习题9.方向导数与梯度
高数2 第九章 方向导数与梯度
第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度三、物理意义l),,(zyxP一、方向导数定义:若函数),,(zyxfρρf∆→0lim则称lf∂∂lf∂∂ρ为函数在点P 处沿方向l的方向导数.ρρ),,(),,(limzyxfzzyyxxf-∆+∆+∆+=→在点),,(zyxP处沿方向l (方向角为γβα,,) 存在下列极限:P'=记作xzyρ∆y∆xρ∆zρz lz ρPΔlim 0→=∂∂P ´P z = f (x,y )x 0y ρρ)()(lim00000→-∆+∆+=y ,x f y y ,x x f Q ρP f P f ρ)()(lim 0-'=→M是曲面在点P 处沿方向l 的变化率，即半切线Plz∂∂MN 方向导数.方向导数几何意义的斜率N,),,(),,(处可微在点若函数z y x P z y x f ),,(z y x P l 定理:则函数在该点沿任意方向l 的方向导数存在,ρρf l f ∆=∂∂→0lim γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂证明: 由函数),,(z y x f )(ρo z zf y y f x x f f +∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∆() ρ=且有)(ρo +在点P 可微,得ρP '故γβαcos cos cos zf y f x f ∂∂+∂∂+∂∂=对于二元函数,),(y x f 为α, β) 的方向导数为方处沿方向在点(),(l y x Pρρ),(),(lim 0y x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→βαcos ),(cos ),(y x f y x f y x +=Plxy o xfl f ∂∂=∂∂特别:•当l 与x 轴同向()有时,2,0πβα==•当l 与x 轴反向()有时,2,πβπα==x f l f ∂∂-=∂∂l向角例1. 求函数在点P (1, 1, 1) 沿向量3)的方向导数.⎝⎛=∂∂∴Plu 1422⋅z y x ⎪⎭⎫⋅+1432y x 解: 向量l 的方向余弦为例2. 求函数在点P (2, 3)沿曲线朝x 增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(=x x 它在点P 的切向量为,171cos =∴α1760=xoy2P⎩⎨⎧-==1 2x y x x )4,1(=174cos =β1-例3. 设是曲面n 在点P (1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解:方向余弦为,142cos =α,143cos =β141cos =γ而P x u ∂∂=∂∂∴Pnu 同理得)1,3,2(2=方向的方向导数.P z y x )2,6,4(146=711=()1143826141⨯-⨯+⨯P y x z x 22866+=在点P 处沿求函数=n n二、梯度方向导数公式γβαcos cos cos zfy f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值方向导数取最大值：⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f G ,,)cos ,cos ,(cos 0γβα=l ,0方向一致时与当G l :G ()G lf=∂∂max1. 定义,f ad r g 即同样可定义二元函数),(yx P 称为函数f (P ) 在点P 处的梯度⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f ,,记作(gradient),在点处的梯度G 说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoy Cz y x f z ⎩⎨⎧==),(C y x f L =),(:*影称为函数f 的等值线.,,不同时为零设y x f f 则L *上点P 处的法向量为P y x f f ),(Pfgrad =o yx 1c f =2c f =3c f =)(321c c c <<设P 同样, 对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时, 其上点P 处的法向量为.grad P f ,),(y x f z =对函数指向函数增大的方向.3. 梯度的基本运算公式()(2)=gradC gradCuu(grad)=grad(4)+uvvuu gradv例 4.证:)(r f '==∂∂y r f )()( grad r f ∴)(1)(k z j y i x r r f++'=r rr f 1)('=rz r f z r f )()('=∂∂0)(r r f '=j y r f ∂∂+)(k z r f∂∂+)(222zy x x++P x o zy,)(r y r f 'i xr f ∂∂=)(试证r x r f )('=处矢径r 的模,r三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数)(P f 梯度场)(grad P f ( 势)如: 温度场, 电位场等如: 力场,速度场等(向量场)注意:任意一个向量场不一定是梯度场.内容小结1. 