第09讲 两角和与差的三角函数
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
－
3 3 tan
72°tan
42°
＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan
42° ＝tan 30°＝ 33.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和正弦公式：(S() )
sin( ) sin cos cos sin
两角差正弦公式： (S() )
sin( ) sin cos cos sin
两角差余弦公式：(C() )
cos( ) cos cos sin sin
两角和余弦公式：(C() )
提示: tan( ) tan[ ()] tan tan() 1 tan tan() tan tan . 1 tan tan
简记为T(α-β) 称为两角差的正切公式.
两角和与差的正切公式的说明
1.必须在定义域范围内使用上述公式. 2.注意公式的结构，尤其是符号.
【即时练习】
3 5 4
3. 4
5
tan( )
tan tan 4
tan 1
3 1 4
7.
4 1 tan tan 1 tan 1 ( 3)
4
4
4.公式的变形应用
【解析】
tan 60 1 tan17 tan 43 3 tan17 tan 43
3.
【变式训练】
化简求值：
sin 15°－cos 15° cos 15°＋sin 15°.
【方法规律】 解答本题可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n t1a5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β) 转化．
tan 15°－1 【解析】原式＝
1＋tan 15°
tan 15°－tan 45°
两角和与差的三角函数及二倍角公式
两角和与差的三角函数及二倍角公式在三角函数中，我们经常会遇到两个角的和或差。
为了简化计算，我们可以利用两角和与差的三角函数公式来求解。
同时，在求解过程中，二倍角公式也是一个非常重要的工具。
在本文中，我们将详细介绍两角和与差的三角函数及二倍角公式。
一、两角和与差的三角函数公式1.两角和的正弦和余弦：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，余弦分别为cosA和cosB，则有：sin(A + B) = sinA × cosB + cosA × sinBcos(A + B) = cosA × cosB - sinA × sinB这两个公式分别称为两角和的正弦公式和余弦公式。
2.两角和的正切：在已知角A和B的正切tanA和tanB的情况下，可以使用以下公式求解两角和的正切tan(A + B)：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA × tanB)这个公式称为两角和的正切公式。
3.两角差的正弦和余弦：设角A和角B的正弦分别为sinA和sinB，余弦分别为cosA和cosB，则有：sin(A - B) = sinA × cosB - cosA × sinBcos(A - B) = cosA × cosB + sinA × sinB这两个公式分别称为两角差的正弦公式和余弦公式。
4.两角差的正切：在已知角A和B的正切tanA和tanB的情况下，可以使用以下公式求解两角差的正切tan(A - B)：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA × tanB)这个公式称为两角差的正切公式。
以上就是两角和与差的三角函数公式。
在三角函数中，二倍角公式是非常重要的公式。
通过二倍角公式，我们可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
下面是各种三角函数的二倍角公式：1.正弦的二倍角公式：sin(2A) = 2sinA × cosA2.余弦的二倍角公式：cos(2A) = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A3.正切的二倍角公式：tan(2A) = 2tanA / (1 - tan^2A)这些公式称为正弦、余弦和正切的二倍角公式。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式是指在给定两个角的情况下，通过公式计算它们的和或差的三角函数值的关系式。
这些公式在解决三角函数的实际问题和简化计算中起着重要的作用。
本文将介绍两角和与差的三角函数公式的基本知识点，包括公式的推导、证明和应用。
一、两角和与差的三角函数公式的推导1.两角和的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的和公式如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以通过将和角的正弦、余弦和正切分别展开为各自的和差形式，然后进行合并得到。
