最新2019高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程训练 新人教B版必用2
高中数学 第二章 平面解析几何 2.3 圆及其方程 2.3.1 圆的标准方程课后提升训练(含解析)新
2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程 课后篇巩固提升基础达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.方程y=√9-x 2表示的曲线是() A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{x =8,x -x -1=0可得圆心为(9,8),故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为() A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(√3)2=4=m2,∴m=±2.27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.x+1)2+(y-2)2=58.若圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,∴r2=1-34k2>0,r max=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).-1)19.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r2,则有{(2-x )2+(2-x )2=x 2,(5-x )2+(3-x )2=x 2,(3-x )2+(-1-x )2=x 2,解得{x =4,x =1,x 2=5,即△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求: (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程; (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4),∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12. ∵直线l 垂直于直线AB , ∴直线l 的斜率k l =-1xxx=-2,∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A (-1,2),B (3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3), ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.能力提升练1.方程(x-1)√x 2+x 2-3=0所表示的曲线是() A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+x 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+x 2-3=0表示一条直线和一个圆.2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3x -1=0,3x -2x +5=0,解得{x =-1,x =1,即P (-1,1).∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为2√5,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x+23)2+(x-73)2=499,过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=2√5,∴|CB|=√5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(√5)2,①把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②联立①②,解得a=2,b=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.故选B.4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.C(2+√2cosα,2+√2sinα),∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα+a,2+√2sinα),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα-a,2+√2sinα),∵∠ACB=90°,∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα)2-a2+(2+√2sinα)2=0,∴a2=10+4√2(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[√2,3√2],∴a的最小值是√2.√25.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),则{xx-1·(-1)=-1,-x+12=x2,解得{x=0,x=-1.所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.2+(y+1)2=16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2√14,求圆C的方程.C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为√2=√2,由半径、弦心距、半弦长的关系得4x02=14+x022,∴y0=±2.当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.素养培优练1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A(-12,0),点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为.,取点K(-2,0),连接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2.又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.√102.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=√2=32√2,解得m=1或-5.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d 取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.。
高中数学 第二章 平面解析几何 2.3 圆及其方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课时分层作业(含解
课时分层作业(十六) 直线与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心C[易知直线过定点(0,1)且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12D[由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或b＝12．]3．如果直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A．P在圆外B．P在圆上C．P在圆内D．不能确定A[直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4的圆心之间的距离为d＝|4|a2＋b2．又直线与圆有两个不同的交点，所以d＜r，即4a2＋b2＜2，∴a2＋b2＞4，∴点P(a，b)在圆外．]4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A、B两点，若弦AB的中点C(－2,3)，则直线l的方程为()A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0A [由圆的一般方程可得圆心O (－1,2)，由圆的性质易知O (－1,2)，C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k OC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，即x －y ＋5＝0．]5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．－1或 3B ．1或3C ．－2或6D ．