方向导数•三元函数在点沿方向l (方向角),,γβα为的方向导数为γβαcos cos cos zf y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂•二元函数在点),βα的方向导数为βαcos cos yf x f l f ∂∂+∂∂=∂∂沿方向l (方向角为2. 梯度•三元函数在点处的梯度为⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛=z f y f x f f ,,grad •二元函数在点处的梯度为)),(,),((grad y x f y x f f y x =3. 关系方向导数存在偏导数存在• •可微grad l f lf⋅=∂∂梯度在方向l 上的投影.思考与练习1. 设函数(1) 求函数在点M( 1, 1, 1 ) 处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向的夹角 .曲线1. (1)在点[])1,1,1(cos cos cos γβα⋅+⋅+⋅=∂∂z y x Mf f f l f解答提示:函数沿l 的方向导数lM (1,1,1) 处切线的方向向量)0,1,2(grad )2(=MfM M f l fgrad ∂∂=1306arccos=∴θl cos =θl备用题 1. 函数在点处的梯度解:则注意x , y , z 具有轮换对称性)2,2,1(92-=)2,2,1(92-(92考研)指向B ( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是.在点A ( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数)ln(22z y x u ++=提示:则}cos ,cos ,{cos γβα=)1ln(+x )11ln(2++y (96考研)机动目录上页下页返回结束2121=将二元函数z= f(x , y)在点(x , y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义（2）有极限（3）连续（4）偏导存在（5）方向导数存在（6）偏导连续（7）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）⇒⇒问题：箭头是否可逆？不可逆的试举出反例。
9-9 方向导数与梯度
函数
f
(
x,
y,
z)在P0沿方向l的方向导数,记作¶¶
f l
. ( x0 , y0 , z0 )
l注 (1) 二元函数 f ( x, y)在P0( x0 , y0 )沿方向l(方向角为a , b )
的方向导数为
¶f
= lim f (x0 + t cosa, y0 + t cos b ) - f (x0, y0 )
函数变化0率为零
l注 梯度是一个向量 方向: 方向导数最大值的方向
q =0
q =p p
| grad f (x0, y0 ) | cosq
q=
2
梯度的投影
- grad f (x0, y0 )
¶f
q ¶l ( x0 , y0 )
grad f ( x0, y0 )
大小: 方向导数的最大值
z Ø几何意义
曲线L z = f ( x, y)在xOy面上的投影 z=c
为函数 f ( x, y)在点P0( x0, y0 )的梯度, 记作
grad f ( x0, y0 ), 或Ñf ( x0, y0 ). 即: grad f ( x0, y0 ) = Ñf ( x0, y0 ) = fx ( x0, y0 )i + f y ( x0, y0 ) j, 其中 Ñ = ¶ i + ¶ j 称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子
u例8 求曲面 x2 + y2 + z = 9在点P0(1,2,4)的切平面和法线方程.
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
二、梯度
（一）概念 （二）计算 （三）物理意义
场: 物理量在空间的分布
方向导数和梯度
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P
最优化方法方向导数与梯度例题
最优化方法方向导数与梯度例题一、引言在数学和计算机领域中，最优化方法是一种常用的数学工具，用于解决优化问题。
在这个过程中，方向导数和梯度是非常重要的概念，它们帮助我们找到函数的最大值或最小值。
本文将深入探讨最优化方法中的方向导数和梯度，并通过例题来帮助读者更好地理解这些概念。
二、方向导数与梯度的定义1. 方向导数方向导数是一个向量的数量函数，表示函数在某一点沿着某一方向的变化率。
在数学上，对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在点P0(x10, x20, ..., xn0)处沿着向量v=(v1, v2, ..., vn)的方向导数定义如下：∇f(P0)•v = lim(h→0) [f(P0+hv) - f(P0)] / h其中∇f(P0)表示函数f在点P0处的梯度，v表示方向向量。
2. 梯度梯度是一个向量，表示函数在某一点的变化率最大的方向。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，函数在点P0(x10, x20, ..., xn0)处的梯度定义如下：∇f(P0) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)其中∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数。
三、方向导数与梯度的关系方向导数与梯度之间有着密切的关系。
事实上，当方向向量为梯度的时候，方向导数达到最大值。
这意味着，函数在梯度的方向上的变化率最大。
