工程力学 材料力学 第06章
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 内力分析
习题6-1图习题6-2图习题6-3图 工程力学（静力学与材料力学）习题第6章 杆件的内力分析6－1 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。
试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。
（A ）)(d d Q x q x F =；Q d d F x M=； （B ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F x M-=； （C ）)(d d Q x q x F -=，Q d d F x M=； （D ）)(d d Q x q x F =，Q d d F xM-=。
正确答案是 。
6－2 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。
正确答案是 。
6－3 已知梁的剪力图以及a 、e 截面上的弯矩M a 和M e ，如图所示。
为确定b 、d 二截面上的弯矩M b 、M d ，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。
（A ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M -+=； （B ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M --=； （C ）)(Q F b a a b A M M -+=，)(Q F d e e d A M M --=； （D ）)(Q F b a a b A M M --=，)(Q F d e e d A M M -+=。
上述各式中)(Q F b a A -为截面a 、b 之间剪力图的面积，以此类推。
正确答案是 。
6－4 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。
习题6-4图6－5 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。
习题6-5图6－6 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。
习题6-6图6－7 应用平衡微分方程，试画出图示梁的剪力图和弯矩图，并确定 max Q ||F 。
工程力学 第六章
度 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
稳 定 问 题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
工程背景
稳 定 问
压杆
题
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
稳 定 问 题
压杆的弹性稳定性分 压杆的弹性稳定性分 析试验
压杆在实验中 的失稳现象
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、
3、小变形问题：在静力平衡求约束力时，变形 、 在静力平衡求约束力时，
体的变形可忽略不计。按刚体静力学分析计算。 体的变形可忽略不计。按刚体静力学分析计算。
弹性体模型的理想化 各向同性与各向异性 微观各向异性，宏观各向同性； 微观各向异性，宏观各向同性； 微观各向异性，宏观各向异性。 微观各向异性，宏观各向异性。 均匀连续问题 微观不连续 ，宏观连续 。
拉杆 桥面
江阴长江大桥缆索
缆索
长度可调的拉杆
防掸护栏
工程构件的强度、刚度和稳定问题 工程构件的强度、 强度— 强度— 不因发生断裂或塑性变形而失 破坏）。 效（破坏）。 刚度— 刚度— 不因发生过大的弹性变形而失 丧失承载功能）。 效（丧失承载功能）。 稳定性— 稳定性— 不因发生由于平衡形式的突然 转变而失效。 转变而失效。
应变
概念和定义
正应变与切应变
线变形与剪切变形，这两种变形 线变形与剪切变形， 正应变” 程度的度量分别称为 “ 正应变” 切应变” ( Normal Strain ) 和 “ 切应变” (Shearing Strain), 分别用 ε 表示。 和 γ 表示。
应变
若干概念和定义
正应变 (Normal Strain)
FP1 y ∆FQy
《工程力学(静力学与材料力学)》第6章 静力学专题
谢传锋:工程力学(静力学)
6
静力学
木桁架节点
§1 桁架
榫接
谢传锋:工程力学(静力学)
7
静力学
钢桁架节点
§1 桁架
铆接
谢传锋:工程力学(静力学)
焊接
8
静力学
钢筋混凝土桁架节点
§1 桁架
刚接
谢传锋:工程力学(静力学) 9
静力学
桁架模型简化的基本假设
§1 桁架
假设1：各杆件都用光滑铰链相连接
谢传锋:工程力学(静力学) 10
40
解：取梯子为研究对象,
P
C D
W
F
B
Fs
FB
谢传锋:工程力学(静力学)
静力学
FA
A
§2 摩擦
W a a W Fs tan F (1 ), FB W , FA F tan 2 L L 2
W
C D
F
B
维持平衡的条件: FA 0 FS f FB
Fs
FS f FB
x
FN1 = 0 FN 2= 0
谢传锋:工程力学(静力学)
16
静力学
§1 桁架
例题： 试确定图示桁架中的零力杆 FP
C A G
E
H
I
D
B
FP
谢传锋:工程力学(静力学)
17
静力学
§1 桁架
节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系）
2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程
1
问题1: 在图示桁架中, 哪些杆件为零力杆? 问题2: 在图示桁架中, 杆1的内力如何求?