0或4D [由弦长公式l ＝2r 2－d 2，可知圆心到直线的距离d ＝2，即|a －2|12＋(－1)2＝2，解得a ＝0或a ＝4．] 二、填空题6．若直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△ECF 的面积为．25 [圆心C (2，－3)到直线x －2y －3＝0的距离为d ＝55＝5，又知圆C 的半径长为3，∴|EF |＝232－(5)2＝4，∴S △ECF ＝12·|EF |·d ＝12×4×5＝25．]7．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值X 围是． 1≤b ＜2[曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，易知曲线的图象为以(0,0)为圆心，1为半径的圆的上半部分，如图所示，直线y ＝x ＋b 是平行于y ＝x 的直线，由图知直线夹在l 1与l 2之间，含l 2，不含l 1，故1≤b ＜2．]8．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是．x －2y ＋5＝0 [点P (－1,2)是圆x 2＋y 2＝5上的点， 圆心为C (0,0)，则k PC ＝2－1＝－2，所以k ＝12，y －2＝12(x ＋1)．故所求切线方程是x －2y ＋5＝0．] 三、解答题9．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0． (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． [解] 圆C 方程可化为x 2＋(y －4)2＝4，此圆的圆心为(0,4)，半径为2． (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34，即当a ＝－34时，直线l 与圆C 相切．(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，解得a ＝－7或a ＝－1，故所求方程为：7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0．10．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． [解] (1)设圆A 的半径为r ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20． (2)当直线l 与x 轴垂直时， 则直线l 的方程x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ， ∴|AQ |2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|MN |2＝r 2，又∵|MN |＝219，r ＝25，∴|AQ |＝20－19＝1，解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)， 即3x －4y ＋6＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0．11．(多选题)圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋m 2＝0与直线2x －4y ＋m 2＝0的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断BC [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －4y ＋m 2＝0，①2x －4y ＋m 2＝0，②①－②得，x 2＋y 2＝0，∴x ＝y ＝0．代入②得，m 2＝0，即当m ＝0时，方程组有一个解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0.而当m ≠0时，方程组无解，∴当m ＝0时直线l 与圆C 相切；当m ≠0时，直线与C 相离．]12．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3C [圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为5，所以|－2a －3|a 2＋b2＝5，整理得a 2－12a ＋5b 2－9＝0，又直线过P (－1,2)， 代入得2b －a －3＝0，两式联立，得a ＝1，b ＝2，所以ab ＝2．]13．(一题两空)已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0，则直线过定点，该直线被圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0，截得最短弦长为．(4，－3) 215[将直线l 变形得2m (x －4)＝y ＋3，即直线l 恒过定点P (4，－3)，圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25．如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－(－6)4－3＝3，所以直线l 的斜率为－13， 则2m ＝－13，所以m ＝－16．在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5． 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215．故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215．]14．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有个． 3 [圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8， 所以弦心距为d ＝|－1－2＋1|2＝2．又圆的半径为22，所以到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有3个．]15．(1)圆C 与直线2x ＋y －5＝0切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程；(2)已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解] (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． ∵两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行，∴2r ＝|15－(－5)|22＋12＝45，∴r ＝25，∴|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10，①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10，② 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直， ∴b －1a －2＝12，③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20． (2)设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |， ∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |．由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9．。
第二章 2.3.1 圆的标准方程
上 页
下 页
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
法二：∵圆过 A(5,2)、B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上， 1 线段 AB 的垂直平分线方程为 y＝－ (x－4)， 2 2x－y－3＝0 x＝2 由 ，解得 ，即圆 C 的坐 1 y＝1 y＝－2(x－4) 标为(2,1)， ∴r＝|CA|＝ (5－2)2＋(2－1)2＝ 10. ∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
下 页
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
【解】 法一：设△ABC 的外接圆 方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知得， (1－a)2＋(4－b)2＝r2 2 2 2 (－2－a) ＋(3－b) ＝r ， 解 得 (4－a)2＋(－5－b)2＝r2 a＝1 b＝－1 r＝5 .
