高等代数第一章 2

as bo as 1b1 a1bs 1 a0bs
§1.2 一元多项式
s ai b j . i j
4．多项式运算性质
1) f ( x ) g( x ) 为数域 P上任意两个多项式，则
f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ) 仍为数域 P上的多项式．
乘法：
f ( x ) g ( x ) anbm x n m (anbm 1 an1bm ) x n m 1
(a1b0 aob1 ) x a0b0

n m
i j s s 1
( ai b j ) Байду номын сангаас i
注:
f ( x ) g( x ) 中s 次项的系数为
2) f ( x ), g ( x ) P[ x ]
f ( x ) g( x ) 0
① ( f ( x ) g( x )) max( ( f ( x )), g ( x ))) ② 若 f ( x ) 0, g ( x ) 0, 则 f ( x ) g( x ) 0, 且
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数
§8 复、实系数多项式 的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
一、一元多项式的定义 二、多项式环
§1.2 一元多项式
一、一元多项式的定义
1．定义 设 x是一个符号（或称文字），n 是一
j 0
加法： 若 n m, 在 g ( x ) 中令
bn bn1 bm 1 0
则
f ( x ) g( x ) (a i bi ) x i .
i 0 n i 0 n
减法： f ( x ) g ( x ) (a i bi ) x i
§1.2 一元多项式
x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ) 0, g 2 ( x ) h2 ( x ) 0. 于是 从而 ( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数. ( f 2 ( x )) 为偶数. x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ), 但
f ( x ) 0, g( x ) ix , h( x ) x
§1.2 一元多项式
二、多项式环
定义 所有数域 P中的一元多项式的全体称为数域
P上的一元多项式环，记作 P[ x ] . P称为 P[ x ] 的系数域．
§1.2 一元多项式
ai x i 称为i次项，ai 称为i次项系数． ① an x n 为 f ( x )的首项， n 为首项 a ② 若 an 0, 则称
系数，n 称为多项式 f ( x ) 的次数，记作 ( f ( x ))=n . ③ 若 a0 a1 an 0 ，即 f ( x ) 0，则称之 为零多项式．零多项式不定义次数．
个非负整数，形式表达式
an x n an1 x n1 a1 x a0
其中 a0 , a1 , an P , 称为数域P上的一元多项式． 常用 f ( x ), g ( x ), h( x ) 等表示．
§1.2 一元多项式
注： 多项式 f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 中，
n n1 即， f ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,
g( x ) bm x m bn1 x m 1 b1 x b0 ,
f ( x ) g( x ) m n, ai bi , i 0,1,2, , n .
零多项式 f ( x ) 0 区别： 零次多项式 f ( x ) a , a 0 , ( f ( x ))=0.
§1.2 一元多项式
2．多项式的相等
若多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的同次项系数全相等，则 称 f ( x )与 g ( x )相等，记作 f ( x ) g ( x ).
§1.2 一元多项式
例1
设 f ( x ), g( x ), h( x ) R( x )
f 2 ( x ) xg 2 ( x ) xh2 ( x ), 则 (1) 证明: 若
f ( x )=g ( x ) h( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
§1.2 一元多项式
(1) 证：若 f ( x ) 0, 则
( f ( x ) g( x )) ( f ( x )) ( g ( x ))
§1.2 一元多项式
f ( x ) g( x ) 的首项系数 f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g( x ))h( x ) f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) h( x )) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ) f ( x ) g( x ) f ( x )h( x ), f ( x ) 0 g( x ) h( x )
这与已知矛盾. 故 f ( x ) 0,
g 2 ( x ) h2 ( x ) 0. 从而
§1.2 一元多项式
又 f ( x ), g( x ) 均为实系数多项式 ，
从而必有 g( x ) h( x ) 0.
f ( x ) g( x ) h( x ) 0.
(2) 在 C上不成立．如取
§1.2 一元多项式
3．多项式的运算：加法（减法）、乘法
f ( x ) an x n an1 x n1 a1 x a0 a i x i ,
n i 0 m
g( x ) bm x m bm 1 x m 1 b1 x b0 b j x j ,