固体物理习题课第六章可打印
固体物理基础课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理习题解答 ppt课件
n 4r3
x 3 V
(1) 简单立方
a 任意一个原子球有6个最近邻，若原子 以刚性球堆积，则有 a 2r,V a3
晶胞内包含一个原子，所以有： (2) 体心立方
x
4 (a)3
32
a3
6
任意一个原子球有8个最近邻，若原子
Vc
ac 3 2
单位体积内原子数（即密度）为
1 Vc
六角密堆积每个晶胞包含6个原子，一个原子所占的体积为
Vs a
3 2
a
3
c
/
6
3 a2c 4
1
3
a2 8
2
a
4 3
2 a3 2
因为密度不变，所以
1 Vc
1 Vs
即：
ac3 / 2
2 a3 2
1
a ac / 2 6 0.377nm
r h3b3
)
(
r a1 h1
r a3 h3
)
r h1b1
r ga1 h1
h3
r b3
r ga3 h3
0
同理可证
v uuur Kh1h2h3 CB 0
v 所以晶面族（h1h2h3）与和倒格矢 Kh1h2h3 正交
v K h1h2 h3
2.6 试导出倒格矢的长度与晶面族面间距间的关系 2.8 试画出周期为的一维布喇菲格子的第一和第 二布里渊区。
第一章 习题
1.1 何谓布喇菲格子？试画出NaCl晶体的结点所构成的布喇 菲格子。
答：所谓布喇菲格子是指晶体由完全相同的原子组成， 原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都 一样。（Bravais格子） 氯化钠结构：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的 布氏格子套构而成的复式格子。
固体物理吴代鸣第六章习题答案
固体物理基础 习题解答6.7章
· · · （1）
其中，把 V 在 r Rn 点的附近按 n 作级数展开，并保留到一级相。 原子的热振动采取格波的形式，具体考虑简单格子的情况，只有声学波。并 以弹性波近似代替声学波。原子的位移 n 用如下形式表示
n Ae cos q Rn t
· · · （2）
式中 e 表示振动方向上的单位矢量。 A 为振幅。在各向同性的介质中，存 在横波和纵波，对于横波 e q ，对于纵波 e || q 。弹性波具有恒定的速度，即对 于横波 C=Ct，对于纵波 C=Cl，根据式（1）和式（2） ，立刻可以写出一个格波引 起的整个晶格中的势场变化
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第 7 章 晶体的导电性 习题
1、晶格散射总是伴随着声子的吸收或发射，因此电子被格波的散射不是完 全的弹性散射，但近似是弹性散射。试就铝的情况说明之。已知铝的费米能级 EF≈12eV，德拜温度ΘD≈428K。 证明： （可参考课外微扰理论的知识以加深理解） 我们知道，与电子和光子的碰撞类似，电子和声子的碰撞也遵守准动量守恒 和能量守恒定律。现在我们以单电子散射（即发生的电子与晶格交换一个声子） 过程来做分析证明。 类比 p119 的式 3-61（光子的情形）可知，有
H Vn n V r Rn A cos q Rn t e V r Rn
n n n
· · · （3）
1 1 Aeit eiqRn e V r Rn Aeit eiqRn e V r Rn 2 n 2 n n n
max =k BD 5.9 1021 0.037eV 0.003EF
略）
（小于百倍， 可直接忽
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到31题答案
一． 本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a a c OA AO OO2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2clb k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1． 分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元） （1） 体积最小的重复结构单元 （2） 只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理答案第六章
141第六章 自由电子论和电子的输运性质习题1. 一金属体积为V ，电子总数为N ，以自由电子气模型 （1）在绝热条件下导出电子气的压强为.320V U P=其中 .5300F NE U = （2）证明电子气体的体积弹性模量 .910350VU P K ==【解 答】（1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 ,PdV W dU-==式中P 是电子气的压强.由上式可得.VUP ∂∂-= 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（6.5）式得.325353322200⎪⎭⎫ ⎝⎛===πV N m N NE U U F由此得到=∂∂-=V U P 0()().32323253053222VU V N mN =∙-π （2）由《固体物理教程》（2.11）式可知，体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系为.VKV P -=∂∂ 将=∂∂V P ()().91035323253038222VU V N mN -=∙--π 代入体积弹性模量K 与压强P 和体积V 的关系式，得到 .9100VU K=2.二维电子气的能态密度(),2πm E N =证明费米能 ],1ln[2-=Tm k n B F B eT k E π其中n 为单位面积的电子数.【解 答】由已知条件可得单位面积金属的电子总数 ()()().120⎰⎰∞-∞+==Tk E E B F edE mdE E f E N n π142作变量变换,Tk E E x B F-=则有⎰⎰∞---∞-+=+=T k E x x B T E x B B FB Fe dxe Tmk e dx Tmk n 1122ππ()(),1ln 1ln 22Tk E B Tk E x B B F B F e Tmk e Tmk +=+-=∞--ππ即TE BF e +1=Tmk n B e2 π.由上式解得()1ln 2-=Tm k n B F B e T k Eπ3.