上 页
下 页
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
基础知识梳理
课堂互动讲练
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
基础知识梳理
1．圆的标准方程 (1)圆的定义： 平面内到定点距离等于定 长 的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心， 定长就是半径． (2)圆的标准方程的形式： (x－a)2＋(y－ b)2＝r2. (3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列 式、化简、证明．
基础知识梳理
课堂互动讲练
第 二 章 平 面 解 析 几 何 初 步
上 页
下 页
规律方法总结
高中数学第2章平面解析几何初步 圆的标准方程同步练习湘教版选择性必修第一册
2.5 圆的方程2.5.1 圆的标准方程A级必备知识基础练1.(2022陕西西安新城高一期末)与圆(x-1)2+y2=4同圆心且经过点P(-2，4)的圆的标准方程为()A.(x-1)2+y2=17B.(x+1)2+y2=25C.(x+1)2+y2=17D.(x-1)2+y2=252.(2022四川阆中中学高二月考)圆心在y轴上，半径长为1，且过点(1，2)的圆的标准方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=13.圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y+1)2=1C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(x+2)2+(y+1)2=54.(2022广西钦州高一期末)圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心关于原点的对称点为()A.(4，-2)B.(-2，4)C.(2，-4)D.(4，2)5.(多选题)下列说法正确的是()A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为bC.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为6.(多选题)已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的值不可能是()A.-2B.-C.D.27.(2022浙江名校联盟高二联考)已知圆C的圆心在直线2x-y+3=0上，半径为r，且与直线l:x-y+4=0相切于点P(-2，2)，则圆C的圆心为;半径r= .8.已知圆C过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2).(1)求圆C的标准方程;(2)判断P(3，2)和圆C的位置关系.B级关键能力提升练9.(2022福建三明一中高二月考)已知圆心为(-2，1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-1)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=410.已知直线l平分圆x2+(y-3)2=4，且与直线x+y=0垂直，则直线l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=011.(多选题)关于圆(x-2)2+y2=5的说法，正确的是()A.关于点(2，0)对称B.关于直线y=0对称C.关于直线x-y+2=0对称D.关于直线x+3y-2=0对称12.(多选题)圆上的点(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是()A.x2+y2=5B.(x-1)2+y2=5C.x2+(y+1)2=5D.(x-1)2+(y+1)2=513.(多选题)(2022山西芮城中学高二月考)设有一组圆C k:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列说法正确的是()A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆C k均不经过点(3，0)C.经过点(2，2)的圆C k有且只有一个D.所有圆的面积均为4π14.(2022浙江精诚联盟高二联考)圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切的圆的标准方程为.15.已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则该圆的标准方程为.16.(2022山西长治二中等校高二联考)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2).(1)求△ABC外接圆的标准方程;(2)动点D在△ABC的外接圆上运动，点E坐标为(7，4)，求线段DE中点M的轨迹.C级学科素养创新练17.(多选题)已知圆M与两坐标轴都相切，且M到直线y=2x-2的距离为，则圆M的直径为()A.4B.C.8D.10参考答案2.5圆的方程2.5.1圆的标准方程1.D由圆(x-1)2+y2=4的方程可知圆心为(1，0).设所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=r2，点P(-2，4)代入得(-2-1)2+42=r2，解得r2=25，所以圆的标准方程为(x-1)2+y2=25.故选D.2.A设圆心(0，b)，圆的标准方程为x2+(y-b)2=1，则12+(2-b)2=1，解得b=2.所以圆心为(0，2)，所以圆的标准方程为x2+(y-2)2=1.故选A.3.A圆心为(2，1)且和x轴相切的圆的半径为1，故该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1，故选A.4.C由题知，圆C:(x+2)2+(y-4)2=2的圆心为(-2，4)，该点关于原点对称的点为(2，-4).故选C.5.AC圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为，故A正确;圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为|b|，故B错误;圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为，故C正确;圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2，-2)，半径为，故D错误.故选AC.6.AD由已知条件可得(1-a)2+(1+a)2<4，即2a2+2<4，解得-1<a<1.故选AD.7.(-1，1)设圆心坐标为(m，n)，则由题可得解得则圆C的圆心为(-1，1).所以r=.8.解(1)设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为圆C过O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)，则解得故所求圆C的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25.(2)因为(3-4)2+(2+3)2=26>25，所以点P(3，2)在圆C外.9.B由题意知，圆的圆心为(-2，1)，且该圆与y轴相切，则该圆半径为2，故圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=4.故选B.10.D因为直线l平分圆x2+(y-3)2=4，且与直线x+y=0垂直，所以直线l过圆心(0，3)，且斜率为1，所以直线l的方程是y-3=x，整理得x-y+3=0.