北京大学2021年语言类保送数学试题及答案
北大外语类专业保送生招生简章最新发布
北大外语类专业保送生招生简章最新发布北大2023年外语类专业保送生招生简章最新发布北大2023年外语类专业保送生招生简章最新发布！北京大学A+学科一共有35个，分别是中国语言文学、数学、外国语言文学、物理学、化学等，下面小编给大家带来北大外语类专业保送生招生简章最新发布，希望大家喜欢!北大外语类专业保送生招生简章最新发布12月27日，北京大学招生办正式发布该校2023年外语类专业保送生招生简章。
值得关注的是，继2019年后，梵巴语再次启动招生。
根据通知，明年，北大将招收阿拉伯语、朝鲜语、德语、俄语、梵巴语、法语、日语、西班牙语、乌尔都语、希伯来语、印地语、英语、越南语13个专业的保送生，计划招生总人数为92人。
北京大学表示，该计划为暂定人数，实际招生人数将根据生源情况择优录取，宁缺毋滥。
记者注意到，梵巴语专业再次启动招生。
在北大官网一份发布于2021年的《北京大学外国语学院国家级一流本科专业建设点：梵语巴利语》资料显示，北京大学梵语巴利语专业最早由季羡林和金克木教授创立并执教，是教育部第一批设立的重点学科之一，是国内本专业领域唯一同时具有学士、硕士和博士学位授予权的学科点，也是北京大学的特色专业之一。
在招生方面，该专业上世纪曾分别于1960年和1984年招收过两届本科生，培养了新中国的第一代梵语、巴利语学者。
自2005年起再次恢复本科招生，每间隔4～5年招收一届，很多学生已成为国内科研领域的中坚力量。
根据通知，该校外语类专业保送生对象为教育部批准的具有推荐外语类保送生资格的外国语中学中具备外语类保送生资格、符合2023年普通高考报名条件、综合素质优秀、品学兼优、热爱外语专业、身体健康的应届高中毕业生。
北大招生办表示，此次选拔考试实行网上报名，考生可登录北京大学本科招生网上报名平台，按网上要求注册、填写各项申请信息、上传相关证明材料扫描件，打印、盖章并扫描上传报名系统自动生成的《北京大学2023年外语类专业保送生申请表》。
北京大学保送生数学真题及答案
北京大学保送生数学真题及答案2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1． 已知数列{}na 为正项等比数列，且34125a a a a +--=，求56aa +的最小值．解：设数列{}na 的公比为()0q q >，则231115a qa q a a q +--=，12351a q q q ∴=+--()251(1)q q =+-．由1a>知1q >．()454556111a a a q a q a q q ∴+=+=+()()44225511(1)1q q q q q q =⋅+=+--222211515122011qq q q ⎛⎫⎛⎫=++=-++≥ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，当且仅当22111qq -=-即q =56aa +有最小值20．2．已知()f x 为二次函数，且()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成正项等比数列，求证：()f a a =．证法一：设()()20f x mx nx t m =++≠，数列()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 的公比为()0q q >，则()()()()()()()()223,,f a aq f f a f aq aq f f f a f aq aq =====，2ma na t aq∴++=①22()m aq naq t aq ++=②2223()m aq naq t aq ++=③①-②得()()()22111ma q na q aq q ∴-+-=-， ②-③得()()()2222111ma q q naq q aq q ∴-+-=-．若1q =，则()f a a =； 若1q ≠，则()21ma q na aq++=与()21ma q q na aq++=矛盾．()f a a ∴=．证法二：由()()()()()(),,,a f a f f a f f f a 成等比数列得()()()()()()()()()f f f a f f a f a af a f f a ==，()()()()()()()()()()()()f f f a f f a f f a f a f a af f a f a --∴=--．∴三点()()()()()()()()()()()(),,,,,A a f a B f a f a C f a f a 满足ABBCkk =，,,A B C ∴三点共线，与,,A B C 三点在抛物线上矛盾，()f a a ∴=．3．称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形．若锐角三角形ABC 的三边满足a b c >>，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B+． 解：如图所示，设正方形MNPQ 的边长为x ，AE MNAD BC=，sin sin c B x x c B a -∴=，sin sin 2ac B abcx a c B Ra bc∴==++． 同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为D Q EPNMCB A,22abc abcRb ac Rc ab++． ()()()2220Rb ac Ra bc b a R c +-+=--<，()()()2220Rc ab Ra bc c a R b +-+=--<，∴这个三角形的内接正方形边长的最小值为sin sin ac Ba c B+． 4．从O 点发出两条射线12,l l ，已知直线l 交12,l l 于,A B两点，且OABSc∆=（c 为定值），记AB 中点为X ，求证：X 的轨迹为双曲线．解：以12,l l 的角平分线所在直线为x 示的直角坐标系．设AOx BOx α∠=∠=，,OA a OB b ==，(),X x y ， 则1sin 22OABS ab c α∆==，2sin 2c ab α=．()()cos ,sin ,cos ,sin A a a B b b αααα-，cos cos ,2sin sin ,2a b x a b y αααα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩(1)cos 2(2)sin 2xa b y a b αα+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩22(1)(2)-得22222cos sin sin 2x y cab ααα-==，∴X 的轨迹为双曲线． 5．已知()1,2,,10ia i =满足1210121030,21a aa a a a +++=<，求证：()1,2,,10i a i ∃=，使1ia <．X证明：用反证法，假设()1,2,,10ia i ∀=， 1ia ≥．令()11,2,,10i i a b i =+=，则i b ≥，且121020b b b +++=．()()()12101210111a aa b b b ∴=+++121012231b b b b b b b =+++++++12232121b bb b =+++≥与121021a a a <矛盾，()1,2,,10ia i ∴∃=，使1ia <．。
北京大学保送生数学真题及答案
同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
abc
abc
,
．
B
2Rb ac 2Rc ab
2Rb ac 2Ra bc b a 2R c 0
M
E
N
Q
DP C
，
2Rc ab 2Ra bc c a 2R b 0，
这个三角形的内接正方形边长的最小值为
acsin B ． a c sin B
4．从 O 点发出两条射线 l1, l2 ，已知直线 l 交 l1, l2 于 A, B 两点，且 S OAB c （ c 为定值），
21与 a1a2 a10 21 矛盾，
ai i 1,2, ,10 ，使 ai 1 ．
ai i 1,2, ,10 ，使 ai 1．
证明：用反证法，假设 ai i 1,2, ,10 ， ai 1．
令 ai 1 bi i 1,2, ,10 ，则 bi 0 ，且 b1 b2
b10 20 ．
a1 a2 a10 1 b1 1 b2
1 b10
1 b1 b2
b10 b1b2 b2b3
21 b1b2 b2b3
X O
B l2
acos b co s
x
,
2
asi n b s i n
y
,
2
x ab
(1 )
co s
2
(1)2 (2) 2
得
y ab
(2)
si n
2
x2 cos2
y2 sin 2
2c
ab
，
sin 2
X 的轨迹为双曲线．
5 ． 已 知 ai i 1 , 2 , , 满1 0足 a1 a2
a1 03 0 , a 1a 2 a 1 20，1 求 证 ：
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷)(附答案详解)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(北京卷)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0⩽x⩽2}，则A∪B=()A. [0,1)B. (−1,2]C. (1,2]D. (0,1)2.(2021·北京市市辖区·历年真题)在复平面内，复数z满足(1−i)z=2，则z=()A. 1B. iC. 1−iD. 1+i3.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知f(x)是定义在[0,1]上的函数，则函数f(x)在[0,1]上单调递增，是函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.(2021·北京市市辖区·历年真题)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为()A. 3+√32B. 2C. 2√3D. 1+3√325.(2021·北京市市辖区·历年真题)双曲线C：x2a2−y2b2=1过点(√2,√3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A. x2−y23=1 B. x23−y2=1 C. y23−x2=1 D. y2−x23=16.(2021·北京市市辖区·历年真题){a n}和{b n}是两个等差数列，其中a1b k(1⩽k⩽5)为常值，a1=288，a5=96，b1=192，则b3=()A. 32B. 48C. 64D. 1287.(2021·北京市市辖区·历年真题)函数f(x)=cosx−cos2x，试判断函数的奇偶性及最大值()A. 奇函数，最大值为2B. 偶函数，最大值为2C. 奇函数，最大值为98D. 偶函数，最大值为988.(2021·北京市市辖区·历年真题)定义：将24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度；其中小雨(0mm−10mm)，中雨(10mm−25mm)，大雨(25mm−50mm)，暴雨(50mm−100mm)；小明用一个圆锥雉形容器接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级()A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨9.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m=()A. ±2B. ±√2C. ±√3D. ±310.(2021·北京市市辖区·历年真题)数列{a n}是递增的整数数列，且a1≥3，a1+a2+⋯+a n=100，则n的最大值为()A. 9B. 10C. 11D. 12二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.