金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 VV E E C∆-=∆1证明.321F E E =【解 答】 解法一：金属中自由电子的费米能(),32323232223222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==AV V N m n mE F ππ可认为是能带顶，式中().32222πN mA =当金属体积膨胀后，体积由V 变成了VV V ∆+='，费米能变成了()2-∆+='V V A E F()32321--⎪⎭⎫⎝⎛∆+=V V V A().3212⎪⎭⎫⎝⎛∆+≈-V V V A 费米能的变化量 .32⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=∆VVE E E EF F F F 与已知条件比较可得 .321F E E =解法二：143由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度 ().23212322E m V E N ⎪⎭⎫⎝⎛= π电子总数().232323220F E E m V dE E N N F⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰π金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即()().232323220FE E m V dE E N N F'⎪⎭⎫⎝⎛'='=⎰π 由以上两式解得 ()[],322323⎪⎭⎫⎝⎛∆-=-'=-'=∆--V V E V V A E E EF F F.321F E E = 4.由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为21110m N ，电子浓度为328105m ⨯，计算两金属块间的接触电势差.【解 答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子浓度不同，它们之间将出现接触电势差.设压强为0时金属的费密能为F E ，金属1受到一个大气压后，费密能为1F E ，金属2受到30个大气压后，费密能为2F E ，则由《固体物理教程》（6.25）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 ().12121F F E E eV V -=- 由上边第3题可知.32,322211⎪⎭⎫⎝⎛∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-=V V E E E V V E E E F F F F F F由《固体物理教程》（2.10）式可知，固体的体积变化V ∆与体积弹性模量K 和压强P 的关系为 ,VVKP ∆-= 所以().3232212121P P KE K P K P E E EF F F F -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=- 两金属的接触电势差()()().33322132222121P P n meKP P eK E V V V F -∙=-=-=∆π将,10110.931kg m -⨯= ,10602.119C e -⨯= ,10055.134s J ∙⨯=- ,10,/105211328m N K m n =⨯=,10251m N P = 2521030m N P⨯= 代入两金属的接触电势差式子，得 ().1058.95伏-⨯-=∆V5.若磁场强度B沿z 轴，电流密度沿x 轴，金属中电子受到的碰撞阻力为P P,/τ-是电子的动量，试从运动方程出发，求金属的霍尔系数.144【解 答】电子受的合力()().B v mv B v P dt P d F⨯+--=⨯+--==ετετ （1） 由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成().B v me v⨯+-=ετ （2） 因为电流的方向沿x 轴，平衡后，电子沿z 轴方向和y 轴的速度分量为0.因此，由（2）式得,x xme v ετ-= （3） .0x y v mB e m e τετ+-= （4） 由以上两式得.x x y mBe Bv ετε== （5） 称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图6.3所示.图6.3 霍尔电场 将电流密度x x j σε= （6）和（5）式一并代入霍耳系数 Bj R x yH ε=（7）得到στm e R H-= （8） 将《固体物理教程》（6.85）式代入上式，并取m m =*得.1neR H -= 6. 试证金属的热导率 ()2102223FB mETk nl kπ=其中l 是费密面上电子的平均自由程. 【解 答】由《固体物理教程》（6.63）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间τ满足以下关系()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ电子的波矢k在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示145()().cos 1,1∑'-'Θ=k k k θτ()()()()()()()⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-'Θ='-'Θ=∞πθθπθπθπ0233.sin 2cos 1,21cos 1,21d k d k k k k d k k令()()()(),,21,023⎰∞'''Θ=k d k k k E W πθ 则()Ωd E W θ,是能量为E 的电子在单位时间内被散射到立体角 θθπd d sin 2=Ω内的几率.如果散射是各向同性的，()θθ与,E W 无关，则()()().4sin cos 1210E W d E W πθθθπτπ=-=⎰ 上式说明，τ1就是能量为E 的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说τ是电子的平均自时间.由《固体物理教程》（6.126）式可知，金属的热导率,322T mn k k FB τπ=式中F τ是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间F τ和平均速度F v 与平均自由程l 的关系是 .F F v l τ=而平均速度由下式求得 .2102F F E mv = 于是得到()2102223FB mETk nl kπ=.7.设沿xy 平面施加一电场，沿z 轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释这一现象.【解 答】在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（6.47）式化成().0τεf f f B v e k -=∇∙⨯+由上式可解得().0f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有(),0f f B v e k <<∇∙⨯+ετ f k ∇0f k ∇≈.