高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件课时作业理新人教版
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系充分条件与必要条件课件
(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)． ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是 真命题； ②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”； ③命题“在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B”的逆命题为真命题； ④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．
(2)0，
1 2
[规律总结] 本题(2)将“﹁p是﹁q的必要而不充分条件”转化为“p是q的充分而不必要 条件”；将p，q之间的条件关系转化为相应集合之间的包含关系，使抽象问题 直观化、复杂问题简单化，体现了等价转化思想的应用．
[变式训练]
ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )
(2)(2013·山东高考)给定两个命题p，q.若﹁p是q的必要而不充分条件，则p
是﹁q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)∵x>1⇒log1(x＋2)<0，log1(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”
2
2
是“log1(x＋2)<0”的充分而不必要条件．
③命题 β 是命题 α 的否命题，且命题 γ 是命题 α 的逆否命题．
A．①③
B．②
C．②③
D．①②③
【解析】 本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论 互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的 条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，故选A.
【答案】 A
高考一轮复习理科数学课件：第一单元 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
命题为真命题；
④“若 x>1，则 x2>1”的否命题为真命题．
其中正确结论的序号是
.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
解：①正确． ②不正确，否命题为“若 m2＋n2≠0，则 m，n 不全为 0”． ③m>0 时，Δ＝1＋4m>0，所以原命题为真命题，所以逆 否命题为真命题． ④逆命题“若 x2>1，则 x>1”为假命题，所以否命题为假 命题． 故正确结论的序号为①③.
答案：A
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
5．(2017·新疆一模)设 A，B 是两个集合，命题甲：A∩B
＝A；命题乙：A⊆B，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为 A∩B＝A⇔A⊆B， 所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件.
(5)如果 p q，且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要 条件．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
1． 若 p 是 q 的充分不必要条件，则﹁p 是﹁q 的
必要不充分 条件．
2．若 p，q 以集合的形式出现，记条件 p、q 对应的集合分
别为 P，Q，一般地有：
若 P⊆Q，则 p 是 q 的 充分 条件；
因此，实数 m 的取值范围是[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
训练手册
【变式探究】
3．(2018·广东佛山模拟)已知 p：(x－m)2>3(x－m)是 q：x2
2020届高考数学一轮复习第1章 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识批注——理解深一点1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论汇总——规律多一点1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．其他情况以此类推．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)“x 2＋2x －8<0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )(4)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×(二)选一选1．“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由x 2＋3x ＝0，解得x ＝－3或x ＝0，则当“x ＝－3”时一定有“x 2＋3x ＝0”，反之不一定成立，所以“x ＝－3”是“x 2＋3x ＝0”的充分不必要条件．2．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．3．(2018·唐山一模)若x ∈R ，则“x >1”是“1x<1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件．(三)填一填4．“若a ，b 都是偶数，则ab 是偶数”的逆否命题为________．解析：“a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”．答案：若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数5．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的____________条件．解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，若a ⊥b ，则a·b ＝0，即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12， ∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12， ∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题；④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题是( )A ．①②B ．②③C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D[解题技法]1．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．2．判断命题真假的2种方法[提醒] (1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；(2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．[题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若綈q ，则綈p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 解析：选C因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2，k ∈Z ， 所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断判断充分、必要条件的三种常用方法为定义法、集合法、等价转化法.[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1” “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1， 因为綈q ⇒綈p 但綈p綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[解题技法] 判断充分、必要条件的3种方法[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1，则綈p ：xy ＝1，綈q ：x ＝1且y ＝1.可知綈q ⇒綈p ，綈p 綈q ，即綈q 是綈p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．[答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若綈P 是綈S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[解题技法] 根据充分、必要条件求参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．。