以正弦和公式为例，我们可以化简如下：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB由正弦的和差公式可得：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB= (sinAcosB + cosAsinB)(cosAcosB – sinAsinB)/(cosAcosB –sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cosAcosB – sinAsinB)= sinAcosBcosAcosB – sinAsinBcosAcosB + cosAsinBcosAcosB –cosAsinBsinAsinB/(cos^2A - sin^2B)= sinAcos^2B - sinAsin^2B + cos^2AsinB - cosBsinA/(cos^2A - sin^2B)= sinA(cos^2B - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)/(cos^2A - sin^2B)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)= sinA(1 - sin^2B) + cosA(sinBcosA - cosBsinA)2.两角差的公式对于两个角A和B，其正弦、余弦和正切的差公式如下：sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)同样，这些公式也可以通过将差角的正弦、余弦和正切展开为各自的差和比值形式，然后进行合并得到。
两角和与差的正弦课件
具体应用包括计算振动、波动、电磁 场等物理现象中的角度和、差问题， 以及在航海中计算航向、角度等实际 问题。
利用两角和与差的正弦公式进行三角恒等变换
通过实例理解公式
公式推导
通过具体的实例推导两角和与差的 正弦公式，如sin(α+β)和sin(α-β)， 展示公式的来源和原理。
几何意义
解释公式的几何意义，通过单位 圆上的点来解释两角和与差的正 弦值，有助于理解公式的物理意 义和应用。
记忆公式的技巧和方法
口诀记忆
将公式中的内容编成口诀或顺口溜， 方便记忆和应用。
THANKS
感谢观看
03
两角和与差的正弦公式的 扩展
利用两角和与差的正弦公式推导其他三角函数公式
利用两角和与差的正弦公式，可以推 导出余弦、正切等其他三角函数公式 。例如，利用正弦的和差公式，可以 推导出余弦的和差公式。
推导过程可以通过三角函数的加法定 理和减法定理，结合三角函数的周期 性和对称性进行。
利用两角和与差的正弦公式解决实际问题
关联记忆
将公式与其他三角函数公式、特殊角 三角函数值等关联起来，形成知识网 络，便于记忆和应用。
公式在解题中的灵活运用
角度变换
在解题过程中，通过角度的变换将问题转化为两角和与差的形式，从而应用两角和与差的正弦公式进 行求解。
综合运用
结合其他三角函数公式、诱导公式等，综合运用两角和与差的正弦公式解决复杂的三角函数问题。
公式应用
用பைடு நூலகம்计算两角和的正弦值，简化三角函数计算过 程
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
类型 2 给值(式)求值
[典例 2] 已知π4＜α＜34π，0＜ β＜π4，cosπ4＋α＝－ 35，sin34π＋ β＝153，求 sin(α＋ β )的值．
解：因为π4＜α＜34π，所以π2 ＜π4＋α＜π.
所以 sin π4＋α＝
1－cos2π4＋α＝45.
又因为 0＜ β ＜π4，34π＜34π＋ β ＜π，
sin αcos β－cos αsin β
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 正切
tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2 tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和的余弦公式的推导 cos( ) ?
提示: ( ) cos( ) cos[ ()] cos cos() sin sin() cos cos sin sin .
两角和的余弦公式
c o s( ) c o s c o s s in s in
类型 3 给值求角(互动探究)
[典例 3] 已知 cos α＝17，sin(α＋ β)＝51413，0＜α
＜π2，0＜ β ＜π2，求角 β 的值．
解：因为
0＜α＜π2，cos
α＝17，所以
sin
α＝4
7
3 .
又因为 0＜ β ＜π2，所以 0＜α＋ β ＜π.因为 sin(α＋
β )＝5143＜sin α，
C 简记： （）
公式的结构特征: 左边是复角 的余弦,右边是单角 ,
的余弦积与正弦积的差.