于是有相当好的近似().00f B v e f f k ∇∙⨯++=ετ 因为,000v Ef E E f f k k ∂∂=∇∂∂=∇ 所以146().0000v Ef e f E f B v e f f ∙∂∂+=∂∂∙⨯++=ετετ 可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献.由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力B v e⨯-，该力与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态.也就是说，从经典理论看，磁场不改变电子的分布函数.8.0f 是平衡态电子分布函数，证明.0Ef T E T E T T T f F ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=∂∂ 【解 答】金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数 ()110+=-Tk E E B F ef .令()(),,y e x T k E E Tk EE BF B F==--则有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂T x T E E x x y y f T f F F 00 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂-+-=22111T k E E TE T k y y BF F B ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∂∂+-=T E E T E T k y y F F B 21 .0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=T E T E T T E f F 9.立方晶系金属，电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+= ,试把此关系改写成 ()()[]{}.20j B B j B b j B a j-∙+⨯+=ρε【解 答】立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系是()()[]εεβεαεσ20B B B B j -∙+⨯+=对大多数金属来说，1410-≈Fτ秒，如果取m m =*，则有().,,1022200αστβσστατ<<=<<=<<***me m e m e FF F因此电流密度的主项 εσ0=j也即电场的主项j0ρε=式中14701σρ=为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度j与电场ε和磁场B 的关系解得()()[]{}εεβεαρε20B B B B j -∙-⨯-=将电场的主项代入上式右端的ε中，得到()()[]{}jB B j B j B j 2000-∙-⨯-=βραρρε()()[]{}.20j B B j B b j B a j -∙+⨯+=ρ其中.,00βραρ-=-=b a10.有两种金属，价电子的能带分别为,22Bk E Ak E ==和其中B A >，并已测得他们的费米能相等.（1）它们的费米速度哪个大？（2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？ 【解 答】 （1）已知A 金属与B 金属的费米能相等.22FB FB FA FAAk E Ak E ===所以.AB k k FB FA = 金属中电子的费米半径F k 、费米速度F v 和有效质量*m 的关系是 *mF v = F k .A 金属电子的有效质量A k E m A A 2222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*B 金属电子的有效质量B k E m BB 22222 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=*于是.BAk m m k v v FB A B FA FB FA ==**148因为B A >，所以A 金属电子的费米速度大.（2）如果外电场沿x 方向，则x 方向的电场x ε与电流密度x j 的关系（参见《固体物理教程》6.84式）为.4222⎰∇=F S x k x x E dS v e j ετπ 上式积分沿费米面进行.将上式与x x j σε=比较，可得立方晶系金属的电导率.4222⎰∇=FS k xEdSv e τπσ在费米面是一球面的情况下，上式积分为.442222FFFx F v k v e πτπσ=其中利用了v E k =∇.将关系式.3122F Fx v v = 代入电导率式得.3232*=m k e FF πτσ 于是.33ABk m m k FB A B FA B A ==**σσ可见B 金属的电导率大.11.求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解 答】设一维一价金属有N 个导电电子，晶格常数为α.如图6.4所示，在dE E E +-图6.4 一维金属中自由电子的能带能量区间波矢数目为.22dk Na∙π利用自由电子的能量于波矢的关系149,222mk E = 可得dE E E+-能量区间的量子态数目.222221dE E m Na dk Na dz -=∙=ππ 由此得到能态密度().21-==E m Na dE dz E Nπ 在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().22200210ππF E E mE Na dE E m Na dE E N N F F===⎰⎰-由上式即可求得电子的费米能 .82220m a E Fπ=平均一个电子所具有的能量⎰=NEdNNE 01()()()⎰⎰∞∞==021021dE E f E m a d E N E Ef N π其中()E f 是电子费米分布函数.利用分布积分，得到()⎰∞=0212dE E f E m a Eπ()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∞=2302323.3223220322dE E f E m a dE E f E m a E f E m aπππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=22238322T k E E m a E B F F ππ . 平均一个电子对热容量的贡献为,122B FV Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 其中利用了费米能与费米温度的关系 F B FT k E =.12.