中考数学高分秘籍第13讲 二次函数及其应用

3﹣
3
3
x）＝﹣
3 x2+3
3 x+18
33 3 ＝﹣
2
22
2
8
88
（x﹣4）2+24 3 ，
∴当 x＝4 时，S 最大＝24 3 ． 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 3 m2；
故选：C．
7
4. 如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣ 1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c； ②a﹣b+c＜0； ③b2﹣4ac＜0； ④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
b (1)当 a＞0 时，抛物线的开口向上；对称轴是直线 x＝－2a；
b
4ac－b2
当 x＝－2a时，y 有最小值，为 4a ；
在对称轴左边(即 x＜－2ba)时，y 随 x 的增大而减小；
在对称轴右边(即 x>－2ba)时，y 随 x 的增大而增大； 顶点(－2ba，4ac4－a b2)是抛物线上位置最低的点；
增减性可以得到，当 x>－1 时，y 随 x 的增大而减小.因为－1<1<2.，所以 2> y1> y2 .故选 A.
2.将抛物线 y= x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3 【答案】D． 【解答】y= x2﹣6x+21 = （x2﹣12x）+21 = [（x﹣6）2﹣36]+21 = （x﹣6）2+3， 故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3． 故选：D．
6
3.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则 该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）
A．18m2
B．18 3 m2
C．24 3 m2
45
D．
3 m2
2
【答案】C
【解答】解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于 E，
则四边形 ADCE 为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，
【解答】 解：(1)∵A(12，52)，B(4，6)在抛物线 y＝ax2＋bx＋6 上，
∴íïì（12）2a＋12b＋6＝52，解得íïìa＝2，
îï42a＋4b＋6＝6，
îïb＝－8.
∴抛物线的解析式为 y＝2x2－8x＋6.
(2)设动点 P 的坐标为(n，n＋2)，则点 C 的坐标为(n，2n2－8n＋6)．
6．二次函数与一元二次不等式之间的关系
“一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y＞0, y＜0 或 y≥0，y≤0”，一元二次不等式的解集从图象
上看是指抛物线在 x 轴上方或 x 轴下方的部分对应 x 的取值范围
2
考点 1： 二次函数的图象与性质 【例题 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为直线 x＝1，则下列结论中，错误的是（ ）
第 13 讲 二次函数及其应用
1．二次函数的概念及解析式 (1)概念：形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，且 a≠0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函 数 y＝ax2＋bx＋c 表示成 y＝a(x＋2ba)2＋4ac4－a b2. (2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)；
x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式．
b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式．
c．已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1，x2)时，选用交点式．
2．二次函数的图象和性质
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，且 a≠0)的图象是抛物线．
“h：左加右减，k：上加下减”．
(2)二次函数图象的对称：
①两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反；
②两抛物线关于 y 轴对称，此时顶点关于 y 轴对称，a 的符号不变；
(3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转 180°)，此时顶点坐标不变，只是 a 的符号相反．
5．二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax2＋bx＋c＝0 的解是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标．解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝k 就 是求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y＝k 的交点的横坐标． (1)当 b2＋4ac>0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； (2)当 b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，方程有两个相等的实数根； (3)当 b2－4ac<0 时，抛物线与 x 轴没有交点，方程无实数根．
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
归纳：本题考查二次函数的图象性质：(1)a 的正负决定图象的开口方向，c 的正负决定图象与 y 轴的交点位
置，a 和 b 的正负决定图象对称轴的位置；(2)二次函数与方程的关系，即二次函数图象与坐标轴的交点情况
可转化为二次方程根的判别式的正负；(3)二次函数的开口方向与对称轴决定其增减性．
4
考点 3： 二次函数与几何图形的综合应用 【例题 3】如图，直线 y＝x＋2 与抛物线 y＝ax2＋bx＋6 相交于 A(12，52)和 B(4，m)，点 P 是线段 AB 上异 于 A，B 的动点，过点 P 作 PC⊥x 轴，交抛物线于点 C. (1)点 B 坐标为(4，6)，并求抛物线的解析式； (2)求线段 PC 长的最大值． 【点拨】 (1)点 B 坐标代入一次函数解析式可得 m＝6，将 A，B 坐标代入 y＝ax2＋bx＋6，可求出抛物线 的解析式；(2)垂直于 x 轴的线段 PC 的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式，整理后会发现仍 然是二次函数的形式，利用二次函数的性质可得最大值．
3
考点 2： 二次函数的实际应用 【例题 2】 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条 40 元，当 售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销 售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条．设每条裤子的售价为 x 元（x 为正整数），每月的销售量为 y 条． （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）设该网店每月获得的利润为 w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不 低于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【分析】（1）直接利用销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条得出 y 与 x 的函数关系式； （2）利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）利用总利润＝4220+200，求出 x 的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得 y＝﹣5x+500； （2）由题意，得： w＝（x﹣40）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5（x﹣70）2+4500 ∵a＝﹣5＜0∴w 有最大值 即当 x＝70 时，w 最大值＝4500 ∴应降价 80﹣70＝10（元） 答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； （3）由题意，得： ﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200 解之，得：x1＝66，x2 ＝74， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝70， ∴当 66≤x≤74 时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故 x＝66 ∴当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠． 归纳: 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标， 可设一般式；若已知二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴 与最大(或小)值，可设顶点式．
b (2)当 a＜0 时，抛物线的开口向下；对称轴是直线 x＝－2a；
1
b
4ac－b2
b
当 x＝－2a时，y 有最大值，为 4a ，在对称轴左边(即 x<－2a)时，
y 随 x 的增大而增大．在对称轴右边(即 x>－2ba)时， y 随 x 的增大而减小；顶点(－2ba，4ac4－a b2)是抛物线上位置最高的点．
A．ac＜0
Hale Waihona Puke B．b2﹣4ac＞0C．2a﹣b＝0
D．a﹣b+c＝0
【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称
轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A.由抛物线的开口向下知 a＜0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可得 c＞0，因此 ac＜0，故
则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，
在 Rt△CBE 中，∵∠CEB＝90°，
1
1
∴BE＝ BC＝6﹣ x，
2
2
3
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∴AD＝CE＝ 3 BE＝6 3 ﹣ x，AB＝AE+BE＝x+6﹣ x＝ x+6，
2
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1
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∴梯形 ABCD 面积 S＝ （CD+AB）•CE＝ （x+ x+6）•（6