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是□02真命题，判断为假的语句是□03假命题．2．四种命题及其关系3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的□08充分条件，q是p的□09必要条件p是q的□10充分不必要条件p⇒q且q⇒/pp是q的□11必要不充分条件p⇒/q且q⇒pp是q的□12充要条件p⇔qp是q的□13既不充分也不必要条件p⇒/q且q⇒/p1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．(2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件．4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若A ⊆/ B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．1．若集合A ＝{2，4}，B ＝{1，m 2}，则“A ∩B ＝{4}”是“m ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ＝2时，有A ∩B ＝{4}；若A ∩B ＝{4}，则m 2＝4，解得m ＝±2，不能推出m B. 2．(2021·吉林长春高三监测(三))已知直线a ，b 与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )A ．α⊥γ，β⊥γB ．α∩β＝a ，b ⊥a ，b ⊂βC ．a ∥α，a ∥βD ．a ∥α，a ⊥β 答案 D解析 a ∥α，过直线a 作平面与α交于直线b ，∴a ∥b ，又a ⊥β，∴b ⊥β，又b ⊂α，∴α⊥β.故选D.3．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题． 其中真命题的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③答案 C解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故其逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．(2021·河南重点中学高三联考)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当x ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，tan x ＝1，即充分性成立；当tan x ＝1时，x ＝2k π＋π4(k ∈Z )或x ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，即必要性不成立．综上可得，“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”的充分不必要条件．故选A.5．“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是 ．答案 若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0解析 根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若¬p ，则¬q ”，其原命题的否命题是“若x ，y ∈R ，x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．6．(2022·安徽芜湖高三摸底)已知p ：x 2－7x ＋10<0，q ：x 2－4mx ＋3m 2<0，其中m >0.若¬q 是¬p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，2解析 由¬q 是¬p 的充分不必要条件知p 是q 的充分不必要条件，又p ：2<x <5，q ：m <x <3m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，3m ≥5，m >0，即53≤m ≤2.考向一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB >AC ，则∠C >∠B ； (3)若x 2－2x －3>0，则x <－1或x >3.解 (1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数. 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0. 否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C >∠B ，则AB >AC . 否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B .逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.这里，四种命题都是真命题．(3)逆命题：若x<－1或x>3，则x2－2x－3>0.否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.这里，四种命题都是真命题．(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．若命题有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在△ABC中”需保留．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．1.给出下列命题：①“若a≤b，则a<b”的否命题；②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；③“周长相等的圆面积相等”的逆命题；④“若2x 为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．②④B．①②③C．②③④D．①③④答案 B解析对于①，逆命题为真，故否命题为真；对于②，原命题为真，故逆否命题为真；对于③，“面积相等的圆周长相等”为真；对于④，“若2x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.精准设计考向，多角度探究突破考向二充分、必要条件的判断角度定义法判断充分、必要条件例2 (2021·北京高考)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f (1)，比如f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，故f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)推不出f (x )在[0，1]上单调递增，故“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的充分而不必要条件，故选A.角度集合法判断充分、必要条件例3 (2021·天津高考)已知a ∈R ，则“a >6”是“a 2>36”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a >6，则a 2>36，故充分性成立；若a 2>36，则a >6或a <－6，推不出a >6，故必要性不成立．所以“a >6”是“a 2>36”的充分不必要条件．故选A.角度等价转化法判断充分、必要条件例4 给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为¬p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬p 但¬p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒¬q 但¬q ⇒/p ，所以p 是¬q 的充分不必要条件.充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．2.(2021·四川成都七中二诊)已知x ，y ∈R ，则“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y－1)＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由x 2＋y 2＜1，可得－1＜x ＜1，且－1＜y ＜1.则可得到(x －1)(y －1)＞0，故充分性成立；反之若(x －1)(y －1)＞0，可取x ＝y ＝2，显然得不到x 2＋y 2＜1，故必要性不成立，∴“x 2＋y 2＜1”是“(x －1)(y －1)＞0”的充分不必要条件．故选A.3．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由Venn 图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，不妨取C ＝∁U B ，此时A ⊆C ，故必要性成立．故选C.4．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 因为x ＝y ⇒cos x ＝cos y ，而cos x ＝cos y ⇒/ x ＝y ，所以“cos x ＝cos y ”是“x ＝y ”的必要不充分条件，即“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．考向三 充分、必要条件的探求与应用例5 (1)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m >14 B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1 答案 C解析 不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立⇔1－4m <0，得m >14，在选项中只有“m >0”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的必要不充分条件，故选C.(2)(2022·郑州模拟)已知“p ：(x －m )2>3(x －m )”是“q ：x 2＋3x －4<0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ．答案 (－∞，－7]∪[1，＋∞)解析 由p 中的不等式(x －m )2>3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)>0，解得x >m ＋3或x <m .由q 中的不等式x 2＋3x －4<0，得(x －1)(x ＋4)<0，解得－4<xp 是q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或mm 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞).1．条件、结论的相对性充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时，一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A 是B 的充分不必要条件”是指A ⇒B 但B ⇒/ A ；“A 的充分不必要条件是B ”是指B ⇒A 但A ⇒/ B .以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0，q ：B ＝{x |x －a <0}，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 答案 D解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0＝{x |(x －2)(x －1)≥0且x ≠1}＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |x－a <0}＝{x |x <a }，又p 是q 的必要不充分条件，∴B A ，由数轴可得a ≤1，故选D.6．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1答案 C解析 设ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)的两个根分别为x 1，x 2，则一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根等价于⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ＝4－4a >0，x 1x 2＝c a ＝1a <0，解得a <0，这是方程有一个正根和一个负根的充要条件，由题意可知选C.1．