运用对称性解决初中数学问题

３ ４
解 由已知条Leabharlann ｘ ｙ ２ ＋ 二 是定值， 大ｙ 则ｘ 小， 反之ｙ 小， 、是对称的． 大： 即：ｙ
万方数据
中学数学杂志 ２ ８ ０ 年第 ６ 期 令ｘ二１ 汀 ｋ ＝１ ｋｘ 一 ＋， 少二（ 一 ） １ ｋ １ ｋ （ ＋ ）＝
名 粥倾滩 爱男沼９ 义卿淞 Ｊ淞慈 沼名 男 夕 男 笔
对又相称．
２５６ ２５
邹平华
例 ２ 如图２在 Ａ Ｃ Ａ ， △ Ｂ 中，Ｂ二Ａ ，Ｄ是Ｂ ＣＡ Ｃ 边上的高， 尸在 △ Ｂ 点 Ａ Ｄ内部． 试说明： Ａ Ｂ＞ 乙尸
乙Ａ ． ＰＣ
解 作点尸 关于Ａ Ｄ的对称点尸， ： 连接ｐ ， ｐ并
延长交 Ａ Ｃ于点 Ｅ ，
对称更是一种思想方法．运用对称性解决问 题， 既可以减少一些繁琐的计算， 使解题方法简洁明 快， 又可以拓展学生的解题思路 ， 培养学生的思维能 力， 下面通过具体的数学解题来看对称性在数学解 题中的运用． １ 运用对称性解几何说明题 例 １ 如图１在菱形Ａ Ｃ ， Ｂ Ｄ中， 、 分别是Ａ ＥＦ Ｂ、 Ａ 边上的动点， Ｅ二 Ｆ 试说明在运动过程中， Ｄ 且Ａ Ａ ． △Ｃ Ｆ是否是等腰三角形？ Ｅ 解法 １ 通过求证 △尸 Ｃ鉴 △Ｅ Ｃ 刀 Ｂ 解答．（ 解 答过程省略） 解法 ２ 在运动过程中 △Ｃ Ｆ是等腰三角形． Ｅ 因为四边形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ是菱形， 所以以Ａ Ｂ与Ａ Ｄ关
解法２ 因为Ｂ 一 专 ） Ｃ ５ 冬 两 是 物 （３ 、（ ， ）点 抛 ‘
线上的两个关于对称轴对称的点 所 以此抛物线的 对称轴为直线 ｘ二１ ． 又因为此抛物线与ｘ 轴交于点 Ａ 一 ，） 由对 （ ２０ ， 称性可知此抛物线与ｘ 轴交于另一个点 Ｄ ４０ ． （， ） 据此可设此抛物线的解析式为ｙ二ａｘ ２ （ （ ＋ ）ｘ 一 ）将 Ｃ点坐标（ 专 ） 人 得 二 ４， ５ 代求 。冬
２ 运用对称性求最值 如图４Ａ Ｂ为直线１ ，、 同侧两定点， 点关于１ 作Ａ
音）
． 专） 求这个抛物线的解析式． 设一般式求解（ 解题过程省略） ．
的对称点Ａ， ， 连接ＡＢ 于尸根据两点间线段最 Ｉ 交１ ， 短可知尸 上使Ｐ ＋ Ｂ 为１ Ａ 尸 值最小的点． 这种轴对称
变换在解决相关最值问题时有广泛的应用． 例４ 如图５点 ， 尸是边长为 １ 的菱形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ对 角线Ａ 上的一个动点， Ｍ、 Ｃ 点 Ｎ分别是Ａ 、Ｃ的中 ＢＢ
例 ７ 如图 ７ 双曲线ｙ ，
＝ 互与 线 ＝ ｋ＜０ ＿ 直 ｙ 脉（ ）
荡
图５
图６
， 有点 Ａ０ （， 例 ５ 如图６平面直角坐标系中，
， Ａ ３ ， １ ＝３若一个动点 尸自ｏ 的中点 Ｍ 出 ）直线 ： ｘ 发， 先达到ｘ 轴上某点（ 设为点 Ｅ ， ）再达到直线 １ 上 某点（ 设为点 Ｆ ， ）最后运动到点Ａ 求： 尸运动 ． 使点 的总路径最短的点 Ｅ 点 Ｆ的坐标， 、 并求出这个最短 总路径的长． 解析 作点Ｍ关于ｘ 轴对称的点Ｍ， （ ０