(2021·北京市市辖区·历年真题)(x3−1x)4的展开式中的常数项是．12.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知抛物线C：y2=4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|=6，则M的横坐标是，作MN⊥x轴于点N，则S△FMN=．13.(2021·北京市市辖区·历年真题)a⃗=(2,1)，b⃗ =(2,−1)，c⃗=(0,1)，则(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=，a⃗⋅b⃗ =．14.(2021·北京市市辖区·历年真题)若点P(cosθ，sinθ)与点Q(cos(θ+π6),sin(θ+π6))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ=．15.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知f(x)=|lgx|−kx−2，给出下列四个结论：(1)若k=0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点；以上正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. (2021·北京市市辖区·历年真题)已知在中，c =2bcosB ，C =2π3．(Ⅰ)求B 的大小；(Ⅱ)在下列三个条件中选择一个作为已知，，使存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度． ①c =√2b ； ②周长为4+2 √3； ③面积为．17. (2021·北京市市辖区·历年真题)已知正方体A B C D −A 1B 1C 1D 1，点E 为A 1D 1中点，直线B 1C 1交平面CDE 于点F ．(Ⅰ)证明：点F 为B 1C 1的中点；(Ⅱ)若点M 为棱A 1B 1上一点，且二面角M −CF −E 的余弦值为√53，求A 1MA1B 1的值．18.(2021·北京市市辖区·历年真题)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采用k合1检测法，即将k个人的拭子样本合并检测；若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测；现有100人，已知其中2人感染病毒．(Ⅰ) ①若采用10合1检测法，且两名患者在同一组，求总检测次数； ②已知10人分一组，两名感染患者在同一组的概率为111，求检测次数X的分布列和数学期望E(X).(Ⅱ)若采用5合1检测法，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．19.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知函数f(x)=3−2xx2+a．(Ⅰ)若a=0，求y=f(x)在(1，f(1))处切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在x=−1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值．20.(2021·北京市市辖区·历年真题)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点A(0,−2)，以四个顶点围成的四边形面积为4 √5．(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；(Ⅱ)过点P(0,−3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC 交y=−3于点M，N，直线AC交y=−3于点N，若|PM|+|PN|⩽15，求k的取值范围．21.(2021·北京市市辖区·历年真题)定义R p数列a n，对实数p满足：(1)a1+p≥0，a2+p=0；(2)∀n∈N∗，a4n−1<a4n；(3)a m+n∈{a m+a n+p，a m+a n+p+1}，m，n∈N∗．(Ⅰ)对于前4项2，−2，0，1的数列，可以是R2数列吗？说明理由；(Ⅱ)若{a n}是R0数列，求a5的值；(Ⅲ)是否存在p，使得存在R p数列a n，对∀n∈N∗，S n≥S10？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【知识点】并集及其运算、Venn 图表达集合的关系及运算【解析】【解析】由于求的是并集，所以AUB =( −1,2 ]，故选：B ．2.【答案】D【知识点】共轭复数、复数的四则运算、复数相等的充要条件 【解析】【解析】法一：z =21−i =2⋅(1+i)(1−i)⋅(1+i)； 法二：设z =a +bi ，则(a +b)+(b −a)i =2， 则有{a +b =2b −a =0，解得a =b =1，即z =1+i ； 故选：D ．3.【答案】A【知识点】函数的最值、特殊值法、必要条件、充分条件与充要条件的判断、函数的单调性与单调区间【解析】【解析】由于函数f(x)在[0,1]上单调递增，则函数f(x)在[0,1]上的最大值在区间的右端点x =1处取得，即f(1)， 若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，不一定成立，比如，开口向下且对称轴为x =14的二次函数，此时函数最大值为f(1)， 故选：A ．4.【答案】A【知识点】数形结合思想、几何体的侧面积、表面积、体积问题、空间几何体的三视图 【解析】【解析】如图所示，以1为棱长画正方体，由三视图可知，该三棱锥有三条棱有共同的顶点，且两两互相垂直， 取正方体的4个顶点作为三棱锥的顶点，依次连接，三棱锥的表面积=3个直角三角形的面积+1个等边三角形的面积，故选：A ．5.【答案】A【知识点】双曲线的概念及标准方程、消元法、双曲线的性质及几何意义 【解析】【解析】双曲线离心率e =ca =2，故c =2 a ，b =√3 a ， 将点(√2,√3)代入双曲线方程可得，2a 2−33 a 2=1a 2=1， 故a =1，b =√3，双曲线的方程为x 2−y 23=1，故选：A ．6.【答案】D【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的应用、等差数列的性质【解析】【解析】由题意可得，a1b 1=a 5b s ，其中a 1=288，a 5=96，b 1=192，则b 5=64，因为{b n }是等差数列，所以b 3是b 1与b 5的等差中项， 故b 3=b 1+b 52=192+642=128，故选：D ．7.【答案】D【知识点】函数的奇偶性、函数的最值、三角函数的图象和性质、三角恒等变换 【解析】【解析】函数f(x)=cosx −cos2x ，定义域为R ， ∵f(−x)=cos(−x)−cos(−2x)=cosx −cos2x ， ∴f(−x)=f(x)，即函数f(x)是偶函数； 当x ∈R 时，−1⩽cosx ⩽1，令t =cosx ，f(x)=cosx −(2 cos 2x −1)=− 2 cos 2x +cosx +1， 故f(t)=− 2 t 2+t +1=−2(t −14)2+98， 当t =14时，的函数f(t)最大值为98； 故选：D ．8.【答案】B【知识点】几何体的侧面积、表面积、体积问题、化归与转化思想 【解析】【解析】圆锥的体积公式按相似，小圆锥的底面半径2002=50mm ，故小圆锥的体积V =13×π×502×150=503⋅πmm 3， 积水厚度ℎ=VS 大圆=503⋅ππ⋅1002=12.5mm ，所以属于中雨，故选：B ．9.【答案】C【知识点】数形结合思想、直线、圆的位置关系、圆有关的最值问题【解析】【解析】数形结合，m 为直线在y 轴上的截距，m =±√22−12=±√3，故选：C ．10.【答案】C【知识点】分析法与综合法、数列的综合应用、等差数列的求和 【解析】【解析】最有利情况分析要使首项及相邻两项差值最小，前n 项和S n 最小， 考虑通项a n =n +2的数列为满足条件的最优情况，则n的最大值满足S n=n2+5n2≤100，且S n+1=n2+7n+62>100，代入验证可得n=11，故选：C．11.【答案】−4．【知识点】组合与组合数公式、二项展开式的特定项与特定项的系数【解析】【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①∵，∴ac=6②∵b2=a2+c2−2accosB③由①②③得，∴，故答案为．【解析】二项式定理通项通项T r+1=C4r(x3)4−r(−1x)r=(−1)r C4r x2−4r，令12−4r=0，得r=3，故常数项为T4=(−1)3C43=−4，故答案为：−4．12.【答案】5；4√5．【知识点】数形结合思想、抛物线的性质及几何意义、直线与抛物线的位置关系、几何法【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】利用抛物线的定义由题意|FM|=x M+1=6⇒x M=5，则M(5,±2√5)，此时N(5,0)，则S△FMN=12×4×2√5=4√5，故答案为：5；4√5．13.【答案】0；3．【知识点】向量坐标法、平面向量的坐标运算、数形结合思想、平面向量的基本定理及其应用【解析】【分析】由三边成等差数列得2b=a+c，两边平方待用，由三角形面积用正弦定理得到ac=6，用余弦定理写出b2的表示式，代入前面得到的两个等式，题目变化为关于b2方程，解出变量开方即得．【解析】∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，∴4b2=a2+c2+2ac，①∵，∴ac=6②∵b2=a2+c2−2accosB③由①②③得，∴，故答案为．【解析】由于a⃗=(2,1)，b⃗ =(2,−1)，c⃗=(0,1)，故(a⃗+b⃗ )⋅c⃗=(4,0)⋅(0,1)=0，a⃗⋅b⃗ =(2,1)⋅(2,−1)=4−1=3，故答案为：0；3．14.【答案】5π．12【知识点】定义法、任意角的三角函数、函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】由题意可知，点P，Q都在单位圆上，要使两点关于y轴对称，则只需sinθ=sin(θ+π6)，则θ+θ+π6=π+2kπ，解得θ=5π12+kπ(k∈z)，故答案为：5π12．15.【答案】(1)(2)(4)．【知识点】函数的零点与方程根的关系、函数与方程思想、函数零点存在定理、图像法【解析】【分析】本题考查诱导公式及和差角公式，先利用诱导公式将角统一为5π12与7π12，即可逆用和角的正弦公式，即可求解．【解答】解：原式=cos7π12sin5π12+(−sin7π12)(−cos5π12)=sin5π12cos7π12+cos5π12sin7π12=sin(5π12+7π12)=sinπ=0，故答案为0．【解析】令f(x)=|lgx|−kx−2=0，可转化成两个函数y1=|lgx|与y2=kx+2的交点问题，对于(1)，当k=0时，|lgx|=2，两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k<0，y1=|lgx|与y2=kx+2相切，(2)正确；对于(3)，若k<0，y1=|lgx|与y2=kx+2最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k>0时，过点(0,2)存在函数g(x)=lgx(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确；故答案为：(1)(2)(4)．16.【答案】(Ⅰ)B=π6；(Ⅱ)若选，AD=√7；若选 ③，AD=√212．【知识点】正余弦定理在解三角形计算中的综合应用、三角形面积公式、分类讨论思想【解析】本题主要考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式，是高考中常见的题型，属于中档题，只要学生认真审题，都能得分．