对于二维金属，重复上述问题. 【解 答】150如图6.5所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆.自由电子的能量m k E 22 =，所以能量dE E E +→区间的电子占据图中dk 的范围.在此范围内的波矢数目为(),222kdk Sππ∙图6.5 二维波矢空间 其中()22πS是二维金属中导电电子的波矢密度，S 是金属面积.由m k E 222 =得.2mdEkdk =能量dE E E+→区间的量子态数目则为().222222dE mSmdE S dz πππ=∙= 能量密度().2πmS dE dz E N ==在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有().020200F E E E mS dE mSdE E N N FFππ⎰⎰=== 由上式可得mn E F20 π=其中n 是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为()212n k F π=平均一个电子所具有的能量 ⎰=NEdN NE1()()()⎰⎰∞∞==21dE E Ef n m d E N E Ef Nπ利用分布积分，得到()⎰∞=2dE E Ef n m E π151()⎰⎰∞∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∞=022022222202dE E f E n m dE E f E n m E f E n m πππ利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式得().322222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=T k E n m E B F ππ 平均一个电子对热容量的贡献为,32B F V Ve k T TT E C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=π 13.证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为T k B ，平行于表面运动的平均动能也是T k B . 【解 答】当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电子处于深度为0E 一势阱中.如图6.6所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得0E 的能量.要使费米面上的电子逃离金属，它至少要从外界获得()F E E -=0ϕ的能量.为方便计，取一单位体积的金属.在k空间内k d范围内的电子数目()()k d E f dn322π=图6.6 深度为0E 势阱其中()().11+=-Tk E E B F eE f转换成速度空间，则在v d v v+→区间内的电子数目(),123+⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Tk E E zy x B F edv dv dv h m dn 式中利用了关系.k vm=对于能脱离金属的热发射电子，其能量E 必满足()ϕ>-F E E 对大多数金属来说,T k B >>ϕ，所以必有()1221>>=⎪⎭⎫⎝⎛--T k E mv Tk E E B F B F ee152式中已取221mv E =于是.2232z y x Tk mvTk E dv dv dv e eh m dn B B F-⎪⎭⎫ ⎝⎛=设金属表面垂直于z 轴，热发射电子沿z 轴方向脱离金属，则要求0221E mv x >> 而速度分量x v 、y v可取任意值.所以在区间z z zdv v v +→的热发射电子数目()⎰⎰∞∞--∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛=x Tk mv y Tk mv z Tk mv T k E z dv e dv edv eeh m v dn B xB y B z B F22232222利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2得到().42322z Tk mv T k E B z dv ee h T k m v dn B z B F-=π垂直于金属表面的速度分量为 的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为().z z v dn v dN=于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量.221022222232zmE z T k mv z m E z T k mv z z z dv ev dv e v m dN dN m v E Bz B z⎰⎰⎰⎰∞-∞-== 利用积分公式()a bcx c edx xe a bc e e cxbacx cx ba cx1,2-==⎰⎰得到.0T k E E B z +=0E 是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了.因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为 T k B因为在v d v v+→速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为.dn v N d z ='153所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能()⎰⎰''+=Nd N d v v m E y x xy 2221()()).202220222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞++-∞∞-∞∞-∞++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=yx m E z Tk v v v m z y x m E z T k v v v m y x z dv dv dv e v dv dv dv e v v v m B z y x B z y x利用积分公式adx e ax π=⎰∞∞--2(),21253122aa n dx e x n n ax ππ-∙∙∙=⎰∞∞--得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为.T k E B xy14.证明，当Tk B 0FE <<时，电子数目每增加一个，则费密能变化 (),1FFE N E =其中()FE N 为费密能级处的能态密度.