC BD . ∴BD=54.由勾股定理得BC=228-AB ，AD=2)54(-AB .∴553)54(82222=--AB AB .两边平方，整理得1002=AB ，∴10=AB （负值舍去）. ∴AD=52.∵∠FCB=∠BAD ，∴tan ∠FCB= tan ∠BAD=25254==AD BD . 解几何计算题要求我们必须掌握扎实的几何基础知识，较强的逻辑推理能力，分析问题时应注意分析法与综合法的同时运用，还特别要注意图形中的隐含条件，在平时的学习中要善于总结归纳，只有这样才能掌握好几何计算题的解法.。
2012年中考数学复习专题四
2012年中考数学复习专题四：函数应用函数是初中数学重要的组成部分，它有着广泛的应用，尤其在中考中占有很大比重。
函数在初中阶段包括一次函数，反比例函数和二次函数，初中数学函数应用题一般包含两个过程：建立函数关系、利用函数关系解决实际问题。
一、一次函数应用题解法：一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，经常给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误也较多。
这里向同学们介绍四种处理这类问题的方法，供同学们参考。
1．直译法即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。
例1. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。
该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。
甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。
某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(10x )本。
（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。
（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。
（3）如果商场允许即可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。
2. 列表法列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。
例2. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。
（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。
（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。
2012,年全国中考数学(附答案)压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题
2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题9：几何综合问题24. （2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=5，求⊙O的半径．13【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°。
∴OB⊥BC。
∴BC是⊙O的切线。
（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF 是等边三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=12∠AOF=30°。
（3）过点C 作CG ⊥BE 于点G ，由CE=CB ，∴EG=12BE=5。
易证Rt △ADE ∽Rt △CGE ， ∴sin ∠ECG=sin ∠A=513，∴EG 5CE ==135sin ECG13=∠。
∴CG 12==。
又∵CD=15，CE=13，∴DE=2， 由Rt △ADE ∽Rt △CGE 得ADD E C GG E=，即AD2125=，解得24A D 5=。
∴⊙O 的半径为2AD=485。
【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接OB ，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC 是⊙O 的切线。
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。
（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由EG=12Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。
2012年中考数学压轴题真题汇编动态综合型问
2012年中考数学压轴题真题汇编：动态综合型问题十、动态综合型问题1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当t 为何值时，这两个正方形分3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动．（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（北京模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向移动，移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动．（1）当t ＝5秒时，点P 走过的路径长为_________；当t ＝_________秒时，点P 与点E 重合； （2）当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；（3）当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点Q ．在运动过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．5．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°；（2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，若△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．E B M C A Pl F N B C A 备用图 A C B D P EB ′AC BD 备用图6．（北京模拟）已知二次函数y＝－33mx2＋3mx－2的图象与x轴交于点A（23，0）、点B，与y轴交于点C．（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y＝－33mx2＋3mx－2图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．7．（北京模拟）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，E是AB的中点，过E点作射线EF ∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2－4x＋a2＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）求线段AB、AD的长；（2）如果t＞1，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．8．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋42交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF 重叠部分的面积为S2．（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D9．（上海模拟）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是边AB上的一个动点，连接CP，过点B 作BD⊥CP，垂足为点D.（1）如图1，当CP经过△ABC的重心时，求证：△BCD∽△ABC；（2）如图2，若BC＝2厘米，cot A＝2，点P从点A向点B运动（不与点A、B重合），点P的速度是5厘米/秒，设点P运动的时间为t秒，△BCD的面积为S平方厘米，求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，若△PBC是以CP为腰的等腰三角形，求△BCD的面积．CAP BD图1CAP BD图2CA B备用图ABDQPE F10．（重庆模拟）如图，已知△ABC 是等边三角形，点O 是AC 的中点，OB ＝12，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．以点P 为顶点，作等边△PMN ，点M ，N 在直线OB 上，取OB 的中点D ，以OD 为边在△AOB 内部作如图所示的矩形ODEF ，点E 在线段AB 上．（1）求当等边△PMN 的顶点M 运动到与点O 重合时t 的值； （2）求等边△PMN 的边长（用含t 的代数式表示）；（3）设等边△PMN 和矩形ODEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出当0≤t≤2秒时S 与t 的函数关系式，并写出对应的自变量t 的取值范围；（4）点P 在运动过程中，是否存在点M ，使得△EFM 是等腰三角形？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－4 3 x ＋ 253． （1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．12．（浙江某校自主招生）如图，正方形/秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A /秒的速度匀速移动．点P 、Q E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P （2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S （3）当4＜t ＜8时，求函数值S 的范围．A O D CB F E 备用图 AO DC BFE 备用图13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ． （1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．14．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ． （1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？15．OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P 运动的时间为t （秒）． （1）求∠AOC 的度数； （2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t（3）设PQ 与OB 交于点M ．①当△OMQ 为等腰三角形时，求t 的值． ②探究线段OM 长度的最大值，说明理由．16．（浙江模拟）已知直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 从O 点出发沿射线OA 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D 从A 点出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向B 点匀速运动，当点D 到达B 点时C 、D 都停止运动．点E 是CD 的中点，直线EF ⊥CD 交y 轴于点F ，点E ′与E 点关于y 轴对称．点C 、D 的运动时间为t （秒）． （1）当t ＝1时，AC ＝___________，点D 的坐标为（_____，_____（2）设四边形BDCO 的面积为S ，当0＜t ＜3时，求S 与t （3）当直线EF 与△ABO 的一边垂直时，求t 的值；（3）当△EFE ′为等腰直角三角形时，直接写出t 的值．17．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD 中，AB＝21，AD ＝12，E 是CD 边上的一点，DE ＝16，M 是BC 边的中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P 的运动时间是t 秒． （1）求线段AE 的长；（2）当△ADE 与△PBM 相似时，求t 的值；（3）如图2，连接EP ，过点P 作PH ⊥AE 于H ． ①当EP 平分四边形PMEH 的面积时，求t 的值；②以PE 为对称轴作线段BC 的轴对称图形B ′C ′，当线段B ′C ′ 与线段AE 有公共点时，写出t 的取值范围（直接写出答案）．18．（浙江模拟）如图，抛物线与x 轴交于A （6，0）、B （19，0）两点，与y 轴交于点C （0，8），直线CD ∥x 轴交抛物线于另一点D ．动点P 、Q 分别从C 、D 两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P 向射线DC 方向运动，点Q 向射线BD 方向运动，设P 、Q 运动的时间为t （秒），AQ 交CD 于E ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（3）连接BE ．是否存在某一时刻t ，使得∠AEB ＝∠BDC ？D A CE B M P 图1 D A C E B M P H 图2 D A CE B M 备用图若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．19．