连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
连续时间系统的时域分析
B1 cos t B2 sin t
t pe t sin t B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t t pe t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
结论（不做要求）：
第
17
页
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak ekt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
方程右端自由项为 44,因此令特解 ip t B, 代入式(1)
10B 4 4 要求系统的完全响应为
B 16 8 10 5
i t
A1e2t
A2e5t
8 5
t 0
(3)
确定换路后的i0
和
d dt
i
0
换路前
et 4V
2 S R1 1
1 it iC t
C 1F
et 2V
iL t
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换
域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、
频域分析法和变换域分析法。
5
2.2 用微分方程描述的因果LTI系统
第
页
( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )
L
iL (0 )
22
二．系统响应划分
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告实验目的本实验旨在通过对连续时间系统的时域分析，研究信号在时域上的特性，包括信号的时域图像、平均功率、能量以及系统的时域响应。
实验原理连续时间系统是指输入输出都是连续时间信号的系统。
在时域分析中，我们关注的是信号在时间上的变化情况。
通过观察信号的时域图像，我们可以了解信号的波形和时域特性。
实验装置与步骤实验装置•函数发生器•示波器•连接线实验步骤1.将函数发生器和示波器连接起来，并确保连接正常。
2.设置函数发生器的输出信号类型和幅度，选择合适的频率和幅度。
3.打开示波器并调整合适的触发方式和触发电平。
4.观察示波器上的信号波形，并记录下观察到的时域特性。
实验数据与分析实验数据根据实验装置和步骤，我们得到了如下的实验数据：时间（ms）电压（V）0 01 12 23 14 05 -1实验分析根据实验数据，我们可以绘制出信号的时域图像。
从图像中可以看出，信号在时域上呈现出一个周期性的波形，且波形在[-1, 2]范围内变化。
由此可知，输入信号是一个连续时间周期信号。
接下来，我们可以计算信号的平均功率和能量。
平均功率表示信号在一个周期内平均消耗的功率，而能量表示信号的总能量大小。
首先，我们计算信号的平均功率。
根据公式，平均功率可以通过信号在一个周期内的幅值的平方的平均值来计算。
在本实验中，信号的周期为5ms，幅值范围为[-1, 2]，所以信号的平均功率为：平均功率= (∫[-1, 2] x^2 dx) / T由此可知，信号的平均功率为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) / 5 = 1.2。
接下来，我们计算信号的能量。
根据公式，信号的能量可以通过信号在时间上的幅值的平方的积分来计算。
在本实验中，信号在整个时间范围内的幅值范围为[-1, 2]，所以信号的能量为：能量= ∫[-1, 2] x^2 dx由此可知，信号的能量为(1^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2) = 7。
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
第2章连续系统的时域分析
信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C
0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则
此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t
4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
信号与系统引论 课件 郑君里 第2章 连续时间系统的时域分析
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，
KCL，KVL。
例2-1
电阻 电感 电容
求并联电路的端电压v(t)与激励is(t)间的关系。
1 iR iR t v t R i s t R L 1 t i L t v d L d v t iC t C 元件特性约束 dt
E (常数)
B(常数)
B1t p B2 t p1 B p t B p1
tp e t
cos t sin t
Be t
B1 cos t B2 sin t
t p e t sin t B1t p B2 t p 1 B p t B p 1 e t cos t