交于点 ＡＢ 过点Ａ作 Ａ 垂 、， Ｃ 直ｙ 轴于点Ｃ求５胭 ， △ｃ ’ 解 反比例函数的图像 关于原点对称， 直线ｙ二 过原点， ｘ ｋ 所以 Ａ Ｂ两点必关于原点对称． 、
所以 Ｏ 二 Ｏ ，所 以 Ａ Ｂ
图７
５， ＝５， ， △ ｃ ｏ △ｃ ｏ 坐标为（ ，）则ａ 二一 ．由题意得Ａ ａ６ ， ｂ ６ Ｃ 设点Ａ
说明 用对称性解几何说明题 ， 不仅要充分利 用几何图形的对称性， 而且还要根据题设条件进行 轴对称变换 、 中心对称变换、 旋转对称变换， 通过对 称变换创造对称性．
Ｂ
矛 汰 伞
Ｄ Ｃ
图１
图２
图４
万方数据
店．别 浮 粥谷另锣水男 尧 之 袋笼 招９名 召 男少 苏．
中学数学杂志 ２ ８ ０ 年第６ 期
＿ ＿＿ ． ＿＿ 、．。 ＿ 、一 ，， ，、 ５ ， ‘， 。． ，１ ＿
‘
说明 轴对称变换也是解决弹子游戏、 平面镜 成像、 光线的反射等问题的主要方法．
二ｌ ， 〔 二ｌｂｌ，・ ａｌ０
１ １ 一 ２
点Ａ 关于直线 １ 对称的点 Ａ（ ，） 由对称性可知 ｌ ３， ６ Ｍ Ｅ二Ｍ ＥＡ ＡＦ 连接ＭＡ， ，， Ｆ＝ ；， ，， 根据轴对称性及 两点间线段最短可知， 当点 Ｅ Ｆ分别在 Ｍ Ａ 与 ｘ 、 ，， 轴、 直线１ 的交点上时， 的运动总路径最短； 点尸 由点
‘
所 这’抛Ｊ 的’ｖ’ 为 冬， 一 个。’线砂”析、 ＪＪ 二 ｘ 二 ４ 以 尸， ￣ ， ７￣ ’ ‘ ｚ Ｊ 物 ” 解 式 ， Ｚ’ 一 ． ． －
说明 显然解法 ２ 的计算简捷， 思维活跃， 能 培养学生思维能力．
１ 犷， 一 当ｋ二 时， ０ 即ｘ二 ｙ二１ ｙ 时ｘ 有最大值 Ｌ 说明 ｘ 、 ｙｘ 是对称式， ＋ ｙ 根据ｘｙ 、是对称的， 令ｘ＝１ ｋｙ＝１ ｋ是解决这个问题最巧妙的对 一， ＋，
称思想方法． 综上所述， 在解题过程中， 如果注意到对称性并 恰当地运用， 不仅使复杂繁琐的问题得以简化， 而且 可以拓展学生的解题思路， 激发学生的创造性思维， 使学生创造性解决问题的能力得到培养．因此， 教 师在平时的教学中， 要引导学生充分挖掘数学形式 或图形的对称性， 觉地运用对称性特征去分析、 自 解 决具体问题， 抓住教学契机培养学生运用对称思想 方法解决数学问题的能力． 以上是本人在多年教学过程中的一点体会， 不 到之处， 敬请专家指正！
因为 △ Ｂ Ｃ中，Ｂ＝Ａ ，Ｄ上Ｂ Ａ Ａ ＣＡ Ｃ于点 Ｄ ， 所以点 Ｂ与点 Ｃ关于 Ａ Ｄ对称， 又因为点尸 与点尸关于Ａ 对称， 在Ａ 上， 。 Ｄ 点Ａ Ｄ 所以 △ Ｂ ｐ与 △ Ｃ ， Ａ Ａ 尸 关于Ａ Ｄ对称， 所以 乙 Ｐ Ｂ二乙 尸Ｃ Ａ Ａ ：， 因为 乙 ｐＣ ： 是 △ ｐＣ的外角， Ｅ 尸． 所以乙 尸Ｃ＞乙 ｐ ， 乙 Ｉ ， Ｅ Ｅ Ｃ 同理 Ｅ Ａ＞乙 Ｐ ， Ｐ Ｅ Ａ 所以 乙 尸Ｃ＞乙 ｐ ， 乙 Ｐ ， Ａ Ａ Ｃ所以 Ａ Ｂ＞乙 ｐ ＡＣ 例 ３ 如图３在 Ａ Ｃ中 乙Ｃ＝９０点 Ｍ为 ， △ Ｂ ０， Ａ 中点， 、分别在Ａ 、Ｃ 且 乙 Ｍ ９ ， Ｂ 点ＥＦ ＣＢ 上， Ｅ Ｆ二 ０ 试说明：Ｅ ＋ 尸 二Ｅ Ａ ｚ Ｂ 尸． 解 如图３延长Ｅ ， Ｍ到点 Ｄ 使Ｄ ＝Ｅ 连 ， Ｍ Ｍ，
于Ａ 对称； Ｃ