F
W
F F M
x
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学--材料力学(第五、六章)经典例题及讲解
P
A
0.5 m
C D
0.4 m 1m
B
20
40
解：C点的应力 σ C = E ε = 200 × 10 3 × 6 × 10 − 4
= 120M Pa
C截面的弯矩
M C = σ C W z = 640 N ⋅ m
由 M C = 0.5 R A = 0.5 × 0.4 P = 0.2 P = 640 N ⋅ m 得 P = 3.2kN
度减小一半时，从正应力强度条件考虑， 该梁的承载能力将是原来的多少倍？ 解： 由公式
σ max
M max M max = = 2 Wz bh 6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2 可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD AB，跨度为l 采用加副梁CD
的方法提高承载能力， 的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同， 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？ 为多少？
2 2
2
bh b( d − b ) Wz = = 6 6
2 2 2
∂ Wz d 2 b 2 = − =0 ∂b 6 2
d 由此得 b = 3
d
2 2
h
h = d −b =
h = 2 ≈3:2 b
2 d 3
b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、 12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示 已知材料许用拉、 的铸铁梁受力如图示,
10 kN / m
200 2m 4m 100
10 kN / m
200
2m
Fs( kN ) 25 Fs(
45 kN
4m
100
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版第六章习题答案
第六章习题6—1 用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。
已知梁的抗弯刚读EI为常数。
6-4阶梯形悬臂梁如图所示，AC段的惯性矩为CB段的二倍。
用积分法求B端的转角以及挠度。
6-5一齿轮轴受力如图所示。
已知：a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在轴承处的许用转角[]=0.005rad。
近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。
回答：6-6一跨度为4m的简支梁，受均布载荷q=10Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁由两个槽钢组成。
设材料的许用应力[]=160Ma,梁的许用挠度[]=。
试选择槽钢的号码，并校核其刚度。
梁的自重忽略不计。
6-7两端简支的输气管道，外径D=114mm。
壁厚=4mm,单位长度重量q=106N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。
设管道的许用挠度试确定管道的最大跨度。
6-8 45a号工字钢的简支梁，跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。
若梁的最大挠度不得超过，求梁所能承受的布满全梁的最大均布载荷q。
6-9一直角拐如图所示，AB段横截面为圆形，BC 段为矩形，A段固定，B段为滑动轴承。
C端作用一集中力P=60N。
有关尺寸如图所示。
材料的弹性模量E=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。
试求C端的挠度。
提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。
C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受集中力P作用于C端产生的挠度，；（2）AB杆受扭转在C锻又产生了挠度，。
最后，可得C端的挠度6-10、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量BC梁中点的挠度来确定卡头A处作用的力P，已知,梁截面宽b=60mm,高h=40mm,材料的弹性模量E=210Gpa。
材料力学(I)第六章
(2) 几何方程
L2
( L3 ) cos L1
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
15
(3)、物理方程及补充方程：
FN 1L1 FN 3 L3 ( ) cos E1 A1 E3 A3
(4) 、解平衡方程和补充方程，得:
FN1 FN 2
E1 A1 cos2 L3 1 2 cos3 E1 A1 / E3 A3
FN 1L FN 3 L 得: cos E1 A1 cos E3 A3
5）联立①、④求解：
FN ! F
④
E 3 A3 2 co s E1 A1 co s2
FN 3
F E1 A1 1 2 co s3 E A
材料力学(Ⅰ)电子教案
简单的超静定问题
[例2-19]刚性梁AD由1、2、3杆悬挂，已知三杆材料 相同，许用应力为[σ ]，材料的弹性模量为 E，杆长 均为l，横截面面积均为A，试求各杆内力。
5
1.比较变形法 把超静定问题转化为静定问题解，但 必须满足原结构的变形约束条件。
[例2-16] 杆上段为铜,下段为钢杆，
E1 A1
A
1
上段长 1 , 截面积A1 , 弹性模量E1 下段长 2 , 截面积A2 , 弹性模量E2
杆的两端为固支,求两段的轴力。
C
E 2 A2
F
FB
B
2
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B 解： 端解除多余约束，代之以约束反力RB
2E1 A1 cos3 FN 3 3 L3 1 2 cos E1 A1 / E3 A3
例2-22
材料力学(Ⅰ)电子教案