【解析】(Ⅰ)由正弦定理bsinB =csinC，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，所以C=2B(舍去)或C+2B=π，故B=A=π6；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，c=√3b，故不能选 ①；若选，设BC=AC=2x，则AB=2√3x，故周长为(4+2√3)x=4+2√3，解得x=1，即BC=AC=2，AB=2√3，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2−AD22×AB×BD =1+12−AD24√3=√32，解得AD=√7；若选 ③，设BC=AC=2x，则AB=2√3x，故S ABC=12×2x×2x×sin120∘=√3x2=3√34，解得x=√32，即BC=AC=√3，AB=3，设BC中点为D，则在中，由余弦定理，cosB=AB2+BD2−AD22×AB×BD =9+(√32)2−AD′3√3=√32，解得AD=√212；综上：若选，AD=√7；若选 ③，AD=√212．17.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)A1MA1B1=12．【知识点】立体几何中的向量方法、平面的法向量、线面平行的判定、二面角【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a=0时，a≠0时，不等式的解集．【解析】(Ⅰ)证明：因为A B C D−A1B1C1D1为正方体，所以A1D1//B1C1，CD//C1D1，又因为CD⊂平面A1B1C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CD//平面A1B1C1D1，因为平面CDEF∩平面A1B1C1D1=EF，且CD⊂平面CDEF，所以CD//EF，故C1D1//EF，所以四边形EFC1D1为矩形，又点E为A1D1中点，故C1 F=D1 E=12A1D1=12C1B1，故点F为B1C1的中点；(Ⅱ)因为A B C D−A1B1C1D1为正方体，故DA，CD，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，CD，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，令正方体A B C D −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，设A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则C(0,2，0)，E 1，0，2)，F(1,2，2)，M(2,2λ,2)，CE =(1,−2,2)，CF =(1,0，2)，CM =(2,2λ−2,2)，设平面CEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1， y 1， z 1)， 则{CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{x 1−2y 1+2z 1=0x 1+2z 1=0，故y 1=0，令z 1=−1，x 1=2，可取n 1⃗⃗⃗⃗ =( 2,0，−1)， 设平面CMF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2， y 2， z 2)， 则{CM ⋅n ⃗ =0CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即{2x 2+(2λ−2)y 2+2z 2=0x 2+2z 2=0, 令z 2=−1，则x 2=2，y 2=11−λ，可取n 2⃗⃗⃗⃗ =(2， 11−λ，−1)，设二面角M −CF −E 为θ，且θ为锐角， 故，解得λ=12∈[0,1]，故A 1MA 1B 1=12．18.【答案】(Ⅰ) ①共检测20次； ②E(X)=32011，X 的分布列为：X 20 30 p1111011(Ⅱ)E(X)<E(Y).【知识点】离散型随机变量及其分布、应用概率解决实际问题、化归与转化思想 【解析】(1)利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；(2)先利用条件求出等比数列{b n }的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；【解析】(Ⅰ) ①共两轮检测，第一轮分10组检测10次，第二轮对患者组检测10次，共检测20次； ②由上述可知，若在同一组需要检测20次，不在同一组需要检测30次，即X可能取值为20，30，则P(X=20)=111，P(X=30)=1011；所以X的分布列为：则E(X)=20×111+30×1011=32011．(Ⅱ)E(X)<E(Y).19.【答案】(Ⅰ)y=4x+5；(Ⅱ)递增区间为(−∞,−1)和(4,+∞)，递减区间为(−1，4)；最大值为1，最小值为−14．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性【解析】(1)利用等差数列的通项公式列出关于首项和公差的方程组解出首项和公差，进而可得到其通项公式；(2)先利用条件求出等比数列{b n}的首项和公比，然后利用求和公式即可解决；【解析】(Ⅰ)由a=0，可得f(x)=3−2xx2，故f(1)=3−21=1，f ′ (x)=−2x2−2x(3−2x)x4=−2x−6+4xx3=2x−6x3，从而k=f ′ (1)=2−61=−4，所以y=f(x)在(1，f(1))处切线方程为y−1=−4(x−1)，即y=4x+5；(Ⅱ)f ′ (x)=−2(x2+a)−2x(3−2x)(x2+a)2=2x2−6x−2a(x2+a)2，由f ′ (1)= 0，可得2+6−2a(1+a)2= 0，解得a =4，经检验符合题意，所以f(x)=3−2xx 2+4， 求导f ′ (x)=2x 2−6x−8(x 2+4)2=2(x−4)(x+1)(x 2+4)2，令f ′ (x)=0，则x = 4或x = −1， 令f ′ (x)>0，则x > 4或x < −1， 令f ′ (x)<0，则−1<x <4，所以函数f(x)的递增区间为(−∞,−1)和(4,+∞)，递减区间为(−1， 4)， 故函数f(x)在x = −1处取得极大值，即极大值为f(−1)=1， 函数f(x)在x = 4处取得极小值，即极小值为f(4)=−14， 又因为当x <32时，f(x)>0，当x >32时，f(x)<0，由此得知，函数f(x)的最大值为f(−1)=1，最小值为f(4)=−14．20.【答案】(Ⅰ)x 25+y 24=1；(Ⅱ) [−3,−1) U (1,3]．【知识点】圆锥曲线中的范围与最值问题、圆锥曲线中的面积问题、圆锥曲线中的综合问题、消元法【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a =0时，a ≠0时，不等式的解集．【解析】(Ⅰ)以四个顶点围成的四边形面积为4 √5，故12×2 a ×2 b =2 a b =4 √5， 联立{b =22ab =4√5a 2=b 2+c 2，解得{a =√5b =2c =1，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；(Ⅱ)由题意可知，直线l 的斜率存在，且直线l 的方程为y =kx − 3， 设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，联立{y =kx −34x 2+5y 2=20, 消去y 理可得，(5 k 2+4)x 2−30k x +25=0，由Δ=(−30k)2−4×(5k 2+4)×25=400(k 2−1)>0，解得k >1或k <−1， x 1+x 2=−−30k 5k 2+4=30k 5k 2+4，x 1x 2=255k 2+4 ① y 1+y 2=k(x 1+x 2)−6=−245k 2+4，y 1y 2=(kx 1−3)(kx 2−3)=k 2x 1x 2−3 k(x 1+x 2)+9=36−20k 25k 2+4②直线AB 的方程为y +2=y 1+2x 1x ，令y =−3，则x =−x 1y1+2，故M(−x1y 1+2,−3)， 直线AC 的方程为y +2=y 2+2x 2x ，令y =−3，则x =−x 3y 2+2，故N(−x 2y2+2,−3)，|PM|+|PN|=|x 1|y 1+2|+|x 2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)|，代入y 1=kx 1−3，y 2=kx 2−3，则|PM|+|PN|=|x 1(kx 2−1)+x 2(kx 1−1)y 1⋅y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1⋅y 2+2(y 1+y 2)+4|代入①式和②式化简得，|PM|+|PN|=5|k|，由于 |PM|+|PN|⩽15，所以5|k|≤15，即−3⩽k ⩽3． 综上：k 的取值范围为[−3,−1) U (1,3]．21.【答案】(Ⅰ)以是R 2数列；(Ⅱ)a 5=1；(Ⅲ)存在p =2．【知识点】类比思想、数学归纳法、分析法与综合法、数列的综合应用【解析】本题考查了分式不等式的求解，分类讨论，由题意对不等式进行化简，分类讨论当a =0时，a ≠0时，不等式的解集． 【解析】(Ⅰ)不可以是R 2数列，当m =n =1时，a 2∉a 1+a 1+2，a 1+a 1+3，故不可以是R 2数列；(Ⅱ)若{a n }是R 0数列，则a 2+0=0，即a 2=0， 令m =n =1，a 2∈{2a 1， 2a 1+1}， 故a 1=0或a 1=−12(舍去)，则a 1=0， 令m =1，n =2，得到a 3∈{0,1}， 令m =n =2，得到a 4∈{0,1}， 又a 3<a 4，所以a 3=0，a 4=1，令m =2，n =3，a 5∈{0,1}，令m =1，n =4，a 5∈{1,2}，故a 5=1； (Ⅲ)存在p =2，使得存在R p 数列a n ，由题意a 2=−p ，则a 2∈{2a 1+p ， 2a 1+p +1}， 又a 1+p ≥a 2+p ，故a 1≥a 2，可得a 1=−p ， a 3∈{−p,−p +1}，a 3∈{−p,−p +1}，且a 4>a 3， 故a 3=−p ，a 4=−p +1，a 5∈{−p +1,−p +2}，a 5∈{−p,−p +1}，故a 5=−p +1， a 6∈{−p +1,−p +2}，a 6∈{−p,−p +1}，故a 6=−p +1， a 7∈{−p +1,−p +2}，a 8∈{−p +1,−p +2}， 又a 8>a 7，故a 7=−p +1，a 8=−p +2，a 9∈{−p +2,−p +3}，a 9∈{−p +1,−p +2}，故a 9=−p +2， a 10∈{−p +2,−p +3}，a 10∈{−p +1,−p +2}，故a 10=−p +2， a 11∈−p +2，−p +3}，a 12∈{−p +2,−p +3}， 又a 12>a 11，故a 11=−p +2，a 12=−p +3，故a 1=a 2=a 3=−p ，a 4=a 5=a 6=a 7=−p +1，a 8=a 9=a 10=a 11=−p +2，a 12=−p +3，假设a n =−p +k (4k ≤n ≤4k +3,k ∈N,n ∈N ∗)，再用数学归纳法即可证出． 联立{−p +2⩽0−p +2⩾0，解得p =2．。
北京大学金秋营数学试题(部分含答案)
2021年北京大学优秀中学生数学金秋营试题
学科专业才能测试一
第一天
2021年10月14日下午14:00—17:30
1、在△ABC内部有一点P满足∠PAB=∠PCB=，L在AC上且BL平分∠ABC，延长PL交△APC的外接圆于Q。
证明：BQ平分∠AQC.
2、对于的一个排列{}定义函数
f()=.求所有的排列中，
f()的最小值。
3、求所有正整数a,b,c满足对任意实数u,v,0≤u＜v≤1.存在正整数n,使得{}∈(u,v)成立.
