jkxclcg_渐开线齿轮齿根应力分析

* f
=
4 cos
- ( ha* + c* ) sin 1- sin
( 10)
当
* f
取到最大时, 齿根最大应力降至最低, 这与
单圆角刀具加工出的齿轮强度高于双圆角刀具加工出
的齿轮[ 5] 的结论相符合。
改变压力角 和齿顶高系数、齿顶间隙的值将导
致
* f
的最大值发生变化,
致使
* f
值的调整范围增
大或减小。表 1 为不同压力角
和 ha* 、c * 时,
* f
的
最大值。
表1
不同参数时,
* f
的最大值
= 15
= 21
= 25
h a* h a* = 1 h a* = 0. 9 ha* = 1 ha* = 0. 9 ha* = 1 ha* = 0. 9
c * c* = 0. 25 c * = 0. 3 c * = 0. 25 c * = 0. 3 c * = 0. 25 c* = 0. 3
( 4)
过渡曲线上待求点处的切线与轮齿对称
线之间夹角, rad
过渡曲线上各点处的曲率中心轨迹和最大、最小曲率
半径位置图。从图 2 中得知, 随着 x 值的增大, 过渡曲
线的曲率半径值随之增大。
为验证式( 9) 的精度, 可对等距线的曲率半径计算 结果、式( 9) 计算结果及仿真曲率半径( 范成法加工形
其中, cj 为渐开线齿廓曲线与齿根过渡曲线交点处的
渐开线摆角。
齿根过渡齿廓曲线数学模型
x=
r cos
+ (r
-
Shf
) sin
(
+ cos
1)
1
( 2)
y=
rsin
(r
-
S hf
)
cos
(
+ cos
1)
1
式中 S hf
渐开线摆角, cg
Sf / r
包络点距刀具中垂线的距离,
Shf = Sf + f ( 1- f 2cos2 ) - 0. 5cos
用的数学模型有足够的工程精度。
10
机械传动
2007 年
2 齿根应力计算数学模型
2. 1 齿根应力计算数学模型 目前国内对齿根应力的数值分析多采用文献[ 5]
中的基于延伸渐开线等距曲线的折截面法和平截面法
进行数学求解。该文证明折截面法比平截面法精确。
本文将以折截面法为齿根应力计算基础公式, 在任意
转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型上得到应力计算
( 7)
H 其意义见文献[ 3]
H = 3 S + 2cos 2 2( S ) 2
- cos
+
(
S + cos ( S )2
)2 - ln
cos
cos +
S)
( 8)
其中, j 为式( 1) 中的 ; g 、 1 为式( 2) 中的 、 1; x g、 yg 为由式( 2) 所求出的过渡曲线上待求点的坐标值; 为过渡曲线上待求点的曲率半径( mm) ,
1 渐开线齿轮的齿廓数学模型
1. 1 渐开线齿轮的齿廓数学模型 渐开线齿轮的齿廓由齿顶圆弧、渐开线齿廓曲线、
齿根过渡圆弧、齿根圆弧 4 段曲线方程构成[ 6] 。而齿 顶圆弧、齿根圆弧可在各软件 环境中生成, 故不需考 虑。令参考文献[ 6] 中的式( 14) 、式( 15) 的 = 0, 并改 写式( 15) , 使其与式( 14) 形式相近, 整理可得, 渐开线 齿廓曲线的数学模型为
1 包络点的端面压力角
1=
arctan
(r
- Hf - Sf
)
其中, cg 为齿根过渡曲线与渐开线齿廓曲线交点处的
渐开线摆角; f 为齿根过渡曲线的离心率,
f=
cos2 t - cos2 cos2 cos4 t
式( 1) 、式( 2) 中其他参数的意义及计算详见文献[ 6~
10] 。
1. 2 模型精度分析
第 31 卷 第 2 期
渐开线齿轮齿根应力分析
11
比大齿数齿轮大。
3 齿根应力分析
渐开线齿 轮的刀 廓构 成参 数为 m、 、ha* 、c* 、
* f
, 各参数的不同取值将直接影响齿轮的齿廓形状,
同时也影响齿轮的应力分布、齿根最大应力值。任意
转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型能对各基本参数
任意进行组合, 本数学模型可完成渐开线齿轮的刀廓
成的包络线) 测量值进行分析对比。
对 m= 3mm,
= 20 , z = 22,
* f
=
0.