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论
单元体的各个面均为主平面，其上的主应力为： 单元体的各个面均为主平面，其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态（空间应力状态） 、三向应力状态（空间应力状态） 定义：三个主应力均不为零。 定义：三个主应力均不为零。 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点 的单元体 的单元体， 例如：导轨与滚轮接触点处，取导轨表面任一点A的单元体， 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用，属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明， 前面的分析结果表明，在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的，过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点” 因此，当提及应力时，必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力，又有切应力，应如何建立其强度 如果危险点既有正应力，又有切应力， 条件？ 条件？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 如何解释受力构件的破坏现象？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 对组合变形杆应该如何进行强度计算？ 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义：过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素： 一点的应力状态的四要素： ）、应力作用点的坐标 （1）、应力作用点的坐标； ）、应力作用点的坐标； ）、过该点所截截面的方位 （2）、过该点所截截面的方位； ）、过该点所截截面的方位； ）、应力的大小 （3）、应力的大小； ）、应力的大小； ）、应力的类型 （4）、应力的类型。 ）、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， 对受到轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲等基本变形的杆件， ）、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单， 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，受力简单，可直 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力，建立相应的强度条件。
工程力学材料力学部分习题
工程力学——材料力学部分习题第六章变形体力学基础是非判断题1．材料力学是研究构件承载能力的一门学科。
（）2．材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。
（）3．材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。
（）4．因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（）5．外力就是构件所承受的载荷。
（）6．材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。
（）7．用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
( )8．压强是构件表面的正应力。
（）9．应力是横截面上的平均内力。
（）10．材料力学只研究因构件变形引起的位移。
（）11．线应变是构件中单位长度的变形量。
（）12．构件内一点处各方向线应变均相等。
（）13．切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角角度的变化量。
（）14．构件上的某一点，若任何方向都无应变，则该点无位移。
（）15．材料力学只限于研究等截面直杆。
（）16．杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭、和弯四种，如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
（）填空题17．构件的承载能力包括____________、___________和____________三个方面；根据材料的主要性能作如下三个基本假设___________、___________、____________。
18．构件的强度是指___________________________________________________________；刚度是指_________________________________________________________________________；稳定性是指_______________________________________________________________________。
19．在材料力学中分析杆件内力的基本方法是__________，步骤是_____________________。
工程力学(静力学与材料力学)-6-圆轴扭转
Me
Me
Me
Mx
n
_
Mx
2021/3/7
13
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
School of Life and Environmental Science
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方 向所有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外 力偶矩。