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．故选D.2．命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的否命题是( )A．若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为0C．若x2＋y2≠0，则x，y都不为0D．若x2＋y2＝0，则x，y都不为0答案 B解析否命题是既否定条件又否定结论．3．命题“若m>－1，则m>－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m>－4，则m>－1”为假命题，故否命题也为假命题，故选B.4．(2021·浙江高考)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B.5．(2022·开封模拟)已知直线l，m和平面α，m⊂α，则“l∥m”是“l∥α”的( ) A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 若l ∥m ，当l ⊄α时，l ∥α，当l ⊂α时不能得出l ∥α，故充分性不成立；若l ∥α，则l 与m 可能平行，也可能异面，故必要性也不成立．由上可知“l ∥m ”是“l ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2022·江西上饶六校联考)下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案 A解析 a >b ＋1⇒a >b ；反之，例如a ＝2，b ＝1满足a >b ，但a ＝b ＋1，即a >b 推不出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分不必要条件．故选A.7．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.所以其逆否命题也是假命题．故选A.8．(2021·成都第一次诊断性检测)已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“sin A >sin B ”是“tan A >tan B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 在锐角三角形ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，知sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，而正切函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以A >B ⇔tan A >tan B ．故选C.9．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，p 的逆命题为t ，则s 是p 的逆命题t 的( )A ．逆否命题B ．否命题C ．逆命题D ．原命题答案 B解析 设命题p ：“若x ，则y ”，则命题p 的否命题r 为“若¬x ，则¬y ”；命题r 的逆命题s 为“若¬y ，则¬x ”；又p 的逆命题t 为“若y ，则x ”，所以s 是p 的逆命题t 的否命题．10．(2022·山西吕梁一模)设p ：关于x 的方程4x －2x－a ＝0有解；q ：函数f (x )＝log 2(x ＋a －2)在区间(0，＋∞)上恒为正值，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由题意知p ：方程a ＝4x －2x有解，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，所以a ≥－14，q ：log 2(x ＋a－2)>0在(0，＋∞)上恒成立，则0＋a －2≥1，解得a ≥3，所以p 是q 的必要不充分条件．故选B.11．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B解析 当a 1＝－1，q ＝2时，{S n }是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当{S n }是递增数列时，有a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，这样的q 不存在，所以甲是乙的必要条件．故选B.12．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]答案 A解析 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．所以{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.13．王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的 条件(填“充分”“必要”“既不充分也不必要”中的一个).答案 必要解析 设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由题意知¬p ⇒¬q ，所以q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．14．给出下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为 ．答案 ②③④解析 由于x 2<1即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②③④满足题意．15．(2021·云南昆明高三检测)已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是¬q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪0≤a ≤12 解析 ¬q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇒a ≤x ≤ap 是¬q 的充分不必要条件，知⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12. 16．(2022·河南许昌高三阶段考试)给出下列命题：①已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件； ②“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件；③“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的充要条件；④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充要条件是“a ·b <0”．其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都填上).答案 ①②解析 因为“a ＝3”可以推出“A ⊆B ”，但“A ⊆B ”不能推出“a ＝3”，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件，故①正确；“x <0”不能推出“ln (x ＋1)<0”，但由ln (x ＋1)<0可得－1<x <0，即“ln (x ＋1)<0”可以推出“x <0”，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，所以若其最小正周期为π，则2π2|a |＝π⇒a ＝±1，因此“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a ＝1”的必要不充分条件，故③错误；“平面向量a 与b 的夹角是钝角”可以推出“a ·b <0”，但a ·b <0时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，所以“a ·b <0”是“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．17．已知p ：3－m 2<x <3＋m 2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解 记A ＝x 3－m 2<x <3＋m 2，B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}．若p 是q 的充分不必要条件，则A B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，可分两种情况讨论：①若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m 2，解得m ≤0，此时A B ，符合题意； ②若A ≠∅，即3－m 2<3＋m 2，解得m >0， 要使A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2≥0，3＋m 2<3，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧3－m 2>0，3＋m 2≤3，m >0， 解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3).18．已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤3}(a ≠0)，集合B ＝{x |－1<x ≤2}．若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q ，q ⇒/ p ，所以A B .由集合A 得－1<ax ≤2. (*)①当a >0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1a <x ≤2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥－1，2a <2或⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1，2a ≤2，解得a >1； ②当a <0时，由(*)式得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x <－1a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >－1，－1a ≤2，解得a <－2. 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a <－2或a >1}．。
2020高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课件
