初中数学中考复习专题四： 二次函数压轴题集训类型三 特殊三角形问题
2022年中考数学专题复习：二次函数压轴之特殊三角形问题(含答案)
12．如图，抛物线y＝ax2+3x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，8），顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)求四边形ABDC的面积；
(3)如图2，在（2）取得面积最大的条件下，连接BP，将线段BP沿射线BC方向平移，平移后的线段记为B'P'，G为y轴上的动点，是否存在以B'P'为直角边的等腰Rt△GB'P'？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），直线BC的解析式为 ．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．
(1)求B，C，D三点坐标；
(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；
(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．
6．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值；
(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC S△ABC时，求点P的坐标；
初三数学压轴题二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题
二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题1. 二次函数y= x2 2x 3图像如下，分别求：和最小，差最大（1）在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P 点坐标.（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P 点坐标.讨论直角三角（3）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出P坐标.（4）在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．讨论等腰三角（5）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出P坐标.yyyB O A xB O A xB O A xCCCDDD122.已知抛物线y＝ax ＋bx＋c 经过A( －1，0) 、B(3 ，0) 、C(0 ，3) 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l 上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l 上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知：如图一次函数y＝1x＋1 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数y＝2 1 x22＋bx＋c 的图象与一次函数y＝（1）求二次函数的解析式；1x＋1 的图象交于B、C两点，与x 轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）2（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x 轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．yC 2BxA O D E22、（2013?连云港）如图，抛物线y=-x 2+mx+n与x 轴分别交于点A（4，0），B（-2 ，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、(西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板A BC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）．如图所示， B 点在抛物线y=12 x2+2+12x-2 图象上，过点 B 作BD ⊥x 轴，垂足为D，且B 点横坐标为-3．（1）求证：△BDC ≌△COA；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．39、（潼南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90 °，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A，B 两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A、B 除外），过点 E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．2 bx c a6．如图，已知抛物线y ax ( 0)的顶点坐标为Q 2, 1 ，且与y 轴交于点 C 0,3 ，与x轴交于A、B 两点（点A在点 B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点 A 运动（点P 与A不重合），过点P作PD∥y 轴，交AC于点D．(1) 求该抛物线的函数关系式；(2) 当△ADP是直角三角形时，求点P 的坐标；(3) 在问题(2) 的结论下，若点E在x轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．4。
2022年中考数学复习之二次函数压轴题40个问题
中考复习之二次函数压轴40个问题主要题型：1.二次函数之面积问题2.二次函数之特殊三角形的存在性问题3.二次函数之特殊四边形的存在性问题4.二次函数之线段最值问题5.二次函数之角度问题题目：如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝３，OA＝１，顶点为D第1问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D.求二次函数的解析式；解:设:设二次函数解为y=a(x+1)(x-3)将(0,3)代入得a=-1,故二次函数解析式为y=-x2+2x +3第2问.如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D1.判断∆BCD的形状；解:D(1,4),B(3,0),C(0,3),方法一:BC=32,CD=2,BD=25,BC2+CD2=BD2,故∆BCD是直角三角形；方法二:KCD =1,KBC=-1,KCD∙KBC=-1,故CD⊥CB,所以∆BCD是直角三角形；yxBCAODyxBCAODyxBCAODyxBCAOD第3问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1.顶点为D, 2. 四边形ABDC 的面积解:BC:y =-x +3,铅垂法:E(1,2)DE=2,S BCD ∆=21∙2∙3=3 S ABDC 四=21∙4∙3+3=9第4问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. P 为直线BC 上方抛物线上一点,求∆PBC 面积最大值及P 点坐标；解:方法一:设P(m,-m+2m+3)S PBC ∆=21∙3∙[-m 2+2m+3-(m+3)] =23(-m 2+3m),当m=23时,S 有最大值,此时P(23,415)S m ax =827 方法二:平移BC 至抛物线相切时,面积可取最大值设切线为y =-x +n,与抛物线y =-x 2+2x+3联立得x2-3x +n -3=0,∆=0,n=23,y =415,故P(23,415)S m ax =827y xBCAODy xBCAODEy xBCAOD第5问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D5点M 为BC 上方抛物线上一点,过点M 作y 轴的平行线交BC 于点N,求MN 的最大值；解:设点M(m,-m 2+2m+3),BC:y =-x +3,则点N(m,-m+3)MN=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 当m=23时,MN m ax =49第6问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OC=3,OA=1,顶点为D, 6. 在对称轴上找一点P,使∆ACP 的周长最小,并求出最小值解:点A 、B 关于对称轴对称,连接BP,则BP=AP,PA+PC=PB+PC,当点B 、P 、C 三点共线时,可取最小值,此时P(1,2),∆ACP 周长的最小值为10+32第7问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点E,使∆BDE 为直角三角形,求出E 点坐标, 方法一:y xBCAOPDy xBCAODy xNBCAODMy xBCAOD P1.DE ⊥BE 时,设E(0,m)易知∆DEF~∆EBO,OE DF =BO EF ,即m 1=34m-,m=3或1,故E 1(0,1)、E 2(0,3)2. DE ⊥DB 时,设E(0,m)易知∆DEN~∆BDM,BM DN =DM EN ,即m 1=34m -,m=27故E ；(0,27)3. DB ⊥BE 时,设E(0,m),易知∆DBF~∆BEG,BG DF =EG BF ,即m -2=34,m=-23,故E 4(0,-23)第8问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 在y 轴上找一点F,使∆BDF 为等腰三角形,求出F 点坐标；2. BD=DF,设F(0,m),22)4()01(m -+-=25,m=4+9 或4-19,F 1(0,4+19);F 2(0,4-19)yxFBCAODExyN MBCAODExy GFEBCAODxy BCAODF2.BD=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=25,m=±11,F 1(0,11),F 2(0,-11)3.DF=BF,设F(0,m),22)0()03(m -+-=22)4()01(m -+-,m=1,F 4(0,1)第9问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1. 求抛物线上一点N,使S ABN ∆=S ABC ∆；解:设N 点的坐标(m,n),则∆ABC 与∆ABN 底相同,故n=±3,-m 2+2m+3=3或者-m 2+2m+3=3得m 1=0,m 2=2,m 3=1-7,m 4=1+7,N(0,3),(2,3),(1-7,-3),(1+7,-3)第10问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D, 1. 在抛物线上找一点Q,使S BDQ ∆=S AOC ∆解:设Q(m,-m 2+2m+3),S AOC ∆=23,BD ：y =-2x +6,铅垂高QS=|-m 2+2m+3-(-2m+6)| S BDQ ∆=|-m 2+2m+3-(-2m+6)|∙21∙1=23得m=0或4Q(0,3),(4,-5),xBCAODFBCAOD FBCAODFBCAODN第11问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.在抛物线上找一点E,使BE 平分∆ABC 的面积； 解:BE 平分∆ABC 的面积,故BE 经过AC 的中点,AC 中点(-21,23),BE:y =-73x +79; 与抛物线联立得-x 2+2x +3=-73+79x =-74或722,E(-74;4919)或(722；491849)第12问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA =1,顶点为D 1.在对称轴上找一点M,使|MB -MC|取最大值,并求出最大值；解:点B 关于对称轴对称的点A,连接MA,则MB=MA,MA -MC<AC, 当点A 、C 、M 共线时,|MB -MA|m ax =AC=10, AC:y =3x x +3,M(1,6)第13问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 、N 为对称轴上的两点(M 在N 点上方),且MN=1,求四边形ACNM 周长的最小值； 解:A 关于对称轴对称的点B,连接BN,则BN=AN,将点向下平移1个单位得C’、N,则C’N=CM, 故CM+BN=C’N+BN,当C’、N 、B 共线时,取最小值(CM+BN)m in =13,故ACNM 周长得最小值为1+10+13BCAODQABCODEABCODM第14问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 在抛物线对称轴上,在抛物线上找一点F,使得点四边形ACFE 为平行四边形； 解:设E(1,m)F(n,-n 2+2n+3),A(-1,0),C(0,3),A 平行至点C 与E 平移至点F, n=1+1=2,m+3=-n 2+2n+3,m=0,故E(1,0)F(2,3)第15问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.M 为y 轴上一点,在坐标平面内找一点N,使A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为菱形； 解:当 ACM 为等腰三角形时,问题转化为等腰三角形问题 1.ACNM 为菱形时,M(0,3),N(1,0),2.AMCN 为菱形时,M(0,34),N(-1,35),3.ACMN 为菱形时,M(0,3+10),N(-1,10)ABCODMNABCODM NC'ABCODEFABCODMN ABCONDM4.ACMN 为菱形时,M(0,3-10),N(-1,-10)第16问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.E 为x 轴上一点,以BE 为边的正方形BEFG ； 另一点G 在抛物线上,求点F 坐标；设E(m,0)则EF=|-m 2+2m+3|由EF=EB 得3-m=|-m 2+2m+3|,m=0或m=-2故F(0,3)或F(-2,-5)第17问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是抛物线上任意一点,过点P 作PE ⊥y 轴于点E,交直线BC 于点G ；过点G 作GF ⊥x 轴,连接EF,求EF 的最小值；连接OG,则OG=EF,当OG ⊥BC 时,OG 最小,即EF 最小,故EF m in =233x C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.M 在抛物线上CB 上方一点过点M 作y 轴的平行线,交BC 于点E,则ME 的最大值是多少? 解:设M(m,-m 2+2m+3),BC :y =-x +3,E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m)=-m 2+3m,当m=23ABCONDMABCNODMGCABO EFF CABOE GFEGCABOPFEGCABOP时,ME m ax =49第19问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.求一点P,使∠POC=∠PCO ； 解:点P 在OC 得垂直平分线上,-x2+2x +3=23,x =1±210P 1(1-210,23)P 2(1+210,23)第20问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.E(2,-2),M 为x 轴上一点,且∠EMO=∠CMO ； 1.M 在右侧时,易知∆CMO~∆EMG,设M(m,0)则有2-m m =23,m=6 2.M 在左侧时,同理易知∆CMO~∆EMG ,m m --2=23,m=6(舍) 第21问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 是直线y =x 上的动点,当直接y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标； 如图,∆PAO ≅∆PEO,此时OE=OA=1,故E(0,-1),EB ：y =31x -1,与y =x 得x =-23,P(-23,-23) ECABOMPPCABOCABOEMG第22问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,且∠ABP=∠CBD,求P 坐标；解:C(0,3)D(1,4)B(3,0)tan ∠CBD=31,故tan ∠PBO=31,OE=1或者OF=1,PB ：y =-31x +1或y 且=31x -1,联立可得P 1(-32,911)P 2(-23,-23)第23问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.