这也是最优化方法中常用的一种策略，即沿着梯度的方向不断调整自变量，以寻找函数的最大值或最小值。
四、例题分析为了更好地理解方向导数与梯度的概念，我们将通过一个具体的例题来说明。
例题：求函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数和梯度。
解析：我们求函数在点(1, 2)处的梯度。
计算过程如下：∇f(1, 2) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y)|_(1, 2) = (2, 4)我们求函数在点(1, 2)处沿着方向向量(3, 4)的方向导数。
9_7方向导数与梯度精编版
f
x
cos
f y
cos
f z
cos
o
(
)
故: f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
y
z
x
( x)2 cos , y
切向量: T 1, ( x0 ), ( x0 )
M
r r(t)
二、曲面的切平面与法线
o
1. 曲面 ∑: F(x, y, z) = 0
r 法向量: n ( Fx , Fy , Fz )
2. 曲面 : z = f (x, y)
r 法向量: n ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), 1)
0 0
l
( x)2 ( y)2 (z)2 ,
x cos , y cos , z cos
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. l
l
P
P(x, y, z)
2. 定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P (x, y, z) 处可微, 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在, 且有:
设 fx, fy不同时为零, 则 L*上点P 处的法向量为:
( fx , f y ) P grad f P f |P
书上例题见mathematica
y f c3 f c2
P f c1 o x (设c1 c2 c3)
2) 对应函数 u = f (x, y, z), 有等值面: f (x, y, z) = C. 当各偏导数不同时为零时, 其上点 P 处的法向量为:
高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度
x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注 对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解 令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，
高等数学-第9章---(方向导数与梯度)
u
1 (6 x 2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n
的方向
z
导数.
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
Fx
故
Pn 4Fx xP,
4, Fy ,
Fy Fz
P
6 y P 6,
4, 6, 2,
Fz P
2z P
2,
n
42 62 22 2 14,
方向余弦为
cos 2 , cos 3 ,
x cos , y cos , z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f cos f cos f cos .
l x
y
z
例 3 设n 是曲面2 x2 3 y2 z2 6 在点
P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数
PP 两点间的距离 (x)2 (y)2 之比值，
当 P 沿着 l 趋于 P 时，如果此比的极限存在， 则称这极限为函数在点P 沿方向 l 的方向导数．
记为 f lim f ( x x, y y) f ( x, y) .
l 0
依定义，函数 f ( x, y)在点P
沿着x
轴正向e1 {1,0} 、
y 轴正向e2 {0,1}的方向导数分别为 f x , f y ；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 f x , f y .
方向导数的几何意义
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
l
x0
f ( x0 , y0 ) lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
方向导数和梯度习题解答
(2,1,3)
(2
2 1)
ex
(22
21 3)
e
y
(12)e
z
4
e
x
10
e
y
e z
u 在点( 2,1,3 )处的方向导数最大值即为u 在该点处梯度的模 42 102 12 117
2
习题难度：易 标量函数u 沿 l 的方向导数就是梯度在矢量l 上的投影。
4. 已知u ex sin y ，则 gradu 为( )
A. gradu ex sin y ex cos y
B. gradu e sxin y ex e cox s y ey
C. gradu e cxos y ex e coxs y ey
2
2
22 22 (1)2 3
cos
1
1
22 22 (1)2
3
u 1 2 (3) 2 (3) 1 1
l 3
3
3 3
1