当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴 各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用截面法确定各 段横截面上的扭矩。
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动
轴计算中，通常给出传动功率P和转递n，则传动轴所受的外
加扭力矩Me可用下式计算：
Me
9549P n
[Nm]
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
Me 7024nP[r[马 /m 力 in]] [Nm]
Me
Me
Me
Mx
Mx n
+
2021/3/7
12
School of Life and Environmental Science
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的 内力——扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截面上 将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩, 称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
4
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
2021/3/7
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School of Life and Environmental Science
工程力学第六章答案 梁的变形
第五章 梁的变形测试练习判断改错题梁上弯矩最大的截面 挠度也最大 弯矩为零的截面 转角亦为零 （ ）两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（ ）悬臂梁受力如图所示，若 点上作用的集中力 在 段上作等效平移，则 截面的转角及挠度都不变。
（ ）图示均质等直杆（总重量为 ），放置在水平刚性平面上，若 端有一集中力 作用，使 部分被提起， 部分仍与刚性上剪力和弯矩均为零。
（ ）挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
（ ）等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（ ） 两简支梁的抗刚度 及跨长 均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。
题 图题图（ ）简支梁在图示任意荷载作用下，截面 产生挠度和转角，若在跨中截面 又加上一个集中力偶 作用，则梁的截面 的挠度要改变，而转角不变。
一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ）图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有 个积分常量。
（ ）．填空题挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在 和 。
已知图示二梁的抗弯度 相同，若使二者自由端的挠度相等，则=21P P。
题 图 题图题 图题 图题应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。
在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。
用积分法求图示的外伸梁（ 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。
用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 ，连续条件是 。
图示结构为 次超静定梁。
纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩 的关系为 ，其变形曲线为 曲线。
两根 值相同、跨度之比为 ： 的简支梁，当承受相同的均布荷载 作用时，它们的挠度之比为 。
材料力学第六章知识点总结
P
材料力学
y C y C1
§6-2 挠曲线的微分方程
F x 1.挠度：横截面形心沿垂直 于轴线方向的线位移。用 y 表示。向上为正，反之 为负。
一、度量梁变形的两个基本位移量
θ
θ
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用θ 表示。横截 面从变形前转动到变形后，逆时针为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠 曲线。其方程为： y = y(x)
CB 段： a ≤ x 2 ≤ l
C
B
θB x
FBy
FAy x1
ymax
x2
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 EIθ 2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) 2l 2 6l Fb 3 F Fb 2 3 EIy2 = x2 − ( x2 − a ) − (l − b 2 ) x2 6l 6 6l
4）由位移边界条件确定积分常数
x 1 2 1 3 C = − Fl , D = Fl l 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EIθ = F ( x − l ) − Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIy = F ( x − l ) − Fl x + Fl 6 2 6
6）确定最大转角和最大挠度
x = 0, x = 0,
θA = 0
yA = 0
y
A
yB
F
B
θB
x
x = l,
θ max
Fl 2 = θB = − , 2 EI
ymax
Fl 3 = yB = − 3EI
材料力学
例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最 大挠度，梁的EI 已知，l=a+b，a>b。 解 1）由梁整体平衡分析得： Fb Fa F Ax = 0 , F Ay = , F By = l l 2）弯矩方程 AC 段：