在抛物线上找一点P,使∠ACP=450；方法1:∠OCB=∠ACP=450,得∠ACO=∠ECB,故tan ∠ECB=31,作EH ⊥BC,设BH=m,则EH=m;CH=3m,故4m=32,m=423,E(23,0)故CE:y =-2x +3,联立得P(4,-5) 方法2:由12345模型得tan ∠ECO=21得E(23,0)第24问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.P 在抛物线上,∠DBP=450； 由tan ∠CBD=31,∠CBD+∠CBP=450,而∠PBO+∠CBP=450,故tan ∠PBO=31,BP:y =-31x +1,P(-32,911) ECABOPPEFCABODPPHECABOPDP第25问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.点P 在抛物线上,∠PCB=150,求点P 的坐标；解:由∠BCO=450得∠PCO=30或∠PCO=600,故PC:y =-3x +3或y =-33x +3联立得P(2+3,-23)P(2+33,3328-)第26问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D1.直线y =31x -1与y 轴交于点E,求∠EBC -∠CBD ； 由tan ∠DBC=tan ∠EBO=31,故∠EBC -∠CBD=450第27问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 1.过点P(3,0)作直线与抛物线交于F 、G 、FM 、GN 分别垂直于x 轴,求PM,PN ；设F(1x ,1y )G(2x ,2y ),直线y =k (x +3)与抛物线y =-2x +2x +3联立得2x +(k -2)x +3k -3=0;1x +2x =2-k ,1x •2x =3k -3,PM •PN=(1x +3)(2x +3)=1x •2x +3(1x +2x )+9=12CABOPDPPF CABODPEECABODENMGFCABOPD第28问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DP 是第一象限抛物线上,PE ⊥AB,求BEAE的值,若PE 2=AE •BE,求P 点坐标 设P(m,-m 2+2m+3),AE=m+1,BE=3-m,BE AE =mm -+31,(m+1)(3-m)=(-m 2+2m+3)2得m=1+3,P(1+3,1)第29问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,N(0,-1),求23BM+MN 的最小值, 过点B 作I ⊥x 轴,MH ⊥I,∠MBH=600,MH=23BM,23BM+MN=MH+MN,当N 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(23BM+MN)min=3第30问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求21BM+OM 的最小值 过点B 作I:y =3x -33,MH ⊥I,∠MBH=300,MH=21BH,21BH+OM=MH+OM,当Q 、M 、H共线且垂直于I 时取最值(21BM+MN )min=233xy EBCAOPxy BCA O MN H第31问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D M 为直线y =33x 3上的点,求22BM+OM 的最小值 过点B 作I,I 与直线MN 夹角450,MH ⊥I,∠MBH=450,MH=22BM,22BM+OM=MH+OM,当Q 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值两着色三角形相似,得cos150=426,(21BM +MN)min=423-63第32问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D在AB 上是否存在点M,使CM+21BM 取最小值. 过点B 作I,I 与x 轴夹角为300,MH=21BM,21BM+CM=MH+CM,当C 、M 、H 共线且垂直于I 时取最值(21BM+CM)min=2333+第33问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为Dxy BCAMO Hxy BCAMOHxy BCAO M EHM 是抛物线上一点,作MH ⊥x 轴,交BC 于点E,当ME:EH=3:2时,求M 点的横坐标, 设M(m,-m 2+2m+3),则E(m,3-m),ME=-m 2+2m+3-(3-m),EH=3-m,ME:EH=3：2 即有-m 2+2m+3-(3-m)=23(3-m) m=23第34问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于顶点为D P 是抛物线上一点,且∠PAB=2CBD,求P 点坐标. tan ∠CBD=31,tan ∠PAB=tan2∠CBD=43(12345模型) 设P(m,-m 2+2m+3)(1)tan ∠PAB=1322+++-m m m =43,m=49,P(49,1639)(2)tan ∠PAB=1322+--m m m =43,m=415,P(415,1657)第35问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(1)证明:M 上任意一点到直线y =417距离等于到F 点的距离, M(m,-m 2+2m+3),MH=417-(-m 2+2m+3)=m 2-2m+45MF=222)41532()1(-++-+-m m m =m 2-2m+45,故MH=MF xyEBCAOMHxy BCAODPP第36问:如图,抛物线与x 轴交于、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为DF(1,415)直线y =417,(2)证明:N(2,-1)M 为抛物线上一点,求NM+MF 的最小值 由(1)可知MF=MH,故NM+MF=MN+MH,(NM+MF)min=421第37问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D ∠BAC 的角平分线交y 轴于点M,绕点M 作直线I,与x 轴交于点E,与A 交于点F,求证:AE 1+AF 1为定值 过点M 、F 、C 作x 轴的平行线,交AC 于点G,交AM 于点H 、I ，易知:∆AEM~∆HFM,∆AFH~∆ACI,AO GM =AC CG ,CI GM =AC AG ,相加得AO GM +CI GM =AC CG +ACAG=1 即有AO 1+AC 1=GM 1,同理可得AE 1+AF 1=GM1=1+1010第38问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D P 为第四象限抛物线上一点,且tan ∠APC=21,求出点P 的坐标； 过点C 作CE ⊥AC,取一点E 使CE=2AC,过点C 作MN||x 轴,作A M ⊥MN 、EN ⊥MN,易知∆ACM~∆CEN,CN=6,EN=2,E(6,1),P 为以AE 为直径的圆与抛物线的交点AE 的中点F,F(25,21) xy BCOFMHxy BCNOFMHA过点易知AE HF AFACGM AO =CG AC ，GM CI =AGAC，GM AO +GM CI =CG AC +AGAC =1即有1AO +1AC =1GM，同1AE +1AF =1GM =11010xy H G FEMBCOIPF=225,设P(m,-m 2+2m+3),PF 2=(m -25)2+(-m 2+2m+325)2=225m=255,y =2531--,P(255,2531--)第39问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 直线y =x -3与抛物线交于点P,在x 轴正半轴上找一点E,使tan(∠PBO+∠PEO)=25 在x 轴上找一点F,使tan ∠HPF=25,∠HPF=450+∠BPH=∠PBO+∠PEO=450+∠PEO, 故∠BPF=∠PEO,故∆BEP~∆BPF,BP BE =BF BP ,即253-m =21525,m -3=320,m=329故E(329,0)第40问:如图,抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C,OB=OC=3,OA=1,顶点为D 对称轴与BC 交于点E,在直线BC 上找一点P,使∆ABP 与∆DEB 相似,∠BED=1350=∠ABP,故P 在CB 的延长线上,DE=2,BE=22,AB=3,1.当∆EDB~∆BAP,AB DE =BP EB ,即42=BP22,BP=42,P(7,-4) 2.∆EDB~∆BPA 时,BP=22,P(5,-2)AxyN MPFEBCOAH PE FAxyIHEBCODP 1P 2。
中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案]
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中考数学中二次函数压轴题分类总结[超经典.无重复][附答案](总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-中考数学专题训练 二次函数压轴题一、抛物线关于三角形面积问题例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-).（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.练习：1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求∆BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标；2. 如图，已知抛物线4212++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值．二、抛物线中线段长度最小问题例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（－3，0）． （1）求点B 的坐标；（2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． OABP EQ FxyEN MDCBAOyx练习：1. 如图， Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上． （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标．三、抛物线与线段和最小的问题例题 如图，已知抛物线()()()120y x x a a a=-+>与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．练习：1. 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP（3）在（2）的条件下，在x 轴上找一点M ，使得△APM 条件的点M 的坐标．2. 如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于F 、G ．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出H 的坐标；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．四、抛物线与等腰三角形例题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习：1. .如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线12 x=-（1）求抛物线的解析式；（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．3. 如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。
中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于x 的一元二次方程()01222＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032≥-=∆m ，()mm x 213∆±-=，m x 321-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122；∴ ⎩⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4）、B （5，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.△当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；△点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在△的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y 轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式及A点坐标；(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围.8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN△x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长． （3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线243y x x =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.11．如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -、()30B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点M ．（1）求这条抛物线的解析式及直线BM 的解析式；（2）P 段BM 上一动点（点P 不与点B 、M 重合），过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使NMC ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图,已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3).(1)该抛物线的对称轴是直线___________， (2)求抛物线的解析式；(3)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：13．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．△是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；△若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．15．