两角和与差的三角函数及二倍角公式
两角和与差的三角函数及二倍角公式在三角函数中，有两个非常重要的公式，即两角和与差的三角函数公式和二倍角公式。
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，因此了解和掌握它们是非常必要的。
一、两角和与差的三角函数公式：1.两角和公式：对于任意两个角A和B，有以下两个公式：sin(A + B) = sin A * cos B + cos A * sin Bcos(A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B由这两个公式可以推出以下公式：sin(A - B) = sin A * cos B - cos A * sin Bcos(A - B) = cos A * cos B + sin A * sin B这些公式可以帮助我们求解诸如sin(A + B)的表达式，将其转化为由sin A、sin B、cos A和cos B组成的表达式，从而简化问题的解决。
2.单角和差公式：单角和差公式是两角和公式的特殊情况，即当A和B取相同的值时，有以下公式：sin(2A) = 2 * sin A * cos Acos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 *sin^2 A这些公式在解决二倍角问题时非常有用。
通过这些公式，我们可以将一些角的双倍角表示为该角的sin、cos的函数，从而简化问题的解决。
二、二倍角公式：二倍角公式是指将一个角的双倍角表示为该角本身的sin、cos的函数。
有以下四个二倍角公式：sin(2A) = 2 * sin A * cos Acos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 *sin^2 Atan(2A) = 2 * tan A / (1 - tan^2 A)cot(2A) = (cot^2 A - 1) / (2 * cot A)这些公式可以帮助我们将一些角的双倍角表示为该角本身的sin、cos等函数的形式，从而简化问题的解决。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差的三角函数
§1 两角和与差的三角函数知识梳理1.两角和与差的余弦公式（1）公式：cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β；cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.（2）理解和记忆：①上述公式中的α、β都是任意角.②和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(a±β)≠cos α±cos β.③公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用公式，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=21. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证.⑤记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反.2.两角和与差的正弦公式（1）公式：sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β；sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.（2）理解和记忆：①上面公式中的α、β均为任意角.②与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β.③和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而采用整体思想，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与左边的连接符号相同.3.两角和与差的正切（1）公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+；tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. （2）理解和记忆：①公式成立的条件：α≠k π+2π，β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式解决.②两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan25°+tan20°+tan25°tan20°的问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.③与和差角的弦函数公式一样，公式对分配律不成立，即tan(α+β)≠tan α+tan β. 知识导学要学好本节有必要复习任意角的三角函数和平面向量的数量积；本节的重点是公式的应用，难点是公式的变形应用；在学习过程中，要善于应用联系的观点看待问题.难疑突破1.形如函数f (x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值是什么？剖析：受思维定势的影响，总是认为y=sinx 和y=cosx 的最大值都是1，它们的最小值都是-1，则函数f(x)的最大值是|a|+|b|，最小值是 -|a|-|b|，其实不然.其突破口是分析y=sinx 和y=cosx 取最值时，自变量x 取值情况.当x=2k π+2π (k∈Z )时，y=sinx 取最大值1，当x=2k π-2π (k∈Z )时，y=sinx 取最小值-1；当x=2k π(k∈Z )时，y=cosx 取最大值1，当x=2k π+π(k∈Z )时，y=cosx 取最小值-1；由此看y=sinx 取最值时，y=cosx=0，而y=cosx 取最值时，y=sinx=0.所以y=sinx 和y=cosx 不能同时取最值，因此这样求最值是错误的.求形如函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的最值，常用方法是化归为求y=Asin(ωx+φ)+b 的最值.例如：求函数f(x)=2sinx-32cosx ，x∈R 的最值.可将函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)后，再求最值. f(x)=2sinx-32cosx =4(21sinx-23cosx) =4(sinxcos3π-cosxsin 3π) =4sin(x-3π)， ∴函数f(x)的最大值是4，最小值是-4.很明显函数f(x)的最大值不是2±32，最小值不是-2-32.下面讨论函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)，x∈R 的最值. f(x)=asinx+bcosx=22b a +(22b a a+sinx+22b a b +cosx)， ∵(22b a a+)2+(22b a b +)2=1, ∴可设cos θ=22b a a +，sin θ=22b a b +,则tan θ=ab （θ又称为辅助角）. ∴f(x)= 22b a + (sinxcos θ+cosxsin θ)= 22b a +sin(x+θ).∴当x∈R 时， f(x)的最大值是22b a +，最小值是-22b a +.特别是当a b =±1，±3，±33时，θ是特殊角，此时θ常取4π，3π，6π. 对于形如y=asinx+bcosx(ab≠0)的式子引入辅助角化归为y=Asin(x+θ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期、最值等，这是高考和模拟的必考内容之一.例如：2006江苏南京一模，7 若函数f(x)=sinax+cosax(a ＞0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为（ ） A.