【课堂内外】2016春八年级数学下册 第一章 直角三角形 1.1 含30°角的直角三角形的性质和判定(第2课时)
八年级下第一章教案直角三角形1
如果两个角相等，那么它们是对顶角．
如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．
三角形中相等的边所对的角相等．
三角形中相等的角所对的边相等．
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．
不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．
请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法．
2：讲述新课
阅读完毕后，针对“读一读”中使用的两种证明方法，着重讨论第一种，第二种方法请有兴趣的同学课后阅读．
（1）．勾股定理及其逆定理的证明．
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
方法与过程：
1.进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
2.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．
情感态度与价值观：
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。
学法指导
引导启发式
通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．
春八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质与判定Ⅱ第1课时练习1含解析新版
第 1 课时勾股定理一、选择题 ( 本大题共8 小题 )1.如图，带暗影的矩形面积是（）平方厘米．A．9B． 24C．45D．51第1题图第8题图2.若向来角三角形两边长分别为12和 5，则第三边长为（）A． 13B． 13 或119C． 13或15 D． 153.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A． 13B． 8C．25D． 644.假如一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣ 1，2n（ n＞1），那么它的斜边长是（）A． 2n B． n+1C． n2﹣ 1 D． n2+15.以下四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A． 4， 5，6 B． 3，4， 5 C． 2， 3，4D． 1，2， 36.已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（）A． 25B． 7C．5和 7D．25 或 77.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）A． 6cm B．C．cmD．cm8.如图，在长方形 ABCD中， AB=3cm， AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D重合，折痕为 EF，则△ ABE的面积为（）A． 6cm2 B． 8cm2C． 10cm2 D． 12cm2二、填空题 ( 本大题共 6 小题 )9.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则 AB2+AC2+BC2=．10.如图，正方形 B 的面积是．第10题图第 11题图11.如图，四边形 ABCD是正方形， AE垂直于 BE，且 AE=3，BE=4，暗影部分的面积是．12.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为cm ．13.如图，小方格都是边长为 1 的正方形，求四边形ABCD的面积．第 13 题图第14题图14.如图，△ ABC中，∠C=90°，AB垂直均分线交BC于D．若 BC=8，AD=5，则 AC等于．三、计算题 ( 本大题共 2 小题 )15.如图，全部的四边形都是正方形，全部的三角形都是直角三角形，此中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A，B， C， D 的面积之和是多少？16.以以以下图，在 Rt △ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BD是∠ ABC的均分线， CD=5 cm，求参照答案：一、选择题 ( 本大题共8 小题 )1. C解析：依据勾股定理先求出直角边的长度，再依据长方形的面积公式求出带暗影的矩形面积．解：∵=15 厘米，∴带暗影的矩形面积=15×3=45 平方厘米．应选C．2. B解析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以两条边中的较长边12 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必然分类议论，即12是斜边或直角边的两种状况，此后利用勾股定理求解．解：当 12 是斜边时，第三边是=119 ；当 12 是直角边时，第三边是=13．应选 B．3. B解析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，依据勾股定理得：62+x2=102，解得： x=8．应选 B．4. D解析：依据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．应选 D．5. B解析：依据勾股定理的逆定理：假如三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判断则可．假如有这类关系，这个就是直角三角形．解： A、∵ 42+52≠ 62，∴该三角形不切合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵ 32+42=52，∴该三角形切合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；C、∵ 22+32≠ 42，∴该三角形不切合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵ 12+22≠32，∴该三角形不切合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；应选B．6. D解析：分两种状况：①当 3 和 4 为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种状况：①当 3 和 4 为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣ 32=7；综上所述：第三边长的平方是25 或 7；应选： D．7. D解析：先依据勾股定理可求出斜边．此后因为同一三角形面积必然，可列方程直接解答．解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm， 12cm，∴斜边 ==13cm，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积=× 5× 12=×13?h，∴h= cm．应选 D．8. A解析：第一依据翻折的性质获得ED=BE，再设出未知数，分别表示出线段AE， ED， BE的长度，此后在 Rt △ABE中利用勾股定理求出AE的长度，从而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ ABE的面积了．解：∵长方形折叠，使点B与点 D重合，∴ED=BE，设 AE=xcm，则 ED=BE=（ 9﹣ x）cm，在 Rt △ ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=（ 9﹣x）2，解得： x=4，∴△ ABE的面积为： 3× 4× =6（cm2）．应选： A．二、填空题 ( 本大题共 6 小题 )9. 解析：由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理依据斜边AB 的长，可得出 AB的平方及两直角边的平方和，此后将所求式子的后两项联合，将各自的值代入即可求出值．