故选D.11.ABD由题可知，该圆圆心的坐标为(2，0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，所以选项A正确;圆是关于直径对称的轴对称图形，直线必过圆心，直线x-y+2=0不过圆心，直线x+3y-2=0过圆心，所以选项B，D正确，选项C不正确;故选ABD.12.AD∵圆上的点A(2，1)关于直线x+y=0的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线x+y=0上.设圆心坐标为(a，-a)，圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=5，则(2-a)2+(1+a)2=5，解得a=0或a=1.则该圆的圆心为(1，-1)或(0，0)，故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.故选AD.13.ABD圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0.∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0无实数根，故B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0.∵Δ=16-8=8>0，则方程k2-4k+2=0有两个不等实根，∴经过点(2，2)的圆C k有两个，故C错误; 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，故D正确.故选ABD.14.(x-1)2+(y-1)2=1因为圆心在第一象限，半径为1，且同时与x，y轴相切，则该圆的圆心为(1，1)，故该圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1.15.(x-2)2+(y+1)2=13由题可得|PA|=，|PB|=，|PC|=5，则|PA|<|PB|<|PC|.要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则该圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.16.解(1)因为A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，所以k AB==0，线段AB的中点为(2，5)，则AB的垂直平分线的方程为x=2.k BC==-7，BC的中点为，则BC的垂直平分线的方程为y-，整理得x-7y+5=0.解方程组解得所以圆心坐标为(2，1)，半径为=5，所以△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=25.(2)设M(x，y)，D(x0，y0)，由中点坐标公式得将(2x-7，2y-4)代入(x-2)2+(y-1)2=25得DE中点M的轨迹方程为(2x-7-2)2+(2y-4-1)2=25，整理得，所以线段DE中点M的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆.17.C由题意，圆M与两坐标轴都相切，因此可设圆心坐标为M(a，a)或M(a，-a)(a≠0)，则半径r=|a|.若圆心为M(a，a)，由点到直线的距离公式得d=，解得a=4，a=0(舍去)，所以圆M的直径为2r=2|a|=8;若圆心M(a，-a)，由点到直线的距离公式得d=，解得a=，a=0(舍去)，所以圆M的直径为2r=2|a|=.故选C.。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方
B.(x-3)2+(y+4)2=25
C.(x+3)2+(y-4)2=5
D.(x+3)2+(y-4)2=25
解析:因为圆心是 C(-3,4),半径长为 5,所以圆的方程为
(x+3)2+(y-4)2=25.
答案:D
(2)已知点 A(-4,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程
为
.
解析:AB 的中点坐标即为圆心坐标 C(1,-3),又圆的半径 r=|AC|= 29,
圆的半径.设 M(x,y)是☉C 上的任意一点,点 M 在☉C 上的条件是|CM|=r,r 为☉C 的半径.
思考 1 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集
合是什么? 提示:是一个以定点为圆心,以定长为半径的圆面.
2.圆的方程 (1)圆心在坐标原点,半径为 r 的圆的标准方程为 x2+y2=r2. (2)圆心坐标为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
思考 2 在平面直角坐标系中,圆是函数的图象吗?
提示:根据函数知识,对于平面直角坐标系中的某一曲线,如果垂直于 x 轴的直线与此曲线至多有一个交点,那么这条曲线是函数的图象,否则,不是 函数的图象.对于平面直角坐标系中的圆,垂直于 x 轴的直线与其至多有两 个交点,因此圆不是函数的图象.但是存在图象是圆弧形状的函数.
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+3)2=29.
答案:(x-1)2+(y+3)2=29
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 待定系数法求圆的标准方程
1.待定系数法求圆的标准方程,需求出圆心和半径,即列出关于 a,b,r 的 方程组,求出 a,b,r.一般步骤如下:
2019高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程练习 新人教B版必修2
2.3.1 圆的标准方程1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()A.πB.2πC.2πD.2π,故周长为2π·=2π.2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()A. B.2 C.4 D.3(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.5B.4C.5.5D.2d=,故当b=-2时,d 取最小值2.4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()A.x2+y2=2R2B.x2+y2=4R2C.x2+y2=8R2D.x2+y2=9R2R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.5方程y=-表示的曲线是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为.C(a,b),则即且|AC|=|BC|=r=.故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.x-2)2+(y+3)2=57圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.由题意得解得故所求圆的方程为=1.=18已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.x-2)2+y2=9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,即3a≤a,∵a>0,∴3,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.圆C内的居民从A地购货便宜.圆C外的居民从B地购货便宜.圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.。
高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1圆的标准方程练习新人教B版必修2
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案：C
解析：方程(x－a)2＋(y－b)2＝0，解得 ，因此它只表示一个点(a，b)，故选C.