2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
对于其他物理系统，根据实际系统的物理特性列写系 统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元
件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及
四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
所以，特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
i L (0 ) i L (0 )
例2-6 如图示出RC一阶电路，电路中无储能，起始电
压和电流都为零，激励信号e(t)=u(t)，求t >0系统的响
应——电阻两端电压vR(t)。
信号与系统第二章_连续时间系统时域分析(青岛大学)
n
rzi (t) Azikekt k 1
（b）
r(k zi
)
(0
)
r(k) (0 )
k 0,1,L ,(n 1)
系数Azik可直接由 r(k) (0 ) 来确定。
例：已知描述某二阶LTI连续时间系统的动态方程
d2 dt 2
r(t)
5
d dt
r(t)
6r(t)
e(t)
起始状态 r(0 ) 1,r(0 ) ，2激励信号
(t)
2
p3
5
2p p2
5
p
3
e(t)
2
d3 dt3
vo
(t)
5
d2 dt 2
vo
(t)
5
d dt
vo
(t)
3vo
(t)
2
d dt
e(t)
总结： （1）引入算子符号后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；
（2）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。
§2.3 微分方程的经典解法 r(t) rh (t) rp (t)
r(0 ) r(0 ) 1
（4）由 0状态确定待定系数
r(t) A1et A2e2t 0.5e3t
rr((00))
A1 A1
A2 0.5 1 2A2 1.5
3
A1 A2
5.5 5
全响应 r(t) 5.5et 5e2t 0.5e3t ,t 0
（一）经典法求解微分方程步骤：
r(t) 0 u(t) r(0 ) r(0 )
代入
d2 dt 2
r(t)
3
d dt
r(t)
第二章 连续时间系统的时域分析
19
2.3 起始点的跳变(初始条件的确定）
分析 激励加入：t=0时刻
响应区间：t≥0+
0
0
0
t
起始状态（0-状态）：激励加入之前瞬间的状态。
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
9
n阶线性时不变系统的模型
一个线性系统，其激励信号 e(t ) 与响应信号 r (t ) 之间的关 系，可以用下列形式的微分方程式来描述
d n r (t ) d n 1 r (t ) d r (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1 e(t ) d e(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
dt
21
[ 例 ] 如 图 所 示 ， 已 知 R1=1Ω, R2=3/2Ω, e2(t)=4V,
e1(t)=2V, L=1/4H, C=1F, t<0时开关S处于1的位置而 且电路已经达到稳态；当t=0时，S由1转向2。
建立i(t)的微分方程并求解i(t)在t>0时的变化。
解 ： (1) 由 元 件 的 约
k
初始条件（0+状态/导出的起始状态）：
k
d r 0 d 2 r 0 d n 1 r 0 r 0 r 0 , , , 2 dt dt d t n 1
由于用经典法求解微分方程时，是考虑了激励作用以 (k ) 后的解， 时间范围是 0 t 所以要利用r (0 ) 确定系 数Ai,而不是利用 r ( k ) (0 ) 。 20
第二章 连续时间系统的时域分析 重要公式
量由原方程根据冲激函数匹配法求得。 三、系统微分方程的解 1、全响应 r t ＝零输入响应 rzi t ＋零状态响应 rzs t 注意：在求解系统的完全响应 r t 时，要用到有关的三个量是： r k 0 ：起始状态，它决定零输入响应；
特别地
f t f1 t f 2 t f1 t f 2
1
1
t
f1 1 t f 21 t
f t t f t f t t t1 f t t1 f t t1 t t2 f t t2 t t1 f t t1 t2 f1 t t1 f 2 t t2 f1 t t2 f 2 t t1 f t t1 t2
方法二：卷积积分法 步骤： （1）先求冲激响应 ht ； （2）再利用 rzs t ht et 求零状态响应。 五、冲激响应 h t 和阶跃响应 g t
1、冲激响应 h t 的定义
定义： 系统在单位冲激信号 t 的激励下产生的零状态响应， 称为冲激响应。 冲激响应 h t 满足的微分方程为：
2、初始条件 r k (0 ) 系统在 t 0 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称 0 状态或“导出的 起始状态” 。
d d n 1 r (0 ) r 0 , r 0 , , n 1 r 0 dt dt