4、设p为奇素数，p≡1(mod 4).正整数a,b满足-p=1. 设q也为奇素数，
(q,bp)=1.考虑同余方程-2a+1≡0(mod q).证明下述3个阐述等价:
〔1〕p为模q的二次剩余；
〔2〕同余方程存在一个解；
〔3〕同余方程存在四个互不一样的解。
学科专业才能测试二
第二天
2021年10月15日上午09:00-12：00
5、设函数f(x)=,且x∈[-1,1]时，|f(x)| ≤1，求||的最大可能值。
6、一个班里有50人，互相之间发短信，假设在三个人A,B,C之间，仅有A给B 发过短信，B给C发过短信，C给A发过短信。
那么称A,B,C三个人构成一个“循环〞，试求这50个人中“循环〞个数的最大可能值。
7、试求所有正整数a,使得对任意正整数k ,都存在正整数n,使得an+2021是一个正整数的k次方。
8、对〔0，1〕中的实数称其中两个为相邻的，假如这两个数的十进制表示中只有一位不同，是否可以将〔0，1〕中的实数10染色，使得任意两个相邻的数颜色都不一样？
【局部试题参考解答】
第6题参考解答
第7题参考解答。
2021年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷(语言类保送暨高水平艺术团)
2021年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（语言类保送暨高水平艺术团）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）A.B.C.D.1.已知复数，设是的共轭复数，则等于（ ）．A.B.C.D.2.已知集合，，且，则实数等于（ ）．A.或B.C.或D.3.已知正整数数列满足，则等于（ ）．，A.B.C.D.4.已知椭圆 的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，的平分线与轴交于点 ，作交于点，则等于（ ）．A.B.C.D.5.已知非负实数，满足，则的最大值为（ ）．A.B.C. D.6.已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（ ）．A.B.C.D.7.在四面体中，，为的中点，，且，则四面体外接球的半径为（ ）．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）8.展开式中的常数项为 ．9.已知是定义在上的偶函数，且，当时，有，则的解集为 ．10.在平面直角坐标系中，设，，向量，其中，动点满足，则的最小值为 ．三、解答题（本大题共4小题，共50分）（1）（2）11.已知是公差不等于的等差数列，且是，的等比中项，记数列前项和为，．求数列的通项公式．设数列满足，，且，求数列的前项和．（1）（2）12.在三棱台中，，， ，，且平面，设，，分别为棱，，的中点．证明：平面平面．求二面角的正弦值．13.（1）（2）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且．求抛物线的方程．设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点与点之间，连接，过点作直线的平行线，证明：为抛物线的切线．（1）（2）14.已知函数在点处的切线与直线：垂直．设函数，求函数的单调区间．证明：．【答案】解析:∵，∴，∴，则．故选．解析:∵，∴，∴，∴，又∵，∴，而，∴必有解，∴，则，∴．故选．A 1.C 2.B3.依题意，有，则，假设，则，故，，则，矛盾，当时，则，矛盾，从而，故选．解析:设，，则，故是直角三角形，且，从而，故选．解析:由不等式，得，又，是非负实数，则，设，则，上式当，时取等号．故选．A 4.C 5.解析:由，得，依题意，有，解得．故选．解析:依题意，有，则，又，，则平面，如图，设四面体的外接球球心为点，球心在平面与平面上的射影分别为，两点，注意到，均为正三角形，则，，即四面体的外接球半径．故选．解析:仅需考虑展开式中项的系数与常数项．一方面，的常数项为．另一方面，的项的系数为．从而原式展开式中常数项为．解析:D 7.8.9.（1）（2）设．当时，有．即函数在上单调递增．当时，有，又注意到是偶函数．则原不等式的解集为．解析:依题意，得，则点在直线上运动，设线段的中点为，则点在以为圆心，为半径的圆周上运动，又点到直线的距离，则．故答案为：．解析:设数列的公差为（），则，，，又是，的等比中项，且，则．从而．当时，有，则当时，有10.（1）．（2），．11.（1）（2），又注意到，上式也成立，从而，．解析:如图，连接，则四边形是矩形．又，则，从而，由平面，且平面，得，由，且为的中位线，得，又，则平面，注意到平面，则，又，则平面，从而平面平面．以为原点，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）证明见解析．（2）．12.（1）则，，，，故，，，设是平面的法向量，则，取，，，即，设是平面的法向量，则，取，，， 即，设二面角的平面角为，则，故，从而二面角的正弦值为．解析:设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，得，设，，则，，（1）．（2）证明见解析．13.（2）（1）故，注意到，，则，即抛物线的方程为．如图：yOx不妨设点在第一象限，点在第四象限，当时，有，则，即抛物线在点处的切线斜率为，注意到轴，则，设，由，，三点共线，得 ，则，设，由，得，故直线的斜率，从而为抛物线的切线．解析:．依题意，有，，解得，，（1），．（2）证明见解析．14.（2）则，，设，则，当时，有，单调递增，当，时，有，单调递减，故函数在处取到唯一极小值，则，故在区间，上单调递增．①首先证明：，设，则，注意到，这是熟知的，当时，有，单调递减，当时，有，单调递增，故函数在处取到唯一极小值，则，②然后证明：．设，则．当时，有，单调递增，当时，有，单调递减，故函数在处取到唯一极小值，则，结合①与②这两个不等式，得．从而原不等式成立．11。
北大清华北清自主招生博雅领军强基计划笔试真题数学试题分类-导数与微积分初步
清华领军2015.5.如图，已知直线y kx n =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 同时分入了函数图像与性质类清华领军2015.25.设函数()f x 的定义域是（-1，1），若(0)(0)1f f ='=，则存在实数(0,1)δ∈，使得（ ） A.()0,(,)f x x δδ>∈- B.()f x 在(,)δδ-上单调递增 C.()1,(0,)f x x δ>∈ D.()1,(,0)f x x δ>∈-北大博雅2016.1.直线2y x =-+与曲线x a y e +=-相切，则a 的值为（ ） A.-3 B.-2 C.-1 D.前三个答案都不对 1.【解答】A由于()x a x a e e ++'-=-，于是切点横坐标为x =-a ，进而有-(-a )+2=a a e -+-解得a =-3. 【评析】非常基础的问题，注意计算速度和准确度。
清华领军2016.17. ∫(x −π)2π−1(1+sin 2πx)dx =2π? 17.【解答】0()()()()()()()()()()()()()()()212121222220021221220021212201sin 1sin 1sin 1sin 21sin 221sin 1sin 0n n n nnnn n nnn n nnx x dx x x dx x x dxx x dx x x d x x x dx x x dx πππππππππππππππππππ--------+=-++-+⎡⎤=-++--+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【评析】考察大学的微积分知识，运用到换元积分法，清华的考试中常出现这类问题。
清华领军2016.22.2()()x f x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______22.【解答】2()()()2222x x x f x x a e xe x x a e '=++=++，当220x x a ++=无解或者只有一解时，220x x a ++≥恒成立，从而()0f x '≥，此时()f x 无最小值，故()f x 有最小值时220x x a ++=有两个解。
北京大学博雅计划数学真题版
北京大学 2021 年博雅方案数学试卷选择题共 20 小题，在每题的四个项中，只有一项切合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分。
1. 设 n 为正整数，C n k n!为组合数，那么 C202103C202115C20212...4037C20212021等于〔〕k!(n k)!A. 2021 22021B. 2021！C.C40362021D.前三个答案都不对【答案】 Dn n n n n n n分析：(2k1)C n k2kC n k C n k 2 nC n k11C n k2n C n k11C n k，k 0k 0k 0k 1k 0k 1k 0202120212021C202103C 202115C20212...4037C20212021(2 k 1)C2021k 2 2021C2021k1C2021kk0k 1k0 40362202122021202122021，应选D。
2.设 a， b，c 为非负实数，知足 a b c，那么a ab abc 的最大值为〔〕++=3++A. 3B. 4C. 3 2D.前三个答案都不对【答案】 B分析： a ab abc a(1b(1 c)) a 1(1 b c)2 a 1 (4a)2，对其求导获得 a 2 时取44最大值为 4。
3.一个正整数 n 称为拥有3-因数积性质假定n的所有正因数的乘积等于 n3，那么不超出400的正整数中拥有3- 因数积性质的数的个数为〔〕A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C分析：设 n 的所有正因数的乘积为T，即T n3。
n 1 明显切合题意；下边证明当 n 2 时，正整数n的质因数的个数最多为 2：假定n的质因数的个数大于或等于3，即n的所有质因数为p1, p2 ,..., p k (k3) ，并设 n p11 p22 ... p k k，那么 n 的所有正因数的乘积中， p i i (i1,2,...k) 起码在 p i i , p i i p1 , p i i p2 ,..., p i i p i1, p i i p i1..., p i i p k , p i i p2 ... p k这些因子中出现，即i 出现的次数大于或等于，这样 T12k)44，这与题意T n3p i4( p1p2... p k n 矛盾，因此假定不建立，即n 的质因数的个数最多为2。
2021年北京大学强基计划数学试题
2
2
故有 4k 个 n 使得 an = k
于是
61
1
16
S100 =
k × 4k + 7 × 16 = 24 + 7 .
k=1
类似地，bn
=
k
⇔
√ 2n
∈
k
−
1 2
,
k
+
1 2
⇔n∈
k2 − k + 1, k2 + k .
2
2
故共有 k 个 n 使得 bn = k.
则
13 1
1
9
T100 =
k ×k
6.