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且△MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．17．已知：直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 （1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AE 上一动点，当△PBC 周长最小时，求点P 坐标； （3）动点Q 在x 轴上移动，当△QAE 是直角三角形时，求点Q 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点M ，使得点M 到C 点的距离与到直线AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由； （3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．19．如图，抛物线2y ax bx c =++ 经过点()2,5A -，与x 轴相交于()1,0B -，()3,0C 两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿沿直线BD 翻折得到BC D '∆，若点D '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.20．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． △若2PMN S ∆=，求k 的值；△证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；△当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案：1．（1）B （0，2），抛物线解析式为y=﹣43x 2+103x+2；（2）m 的值为12；（3）当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）． 2．（1）B （3m ，0）；（2）tan△ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：）或）． 3．（1）y ＝﹣x 2+5x ；（2）当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是4；（3）存在，P 的坐标是（4，2﹣）或（6，﹣6）或（5，0）． 4．（1）()21154y x =--+；（2）；4y x =-+；△S 27448x x =-+-；S 的最大值为47.5．（1）5；（2）a ＝﹣1（3）m ＝3n 2+2 6．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）P （﹣25，6625）；（3）点M 的坐标为（32，298）或（32，﹣58）或（32，52）或（32，32）．7．(1)y=x 2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；m ＜6或 3m ＜28．（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）在y 轴上存在点M ，点M 的坐标为(0,3)，(0,3-或(0,3-，（3）P （4，﹣3）．9．（1）y ＝﹣x 2+2x+3 （2）310．（1）43y x =-+（2（3）(0,,,.11．（1）2y x 2x 3=-++，26y x =-+；（2）四边形ACPQ S 29322t t =-++，t 的取值范围是13t <<；（3）716,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或14N ⎛ ⎝⎭或()2,2N 12．（1）1x = （2）2y x 2x 3=-++；（3）存在，⎝⎭或（2.3）13．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.14．（1）211384y x x =--+；（2）△存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；△点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N或)或)或)．16．（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 17．（1）215222y x x =-+；（2）P （1213，3213）；（3）Q 点坐标为（1，0）或（172，0）；（4）存在；M 点坐标为M （0，﹣8）.18．（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．19．（1）223y x x =--；（2）点'C 坐标为(点D 的坐标为⎛ ⎝⎭；（3）直线BP 的函数表达式为y =y x =20．（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）△k =±△2241y x x =-++．。
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案)
中考数学总复习《二次函数与特殊三角形问题压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图①，二次函数245y x x =--与x 轴交于点A 、C ，且点A 在点C 的右侧，与y 轴交于点B ，连接AB ．(1)求抛物线的对称轴；(2)求直线AB 的解析式；(3)如图①，点P 是x 轴下方、抛物线对称轴右侧图象上的一动点，连接PB ，过点P 作PQ AB ∥，与抛物线的另一个交点为Q ，M 、N 为AB 上的两点，且PM y ∥轴，QN y ∥轴．①当BPM △为直角三角形时，求点P 的坐标；①是否存在点P ，使得PB 与QN 互相平分，若存在，直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．2．如图①，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于O 、A 两点，直线3y x =-+与y 轴交于B 点，与该抛物线交于A ，D 两点，已知点D 横坐标为1-．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，在线段OA 上有一动点H （不与O 、A 重合），过H 作x 轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q 点，若x 轴把POQ △分成两部分的面积之比为1:2，求H 点的坐标；(3)如图①，在抛物线上是否存在点C ，使ABC 为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．已知点B 的坐标为()1,0，经过点B 的直线与抛物线另一个交点D 的坐标为()2,3--．(1)求抛物线解析式并直接写出顶点坐标；(2)连接BC ，若点Q 为抛物线上一动点①求直线BC 的解析式；①当COQ OCB ∠=∠时，求点Q 的坐标；(3)是否存在点M 在抛物线上，点N 在直线BD 上，使得DMN 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线212y x bx c =-++的图象过点()10E -，，并与直线相交于A 、B 两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；(3)除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于()20A -，，()60B ，两点，与y 轴交于点()03C -，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM最大时，求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使BCD △是直角三角形若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++的对称轴是直线1x =，拋物线与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标是(2,0)-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1所示，P 是第一象限抛物线上的一个动点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，连接CD 、CP 、PB ．求四边形PCDB 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；(3)如图2所示，在（2）的条件下，点M 是直线BC 上一点，当POM 是以OP 为腰的等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．7．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于点()()3,0,1,0A C -两点，交y 轴于点B ．(1)求二次函数表达式和点B 的坐标．(2)在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，交AB 于点M ，作EF AB ⊥于点F ，若点M 的横坐标为m ，求线段EF 的最大值．(3)抛物线对称轴上是否存在点P 使得ABP 为直角三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++过点()30A -,，()2,3B -和()0,3C ，其顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 是抛物线上的一个点，是否存在点P ，使得PA PC =，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；(3)若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点N ，E 为直线AC 上任意一点，过点E 作EF ND ∥交抛物线于点F ，以N ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由．9．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A ，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．且有OA OC =．(1)求抛物线解析式；(2)点P 在抛物线的对称轴上，使得ACP △是以AC 为底的等腰三角形，求出点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点Q 在抛物线的对称轴上，并且有12AQC APC ∠=∠，直接写出点Q 的坐标．10．如图，抛物线2y ax bx =+过点()4,0A 、()1,3B 两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH x ⊥轴，交x 轴于点H ．(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C 的坐标，并求出ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标；(4)已知点M 在直线BH 上运动，点N 在x 轴上运动，若CMN 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时CMN 的面积．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC 、，其中()2,0A -和()0,6C ．(1)求抛物线的解析式：(2)点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PE y 轴交BC 于点E ，作PE x ∥轴交BC 于点F ，求CF BE+的最小值，及此时点P 的坐标；(3)如图2，x 轴上有一点()1,0Q -，将抛物线向x 轴正方向平移，使得抛物线恰好经过点Q ，得到新抛物线y 1，点D 是新抛物线1y 与原抛物线的交点，点E 是直线BC 上一动点，连接DQ ，当DQE 是以DQ 为腰的等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点E 的坐标．12．如图所示，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点M 是线段OB 上不与点O 、B 重合的点，过点M 作DM x ⊥轴，交抛物线于点D ，交BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D 作DF BC ⊥，垂足为点F ．设M 点的坐标为(),0M m ，请用含m 的代数式表示线段DF 的长，并求出当m 为何值时DF 有最大值，最大值是多少？(3)试探究是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知：如图，抛物线2y x bx c =-++经过原点O ，它的对称轴为直线2x =，动点P 从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P 运动的时间为t 秒，连接OP 并延长交抛物线于点B ，连接OA ，AB ．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)当三点A ，O ，B 构成以为OB 为斜边的直角三角形时，求t 的值；(3)将PAB 沿直线PB 折叠后，那么点A 的对称点1A 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的t 的值；若不能，请说明理由．14．如图1，直线y kx b =+与抛物线2y ax x c =-+交于(20)A -，，(02)C ，两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，顶点为D ．(1)求直线及抛物线的解析式．(2)M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MN AC ⊥于N ，当MN 最大时，求点M 的坐标．(3)如图2，将抛物线沿射线AC 2个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为D ，设平移时间为t 秒，当CDD '△为等腰三角形时，求t 的值．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE 的解析式；(2)如图2，点P 为直线CE 上方抛物线上一动点，连接PC ，PE ，当PCE 的面积最大时，求点P 的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D 右移一个单位到点N ，连接AN ，将（1）中抛物线沿射线NA 平移得到新抛物线y '，y '经过点N ，y '的顶点为点G ，在新抛物线y '的对称轴上是否存在点H ，使得MGH 是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)直线2x =(2)5y x =-(3)①()4,5-或()3,8-①存在 1065,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2．(1)23y x x =- (2)102，⎛⎫ ⎪⎝⎭或()20， (3)()12-，或(277++，或(277，或()00，或3172⎫+⎪⎝⎭或3172⎫-⎪⎝⎭3．(1)223y x x =+- ()1,4E --(2)①33y x =- ①1133313⎫--⎝⎭或53715337-+-⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为()0,1-或()1,2--或()3,4--4．