k
dn d n 1 d h t a ht a1 ht a 0 ht n 1 n n 1 dt dt dt
《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
连续时间系统的时域分析
优化后，再次进行仿真分析，对比优化前后的性能指标， 评估优化效果。
06
CHAPTER
连续时间系统的鲁棒性分析
鲁棒性的定义与分类
鲁棒性定义
系统在一定范围内抵御外部干扰或变 化的能力。
鲁棒性分类
强鲁棒性、弱鲁棒性、不连续鲁棒性 等。
鲁棒性分析的方法与工具
数学分析方法
通过建立数学模型，利用微分方程、差分方程等工具 进行分析。
动态性能的定义与评价标准
动态性能的定义
连续时间系统的动态性能是指在系统 输入激励下，系统输出随时间变化的 特性。
评价标准
评价连续时间系统的动态性能时，通 常需要考虑系统的响应速度、超调量 、调节时间和稳定性等指标。
动态性能的仿真与分析
仿真方法
通过建立连续时间系统的数学模 型，利用仿真软件或编程语言进 行动态时间系统的时域分析将朝着更加高效、精确和智能化的方向发展。例如，随着计 算机技术的进步，数值积分方法将更加精确和高效；随着人工智能技术的发展，基于数据的方法和模型预测控制 方法将更加广泛地应用于连续时间系统的时域分析中。
02
CHAPTER
连续时间系统的基本概念
系统的定义与分类
定义
系统是由若干相互关联和相互作用的元素组成的整体，具有特定功能的综合体 。在信号处理中，系统通常被视为输入信号和输出信号之间的数学关系。
分类
连续时间系统可以根据其特性分为线性时不变系统和线性时变系统。线性时不 变系统是指系统的数学模型不随时间变化的系统，而线性时变系统则是指系统 的数学模型随时间变化的系统。
通信系统案例
分析通信系统的鲁棒性， 如无线通信网络、卫星通 信系统等。
07
CHAPTER
第二章连续时间系统的时域分析
O
t
2u (t ) + 2 （一般式）
e(t )在t 0处有跳变 2 4相对跳变为2 即 r (0 + ) r (0 - ) + 2 ＝ 故t 0时，有e(t ) 2u (t )
(2)
方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有
d u (t ) (t ) + Ku (t ) u (t )的积分为零 dt
给 定 如 图 所 示 电 路 ， 0开 关S处 于 的 位 置 而 且 已 经 t 1 达 到 稳 态 。 当 0时S由1转 向2。 建 立 电 流(t )的 微 分 t i 方 程 并 求 解(t )在t 0时 的 变 化 。 i
把t<0电路看作起始状态，分别求t >0时的零输入响应和零 状态响应。 2 S R1 1 i L (t ) iC (t ) 1 i (t ) 1 L H C 1F e (t ) 4 V 4 3 e (t ) 2 V R2 2
可见，零输入响应是齐解中的一部分 分自由响应） 次 (部 零输入响应
k 1
n
Azik e k t
由于没有外界激励作用因而系统的状态不会生变化， ， 发 即r (k ) (0 + )＝r (k ) (0 - )， 所 以 zi (t )中 的 常 数 zik 可 以 由 (k ) (0 - )确 定 。 r A r
k
m
这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。教材P43-44
Fs
两个不同性质的系统具有相同的数学模型（二阶微分方 程），都是线性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂 系统，则可以用高阶微分方程表示。
三．n 阶线性时不变系统的描述
连续时间系统的时域分析实验报告
连续时间系统的时域分析实验报告连续时间系统的时域分析实验报告引言：时域分析是研究信号在时间上的变化规律，是连续时间系统分析的基础。
本实验旨在通过实际操作，探究连续时间系统的时域特性，并对实验结果进行分析和总结。
实验目的：1. 了解连续时间系统的时域分析方法和技巧；2. 掌握连续时间系统的单位冲激响应和单位阶跃响应的测量方法；3. 理解连续时间系统的零极点分布对系统特性的影响；4. 分析和总结实验结果，得出结论。
实验设备和材料：1. 信号发生器2. 示波器3. 连续时间系统实验箱4. 电缆、连接线等实验步骤：1. 连接信号发生器输出端和连续时间系统实验箱的输入端，调节信号发生器的频率和幅度，观察输出信号的波形，并记录数据；2. 改变信号发生器的频率和幅度，重复步骤1，记录不同条件下的输出信号数据；3. 切换到连续时间系统实验箱的单位冲激响应模式，输入单位冲激信号，观察输出信号的波形，并记录数据；4. 切换到连续时间系统实验箱的单位阶跃响应模式，输入单位阶跃信号，观察输出信号的波形，并记录数据；5. 根据实验数据，绘制系统的幅频响应曲线、相频响应曲线、零极点分布图等；6. 对实验结果进行分析和总结，得出结论。
实验结果分析：通过实验数据的记录和分析，我们可以得出以下结论：1. 连续时间系统的幅频响应曲线和相频响应曲线可以反映系统的频率特性，通过观察曲线的变化，可以判断系统的增益和相位变化情况。
2. 单位冲激响应是连续时间系统的重要特性之一，通过观察单位冲激响应的波形，可以了解系统的时域特性，如系统的稳定性、响应时间等。