3．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝ ＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
8．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2,3)圆上的点的距离的最大值为________．
答案：5＋
解析：由题意，知点M在圆O内，MO的延长线与圆O的交点到点M(2,3)的距离最大，最大距离为 ＋5＝5＋ .
2．点与圆的位置关系的判定方法
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为A(a，b)，半径为r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.反之也成立．
第23课时2.3.1圆的标准方程
课时目标
1.掌握圆的标准方程及其推导方法．
2．会判断点与圆的位置关系．
3．会用待定系数法求圆的标准方程．
识记强化
1．圆的标准方程：若圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；特别地，如果圆心在坐标原点，圆的标准方程就是x2＋y2＝r2.
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
2019最新高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.2 圆的一般方程练习 新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程1曲线x2+y2+2x-2y=0关于()A.直线x=2对称B.直线y=-x对称C.点(-2,2)中心对称D.点(-2,0)中心对称(x+)2+(y-)2=4.圆心(-)在直线y=-x上,故圆关于直线y=-x对称.故选B.2若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a的值是()A.-1B.2C.-1或2D.1可得a=-1或a=2(舍).3过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()A.y=xB.y=-xC.y=xD.y=-xy=kx,因为圆心(-2,0)到直线kx-y=0的距离等于圆的半径1,所以=1,解得k=±.又因为切点在第三象限,所以k=-舍去.所以所求直线的方程为y=x.4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=1D.(x+2)2+(y-1)2=1(x1,y1),其与点P连线的中点为(x,y),则代入x2+y2=4,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1.5圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是()A.36B.18C.6D.52+y2-4x-4y-10=0⇒(x-2)2+(y-2)2=18,即圆心为(2,2),半径为3.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为=5,由数形结合思想可得:该圆上的点到已知直线的距离的最小值为2,最大值为8,故所求距离之差为6.6已知A(1,4),B(-2,3),C(4,-5),D(4,3)四点,则这四点()A.共线B.不共面C.共圆D.不共圆A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有解得所以经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0,将点D(4,3)的坐标代入上述方程有42+32-2×4+2×3-23=0,所以点D在此圆上,故A,B,C,D四点共圆.7已知A(-2,0),B (0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最大值为()A.3-B.4-C.D.3+ABC的面积最大,即要求点C到AB的距离最大,亦即求圆上的点到直线AB距离的最大值,应为圆心到直线AB的距离d与半径r之和.由于圆心C(1,0)到直线AB:x-y+2=0的距离d为,即C到AB的距离的最大值为+1,故△ABC的面积的最大值为×|AB|×=3+.8设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是.AB与点P和圆心所确定的直线垂直,由点斜式可得.4=09圆x2+y2-2x-K2+2K-2=0的面积的最小值是.(x-1)2+y2=K2-2K+3,因此其半径为,圆的面积S=π()2=(K2-2K+3)π=[(K-1)2+2]π,故当K=1时,圆的面积最小,最小值为2π.π10判断下列方程表示什么图形.(1)x2+y2=0;(2)x2+y2-2x-2y-3=0;(3)x2+y2+2ax+2by=0.因为x2+y2=0,所以x=0,且y=0.即方程表示一个点(0,0).(2)原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5,即方程表示圆心为(1,1),半径为的圆.