解：∵△ ABC为直角三角形，AB为斜边，∴AC2+BC2=AB2，又 AB=2，∴AC2+BC2=AB2=4，222222则 AB+BC+CA=AB+（ BC+CA） =4+4=8．故答案为： 810.解析：依据正方形的面积公式求出 AC、AD的长，依据勾股定理求出 CD的长，依据正方形的面积公式计算即可．解：由正方形的面积公式可知，AC=13， AD=5，由勾股定理得， DC==12，2则 CD=144，∴正方形 B 的面积是144，11.解析：在直角三角形ABE中，由 AE与 BE的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出暗影部分面积即可．解：∵ AE⊥BE，∴∠ AEB=90°，在 Rt △ ABE中， AE=3， BE=4，依据勾股定理得：AB==5，则 S 暗影 =S 正方形﹣ S△ABE=52﹣× 3×4=25﹣6=19，故答案为： 19．12.解析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2， 2n， 2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n 的方程，求出切合题意n 的值，即求出了直角三角形的三边长，今后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣ 2， 2n， 2n+2．由勾股定理得：（2n﹣ 2）2+（ 2n）2=（2n+2）2，解得： n1=4， n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm， 8cm，10cm．所以，其周长为 6+8+10=24cm．13.解析：由图可得出四边形ABCD的面积 =网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，该网格是 5×5 种类的且边长都是 1 的小正方形，面积为5× 5；四个角的四个直角三角形的直角边分别为：1、 2；4、 3； 3、 2； 3、2；依据直角三角形的面积等于×两直角边的乘积，分别求出四个直角三角形的面积，从而求出四边形ABCD的面积．解：由题意可得：四边形 ABCD的面积 =5× 5﹣× 1× 2﹣× 4× 3﹣× 2× 3﹣× 2× 3=12，所以，四边形ABCD的面积为12．故答案为12．14.解析：依据线段垂直均分线的性质可求得 BD的长，从而求得 CD的长，再依据勾股定理即可求得 AC的长．解：∵ AB垂直均分线交BC于 D， AD=5，∴BD=AD=5，∵ BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴ AC==4，故答案是： 4．三、计算题 ( 本大题共 2 小题 )15.解析：依据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A， B， C，D 的面积之和 =49cm2．故答案为： 49cm2．16.解： . ∵在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BD是∠ ABC的均分线，∴∠ ABD=∠ CBD=30° .∴AD=DB.又∵ Rt △CBD中， CD=5 cm，∴BD=10 cm.∴ BC=BD 2CD 2= 10252=5 3 (cm).∴ AB=2BC=10 3 cm.。
八年级数学下三角形的证明集训课堂练素养1构造含30°角的直角三角形模型的方法习题北师大
2 如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝ 30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
解：如图，延长AD，BC交于点E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE. ∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°.∴∠ECD＝60°. ∴△DCE是等边三角形． ∴CD＝CE＝DE. ∵AD＝4，BC＝1， ∴2(1＋CD)＝4＋CD，解得CD＝2.
∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°. 又∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°， ∴∠ABD＝∠BAP. ∴AD＝BD. ∴AD＝CD. ∴∠DAC＝∠DCA＝45°. ∴∠ACB＝∠DCA＋∠PCD＝45°＋30°＝75°.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日下午1时31分41秒13:31:4122.3.27 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那
4 如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC＝2PB，∠ABC ＝45°，∠APC＝60°.求∠ACB的度数．
解：如图，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD. ∵∠APC＝60°，∴∠PCD＝30°. ∴PC＝2PD. 又∵PC＝2PB，∴PB＝PD. ∴∠PBD＝∠PDB＝30°. ∴∠PCD＝∠PBD. ∴BD＝CD.
北师版 八年级下
第一章
三角形的证明
集训课堂 练素养
1.构造含30 °角的Hale Waihona Puke 角三角形模型的方法习题链接
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1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为 BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8.求CE的长．
北师版八年级下册数学 第1章 1.1.4目标二 含30 °角的直角三角形的性质 习题课件
第一章Leabharlann 三角形的证明1.1. 等边三角形的判定 4
目标二 含30 °角的直角三角形的性质
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1D 2A 3B 4A
5 22.5 cm 6 7
答案呈现
认知基础练
1 【教材P12随堂练习变式】【中考·西宁】如图，在 △ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB 交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错 误的是( D ) A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED
认知基础练
4 如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5 m，为方
便下货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水
平地面的夹角不大于30°，这块木板的长度至少为
(A) A．3 m
B．2.5 m
C．2.6 m
D．0.75 m
认知基础练
5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°， ∠BAC的平分线为AM，且AM的长为15 cm，则BC＝ __2_2_._5_c_m___.
思维发散练
(2)求AD的长． 解：由(1)知△ABE≌△CAD， ∴∠CAD＝∠ABE. ∴∠BPD＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAD＝ ∠BAC＝60°. 又∵BQ⊥AD，∴∠PBQ＝30°.∴BP＝2PQ＝6. ∴BE＝BP＋PE＝6＋1＝7. ∴AD＝7.
思维发散练
7 【2021·杭州】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD 交AC边于点D，AE⊥BC于点E，已知∠ABC＝60°， ∠C＝45°.
认知基础练
【注意】 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边是斜边的一半，而不是另一条直角边 是斜边的一半．