(1)213222y x x =-++ (2)203C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)存在，点M 的坐标分别为92027⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1165116500⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 709⎛⎫ ⎪⎝⎭， 9209⎛⎫- ⎪⎝⎭，5．(1)2134y x x =-- (2)153,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，()3,6或()3,9-或3533,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3533,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．(1)2142y x x =-++ (2)P 点的坐标是(2,4)(3)1(4,0)M 2(2,6)M - 3(26,26)M 4(26,26)M7．(1)224233y x x =-++ ()0,2B 913(3)存在，点P 的坐标为()1,3-或71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,13或(1,138．(1)223y x x =--+(2)存在，点P 的坐标为13113-+-⎝⎭或13113--+⎝⎭(3)能，点E 的坐标为()2,1-或3173172-++⎝⎭或317317---⎝⎭9．(1)243y x x =-+(2)()2,2P(3)Q 点坐标为2,1或(2,2510．(1)24y x x =-+；(2)3ABC S =△；(3)点P 坐标为()5,5-； (4)52或292．11．(1)2+6y x x =-+(2)155，点321,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)(3,0)或1356(,)55-或112348434(+-或112348434()-+．12．(1)234y x x =-++ (2)222)22DF m =-+2m =时，DF 有最大值为22(3)存在，点E 的坐标为34834-⎝⎭或()3,1或177,66⎛⎫ ⎪⎝⎭13．(1)24y x x =-+；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-5)秒或25(5+5)秒14．(1)抛物线的解析式为22y x x =--+，直线的解析式为2y x =+；(2)当MN 最大时，点M 的坐标为()12-，； (3)当14t =秒或5810秒时，CDD '△为等腰三角形．15．(1)443y x =-+ (2)()3,3P ，PCE 面积的最大值为9 (3)11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或25233,⎛- ⎝-或254233,⎛- ⎝+或133,3⎛⎫- ⎪⎝⎭。
中考数学总复习《二次函数压轴题(特殊三角形问题)》专项提升练习(附答案)
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线 与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）求出P，D两点的纵坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值：若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
13．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c> ，c是常数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
(1)证明：△BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、E（3，0），点P为抛物线上动点，设点P的横坐标为t．
(1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线于x轴交于A（－1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）．
(2)过点P作 ，垂足为点N．求线段 的最大值；
二次函数与三角形的存在性问题
_ Q_ G_P_ O中考压轴题特训：二次函数与等腰、直角三角形的存在性问题一、预备知识(1)坐标系中或抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） 线段对称轴是直线 ：2x 21x x +=(2) 两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。
中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则线段AB 的中点坐标是（3）平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、常见考察形式（1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结： 两圆一线（2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 （3）、方法总结：1、平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2、平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；3、二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3）后计算三、精讲精练1.由动点产生的等腰三角形问题（2012临沂）26如图，点A 在x 轴上，OA=4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A ．O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．2.由动点产生的直角三角形问题26．（2018临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB =90°，OC =2OB ，tan ∠ABC =2，点B 的坐标为 （1，0）．抛物线y = x 2+bx +c 经过A ，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE =21DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题图第263.由动点产生的等腰直角三角形（13分）（2014•临沂）26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （1，0），直线y=2x ﹣1与y 轴交于点C ，与抛物线交于点C 、D ． （1）求抛物线的解析式；（2）求点A 到直线CD 的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P 在直线CD 上，抛物线与直线CD 的另一个交点为Q ，点G 在y 轴正半轴上，当以G 、P 、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G 点的坐标．四、实战演1. （2018费县一轮）如图，直线2y x =+ 与抛物线26(0)y ax bx a =++≠相交于15(,)22A 和(4,)B m ，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .（1）求抛物线的解析式：（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由. （3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标.APED BCOxy（第26题图）2.（2016临沂中考）26.（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=—2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C的坐标是（8,4），连接AC、BC. （1）求过O、A、C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)(含简单答案)
(1)点A的坐标为；
(2)若射线 平分 ，求二次函数的表达式；
(3)在（2）的条件下，如果点 是线段 （含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线 和抛物线于E、F两点，当m为何值时， 为直角三角形？
②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．
14．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．M是抛物线任意一点，过点M作直线l⊥x轴，交x轴于点E，设M的横坐标为m（0＜m＜3）．
(1)求抛物线的解析式及tan∠OBC的值；
(2)当m＝1时，P是直线l上的点且在第一象限内，若△ACP是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)如图2，连接BC，连接AM交y轴于点N，交BC于点D，连接BM，设△BDM的面积为S1，△CDN的面积为S2，求S1﹣S2的最大值．
15．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，已知抛物线的对称轴是直线 ， ． 为抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(3)将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求直线 的解析式．
6．已知抛物线 经过 、 两点，O为坐标原点，抛物线交正方形 的边 于点E，点M为射线 上一动点，连接 ，交 于点F．
(1)求b和c的值及点C的坐标；
(2)求证∶
(3)是否存在点M，使 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．
(1)求 ， 的长（结果均用含 的代数式表示）．
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题题型归纳及方法
初中二次函数压轴题主要包括以下几种题型：
1. 求解二次方程：给定一个二次方程，要求求出它的解。
解题方法包括配方法、公式法、图像法等。
2. 求二次函数的最值：给定一个二次函数，要求求出它的最值。
解题方法包括求导法、配方法、图像法等。
3. 求二次函数的零点：给定一个二次函数，要求求出它的零点。
解题方法包括配方法、公式法、图像法等。
4. 求二次函数的图像：给定一个二次函数，要求画出它的图像。
解题方法包括求顶点、对称轴、零点等关键点，然后画出图像。
5. 求二次函数的解析式：给定一个二次函数的图像或者关键点，要求求出它的解析式。
解题方法包括利用顶点式、一般式、描点法等。
6. 求二次函数与直线的交点：给定一个二次函数和一条直线，要求求出它们的交点。
解题方法包括联立方程、代入法等。
7. 求二次函数的定义域和值域：给定一个二次函数，要求求出它的定义域和值域。
解题方法包括利用二次函数的性质，如对称轴、最值等。
以上是初中二次函数压轴题的主要题型及解题方法，需要注意的是，不同的题型可能需要不同的解题方法，需要根据具体情况进行选择。
同时，需要掌握二次函数的基本概念和性质，如顶点、对称轴、最值等，才能更好地解决问题。
中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考数学二次函数压轴题题型归纳二次函数是中考数学考试中的重点内容之一，也是考生们常常遇到的难点。
在数学考试中，经常会有一道或多道关于二次函数的压轴题，对于考生来说，熟悉并掌握不同类型的压轴题型是非常重要的。
本文将对中考数学中常见的二次函数压轴题型进行归纳总结，以帮助考生们更好地备考。
一、基础型压轴题这类题型主要考察对二次函数一般式方程y=ax^2+bx+c 的掌握程度，常常是一些基础知识的运用。
例题：已知二次函数 y=2x^2-4x+3 ，求当 x=2 时的函数值。
解析：将 x=2 带入函数方程，得到 y=2(2)^2-4(2)+3=4-8+3=-1 ，因此当 x=2 时的函数值为 -1 。
二、求解二次函数解的压轴题这类题型主要考察对二次函数解的求解方法的掌握程度，常常需要运用因式分解、配方法或求根公式等知识。
例题：已知二次函数 y=3x^2+7x+2 的零点是 x1=-1 ，求其另一个零点。
解析：已知 x1=-1 是该二次函数的一个零点，代入函数方程得到0=3(-1)^2+7(-1)+2 ，化简得到 0=3-7+2 ，即 0=-2 ，因此另一个零点为 -2 。
三、确定二次函数性质的压轴题这类题型主要考察对二次函数的性质及相关知识的掌握程度，如顶点坐标、对称轴、开口方向等。
例题：已知二次函数 y=ax^2+bx+c 的对称轴与 x 轴重合，且开口向上，若顶点坐标为 (2,4) ，求函数的解析式。
解析：已知对称轴与 x 轴重合，说明二次函数的形式为 y=a(x-h)^2 ，而开口向上说明 a>0 。
根据顶点坐标 (2,4) ，可得到方程 4=a(2-h)^2 ，代入 h=2 得到 4=a(2-2)^2 ，即 4=a(0)^2 ，则 a 为任意实数，因此函数的解析式为 y=a(x-2)^2 。
四、应用题这类题型主要考察对二次函数知识的应用能力，常常结合实际问题进行分析和解答。
例题：一枚炮弹以二次函数的形式进行运动，其高度随时间变化服从函数 y=-2t^2+10t ，求炮弹的最大高度以及达到最大高度的时间。
初三数学中考专题：二次函数压轴题
初三数学中考专题：二次函数压轴题二次函数压轴题是中考数学中一个非常重要的考点，因此我们需要认真掌握这种题型的解题方法。
下面，本文将详细介绍什么是二次函数压轴题以及如何解决这类题目。
一、什么是二次函数压轴题？二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2+bx+c$（$a \neq0$），其中$a$、$b$、$c$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
二次函数有一个重要的特征，即二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
二次函数压轴题是一类二次函数题目。
其中，通过将二次函数进行平移和伸缩，使得二次函数的图像形状不变，但是在坐标系中的位置发生了变化。
具体来说，二次函数的图像通过在$x$轴或$y$轴上进行平移和伸缩来达到特定的形状。
这是非常重要的，因为平移和伸缩的过程可以化简二次函数的方程，从而更容易解决问题。
二、如何解决二次函数压轴题？1、平移平移是指将图像在坐标系中沿$x$轴或$y$轴移动。
我们可以将二次函数$f(x) = ax^2+bx+c$的图像向左平移$p$个单位，记为$f(x-p)$，或者向右平移$p$个单位，记为$f(x+p)$，其中$p$是平移的距离。
类似地，我们可以将图像向上平移$q$个单位，或者向下平移$q$个单位，记为$f(x)+q$或$f(x)-q$，其中$q$是垂直平移的距离。
平移后的二次函数方程可以表示为：$f(x-p) = a(x-p)^2+b(x-p)+c$$f(x)+q = a(x+q)^2+b(x+q)+c$$f(x)-q = a(x-q)^2+b(x-q)+c$这种情况下，我们需要根据题目所给的条件确定平移的距离$p$和$q$。
如果没有给定具体的数值，我们可以通过将二次函数变换为标准形式（$f(x) = a(x-h)^2+k$）来确定平移的距离。
具体来说，当我们将二次函数变换为标准形式时，二次项和一次项都会被合并到$x-h$的平方中，因此平移的距离为$h$和$k$。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(特殊三角形问题)含答案
(2)求线段PC长的最大值．
(3)连接AC，当△PAC是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
4．如图．在平面直角坐标系中，已如抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由；