（浙江模拟）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），交y 轴于C 点，已知B 点坐标为（8，0），tan ∠ABC ＝1 2，△ABC 的面积为8．（1）求抛物线的解析式；（2）直线EF （EF ∥x 轴，且分别交y 轴、线段CB 于E 、F 两点）从C 点开始，以每秒1个单位的速度向下运动，与x 轴重合时停止运动；同时动点P 从B 点出发沿线段BO 以每秒2个单位的速度向终点O 运动，连接FP ，设运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，连接AC 交EF 于点G ．当t 为何值时，A 、P 、F 、G 所围成的图形是平行四边形、等腰梯形和等腰直角三角形．20．（浙江模拟）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 为等腰三角形，直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6，将△AOC 沿直线AC 折叠，点O 落在平面内的点E 处，直线AE 交x 轴于点D ． （1）求直线AD 解析式；（2）动点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴正方向匀速运动，点Q 是射线CE 上的点，且∠P AQ ＝∠BAC ．设点P 运动时间为t 秒，△POQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，直线CE 上是否存在一点F ，使以点F 、A 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 值及Q21．（江苏无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠DAB s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从A 作匀速运动．当P 运动到C 点时，P 、Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t s ． （1）当P 异于A 、C 时，请说明PQ ∥BC ；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？C22．（江苏苏州）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以lcm /s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合．在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD ．已知正方形ABCD 的边长为lcm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm ．设正方形移动时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中0≤x≤2.5．（1）试求出y 关于x 的函数关系式，并求当y ＝3时相应x 的值；（2）记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2，试说明S 1－S 2是常数；（3）当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长．23．（江苏连云港）如图，甲、乙两人分别从A （1，3）、B （6，0）两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以4km /h 的速度行走，t h 后，甲到达M 点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达O 点前，MN 与AB 不可能平行． （2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长，设s ＝MN 2，求s 与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．24．（江苏南通）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝12厘米，D 是BC 的中点．点P 从B 出发，以a 厘米/秒（a ＞0）的速度沿BA 匀速向点A 运动，点Q 同时以1厘米/秒的速度从D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t 秒．（1）若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；FECBDA Q P（2）设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．①若a ＝52，求PQ 的长； ②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．25．（江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xO y 中，已知直线l 1：y ＝12x 与直线l 2：y ＝－x ＋6相交于点M ，直线l 2与x 轴相交于点N ． （1）求M 、N 的坐标；（2）在矩形ABCD 中，已知AB ＝1，BC ＝2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动．设矩形ABCD 与△OMN 的重合部分的面积为S ，移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）．直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）在（2）的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值．26．（江苏模拟）已知抛物线与x 轴交于B 、C （1，0）两点，与y 轴交于点A ，顶点坐标为（52，－2716）．P 、Q 分别是线段AB 、OB 上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速运动，速度均为每秒1个单位，设P 、Q 运动时间为t （0≤t ≤4）．（1）求此抛物线的解析式，并求出P 点的坐标（用t 表示）；（2）当△OPQ 面积最大时求△OBP 的面积； （3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）△OPQ 是否可能为等边三角形？若可能请求出t 的值；若不可能请说明理由，并改变Q 点的运动速度，使△OPQ 为等边三角形，求出Q 点运动的速度和此时t 的值． 27．（江苏模拟）如图，在梯形纸片ABCD 中，BC ∥AD ，∠A ＋∠D ＝90°，tan A ＝2，过点B 作BH ⊥AD 于H ，BC ＝BH ＝2．动点F 从点D 出发，以每秒1个单位的速度沿DH 运动到点H 停止，在运动过程中，过点F 作FE ⊥AD 交折线D －C －B 于点E ，将纸片沿直线EF 折叠，点C 、D 的对应点分别是点C 1、D 1．设F 点运动的时间是t （秒）． （1）当点E 和点C 重合时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，设△EFD 1或四边形EFD 1C 1与梯形ABCD 重叠部分面积为S ，求S 与t之间的函数关系式和相应自变量t 的取值范围；（3）平移线段CD ，交线段BH 于点G ，交线段AD 于点P ．在直线BC 上存在点Q ，使△PGQ 为等腰直角三角形？若存在，求出线段QB 的长；若不存在，说明理由．28．（江苏模拟）如图1，直线l ：y ＝－34x ＋3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，等腰Rt △CDE 的斜边C D 在x 轴上，且C D ＝6．若直线l 以每秒3个单位的速度向上匀速运动，同时点C 从（6，0）开始以每秒2个单位的速度向右匀速运动（如图2），设运动后直线l 分别交x 轴、y 轴于N 、M 两点，以OM 、ON 为边作如图所示的矩形OMPN ．设运动时间为t 秒． （1）求运动后点E 、点N 的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）设矩形OMPN 与运动后的△CDE 的重叠部分面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（3）若直线l 和△CDE 运动后，直线l 上存在点Q 使∠OQC ＝90°，则当在线段MN 上符合条件的点Q 有且只有两个时，求t 的取值范围．（4）若H 是MP 的中点，当△PHE 为等腰三角形时，求出所有符合条件的t 值．29．（江苏模拟）如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的顶点为C （0，－3），与x 轴交于点A 、B （A 在B 的左侧），连接AC 、BC ，得等边△ABC ．点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发，以每秒3个单位的速度向y 轴负方向运动，连接PQ 交射线BC 于点D ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）设△PQC 的面积为S ，求S 关于t的函数关系式；（3）以点P 为圆心，PB 为半径的圆与射线BC 交于点E ，试说明：在点P 运动的过程中，线段DE 的长是一定值，并求出该定值．30．（河北）如图，点A （－5，0），B （－3，0），点C 在y 轴的正半轴上，∠CBO ＝45°，CD ∥AB ，∠CDA ＝90°．点P从点Q （4，0）出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒．D 1 A B C F ED H A B C D H 备用图备用图（1）求点C 的坐标； （2）当∠BCP ＝15°，求t 的值；（3）以点P 为圆心，PC 为半径的⊙P 随点P 的运动而变化，当⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．31．（河北模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6．点P 从点A 出发沿AB 以每秒2个单位长的速度向点B 匀速运动；点Q 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动．运动过程中DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线PB －BC 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒． （1）当t ＝______________秒，直线DE 经过点B ；当t ＝______________秒，直线DE 经过点A ； （2）四边形DPBE 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t 为何值时，点E 是BC 的中点？（4）以E 为圆心，EC 长为半径的圆能否与AB 、AC 、PQ 同时相切？若能，直接写出t 的值；若不能，请说明理由．32．（山东青岛）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm /s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm /s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）当点Q 在B 、E 之间运动时，设五边形PQBCD 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t ，使PQ 分四边形BCDE 两部分的面积之比为S △PQE ∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t 的值以及点E 到PQ 的距离h ；若不存在，请说明理由．33．（山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （1，0），C （3，0），D （3，4），以A 为顶点的抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点BAB C 备用图E DBP运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ．当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t34．（山东模拟）把Rt △ABC 和Rt △DEF 按图1摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠BAC ＝∠DEF ＝90°，∠ABC ＝45°，BC＝9，DE ＝6，EF ＝8．如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1个单位/秒的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△DEF 的顶点F 出发，以3个单位/秒的速度沿FD 向点D 匀速移动．当点P 移动到点D 时，P 点停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接BQ 、PQ ，设移动时间为t （s ）．（1）设△BQE 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （2）当t 为何值时，三角形DPQ 为等腰三角形？（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．35．（山东模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P ，交BC 于Q ，连接PM ，设运动时间为t （s ）．