3. 单位阶跃响应是连续时间系统的另一个重要特性，通过观察单位阶跃响应的波形，可以了解系统的阶跃响应情况，如系统的超调量、上升时间、调节时间等。
4. 零极点分布图可以直观地展示连续时间系统的零点和极点位置，通过观察分布图的形状，可以判断系统的稳定性和阻尼情况。
结论：通过本次实验，我们深入了解了连续时间系统的时域分析方法和技巧。
连续时间系统的时域分析
第二章连续时间系统的时域分析
学习目标
1.理解0_和0+时刻系统状态的含义，并掌握冲激函数匹配法
故方程 （5）
令 代入（5）式得
故系统的完全解为
（6）
c．确定待定系数
由于无冲激电压，故电容电压不能突变
，
而
d.求 在 时的完全响应
将 代入（6）式得
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.若包含有(t)及其各阶导数,说明相应的变量从0-到0+状态发生了跳变,即 此时为确定 等，可以用冲激函数匹配法。其原理根据t=0时刻微分方程左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等。
的解h1(t)
再利用 求出h(t)
解：由
当t>0时，上方程为
将h1(t)代入方程（2）得
由对比系数法得：
方法4：
分析：由于方程等号右端含 ,故
对上方程两端同时由 进行积分得
由于 ，
由于 ， 将初始化条件代入
中
得：
系统的阶跃响应g(t)微分方程
及起始状态 ，可以看出方程右端的自由项含有 及其各阶导数，同时还包含阶跃函数u(t)，因而阶跃响应中，除含齐次解形式之外，还应增加特解项。
例：如图所示
而
将(2)式代入(1)式子得
令 则代入方程得
而
的电压不能突变，故
将 代入
，得
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。
在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。
时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。
对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。
时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。
为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。
$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。
通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。
$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。
应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。
2第二章、连续时间系统的时域分析
1 4p
2
H2(
p)
2
p3
1 3p2
4
p
2
H1(
p)
2
2 p2 p3 3p2
p
1 4p
2
H2(
p)
2 p3
1 3p2
4
p
2
讨论：
1、在电路中有三个独立的储能元件，为一个三阶系 统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式 的最高次数应为三次。
2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路 的阶数来确定是否能消去分子分母中的公共因子。
1 C1 r(0)
n
C2
r(0)
n2 C3 r(0)
nn1 Cn r(n1) (0)
C1 1
C2
1
C3 12
Cn 1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
1
r(0)
n
r(0)
n2 r(0)
nn1 r(n1) (0)
一、特征根为异（实）根 算子方程写为： ( p 1)( p 2 ) ( p n )r 0
由前面的讨论可写出解的一般形式：
r(t) C1e1t C2e2t Cnent
若给定系统的n个初始条件：r(0), r(0), r(n1) (0)
我们就可以确定其中的待定常数C1，C2，…Cn。
)i1
1 p
i2
e
1 p
i1
(2 p
1
1 p
)i2
0
( p2
p
1)
1 p
i1
1 p
i2
e
1 p
i1
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第二章连续时间系统的时域分析引言微分方程式的建立与求解起始点的跳变--- 从0―到0+ 状态的转换零输入响应和零状态响应(2) §2.3 起始点的跳变--- 从0―到0+ 状态的转换例：（1 ）列写电路的微分方程(2) 求系统的完全响应(3) (4) 例(2) §2.4 零输入响应和零状态响应一．零输入响应与零状态响应 2. 零状态响应二．系统响应划分各种系统响应定义零输入响应零状态响应三．对系统的线性和时不变性的进一步认识例：* 对实际系统建立数学模型，一般地，连续系统是用微分方程来描述；离散系统用差分方程来描述。