38,
值分别
为 8 、16 的齿轮使用上述三种方法进行曲率半径的计
算和实测, 图 3 为式( 9) 计算结果、等距线的曲率半径
计算结果、仿真曲率半径( 范成法加工形成的包络线)
测量值的分析对比图。图 3 中按公式( 9) 计算的曲率 半径和仿真曲率半径的测量值非常接近。
廓数学模型的精度得以保证, 而式( 9) 中的曲率半径值
的精度有待进一步分析比较。
2. 2 曲率半径的分析比较
图 2 为 m= 3mm, z = 30, f = 0. 38, = 10 时齿轮
图 3 曲率半径比较
数据表明, 当螺旋角为零时, 等距线的曲率半径计 算公式计算结果与式( 9) 计算结果和仿真曲率半径的 测量值完全吻合。当螺旋角不为零时, 随着螺旋角的 增加, 等距线与渐开线交点位置逐渐右移, 按等距线的 曲率半径计算公式计算的曲率半径 值误差逐渐增 大, 导致计算齿根过渡曲线上每点的局部应力值出现 较大的误差; 而式( 9) 的计算结果在不同螺旋角下非常 接近实测结果, 因此, 式( 9) 的适应范围更广, 在齿轮螺 旋角 不为零时, 其精度高于等距线的曲率半径计算 公式。
表 2 不同压力角 时, 式( 3) 的各计算值
m= 3mm, z = 30, = 0
图4
不同
ha*
、c * 、x *
、时
* f
对
max的影响
图5
不同 m 、z 时
* f
对
max的影响
3. 1. 1 刀尖圆弧半径对最大齿根应力的影响 刀
尖圆弧半径 对齿根最 大应力的 影响比较 明显, 随着
* f
的增大, 齿根的切削量减少,
S
增大, 齿根最大应力
不断减小( 图 4、图 5) 。尤其在小模数、少齿数时, 减少
的幅度很大, 而在大模数时或小模数、多齿数时, 其减
少的幅度明显变小, 甚至没有变化( 图 5) 。这表明, 在
小模数、少齿数时, 为了提高齿轮的弯曲强度, 可以在
允许的范围内增大刀尖圆弧半径。
* f
最大值( 单圆角
= 2(H f cos
1+ ( Shf - Sf ) sin sin2 1
1-
rHf sin r sin 1+
1
Hf
( 9)
其它变量的意义详见参考文献[ 5~ 9] 。
从齿根应力计算数学模型中可知, 在相同载荷和
作用位置下, 齿根过渡曲线上每点的局部应力值与 S、 、 值有关。其中 S 、 值的精度可由渐开线齿轮齿
第 31 卷 第 2 期
渐开线齿轮齿根应力分析
9
文章编号: 1004- 2539( 2007) 02- 0009- 05
渐开线齿轮齿根应力分析
( 长沙大学机电工程系, 湖南 长沙 410003) 贺 静 夏尊凤 唐 勇 张志强
摘要 提出了基于任意转角位置的渐开线齿轮齿廓数学模型的齿根任一点局部应力的折截面法计 算数学模型, 并验证了该数学模型中曲率半径计算公式的准确性。运用该数学模型实现了不同的刀廓 构成参数和齿轮齿数对齿根最大应力、应力分布影响的数值分析。其计算结果将为渐开线齿轮设计、参 数优化选择等提供参考数据, 同时为齿根应力数值分析提供了新的数学模型。
计算数据同时表明, 当齿数变小时, 过渡曲线的曲 率半径变化范围增大, 以 = 8 为例, 当 z = 16 时, max = 4. 743, min = 1. 66; 当 z = 22 时, max = 3. 96, min = 1. 34。小齿数齿轮 相应位置的 值均大 于大齿数齿 轮, 这将导致小齿数的齿轮齿根应力沿齿根变化范围
= - g- 1- 2
( 5)
ht F 力作用线 与轮齿对 称线的交 点到过
渡曲线上待求点处的法线与轮齿对称线
的交点之间的距离, mm
ht=
rb cos
-
S [ cot(
2-
arctan
yg xg
)
-
tan
]
( 6)
F 力作用线与轮齿对称线的垂线之间
夹角, rad
图 2 过渡曲线的曲率中心
= j + t- z
* f
0. 5871 0. 6045
0. 4446
0. 4725 0. 3179 0. 3545
3. 1. 2 压力角对最大齿根应力的 影响 表 2 为 3 种不同压力角时, 式( 3) 的各计算结果值。随着压力角
的增大, 齿面曲率半径减 小, ht 、H 增 大, 但由于危 险截面齿厚 S 增大, 1/ S 减小, 且 1/ S2 的变化率大于 ht H 的变化率, 从而使齿根应力减小。表 2 中当压 力角 从 20 增至 25 时, 齿根应力下降了 17% 。
关键词 渐开线齿轮 数学模型 齿根应力 刀廓构成参数
引言

渐开线齿轮是各种机械传动中的常用零件, 齿根 应力的大小将直接影响齿轮的承载能力和寿命。国内 外在齿根应力研究方向上作了不少有益的工作[ 1~ 5] 。 但是, 目前对齿根过渡曲线形状的精确描述有待进一 步商榷, 而齿根过渡曲线数学模型的精度将直接影响 齿根应力分析的结果。目前建立渐开线齿轮齿廓模型 的方法有: 刀具轮廓包络法、坐标变换法 和分段描述 法。刀具轮廓包络法难以准确地求出轮廓线上点的坐 标; 坐标变换法对齿根部分的描述不全面且计算工作 量相当大; 分段描述法对齿根过渡曲线的描述采用等 距线[ 5] 来描述, 其结果在螺旋角不为零时存在着误差, 且等距线方程中的各参数不能任意组合。