（1）当四边形PQCM 是等腰梯形时，求t 的值；（2）当点M 在线段PC 的垂直平分线上时，求t 的值；（3）当t 为何值时，①△PQM 是等腰三角形；②△PQM 是直角三角形；（4）是否存在时刻t ，使以PM 为直径的圆与BC 相切？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．(E ) A B D C F 图1 A B DE F 图2PQC36．（内蒙古包头、乌兰察布）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，点D 在BC 上，且CD ＝3cm ．现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以l cm /秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1.25cm ／秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连接EQ ．设动点运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）连接DP ，经过1秒后，四边形EQDP（2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB （3）当t 为何值时，△EDQ 为直角三角形． 37．（内蒙古呼伦贝尔）如图①，在平面直角坐标系内，Rt △ABC ≌Rt △FED ，点C 、D 与原点O 重合，点A 、F 在y 轴上重合，∠B ＝∠E ＝30°，AC ＝FD ＝3．△FED 不动，△ABC 沿直线BE 以每秒1个单位的速度向右平移，直到点B 与点E 重合为止，平移过程中AB 与EF 的交点为M ． （1）求出图①中点B 的坐标；（2）如图②，当x ＝4秒时，求出过F 、M 、A 三点的抛物线的解析式；此抛物线上有一动点P ，以点P 为圆心，以2为半径的⊙P 在运动过程中是否存在与y 轴相切的情况，若存在，直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设移动x 秒后两个三角形重叠部分的面积为S ，求出整个运动过程中S 与x 的函数关系式．38．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴正半轴上，且OA ＝4，AB ＝2，将△OAB 沿某条直线翻折，使OA 与y 轴正半轴的OC 重合．点B 的对应点为点D ，连接AD 交OB 于点E ． （1）求AD 所在直线的解析式：（2）连接BD ，若动点M 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿射线AO 运动，线段AM 的垂直平分线交直线AD 于点N ，交直线BD 子Q ，设线段QN 的长为y （y ≠0），点M 的运动时间为t 秒，求y 与t 之问的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接MN ，当t 为何值时，直线MN 与过D 、E 、O 三点的圆相切，并求备用图图① 图②39．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点A ，与正比例函数y ＝－43x 的图象交于点B ，过B 点作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，C （0，8）． （1）求直线AB 的解析式；（2）动点M 从点A 出发沿线段AO 以每秒1个单位的速度向终点O 匀速移动，过点M 作x 轴的垂线交折线A －B －O 于点P ．设M 点移动的时间为t 秒，线段BP 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，动点Q 同时从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿折线O －C －B 向点B 移动，当动点M 停止移动时，点Q 同时停止移动．当t 为何值时，△BPQ 是以BP 为一腰的等腰三角形？40．（哈尔滨模拟）如图，直线y ＝43x ＋12分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，直线BC 交x 轴于点C ，且AB ＝AC ．（1）求直线BC 的解析式；（2）点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位的速度向点O 运动，过点P 作y 轴的平行线，分别交直线BC 、直线AB 于点Q 、M ，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ．设点P 的运动时间为t （秒），线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）若经过A 、N 、Q 三点的圆与直线BC 交于另一点K ，当t 为何值时，KQ :AQ ＝10 :10？41．（哈尔滨模拟）如图，直线y ＝－kx ＋6k （k＞0）与x 轴、y 轴交于点A 、B ，且△AOB 的面积是24．（1）求直线AB 的解析式；（2）点P 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿折线OA －AB 运动；同时点E 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴正半轴运动，过点E 作与x 轴平行的直线l ，与线段AB 相交于点F ，备用图备用图当点P 与点F 重合时，点P 、E 均停止运动．连接PE 、PF ，设△PEF 的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，过P 作x 轴的垂线，与直线l 相交于点M ，连接AM ，当tan ∠MAB ＝12时，求t 的值．42．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，△AOB 为等腰三角形，且OA ＝OB ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋30，点C 在线段BD 上，点D 关于直线OC 的对称点在腰OB 上． （1）求点B 坐标；（2）点P 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿折线BC －CO 运动；同时点Q 从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿对角线OB 向终点B 运动，当一点停止运动时，另一点也随之停止运动．设△PQC 的面积为S ，运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接PQ ，设PQ 与OB 所成的锐角为α，当α＝90°－∠AOB 时，求t 的值．43．（哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A （256，0），点B （3，4），将△OAB 沿直线OB 翻折，点A 落在第二象限内的点C 处． （1）求点C 的坐标；（2）动点P 从点O 出发，以每秒5个单位的速度沿OB 向终点B 运动，连接AP ，将射线AP 绕着点A 逆时针旋转与y 轴交于一点Q ，且旋转角α＝12∠OAB ．设线段OQ 的长为d ，点P 运动的时间为t 秒，求d 与t 的函数关系式（直接写出时间t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接CP ．点P 在运动的过程中，是否存在CP ∥AQ ，若存在，求此时t 的值，并辨断点B 与以点P 为圆心，OQ 长为半径的⊙P 的位置关系；若不存在，请说明理由．。
2012中考数学复习冲刺一次函数和二次函数(附中考复习提纲)
2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练一次函数、二次函数（附中考数学最新复习提纲）目录页码一次函数篇 (2)二次函数篇 (34)最新中考复习提纲 (47)一次函数篇◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）•的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少．3．一次函数的定义如果y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），那么y叫做x的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b，是关于x的一次二项式，其中一次项系数k必须是不为零的常数，b可以为任何常数．当b=0而k≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b），（－bk，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b经过第二，三，四象限．6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－bk，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k │²│b │．◆例题解析 例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）．（1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值．【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）．综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇．（2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14 ∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192 ∴1192214x y x y -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8．∵x 是整数，∴x 可取6，7，8．即安排甲，乙两种货车有三种方案：①甲种货车6辆，乙种货车4辆②甲种货车7辆，乙种货车3辆③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000．∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P（a，b），Q（c，d），•则a（c－d）－b（c－d）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，•若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，则直线AM的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x的一次函数y=（a－3）x+2a－5的图像与y轴的交点不在x•轴的下方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图像经过点（0，1），且y随x的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a中，y随x的增大而增大，且它的图像与y轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．18．（2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），下图中的折线表示y•与x之间的函数关系．根据图像进行以下探究：信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为_____km;（2）请解释图中点B的实际意义．图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．问题解决:（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．•在第一列快车与慢车相遇30min后，第二列快车与慢车相遇，•求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时．19．（2005，•黑龙江省）•某企业有甲，•乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以6m3/h 的速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度y（m）与注水时间x（h）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：（1）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（3）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池的蓄水池相同．20．（2005，哈尔滨市）甲，乙两名同学进行登山比赛，图5－42所示为甲同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，•各自行进的路程随时间变化的图象，根据图像中的有关数据回答下列问题：（1）分别求出表示甲，乙两同学登山过程中路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）（2）当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5km，相遇后甲，•乙各自按原来的线路下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？21．（2005，长春市）如图a所示，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与原点重合，对角线BD所在直线的函数关系式为y=34x，AD=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1•单位长度运动，同时点P从点A出发做匀速运动，沿矩形ABCD的边经过点B到达点C，用了14s．