19．如图，在平面直角坐标系中， 是直角三角形， ， ， ， ，抛物线 经过A，B两点，抛物线的顶点为D．
(1)求顶点D的坐标；
(2)点E是 斜边 上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 的长度最大时，求点E、F的坐标；
(3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使 是以 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．
①求此时的N点坐标；
②试探究，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，若存在，请求Q点坐标；不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(3)如图，点M是抛物线H的对称轴L上的一个动点，是否存在点M，使得以点A，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．(1)y= +3x+8
(2)32
(3)①存在，(3，0)或(3， 5)或(3，5 +5)或(3， 5 +5)
②(8，5)或(8，5 )或(8， 5 )或( 2，0)
2023年九年级数学中考专题训练 ( 二次函数与特殊的三角形问题)
中考专题训练——二次函数与特殊的三角形问题1．如图，抛物线y ＝mx 2+4mx ﹣12m （m ＜0）与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的右边），顶点为C ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△ABC 为等边三角形，点M （x 0，y 0）为抛物线y ＝mx 2+4mx ﹣12m （m ＜0）上任意一点，总有n ﹣856my 020﹣298成立，求n 的最小值；（3）若m ＝﹣12，点P 为x 轴上一动点，若α＝∠CAB+∠CPB ，当tanα＝4时，求P 点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()18,0A ，点()0,10B 和点()8,10C ，连结BC ，AC ，现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）．（1）求经过A ，B ，C 三点的二次函数解析式；（2）点P ，点Q 在运动过程中，PQF △的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出解答过程．3．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 交x 轴于点A （1，0）和点B （3，0），交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点，PE//x 轴，PF//y 轴，求线段EF 的最大值；（3）如图2，点M 是线段CD 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线，交抛物线于点N ，当△CBN 是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．4．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A ，点B ，与y 轴负半轴交于点C ，且,OC OB =其中B 点坐标为()3,0，对称轴为直线12x =．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方有一点(,)P m n ，连接PA 后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC 面积为,S 求S 与m 的函数关系；（3）在（2）的条件下，当点恰好落在抛物上时，将直线BC 上下平移，平移后的直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点（C '在B '的左侧)，若以点,,C B P ''为顶点三角形是直角三角形，求t 的值．5．如图，抛物线y＝x2+2x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC的直角顶点C（0，12），斜边AB 在x轴上，且点A的坐标为（﹣9，0），点D是AC的中点，点E是BC边上的一个动点，抛物线y＝ax2+bx+12过D，C，E三点．（1）当DE∥AB时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x＝m与x轴，DE，BC分别交于点F，H，G，若以点D，H，F为顶点的三角形与△GHE相似，求点m的值．（2）以E为等腰三角形顶角顶点，ED为腰构造等腰△EDI，且I点落在x轴上．若在x轴上满足条件的I点有且只有一个时，请直接写出点E的坐标．7．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ，顶点F 的坐标为()1,4--，对称轴交x 轴于点H ，直线112y x =-交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交抛物线对称轴于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线对称轴上一动点，若DGM ∆是以DG 为腰的等腰三角形，请求出点M 的坐标；（3）点P 为抛物线上一个动点，当点P 关于直线112y x =-的对称点恰好落在x 轴上时，请直接写出点P 的坐标．8．如图，已知抛物线与x 轴交于()30A -,、()10B ,两点，与y 轴交于点()0,3C ，对称轴l 与x 轴交于点D ，点E 在y 轴上，且OE OB =．P 是该抛物线上的动点，连结PA 、PE ，PD 与AE 交于点F ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）设点P 的横坐标为()310t -<<①求PAE △的面积的最大值；②在对称轴l 上找一点M ，使四边形PAME 是平行四边形，求点M 的坐标；③抛物线上存在点P ，使得PEF 是以EF 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标，并判断此时PAE △的形状．9．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线4y x k=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．10．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C （0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D 的坐标为（2，0），点P 是该抛物线第一象限上的一个动点，连接DP 交BC 于点E ．当△BDE 是等腰三角形时，直接写出此时点E 的坐标；（3）如图2，点M （m ，n ）是抛物线上位于对称轴的左侧且不在坐标轴上的动点，过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ，当S △MFQ ：S △MEB ＝1：3时，求出点M 的坐标．11．如图，对称轴为直线1x =的抛物线经过()4,0B ，()0,8C 两点，抛物线与x 轴的另一交点为A ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP 的面积为S ，求S 的最大值；（3）若M 是线段BC 上一动点，在x 轴上是否存在这样的点Q ，使ΔMQC 为等腰三角形且ΔMQB 为直角三角形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物2(0)y ax bx c a =++≠经过点,A B ，与y 轴负半轴交于点C ，且OC OB =，其中B 点坐标为(3,0)，对称轴l 为直线12x =．(1)求抛物线的解析式；(2)在x 轴上方有一点P ，连接后满足PAB CAB ∠=∠，记PBC ∆的面积为S ，求当10.5S =时点P 的坐标(3)在(2)的条件下，当点P 恰好落在抛物线上时，将直线BC 上下平移，平移后的10.5S =时点P 的坐标；直线y x t =+与抛物线交于,C B ''两点(C '在B '的左侧)，若以点,,C B P ''为顶点的三角形是直角三角形，求出t 的值．13．如图，二次函数243y x bx c =++的图象与x 轴交于()A 30，，()B 10-，，与y 轴交于点C ．若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当P ，Q 运动到t 秒时，将△APQ 沿PQ 翻折，若点A 恰好落在抛物线上D 点处，求出D 点坐标；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出E 点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线经过点C 时，与x E ，其顶点为F ，对称轴与x 轴的交点为H ．（1）求a 、c 的值；（2）连接OF ，求△OEF 的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线HF 上，一直角边始终过点E ，另一直角边与y 轴相交于点P ，是否存在这样的点Q ，使得以点P 、Q 、E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标中，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过点A （6，0），B （﹣2，0），C （0，4）．（1）求二次函数y ＝ax 2+bx+c 的表达式；（2）点P 在第一象限的抛物线上，且能够使△ACP 得面积最大，求点P 的坐标；（3）在（2）的前提下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△APQ 为直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．16．如图，已知关于x 的二次函数y ＝﹣x 2+bx +c （c ＞0）的图象与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求出二次函数的关系式；（2）点P 为线段MB 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为D ．若OD ＝m ，△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）探索线段MB 上是否存在点P ，使得△PCD 为直角三角形？如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．17．综合与探究如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，且3,OB OC ==点D 是BOC ∠的平分线与抛物线的交点．()1求抛物线的解析式及点D 的坐标；()2点E 在平面直角坐标系内，且以O B D E 、、、点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点E 的坐标．()3若点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，且点P 的横坐标为,m 请写出BCP 的面积S 与m 之间的关系式，并求出m 为何值时，BCP 的面积S 有最大值，最大值为多少．18．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(32，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．(1)求抛物线的解析式；(2)当BQ=12AP时，求t的值；(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B （﹣1，﹣1），抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ ＝1且∠KNQ＝∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数213y x bx c =-++的图像与坐标轴交于,,A B C 三点，其中点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()4,0，连接,AC BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动；同时，动点Q 从点O 出发，在线段OB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t 秒．连接PQ ．（1）填空：b =_________，c =________；（2）在点,P Q 运动过程中，APQ 可能是直角三角形吗?请说明理由；（3）在x 轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M ，使PQM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．（1）点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）n 的最小值为256；（3）点P 的坐标为（34，0）．【分析】（1）令y ＝mx 2+4mx ﹣12m ＝0，解得x ＝2或﹣6，即可求解；（2）首先求出抛物线对称轴处的取值，根据等边三角形的性质求得C 点坐标，即可获得m的值（即抛物线最大值），然后设t ＝3my 020﹣298，变形为顶点式，代入抛物线最大值得到t=10，最后解不等式即可；（3）首先求出CM 的长，然后证明α＝∠MCH ，在△CHM 中，tan ∠CMH ＝12，tan ∠MCH＝tanα＝4，利用三角形的边角关系即可求出点H 的坐标，进而求解．【详解】（1）令y ＝mx 2+4mx ﹣12m ＝0，解得x ＝2或﹣6，故点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（﹣6，0）；（2）由点AB 的坐标知，AB ＝8，函数的对称轴为x ＝﹣2，当x ＝﹣2时，y ＝mx 2+4mx ﹣12m ＝﹣16m ，∵△ABC 为等边三角形，则yC ＝ACsin ∠CAB ＝ABsin60°＝故点C 的坐标为（﹣2，，则﹣16m ＝m ＝﹣4，则抛物线的最大值为y 0设t020﹣298，则t ＝﹣4y 020+2＝﹣4（y 0﹣2﹣298≥﹣4（2+2＝﹣10，故有n ﹣856≥﹣10，解得n≥256，故n 的最小值为256；（3）连接BC 并延长交y 轴于点M ，设直线CP 与y 轴交于点H ，过点H 作HK ⊥CM 于点K ，由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为y ＝2x+12，则点M （0，12），则tan ∠CBA ＝2，则tan ∠CMH ＝12，由点C 、M 的坐标得，CM 根据函数的对称性，BC ＝CA ，则∠ABC ＝CAB ，则α＝∠CAB+∠CPB ＝∠CBA+∠CPB ＝∠MCH ，在△CHM 中，tan ∠CMH ＝12，tan ∠MCH ＝tanα＝4，则设HK ＝4x ，则CK ＝x ，MK ＝8x ，则CM ＝CK+KM ＝x+8x ＝9x ，解得x HM＝409，则OH ＝12﹣409＝689，故点H （0，689），由点C 、H 的坐标得，直线CH 的表达式为y ＝﹣29x+689，令y ＝0，则x ＝34，故点P 的坐标为（34，0）．【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数的动点问题，锐角三角函数，等边三角形，题目综合性较强，要注意区分三种锐角三角函数的区别．2．（1）1410189y x x =-++；（2）为定值90；（32【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据OA=18，P 点的速度为4单位/秒，可得出P 点总在OA 上运动．