并且总是可以采用输入输出描述系统的功能* * * * * * * * * * * * * * * * * 数学描述设则代入方程得出所以得即即( ) ( ) ( ) 可知由方程t t r t r t d ￠= + 3 3 d d ( ) 项，方程右端含t d ￠( ) t r t d d 它一定属于( ) ( ) ( ) ( ) t u c t b t a t r t D + + ￠= d d d d ( ) ( ) ( ) t u b t a t r D + = d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t u b t a t u c t b t a d d d d ￠= D + + D + + ￠3 3 3 íì = + = + = 0 3 0 3 3 b c a b a íì = - = = 27 9 3 c b a ( ) ( ) 9 0 0 - = = - - + b r r ( ) ( ) 9 0 0 - = - + r r （1 ）将e(t) 代入微分方程，t=0 得( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。
和用冲激函数匹配法求和如图，已知输入描述+ + - - = = + + = + + 0 d d 0 , 0 0 d d 5 4 0 ) ( 4 d d 6 d d 10 d d 7 d d LTI 2 2 2 2 r t r r t r t e t e t e t t e t t r t r t t r t ( ) ( ) ( ) ( ) 。
的微分方程为+ + - - = = 0 d d 0 , 0 0 d d 5 4 0 )( r t r r t r t e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + = + + 4 d d 6 d d 10 d d 7 2 2 2 2 t e t e t t e t t r t r t t r ( ) t e 2 4 O t ( ) ( ) ( ) t r t r t t r t 10 d d 7 d d 2 2 + + ( ) ( ) ( ) t u t t D + + ￠= 8 12 2 d d 方程右端的冲激函数项最高阶次是，因而有代入微分方程( ) ( ) ( ) t r t r t t r t 10 d d 7 d d 2 2 + + ( ) ( ) ( ) t u t t D + + ￠= 8 12 2 d d ( ) t d ￠( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) íì D = D + = D + + ￠= t u a t r t u b t a t r t t u c t b t a t r t d d d d d d d 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) t u a t u b t a t u c t b t a D + D + + D + + ￠10 7 d d d ( ) ( ) ( ) t u t t D + + ￠= 8 12 2 d d ) 0 0 ( + - < < t 求得因而有( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) íì = = - - = = - = = - - + - + - + 2 0 d d 0 d d 2 0 d d 0 d d 2 0 0 2 2 2 2 c r t r t b r t r t a r r íì = + + = + = 8 10 7 12 7 2 a b c a b a 状态为要求的+ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) íì - = + - = = + = + = - + - + 2 0 d d 2 0 d d 5 14 5 4 2 0 2 0 r t r t r r 解微分方程的流程图将元件电压电流关系、基尔霍夫定律用于给定电系统列写微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程齐次解Aea t( 系数A 待定）特解查表完全解= 齐次解+ 特解(A 待定）给定系统0- 状态求出对应0+ 状态已定系数A 的完全解――系统的完全响应零输入响应零状态响应对系统线性的进一步认识例：已知电容两端起始电压vc(0-) 激励源为e(t), 求t>0 时系统响应vc(t) e(t) vc(0-) - R + + - + - vc(t) 微分方程为+ ( ) ( ) ( ) t e t v tv dt d RC c c = + ( ) ( ) ( ) t e RC t v RC t v dt d c c 1 1 = + ( ) ( ) ( ) t e RC t v RC t v dt d c c 1 1 = + RC t e 将上列方程两端乘以( ) ( ) ( ) t e e RC t v e RC t v dt d e RC t RC t RC t c c 1 1 = + ( ) [ ] ( ) t e e RC t v e dt d RC t RC t c 1 = 或写作( ) [ ] ( ) t t t t t t t d e e RC d v e d d t c t RC RC îî - - = 0 0 1 两边求积分：( ) ( ) ( ) t t d t e e RC v t v e t c c RC RC t î - = - - 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t d e e RC v e t v t c c t RC RC t î - - - - - + = 0 1 1 0 系统的完全响应可以看作由外加激励源和起始状态共同作用的结果。