有关充要条件的判断常用的方法 (1)根据定义判断：①弄清条件 p 和结论 q 分别是什么；②尝试 p⇒q，q⇒p. 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件；若 q⇒p，则 p 是 q 的必要条件；若 p⇒q，q p， 则 p 是 q 的充分不必要条件；若 p q，q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 p⇒q，q⇒p，则 p 是 q 的充要条件．
C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形
D．不是平行四边形的四边形对角线互相平分
[解析] 原命题即“若四边形是平行四边形，则其对角线互相平分”，故其
逆否命题“若四边形的对角线不互相平分，则其不是平行四边形”，即“对角
线不互相平分的四边形不是平行四边形”．
3．(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的
第一章
集合与常用逻辑用语
第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1
知识梳理
2 考点突破
3
名师讲坛
知识梳理
1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_陈__述__句_____叫做命题，其中 __判__断__为__真____的语句叫做真命题，__判__断__为__假____的语句叫做假命题．
考点2 充要条件的判断——师生共研
考向1 定义法判断
例 2 (2018·北京，4)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，
b，c，d成等比数列”的
(B)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
高考一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件
第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理·双基自测知识点一命题及四种命题之间的关系1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．知识点二充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分又不必要条件pq且qp重要结论1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”(“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”)．注意：不能将“若p ，则q”与“p ⇒q ”混为一谈，只有“若p ，则q”为真命题时，才有“p ⇒q ”，即“p ⇒q ”⇔“若p ，则q”为真命题．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)语句x 2－3x ＋2＝0是命题．( × )(2)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (3)已知集合A ，B ，则A∪B＝A∩B 的充要条件是A ＝B ．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( √ )[解析] (4)当α＝β＝π2时，tan α、tan β都无意义．因此不能推出tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋k π，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．题组二 走进教材2．(选修2－1P 8T3改编)下列命题是真命题的是( A ) A ．矩形的对角线相等 B ．若a>b ，c>d ，则ac>bd C ．若整数a 是素数，则a 是奇数 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题3．(选修2－1P 10T4改编)x 2－3x ＋2≠0是x≠1的充分不必要条件． [解析] x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件． 题组三 走向高考4．(2020·天津，2，5分)设a∈R，则“a>1”是“a 2>a ”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 易知a>1⇒a 2>a ，而a 2>a ⇒a<0或a>1，所以“a>1”是“a 2>a ”的充分不必要条件． 5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( D ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m>0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0 [解析] 由原命题和逆否命题的关系可知D 正确．6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一)．[解析]这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一命题及其关系——自主练透例1 (1)(2021·新高考八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( A )A．甲B．乙C．丙D．丁(2)(2021·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的( A )A．否命题B．逆命题C．逆否命题D．否定形式(3)(多选题)下列命题为真命题的是( CD )A．“若a2<b2，则a<b”的否命题B．“全等三角形面积相等”的逆命题C．“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题D．“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零．[解析](1)若乙、丙、丁正确，显然x1＝－1，x2＝3，两根异号，x1＋x2＝2，故甲错，因此选A．(2)命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的否命题．(3)对于A ，否命题为“若a 2≥b 2，则a≥b”，为假命题；对于B ，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于C ，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故C 正确；对于D ，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确．故选C 、D ．(4)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零．否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零． 名师点拨 MING SHI DIAN BO(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q”的形式，应先改写成“若p ，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例． (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．考点二 充分必要条件考向1 充分条件与必要条件的判断——师生共研 方法1：定义法判断例2 ( 2020·北京，9，4分)已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ”是“sinα＝sin β”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)充分性：已知存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，(ⅰ)若k 为奇数，则k ＝2n ＋1，n∈Z，此时α＝(2n ＋1)π－β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β；(ⅱ)若k 为偶数，则k ＝2n ，n∈Z，此时α＝2n π＋β，n∈Z，sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β. 由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sin α＝sin β成立，则角α与β的终边重合或角α与β的终边关于y 轴对称，即α＝β＋2m π或α＋β＝2m π＋π，m∈Z，即存在k∈Z 使得α＝k π＋(－1)kβ，必要性也成立，故选C ． 方法2：集合法判断例3 (2020·天津一中高三月考)设x∈R，则“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 解绝对值不等式可得－4<x －1<4，即－3<x<5， 将分式不等式变形可得x －5x －2<0，解得2<x<5，因为(2，5)(－3，5)，所以“|x－1|<4”是“x －52－x >0”的必要而不充分条件．方法3 等价转化法判断例4 (1)给定两个条件p ，q ，若¬ p 是q 的必要不充分条件，则p 是¬q 的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p 是命题q 的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为¬ p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒¬ p ，但¬pq ，其逆否命题为p ⇒¬q ，但¬qp ，所以p 是¬q 的充分不必要条件．(2) ¬p ：cos α＝12，¬q ：α＝π3，显然¬q ⇒¬p ，¬p ¬q ，∴¬q 是¬p 的充分不必要条件，从而p 是q 的充分不必要条件，故选A ．另解：若cos α≠12，则α≠2kπ±π3(k∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q p.所以p 是q 的充分不必要条件．故选A ． 名师点拨 MING SHI DIAN BO有关充要条件的判断常用的方法(1)根据定义判断：①弄清条件p 和结论q 分别是什么；②尝试p ⇒q ，q ⇒p.若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；若p ⇒q ，qp ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq ，q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(2)利用集合判断 记法 A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)} 关系 ABBAA ＝BAB 且BA结论p 是q 的充分不必要条件p 是q 的必要不充分条件p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件断¬q 是¬p 的什么条件．