最新【学案导学与随堂笔记】2015-2016高中数学(人教版a版必修1)配套课件：第1章 1.3.1
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即在x＝2时取得最大值，最大值是2， 在 x＝6 时取得最小值，最小值是25.
反思与感悟 要熟记常见函数的单调性：一次函数y＝kx＋
b(k≠0)，当k>0时单调递增，当k<0时单调递减； 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，在 －∞，－2ba 上单调递减，在 －2ba，＋∞ 上单调递增，a<0时相反；函 数y＝k (x≠0)，当k>0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递
探要点·究所然
情境导学 同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？ “我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？ 答 我们班最高的男生是A同学，根据是班内任选一名男 生，都一定比A同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生.
探究点一 函数的最大(小)Baidu Nhomakorabea的概念
思考1 函数f(x)＝x2，g(x)＝－x2在什么时候取得最大、最小值？ 答 当x＝0时，f(x)取最小值.因函数f(x)＝x2在(－∞，0]上是减函数， 所以当x≤0时，f(x)≥f(0)， 又因函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上是增函数，所以当x≥0时，f(x)≥f(0). 从而x∈R，都有f(x)≥f(0). 因此x＝0时，f(0)是函数值中的最小值. 同理，g(x)在x＝0时取得最大值.
思考3 已知函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求 函数的最值？ 答 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增， 则f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)； 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递减， 则f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b).
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与 时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高 度是多少(精确到1 m)?
4×－4.9×18－14.72
函数有最大值 h＝
≈29.
4×－4.9
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地 面的高度约为29 m.
反思与感悟 (1)求解实际问题一般分成四步，即： 设元—列式—求解—作答. (2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.
跟踪训练1 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在
x 减.当k<0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝－ 2 ，x∈[0,2]，求函数的最
大值和最小值.
x＋1
解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝－x1＋2 1－(－x2＋2 1)
＝－2x2＋1－x1－1＝－ 2x2－x1 .
各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标
原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.
那么水流喷出的高度h(单位：m)与
水平距离x(单位：m)之间的函数关系
式为h＝－x2＋2x＋5 4
，x∈[0，52
].
求水流喷出的高度h的最大值是多少？ 解 由函数 h＝－x2＋2x＋45，x∈[0，52]的图象可知， 函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.
x1－1x2－1 x1－1x2－1
由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以，函数 f(x)＝ 2 在区间[2,6]上是减函数.
x－1 因此，函数f(x)＝ 2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得
x－1 最大值与最小值，
3
探究点二 二次函数在闭区间上的最值 例3 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值. 解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18， 我们有：当 t＝－2×14－.74.9＝1.5 时，
思考2 根据以上讨论，你能给函数的最大值及最小值下个 定义吗？ 答 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满 足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0) ＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
此时函数取得最大值.
对于函数 h＝－x2＋2x＋54，x∈[0，25]， 当x＝1时，函数有最大值 hmax＝－12＋2×1＋54＝94(m). 于是水流喷出的最高高度是94 m.
例 2 已知函数 f(x)＝ 2 (x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. x－1
解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1 ＝2[x2－1－x1－1]＝ 2x2－x1 .
【学案导学与随堂笔记】 2015-2016学年高中数学 （人教版A版必修1）配套课
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数， 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
x1＋1x2＋1
x1＋1x2＋1
由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数. 因此，函数f(x)＝－ 2 在区间[0,2]的左端点取得最小值，
x＋1 右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝ －2 .
反思与感悟 要熟记常见函数的单调性：一次函数y＝kx＋
b(k≠0)，当k>0时单调递增，当k<0时单调递减； 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a>0时，在 －∞，－2ba 上单调递减，在 －2ba，＋∞ 上单调递增，a<0时相反；函 数y＝k (x≠0)，当k>0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递
探要点·究所然
情境导学 同学们，我们班最高的男生是谁？说他最高的根据是什么？ “我们班最高的男生是姚明”对吗？为什么？ 答 我们班最高的男生是A同学，根据是班内任选一名男 生，都一定比A同学矮；不对，因姚明不是我们班的男生.
探究点一 函数的最大(小)Baidu Nhomakorabea的概念
思考1 函数f(x)＝x2，g(x)＝－x2在什么时候取得最大、最小值？ 答 当x＝0时，f(x)取最小值.因函数f(x)＝x2在(－∞，0]上是减函数， 所以当x≤0时，f(x)≥f(0)， 又因函数f(x)＝x2在[0，＋∞)上是增函数，所以当x≥0时，f(x)≥f(0). 从而x∈R，都有f(x)≥f(0). 因此x＝0时，f(0)是函数值中的最小值. 同理，g(x)在x＝0时取得最大值.
思考3 已知函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调，如何求 函数的最值？ 答 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递增， 则f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)； 如果函数y＝f(x)在定义域[a，b]上单调递减， 则f(x)max＝f(a)，f(x)min＝f(b).
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期 望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与 时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花 冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高 度是多少(精确到1 m)?
4×－4.9×18－14.72
函数有最大值 h＝
≈29.
4×－4.9
于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地 面的高度约为29 m.
反思与感悟 (1)求解实际问题一般分成四步，即： 设元—列式—求解—作答. (2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.
跟踪训练1 如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在
x 减.当k<0时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递增.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝－ 2 ，x∈[0,2]，求函数的最
大值和最小值.
x＋1
解 设x1，x2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2)＝－x1＋2 1－(－x2＋2 1)
＝－2x2＋1－x1－1＝－ 2x2－x1 .
各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标
原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.
那么水流喷出的高度h(单位：m)与
水平距离x(单位：m)之间的函数关系
式为h＝－x2＋2x＋5 4
，x∈[0，52
].
求水流喷出的高度h的最大值是多少？ 解 由函数 h＝－x2＋2x＋45，x∈[0，52]的图象可知， 函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.
x1－1x2－1 x1－1x2－1
由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2). 所以，函数 f(x)＝ 2 在区间[2,6]上是减函数.
x－1 因此，函数f(x)＝ 2 在区间[2,6]的两个端点上分别取得
x－1 最大值与最小值，
3
探究点二 二次函数在闭区间上的最值 例3 求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值. 解 ∵函数图象的对称轴是x＝a， ∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是 烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18， 我们有：当 t＝－2×14－.74.9＝1.5 时，
思考2 根据以上讨论，你能给函数的最大值及最小值下个 定义吗？ 答 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满 足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0) ＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.
此时函数取得最大值.
对于函数 h＝－x2＋2x＋54，x∈[0，25]， 当x＝1时，函数有最大值 hmax＝－12＋2×1＋54＝94(m). 于是水流喷出的最高高度是94 m.
例 2 已知函数 f(x)＝ 2 (x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. x－1
解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－2 1－x2－2 1 ＝2[x2－1－x1－1]＝ 2x2－x1 .
【学案导学与随堂笔记】 2015-2016学年高中数学 （人教版A版必修1）配套课
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数， 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.
x1＋1x2＋1
x1＋1x2＋1
由0≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数. 因此，函数f(x)＝－ 2 在区间[0,2]的左端点取得最小值，
x＋1 右端点取得最大值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝ －2 .