△PQF 中，Q 到PF 的距离是定值即OB 的长，因此只需看PF 的值是否有变化即可得出S △PQF 是否为定值，已知QC ∥PF ，根据平行线分线段成比例定理可得出：QC QD QE QC OP DP EF AF===，因此可得出OP=AF ，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA ，由于OA 的长为定值即PF 的长为定值，因此△PQF 的面积是不会变化的．其面积的值可用12OA•OB 求出；（3）可先用t 表示出P ，F ，Q 的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF 2，PQ 2，FQ 2，进而可分三种情况进行讨论：①△PFQ 以PF 为斜边．则PF 2=PQ 2+FQ 2，可求出t 的值．②△PFQ 以PQ 为斜边，方法同①③△PFQ 以FQ 为斜边，方法同①．综合三种情况即可得出符合条件的t 的值．【详解】解：（1）∵()20y ax bx c a =++≠经过A （18，0），B （0，10），C （8，10），则20=181********a b c c a b c ⎧++⎪=⎨⎪=++⎩，解得：1184910a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴二次函数解析式为：1410189y x x =-++；（2）设点P 运动t 秒，则OP=4t ，CQ=t ，0＜t ＜4.5，说明P 在线段OA 上，且不与点OA 、重合，由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===，∵△AEF ∽△CEQ ，∴AF ：CQ=AE ：EC=DP ：QD=4：1，∴AF=4t=OP ，∴PF=PA+AF=PA+OP=18，又∵点Q 到直线PF 的距离d=10，∴S △PQF =12PF•d=12×18×10=90，∴△PQF 的面积总为90；（3）设点P 运动了t 秒，则P （4t ，0），F （18+4t ，0），Q （8-t ，-10）．∴PQ 2=（4t-8+t ）2+102=（5t-8）2+100FQ 2=（18+4t-8+t ）2+102=（5t+10）2+100．①若FP=FQ ，则182=（5t+10）2+100．即25（t+2）2=224，（t+2）2=22425，∵0≤t≤4.5，∴2≤t+2≤6.5，∴5=，∴2，②若QP=QF ，则（5t-8）2+100=（5t+10）2+100．即（5t-8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t 满足．③若PQ=PF ，则（5t-8）2+100=182．即（5t-8）2=224≈15，又0≤5t≤22.5，∴-8≤5t-8≤14.5，而14.52=（292）2=8414＜224．故无0≤t≤4.5的t 满足此方程．注：也可解出t=85-＜0或t=85+＞4.5均不合题意，故无0≤t≤4.5的t 满足此方程．综上所述，当2-时，△PQF 为等腰三角形．【点评】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．3．（1）y ＝x 2﹣4x+3；（2）EF 的最大值为4；（3）M 点坐标为可以为（2，3），（52，3），（52，3）．【分析】（1）根据题意由A 、B 两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D 点坐标代入求出a 的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P 在二次函数图象上，坐标为（p ，p 2﹣4p+3）．又因为PF//y 轴，点F在直线BC 上，P 的坐标为（p ，﹣p+3），在Rt △FPE 中，可得FE PF ，用纵坐标差的绝对值可求线段EF 的最大值．（3）根据题意求△CBN 是直角三角形，分为∠CBN ＝90°和∠CNB ＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣b ）（x ﹣c ），∵y ＝ax 2+bx+与x 轴r 的两个交点A 、B 的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y ＝a （x ﹣1）（x ﹣3）．又∵点D （4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a ＝3，∴解得：a ＝1．∴二次函数的解析式：y ＝（x ﹣1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p ．∴线段EF 的最大值为，EF max4．（3）①如图2所示：若∠CNB＝90°时，点N在抛物线上，作MN//y轴，l//x轴交y轴于点E，BF⊥l交l于点F．设点N的坐标为（m，m2﹣4m+3），则点M的坐标为（m，3），∵C、D两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD∥x轴．又∵∠CNE＝∠NBF，∠CEN＝∠NFB＝90°，∴△CNE∽△NBF．∴CENE＝NFBF，又∵CE＝﹣m2+4m，NE＝m；NF＝3﹣m，BF＝﹣m2+4m﹣3，∴24m mm-+＝2343mm m--+-，化简得：m2﹣5m+5＝0．解得：m1m2∴M33）②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）．综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（52，3），（52-，3）．【点评】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．4．（1）211322y x x =---；（2）()392S m m =+>-；（3）t 的值为19或32．【分析】（1）根据题意求出A 、B 、C 三点坐标，然后用待定系数法求函数解析式；（2）先找到P 点所在直线，并求出解析式，设出P 点坐标，然后用12⨯水平宽⨯铅垂高的方法求三角形面积；（3）分类讨论，通过直角三角形的性质，去求平移后的直线y x t =+上的点坐标，从点坐标得直线解析式．【详解】解：（1）∵(3,0)B ，对称轴为直线12x =，()2,0A ∴-，()3,0B ，3,OB ∴=,OC OB =Q 3,OC ∴=)3(0,–C ∴，将A 、B 、C 三点代入抛物线的解析式2y ax bx c =++，得0930423a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪-=⎩，解得12123a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为211322y x x =--；（2）如图，,PAB CAB ∠=∠ ∴作射线AP 与y 轴正半轴交于点D ，,,90BAC BAD OA OA AOC AOD ∠=∠=∠=∠=︒ ，()AOC AOD ASA ∴≅ ，3,OD OC =∴=()30,D ∴，()2,0A - ，∴直线AP 的解析式为33,2y x =+ 点(),P m n 在直线AP 上，33,2n m ∴=+()3,0,,3(0)B C - ，∴直线BC 的解析式为3y x =-，过点P 作y 轴的平行线交BC 于,F 3(),,F m m ∴-()31336,22PF m m m -=∴=+-+()11136392222(PBC S S OB PF m m m ∴==⋅=⨯+=+>- ）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为211322y x x =--①，由（2）知，直线AP 的解析式为332y x =+②，联立①②解得，20x y =-⎧⎨=⎩或612x y =⎧⎨=⎩，()6,12P ∴，①如图，当90C PB ''∠= 时，取B C ''的中点E ，连接,PE 则2,B C PE ''=即：224,B C PE ''=设()1221,,(,)x C y B x y ''，直线B C ''的解析式为y x t =+③，联立①③化简得，2326(0x x t --+=），()12123,26x x x x t ∴+==-+，∴点33,22E t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()()()()22221212121212224B C x x y y x x x x x x ''=-+-=-=+-⎡⎤⎣⎦()294261666t t ⎡⎤⎣=⎦=+++，而22223326*********PE t t t =-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=+⎭-⎝，22611666421,2t t t ⎛⎫ ∴-⎝+=⎪⎭+6t ∴=（此时，恰好过点P ，舍去）或19,t =②如图，当90PC B ''''∠= 时，延长C P ''交BC 于H ，交x 轴于G ，则90BHC ''∠=︒，,90OB CO BOC =∠=︒ ，45,OBC ∴∠=︒45,PGO ∴∠=︒过点Р作PQ x ⊥轴于Q ，则12GQ PQ ==，18,OG OQ GO ∴=+=∴点()18,0G ，∴直线"C G 的解析式为18y x =-+④，联立①④解得612x y =⎧⎨=⎩或725x y =-⎧⎨=⎩，"C ∴的坐标为()–7,25，将点"C 坐标代入y x t =+中，得257t =-+，32,t ∴=综上：满足条件的t 的值为19或32．【点评】本题考查二次函数的综合题，涉及函数解析式的求解，三角形面积求解，直角三角形的存在性问题，解题的关键是熟练掌握这些特殊题型的特殊解法，运用数形结合的思想去解决问题．5．（1）24；（2）最大值为922，点P （﹣21522）；（3）存在，点M 的横坐标为234-22622210-26．【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC 的解析式，进而求出点N 、D 的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；（2）证明52FG 即为EP 的长度，即可求解；（3）分∠BNM 为直角、∠MBN 为直角，利用三角形全等即可求解．【详解】解：（1）令x ＝0，得0204y =+⨯--，∴C （0，﹣），令y ＝0，得220y x =+-，解得1x =-，2x =∴A （-0），点B （，0），设直线AC 的解析式为：y ＝kx+b （k ≠0），则0b b ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩，∴1k b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴直线AC 的解析式为：y x =--∵(22244y x x x =+-+-，∴D （--，过D 作DM ⊥x 轴于点M ，交AC 于点N ，如图，令x =-(y =----N （-，-），∴DN =∴112422ACD S DN AO =⋅=⨯⨯= ；（2）如图，过点D 作x 轴的平行线交FP 的延长线于点H ，由点A 、D 的坐标得，直线AD的表达式为：2y x =--，∴tan ∠FDH ＝2，则sin ∠FDH5=，∵∠HDF+∠HFD ＝90°，∠FPG+∠PFG ＝90°，∴∠FDH ＝∠FPG ，在Rt △PGF 中，PF ＝FG sin GFP ∠＝FG sin FDH∠=，则FG ＝EF+PF ＝EP ，设点P （x22x x +-，则点E （x，x --，则FG ＝EF+PF ＝EP＝222344x x x x x ⎫---+-=--⎪⎪⎝⎭，＜0，故EP 有最大值，此时x ＝﹣2b a ＝﹣当x＝-22y x x =+-=故点P（-2-）；（3）存在，理由：设点M 的坐标为（m ，n ），则224n m =+-，点N （0，s ），（Ⅰ）当点M 在x 轴下方时，①当∠MNB 为直角时，如图，过点N 作x 轴的平行线交过点B 与y 轴的平行线于点H ，交过点M 与y 轴的平行线于点G ，∵∠MNG+∠BNH ＝90°，∠MNG+∠GMN ＝90°，∴∠GMN ＝∠BNH ，∵∠NGM ＝∠BHN ＝90°，MN ＝BN ，∴△NGM ≌△BHN （AAS ），∴GN ＝BH ，MG ＝NH ，即n s -=m s -=-，联立并解得：m =故m =M （；②当∠NBM 为直角时，如图，过点B 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点G ，交过点M 与x 轴的平行线于点H ，同理可证：△MHB ≌△BGN （AAS ），则BH ＝NG ，即n =-，当n =-224m +--m =±（舍去正值），故m =-M （，-）；（Ⅱ）当点M 在x 轴上方时，同理可得：m =--或-综上，点M的横坐标为--．【点评】本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．6．（1）①21712612y x x =-++；②m 的值为72或0；（2）点E 的坐标为（2﹣9，1508-）或（12，3）．【分析】（1）①先根据点A 、点C 坐标求出点D 坐标，再根据三角函数求出CE =10，进而可得点E 的坐标为（8，6），把点E 和点D 坐标代入y ＝ax 2+bx +12中即可求解；②分∠GEH ＝∠FDH 和∠GEH ＝∠DFH 两种情况讨论，根据三角函数求得DH 的长，进而可求得m 的长；（2）分两种情况：EI ⊥AB 时，设EI ＝x ，根据已知条件和三角形相似比可求得EI 、BE 的长，根据勾股定理求出AB 、OB 的长，再根据三角形相似比可求出BI 的长，进而可得到点E 坐标；以点E 为圆心，DE 为半径作圆，交x 轴于点H ，过点D 作DI ⊥AB 于I ，过点E 作EM AB ⊥于点M ，同样根据已知条件和三角形相似比可求出点E 坐标．【详解】（1）①∵点A （﹣9，0），点C （0，12），∴AO ＝9，CO ＝12，在Rt △AOC中，15AC ==，∵点D 是AC 的中点，∴CD ＝12AC ＝152，点D 的坐标为9(,6)2-，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠CAB ，∴CE ＝CD •tan ∠CDE ＝CD •tan ∠CAB ＝151229⨯=10，可得点E 的坐标为（8，6），把E （8，6）和9(,6)2-代入y ＝ax 2+bx +12，得81912642648126a b a b ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，解得16712a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21712612y x x =-++．②当∠GEH ＝∠FDH 时，可得4tan 3DH HGE HF =∠=，解得DH ＝8，∴97822m =-+=；当∠GEH ＝∠DFH 时，可得3tan 4DH HEG HF =∠=，解得92DH =，∴99022m =-+=．综上所述，m 的值为72或0．（2）如图，过点E 作EI ⊥AB 于I ．当ED ＝EI 时，满足条件，设EI ＝x ，∵EI ∥OC ，∴EI OC ＝EBBC，∵OC ＝12，BC 20，∴12x ＝20BE ，∴BE ＝53x ，∴EC ＝20﹣53x ，∵DE 2＝CD 2+EC 2＝（152）2+（20﹣53x ）2，∴（152）2+（20﹣53x ）2＝x 2，整理得，64x 2﹣2400x +16425＝0，解得x ＝1508-或1508+（舍弃），∴BE ＝55150250753388x --=⨯=，在Rt ABC 中，25AB ===25916OB AB OA ∴=-=-=∵EI ∥OC ，BE BI BC OB∴=，25082016BI -=，252BI =-，16(25)922OI =--=-，∴E 9．如图2﹣2中，以点E 为圆心，DE 为半径作圆，交x 轴于点H ，过点D 作DI ⊥AB 于I ，过点E 作EM AB ⊥于点M ，当ED ＝EI 时，满足条件．则点E 为DH 中点，由D 点坐标为9(,6)2-可知点E 纵坐标为3由题可知，EMB COB △△EM MBCO OB ∴=，即31216MB =，MB=4,OM=14-4=12，此时E （12，3），综上所述，满足条件的点E 912，3）．【点评】本题主要考查了二次函数的应用、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识，有一定困难，灵活并综合应用所学知识是解题关键．7．