（1）求矩形ABCD的周长．（2）如图b所示，图形运动到第5s时，求点P的坐标；（3）设矩形运动的时间为t．当0≤t≤6时，点P所经过的路线是一条线段，•请求出线段所在直线的函数关系式；（4）当点P在线段AB或BC上运动时，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F，则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似（或位似）？若能，求出t的值；若不能，说明理由．22．（2006，绍兴）某校部分住校学生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2L，•他们先同时打开两个放水龙头，后来故故障关闭一个放水龙头，假设前后两个接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（L）与接水时间x（min）的函数图像如图所示．请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3min”．•你说可能吗？请说明理由．答案:1．25 2．y=－12x+3 3．52≤a<3 4．y=3x+1（答案不唯一）5．±346．1 7．n－128．（0，0）（0，34）（0，－3）9．C 10．B 11．B 12．D 13．C 14．A 15．D 16．D 17．（1）由y=－3x+3知，令y=0，得－3x+3=0，∴x=1．∴D（1，0）．（2）设直线L2的解析式表达式为y=kx+b，由图像知：直线L2过点A（4，0）和点B（3，－32），∴40,332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴3,26.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线L 的解析表达式为y=32x －6．（3）由33,36.2y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得2,3.x y =⎧⎨=-⎩ ∴C （2，－3）． ∵AD=3，∴S △=12³3³│－3│=92．（4）P （6，3）． 18．（1）900．（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ， 所以慢车的速度为90012km/h=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇， 两车行驶的路程之和为900km ， 所以慢车和快车行驶的速度之和为9004km/h=225km/h ．所以快车的速度为150km/h ．（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地， 所以快车行驶900150h=6h 到达乙地．此时两车之间的距离为6³75km=450km ， 所以点C 的坐标为（6，450）．设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ， 把（4，0），（6，450）代入得 04,4506,k b k b=+⎧⎨=+⎩解得225,900.k b =⎧⎨=-⎩所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x －900，自变量x •的取值范围是4≤x ≤6．（5）慢车与第一列快车相遇30min后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把x=4.5代入y=225x－900．得y=112.5．此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离，是112.5km．所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150h=0.75h．即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．19．（1）设y甲=k1x+b1，把（0，2）和（3，0）代入，解得k1=－23，b1=2．∴y甲=－23x+2．设y乙=k2x+b2，把（0，1）和（3，4）代入．解得k2=1，b2=1，∴y乙=x+1．（2）根据题意，得2231xy xy+=-+⎧=⎪⎨⎪⎩解得x=35．所以注水35h甲，乙两个蓄水池中水的深度相同．（3）设甲蓄水池的底面积为S1，乙蓄水池的底面积为S2，th甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同，根据题意，得2S1=3³6，S1=9（4－1）S2=3³6=，S2=6S1（－23t+2）=S2（t+1）解得t=1．∴注水1h甲，乙两个蓄水池的蓄水量相同．20．（1）设甲，乙两同学登山过程中，路程s（km）与时间t（h）•的函数解析式分别为s甲=k1t，s乙=k2t，由题意，得6=2k1，6=3k2．∴k1=3，k2=2∴解析式分别为s甲=3t，s乙=2t．（2）甲到在山顶时，由图像可知，当s甲=12（km），代入s甲=3t，得：t=4（h）．∴s乙=2³4=8（km）∴12－8=4（km）答：当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为4km．（3）由图像可知：甲到达山顶并休息1h后点D的坐标为（5，12）由题意，得：点B的纵坐标为12－32=212，代入s乙=2t，解得：t=214，∴点B（214，212）设过B，D两点直线解析式为s=kx+b．由题意，得212124125t bt b⎧=+⎪⎨⎪=+⎩解得642kb=-⎧⎨=⎩∴直线BD的解析式为s=－6t+42∴当乙达到山顶时，s乙=12，得t=6，把t代入s=－6t+42得s=6（km）答：当乙达到山顶时，甲距山脚6km．21．（1）AD=8，B点在y=34x上，则y=6，B点坐标为（8，6），AB=6，矩形的周长为28．（2）由（1）可知AB+BC=14，P点走过AB，BC的时间为14s，因此点P的速度为每秒1•个单位．∵矩形沿DB方向以每秒1个单位长运动，出发5s后，OD=5，此时D点坐标为（4，3）同时，点P沿AB方向运动了5个单位，则点P坐标为（12，8）．（3）点P运动前的位置为（8，0），5s后运动到（12，8）已知它运动路线是一条线段，•设线段所在直线为y=kx+b．∴80,128.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得216.kb=⎧⎨=-⎩直线解析式为y=2x－16．（4）方法一：①当点P在AB边运动时，即0≤t≤6．点D的坐标为（45t，35t）．∴点P 的坐标为（8+45t ，85t ）．若P E B A O ED A=，则85485t t+=68，解得t=6．当t=6时，点P 与点B 重合，此时△PEO 与△BAD 相形．若P E D A O EB A=，则85485t t+=86，解得t=20．因为20>6，所以此时点P 不在AB 边上，舍去． ②当点P 在BC 边运动时，即6≤t ≤14． 点D 的坐标为（45t ，35t ）． ∴点P 的坐标为（14－15t ，35t+6）．若P E B A O ED A=，则3651145t t+-=68，解得t=6．此情况①已讨论．若P E D A O EB A=，则3651145t t+-=86，解得t=19013．因为19013>14，此时点P 不在BC 边上，舍去．综上，当t=6时，点P 到达点B 时，此时△PEO 与△BAD 相形． 方法二：当点P 在AB 上没有到达点B 时，P E B E O EO E <=34，P E O E更不能等于43．则点P 在AB 上没到达点B 时，两个三角形不能构成相似形． 当点P 到达点B 时，△PEO 与△BAD 相似，此时t=6． 当点P 越过点B 在BC 上时，P E O E>34．若P E O E=43时，由点P 在BC 上时，坐标为（14－15t ，35t+6），（6≤t ≤14）．3651145t t+-=43，解得t=19013，但19013>14．因此当P 在BC 上（不包括点B ）时，△PEO 与△BAD 不相似． 综上所述，当t=6时，点P 到达点B ，△PEO 与△BAD 是相似形． 22．（1）锅炉内原有水96L ，接水2min 后锅炉内的余水量为80L ，等． （2）当0≤x ≤2时，y=－8x+96 当x>2时，y=－4x+88∵前15位同学接完水时余水量为 （96－15³2L ）=66L ∴66=－4x+88 x=5.5min（3）小敏说法是可能的，即从第1min 开始8位同学连接接完水恰好用了3min ．一次函数◆知识讲解1．正比例函数的定义一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2．正比例函数的图像正比例函数y=kx （k 是常数且k ≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k ）•的直线，我们称它为直线y=kx ；当k>0时，直线y=kx 经过第一，三象限，y 随着x 的增大而增大，当k<0时，直线y=kx 经过第二，四象限，y 随着x 的增大而减少． 3．一次函数的定义如果y=kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数．一次函数的标准形式为y=kx+b ，是关于x 的一次二项式，其中一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可以为任何常数．当b=0而k ≠0时，它是正比例函数，由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b ≠0时，它不是一次函数．4．一次函数的图像一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b ，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两个交点（0，b ），（－b k，0）就行了．5．一次函数的图像与性质直线y=kx+b （k ≠0）中，k 和b 决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y 随x 的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b 经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b 经过第一，三，四象限，当k<0时，y 随x 的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b 经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b 经过第二，三，四象限． 6．一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积一次函数y=kx+b 沿着y 轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m （m>0）•个单位得到一次函数y=kx+b ±m ；一次函数y=kx+b 沿着x 轴向左（“＋”）、•右（“－”）平移n （n>0）个单位得到一次函数y=k （x ±n ）+b ；一次函数沿着y 轴平移与沿着x 轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b 与x 轴交点为（－b k ，0），与y 轴交点为（0，b ），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S △=12²│－b k│²│b │．◆例题解析例1 （2006，江西省）已知直线L 1经过点A （－1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）． （1）求直线L 1的解析式；（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．【分析】函数图像上的两点坐标也即是x ，y 的两组对应值，•可用待定系数法求解，求函数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析式的k ，b 的值． 【解答】（1）设直线L 的解析式为y=kx+b ，由题意得0,2 3.k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得1,1.k b =⎧⎨=⎩所以，直线L 1的解析式为y=x+1．（2）当点P 在点A 的右侧时，AP=m －（－1）=m+1，有S △APC =12³（m+1）³3=3．解得m=1，此时点P 的坐标为（1，0）；当点P 在点A 的左侧时，AP=－1－m ，有S=³（－m －1）³3=3，解得m=－3，此时，点P 的坐标为（－3，0）． 综上所述，m 的值为1或－3．【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代，求、答．例2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题： （1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇．【分析】观察图像知，甲选手的路程y 随时间x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在AB 段，故求出15≤x ≤33时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，•即先求甲在BC 段的函数关系式，再求出BC 和OD 的交点坐标即可．【解答】（1）当15≤x ≤33时，设y AB =k 1x+b 1，将（15，5）与（33，7）代入得：1111515733k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得1119103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y AB =19x+103当y=6时，有：6=19x+103，解得x=24．