数值分析(李庆扬)第七章)

1）, 若
f
a
b 2
0
输出根
x
ab 2
, 否则：若
f
a
2
b
0，
令
a1
a
2
b
，b1
b
反之
ab b1 2 , a1 a.
2 ),对 [ a1 ,b1 ] 区间重复1）的计算，并产生 [ a2 ,b2 ],
3),
若
f
ai
2
bi
0，则得到根
x ai bi . 2
二分法的收敛性
二分法产生一个有根区间：
f (x) 0 在真根附近 x0 点展开成 Taylor 级数：
假设方程x (x)在[a, b]内有两个根x1* x2*,
由条件（2），有
x1* x2* (x1* ) (x2* ) L x1* x2* x1* x2*
导出矛盾，唯一性得证。
对任意x0 [a, b],由迭代公式有
xn x* (xn1) (x* ) L xn1 x*
定定 理4理: ：对于迭代过程xk1 (xk ),如果 ( p) (x)在所
求根x*的邻近连续，并且
' (x* ) " (x*) L ( p1) (x*) 0; ( p) (x*) 0
则该迭代过程在点x*邻近是p阶收敛的。
证：由于 ' (x*) 0 1,故xk1 (xk )具有局部收敛性。
实际用迭代法计算时，先用对分区间法求较好的初值， 然后再进行迭代。
迭代法收敛速度定义 (P271)
定义：设迭代过程xk1 (xk )收敛于方程 x (x)的根x*,如果迭代误差ek xk x*
当 k 时成立下列渐进关系式 ek1 C (C 0为常数） ekp
则称该迭代过程是p阶收敛的。 p 1为线性收敛，p 1为超线性收敛， p 2为平方收敛。
x2 ( x1)
由微分中值定理，有
x1 x* (x0 ) (x* ) ' (1)( x0 x* ) x2 x* ( x1) ( x* ) ' (2 )( x1 x* ) 假定 ' (x)改变不大，近似地取某个近似值L,
则由x1 x* L(x0 x* ) x2 x* L(x1 x* )
x x x x x x x x
L
n p
n
n p
n p1
n p1
n p2
n1
n
L x x L x x L x x n p1 n p2 L n
1
0
1
0
1
0
L L L x x n( p1 p2 L 1)
1
0
1 Lp
1 L
Ln
x1
x0
令p ,得
x x x x* Ln
n 1 L 1 0
f (x)
[a, b]
[a1,b1] L
[a
,
n
b
]
n
[a
,
n
bBiblioteka Baidu
]
n
区间长度：
a1 a x*
b1
x0
b
b a b a 2 n
1(
2 n
n1
) L
n 1
1
n
(b
a)
当n 足够大时，取近似值
xn
an
2
bn
，
x 2 误差： x
n
ba
n 1
计算简便，容易估计误差，但收敛较慢。
以上公式可用于估计对分次数k.
xn1 ( xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln
1 L
x1 x0
证：设x, y为[a, b]上任意两点，由微分中值
定理，在x, y之间至少存在一点，使得 (x) ( y) ' ( )(x y)
(x) ( y) ' ( )(x y)
L xy
改变定理１条件（２）可得以下结论
定理. 设函数 (x)在区间[a, b]上满足条件 （1）对任意x [a, b]，都有a (x) b;
(2)存在常数0 L 1, 使得对一切x [a, b],都有
'(x) L
则方程x (x)在[a, b]内有唯一的根x*,且对任何
初值x0 [a, b], 迭代序列
§2. 迭代法及其收敛性
改写方程：f (x) 0 x (x) 且 连续。
x x x 建立迭代格式： ( )，得到序列 { }
n 1
n
n
则
若
{
x
}
n
收敛必收敛到
f (x） 0
的根：
limxn1 lim
n
n
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
即为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 (P273)
可以证明
lim
k
xk 1 x* xk x*
0
表明 xk 的收敛速度比 xk 的收敛速度快, 且为2阶收敛的．
§4. 牛顿(Newton)法
非线性问题的最简单解法是线性近似. 将非线性方程线性化，以线性方程的 解逐步逼近非线性方程的解，这就是 Newton法的基本思想
分析以上过程不难知道，对分法的收敛速度与公比为1/2的等 比级数相同.由于210=1024，可知大约对分10次，近似根的精 度可提高三位小数位.对分法的收敛速度较慢，它常用来试探 实根的分布区间，或求根的近似值.
例1 求x3-3x+1=0的实根分布情况，并求[0,1]中的实根近 似值，精确到三位小数.
第一步是确定某根的所在区间[a,b]，或给出根的近似值x0.
第二步是对方程的根进一步精确化,得到满足精度要求的近似根.
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在 [a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
f (a) f (b) 0。则可用对分法：
不妨设 f (a) 0, f (b) 0
1 2.25
根据定理，任取x0 [1.5, 2],由这两种等价方程所构造的 简单迭代方法都收敛，且第一种所产生的迭代序列收敛较快。
局部收敛性 (P269)
定义
设 (x) 有不动点 x* ，如存在 x* 的某个领域 R : x x*
对任意的 且收敛到
x0
x*
R 迭代 xk1 (xk ) 产生的序列
第七章 非线性方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x f (x)
n
n1 L
n
n 1
1
例: 超越方程
f (x) e x sin x 0
a 0 0,
n 1。
本章介绍一些求方程实根的近似值的有效方法，一般来说,
使用这些方法求非线性方程的实根可以分两步进行.