又因为动点Ｅ、分别在Ａ 、Ｄ 且Ａ Ａ ， Ｆ ＢＡ 上， Ｅ二 Ｆ 所以点 Ｅ与点 Ｆ始终关于Ａ 对称， Ｃ 所以 Ｅ Ｆ 关于Ａ Ｃ与 Ｃ Ｃ对称， 所以Ｅ Ｃ 所以 △Ｃ Ｆ是等腰三角形． Ｃ＝Ｆ ， Ｅ 说明 对于此题， 大部分学生能想到运用全等 来解答， 但不一定想到利用对称性解答， 教师应抓住 教学的机会渗透对称思想方法， 以拓展学生解题思
点，尸＋ 的 Ｍ Ｎ 最小值是 Ｐ ＿
解析 Ｍ、 Ｎ为Ａ 同侧两定点， Ｃ 四边形Ａ Ｃ 是 ＢＤ 菱形， 所以Ａ Ｄ的中点 Ｈ与点Ｍ关于 Ａ Ｃ对称， 所以
Ｐ 材 ， 尸＋ Ｈ 二 尸则材 Ｎ 二 ＋ ， Ｐ Ｈ Ｎ 根据两点间线段 Ｐ Ｐ
最短可知： 尸在 Ｈ 当点 Ｎ与Ａ Ｃ的交点 Ｅ处时， 尸＋ 材 刀 尸的值最小． 根据平行四边形的相关知识可求出 Ｍ Ｐ＋刀 尸的最小值为 １ ．
题就迎刃而解了． ４ 运用代数中的对称式解决问题 如果把一个多项式的任意两个字母互换后， 所 得的多项式不变就称这个多项式为对称式， 对称式
Ｍ 、 两点坐标可求出直线ＭＡ 点解析式为ｙ二 ：； Ａ ， 。
备 哥 而出：标（） ；标 一 ， 求点坐为，点坐为 从 ２， 。
于 ） 由勾股足理 叫水出最短Ｊ 息峪往阴仅刀万・
所以 ５ 劝 △ 。二
Ａ
Ｃ
Ｘ
０
Ｃ
ｌｌ
二 一１ａ ｂ
！ ．所 以 ＝３
５， △ ｃ＝２△ 二６ ， ５， ｃ ｏ ． 说明 对于此题， 如果只从交点考虑， 问题就 难以下手．运用双曲线的中心对称性分析此题， 问
中 学数学杂志 ２ ８ ０ 年第６ 期
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运用对称性解决初中数学问题
江苏省江都市油田第二中学 对称是一种客观存在．大千世界， 许多事物都 具有某些对称性 ， 一朵红花， 如： 一片绿叶， 一只色彩 斑斓的蝴蝶等．对称给人们以和谐均衡的美感． 对称又是一个数学概念．初中学生所熟悉的有 代数中的对称式， 几何中的轴对称、 中心对称 、 旋转 对称等， 更一般情况是， 许多数学问题所涉及的对象 具有对称性， 不仅包括几何图形中的对称， 而且泛指 某些对象在有些方面如图形、 关系、 地位等同彼此相
作．
在多年的教学工作中， 教学成绩突出， 多次被评为市、 县 级优秀教师及优秀班主任． 所写论文“ 浅谈有理数教学中 数 学思想方法的渗透” 中国 在《 科教创新导刊） 上发表，以不 “ 变应万变” “ 、 浅议课堂教学的引入”分别获市级二等奖、 三
等奖．
初中数学中的测量方案设计问题
山东 省邹城市第四中学 山东 省邹城市第 八中学
１ 测里平面内不可直接到达的两点之间的距离 问题１ 图１ 为公园内的人工湖， 现要测量此人 工湖两旁 Ａ Ｂ两点的距离（ ， ， ＡＢ两点不能直接到 达）请你根据所学知识， ， 以卷尺和测角仪为工具设 计一种测量方案． 要求 ：
２３（ ７５ ） Ｘ
３ 运用函数图像的对称性解决问题
的本质反应的是多元多项式中字母地位相同， 一些 对称式的代数问题 ， 常用最简对称式 ａ＋ｂａ 表示 、 ｂ 将问题解决． 例８ 已知ｘ＞ ， ０且ｘ ｙ二 ， ｙ 的 ０ｙ＞ ， ＋ ２求ｘ
最大值．
抛物线与双曲线都是对称性图形， 巧妙地应用 它们的对称性， 可以优化解题过程． 例６ 已知某抛物线经过点Ａ 一 ， ，（ ３ （ ２０ Ｂ 一 ， ）