3. 关于梯度，下列陈述错误的是( ) A. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数 B. 某点处梯度的大小是指标量函数u 在该点处的最大变化率 C. 某点处梯度的方向就是过该点的等值面的法向矢量 D.标量函数u 沿 l 的方向导数就是矢量l 在梯度上的投影 解析：本题考查梯度的概念，基本知识点
D. gradu e sxin y ex e sixn y ey
解析：本题考查梯度的计算，基本知识点
习题难度：易
gradu
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u x
ex
u y
e
y
u z
e
z
e
sxin
y
e
x
e
cox s
梯度和方向导数
梯度和方向导数
方向导数是一个值，梯度是一个向量。
方向导数
顾名思义，方向导数就是某个方向上的导数。
这里的方向什么是方向？
这个方向是在二维的xy平面上的，而不是三维空间上的方向函数f(x,y)在这个方向上的图像：
我们知道：
函数f(x,y) 的A 点在这个方向上也是有切线的，其切线的斜率就是方向导数：
梯度
很显然，A 点不止一个方向，而是360°都有方向：
每个方向都是有方向导数的：
这就引出了梯度的定义：
梯度：是一个矢量，其方向上的方向导数最大，其大小正好是此最大方向导数。
梯度与方向导数的关系
梯度与方向导数的关系梯度与方向导数是微分学中两个重要概念，它们在多元函数的求导和优化中有着密切的联系。
首先，我们先来介绍一下梯度的概念。
对于一个多元函数，梯度是一个向量，它的方向指向函数在某一点处取得最大增加的方向，其模长表示增加的速率。
梯度通常用符号∇表示，如果函数f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则梯度定义为：∇f(x0,y0,z0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)其中的∂f/∂x表示函数f对变量x求导的偏导数。
可以看出，梯度是一个向量，其分量分别对应于各个变量的偏导数值。
而方向导数，顾名思义，就是函数沿着某一给定方向上的导数。
对于一个函数f(x,y,z)，在点P(x0,y0,z0)处的方向向量为u=(u1,u2,u3)，方向导数定义为：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u其中的·表示向量的点积运算。
可以看出，方向导数是梯度和方向向量的点积，它表示了函数f在给定方向上的变化速率。
那么梯度与方向导数之间有什么联系呢？根据上述定义可以得知，梯度是一个向量，其方向与方向导数的方向相同，且梯度的模长表示了方向导数的大小。
换句话说，梯度可以看作是方向导数的一个特例。
具体来说，若给定一个向量u，如果f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)处可微分，则由方向导数的定义可知：Duf(x0,y0,z0) = ∇f(x0,y0,z0)·u =|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ其中的θ表示梯度向量∇f(x0,y0,z0)与方向向量u的夹角。
根据向量的点乘性质，可以得出：|∇f(x0,y0,z0)||u|cosθ = ∇f(x0,y0,z0)·u也就是说，梯度向量的模长和方向导数的大小是一样的。
当方向向量u与梯度向量的夹角为零时，即u与梯度的方向相同，方向导数取得最大值；当方向向量u与梯度向量的夹角为180°时，即u与梯度的方向相反，方向导数取得最小值。
方向导数和梯度 爬山
方向导数和梯度爬山方向导数和梯度：爬山的启示。
一、爬山的直观感受与数学概念的联系。
当我们爬山的时候，从山脚下到山顶，不同的方向坡度可能不同。
有些方向可能比较陡峭，能让我们快速上升高度；而有些方向则相对平缓，上升的高度变化较慢。
这其实就和方向导数以及梯度的概念有着紧密的联系。
（一）方向导数。
1. 定义。
- 设函数z = f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U(P)内有定义。
自点P引射线l，设x轴正向到射线l的转角为α（逆时针方向为正），P'<=ft(x+Δ x,y +Δ y)为l上的另一点且P'∈ U(P)。
如果极限limlimits_ρ→0(f(x+Δ x,y+Δ y)-f(x,y))/(ρ)存在（其中ρ=√((Δ x)^2)+(Δ y)^{2}），则称此极限为函数z = f(x,y)在点P沿方向l的方向导数，记作(∂ f)/(∂ l)|_P。
- 从爬山的角度来看，方向导数就像是我们从山上某一点沿着某个特定方向前进时，高度的变化率。
例如，我们站在山坡上的一点，朝着某个方向迈出一小步，这个方向上高度的变化与我们迈出的距离的比值，当这个距离趋近于0时，就是这个方向的方向导数。
2. 计算。
- 对于二元函数z = f(x,y)，如果函数z = f(x,y)在点P(x,y)可微，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且(∂ f)/(∂ l)|_P=(∂ f)/(∂ x)|_Pcosα+(∂ f)/(∂ y)|_Psinα，其中(∂ f)/(∂ x)|_P和(∂ f)/(∂ y)|_P分别是函数z = f(x,y)在点P对x和y的偏导数，α是x 轴正向到方向l的转角。
- 在爬山场景中，如果我们知道了在某一点关于东西方向（x方向）和南北方向（y方向）高度的变化率（偏导数），以及我们想要前进的方向与正东方向的夹角α，就可以计算出沿着这个方向高度的变化率（方向导数）。
（二）梯度。
1. 定义。
方向导数与梯度
条等高线上走.