(8π-,0) B.(0,0) C.(-81,0) D.(81,0) 思路分析：化为y=Asin(ωx+θ)形式，再讨论其对称中心.f(x)=sinax+cosax=2sin(ax+4π)(a ＞0)， ∴T=a π2=1.∴a=2π.∴f(x)=2sin(2πx+4π)(a ＞0).又∵f(x)与x 的交点是其对称中心，经验证仅有(-81,0)是函数f(x)的对称中心. 答案：C3.2 两角和与差的三角函数课堂导学三点剖析1.两角和与差的三角函数公式的简单运用【例1】 若sin α=55,sin β=1010且α、β是锐角，求α+β的值. 思路分析:可先求出α+β的某种三角函数值，然后再确定α+β的值.解:∵α、β是锐角，∴cos α=552)55(12=-,cos β=10103)1010(12=-. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=22. 又∵sin α=55<21,sin β=1010<21， ∴0°<α<30°，0°<β<30°.∴0°<α+β<60°.∴α+β=45°.各个击破类题演练 1计算sin33°cos27°+sin57°cos63°的值.解析:原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=23， 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=23. 变式提升 1sin163°sin223°＋sin253°sin313°=___________.解析：原式=sin(180°-17°)·sin(180°+43°)+sin(270°-17°)+sin(270°+43°) =-sin17°sin43°+cos17°cos43° =cos(17°+43°)=cos60°=21. 答案：21 2.两角差的余弦公式的运用【例2】 已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51，求tan αtan β的值. 思路分析：题目中要求的是单角α与 β的函数值，所以自然要想到用和差公式分解，然后用商式求解. 解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+)2.(51sin sin cos cos )1(,31sin sin cos cos .51)cos(,31)cos(βαβαβαβαβαβα得 ①+②得cos αcos β=154, ②-①得sin αsin β=151-, ∴tan αtan β=βαβαcos cos sin sin =41-. 友情提示在利用两角和差公式的同时，运用同角三角函数关系，把不同类型的公式放在一起使用是本章题目的特点.类题演练 2设a∈(0,2π),若sin α=53,则2cos(α+4π)等于（ ） A.57 B.51 C.57- D.-51 解析：∵α∈(0,2π)，sin α=53,∴cos α=54, 又2cos(α+4π)=2(cos α·cos 4π-sin α·sin 4π) =cos α-sin α=51. 答案：B变式提升 2已知α、β为锐角，且cos α=71，cos(α+β)=1411-，求β的值. 解析：∵α是锐角，cos α=71,∴sin α=734)71(12=-. ∵α、β均为锐角，∴0<α+β<π.又cos(α+β)=1411-,∴sin(α+β)=1435)1411(12=--. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=（1411-）·71+7341435∙=21. 又∵β为锐角，∴β=3π. 3.两角和与差的三角函数的变式应用【例3】 已知α,β∈(-2π,2π)，tan α,tan β是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求 α+β.思路分析：由根与系数关系可得tan α+tan β、tan αtan β，因此可先求tan(α+β).解：由题意知tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,①∴tan(α+β)=3tan tan 1tan tan =-+βαβα. 又∵α,β∈(-2π,2π) 且由①知α∈(-2π,0),β∈(-2π,0), ∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-. 类题演练 3计算tan10°+tan50°+3tan10°tan50°的值.解析：原式=tan(10°+50°)(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50° =3(1-tan10°tan50°)+3tan10°tan50°=3.变式提升 3求值:tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°.解析：原式=tan10°tan20°+3(tan10°+tan20°)=tan10°tan20°+3tan30°(1-tan10°tan20°)=1.。
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
两角和与差的三角函数课件
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·赣州模拟)已知sin α＋π6＋cos α＝45 3，则sin α＋π3
的值为
()
A.45
B.35
C.
3 2
D.
3 5
解析：由条件得 23sin α＋32cos α＝45 3，
即12sin α＋ 23cos α＝45. ∴sin α＋π3＝45.
[自主解答] (1)∵tan π4＋α＝2，
∴1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，∴11＋ －ttaann αα＝2.
2 ∴tan α＝13，∴tan 2α＝1－2tatannα2α＝1－3 19＝34.
sinα＋β－2sin αcos β (2)2sin αsin β＋cosα＋β
[冲关锦囊] (1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准
确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝ tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种 变形等． (2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的， 但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和 变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维 转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后， 才能真正掌握公式的应用.
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、 变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同 角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对 式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数 等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角 度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差 异，再选择适当的三角公式恒等变形．
∵0<x<π2，∴－π3<2x－π3<23π.