已知实数 x0
∈
[0, 1). 数列 {xk} 满足：若 xn−1
<
1 2
，则
xn
=
2xn−1, 若 xn−1
≥
1 ，则 2
xn = 2xn−1 − 1 (n = 1, 2, · · · ). 现知 x0 = x2021，则可能的 x0 的个数为
.
答案：22021 − 1 解：首先我们证明 xn ∈ [0, 1) 恒成立.
(1) 如果是椭圆或者圆，被分成 4k 段圆弧，相当于增加连通区域最多 4k 个；
(2) 如果是抛物线，被分成 4k + 1 段曲线，相当于最多增加连通区域 4k + 1 个；
(3) 如果是双曲线，被分成 4k + 2 段曲线，相当于最多增加连通区域 4k + 2 个；
(4) 如果是两条直线，明显相交直线更优，相当于依次加入两条直线，最多增加连通区 域 4k + 3 个.
∠OBC =
.
答案： π 4
2021年高三文科保送数学模拟考试卷 Word版含答案
2021年高三文科保送数学模拟考试卷 Word 版含答案一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上. 1.已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ． 2．已知复数，则 ▲ . 3．双曲线的离心率是 ▲ .4.若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．5.已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件） 6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ .7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形， 若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的， 则正中间一组的频数为 ▲ .8．执行如图算法流程图,若输入,,则输出的值为 ▲ . 9．已知ΔABC 的三个内角所对边的长分别为， 向量，，若，则∠等于 ▲ . 10．在等比数列中，已知，， 则 ▲ .11．函数的单调增区间为 ▲ .12.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值集合 是 ____▲ ．13. 设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 ▲.第814．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则正实数的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分12分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、上的点.（1）如果，求证：直线∥平面； （2）如果，求证：直线平面.17(本题满分12分)数列中， (c 是常数，n=1,2,3,…)，且成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值； (2)求的通项公式.PA B CD FE第16题18. (本小题满分14分)如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？19. (本小题满分15分)已知椭圆E ：的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点.(1)求圆C 的方程；(2)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P ， 使得？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.A B CD E F G R 第18题 H20．(本小题满分15分) 已知函数，. （1）求函数在点处的切线方程；（2）若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围； （3）若方程有唯一解,试求实数的值.南京外国语学校仙林分校高三数学模拟考试答题纸 2014-11-14一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11. _______ 12. _______ 13. 14.二、解答题：本大题共6小题，共80分，__________ 姓名____________________ ———————————————————————————————15.（本题满分12分）16.（本题满分12分）PA B CDFE 第16题17.（本题满分12分）18.（本题满分14分）AB C DEFG R 第18题H19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）南外仙林分校xx 届文科保送高三数学模拟考试答案 2014-11-14一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则 ▲ ． 1{2，4，5}2．已知复数，则 ▲ .2.53．双曲线的离心率是 ▲ .3.4.若命题“，有”是假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．4. [-4，0]．5.已知的终边在第一象限，则“”是“”的 ▲ 条件．（填：充分条件，必要条件，充要条件，既不必要也不充分条件）5.既不必要也不充分条件．6．在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个. 若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是 ▲ . 6.7．在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的和的，则正中间一组的频数为 ▲ . 7.308．执行如图算法框图,若输入,,则输出的值为 ▲ .8.9．已知ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于 ▲ . 9. π310．在等比数列中，已知，，则 ▲ . 10.11．函数的单调增区间为 ▲ .11. （也可以写成）12.若关于的不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值集合是 ____▲ ． 12. {5}（原题）13. 设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为 ▲ . 13.29（原题13）14．已知函数，若命题“，且，使得”是假命题，则正实数的取值范围是 ▲ . 14. （原题(1/e,1】）二、解答题：本大题共6小题，计80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分12分）设为实数，给出命题：关于的不等式的解集为，命题：函数的定义域为，若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围.解 由题意得p 和q 中有且仅有一个正确① p 正确，则由0＜()|x −1|≤1，求得a ＞1． ……………3分 ② ②若q 正确，则ax 2+(a −2)x + ＞0解集为R 当a=0时，−2x + ＞0不合，舍去；③ 当a ≠0时，则解得 ＜a ＜8． ……………6分 ④ p 和q 中有且仅有一个正确，∴，………9分 ∴a ≥8或 ＜a ≤1．故a 的取值范围为 [8，+∞）∪（，1]．………12分16．(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点.（1）求证：直线∥平面；（2）求证：直线平面.P CDE16．证明：（1）作EQ//CD,FG//CD分别交PD,AD于Q,G，连GQ,Z则可以证明 GQ//EF …3分而GQ平面，平面,∴直线∥平面…………6分（2）因为面面,面面,面,且,所以平面,………………………8分又，，且、面,所以面…10分而∥,所以直线平面……………12分17(本题满分12分)数列中， (c是常数，n=1,2,3,…)，且成公比不为1的等比数列.(1)求c的值；(2)求的通项公式.17解：(1)a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1,a2,a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，…，a n-a n-1=(n-1)c，所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=. 又a1=2，c=2，所以a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n=n2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分18. (本小题满分14分)如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，2米，米，，点到的距离的长均为1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.（1）将表示为的函数；（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. …………3分又由点得线段的方程为.而，所以…………6分（2）①当时，因为，所以，由，得，……8分CDE FH当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，；…………10分②当时，因为，所以当时，；…………12分综上，因为，所以当米时，平方米. …………14分（说明：本题也可以按其它方式建系，如以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，仿此给分）19. (本小题满分15分)已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点.(1)求圆C的方程；(2)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；(3)在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分15分) 已知函数，.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若函数与在区间上均为增函数,求的取值范围；（3）若方程有唯一解,试求实数的值.20．(1)因为,所以切线的斜率……………………2分又,故所求切线方程为,即……………………4分(2)因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, .即在上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又,所以在上递增,在上递减……………7分欲与在区间上均为增函数,则,解得……10分(3) 原方程等价于,令,则原方程即为. 因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点…………………12分又,且x>0,所以当x>4时,；当0<x<4时, ，即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当时原方程有唯一解的充要条件是……15分南外仙林分校xx届文科保送高三数学模拟考试（二）答案2014-11-14一、填空题：1{2，4，5} 2.5 3. 4. [-4，0]． 5.既不必要也不充分条件． 6.7.30 8. 9.π310. 11.（也） 12. {5} 13.29 14.二、解答题：15解由题意得p和q中有且仅有一个正确①p正确，则由0＜()|x−1|≤1，求得a＞1．……………3分②②若q正确，则ax2+(a−2)x+ ＞0解集为R当a=0时，−2x+ ＞0不合，舍去；③当a≠0时，则解得＜a＜8．……………6分④p和q中有且仅有一个正确，∴，………9分∴a≥8或＜a≤1．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．………12分16．证明（1）作EQ//CD,FG//CD分别交PD,AD于Q,G，连GQ,Z则可以证明 GQ//EF …3分而GQ平面，平面,∴直线∥平面…………6分（2）因面,面面,面,且,所以平面,………………………8分又，，且、面,所以面…10分而∥,所以直线平面……………12分17解：(1)a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，因为a1,a2,a3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去，故c=2. …………6分(2)当n≥2时，由于a2-a1=c，a3-a2=2c，…，a n-a n-1=(n-1)c，所以a n-a1=[1+2+…+(n-1)]c=. 又a1=2，c=2，所以a n=2+n(n-1)=n2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立，故a n=n2-n+2(n=1,2,3,…). ……12分Array18．解：（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系设曲线段所在抛物线的方程为，将点代入，得，即曲线段的方程为. …………3分又由点得线段的方程为. 而，所以…………6分（2）①当时，因为，所以，由，得，……8分当时，，所以递增；当时，，所以递减，所以当时，；……10分②当时，因为，所以当时，；…………12分综上，因为，所以当米时，平方米. …………14分20．(1)因为,所以切线的斜率……………………2分又,故所求切线方程为,即……………………4分(2)因为,又x>0,所以当x>2时,；当0<x<2时, .即在上递增,在(0,2)上递减…………………………………6分又,所以在上递增,在上递减…………7分欲与在区间上均为增函数,则,解得……10分(3) 原方程等价于,令,则原方程即为. 因为当时原方程有唯一解,所以函数与的图象在y轴右侧有唯一的交点…………………12分又,且x>0,所以当x>4时,；当0<x<4时, ，即在上递增,在(0,4)上递减.故h(x)在x=4处取得最小值………………………………………14分从而当时原方程有唯一解的充要条件是……15分U U35301 89E5 觥28772 7064 灤24223 5E9F 废23776 5CE0 峠40659 9ED3 黓}Y22521 57F9 培 31813 7C45 籅。
2021年普通高等学校招生全国统一考试 数学 北京卷(附答案解析)
(2) 若函数 f (x) 在 x = −1 处取得极值, 求 f (x) 的单调区间, 以及最大值和最小值.
20. (本小题 15 分)
已知椭圆 E
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a >
b
>
0)
过点
A(0,
−2),
以四个顶点围成的四边形面积为
√ 4 5.
(1) 求椭圆 E 的标准方程;
(2) 过点 P (0, −3) 的直线 l 斜率为 k, 交椭圆 E 于不同的两点 B, C, 直线 AB、AC 交 y = −3 于点 M 、N , 若
).
A： x2 − y2 = 1 3
B： x2 − y2 = 1 3
C： x2 − y2 = 1 23
D： x2 − y2 = 1 32
6.
已知
{an}
和
{bn}
是两个等差数列,
且
ak bk
(1
⩽
k
⩽
5)
是常值,
若
a1
=
288,
a5
=
96,
b1
=
192,
则
b3
的值
为 ( ).