grad f
z f ( x, y)
引例 假设在一间门窗关闭的房屋内, 主人发现 一只蚊子, 接着他在屋内点燃了一支蚊香. 以蚊香为 原点建立空间直角坐标系, 经过一段时间, 测得屋内 任意点(x, y, z)处蚊香的烟气浓度为 2
f f 定义2 向量G , 是函数z = f (x, y)在一 x y 点取得最大方向导数的方向, 也是函数在该点处增长 得最快的方向. 将这个向量 G 称为函数在一点的梯度 (gradient), 记为 gradf , 即 f f f f ( f ) grad f . i j , x y x y ( x , y ) 引用记号 , , 称为奈布拉(Nebla)算符, x y 或称为向量微分算子或哈密顿(W.R.Hamilton)算子. 则梯度可记为 f f gradf , f . x y
引例 假设在一间门窗关闭的房屋内, 主人发现 一只蚊子, 接着他在屋内点燃了一支蚊香. 以蚊香为 原点建立空间直角坐标系, 经过一段时间, 测得屋内 任意点(x, y, z)处蚊香的烟气浓度为
u u0e
( x y
2 2子此时位于点(1,2,4)处, 试问它将沿着哪个方 向飞逃?
( u0 0), 如果蚊子此时位于点(1,2,4)处, 试问它将沿着哪个方 向飞逃? 2
,所以u在点(1,2,4)处的 解 因为 u u0e 9 u(1, 2, 4) 2u0e ( i 2 j k ). 梯度为 根据梯度的定义, u(1, 2, 4) 是在点(1,2,4)处烟气 浓度u增加最快的方向,
方向导数与梯度
方向导数与梯度在多变量微积分和优化理论中，方向导数和梯度是两个重要的概念。
它们提供了函数在某一点处关于不同方向的信息，以及函数在该点处的变化率和方向。
理解这两个概念对于解决各种实际问题，如最优控制、机器学习、图像处理等都至关重要。
方向导数是函数在某一点处沿特定方向的变化率。
给定一个函数f(x)在点x0，对于任意的方向v = (h1, h2,..., hn)，方向导数Df(x0)v 是f(x)在x0处沿v方向的变化率。
具体地，Df(x0)v = lim(h->0) [f(x0 + hv) - f(x0)] / h。
方向导数的重要性在于它提供了函数在某一点处对不同方向的敏感度。
例如，如果你在山峰上沿着不同的方向行走，方向导数可以告诉你哪个方向更容易攀登，哪个方向更困难。
梯度是函数在某一点处所有方向导数的向量。
给定一个函数f(x)在点x0，梯度gradf(x0)是一个向量，其方向是f(x)在x0处增加最快的方向，而其大小是f(x)在该方向的导数。
具体地，gradf(x0) = (f'(x01), f'(x02),..., f'(xn))。
梯度是一个非常重要的概念，因为它提供了函数在某一点处的最大变化率方向。
在很多实际问题中，找到这个最大变化率方向往往能够指引我们找到最优解。
例如，如果你在山峰上寻找攀登最快的方式，梯度可以告诉你应该沿着哪个方向前进。
梯度是方向导数的最大值。
换句话说，对于任意给定的方向v，方向导数Df(x0)v都不超过梯度的长度。
这是因为梯度是所有方向导数向量的范数，即||gradf(x0)|| = max{Df(x0)v : ||v|| = 1}。
这个性质表明，梯度不仅提供了函数在某一点处的最大变化率方向，还给出了沿这个方向的导数（即变化率）。
这使得梯度在优化问题中具有特别的重要性，因为它可以用来找到使函数值下降最快的方向。
方向导数和梯度是多变量微积分和优化理论中的重要概念。
同济版大一高数第九章第七节方向导数与梯度
ln( x + 1)
ln(1 + y 2 + 1)
1 = 2
8
例3. 求函数
在点P(2, 3)沿曲线
朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 x= x y = x2 −1 它在点 P 的切向量为 (1, 2 x) x = 2 = (1, 4) 1 4 ∴ cos α = , cos β = 17 17