∴比赛进行到24min 时，两人第一次相遇． （2）设y OD =kx ，将（24，6）代入得：6=24k, ∴k=14∴y OD =14x当x=48时，y OD =14³48=12∴比赛全程为12km ．（3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2212192k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴y BC =12x －192∴1192214x y xy -=⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得19238x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴比赛进行到38min 时，两人第二次相遇．【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发，充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题．例3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜31t ，柚子12t ，现计划租甲，乙两种货车共10辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜4t 和柚子1t ，乙种货车可装西瓜，柚子各2t ．（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费1800元，乙种货车每辆要付运输费1200元，•则该公司选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？【解答】（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车为（10－x ）辆，依题意，得42(10)312(10)12x x x x +-≥⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得5.5≤x ≤8． ∵x 是整数，∴x 可取6，7，8． 即安排甲，乙两种货车有三种方案： ①甲种货车6辆，乙种货车4辆 ②甲种货车7辆，乙种货车3辆 ③甲种货车8辆，乙种货车2辆（2）设运费为y 元，则y=1800x+1200（10－x ）=600x+12000． ∴当x 取6时，运费最少，最少运费是：15600元．【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综合知识，分析、解决问题的能力．◆强化训练 一、填空题1．（2006，绍兴）如图所示，一次函数y=x+5的图像经过点P （a ，b ），Q （c ，d ），•则a （c －d ）－b （c －d ）的值为______．2．（2005，重庆市）直线y=－43x+8与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 上的一点，•若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，则直线AM 的解析式为______．3．（2006，白云区）关于x 的一次函数y=（a －3）x+2a －5的图像与y 轴的交点不在x •轴的下方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是______．4．已知一次函数y=kx+b （k ≠0）的图像经过点（0，1），且y 随x 的增大而增大，•请你写出一个符合上述条件的函数关系式_______．5．（2005，黑龙江省）一次函数y=kx+3•的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k 的值为________．6．（2005，包头市）若一次函数y=ax+1－a 中，y 随x 的增大而增大，且它的图像与y 轴交于正半轴，则│a－1│．7．（2005，四川省）如果记y=221xx+=f（x），并且f（1）表示当x=1时y的值，即f（1）=22111+=12；f（12）表示当x=12时y的值，即f（12）=22()112(1)2+=15；如果f（1）+f（2）+f（12）+f（3）+f（13）+…+f（n）+f（1n）=______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．8．如图所示，点M是直线y=2x+3上的动点，过点M作MN 垂直x轴于点N，y轴上是否存在点P，使以M，N，P为顶点的三角形为等腰直角三角形．小明发现：当动点M运动到（－1，1）时，y轴上存在点P（0，1），此时有MN=MP，能使△NMP为等腰直角三角形．在y轴和直线上还存在符合条件的点P和点M．请你写出其他符合条件的点P的坐标_______．二、选择题9．（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min可匀速将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（min）的变化而变化．h与t的函数的大致图像为（）10．（2005，杭州市）已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图像经过（）A．第一，二，三象限B．第一，二，四象限C．第二，三，四象限D．第一，三，四象限11．（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4h，调进物资2h后开始调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）．储运部库存物资S（t）•与时间t（h）之间的函数关系如图5－35所示，•这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是（）A．4h B．4.4h C．4.8h D．5h12．（2006，泉州）小明所在学校离家距离为2km，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5min后，因故停留10min，继续骑了5min到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离s（km）与所用时间t（min）之间的关系（）13．（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲，•乙两学生测试的路程s（m）与时间t（s）之间的函数关系图像分别为折线OABC和线段OD，•下列说法正确的（）A．乙比甲先到达终点B．乙测试的速度随时间增加而增大C．比赛进行到29.7s时，两人出发后第一次相遇D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快14．（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，•出的水量都是一定的．已知容器的容积为600L，又知单开进水管10min可把空容器注满．若同时打开进，出水管，20min可把满容器的水放完．现已知水池内有水200L，先打开进水管5min，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量Q（L）随时间t（min）变化的图像是下图中的（）15．（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个出水管的进出水速度如图a，b所示，某天0点到6点（•至少打开一个水管），该蓄水池的蓄水量如图c所示，并给出以下3个论断：①0点到1点不进水，只出水；②1点到4点不进水，不出水；③4点到6点只进水，不出水，则一定正确的论断是（）(a) (b) (c)A．①③B．②③C．③D．①②③16．（2008，重庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，•以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动，而四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点的运动时间t（s）的函数图像大致是（）三、解答题17．（2008，河北）如图所示，直线L1的解析表达式为y=－3x+3，且L1与x轴交于点D．直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线L2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．。
2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题09 几何综合问题
专题9：几何综合问题1. （2012宁夏区10分）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3,P 是BC 上的任意一点（P 与B 、C 不重合），过点P 作AP⊥PE，垂足为P ，PE 交CD 于点E.(1)连接AE ，当△APE 与△ADE 全等时，求BP 的长；(2)若设BP 为x ，CE 为y ，试确定y 与x 的函数关系式。
当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3)若PE∥BD，试求出此时BP 的长.【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。
在Rt△ABP 中，AB=2，∴BP=2222AP AB 325-=-=。
（2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽Rt△PCE。
∴AB BP PC CE= ，即2x 3x y =-。
∴213y x x 22=-+。
∵2213139y x x (x )22228=-+=--+ ∴当3x 2=时，y 的值最大，最大值是98。
（2）设BP=x, 由（2）得213CE x x 22=-+。
∵PE∥BD，∴△CPE∽△CBD。
∴CP CE CB CD=， 即213x x 3x 2232-+-=， 化简得23x 13x 120-+=。
解得14x 3=或2x 3=（不合题意，舍去）。
∴当BP=43 时， PE∥BD。
【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。
【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。
（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽Rt△PCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。
化为顶点式即可求得当3x2时，y的值最大，最大值是98。
（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。
2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC 于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．拓展延伸：（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
2012年中考数学一轮考点复习训练方程的应用
2012年中考数学一轮考点复习训练方程的应用一、选择题1.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A 、256)x 1(2892=-B 、289)x 1(2562=-C 、256)x 21(289=-D 、289)x 21(256=-2近年来，全国房价不断上涨，某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为( )A ．()212000x +=B ．()2200013600x +=C ．()()3600200013600x -+=D ．()()23600200013600x -+=3.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为 ( )（A ） 18%)201(160400160=+-+x x （B ）18%)201(400160=++xx （C ） 18%20160400160=-+x x （D ）18%)201(160400400=+-+xx 4.一种原价均为m 元的商品，甲超市连续两次打八折；乙超市一次性打六折；丙超市第一次打七折，第二次再打九折；若顾客要购买这种商品，最划算应到的超市是（ ▲ ）A. 甲或乙或丙B. 乙C. 丙D. 乙或丙5.黄陂木兰旅游产业发展良好，2008年为640万元，2010年为1000万元，2011年增长率与2008至2010年年平均增长率相同，则2011年旅游收入为( )A.1200万元B.1250万元C.1500万元D.1000万元6.如图，矩形的长与宽分别为a 和b ，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底柱，则a 和b 要满足的面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆数量关系是 A.121+=πb a B.122+=πb a C.221+=πb a D.12+=πb a二、填空题1.某农户2008年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2010年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是 ▲ ____．2.某商店购进一批运动服，每件的售价为120元时，可获利20％，那么这批运动服的进价为是____▲____元．3.小锋骑车在环城路上匀速行驶，每隔5分钟有一辆公共汽车从对面向后开过，每隔20分 钟又有一辆公共汽车从后向前开过，若公共汽车也匀速行驶，不计中途耽误时间，则公交车车站每隔______________分钟开出一辆公共汽车.4.某公司生产一种饮料是由A 、B 两种原料液按一定比例配制而成，其中A 原料液的成本价为15元/千克，B 原料液的成本价为第6题10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A 原料液上涨20%，B 原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是__________．5.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 ．6.某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则平均每年增长的百分数是_____________.7.为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