〔变式训练1〕(1)指出下列各组中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．①非空集合A ，B 中，p ：x∈(A∪B)，q ：x∈B；②已知x ，y∈R，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0； ③在△ABC 中，p ：A ＝B ，q ：sin A ＝sin B ； ④对于实数x ，y ，p ：x ＋y≠8，q ：x≠2或y≠6.(2)(2020·天津部分区期末)设x∈R，则“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)①显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B 一定有x∈(A∪B)，所以p 是q 的必要不充分条件．②条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但qp ，故p 是q 的充分不必要条件． ③在△ABC 中，A ＝B ⇒sin A ＝sin B ；反之，若sin A ＝sin B ，因为A 与B 不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A ＝B ，故p 是q 的充要条件．④易知¬p ：x ＋y ＝8，¬q ：x ＝2且y ＝6，显然¬q ⇒¬p ，但¬p ¬q ，所以¬q 是¬p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是q 的充分不必要条件．(2)解不等式x 2－2x<0得0<x<2，解不等式|x －1|<2得－1<x<3，所以“x 2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要条件．故选A ．考向2 充要条件的应用——多维探究 角度1 充要条件的探究例 5 (多选题)下列函数中，满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件的是( BC )A ．f(x)＝tan xB ．f(x)＝3x －3－xC ．f(x)＝x 3D ．f(x)＝log 3|x|[解析] 因为f(x)＝tan x 是奇函数，所以x 1＋x 2＝0⇒f(x 1)＋f(x 2)＝0，但f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝0时，π4＋3π4≠0，不符合要求，所以A 不符合题意；因为f(x)＝3x －3－x 和f(x)＝x 3均为单调递增的奇函数，所以满足“x 1＋x 2＝0”是“f(x 1)＋f(x 2)＝0”的充要条件，符合题意；对于选项D ，由f(x)＝log 3|x|的图象易知不符合题意，故选BC ．注：满足条件的函数是奇函数且单调． 角度2 利用充要条件求参数的值或取值范围例6 已知P ＝{x|x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．若x ∈P 是x∈S 的必要条件，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x≤10， 所以P ＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P 是x∈S 的必要条件，知S ⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤1＋m ，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P 是x∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]．[引申1]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”改为“若x∈P 是x∈S 的必要不充分条件”，则m 的取值范围是[0，3]．[解析] 解法一：由(1)若x∈P 是x∈S 的必要条件，则0≤m ≤3，当m ＝0时，S ＝{1}，不充分；当m ＝3时，S ＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m 的取值范围为[0，3]．解法二：若x∈P 是x∈S 的必要且充分条件，则P ＝S ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10⇒m 无解，∴m 的取值范围是[0，3]．[引申2]若本例将条件“若x∈P 是x∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，则m 的取值范围是[9，＋∞)．[解析] 由(1)知P ＝{x|－2≤x≤10)， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且SP. ∴[－2，10] [1－m ，1＋m]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－2，1＋m>10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(3)注意区别以下两种不同说法：①p 是q 的充分不必要条件，是指p ⇒q 但qp ；②p 的充分不必要条件是q ，是指q ⇒p 但pq.(4)注意下列条件的等价转化：①p 是q 的什么条件等价于¬q 是¬p 的什么条件，②p 是¬q 的什么条件等价于q 是¬ p 的什么条件．〔变式训练2〕(1)(角度1)(多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A ，B 是△ABC 的两个内角．下列四个条件下，“A>B”的充要条件是( ABD )A ．sin A>sinB B ．cos A<cos BC ．tan A>tan BD ．cos 2A<cos 2B(2)(角度2)(2021·山东省实验中学高三诊断)已知p ：x≥k，q ：(x ＋1)(2－x)<0.如果p 是q 的充分不必要条件，那么实数k 的取值范围是( B )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1][解析] (1)当A>B 时，根据“大边对大角”可知，a>b ，由于a sin A ＝bsin B ，所以sin A>sin B ，则A 是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y ＝cos x 在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cosB ，则B 是“A>B”的充要条件；当A>B 时，若A 为钝角，B 为锐角，则tan A<0<tan B ，则C 不是“A>B”的充要条件；当cos 2A<cos 2B ，即1－sin 2A<1－sin 2B ，所以sin 2A>sin 2B ，所以D 是“A>B”的充要条件；故选A 、B 、D ．(2)由q ：(x ＋1)(2－x)<0，可知q ：x<－1或x>2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以x≥k ⇒x<－1或x>2，即[k ，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B ．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG抽象命题间充要条件的判定例7 已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①r 是q 的充要条件；②p 是q 的充分不必要条件；③r 是q 的必要不充分条件；④¬p 是¬s 的必要不充分条件；⑤r 是s 的充分不必要条件，则正确命题的序号是( B )A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤[分析] 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．[解析] 由题意得p，显然q ⇒r 且r ⇒s ⇒q ，即q ⇔r ，①正确；p ⇒r ⇒s ⇒q 且qp ，②正确；r⇔q ，③错误；由p ⇒s 知¬ s ⇒¬ p ，但sp ，∴¬ p ¬ s ，④正确；r ⇔s ，⑤错误．故选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然． 〔变式训练3〕若p 是r 的必要不充分条件，q 是r 的充分条件，则p 是q 的必要不充分条件． [解析] 由题意可知q ⇒rp ，∴p 是q 的必要不充分条件．。
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件课件理
• 5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A⊆B”的( A ) • A．充分不必要条件 • B．必要不充分条件 • C．充分必要条件 • D．既不充分也不必要条件 • 解析：当a＝3时，A＝{1,3}显然是B的子集， 但A⊆B时，a＝3或者a＝2，故为充分不必要 条件，故选A．
必要不充分 (3)若 p⇒ / q，且 充要 条件． (4)若 p⇔q，则 p 是 q 的________
既不充分也不必要 (5)若 p⇒ / q，且 q⇒ / p，则 p 是 q 的__________________ 条件． 充分不必要 (6)若 p 是 q 的充分不必要条件，则¬q 是¬p 的_____________ 条件．
2．下列命题为真命题的是( A ) 1 1 A．若 ＝ ，则 x＝y x y B．若 x2＝1，则 x＝1 C．若 x＝y，则 x＝ y D．若 x<y，则 x2<y2
1 1 解析：由 ＝ 得 x＝y，故选 A． x y
π 3．命题“若 α＝ ，则 tan α＝1”的逆否命题是( C ) 4 π A．若 α≠ ，则 tan α≠1 4 π C．若 tan α≠1，则 α≠ 4 π B．若 α＝ ，则 tan α≠1 4 π D．若 tan α＝1，则 α＝ 4
分值：5分
栏目导 航
板 块 一 板 块 二
板 块 三
板 块 四
• • • • •
1．命题的概念 判断真假 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其 中 __________的语句叫做真命题， __________的语句叫做假命题． 判断为真 判断为假 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 若原命题为：若p则q，则逆命题为__________，否命题为____________，逆否 命题为____________.