【解 答】由《固体物理教程》（6.3）式可得(),323232322232220AN V N m n mE cF =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ式中.323222⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c V m A π 当电子每增加一个，费密能的变化(),13232AN N A E F -+=∆因为导电电子数目很在，所以().32111132323232⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+N N N N N于是.32221323122322310⎪⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛==∆ππc c F V N m m V N A E 由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度154()().3222221232231023220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=πππc c Fc F V N m m V E m V E N 由此可得(),1FFE N E =--- 15.每个原子占据的体积为3a ，绝对零度时价电子的费密半径为(),6120ak Fπ=计算每个原子电子数目. 【解 答】由《固体物理教程》（6.4）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径(),3312πn k F =现在已知一金属导电电子的费密半径(),63120ak Fπ=所以，该金属中导电电子的密度 .23an= 3a 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.16.求出绝对零度时费密能0FE 、电子浓度n 、能态密度()F E N 及电子比热eVC 与费密半径0F k 的关系. 【解 答】绝对零度时电子的费密半径 (),33120πn k F =电子浓度n 与费密半径的关系是().3230πFk n =由《固体物理教程》（6.3）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为()(),23220232220FFk mn mE ==π由《固体物理教程》（5.103）式可知，自由电子的能态密度是().22022212322F c c k Vm Em V E Nππ=⎪⎭⎫⎝⎛=由此可得()().2202221023220F c Fc Fk m V E m V ENππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=155由《固体物理教程》（6.13）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 .202B F Vk T T C ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=π因为(),22200BFB F Fmk k k E T == 所以一个电子的热容与费密半径的关系为 ().20222T kmk C FBVπ=17.经典理论认为,所有价电子都参与导电,电流密度j 与所有电子的漂移速度d v 的关系是d nev j =已知铜的电子浓度,105,1034329m A j m n ⨯==试比较费密速度F v 和漂移速度d v .【解 答】F k 是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为().3312mn m k v F F π ==将漂移速度d v .nej =与费密速度比较,得().3312πn ne jm v v F d =将s J kg m C e∙⨯=⨯=⨯=--34311910055.1,10110.9,10602.1,105,1034229m A j m n ⨯==代入上式,得到.10877.112-⨯=Fdv v 可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为,参与导电的电子只是费密面附近的少数电子 . 如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成 ,F ev n j '=由于.,d Fv v n n >><<'所以18.电子漂移速度d v满足方程,ετe v dt v d m d d -=⎪⎭⎫⎝⎛+156试确定稳定态时交变电场下的电导率()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 【解 答】 设交变电场,0t i e ωεε=则电子漂移速度满足的方程变成.0t i d d e mev dt v d ωετ-=+设上式的特解为,ωτi Ae则A 满足的方程为.0me AA i ετω-=+由上式的到().10ωττεi m e A +-=齐次方程.0=+τdd v dt v d 的通解为τt e B - .电子漂移速度满足的方程的解为 d v=τt eB -().10t i e i m e ωωττε+-当电子达到稳定态后，上式右端的第一项趋于0.于是d v=().10t i e i m e ωωττε+-按照经典理论，电流密度j 与漂移速度d v，电导σ和电场强度ε的关系为j =()().102εωσωτεω=+=-t i d e t i m ne v ne由上式得()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ωτωτσωσi 其中()mne τσ20=157如果设电场为,0t i e ωεε=则有()()().1102⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=ωτωτσωσi 19.求出立方晶系金属的积分1P 、32P P 和【解 答】由《固体物理教程》（6.119），（6.120）和（6.123）三式得⎰⎰⎰∇∂∂=∇∂∂=∇∂∂=.41,41,412023302320231EdEdS E E f v P E dEdS E E f v P E dEdSE f v P k x k x k x τπτπτπ以上三式中的面积分是在一个等能面上进行，对于等能面是球面的情况，面积分的值 .42k S π=自由电子的能量mk E 222 =，所以面积分化成.82mESπ=因为x v 是电子的平均速度在x 方向的分量,所以.32213231222mE mv m v v x =⎪⎭⎫ ⎝⎛== 另外.2mEv v E k===∇ 于是（6.119），（6.120）和（6.123）三式化为,322,322,322027323025322023321⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=dE E f E m P dE E f E m P dE E f E m P τπτπτπ 利用《固体物理教程》（6.7）和（6.10）两式进一步得到158()()(),2435322,85322,832222322732322253222223321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=T k E E m P T k E E m P T k E E m P B F FF B F F F B F FF ππτππτππτ20.