2. 梯度的几何意义
等高线的画法
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16
例如, 例如,
函数 z = sin xy 图形及其等高线图形．
17
3. 梯度的基本运算公式
∂f, ∂f, ∂f = ∂x ∂y ∂z
(2) grad (C u ) = C grad u (4) grad ( u v ) = u grad v + v grad u
∂f ∂f ∂f = cos α + cos β ∂l ∂x ∂y
25
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为
∂f ,∂f ,∂f grad f = ∂x ∂ y ∂z
• 二元函数 3. 关系 • 可微 方向导数存在
0
在点
处的梯度为
grad f = ( f x ( x, y ) , f y ( x, y ))
M (1,1,1) 处切ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的方向向量
l
∂f ∂l
在点M (1,1,1) 处 函数沿 l 的方向导数
M
= [ f x ⋅ cos α + f y ⋅ cos β + f z ⋅ cos γ
] (1,1,1)
23
(2) grad f
梯度与方向导数的关系
梯度与方向导数的关系
梯度与方向导数之间存在着密切的关系。
梯度是求取函数极值，其梯度在某一局部或全局点处是最大或最小的矢量，其方向给出了极值可能存在的方向。
而方向导数是描述曲面在某一方向上的变化率和趋势。
它描述从某一点向某一方向变化时函数取值如何变化。
因此，可以看出梯度与方向导数有着密切的关系：梯度表示一个函数在某一点的最大变化率方向，而方向导数表示在此方向的最大函数变化率。
因此，梯度也是描述曲面变化趋势的方向导数。
梯度是指向函数极值的方向，而方向导数则是描述在此方向上函数取值变化速度的量。
所以可以说梯度是一种特殊的方向导数，它表示函数在某一点变化最快的方向，也就是函数极值的趋势。
最后，可以总结梯度与方向导数的关系，即梯度是描述函数极值的方向，而方向导数则是描述在此方向上函数取值变化速度的量。
梯度是特殊的方向导数，其表示函数在某一点变化最快的方向，也就是函数在此处的极值趋势。
9.4 方向导数与梯度
∂(0 )
∂
∂
或 ฬ .
∂
0
与二元情况类似, 设方向 l 的方向角为α、 β、 γ, 则
(0+cos,0 +cos,0 +cos)−(0 ,0 ,0 )
.
f 'l (P0) = lim+
→0
当f(x, y, z)在点P0处可微时, 其方向导数的计算公式为
其最大变化率为设函数ufxyz在点p0x0y0z0的某一邻域内有定义又设l是从点p0出发的一条射线点pxyz是l上异于点p0的一点若以表示点p与点p0的距离lim????0?????????????????0????存在当点p沿着l趋于点p0时则称此极限为函数ufxyz在点p0处沿方向l的方向导数记作flp0不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数
f 'l (P0) =grad f(P0)·l0.
⑤
它表示可微函数在点P0处沿方向 l 的方向导数等于该函数
在点P0处的梯度与方向l上的单位向量l0的数量积.
若用θ表示方向l与梯度gradf(P0)之间的夹角, 则
f 'l (P0) =|grad f(P0)||l0|cosθ
=|grad f(P0)|cosθ.
解
因为
∂
ቤ =4,
∂
0
∂
ቤ =12,
∂
0
所以在点P0 (2, 3)处的梯度为
gradT(P0)=4i+12j,
这就是在点P0处温度增加最快的方向, 其最大变化率为
|gradT(P0)|=4 10.
不难将方向导数和梯度概念推广到三元函数.
设函数u=f(x, y, z)在点P0(x0, y0, z0)的某一邻域内有定义,