初值x0 [a, b], 迭代序列
xn1 ( xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
（ P267 定理1，２）
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a, b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a, b]内有根。
，则称迭代法是局部收敛的．
xk
定理3
定理：如果函数 ( x)在x*的一邻域O(x*, * )
内连续可微，x*为方程x (x)的根，且
' (x) 1, 则存在正数 , *, 使得对任意
x0 [x* , x* ], 迭代序列
xn1 ( xn )
(n 0,1, 2,L )
收 局部敛收于敛x*x. *
不动点的存在性与迭代法的收敛性
定理. 设函数 (x)在区间[a, b]上连满续足，条 且满件足
（1）对任意x [a, b]，都有a (x) b;
(2)存在常数0 L 1, 使得对一切x, y [a, b], 都有
(x) ( y) L x y
则方程x (x)在[a, b]内有唯一的根x*, 且对任何
也称作不动点迭代法 P265
迭代过程的几何表示
x (x) :
yx
y (x)
交点即真根。
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
由此建立迭代公式 k0 1
n p1
n p1
n p2
n1
n
（L L x x x x
p1 p2 L 1）
1
n1
n 1 L n1
n
令p ,得
x x x x * 1
n 1 L n1
n
x x 可通过检查 来判断迭代过程应否终止。
n1
n
例：用简单迭代法求方程 f (x) x2 x 1 0 的根。
解：因 f (1.5) 0.25 0,
xk1 3 xk 1 (k 0,1, 2L )
2L 7
8
xk 1.5 1.35721 1.33086 L 1.32472 1.32472 迭代收敛。
P266 表7-2
（2） 若将方程改写为 x x3 1
建立迭代公式 k0
xk1 xk3 1.
1
2L
xk 1.5 2.375 12.39 L 迭代不收敛。
即 (x)满足上一定理的条件（2），故结论成立。
误差估计式
x* xn
Ln 1 L
x1 x0 表明，常数L越小，
简单迭代法收敛越快。因而构造迭代函数 (x)的原则
是使 ' (x) 在有根区间[a, b]上有尽可能小的上界。
对任意正整数p有
x x x x x x x x
L
n p
n
n p
证：因 ' ( x)在O(x*, * )内连续，且 ' ( x) 1, 故存 在正数L 1, *, 使得对x [x* , x* ]，有
' (x) L 1 另一方面，由 (x* ) x*, 又有
(x) x* (x) (x*) L x x* 即 (x) [x* , x* ]。由上面定理知，迭代序列 xn1 ( xn )收敛于x*。
解: 从[-4,4]区间以步长为1计算f(x)=x3-3x+1的函数值，列
如下表
表7-1
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -51 -17 -1 3 1 -1 3 19 53
可见，在(-2,-1)区间、(0,1)区间、(1,2)区间各有一实根， 下面求(0,1)区间上的实根,按二分法.
将 (xk )在根x*处展开，由条件有
(xk
)
( x* )
( p) (
p!
)
( xk
x*) p
xk 1
x*
( p) ( )
p!
( xk
x*) p
ek 1 ekp
( p) (x*)
p!
§3.迭代收敛的加速方法 埃特金(Aitken)方法
设x0是根x*的某个预测值，通过两次迭代校正
有
x1 ( x0 )
f (2) 1 0
[1.5, 2] 为有根区间。
（1）x x 1 1(x) 因 1.5 1.5 1 1(x) 2 1 2
且
1' (x) 2
1 1 1 x 1 2 2.5 3.162
(2)
x
1
1 x
2 ( x)
因
1.5
1
1 2
2 ( x)
1
1 1.5
2
且
' 2
(
x)
1 x2
1 1.52
依此类推，得
xn x* Ln x0 x*
因 0 L 1, 所以
lim
n
xn
x*
即对任意初值x0 [a, b], 迭代序列xn均收
敛到方程的根x*。
类似地，对任意正整数k,有
xk 1 xk ( xk ) ( xk 1) L xk xk 1
L Lk x1 x0
于是，对任意正整数n, p,有
可得 x ∊[0.347167968, 0.347412109]
若取 =0.0005, 当k =13时,
bk -ak=0.000244141<0.0005, 此时过程结束, 取 xk=(0.347167968+0.347412109)/2=0.3472900380.347
可见，对分法的优点是对函数的要求低(只要求f(x)连续)，方法 简便、可靠，程序设计容易，事先估计计算次数容易，收敛速 度恒定；缺点是不能求出偶重根，收敛速度较慢. 对分法的思想方法还可用于搜索一个较大区间[a,b]内实根的分 布情况(不包括偶重实根)，实际的作法是： 取适当的步长h =(b-a)/m 逐一检验小区间 [a+kh,a+(k+1)h],(k=0,1,2,…,m-1) 的两端函数值是否异号， 若异号，则按以上二分法求出其中的根；若同号则不作求根而 转入检查下一个区间，只要h选得较小，则可求出本区间内的 所有奇重实根(包括单实根).h选得过大，可能漏掉某些根； h 选得过小，则计算量增大.
x1 x* x2 x*
x0 x* x1 x*
x*
x2
( x2 x1 )2 x0 2x1 x2
此种加速需用两次迭代值进行加工。 (P273)
如果将一次改进值作为一步，
则计算公式如下：
校正 再校正
改进
x% k 1 ( xk )
xk 1 ( x% k 1)
xk 1
xk 1
( xk 1 x% k 1 )2 xk 1 2 x% k 1 xk