利用上题结果,求出热导系数 mTn k k B 322τπ=【解 答】 将上题1P 、32P P 和的代入《固体物理教程》（6.125）式,得立方金属导电电子的热导率 .3322223232T k E m k BF F ππτ =将自由电子的费密能()322232πn mE F =代入立方金属导电电子的热导率,得 .322T mn k k FB τπ=21.证明.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P TE T T P F【解 答】仅在x 主向存在温度梯度的情况下,由《固体物理教程》（6.118）式可知,金属中的电流密度.12121x F F x P e dx dn n E eP dx dT T P T E T T P e j ε-∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-= 设金属的左端温度保持为1T ,右端温度保持为2T ,2T >1T ,定义x 正方向由左向右,则温度梯度方向与x 方向同向,电子由高温区向低温区扩散,方向与温度梯度反向,电流的方向与温度梯度同向.扩散刚开始时,电子的浓度梯度dxdn和温差电场x ε都为0,电流与温度梯度的方向一致,则只有.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F当达到平衡后,电子的浓度梯度dxdn 和温差电场x ε的方向都与x 方向反向,电子浓度梯度引起的反向扩散电流dxdnn E eP 11∂∂-159和温差电场引起的反向漂移电流 12P e -x ε与正向温差电流dx dTT P TE T TP e F⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-21反向,条件.021<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T P T E T TP F更不可少其实此问题用6.19题的结果也可证明.忽略费密能随温度的变化,则().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 将6.19题的21P P 和代入上式,得().11221F FE P P T T P T E T TP -=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ ()(),8853222225222532⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=T k E E T k E E TmBF F B F F F πππτ 03232<-=T mE k FF Bτ22.当金属中存在温度梯度时,电子分布函数()x f可以看成是平衡分布函数 0f 的刚性平移,证明平移量为..⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F【解 答】当金属中存在温度梯度时,导电子的分布函数变成了（参见《固体物理教程》6.116式）.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∂∂+=ετe n n E T T E T E T T v E f f f F F其中v是电子的平均速度,n 是电子浓度,ε是温差电场.将v Ef E E f f k k∂∂=∇∂∂=∇000 代入上式得到.00⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∙∇+=ετe n n E T T E T E T Tf f f F Fk 将上式与下式()()u d f u f u d u f u∙∇+=+160比较得到().0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=ετe n n E T T E T E T T k f k f F F上式表明,当金属中存在温度梯度时,导电电子的分布函数()k f 可看成平衡分布函数()k f0在波矢空间里的刚性平移,平移量为.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+∇∂∂+∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-ετe n n E T T E T E T T F F。
黄昆固体物理课后习题答案6
第六章 自由电子论和电子的输运性质思 考 题1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率[解答]金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目1/)(+=-T k E E B F e g n ,g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数11)(/)(+=-T k E E B F e E f是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量[解答]晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数11/-=T k i B i e n ω .从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的[解答]自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化[解答]费密能级3/2220)3(2πn m E F=,其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低.5.为什么温度升高, 费密能反而降低[解答]当0≠T 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低.6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大[解答]由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由式3/120)3(πn k F =可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从和式看得更清楚. 