两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式在三角学中，两角和与差的三角函数公式是指用一组三角函数表达两个角的和或差的关系。
这些公式在求解复杂的三角函数问题中非常有用。
下面将详细介绍两角和与差的三角函数公式。
1.两角和的三角函数公式：设角A和角B的三角函数值分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB，那么角A与角B的和的三角函数可以用角A和角B的三角函数表示为：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)这些公式是根据欧拉公式以及三角函数的定义推导得出的。
利用这些公式，可以通过已知角的三角函数值来计算两个角的和的三角函数值。
2.两角差的三角函数公式：同样设角A和角B的三角函数值分别为sinA、cosA、tanA和sinB、cosB、tanB，那么角A与角B的差的三角函数可以用角A和角B的三角函数表示为：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式也是通过欧拉公式以及三角函数的定义推导得出的。
利用这些公式，可以通过已知角的三角函数值来计算两个角的差的三角函数值。
这些两角和与差的三角函数公式在解决实际问题时非常有用。
例如，在求解航向角、角度和速度的问题中，可以利用这些公式来计算不同角的和与差的三角函数值，从而得出最终的答案。
总结起来，两角和与差的三角函数公式所提供的计算角的和与差的方法非常重要。
掌握了这些公式，我们就能够在解决各种复杂的三角函数问题时更加高效地进行计算，提高解题的准确性和速度。
因此，在学习三角学时，这些公式是必须要掌握的。
三角函数两角和与差公式
三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。
还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。
下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。
“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。
选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。
2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。
要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。
3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。
只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。
4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。
所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。
一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。
处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。
高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。
两角和与差的正弦、余弦函数-PPT课件
解:sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
20
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
5
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
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探究点1 两角差的余弦函数
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos ,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1,0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
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思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点一、两角和的三角函数公式1.正弦函数的两角和公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2.余弦函数的两角和公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3.正切函数的两角和公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)二、两角差的三角函数公式1.正弦函数的两角差公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB2.余弦函数的两角差公式：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB3.正切函数的两角差公式：tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)三、两角和与差的其他公式1.正弦函数的和差公式：sinA + sinB = 2sin[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]sinA - sinB = 2cos[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]2.余弦函数的和差公式：cosA + cosB = 2cos[(A + B)/2]cos[(A - B)/2]cosA - cosB = -2sin[(A + B)/2]sin[(A - B)/2]3.正切函数的和差公式：tanA + tanB = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)tanA - tanB = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)四、两角和与差的应用1.角平分公式：当A=B/2时，两角和公式可以简化为：sin(B/2) = ±√[(1 - cosB) / 2]cos(B/2) = ±√[(1 + cosB) / 2]2.三角解析式的使用：两角和与差的公式可以用于简化复杂的三角表达式，使计算更加方便。
两角和与差的三角函数课件PPT文档74页
两角和与差的三角函数课件
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ---- 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
第09讲 两角和与差的三角函数