A： 64
B： 100
C： 128
2 2
=
50,
故
V小锥
=
1 3
×
π
×
502
×
150
=
503
·
π,
从而可得
积水厚度
h
=
V小锥 S大圆
=
503 · π π · 1002
=
12.5,
2021年北京大学强基计划试题
北京大学强基计划试题1.正实数x, y, z ，满足x ≥ y ≥ z 和x + y ≤ 2(z +ω)，则ω+z的最小值等于（）. x y3 7A. B.4 8C. 1D.前三个答案都不对2.在(2019⨯2020)2021的全体正因数中选出若干个,使得其中任意两个的乘积都不是平方数,则最多可选因数个数为（）A.16B. 31C. 32D.前三个答案都不对3.整数列{a n}= 4 ,且对任意m ≥ 2 有a2 - a a= 2n -1 ,则a 的个位数字是(n >1) 1 2n (n +1)(n-1)2020（ ） A.8 B.4 C.2 D.前三个答案都不对 4. 设a , b , c , d 是方程 x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5 = 0 的 4 个复根,则 a -1 + b -1 + c -1 + d -1 的数值为a + 2b + 2c + 2d + 2（ ）A. -4B. -3C.3D.前三个答案都不对5. 设等边三角形ABC 的边长为 1,过点 C 作以 AB 为直径的圆的切线交 AB 的延长线于点 D,AD>BD,则三角形BCD 的面积为（） A. 6 2 - 3 316D.前三个答案都不对6.设x, y, z 均不为⎛k +1 ⎫π, 其中k 为整数, 已知sin (y +z -x), sin (x+z -y), sin (x+y -z )成等差 2 ⎪⎝⎭数列，则依然成等差数列的是（）A.sin x, sin y, sin zB. cos x, cos y, cos zC. tan x, tan y, tan zD.前三个答案都不对7.方程19x + 93y = 4xy 的整数解个数为（）A.4B.8C.16D.前三个答案都不对8.从圆x2 +y2= 4 上的点向椭圆C:y x 2 + 2 2= 1 引切线,两个切点间的线段称为切点弦,则椭圆 C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（） ππA . B. 2 3πC. D.前三个答案都不对49. 使得5x +122 + 2 ≤ a ( x + y ) 对所有正实数x, y 都成立的实数a 的最小值为（） A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对10.设P 为单位立方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 上的一点,则 PA 1 + PC 1 的最小值为（ ） A. B. xy 2 + 2 2C. 2 -2 2D.前三个答案都不对11.数列{a n}满足a1 =1, a2 = 9 且对任意函数S n 的最大值等于（）n≥1n 1 有a n+2 = 4an+1- 3an- 20,n n n n 2 其中前n 项和为S n ，则A. 28B. 35C. 47D.前三个答案都不对12.设直线 y = 3x + m2与椭圆 x + y = 1交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最大值为25 16（） A. 8 B. 10 C. 12 D.前三个答案都不对 13.正整数n ≥ 3 称为理想的,若存在正整数1 ≤ k ≤ n -1 使得C k-1, C k , C k +1 构成等差数列,其中C k =n!k !(n -k )!为组合数,则不超过2020 的理想数个数为（）A.40B. 41C. 42D.前三个答案都不对14.在△ABC 中, ∠A = 150︒, D1, D2 , , D2020 依次为边 BC 上的点,且BD1 =D1D2 =D2D3 ==D2019 D2020=D2020C, 设∠BAD1=α1, ∠D1AD2=α2, ∠D2019AD2020=α2020，∠D2020 AC =α2021 ，sin α1 sin α3 sin α2021则sin αsin α sin α的值为（）2 4 20201A.10103 + 2 3cos θ + cos 2 θ 3 2 11B. C. 2020 D.前三个答案都不对15. 函数 f (θ ) = + 2 215 - 2 3cos θ + cos 2 θ + 4 sin 2 θ3的最大值为（）2 3A. B. 2 2+ C. + 2D.前三个答案都不对16.方程+=1n + n 1 n 的实根个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.前三个答案都不对 17.凸五边形 ABCDE 的对角线 CE 分别与对角线 BD 和 AD 交于点 F 和 G,已知BF : FD=5:4 ，AG : GD = 1:1 , CF : FG : GE = 2: 2: 3 , S CFD 和S ABE 分别为 CFD 和 ABE 的面积,则 S CFD : S ABE 的值等于（） A. 8:15 B. 2:3 C. 11:23 D.前三个答案都不对18.设p , q 均为不超过 100 的正整数,则有有理根的多项式 f ( x ) = x 5 + px + q 的个数为（ ） A. 99B. 133C. 150D.前三个答案都不对 19. 满足对任意n ≥1有a = 2n - 3a 且严格递增的数列{a }的个数为（） A. 0 B. 1 C.无穷多个 D.前三个答案都不对20.设函数 f (x , y , z ) =x+y+z，其中x, y, z 均为正实数，则有（）x +y y +z z +xA.f 既有最大值也有最小值B. f 有最大值但无最小值C. f 有最小值但无最大值D.前三个答案都不对。
2022年北京大学强基计划笔试数学试题 及解答
2022年北京大学强基计划笔试数学试题1.已知2n+1与3n+1均为完全平方数且n不超过2022，则正整数n的个数为.答案：1解：设2n+1=a2，3n+1=b2化简得到3a2−2b2=1，即(3a)2−6b2=3，由于(3,1)为佩尔方程x2−6y2=3的一组解，由佩尔方程的性质知其有无穷多组解，对其任意一组解(x k,y k)，由于x2k =6y2k+3，所以x k为被3整除的正奇数.则a=x k3，n=a2−12，知这样的n均为正整数.由于1≤n≤2022，知1<a≤63，所以3<x k≤189，由佩尔方程的通解知x k=(3+2√6)(5+2√6)k+(3−2√6)(5−2√6)k2，由特征方程知其所对应的递推公式为x k+2=10x k+1−x k，x1=3，x2=27，得x3=267，因此仅x2=27满足条件，此时n=40.所以这样的n为1个.12.已知凸四边形ABCD 满足∠ABD =∠BDC =50◦，∠CAD =∠ACB =40◦，则符合题意且不相似的凸四边形ABCD 的个数为.答案：2解：对凸四边形ABCD ，由∠CAD =∠ACB ，有AD BC ；由∠ABD =∠BDC ，图1:第2题图有AB CD .故四边形ABCD 为平行四边形.如图，设对角线AC 中点为O .我们下面固定对角线AC ，则点D 在固定的射线AD 上，我们只需求出该射线上满足∠CDO =50◦的点D 个数即可.记过C,O 且与射线AD 相切的圆为ω(易知这样圆存在且唯一)，切点为D ′，由圆幂定理知AD ′2=AO ·AC 从而AD ′=√2AO .首先说明∠CD ′O >50◦.该结论等价于180◦−∠CAD ′−2∠AD ′O >50◦，即∠AD ′O <45◦.设∠AD ′O =θ,易知θ<90◦.在△AD ′O 中，由正弦定理,AO sin θ=AD ′sin (140◦−θ)⇒sin (140◦−θ)sin θ=√2注意到√2=sin (140◦−θ)sin θ 1sin θ，所以sin θ sin 45◦，且当θ=45◦时等号不成立，故θ<45◦,结论得证.射线AD 上在D ′的左右两侧各有一个满足∠CO ′D =50◦的点D ，故满足条件的形状不同的凸四边形有两种. 3.已知正整数y 不超过2022且满足100整除2y +y ，则这样的y 的个数为.答案：20解：由于100|2y +y ，所以4|2y +y .显然y =1，所以y ≥2，所以4|2y ，进而得到4|y .设y =4f (1≤f ≤504)，则5|24f +4f ，由于24≡1(mod 5)，所以4f +1≡0(mod 5)，即f ≡1(mod 5).设f =5d +1，则y =4f =20d +4(0≤d ≤100).则220d +4+20d +4≡0(mod 25).由欧拉定理，φ(25)=20，所以220≡1(mod 25).进而得到0≡220d +4+20d +4≡20d +20(mod 25).所以25|20d +20，5|d +1，所以d =5k +4(0≤k ≤19).因此这样的y 有20个.4.已知[x ]表示不超过x 的整数，如[1.2]=1，[−1.2]=−2.已知α=1+√52，则[α12]=.答案：321解：记a n =(1+√52)n +(1−√52)n ，则由其所对应的特征根方程知数列a n 满足a n +2=a n +1+a n 且a 0=2，a 1=1，依次可得a 2=3，a 3=4，a 4=7，a 5=11，a 6=18，a 7=29，a 8=47，a 9=76，a 10=123，a 11=199，a 12=322.而|1−√52|∈(0,1)，所以(1−√52)12∈(0,1)，所以a 12>(1+√52)12>a 12−1，所以[α12]=321. 5.已知六位数y 1y 2f 3f 4d 5d 6，满足y 1y 2f 3f 4d 5d 6f 4d 5d 6= 1+y 1y 2f 3 2，则所有满足条件的六位数之和为.（f 4d 5d 6不必为三位数）答案：2065020解：假设y 1y 2f 3=m ，f 4d 5d 6=n ，则100≤m ≤999，1≤n ≤999.由此可得原命题等价于1000m n +1=(1+m )2，即1000n=2+m .由于102≤2+m ≤1002，所以1≤n ≤9且n |1000，所以n =1,2,4,5,8，因此对应的(m,n )有5种不同的取值，对应的六位数为1000m +n =1000×(1000n−2)+n ，即998001,498002,248004,198005,123008.