2019届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件课件理
3．命题“已知 a>1，若 x>0，则 ax>1”的否命题为 A．已知 0<a<1，若 x>0，则 ax>1 B．已知 a>1，若 x≤0，则 ax>1 C．已知 a>1，若 x≤0，则 ax≤1 D．已知 0<a<1，若 x≤0，则 ax≤1
(
)
D．既不充分也不必要条件 1 1 解析：当 x>1 时，x<1 成立，而当x<1 时，x>1 或 x<0，所以
1 “x>1”是“x<1”的充分不必要条件，选 A.
答案：A
5．“若 a<b，则 ac2<bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命 题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析：原命题：“若 a<b，则 ac2<bc2”，这是假命题，因为 若 c＝0 时，由 a<b，得到 ac2＝bc2＝0，不能推出 ac2<bc2. 逆命题： “若 ac2<bc2， 则 a<b”， 这是真命题， 因为由 ac2<bc2 得到 c2>0，所以两边同除以 c2，得 a<b，因为原命题和逆否 命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真 命题的个数是 2.
第
二
节
命题及其关系、充分条件与必要条件
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双 基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过
基
础
知
识
1．命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫 做命题．其中判断为真的语句叫做 真命题 ，判断为假的 语句叫做 假命题 ．
高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2课时命题及其关系、充要条件课件
2.(教材练习改编)命题“若 α＝π4 ，则 tan α ＝1”的逆否命题是
()
A.若 α≠π4 ，则 tan α ≠1
B.若 α＝π4 ，则 tan α ≠1
C.若 tan α ≠1，则 α≠π4
D.若 tan α ≠1，则 α＝π4
解析 命题“若 p，则 q”的逆否命题是“若綈 q，则綈 p”，显
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件
解析 由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex －m≥0恒成立， ∴m≤1. 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函 数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题. 答案 D
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0 是f(x)的极值点，则( )
答案 A
考点一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假
性为( )
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原 命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式， 应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写 其他三种命题时需保留大前提不变. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命 题为假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同 真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可 转化为判断其等价命题的真假.
高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件课时作业 理
第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲索引1.四种命题及其关系.2.充分条件、必要条件与充要条件.课标要求1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的叫做命题,其中的语句叫做真命题,的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p,则q”,则其逆命题是;否命题是;逆否命题是.(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.3.充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p,则q”为真命题,记作:p⇒q,则的充分条件,的必要条件.(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作:p⇔q,则p是q的,q也是p的.基础自测1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是().A. 若a≠-b,则|a|≠|b|B. 若a=-b,则|a|≠|b|C. 若|a|≠|b|,则a≠-bD. 若|a|=|b|,则a=-b2.设a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的().A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.命题“若a>b,则a-1>b-2”的逆否命题是().A. 若a-1≤b-2,则a≤bB. 若a<b,则a-1<b-2C. 若a-1>b-2,则a>bD. 若a≤b,则a-1≤b-24.(教材改编)给出命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是.5.(教材改编)下列命题中,所有真命题的序号是.①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.指点迷津◆注意两种“否”命题的否定与否命题混淆,否定含有一个量词的命题时忽视量词的改变导致出错;若命题为:若p,则q,则该命题的否命题为:若⌝p,则⌝q;命题的否定为:若p,则⌝q.四种命题的三种关系:互否关系、互逆关系、互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.如:a=0是“a·b=0”的充分不必要条件,“a·b=0”是“a=0”的必要不充分条件.考点透析考向一四种命题及其关系例1(2014·某某)原命题为“若<a n,n∈N+,则{a n}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是().A. 真、真、真B. 假、假、真C. 真、真、假D. 假、假、假【审题视点】本题主要考查数列的性质,四种命题的关系与真假判定.【方法总结】在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时,首先要把原命题的条件和结论弄清楚,这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题,否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题,逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的.变式训练1.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是().A. 若α≠,则tanα≠1B. 若α=,则tanα≠1C. 若tanα≠1,则α≠D. 若tanα≠1,则α=考向二充分条件与必要条件的判断例2(2014·全国新课标Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【审题视点】本题考查导数的应用以及充分条件、必要条件的判断,难度中等.【方法总结】命题的充要关系的判断方法.