2012年中考数学复习考点跟踪训练49_方程、函数与几何相结合型综合问题
考点跟踪训练49 方程、函数与几何相结合型综合问题一、选择题1．(2010·南充)如图，小球从点A运动到点B，速度v(米/秒)和时间t(秒)的函数关系式是v＝2t.如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是( )A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒答案 C解析当v＝6时，2t＝6，t＝3.2．(2010·鄂尔多斯)某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是( )A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分答案 D解析A、B、C正确，可排除，错误的是D.3．(2010·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是( )答案 D解析 因为BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ 2＝(4－y )2＋62.在Rt △APQ 中，有AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即(42＋x 2)＋错误!＝(4－y )2＋62，化简，得y ＝－错误!x 2＋错误!x ＝－14(x －3)2＋94，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，94，选D.4．如图，直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，C 为OB 上一点，且∠1＝∠2，则S △ABC ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点A 、B 两点， ∴A (2,0)，B (0,4)，∴OA ＝2，OB ＝4.又∵∠1＝∠2，∠AOC ＝∠BOA ，∴△OAC∽△OBA，∴OCOA＝OAOB，∴OC＝OA2OB＝1，BC＝OB－OC＝3，S△ABC＝12×2×3＝3.5．(2011·烟台)如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为( )答案 D解析设P点运动速度为v(常量)，AB＝a(常量)，则AP＝v t，PB＝a－v t.则阴影部分面积S＝12π⎝⎛⎭⎪⎫a22－12π⎝⎛⎭⎪⎫vt22－12π⎝⎛⎭⎪⎫a－vt22＝－πv24t2＋avt4，由函数关系式可知，抛物线开口向下，选D.二、填空题6．已知平面上四点A(0,0)，B(10,0)，C(10,6)，D(0,6)，直线y＝mx－3m＋2将四边形分成面积相等的两部分，则m的值为_ _________．答案1 2解析∵直线y＝mx－3m＋2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，∴直线必经过矩形的中心对称点O′.∵根据矩形中心对称，可知O′(5,3)，将它代入y＝mx－3m＋2中，得：3＝5m－3m＋2，即m＝1 2.7．阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca.根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两实数根，则x2x1＋x1x2的值为________．答案10解析由题意，得x1＋x2＝6，x1x2＝3，所以x2x1＋x1x2＝x12＋x22x1x2＝错误!＝错误!＝错误!＝10.8．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有_____________．(把正确的答案的序号都填在横线上)答案①②④解析当－1<x<3时，y<0；当x＝1时，y＝a＋b＋c<0，所以说法③错误．9．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y ＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y＝－6 x的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________ ________(结果保留两个有效数字)．答案(1)x2－3；(2)x1≈－1.4，x2≈4.410．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，(1) 请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时，请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．答案解析图象(1)是均匀变化的，为B；图象(2)是先慢后快，为A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快后慢，最后再变快，为C.三、解答题11．(2011·芜湖)如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．解(1)证明：连接OC，∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥P A，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠P AE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2.即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得：x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由AD<DF，知0<x<5，故x＝2.∴AD＝2, AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.12．(2011·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB 上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH 与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t＝1时，正方形EFGH的边长是__________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是__________；(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？解(1)2；4.(2)当0＜t≤611时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH＝(2t)2＝4t2；当611＜t≤65时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH－S△HMN＝4t2－12×43×[2t－34(2－t)]2＝－2524t2＋112t－32；当65＜t≤2时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S△ARF－S△AQE＝12×34(2＋t)2－12×34(2－t)2＝3t.(3)由(2)知：若0＜t≤611，当t＝611时S最大，其最大值S＝144121；若611＜t≤65，当t＝65时S最大，其最大值S＝185；若65＜t≤2，当t＝2时S最大，其最大值S＝6.综上所述，当t＝2时S最大，最大面积是6.13．(2011·襄阳)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB＝10，以A B为直径的⊙O′与y轴正半轴交于点C，连接BC、AC，CD是⊙O′的切线，AD⊥CD于点D，tan∠CAD＝12，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A、B、C三点．(1)求证：∠CAD＝∠CAB；(2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．解 (1)证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴O ′C ∥AD ，∴∠O ′CA ＝∠CAD . ∵O ′C ＝O ′A ，∴∠O ′CA ＝∠CAB .∴∠CAD ＝∠CAB .(2)①∵AB 是⊙O ′的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵OC ⊥AB ，∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ，∴OC OA ＝OB OC ，即OC 2＝OA ·OB .∵tan ∠CAO ＝tan ∠CAD ＝12，∴OA ＝2OC .又∵AB ＝10，∴OC 2＝2OC ×(10－2OC )．∵OC ＞0，∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2.∴A (－8,0)，B (2,0)，C (0,4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝0，64a －8b ＋c ＝0，c ＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－14，b ＝－32，c ＝4.∴y ＝－14x 2－32x ＋4.②设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ， ∴AD ＝AO ＝8.∵O ′C ∥AD ，∴△FO ′C ∽△F AD ，∴O′F AF ＝O′C AD . ∴5＋BF 10＋BF ＝58， ∴BF ＝103，∴F (163，0)．设直线DC 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，163k ＋m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，m ＝4. ∴y ＝－34x ＋4.由y ＝－14x 2－32x ＋4＝－14(x ＋3)2＋254，得顶点E 的坐标为E (－3，254)．将E (－3，254)横坐标代入直线DC 的解析式y ＝－34x ＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254.∴抛物线的顶点E 在直线CD 上．(3)存在．P 1(－10，－6)，P 2(10，－36)．。
2012年中考数学综合型问题试题考点解析归总
2012年中考数学综合型问题试题考点解析归总综合型问题一、选择题1.（2011重庆江津4分）下列说法不正确是A、两直线平行，同位角相等B、两点之间直线最短C、对顶角相等D、半圆所对的圆周角是直角【答案】B。
【考点】平行线的性质，对顶角的性质，线段公理，圆周角定理。
【分析】利用平行线的性质可以判断A正确；利用两点之间线段最短的线段公理可以判断B错误；利用对顶角相等的性质可以判断C正确；利用圆周角定理可以判断D正确。
故选B。
2．（2011重庆潼南4分）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠B C），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是A、①②B、②③C、②④D、③④【答案】B。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定。
【分析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即判定该选项错误；②由ASA可证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO，该选项正确；③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN，该选项正确；④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误。
即②③正确。
故选B。
3.（2011浙江杭州3分）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 梯形D. 菱形【答案】 C。
【考点】剪纸问题。
【分析】此题可以直接作图，由图形求得答案，也可利用排除法求解：如图，若沿着EF剪下，可得梯形ABEF与梯形FECD，∴能剪得的图形是梯形；∵如果剪得的有三角形，则一定是直角三角形，∴排除A与B；如果有四边形，则一定有两个角为90°，且有一边为正方形的边，∴不可能是菱形，排除D。
故选C。
4.（2011浙江义乌3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD 交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD；② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB；④ CD AE=EF CG；一定正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D。