(3)原方程可化为(x+a)2+(y+b)2=a2+b2,当a=b=0时,方程表示一个点(0,0);当a2+b2≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为的圆.11已知过点M(-1,1)的直线l被圆C:x2+y2-2x+2y-14=0所截得的弦长为4,求直线l的方程.C的坐标为(1,-1),半径为4,因为直线l被圆C所截得的弦长为4,所以圆心C到直线l的距离为2.(1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,此时点C到l的距离为2,可求得弦长为4,符合题意.(2)若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-1=k(x+1),即kx-y+k+1=0,因为圆心C到直线l的距离为2,所以=2,所以k2+2k+1=k2+1,所以k=0,所以直线l的方程为y=1.综上(1)(2)可得:直线l的方程为x=-1或y=1.★12某圆拱桥的示意图如图,该圆拱的跨度AB是16 m,拱高OP是4 m,在建造时,每隔2 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.,以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,设出圆的一般方程,代入点的坐标即可求出.AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-8,0),(8,0),(0,4),设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵点A,B,P在所求的圆上,则代入坐标得解得∴圆拱所在的圆的方程为x2+y2+12y-64=0.将点P2的横坐标x=2代入圆的方程,解得y1=-6-4(舍)或y2=-6+4.答:支柱A2P2的长为(4-6) m.。
2019-2020学年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 圆的标准方程学案 新人教B版2
2．3．1 圆的标准方程1．了解点与圆的位置关系．2．理解圆的定义及标准方程．3．掌握求圆的标准方程的一般方法，能根据所给条件求圆的标准方程．1．圆的标准方程（1)圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点就是圆心，定长就是半径．(2）圆的标准方程的形式:(x－a)2＋(y－b)2＝r2．（3)求圆的方程的步骤：建系、设点、列式、化简、证明．2．点与圆的位置关系代数法：圆的标准方程(x－a)2＋（y－b）2＝r2，点M(x0，y0）：（1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b）2＝r2；（2）点在圆外：（x0－a）2＋（y0－b)2＞r2;(3)点在圆内：（x0－a)2＋（y0－b）2＜r2．几何法：设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d>r d＝r d〈r1．写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径．(1)（x－2)2＋（y－5）2＝9；(2）x2＋y2＝256；(3）(x＋1)2＋(y－2）2＝m（m〉0)．解:根据圆的标准方程(x－a）2＋（y－b)2＝r2(r>0)中圆心为(a,b），半径为r,故(1）圆心坐标是（2，5)，半径是3．（2）圆心坐标是（0，0),半径是16．(3）圆心坐标是(－1，2）,半径是m．2．写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径为2；（2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点,半径为错误!．解：(1)因为圆心在原点，半径为2，即a＝0,b＝0，r＝2．所以圆的标准方程为x2＋y2＝4．（2）圆心是两直线的交点，即圆心在错误!上，所以圆心为错误!．又因为半径为错误!，所以圆的标准方程为错误!错误!＋错误!错误!＝错误!．3．已知圆心在C（3,4),半径r＝5，求此圆的标准方程，并判断点A（0，0)，B（1，3）是在圆上、在圆外、还是在圆内．解：法一：所求圆的标准方程为（x－3)2＋（y－4)2＝25，因为点A(0，0)与圆心C(3，4）的距离为d＝5，而r＝5，d＝r，所以点A（0，0）在圆上．因为点B（1，3）与圆心C(3，4）的距离为d＝（1－32＋(3－4)2）＝5<5，所以点B(1,3）在圆内．法二:所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，将A(0，0），B(1，3)分别代入圆的方程，得(0－3)2＋（0－4)2＝25，(1－3）2＋（3－4)2＝5〈25，所以点A(0，0）在圆上，点B（1，3）在圆内．求圆的标准方程求下列圆的标准方程．(1)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4）；（2)求过点A(1，－1)，B（－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．【解】（1)设圆心为C（0,b)，则（3－0)2＋(－4－b)2＝52，所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或（0，－8)，又r＝5,所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8）2＝25．