系统的完全响应= 零状态响应+ 零输入响应线性系统具有叠加性没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
一般情况，设系统是线性时不变的H[ ] e(t) {x(0-)} r(t)= H[e(t)]+ H[{x(0-)}] 零输入响应rzi(t) ：零状态响应rzs(t) ：不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
把t〈0 电路看作起始状态，分别求t >0 时的零输入响应和零状态响应。
1 、零输入响应t >0 电路：+ - e(t) R1 C L + - vc(0- ) iL(0- ) R2 i(t) ( ) ( ) A v c 5 4 0 i , v 5 6 0 L = = - - 起始储能：R1=1 ΩC=1F L=1/4H + - vc(0- )=6/5V iL(0- )=4/5A R2=3/2 Ωi(t) 满足微分方程：t >0 零输入等效电路：R1=1 Ω+ - vc(0- )=6/5V iL(0- )=4/5A R2=3/2 Ωizi(0+) iL(0+) 作出t = 0+ 时刻的等效电路求得：零输入响应的形式：将代入求出常数要求的零输入响应：+ - e(t)=4u(t) C=1F L=1/4H R2=3/2 izs(t)R1=1 等效电路：微分方程：由前面例子求得把e ( t )=4 u( t ) 代入方程右端得自由项利用冲激函数匹配法：代入原方程：求得完全响应自由响应强迫响应零状态响应零输入响应稳态响应瞬态响应响应= 暂态响应+ 稳态响应(Transient+Steady-state) 自由响应＋强迫响应(Natural + forced) ( ) ( ) t B e A t r n k t k k + = = 1 a 零输入响应＋零状态响应(Zero-input + Zero-state) ( ) ( ) t B e A e A t r n k t zsk n k t zik k k + + = = = 1 1 a a 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。
对应于齐次解。
形式取决于外加激励。
对应于特解。
是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。
没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。
(1) 自由响应：(2) 暂态响应：稳态响应：强迫响应：(3) 零输入响应：零状态响应：系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。
系统的零状态响应= 激励与系统冲激响应的卷积，即( ) ( ) - - 0 0 L C i v 和( ) ( ) - - 0 0 L C i v 和( ) t d 线性时不变系统( ) t h ( ) t e ( ) t h ( ) t r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 - = = + + + + - -- - n , , , k r t r C t r dt d C t r dt d C t r dt d C k zi n zi n zi n n zi n n L L 及起始状态( ) = = n k t zik zi k e A t r 1 a 响应( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - + - = 0 0 0 k k k zik r r r A 因为确定可以由其中：微分方程( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 - = = + + + + = + + + + - - - - - - - n , , , , k r t e E t e dt d E t e dt d E t e dt d E t r C t r dt d C t r dt d C t r dt d C k m m m m m m zs n zs n zs n n zs n n L L L 及起始状态( ) ( ) t B e A t r n k t zsk zs k + = = 1 a 响应( ) ( ) ( ) 确定由是特解其中：+ 0 , k zsk r A t B H[ ] r(t)= H[e(t)]+ H[{x(0-)}] 若{ xi(0-) }=0 系统是线性和时不变的若{ xi(0-) }≠0 系统是非线性和时变的，且非因果常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零的条件下，系统才是线性时不变，且是因果的。