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
二次函数与几何综合题目背景07 年课改后，最后一题宽泛为抛物线和几何结合（主若是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。
几何题可能想许久都不能够动笔，而代数题则能够想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。
因此，课改此后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单很多，而这也吻合教育部要求给学生减少负担的主旨，因此也会连续下去。
要做好这最后一题，主若是要在有限的时间里面找到的简略的计算方法。
要做到这一点，一是要加强自己的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型解析题目解析及对考生要求（1）第一问平时为求点坐标、解析式：本小问要修业生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。
（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。
解题偏代数，要修业生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。
要修业生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转变，获取相应的点坐标，再进行相应的代数计算。
（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。
解题偏几何，要修业生能够对题目所给条件进行转变，合理设参数，将点坐标转变成相应的线段长，再依照题目条件合理构造相似、全等，也许利用锐角三角函数，将这些线段与题目成立起联系，再进行相应计算求解，此处要修业生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，经常有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转变，变成方便我们使用的条件，以下为两种常有的条件转变思想。
1、遇到面积条件： a. 不规则图形先进行切割，变成规则的图形面积； b. 在第一步变化后仍不是很好使用时，依照同底等高，也许等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转变； c. 当面积转变成一边与坐标轴平行时，以这条边为底，依照面积公式转变成线段条件。
2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等也许利用锐角三角函数，转变成线段条件。
2012年中考数学复习考点跟踪训练48几何型综合问题
考点跟踪训练48 几何型综合问题一、选择题1．(2011·潜江)如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BC E等于( )A．23°B．16°C．20°D．26°答案 C解析∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝46°.∵EF∥CD，∴∠ECD＋∠CEF＝180°，∠ECD＝26°，∴∠BCE＝∠BCD－∠ECD＝46°－26°＝20°.2．(2011·枣庄)如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )答案 B解析把B旋转之后平移，可以拼满拼木盘．3．(2011·桂林)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3, AC＝4，则sin A的值为( )A.34 B.43 C.35 D.45答案 C解析在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，所以AB＝5，sin A＝BCAB＝35.4．(2011·福州)如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝6，DF＝4，则菱形ABCD的边长为( )A．4 2 B．3 2 C．5 D．7答案 D解析根据图形的轴对称性，得BE＝DF＝4，所以EF＝EB＋BD＋DF＝14，如图，连MN，则MN＝EF＝14，OM＝AD＝12MN＝12×14＝7.5.(2011·鸡西)如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC 于点E，AE＝3，ED＝4，则AB的长为( )A．3 B．2 3 C.21 D．3 5答案 C解析∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB.∴ABAD＝AEAB，AB2＝AE·AD＝3×(3＋4)＝21，∴AB＝21.二、填空题6．(2011·盐城)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是__________．答案等腰梯形解析观察图形，易知AD∥BC，AD≠BC，且∠ABC＝∠DCB＝60°，所以四边形ABCD是等腰梯形．7．(2011·黄石)有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图．将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为__________．答案AB＝2BC解析设乙纸条宽为a，则甲纸条宽为2a，平行四边形的面积S＝AB·a或S＝BC·2a，所以AB·a＝BC·2a，AB＝2BC.8．(2011·宁波)如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC 内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2 cm，则BC＝________cm.答案8解析延长ED交BC于F，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BFE是等边三角形，BE＝BF＝EF＝6.延长AD交BC于G.∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AG⊥BC.在Rt△DFG中，DF＝6－2＝4.∴GF＝12DF＝2，∴BG＝6－2＝4，BC＝2BG＝2×4＝8.9．(2011·呼和浩特市)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE＝2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为__________．答案15 7解析分别延长BA、CD交于F，易证△CBE≌△CFE，所以BE＝FE，又BE＝2AE，则FE＝2AE，F A＝EA.由AD∥BC，得△F AD ∽△FBC ，S △FBC ＝16S △F AD .设S △F AD ＝x ，则S △FEC ＝1＋x ，S △FBC ＝2＋2x .∴2＋2x ＝16x .14x ＝2，x ＝17. 故S 梯形ABCD ＝16×17－17＝157.10．(2011·盐城)如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40 cm ，灯罩BC 长为30 cm ，底座厚度为2 cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE ________cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)答案 51.6解析 过点B 作BF ⊥CD 于F ，作BG ⊥AD 于G .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°， ∴CF ＝BC ·sin 30°＝30×12＝15.在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin 60°＝40×32＝20 3.∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝15＋20 3＋2＝17＋20 3≈51.64≈51.6(cm).三、解答题11．(2011·北京)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC ＝2，CE ＝4，求四边形ACEB 的周长．解∵ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝CE2－DE2＝2 3.∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4 3.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝213.∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4，∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋BA＝10＋213.12．(2011·南京)如图①，P为△ABC内一点，连接P A、PB、PC，在△P AB、△PBC和△P AC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．(1)如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点；(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C.①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹)；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．解(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴CD＝12AB，∴CD＝BD.∴∠BCE＝∠ABC.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB.∴△BCE∽△ACB.∴E是△ABC的自相似点．(2)①如图所示，作法如下：(i)在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；(ii)在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P. 则P为△ABC的自相似点．②连接PB、PC.∵P是△ABC的内心，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB.∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC.∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A.∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°.∴∠A＝180°7.∴该三角形三个内角的度数为：180°7、360°7、720°7.13．(2011·天津)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(0,4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD.记旋转转角为α，∠ABO为β.(1)如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；(2)如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系；(3)当旋转后满足∠AOD＝β时，求直线CD的解析式．(直接写出结果即可)解(1)∵点A(3,0)，B(0,4)，得OA＝3，OB＝4.∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝5.根据题意，有DA＝OA＝3.如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，则MD∥OB. ∴△ADM∽△ABO.∴ADAB＝AMAO＝DMBO，得AM＝AD AB·AO＝95，DM＝AD AB·BO＝125.又∵OM＝OA－AM，得OM＝3－95＝65，∴点D的坐标为(65，12 5)．(2)如图②，由己知，得∠CAB＝α，AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB.∴在△ABC中，由∠ABC＋∠ACB＋∠CAB＝180°，得α＝180°—2∠ABC.又∵BC∥x轴，∴∠OBC＝90°，∴∠ABC＝90°—∠ABO＝90°—β，∴α＝2β.(3)直线CD的解析式为：y＝－724x＋4或y＝724x－4.。
2012年全国各地中考数学压轴题-一次函数、反比例函数的图象与几何
2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座五一次函数、反比例函数的图象与几何【知识纵横】一次函数、反比例函数与几何问题，往往以计算为主线，侧重决策问题，或综合各种几何知识命题，近年全国各地中考试卷中占有相当的分量。
这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活。
考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力，要求学生熟练掌握三角形、四边形、三角函数、圆等几何知识，较熟练地应用转化思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等常见的数学思想。
解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决。