(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法:利用A⇒B与⌝B⇒⌝A,B⇒A与⌝A⇒⌝B,A⇔B与⌝B⇔⌝A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.变式训练2.(2014·)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的().A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件考向三充分条件、必要条件的应用例3已知条件p:≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且⌝q的一个充分不必要条件是⌝p,则a的取值X 围是().【审题视点】⌝q的充分不必要条件是⌝p,等价于p是q的必要不充分条件,化简p和q后,借助集合间的包含关系即可求得a的X围.【方法总结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若⌝p是⌝q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.变式训练3.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”的一个充分不必要条件可以是().A.-1<k<3B.-1≤k≤3C.0<k<3D.k<-1或k>3考题回顾典例(2014·某某)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的().A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 非充分非必要条件【解题指南】本题考查正弦定理的应用.【解析】由正弦定理知.因为a,b,sin A,sin B都为正数,所以a≤b⇔sin A≤sin B.【答案】A真题体验1.(2014·某某)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的().A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.(2014·某某)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的().A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案与解析知识梳理1.陈述句判断为真判断为假2.(1) 若q,则p 若⌝p,则⌝q 若⌝q,则⌝p(3)①相同②没有关系3.(1)p是q q是p (2) 充要条件充要条件基础自测1.D2.A3.A4.35.②③考点透析【例1】A解析:由单调数列的性质知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,排除选项C,D;又其逆命题与否命题也是互为逆否命题,必是同真同假,结合逆命题可以判断其逆命题也是真命题.变式训练1.C解析:根据原命题与其逆否命题的关系求解.由命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题是:若，则．经典考题真题体验。
高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件
2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
若綈p,则綈q
12/11/2021
若q,则p 若綈q,则綈p
(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有__相__同___的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性__没__有__关__系___.
12/11/2021
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需 注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间 的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围 时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的 现象.
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题 与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件 的含义.
12/11/2021
知识梳理 1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以__判__断__真__假__的陈述句叫做命题，其中_判__断__为__真___ 的语句叫做真命题，__判__断__为__假__的语句叫做假命题.
12/11/2021
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的__充__分___条件，q是p的__必__要___条件
p是q的__充__分__不__必__要____条件 p是q的___必__要__不__充__分___条件 p是q的__充__要___条件
p⇒q且q p p q且q⇒p
p⇔q12/1ຫໍສະໝຸດ /2021【训练1】 (1)(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( ) A.若函数 f(x)为奇函数，则 f(0)＝0 B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列 C.在△ABC 中，A>B 是 sin A>sin B 的充要条件 D.命题“若an＋2an＋1<an，n∈N*，则{an}为递减数列”的逆命题为假命题 (2)命题 p：若 x>0，则 x>a；命题 q：若 m≤a－2，则 m<sin x(x∈R)恒成立.若 p 的 逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数 a 的取值范围是________.
高考数学一轮复习 第一篇 集合与常用逻辑用语 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理
返回(fǎnhuí)导航
第三页，共三十六页。
3．“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的充分不必要条件是 q”表达 的意义相同吗？
提示：不相同，“p 是 q 的充分不必要条件”即“p⇒q 且 q⇒/ p”， 而“p 的充分不必要条件是 q”即为“q⇒p，且 p⇒/ q”．
返回(fǎnhuí)导航
返回(fǎnhuí)导航
第二页，共三十六页。
【教材导读】 1．在四种命题中，会有 1 个或 3 个命题为真命题吗？ 提示：不会，由原命题与逆否命题，逆命题与否命题是两对互为逆 否的命题、真假性相同，则四种命题为真命题的可能个数为 0,2,4. 2．写一个命题的其他三种命题时需要注意什么？ 提示：(1)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写． (2)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)已知命题 p，q，那么“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的
()
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(D)既不充分也不必要条件
返回(fǎnhuí)导航
第二十三页，共三十六页。
(1)B 解析：条件 p：(x－m)(x－m－3)＞0；解得：m＋3＜x，或 x ＜m.
条件 q：x2＋3x－4＜0.解得－4＜x＜1， ∵p 是 q 的必要不充分条件，∴1≤m，或 m＋3≤－4，解得 m≥1 或 m≤－7. 则实数 m 的取值范围是(－∞，－7]∪[1，＋∞)． 故选 B.
返回(fǎnhuí)导航
第二十四页，共三十六页。
(2)A 解析：p∧q 为真命题，命题 p、q 均为真命题；p∨q 为真命 题，命题 p、q 至少有一个为真命题．所以“p∧q 为真命题”是“p∨q 为真命题”的充分不必要条件．故选 A.