两角和与差的三角函数主讲教师：苏怀堂【知识概述】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-+=--=+++=---=+ 2.两角和与差的正切公式的变用tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )1tan tan 1tan 41tan tan 1tan 4αβαβαβαβαβαβαπαααπαα+=+--=-++⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭-⎛⎫=- ⎪+⎝⎭3.把形如sin cos a b αα+的三角函数式化成一个角的三角函数()22sin cos a b a b αααθ+=++【学前诊断】1．[难度] 易下列等式中一定成立的是( )A ．cos()cos cos αβαβ+=+ B.cos()cos cos αβαβ-=-C .πcos cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭D .πcos sin 2αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2．[难度] 易sin 75=o .3．[难度] 中求函数sin cos y x x =+的最大值.【经典例题】例1．（1）求sin15cos165+o o 的值；（2）若4sin ,0,,52ααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭求πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）若()3sin 30(60150),5αα+=<<o o o 求cos α. 例2．求值：（1）cos15cos105sin15sin105-o o o o ；（2）cos15sin15cos15sin15-+o oo o. 例3．函数πcos cos 3y x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭的最大值是________. 例4．化简（1）sin(27)cos(18)sin(63)sin(18)x x x x +----o o o o ；（2）tan111tan114tan111tan114++o o o o ； （3）sin 7cos15sin 8cos 7sin15sin 8+-o o oo o o .例5. 已知sin αβαβ==、都是锐角，求+αβ的值.【本课总结】1.运用两角和与差得三角函数式，关键在于构造角的和(差)，在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角.另外还要特别注意角的变换如(),,2222αβαβαβαβααββαβ+-+-=+-=+=-等.2.要探求三角函数的性质，一般要先把它转化成一个含有自变量的三角函数，因此要熟练掌握辅助角公式()sin cos a b αααθ+=+.3.(1)如何活用公式，其关键在于观察分析待化简、求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，然后经过适当变形、拼凑，再顺用或逆用公式；(2)由正切的和角公式可得到如下几个公式：tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1tan tan tan()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++++=++-=+4.已知三角函数值求角，一般分三步：（1）先确定角的范围(尽量小)；（2）看哪一个三角函数在这一区间上是单调的并求这一三角函数的值；（3）求角的值.【活学活用】1．[难度] 中已知2π1tan(),tan 544αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 等于( ) A ．1318 B ． 1322 C ． 322 D ． 3182. [难度] 中 已知11sin cos ,cos sin 23αβαβ-=-=，则sin()αβ+= .3. [难度] 中 已知15cos(),cos 2,313αβααβ+=-=-、均为锐角，求cos()αβ-.。
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两角和与差的三角函数
主讲教师：苏怀堂
【知识概述】
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ
αβ
αβαβαβ
αβαβ
+=+-=-+=--=+++=
---=
+
2.两角和与差的正切公式的变用
tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )1tan tan 1tan 41tan tan 1tan 4αβαβαβαβαβαβαπαααπαα+=+--=-++⎛⎫
=+ ⎪
-⎝⎭
-⎛⎫
=- ⎪
+⎝⎭
3.把形如sin cos a b αα+的三角函数式化成一个角的三角函数
()sin cos a b αααθ+=+
【学前诊断】
1．[难度] 易
下列等式中一定成立的是( )
A ．cos()cos cos αβαβ+=+ B.cos()cos cos αβαβ-=- C .πcos cos 2αα⎛⎫+=
⎪⎝⎭ D .πcos sin 2αα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
2．[难度] 易 sin 75= . 3．[难度] 中
求函数sin cos y x x =+的最大值.
【经典例题】
例1．（1）求sin15cos165+的值；
（2）若4sin ,0,,52ααπ⎛⎫=
∈ ⎪⎝⎭求πcos 3α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭； （3）若()3
sin 30(60150),5
αα+=<<求cos α.
例2．求值：（1）cos15cos105sin15sin105-；
（2）
cos15sin15
cos15sin15
-+.
例3．函数πcos cos 3y x x ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
的最大值是________. 例4．化简
（1）sin(27)cos(18)sin(63)sin(18)x x x x +----； （2）tan111tan114tan111tan114++；
（3）
sin 7cos15sin8
cos7sin15sin8
+-.
例5. 已知sin αβαβ==、都是锐角，求+αβ的值.
【本课总结】
1.运用两角和与差得三角函数式，关键在于构造角的和(差)，在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角.另外还要特别注意角的变换如
(),,2
2
2
2
αβ
αβ
αβ
αβ
ααββαβ+-+-=+-=
+
=
-
等.
2.要探求三角函数的性质，一般要先把它转化成一个含有自变量的三角函数，因此要熟练掌
握辅助角公式()sin cos a b αααθ+=
+.
3.(1)如何活用公式，其关键在于观察分析待化简、求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，然后经过适当变形、拼凑，再顺用或逆用公式； (2)由正切的和角公式可得到如下几个公式：
tan()(1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1tan tan tan()
αβαβαβαβαβαβαβαβ
αβαβ+-=++++=++-=
+
4.已知三角函数值求角，一般分三步： （1）先确定角的范围(尽量小)；
（2）看哪一个三角函数在这一区间上是单调的并求这一三角函数的值； （3）求角的值.
【活学活用】
1．[难度] 中 已知2π1tan(),tan 544αββ⎛⎫+=
-= ⎪⎝⎭，那么πtan 4α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 等于( ) A ．1318 B ． 1322 C ． 322 D ． 3
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2. [难度] 中 已知11
sin cos ,cos sin 23
αβαβ-=-=，则sin()αβ+= .
3. [难度] 中
已知15
cos(),cos 2,313
αβααβ+=-=-
、均为锐角，求cos()αβ-.。