电子的平均动能E 正比与费密能0F E , 而费密能又正比与电子浓度3/2n :()3/22232πn m E F =,()3/2220310353πn m E E F ==.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系[解答]对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由式)(00ε⋅∂∂+=v τe E f f f可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移 )(0ε⋅∂∂v τe E f部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从式x k S x x E S v e j F ετπ∇=⎰d 4222和立方结构金属的电导率 E S v e k S x F ∇=⎰d 4222τπσ 看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗[解答]电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为1F E 和2F E , 且1F E >2F E , 接触平衡后电势分别为1V 和2V . 则两金属接触后, 金属1中能量高于11eV E F -的电子将跑到金属2中. 由于1V 大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差 为什么[解答]两块同种金属, 温度分别为1T 和2T , 且1T >2T . 在这种情况下, 温度为1T 的金属高于0F E 的电子数目, 多于温度为2T 的金属高于0F E 的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为1T 的金属高于0F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为1T 的金属失去电子, 带正电; 温度为2T 的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差.10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化[解答]如果不存在碰撞机制, 当有外电场ε后, 电子波矢的时间变化率 εe t -=d d k .上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场ε时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场ε后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高[解答]电导σ是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径3/12)3(πn k F =.可见电子浓度n 越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高.12.电子散射几率与声子浓度有何关系 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系[解答]设波矢为k 的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为),',(θΘk k , 则),',(θΘk k 即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度.若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角θ与声子的平均波矢q 的关系为由于F k k k ==', 所以F F k q k q 222sin==θ.在常温下, 由于q <<k , 上式可化成 F F k q k q ==θ.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量q 成正比. 13.低温下, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是何原因[解答]按照德拜模型, 由式可知, 在甚低温下, 固体的比热 34)(512D B V T Nk C Θπ=.而声子的浓度⎰⎰-=-=m B m B T k p T k ce v e D V n ωωωωωωπωω0/2320/1d 231d )(1 ,作变量变换 T k x B ω =,得到甚低温下 333232T v Ak n p Bπ=, 其中 ⎰∞-=021d x e x x A .可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照§纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与3T 成正比, 电阻率与5T 成正比, 2T 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由式得到证明. 由可得声子平均动量的平方286220/240/3321d 1d )(T v v Bk e v e v q s p B T k s T k p D B D B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎰⎰ωωωωωωωω ,其中⎰⎰∞∞--=02031d 1d x x e x x e x x B 。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理习题解答