高考数学一轮复习 第一篇 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
基础梳理
1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假 的陈述 句叫做命题．其中 判断为真 的语句叫真命题，判断为假 的 语句叫 假命题 ．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命 题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若綈p，则綈q
•
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以 p是q的必要不充分条件． (4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2， 所以p⇒q但q p，故p是q的充分不必要条件．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由 条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有 否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、 复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆 命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
逆否命题 若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有 相同 的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ．
3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件 ，q是p的 必要条件 ； (2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的 充要条件 ．
一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题 的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一 个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证 法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假．
考向一 命题正误的判断 【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题： ①A B⇔对任意x∈A都有x∉B； ②A B⇔A∩B＝∅； ③A B⇔B A； ④A B⇔存在x∈A，使得x∉B. 其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)． [审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件考纲索
引
1.四种命题及其关系.
2.充分条件、必要条件与充要条件.
课标要求1.理解命题的概念.
2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的叫做命题,其中的语句叫做真命题,的语句叫做假命题.
2.四种命题及其关系
(1)四种命题
若原命题为“若p,则q”,则其逆命题是;否命题是;逆否命题是.
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.
3.充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p,则q”为真命题,记作:p⇒q,则的充分条件,的必要条件.
(2)如果既有p⇒q,又有q⇒p,记作:p⇔q,则p是q的,q也是p的.
基础自测
1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是().
A. 若a≠-b,则|a|≠|b|
B. 若a=-b,则|a|≠|b|
C. 若|a|≠|b|,则a≠-b
D. 若|a|=|b|,则a=-b
2.设a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的().
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
3.命题“若a>b,则a-1>b-2”的逆否命题是().
A. 若a-1≤b-2,则a≤b
B. 若a<b,则a-1<b-2
C. 若a-1>b-2,则a>b
D. 若a≤b,则a-1≤b-2
4. (教材改编)给出命题:“若x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是.
5. (教材改编)下列命题中,所有真命题的序号是.
①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;
②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件;
③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.
◆注意两种“否”
命题的否定与否命题混淆,否定含有一个量词的命题时忽视量词的改变导致出错;若命题为:若p,则q,则该命题的否命题为:若⌝p,则⌝q;命题的否定为:若p,则⌝q.
四种命题的三种关系:互否关系、互逆关系、互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题.
判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.
如:a=0是“a·b=0”的充分不必要条件,“a·b=0”是“a=0”的必要不充分条件.
考向一四种命题及其关系
例1(2014·陕西)原命题为“若<a n,n∈N+,
则{a n}为递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是().
A. 真、真、真
B. 假、假、真
C. 真、真、假
D. 假、假、假
【审题视点】本题主要考查数列的性质,四种命题的关系与真假判定.
【方法总结】在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时,首先要把原命题的条件和结论弄清楚,这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题,否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题,逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题.在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的.
1.命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是().
A. 若α≠,则tanα≠1
B. 若
α=,则tanα≠1
C. 若tanα≠1,则α≠
D. 若tanα≠1,则α=
考向二充分条件与必要条件的判断
例2(2014·全国新课标Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f'(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则().
A. p是q的充分必要条件
B. p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C. p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D. p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【审题视点】本题考查导数的应用以及充分条件、必要条件的判断,难度中等.
【方法总结】命题的充要关系的判断方法.
(1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假.
(2)等价法:利用A⇒B与⌝B⇒⌝A,B⇒A与⌝A⇒⌝B,A⇔B与⌝B⇔⌝A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
2. (2014·北京)设a,b是实数,则“a>b”是“a2>b2”的().
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
考向三充分条件、必要条件的应用
例3已知条件p:≤-1,条件q:x2+x<a2-a,且⌝q的一个充分不必要条件是⌝p,则a的取值范围是().
【审题视点】⌝q的充分不必要条件是⌝p,等价于p是q的必要不充分条件,化简p和q 后,借助集合间的包含关系即可求得a的范围.
【方法总结】(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若⌝p是⌝q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.
3.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”的一个充分不必要条件可以是().
A. -1<k<3
B. -1≤k≤3
C. 0<k<3
D. k<-1或k>3
典例(2014·广东)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的().
A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 非充分非必要条件
【解题指南】本题考查正弦定理的应用.
【解析】由正弦定理知.
因为a,b,sin A,sin B都为正数,
所以a≤b⇔sin A≤sin B.
【答案】 A
1. (2014·上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的().
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
2.(2014·浙江)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的().
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案与解析
1.陈述句判断为真判断为假
2. (1) 若q,则p 若⌝p,则⌝q 若⌝q,则⌝p
(3) ①相同②没有关系
3. (1) p是q q是p (2) 充要条件充要条件
1. D
2. A
3. A
4. 3
5.②③
【例1】A解析:由单调数列的性质知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,排除选项C, D;又其逆命题与否命题也是互为逆否命题,必是同真同假,结合逆命题可以判断其逆命题也是真命题.
1. C解析:根据原命题与其逆否命题的关系求解.由命题与其逆否命题之间的关系可知,原
命题的逆否命题是:若，则
．。