这样的六位数之和为2065020.6.已知整数a,b,c,d 满足a +b +c +d =6，则ab +ac +ad +bc +bd +cd 的正整数取值个数为.答案：10解：由于a,b,c,d 均为整数，所以ab +ac +ad +bc +bd +cd =(a +b +c +d )2−(a 2+b 2+c 2+d 2)2为整数.因此只需(a +b +c +d )2−(a 2+b 2+c 2+d 2)>0，即a 2+b 2+c 2+d 2<36.原命题即为求a 2+b 2+c 2+d 2小于36的不同取值的个数.由柯西不等式知(a 2+b 2+c 2+d 2)(1+1+1+1)≥(a +b +c +d )2=36，因此a 2+b 2+c 2+d 2≥9，又因为a 2+b 2+c 2+d 2与a +b +c +d 奇偶性相同，所以a 2+b 2+c 2+d 2的取值必为10到34之间的偶数.下证a 2+b 2+c 2+d 2不为8的倍数：采用反证法，若否，则a 2+b 2+c 2+d 2≡0(mod 4)，此时a,b,c,d 要么同为偶数要么同为奇数.(i)a,b,c,d 同为偶数：设a =2a ′,b =2b ′,c =2c ′,d =2d ′.此时a ′+b ′+c ′+d ′=3,a 2+b 2+c 2+d 2=4(a ′2+b ′2+c ′2+d ′2).因为a ′2+b ′2+c ′2+d ′2与a ′+b ′+c ′+d ′奇偶性相同，所以a 2+b 2+c 2+d 2不可能为8的倍数.(ii)a,b,c,d 同为奇数：由于奇数的平方模8同余于1，所以a 2+b 2+c 2+d 2≡4(mod 8)，所以a 2+b 2+c 2+d 2不可能为8的倍数.因此a 2+b 2+c 2+d 2的取值必为10到34之间的偶数且不为8的倍数.另一方面，设f (a,b,c,d )=a 2+b 2+c 2+d 2，我们有f (2,2,1,1)=10,f (2,2,2,0)=12,f (3,2,1,0)=14,f (3,3,0,0)=18,f (3,3,1,−1)=20,f (4,2,1,−1)=22,f (4,3,0,−1)=26,f (4,2,2,−2)=28,f (4,3,1,−2)=30,f (4,4,0,−2)=34，因而a 2+b 2+c 2+d 2的取值为所有10到34之间不为8的倍数的偶数，因此ab +ac +ad +bc +bd +cd 的不同取值为10个. 7.已知凸四边形ABCD 满足：AB =1，BC =2，CD =4，DA =3，则其内切圆半径取值范围为.答案： √155,2√65解：先证明一个引理：平面上四边形ABCD 的四边长分别记为a,b,c,d ，那么四边形ABCD 的面积S ABCD = (p −a )(p −b )(p −c )(p −d )−abcd cos 2A +C 2,其中p 为四边形ABCD 的半周长12(a +b +c +d )．引理的证明：在△ABD 和△CBD 中分别应用余弦定理，有BD 2=a 2+d 2−2ad cos A,BD 2=b 2+c 2−2bc cos C,又S ABCD =12ad sin A +12bc sin C,于是可得 ad cos A −bc cos C =12(a 2−b 2−c 2+d 2),ad sin A +bc sin C =2S ABCD,两式平方相加，移项可得S 2ABCD =14 a 2d 2+b 2c 2 −116 a 2−b 2−c 2+d 2 2−12abcd cos (A +C ),整理即得．回到本题中，一方面，r =S p ≤ (p −a )(p −b )(p −c )(p −d )p =2√65另一方面，欲求r 最小值，只需使得S 最小，只需使得cos 2A +C 2=cos 2B +D 2最大即可.又因为max A +C 2,B +D 2 ≥π2,所以只需令max A +C 2,B +D 2最大即可.设AC =x,BD =y ,有1<x <3,2<y <4，易知∠A,∠C 随y 增加而增加，∠B,∠D 随x 增加而增加，所以只需比较x →3和y →4的情况即可，此时四边形ABCD 分别趋向退化成边长为3,3,4和4,4,2的三角形，经比较可得面积较小者为√15.故r =S p >√155综上，r ∈ √155,2√65. 8.已知a,b ∈R ，z 1=5−a +(6−4b )i ，z 2=2+2a +(3+b )i ，z 3=3−a +(1+3b )i ，当|z 1|+|z 2|+|z 3|最小时，3a +6b =.答案：337解：已知|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|10+10i |=10√2，当且仅当arg z 1=arg z 2=arg z 3=π4时取等.此时5−a =6−4b ，2+2a =3+b ，3−a =1+3b ，解得a =57，b =37，所以当|z 1|+|z 2|+|z 3|取最小值时3a +6b =337.9.已知复数z ，满足z 2与2z的实部和虚部均属于[−1,1]，则z 在复平面上形成轨迹的面积为.答案：12−2π解：图2:第9题图设满足要求的复数z =x +y i (x ,y ∈R )，则原命题即为2x x 2+y 2+2y x 2+y 2i 与x 2+y 2i 的实部和虚部均属于[−1,1]，因此−1≤2x x 2+y 2≤1，−1≤2y x 2+y 2≤1，−1≤x 2≤1，−1≤y 2≤1.整理后得−2≤x ≤2，−2≤y ≤2，(x −1)2+y 2≥1，(x +1)2+y 2≥1，x 2+(y −1)2≥1，x 2+(y +1)2≥1.因此点z 的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形.此区域面积为8×(2×22−1×12−π×124)=12−2π. 10.在△ABC 中，S △ABC =c 2(a −b )，其外接圆半径R =2，且4(sin 2A −sin 2B )=(√3a −b )sin B ，则sin A −B 2+sin C 2=.答案：1解：因为R =2，所以4(sin 2A −sin 2B )=(√3a −b )sin B ⇒a 2−b 2=(√3a −b )b ⇒a =√3b因为S △ABC =c 2(a −b )，所以bc sin A =c (a −b )⇒sin A =√3−1进而有sin B =sin A √3=1−√33，于是(sin A −B 2+sin C 2)2=(sin A −B 2+cos A +B 2)2=sin 2A −B 2+cos 2A +B 2+2sin A −B 2cos A +B 2=1−12cos (A −B )+12cos (A +B )+sin A −sin B =1−sin A sin B +sin A −sin B=1因为0<A −B,C <π，所以sin A −B 2+sin C 2=1. 11.在梯形ABCD 中，ADBC ，M 在边CD 上，有∠ABM =∠CBD =∠BCD ，则AM BM 取值范围为.答案：(12,+∞)解：∠ADM =180◦−∠BCD =180◦−∠ABM ，所以A,B,M,D 四点共圆，于是AM BM =sin ∠ABM sin ∠BDM =sin ∠DCB sin ∠BDC =DB BC易知DB BC ∈(12,+∞). 12.已知√1−x 2=4x 3−3x ，则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为.答案：12解：令x =cos θ(θ∈[0,π]).则sin θ=cos 3θ，即cos π2−θ=cos 3θ，由于π2−θ∈[−π2,π2]，cos 3θ∈[0,3π]，所以3θ=π2−θ或3θ=π2−θ+2π或3θ=θ−π2+2π.解得θ=π8或5π8或3π4.因而其全部解为x =cos π8或cos 5π8或cos 3π4.由题意知，所求值为：3cos π8cos 5π8cos 3π4=3−cos π8sin π8cos 3π4=6sin π4cos π4=12sin π2=12. 13.若A 为十进制数，A =a 0a 1...a n ，记D (A )=a 0+2a 1+22a 2+···+2n a n .已知b 0=203310，b n +1=D (b n )，则b 2022各位数字的平方和200（横线上填大于，小于或等于）.答案：小于解：由题意知若A 为n +1位数，则D (A )≤(2n +1−1)×9<2n +1×10，b 0=203310<1040，所以b 0至多为40位，所以b 1<240×10<814×10<1015，所以b 1至多15位，进而b 2<215×10<85×10<106，所以b 2至多6位，进而b 3<26×10<640，所以b 3至多3位，进而b 4<23×10<80，所以b 4至多2位，进而b 5<40也至多两位，依此类推可得b 2022至多两位，其各位数字的平方和不超过81+81=162，小于200.【注】原问题为求b2022各位数字的平方和，题目中所给出选项分别为“730”，“520”和“370”和“以上答案均不正确”。
2021年北京大学新闻学专业《现代汉语》期末试卷A(有答案)
2021年北京大学新闻学专业《现代汉语》期末试卷A(有答案）一、填空题1、元音和辅音的主要区别在于：发元音时，______；发辅音时， ______。
2、轻声音节的音高通常受前一字调的影响，在阳平字后时，用五度标调符号表示为______。
3、从构词位置来看，“阿婆、阿姨”中的“阿”，“杯子、包子”中的“子”，“糊里糊涂、傻里傻气”中的“里”都是______语素。
4、语言经过压缩和省略的词语叫略语，分别为简称和______两大类。
5、汉字历史悠久，历史上曾出现过甲骨文、______、篆书、隶书、楷书以及草书、行书等。
6、从汉字结构看，“女”是______字，“好”是______字7、“叫她黑牡丹”中的“黑牡丹”在句中充当的句子成分是______。
8、_____的变化对语法结构和语法意义都有影响，比如“人来了”和“来人了”结构和意义都不同。
9、汉语最明显的特征是缺乏形态变化，语言单位的组合注重______。
10、从功能上说，语言是人们最重要的交际工具，也是认知世界的工具，就与文化的关系来说，语言是______。
二、判断题11、舌面声母不能跟合口呼韵母拼合。
（）12、zhi、chi、shi等音节的韵母应归入开口呼。
（）13、“雨”和“瓜”都是象形字，“甘”和“明”是会意字。
( )14、“臧”的笔画是14笔15、用层次分析法分析“最早的麻醉药麻沸散的发明者华佗”的话，第一层关系是定中短语。