黄昆《固体物理》习题解答目录第一章习题 (1)第二章习题 (6)第三章习题 (10)第五章习题 (31)第六章习题 (36)第七章习题 (42)第一章 习 题1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方(书P2, 图1-2) /60.52π≈ 体心立方(书P3, 图1-3) 3/80.68π≈面心立方(书P3, 图1-7) 2/60.74π≈六方密排(书P4, 图1-6) 2/60.74π≈金刚石(书P5, 图1-8)3/160.34π≈解 设n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致密度为:343nr V πρ=（设立方晶格的边长为a ） r 取原子球相切是的半径于是结构 r n V ρ简单立方 a/2 1 a 3 /60.52π≈ 体心立方 a/21 a 3 3/80.68π≈面心立方 3/4a2 a3 2/60.74π≈ 六方密排 2/4a4 a 32/60.74π≈金刚石a/2232a3/160.34π≈1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp ）的轴比633.18322/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=c解 由1.1题，六角密排中232232c r a h -==，故633.18322/1≈⎪⎭⎫⎝⎛=c1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯体心立方格子原胞基矢123(),(),()222a a aa i j k a i j k a i j k =-++=-+=-+ 倒格子基矢231123022()()22a a a ab i j k i j k a a a v ππ⨯==⋅-+⨯+-⋅⨯202()()4a i j k i j k v π=⋅-+⨯+-2()j k a π=+ 同理31212322()a ab i k a a a aππ⨯==+⋅⨯ 32()b i j a π=+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢123()/2()/2()/2a a j k a a k i a a i j =+=+=+ 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯ 12()b i j k a π=-++ 同理22()b i j k a π=-+ 32()b i j k aπ=-+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为体心立方格子1.4 证明倒格子原胞的体积为03(2)v π，其中0v 为正格子原胞体积证 倒格子基矢2311232a a b a a a π⨯=⋅⨯3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯1231232a a b a a a π⨯=⋅⨯倒格子体积*0123()v b b b =⋅⨯3*23311230(2)()()()v a a a a a a v π=⨯⋅⨯⨯⨯ 3*00(2)v v π= 1.5 证明：倒格子矢量112233G hb h b h b =++垂直于密勒指数为123()hh h 的晶面系。
《固体物理学(黄昆)》课后习题解答
v0
证
� 倒格子基矢 b1
=
2π
�� � a2�× a3� a1 ⋅ a2 × a3
� b2
=
2π
�� � a3�× a1� a1 ⋅ a2 × a3
� b3
=
2π
�� � a1�× a2� a1 ⋅ a2 × a3
��� 倒格子体积 v0* = b1 ⋅ (b2 × b3 )
v0*
=
(2π )3 v03
《固体物理》习题解答
第一章 习 题
1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明
结构 简单立方(书P2, 图1-2) 体心立方(书P3, 图1-3)
面心立方(书P3, 图1-7)
六方密排(书P4, 图1-6)
金刚石(书P5, 图1-8)
x
π / 6 ≈ 0.52 3π / 8 ≈ 0.68
2π / 6 ≈ 0.74
2π / 6 ≈ 0.74 3π /16 ≈ 0.34
解 设n为一个晶胞中的刚性原子数，r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致
4π nr3
密度为: ρ =
（设立方晶格的边长为a） r取原子球相切是的半径于是
3V
结构
r
n
V
简单立方
a/2
1
a3
体心立方
a/2
1
a3
ρ π / 6 ≈ 0.52
� b3
=
2π
�� � a1�× a2� a1 ⋅ a2 × a3
� a � � � � a� � � � a� � �
体心立方格子原胞基矢 a1 =
(−i 2
+
j + k ),
(完整版)黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理答案第六章1
(2)
而速度 v 1 dE h dk
代入(2)式，并应用关系式
h
dk dt
Fe
固体物理答案第六
章1
可得
dv 1
dt h2
d2E dk2 Fe
Fe m*
(3)
式中
m*
h2
/
d2E dk2
为电子的有效质量。
联合(1)(3)两式，即得
m* m Fe Fe FL
固体物理答案第六 章1
6.4
证明：对于能带中的电子，k 状态和
(1)证明其s态电子的能带为
Ek Emi n4Jsi2n 1 2ak
式中，Emin 为能带底部的能量；J为交迭积分.
(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。
证明：（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，
结果可写成
最近邻
EkE0A
e J i2kRnRs sn
(1)
固体物理答R 案n 第六
E A k x a c ck o y o a c s k s z o a B s
简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。 固体物理答案第六 章1
在布里渊区中心，电子的有效质量为
m
2 2E
2
Aa 2
k
2 i
ki 0
由此可知A=2。
（2）电子能带
E 2 k c x a c o k y o a c s k s z o a B s
Emax 4J 2a2k 2
Emax
h2 2mt*
k 2
式中
mt*
h2
8J2a2
为能带顶部电子的有效质量，因为
J 0
，故
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理学1~6章习题解答
《固体物理学》习题解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么晶面族是（123）的离原点最近的晶面在三个基矢坐标轴上的截距分别是a1、(1/2)a2、(1/3)a3。
固体物理学中基矢的长度等于相邻两个格点的距离，所以只要“OA,OB 和OC 分别与基矢a1,a2,a3重合”，而O 又是格点，则A 、B 、C 一定是格点。
OA 、OB 、OC 间无格点，（234）情况一样。
结晶学以晶包基矢为坐标轴表示晶面指数，但称为米勒指数。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
《固体物理学》概念和习题答案精修订
《固体物理学》概念和习题答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。