解函数图象与几何的综合题，应善于运用坐标，线段长度，函数解析式三者关系，要充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。
【选择填空】1. （浙江义乌）如图，已知点A（0，2）、B（，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是2. （浙江衢州）如图，已知函数y=2x和函数ky=x的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是．3. （浙江温州）如图，已知动点A在函数4y=x(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 _.4. （浙江绍兴）如图，矩形OABC的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n次（n＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为（用含n的代数式表示）【典型试题】1. （浙江金华）在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB＝14，OC＝，AC与y轴交于点E．2(1)求AC所在直线的函数解析式；(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和应用。
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考点跟踪训练：方程、函数与几何相结合型综合问题一、选择题1．(2010·南充)如图，小球从点A运动到点B，速度v(米/秒)和时间t(秒)的函数关系式是v＝2t.如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B的时间是()A． 1 B.2 C．3秒D．4秒2．(2010·鄂尔多斯)某移动通讯公司提供了A、B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是()（第1题图）（第2题图）A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分3．(2010·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP＝x，CQ＝y，那么y与x之间的函数图象大致是()4．如图，直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、B两点，C为OB上一点，且∠1＝∠2，则S＝()△ABC第5题图A ．1B ．2C ．3D ．45．(2011·烟台)如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 与PB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( )二、填空题6．已知平面上四点A (0,0)，B (10,0)，C (10,6)，D (0,6)，直线y ＝mx －3m ＋2将四边形分成面积相等的两部分，则m 的值为__________7．阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .根据该材料填空：已知x 1，x 2是方程x 2＋6x ＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为________．8．如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1, x 2＝3；③a ＋b ＋c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．正确的说法有_____________．(把正确的答案的序号都填在横线上)（第9题图）9．利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y＝________和直线y＝－x，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y＝－6x的图象(如图所示)，利用图象求方程的近似解为：____________________(结果保留两个有效数字)．10．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，(1) 请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；(2) 当容器中的水恰好达到一半高度时，请在函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．三、解答题11．(2011·芜湖)如图，已知直线P A交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过C作CD⊥P A，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．12．(2011·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC ＝6，点P在AB上，AP＝2.点E、F同时从点P出发，分别沿P A、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是__________； 当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是__________； (2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式； (3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？13．(2011·襄阳)如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，AB ＝10，以AB 为直径的⊙O ′与y 轴正半轴交于点C ，连接BC 、AC ，CD 是⊙O ′的切线，AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD ＝12，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点．(1)求证：∠CAD ＝∠CAB ； (2)①求抛物线的解析式；②判定抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．考点跟踪训练：方程、函数与几何相结合型综合问题参考答案1.答案 C 解析 当v ＝6时，2t ＝6，t ＝3.2.答案 D 解析 A 、B 、C 正确，可排除，错误的是D.3.答案 D 解析 因为BP ＝x ，CQ ＝y ，则AP 2＝42＋x 2，PQ 2＝(6－x )2＋y 2，AQ 2＝(4－y )2＋62.在Rt△APQ 中，有AP 2＋PQ 2＝AQ 2，即(42＋x 2)＋[]－x 2＋y 2＝(4－y )2＋62，化简，得y ＝－14x 2＋32x ＝－14(x －3)2＋94，根据函数关系式，可知抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，94，选D.4.答案 C 解析 ∵直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点A 、B 两点，∴A (2,0)，B (0,4)，∴OA ＝2，OB ＝4.又∵∠1＝∠2，∠AOC ＝∠BOA ，∴△OAC ∽△OBA ，∴OC OA ＝OAOB， ∴OC ＝OA 2OB ＝1，BC ＝OB －OC ＝3，S △ABC ＝12×2×3＝3.5.答案 D 解析 设P 点运动速度为v (常量)，AB ＝a (常量)，则AP ＝vt ，PB＝a －vt . 则阴影部分面积S ＝12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－12π⎝ ⎛⎭⎪⎫vt 22－12π⎝ ⎛⎭⎪⎫a －vt 22＝－πv 24t 2＋avt 4， 由函数关系式可知，抛物线开口向下，选D.6.答案 12解析 ∵直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，∴直线必经过矩形的中心对称点O ′. ∵根据矩形中心对称，可知O ′(5,3)，将它代入y ＝mx －3m ＋2中，得：3＝5m －3m ＋2，即m ＝12.7.答案 10 解析 由题意，得x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝3，所以x 2x 1＋x 1x 2＝x 12＋x 22x 1x 2＝x 1＋x 22－2x 1x 2x 1x 2＝－2－2×33＝36－63＝10.8.答案 ①②④ 解析 当－1<x <3时，y <0；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c <0，所以说法③错误9答案 (1)x 2－3；(2)x 1≈－1.4，x 2≈4.4 10.答案解析图象(1)是均匀变化的，为B；图象(2)是先慢后快，为A；图象(3)是先快后慢，为D；图象(4)是先快后慢，最后再变快，为C.11.解(1)证明：连接OC，∵点C在⊙O上，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∵CD⊥PA，∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°.∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO.∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠CAO＝∠DCA＋∠DAC＝90°.又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．(2)解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形OCDF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD.∵DC＋DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6－x.∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5－x.在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2＋OF2＝OA2.即(5－x)2＋(6－x)2＝25，化简得：x2－11x＋18＝0，解得x＝2或x＝9.由AD<DF，知0<x<5，故x＝2. ∴AD＝2, AF＝5－2＝3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6.12.解(1)2；4.(2)当0＜t≤611时(如图)，S与t的函数关系式是：S＝S矩形EFGH＝(2t)2＝4t2；当611＜t ≤65时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S 矩形EFGH －S △HMN ＝4t 2－12×43×[2t －34(2－t )] 2＝－2524t 2＋112t －32；当65＜t ≤2时(如图)，S 与t 的函数关系式是： S ＝S △ARF －S △AQE ＝12×34(2＋t ) 2－12×34(2－t ) 2＝3t .(3)由(2)知：若0＜t ≤611，当t ＝611时S 最大，其最大值S ＝144121；若611＜t ≤65，当t ＝65时S 最大，其最大值S ＝185； 若65＜t ≤2，当t ＝2时S 最大，其最大值S ＝6. 综上所述，当t ＝2时S 最大，最大面积是6.13.解 (1)证明：连接O ′C .∵CD 是⊙O ′的切线，∴O ′C ⊥CD .∵AD ⊥CD ，∴O ′C ∥AD ，∴∠O ′CA ＝∠CAD .∵O ′C ＝O ′A ，∴∠O ′CA ＝∠CAB .∴∠CAD ＝∠CAB . (2)①∵AB 是⊙O ′的直径，∴∠ACB ＝90°.∵OC ⊥AB ， ∴∠CAB ＝∠OCB ，∴△CAO ∽△BCO ， ∴OC OA ＝OBOC， 即OC 2＝OA ·OB . ∵tan∠CAO ＝tan∠CAD ＝12， ∴OA ＝2OC .又∵AB ＝10，∴OC 2＝2OC ×(10－2OC )． ∵OC ＞0，∴OC ＝4，OA ＝8，OB ＝2. ∴A (－8,0)，B (2,0)，C (0,4)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A 、B 、C 三点，由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝0，64a －8b ＋c ＝0，c ＝4，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝－32，c ＝4.∴y ＝－14x 2－32x ＋4.②设直线DC 交x 轴于点F ，易证△AOC ≌△ADC ，∴AD ＝AO ＝8.∵O ′C ∥AD ， ∴△FO ′C ∽△FAD ， ∴O ′F AF ＝O ′CAD.∴5＋BF 10＋BF ＝58，∴BF ＝103，∴F (163，0)． 设直线DC 的解析式为y ＝kx ＋m ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，163k ＋m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34，m ＝4.∴y ＝－34x ＋4.由y ＝－14x 2－32x ＋4＝－14(x ＋3)2＋254， 得顶点E 的坐标为E (－3，254)．将E (－3，254)横坐标代入直线DC 的解析式y ＝－34x ＋4中，右边＝－34×(－3)＋4＝254. ∴抛物线的顶点E 在直线CD 上． (3)存在．P 1(－10，－6)，P 2(10，－36)．。