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案_范钦珊主编_第6章_圆轴扭转
该轴的扭转强度是安全的。
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8
3
习题 6－5 图
解：1． τ 1 max =
Mx T T 3 × 10 3 × 16 = = = = 70.7 MPa WP WP π π× 0.06 3 d3 16
A1
2． M r =
∫
ρ ⋅ τdA =
∫
r
0
ρ⋅
2πM x r 4 Mx ρ ⋅ 2πρ d ρ = ⋅ 4 Ip Ip
Mr r4 r4 1 2π 2π 16r 4 15 = = = = 16 × ( ) 4 = = 6.25% 4 4 Mx 16 4I p 60 d d π 4⋅ 32 Mx T = 3． τ 2 max = =75.4MPa Wp 1 4⎞ π d3 ⎛ ⎜1 − ( ) ⎟ 16 ⎝ 2 ⎠
16 M x
3 π d1
=
16 M x
3 π D2 (1 − α 4 )
即
d1 = (1 − α 4 ) 3 D2
1
（a）
二者重量之比
W1 A1 d2 = = 2 1 2 W2 A2 D2 (1 − α )
（b）
式（a）代入式（b） ，得
W1 (1 − α 4 ) = W2 1−α2
2 3
所以，正确答案是
16 M x 3 16 × 10.53 × 10 6 = = 96.3 π [τ ] π × 60
（3）按刚度条件求轴的直径
θ=
Mx ≤ [θ ] GI P
[θ ] = 1D / 2m =
π
180 × 2 × 10 3
rad/mm
6
D≥4
32M x 32 × 10.53 × 10 6 =4 = 110.6mm Gπ [θ ] 82 × 10 3 π [θ ]
工程力学：06第六章 材料力学概述
工程力学
工程力学
Engineering Mechanics
工程静力学
Engineering Statics
材料力学
Mechanics of Materials
工程静力学
研究物体的受力分析、力系的等效替换 （或简化）、建立各种力系的平衡条件．
材料力学
研究构件在外力作用下的变形、受力和 破坏规律，为合理设计构件提供有关强度、 刚度和稳定性分析的基本理论和方法。
组合变形：由两种或两种以上的基本变形共同组 成的变形
弯拉（压）变形
弯扭变形
偏心拉压
P
I
注意：外力的正负号取决于坐 标，与坐标轴同向为正， 反之 为负。
II
P
P
I
SX=0：-N'+P=0 N'
N'=P
N
x
SX=0：+N-P=0
N=P
x
II
P
杆件横截面上的应力
应力是内力分布的集度，可以理解为是单 位面积的内力
正应力 垂直于截面的应力
剪应力
平行于截面的应力
lim FN
A0 A
>0
<0
>0
<0
线弹性材料的应力－应变关系
对于工程中常用材料，试验结果表明：若在弹性范围内加 载（应力小于某一极限值），对于只承受单向正应力或承 受切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力与切应变 之间存在着线性关系。即
x E x
or
x
x
E
x Gg x
or
g
x
x
G
E或G为与材料有关的弹性常数；E称为弹性模量或杨氏模 量；G称为切变模量。上述应力应变关系陈为材料的本构 关系，对于线弹性问题，称为虎克定律。
工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
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C v f C1
dx
dw
P x
2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =w(x)
小变形
dw 三、转角与挠曲线的关系： tg dx
1 0.0175rad w' (1)
12
13
14
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
15
一、挠曲线近似微分方程
1 M z ( x) EI z
(1)
w M>0
由高等数学的知识：
w "( x) 0
w M<0 w "( x) 0
x
1 w "( x) 小变形 3 x (1 w '2 ) 2
x
0 .5 L
f qC f dPC 0
q 0 b 2 (3 L2 4 b 2 ) q 0 L4 db 2 4 E IL 240 EI
34
[例6] 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。 L1 A f L1 A
刚化AC段C
L2 C f
P B x
f f1 f 2
等价 C f 等价 A f
静不定度 为2度
36
静不定梁分析 f A EI L q0 1、处理方法：变形协调方程、 x 物理方程与平衡方程相结合，求 B 全部未知力。
=
MA A L
q0 B
解：建立静定基 确定超静定次数，用反力 代替多余约束所得到的结构— —静定基。
q0 A L B RB
37
q0 A L B RB
几何方程——变形协调方程
P＝20kN D a E
2 x4 M x 2q 15 x 2 DE: 4 x 6 1 M x 2q 30 q x 4 2
BD:
qx 2 M x 2
0 x2
A
D (+) 10kN•m
E
25
P＝20kN 对M(x)作两次积分，得 到分段的挠曲线方程： A AB: q=10kN/m B a a＝ 2m D a E
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
f a P L x
max
f max
Pa 2 (a) 2 EI
Pa 2 f ( L) 3L a 6 EI
24
例：如图所示的梁，试计 算其挠曲线 A 解：首先计算梁的弯 矩，绘制弯矩图， AB: q=10kN/m B a a＝ 2m 20kN•m (-) B
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
30
31
P A C a P A a
q B
[例4] 按叠加原理求A点转角和C 点挠度。 解、①载荷分解如图
=
B