（）16、“全家人都希望她出国留学”是兼语句。
（）17、词典一般只能收录词，不收大于词的单位。
（）18、“大学”“船只”“地震”都是偏正型的复合词。
（）19、语言规范化是为了消除语言使用中多种方言并存的混乱现象，更好地发挥语言文字的交际功能（）。
20、蒙古语属于印欧语系（）三、选择题21、“不”在（）读35。
A．句末B．去声前C．去声后D．非去声前22、“面包”读为[miam51pau55]，是语音的（）。
A．同化B．异化C．弱化D．脱落23、下列短语是动宾短语的是（）。
2021北京大学博雅计划笔试数学试题及答案
ab a b c O EF北京大学博雅计划数学试题选择题(单选题，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分) 1.直线 y = -x + 2 与曲线 y = -e x +a 相切，则a 的值为A. -3【答案】 A B. -2C. -1 D . 前三个答案都不对【解析】由 y '= -ex +a= -1 得 x = -a ，再将 x = -a 代入原函数得 y = -1 = a + 2 ， 故选 A2.已知 ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，则下面4 个结论中正确的个数为 （1）以 a 、b 、c 为边长的三角形一定存在；（2）以a 2、b 2、c 2为边长的三角形一定存在；a +b b +c a + c（3）以 、 、 为边长的三角形一定存在； 2 2 2（4）以| a - b | +1、| b - c | +1、| c - a | +1 为边长的三角形一定存在；A. 2【答案】 BB. 3C. 4 D . 前三个答案都不对【解析】不妨设a ≤ b ≤ c ，则需满足a + b > c 故 a + b + 2 > c ⇒ + > ，故（1）对；不妨设a = b = 1, c = 2 ，显然（2）错；显然b +c < a + c + a + b 成立，故（3）对； 2 2 2显然c - a +1 < b - a +1+ c - b +1成立，故（4）对. 故选 B3.设 AB 、CD 是 O 的两条垂直直径，弦 DF 交 AB 于点 E ，DE = 24, EF = 18 ，则OE等于A. 4 【答案】CB. 5C. 6D . 前三个答案都不对D【解析】设圆半径为 R ， OE = x ，则由圆幂定理得AE ⋅ EB = DE ⋅ EF ⇒ (R + x )(R - x ) = 24⋅18AB 由勾股定理得OE 2 + OD 2 = DE 2 ⇒ R 2 + x 2 = 2426 3 2f (x ) = ⎪pp 解得 x = 6 4.函数，故选C⎧ 1, 若x 为有理数 q , p 与q 互素; ⎨ ⎪⎩0, 若x 为无理数. 则满足 x ∈ (0,1) 且 f (x ) > 1的 x 的个数为7 A. 12 【答案】 DB. 13C. 14 D . 前三个答案都不对【解析】满足条件的有 x 有 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4 , 1 , 5，总共11个，故选 D2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 65.若方程 x 2- 3x -1 = 0 的根也是方程 x 4+ ax 2+ bx + c = 0 的根，则a + b - 2c 的值为A . -13【答案】 AB. -9C. -5D . 前三个答案都不对【解析】依题 x 2- 3x -1为多项式 f (x ) = x 4+ ax 2+ bx + c 的因式，不妨设x 4 + ax 2 + bx + c = (x 2 - 3x -1)(x 2 + px - c )则展开得 p - 3 = 0, -1- c - 3 p = a ,3c - p = b ⇒ a + c - 2b = -13 ，故选 A6.已知k ≠ 1，则等比数列a + log 2 k , a + log 4 k , a + log 8 k 的公比为A. 1 2【答案】 BB.1 3C. 14D . 前三个答案都不对【解析】设log k = x ，则即a + x , a + 1x , a + 1x 成等比数列，22 3(a + 1 x )2 = (a + x )(a + 1x ) 得 x = -4a 或 x = 0 （舍）2 3 进而得到 B 正确.7. cos π cos 2π的值为11 11 A. - 1 16【答案】 DB. - 1 32C. - 1 64 D . 前三个答案都不对【解析】cos 1 π cos 2 π cos 10 π = -(cos 1 π cos 2 π cos 5 )211 11 11 11 11 11 = -(cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16π )211 11 11 11 112 cos 10π 11ABD E Oz A 325 cos 1 π cos 2 π cos 4 π cos 8 π cos 16 π= ( 11 11 11 11 11 )225 sin 1π11=- 11024，故选 Dz 28.设a 、b 、c 为实数，a , c ≠ 0 ，方程ax 2 + bx + c = 0 的两个虚数根为 z , z 满足1 为实数，2015z k1 22则 ∑ ( 1) 等于 k =0 z 2A. 1【答案】 BB. 0 D . 前三个答案都不对【解析】两个虚数根 z 1 , z 2 一定共轭，不妨设 z 1 = r (cos α + i sin α ), z 2 = r (cos α - i sin α )2则 1= r (cos α + isin 3α ) ，又其为实数，故sin 3α = 0 ，不妨设α = z 2 3zz k2015 z k 1= cos 2α + i sin 2α ⇒ ( 1) = cos 2k α + i sin 2k α ，故 ∑( 1 ) = 0 ，故选 B z 2 z 2 k =0 z 29. 将 12 个不同物体分为 3 堆，每堆 4 个，则不同的分法种类为A . 34650【答案】 DB .5940C 4 C 4C4C . 495D . 前三个答案都不对【解析】平均分组问题12 8 4 = 5775 ，故选 D 310.设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点，D , E 是线段 BC 上的点，F 是BC 延长线上的点， 已知 BF = 4, BD = 2, BE = 5, ∠BAD = ∠ACD , ∠BAF = ∠CAE , 则 BC 的长为A .11【答案】 AB .12C .13D . 前三个答案都不对【解析】因为∠BAD = ∠ACD ，所以 AD ⊥ BC 又因为∠BAF = ∠CAE ，所以∠FAE = ∠BAC =FC故由射影定理知： AD 2= FD ⋅ DE = BD ⋅CD 解得CD = 9 ，故 BC = 11，故选 AC . 3i z π11.两个圆内切于 K ,大圆的弦 AB 与小圆切于 L ，已知 AK : BK = 2 : 5, AL = 10, 则 BL 的长为A .24【答案】 BB .25C .26D . 前三个答案都不对【解析】由弦切角定理得∠EKB = ∠CLK = ∠KAB∠ALK = ∠LCK 故∠CKL = ∠AKL再由角平分线定理得 AK : BK = AL : BL故 BL = 25 ，故选 B12. f (x ) 是一个定义在实数 R 上的函数，满足 2f (x )+f (x 2 -1) = 1, ∀x ∈ R ，则 f (-2) 等于A .0【答案】CB . 12C . 1 3D . 前三个答案都不对【解析】代入 x = 0 得2 f (0) + f (-1) = 1代入 x = -1 得2 f (-1) + f (0) = 1 两式解方程得 f (-1) = 13再代入 x = 得2 f (- 2) + f (-1) = 1 ，解得 f (-2) = 1 ，故选C 313.从一个正9 边形的9 个顶点中选3 个使得它们是一个等腰三角形的三个顶点的方法数是 A .30 【答案】 AB .36C .42D . 前三个答案都不对 【解析】过每个顶点可做4 个等腰三角形，但其中等边三角形只有 3 个， 故4⨯ 9 - 6 = 30 ，故选 A14.已知正整数a ,b , c , d 满足ab = cd , 则a + b + c + d 有可能等于A .101【答案】 BB .301C .401D . 前三个答案都不对【解析】先证明a + b + c + d 为素数 由 ab = cd 得b =cd ，因此aa +b +c +d = a + cd + c + d = (a + c )(a + d )a a因 a + b + c + d 是整数，故 (a + c )(a + d )为整数.若它是一个素数，不妨设为 pa- 2 AKML COm n p m + n + p m n 21 m n p 7 则(a + c )(a + d ) = ap ，可见 p 整除(a + c )(a + d ) ，从而素数 p 整除 a + c 或a + d .不妨设p | (a + c ) ，则a + d ≤a ，这与a ,b ,c ,d 为正整数矛盾，故 p 不为素数. 所有选项中， 301 = 7 ⨯ 43不是素数，故选 B15.三个不同的实数 x , y , z 满足 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2，则 x + y + z 等于A . -1【答案】 DB .0C .1D . 前三个答案都不对【解析】不妨设 x 3- 3x 2= y 3- 3y 2= z 3- 3z 2= m ， 即 x , y , z 为方程x 3 - 3x 2 - m = 0的三个解，由三次函数的韦达定理得 x + y + z = 3 故选 D16.已知a + b + c = 1, 则 + 4b +1+的最大值与最小值的乘积属于区间A .[10，11)【答案】CB .[11，12)C .[12，13)D . 前三个答案都不对【解析】设m = 4a +1, n = 4b +1, p = 4c +1 ，则原题即已知三个非复数m , n , p 满足 m + n + p = 7 ，求 + + 的最大值与最小值由均值不等式得( )2 ≤ m + n + p =7即 + + 3 3 3p ≤ ，当且仅当m = n = p 时等号成立。