（1）223y x x =+-；（2）点M 的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭；（3）点P 的坐标为()1,4--或120,39⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为()214y a x =+-，再根据C 的坐标利用待定系数法即可求出解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D ，G 的坐标，进而可求出DG 的长度，然后分DG=DM ，DG=GM 两种情况利用等腰三角形的性质进行分析计算即可；（3）过点E 作EN ⊥直线DE ，交x 轴于点N ，设点P 关于直线112y x =-的对称点落在x 轴上Q 点处，连接PQ 交直线DE 于点R ，可证DOE △∽DEN ，利用相似三角形的性质可求出点N 的坐标，由点E 、N 的坐标利用待定系数法可求出直线EN 的解析式，利用//PQ EN 可设直线PQ 的解析式为y =－2x +m ，利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点Q 的坐标，联立直线PQ 和直线DE 的解析式，可求出点R 的坐标，进而可得出点P 的坐标，将点P 坐标代入解析式即可求m 的值，从而得到点P 的坐标．【详解】解：（1）在抛物线23y ax bx =+-中，当0x =时，3y =-，点C 的坐标为()0,3-，∵抛物线的顶点为()1,4--，∴设抛物线的解析式为()214y a x =+-，将()0,3C -代入()214y a x =+-得：()23014a -=⨯+-，解得：1a =，∴抛物线的解析式为()221423y x x x =+-=+-，∴抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）当0y =时，1102x -=，解得：2x =，∴D 的坐标为()2,0，当1x =-时，13122y x =-=-，∴点G 的坐标为31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()3213,2DH GH =--==，∴2DG =，当DG DM =时，32HM HG ==，∴点M 的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，当2GM GD ==时，若点M 在点G 的上方，32MH MG GH -=-=，∴点M 的坐标为⎛- ⎝⎭，若点M 在点G 的下方，32MH MG GH =+=，∴点M 的坐标为31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，综上所述：点M 的坐标为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或⎛- ⎝⎭或1,⎛- ⎝⎭；（3）过点E 作EN ⊥直线DE ，交x 轴于点N ，设点P 关于直线112y x =-的对称点落在x 轴上Q 点处，连接PQ 交直线DE 于点R ，当0x =时，1112y x =-=-，∴点E 的坐标为(0，－1)，∴OE=1，=，∵90DOE DEN ∠=∠=︒，ODE EDN ∠=∠，∴DOE △∽DEN ，∴DN DE DE DO =2=，∴52DN =，∴点N 坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵点E 的坐标为(0，－1)，点N 坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴线段EN 所在直线解析式为21y x =--，由题可得，//PQ EN ，故设直线PQ 的解析式为2y x m =-+，当0y =时，20x m -+=，解得：2mx =，∴点Q 的坐标为,02m ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线PQ 和直线DE 的解析式，得：1122y x y x m ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩，解得：22545m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴点R 的坐标为224,55m m +-⎛⎫⎝⎭，∵点R 为线段PQ 的中点，∴点P 的坐标为3828,105m m +-⎛⎫⎪⎝⎭，∵点P 在抛物线223y x x =+-的图象上，∴23838282310105m m m ++-⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，整理，得：2968840m m ++=，解得：12146,9m m =-=-，∴点P 的坐标为()1,4--或120,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、中点坐标公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是灵活利用二次函数图象上点的坐标特征．8．（1）223y x x =--+；（2）①12124；②点M ()1,2--；③当点P ()1,4-时，PAE △是等腰直角三角形，当点P ()2,3-时，PAE △是等腰三角形．【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）①[解法一]如图4.1，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交AE 于点I ，根据点的坐标求出直线AE 的表达式为113y x =+，得到点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点I 的坐标为1,13t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求出()2217231233p I PI y y t t t t t ⎛⎫=-=--+-+=--+ ⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式求出2211737121232232624PAES PI AO t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯--+⨯=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，根据函数性质解答即可求出PAE △的面积最大值；[解法二]如图4.1，连结PO ，点P 的坐标为()2,23t t t --+，根据PAE PAO PEO AOES S S S =+-△△△△计算整理2371212624t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，根据函数性质解答即可求出答案；②设点M 的坐标为()1,m -，由题意，点P 的坐标为()2,23t t t --+，根据平行四边形的性质得到AE 、PM 为对角线，根据P M A E x x x x +=+，求出2t =-，即可求出点P 的坐标为(2,3)-，由此得到点M 的坐标；③PEF 是以EF 为直角边的直角三角形分两种情况：（Ⅰ）若90PEF ∠=︒，如图4.2，过点P作PG y ⊥轴于点G ，证明EPG AEO △∽△，得到PG EG EO AO =，即()223113t t t --+--=，求出t 的值即可得到点P 的坐标，确定PAE △是等腰直角三角形；（Ⅱ）若90PFE ∠=︒，如图4.3，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，证明PHD AOE △∽△，得到PH DH AO EO =，即223131t t t--+--=，求出t 的值得到点P 的坐标为()2,3-，得到此时PAE △是等腰三角形.【详解】（1）∵抛物线与x 轴交于()30A -,、()10B ,两点，∴设所求抛物线的函数表达式为()()31y a x x =+-，把点()0,3C 代入，得()()331a x x =+-，解得1a =-，∴该抛物线的函数表达式为()()31y x x =-+-，即223y x x =--+；（2）①[解法一]如图4.1，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交AE 于点I .∵OE OB =，∴()0,1E ，∴直线AE 的表达式为113y x =+．由题意，点P 的坐标为()2,23t t t --+，则点I 的坐标为1,13t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴()2217231233p I PI y y t t t t t ⎛⎫=-=--+-+=--+ ⎪⎝⎭，∴2211737121232232624PAES PI AO t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=--+⨯=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△．∵302a =-<，且30t -<<，∴当76t =-时，PAE △的面积最大值为12124．（2）①[解法二]如图4.1，连结PO ，由题意，点P 的坐标为()2,23t t t --+，PAE PAO PEO AOES S S S =+-△△△△111222p p AO y EO x AO EO =⋅+⋅-⋅()222313373712123()3222222624t t t t t t ⎛⎫=--++--=--+=-++ ⎪⎝⎭．∵302a =-<，且30t -<<，∴当76t =-时，PAE △的面积最大值为12124.②∵点M 在抛物线223y x x =--+的对称轴1x =-上，∴设点M 的坐标为()1,m -.由题意，点P 的坐标为()2,23t t t --+，∵四边形PAME 是平行四边形，AE 、PM 为对角线，∴P M A E x x x x +=+，即130t -=-+，∴2t =-，∴点P 的坐标为(2,3)-.∴P M A E y y y y +=+，得301m +=+，∴2m =-.∴点M 的坐标为()1,2--.③PEF 是以EF 为直角边的直角三角形分两种情况：（Ⅰ）若90PEF ∠=︒，如图4.2，过点P 作PG y ⊥轴于点G ，则EPG AEO △∽△，∴PG EG EO AO =，即()223113t t t --+--=，整理得220t t --=，解得11t =-，22t =(舍去)，∴点P 的坐标为()1,4-.此时PAE △是等腰直角三角形.（Ⅱ）若90PFE ∠=︒，如图4.3，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则PHD AOE △∽△，∴PH DH AO EO =，即223131t t t --+--=，整理得260t t --=，解得12t =-，23t =（舍去），∴点P 的坐标为()2,3-.此时PAE △是等腰三角形.（注：用其它方法求解参照以上标准给分.）【点评】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，最值问题，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，解题中还需运用分类思想解题，这是一道较难的抛物线的综合题，运用的知识点较多，正确掌握各知识点并熟练解题是关键.9．（1）抛物线1C 的解析式为：y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．【详解】解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，∵OAB 是等腰直角三角形，∴∠BOA =45°，又∵∠BDO=∠BAO=90°，∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，∴∠BDA=∠BOA=45°，∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，∴DAC △是等腰直角三角形，∴DC=AC ．。
2023年九年级中考数学专题复习：二次函数的特殊三角形问题压轴训练
2023年中考数学专题复习：二次函数的特殊三角形问题压轴训练 1．如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =，1OA =，4OC =，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．(1)求顶点D 的坐标；(2)点E 是Rt ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 、F 的坐标；(3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P ，使EFP △是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．2．如图直线()0y kx n k =+≠与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过A ，B 两点的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点C ，且(1,0),(4,0)C A -(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)若M 点为x 轴上一动点，当MAB △是以AB 为腰的等腰三角形时，求点M 的坐标．(3)若点P 是抛物线上A ，B 两点之间的一个动点（不与A ，B 重合），则是否存在一点P ，使PAB △的面积最大？若存在求出PAB △的最大面积；若不存在，试说明理由．3．综合与实践如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B (3，0)，与y 轴交于点C (0，3)，直线l 经过B ，C 两点，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)求点D 的坐标及抛物线的对称轴；(3)判断BCD 的形状，并说明理由．4．如图，抛物线()224y x m x =-++的顶点C 在x 轴的正半轴上，直线2y x =+与抛物线交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧．(1)求m 的值；(2)点P 是抛物线()224y x m x =-++上一点，当PAB △的面积是ABC 面积的2倍时，求点P 的坐标；(3)将直线AB 向下平移(0)k k >个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D ，E 两点(点D 在点E 的左侧)，当DEC 为直角三角形时，求k 的值．5．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4（a ≠0）与x 轴交于点A 和B （4，0），与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ，当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，点D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且∠DQE ＝2∠ODQ ．在y 轴上是否存在点F ，使得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线234y x bx c =-++交x 轴于(1,0)A -，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，点D 是抛物线上位于直线BC 上方的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AC ，BD ，若ABD ACB ∠=∠，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AD 平移m 个单位，平移后A 、D 的对应点分别为M 、N ，在x 轴上是否存在点P ，使得PMN 是等腰直角三角形？