②由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 4 EI
2
f PC f qC
Pa 3 6 EI
+
q B
A
qa 3 qA 3 EI
5qa 4 24 EI
22
应用位移边界条件求积分常数
f a L P x
1 3 EIf (0) Pa C2 0 6 1 2 EI (0) Pa C1 0 2
(a ) (a )
f (a ) f (a )
C1 D1
C1a C2 D1a D2
=
A
RB LBC qL4 RB L3 8 EI 3EI EA qL4 RB LBC L3 8I ( ) A 3I
w "( x)
M z (x) w "( x ) EIz
M x w" 2 EI z
式（2）就是挠曲线近似微分方程。 16
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
E Iw " ( x ) M ( x )
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EIw"( x) M ( x)
1 1 2 C 1 D1 Pa ; C 2 D 2 Pa 3 2 6
23
写出弹性曲线方程并画出曲线
P 6EI f ( x) P 6EI
3 2 3 ( x a ) 3 a x a 2 3 3 a x a
梁的边界条件 固定铰支座和可动铰支座 固定端自由端 滑动固定端自由端 固定和可动铰 支座 固定端 滑动固定端 自由端 y=0 y=0 y= ~ y= ~ =~ =0 =0 = ~ Q= ~ Q= ~ Q=0 Q=0 M=0 M= ~ M= ~ M=0
19
位移条件
静力条件
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 (1),解: 建立坐标系并写出弯矩方程
32
P A C a P A a
q B
Pa PA 4 EI
2
f PC f qC
Pa 3 6 EI
qa 3 qA 3 EI
5qa 4 24 EI
=
B
③叠加
A
PA
qA
A
q B
a2 ( 3 P 4 qa ) 12 EI
+
5 qa 4 Pa 3 fC 24 EI 6 EI
29
§6-3
按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
(P Pn ) 1 ( P 1、P 2、 1 ) 2 ( P 2 ) n ( P n)
f (P Pn ) f1 ( P 1、P 2、 1) f2 (P 2 ) f n ( P n)
1
弯曲问题的分析过程： 弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
解决刚度问题
尽量从理论上分析 —— 一般 然后实验上验证 —— 个别
2
拉压 扭转 弯曲
பைடு நூலகம்
伸长量 转角 挠度deflection 转角rotation
工程上的梁变形问题不容忽视
•影响使用 •引发破坏 •产生不安全感 •减少冲击、振动 •利用变形作为开关 提高性能
0 x2
1 4 f x qx c0 x c1 24
BD:
2 x4
2
5 f x 15 x x3 c2 x c3 2 DE: 4 x 6 5 3 2 f x x 10 x c4 x c5 6
26
弯矩图三段，共6个 积分常数 需6个边界条件和 连续条件
33
[例5] 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图 q0 C x 0.5L f
f
dPC
b dx 0.5L x
2 bq 0 d P q ( x )d x db L
由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。
( d P )b (3 L2 4 b 2 ) 48 EI
叠加
q 0b 2 (3 L2 4 b 2 ) db 2 4 E IL
35
=
L2 P B L2
刚化BC段
L2
P Bx f1
+
L1 A
P B
L1 C
P L2 M B x
C
f2
§6-4 简单超静定梁的求解方法 梁的静不定度 多与约束：多余维持平衡所必需的约束，与其相应的支座反 力或是支座反力偶矩统称为多余支座反力。静不定度：多与 约束或是多余支座反力的数目。 静不定度 为1度
3
梁的强度 梁的刚度
保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 保证梁不发生过大的变形
过大变形的危害: 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。 例2：高层建筑上部变形过大，会使其中的居民产生不安全感。
4
第六章
§6–1 概述
弯曲变形
§6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 §6–5 §6–6 简单超静定梁的求解方法 梁的刚度校核 如何提高梁的承载能力
①写出弯矩方程；若弯矩不能用一个函数给出 要分段写出, 或者用奇异函数表示。
②由挠曲线近似微分方程，积分出转角、挠度函数
③利用边界条件、连续条件确定积分常数 如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数
28
积分法求梁变形 ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲 ②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、 连续条件）确定 ④优点——使用范围广，精确； 缺点——计算较繁
B点：f B 0, B B D点： f D f D ,
E点：f E 0
A
P＝20kN q=10kN/m B a a＝ 2m D a E
D D
df 同时，利用 dx
将边界条件带入挠曲线方 程，就可以确定6个积分 常数
27
积分法求梁变形的基本步骤：
21
(2),解：建立坐标系并写出弯矩方程
P( x a ) M ( x) 0 (0 x a ) (a x L)
f
a L (2)
P
x
写出微分方程并积分
P ( x a ) (0 x a ) EIf ( a x L) 0 1 3 1 2 P ( x a ) C1 x C 2 P ( x a ) C1 EIf 6 EIf 2 D1 x D 2 D1
f B f Bq f BR B 0