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，二次函数23(0)y ax bx a a =+-<的图像与x 轴交于A 、B（点A 在点B 左侧）两点，与y 轴交于点C ，已知点(30)B ，，P 点为抛物线的顶点，连接PC ，作直线BC ．(1)点A 的坐标为_______；(2)若射线CB 平分PCO ∠，求二次函数的表达式；(3)在（2）的条件下，如果点(0)D m ，是线段AB （含A 、B ）上一个动点，过点D 作x 轴的垂线，分别交直线BC 和抛物线于E 、F 两点，当m 为何值时，CEF ∆为直角三角形？8．如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点Q 在抛物线上且位于线段BC 下方的一个动点（不与点B ，C 重合），求当△BCQ 面积的最大时，点Q 的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得△BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标．(3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D为(4，3)．(1)求抛物线及直线l的函数关系式；(2)点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使AFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；(3)若点Q是y轴上一点，且∠ADQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．11．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），与y 轴交于点B ，且()1,0C ，3OA OB ==．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 是抛物线位于第二象限上的点，过点P 作PQ y ∥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点H ，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．①求线段PD 的最大值；②若PDQ AHQ △≌△时，请求出此时点P 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线M 的表达式为y ＝﹣12x 2+2x ，与x 轴交于O 、A 两点，顶点为点B ．(1)求证：△OAB 为等腰直角三角形：(2)已知点P 在y 轴上，且OP ＝1，点C 在第一象限，△ABC 为等腰直角三角形，将抛物线M 进行平移，使其对称轴经过点C ，请问平移后的抛物线能否经过点P ？如果能，求出平移方式；如果不能，说明理由．13．抛物线223y x x =-++与x 轴交于另一点A ，B 两点．与y 轴交于C ，D 为抛物线的顶点．(1)求A ，B ，C ，D 的坐标；(2)点P 为抛物线上的点，且PAC 是直角三角形，求点P 的坐标．(3)点M 是y 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，当以A ，D ，M ，Q 为顶点的四边形是矩形，直接写出点Q 的坐标．14．如图，抛物线2y x bx c =-++经过(1,0)A ，(3,0)B -两点，交y 轴于点C ，过点A 的直线与y 轴交于点D ，与抛物线交于点M ，且tan ∠BAM ＝1．(1)求该抛物线的解析式．(2)P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使得以点A ，P ，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点N 为x 轴上一动点，请直接写出当∠DNM 最大时点N 的坐标．15．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标；(2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线26y ax bx =++与直线2y x =+相交于15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()4,B m 两点，动点P 在线段AB 上，PE y ∥轴与抛物线相交于点E ．(1)求抛物线的表达式及m 的值；(2)求线段PE 长的最大值；(3)求△P AE为直角三角形时点P的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线顶点为点D．(1)求B，C，D三点坐标；(2)如图1，抛物线上有E，F两点，且EF//x轴，当△DEF是等腰直角三角形时，求线段EF的长度；(3)如图2，连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点P，当△PBC面积最大时，点P坐标．18．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；(3)在y轴上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知，如图，在平面直角坐标系中，A (-3，0)、B (1，0)，把点A 绕原点逆时针旋转，使其落在y 轴负半轴点C 处，抛物线y =ax 2+bx +c 过A 、B 、C 三点，连接AC ．(1)求抛物线的解析式；(2)把直线AC 向上平移、平移后的直线DM 交y 轴于点D ，交y 轴右侧的抛物线于点M ，连接AM 、CM 、若=15ACM S △，求点M 的坐标； (3)点N 为直线BC 上一个动点，设点N 的横坐标为n ，若以A 、C 、N 三点组成的三角形为钝角三角形、试求出n 的取值范围．20．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，与y 轴交于点C ．P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线BC上方的抛物线上时，求PBC的最大面积，并直接写出此时P点坐标；(3)若点M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．答案1．(1)(1，4)(2)E (32，52-)，F (32，154)(3)存在，P 点的坐标为(12，154)或52-)或52-)． 2．(1)234y x x =-++，4y x =-+(2)()()()1234,0,4,4,0M M M --(3)存在，83．(1)2y x 2x 3=-++(2)顶点()1,4D ,对称轴1x =(3)BCD △是直角三角形，4．(1)2m = (2)()19P -，或()616P ， (3)2k =或35．(1)y ＝x 2－5x ＋4(2)平行四边形(3)存在，（0，1）或（0，－1）或（0，258）6．(1)239344y x x =-++ (2)D 点坐标为(3,3) (3)203m =，53，567．(1)()1,0-(2)2=y (3)当2m =或1-时，ΔCEF 为直角三角形8．(1)254y x x =-+(2)Q （2，-2）(3)（0，258）或（0，1）或（0，-1）9．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)△ABN 的面积不变，为4．10．(1)y ＝﹣14x 2+x +3，y ＝12x +1(2)存在，(2,0)或或或(2,-4)(3)(0，﹣9)或(0，133)11．(1)223y x x =--+(2)①PD ②(P + 12．(2)将抛物线M 向右平移34个单位，再向上平移8732个点，得过点C 1和点P 的抛物线；抛物线M 向右平移76个单位，再向上平移28972得出过点C 2和点P 的抛物线；抛物线M 向右平移14个单位。
中考数学二次函数压轴题类型
中考数学二次函数压轴题类型
在中考数学中，二次函数的压轴题是一种常见的题型。
这类题目通常涉及到二次函数的图像特征、性质以及相关计算。
以下是几种常见的二次函数压轴题类型：
求顶点坐标：题目给出二次函数的表达式，要求确定二次函数的顶点坐标。
一般可以通过求解二次函数的导数为零的方程，找到顶点的横坐标，再带入函数表达式求得纵坐标。
求对称轴方程：题目给出二次函数的表达式，要求确定二次函数的对称轴方程。
对称轴是与二次函数图像关于某条直线对称的线，其方程一般可以通过将二次函数表达式中的x用符号表示，然后化简得到。
求零点：题目给出二次函数的表达式，要求确定二次函数的零点（也称为根或解）。
通常可以通过将二次函数表达式设置为零，然后解二次方程得到。
求函数值范围：题目给出二次函数的定义域范围，要求确定函数值的范围。
可以通过观察二次函数的开口方向和顶点坐标，或者利用函数的对称性来确定函数值的范围。
给定函数值，求自变量：题目给出二次函数的表达式和函数值，要求确定使函数值等于给定值的自变量。
可以通过将二次函数表达式设置为给定函数值，然后解二次方程得到自变量。
这些是常见的二次函数压轴题类型，掌握这些题型的解题方法，对于中考数学的复习和应试都会有很大帮助。
记住要熟练掌握二次函数的基本性质和公式，并多进行相关的练习题目。
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注：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系．
典例精析
例 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝
kx＋n(k≠0)经过B、C两点．已知A(1，0)，C(0，3)，且BC
＝5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式；
出CQ2，AQ2，要使△ACQ为等腰三角形，需分三种
情况讨论：①CQ＝CA；②AQ＝AC；③QA＝QC， 然后分别列方程求出m，即可得到对应的点Q的坐标．
例3题图
解：点Q的坐标为( 5 2 ，5 2 －4)或(1，－3)； 22
解法提示：设直线BC的解析式为y＝kx＋b，(k≠0)
将B(4，0)，C(0，－4)代入y＝kx＋b
∴QM＝MB＝4－m，PM＝－1 m2＋1 m＋4， 33
例3题解图
∴QP＝PM－QM＝－ 1 m2＋ 1 m＋4－(4－m)＝－1 m2＋ 4 m，
33
3
3
∴QF＝ 3 2 QP＝3 2 (－ 1 m2＋ 4 m)＝－ 2m2＋4 2 m.
7
7
33
7
7
∵－ 2 <0，∴QF有最大值， 7
42
∴当m＝－ 7 ＝2时，QF有最大值． 2 （- 2 ） 7
例3题图
②当AC＝AQ时，即AC2＝AQ2，
∴25＝2m2－2m＋25，解得m3＝0(舍去)，m4＝1， ∴点Q的坐标为(1，－3)；
③当AQ＝CQ时，即AQ2＝CQ2，
∴2m2－2m＋25＝2m2，
解得m5＝
25 2
(舍去)．
综上所述，点Q的坐标为( 5 2 ，5 2 －4)或(1，－3)．
22
得
4k b b 4
0
，解得
k 1 b 4
，
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
例3题图
∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∴点Q的坐标为(m，m－4 )， ∵点Q在第四象限，∴m>0，m－4<0，∴0<m<4.
∵A(－3，0)，C(0，－4)，
∴AC2＝AO2＋CO2＝(－3)2＋(－4)2＝25，
∵∠FGP＝∠AOC＝90°， ∴△FGP∽△AOC，
例3题解图
∴ FG GP ，即 FG GP ，
AO OC
34
∴GP＝
4 3
FG＝
4 3
·
2 FQ＝ 2 2
2 3
FQ，
∴QP＝GQ＋GP＝ 2 FQ＋2 2 FQ＝7 2 FQ，
2
3
6
∴FQ＝3 2 QP. 7
∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ＝45°，
例3题图
（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，
Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；
若不存在，请说明理由；
【思维教练】利用待定系数法可求得直线BC的解析
式，利用勾股定理计算出AC的长，设点Q的坐标为
(m，m－4)(0＜m＜4)，进而用含m的式子分别表示
CQ2＝(m－0)2＋[m－4－(－4)]2＝2m2，
AQ2＝[m－(－3)]2＋(m－4)2＝2m2－2m＋25，
要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，
可分三种情况讨论，
①当AC＝CQ时，即AC2＝CQ2，∴25＝2m2，
解得m1＝ 5
2 2
，m2＝－ 5
2 2
(舍去)，
∴点Q的坐标为(5 2 ，5 2 －4)； 22
问题
分情况
找点
分别以A，B为圆心，
以AB为腰 已知点A、 B和直线l，
以AB长为半径画圆， 与 已 知 直 线 的 交 点 P1 ， P2，P4，P5即为所求
在l上求点
P，使
作线段AB的垂直平分
△PAB为等 腰三角形
以AB为底
线 与 已 知 直 线 交 点 P3 即为所求
画图
解法
分别表示出点A、 B、P的坐标，再 表示出线 段 AB、 BP、AP的长度， 由①AB＝AP、② AB＝BP、③BP＝ AP 列 方 程 解 出 所 求点坐标
例4题图
【思维教练】先在Rt△OBC中，利用勾股定理求得点B的坐标，
利用B、C两点坐标求得直线BC的解析式，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后将点A、B、C
的坐标代入抛物线的解析式中即可．
解：∵点C的坐标为(0，3)，∴OC＝3，
∵在Rt△BOC中，OC＝3，BC＝5，
∴OB＝ BC2 OC2 ＝4， ∴点B的坐标为(4，0)，
例3题图
（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出 m为何值时QF有最大值．
【思维教练】过点F作FG⊥PQ于点G，由△OBC为
等腰直角三角形，可判断△FQG为等腰直角三角形，
则FG＝GQ＝ 2 FQ，通过证明△FGP∽△AOC，再
例3题图
2
结合线段的和差关系继而得到QF与QP的关系，QP的长可用含m的代
例3题解图
备考指导
二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为： 1. 用点坐标表示三角形三边长； 2. 根据等腰三角形的性质，分别令三边长两两相等，得到三组方程； 3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解，
则不存在这样的三角形． 此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算.
专题四 二次函数压轴题
类型三 特殊三角形问题
典例精析
例 3（2018山西）如图，抛物线y＝ 1 x2－ 1 x－4与x轴 33
交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连 接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM 交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.
数式表示出来，即可求得QF关于m的函数关系式，再利用函数的增减
性即可求解.
解：如解图，过点F作FG⊥PQ于点G，则FG∥x轴， 由B(4，0)，C(0，－4)得△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠QFG＝45°， ∴GQ＝FG＝ 2 FQ.
2
∵PE∥AC，∴∠1＝∠2. ∵FG∥x轴，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.
例3题图
（1）求A，B，C三点的坐标；
【思维教练】已知抛物线的解析式A，B，C三点均为抛物线与坐标轴的
交点，分别令y＝0，x＝0，求解即可． 解：令y＝0，得 1 x2－1 x－4＝0，
33 解得x1＝－3，x2＝4， ∴点A，B的坐标分别为(－3，0)，(4，0)．
由x＝0，得y＝－4， ∴点C的坐标为(0，－4)；
将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线y＝kx＋n(k≠0)中，