（2）法一：设点C为圆心，因为点C在直线x＋y－2＝0上，所以可设点C的坐标为(a,2－a）．又因为该圆经过A,B两点，所以|CA｜＝|CB｜．所以错误!＝错误!，解得a＝1．所以圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2．故所求圆的标准方程为（x－1）2＋(y－1)2＝4．法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，k AB＝错误!＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1,所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·（x－0),即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点,由错误!解得错误!即圆心为（1,1），圆的半径为错误!＝2，故所求圆的标准方程为（x －1）2＋（y －1)2＝4．本例（2)改为求经过点A （1，－1），B (－1，1)面积最小的圆的标准方程，如何求解？解:当AB 为圆的直径时,半径最小，从而圆面积最小．此时圆心C (0，0），半径r ＝12｜AB |＝错误!错误!＝错误!，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝2．错误!(1)用直接法求圆的标准方程的策略①确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．②确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必过圆心”等．（2)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5),B （1，－2）,C(－3,－4）,求该三角形的外接圆的方程．解：设所求圆的标准方程为（x－a)2＋（y－b）2＝r2．因为A（0,5），B（1，－2）,C(－3,－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有错误!解得错误!所以，所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1)2＝25．点与圆的位置关系已知圆心为C（5，6)，且过点A（4，9)的圆，试判断点M(6,9），N（3，3)，O(5,3）与圆C的位置关系．【解】法一：因为圆心为C（5，6)，点A（4，9）在圆上,所以圆的半径r＝｜CA|＝错误!＝错误!．又｜MC|＝错误!＝错误!，所以点M在圆上；|NC|＝错误!＝错误!>错误!，所以点N在圆外；｜OC|＝错误!＝错误!<错误!，所以点O在圆内．法二：因为圆的半径为r＝|CA｜＝错误!＝错误!，所以圆的方程为（x－5)2＋(y－6）2＝10．分别将M（6，9），N(3，3），O(5,3）代入得，(6－5）2＋(9－6)2＝10，所以点M在圆上；（3－5)2＋(3－6）2＝13〉10，所以点N在圆外;(5－5）2＋（3－6）2＝9〈10,所以点O在圆内．判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．（2）代数法:主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P（x0，y0)在圆C上⇔(x0－a）2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔（x0－a）2＋(y0－b）2〈r2;点P（x0，y0）在圆C外⇔（x0－a）2＋(y0－b)2>r2．已知两点M（3，8）和N(5，2)．(1）求以MN为直径的圆C的方程;（2)试判断P1（2,8),P2(3，2)，P3（6，7)是在圆上，在圆内，还是在圆外?解：（1）法一：设圆心C(a，b)，半径为r，则由C为MN的中点得a＝错误!＝4，b＝错误!＝5,由两点间的距离公式得r＝｜CM|＝错误!＝错误!，所以所求圆的方程为（x－4）2＋（y－5)2＝10．法二：因为直径所对的圆周角是直角，所以对于圆上任意一点P（x，y)，有PM⊥PN，即k PM·k PN＝－1，所以错误!·错误!＝－1(x≠3且x≠5)．化简得x2＋y2－8x－10y＋31＝0,即(x－4)2＋（y－5）2＝10．又因为M（3，8),N(5，2）的坐标满足方程，所以所求圆的方程为(x－4）2＋（y－5)2＝10．(2)分别计算点到圆心的距离｜CP1|＝错误!＝错误!〉错误!,｜CP2|＝错误!＝错误!,|CP3｜＝错误!＝错误!〈错误!．因此，点P2在圆上，点P1在圆外，点P3在圆内．有关圆的应用如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米,水面宽12米，当水面下降1米后,水面宽多少米？【解】以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2．①将点A的坐标（6，－2)代入方程①得36＋（r－2）2＝r2，所以r＝10．所以圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100．②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)（x0＞0)，将A′的坐标（x0，－3)代入方程②得x0＝错误!,所以水面下降1米后，水面宽为2x0＝251 米．错误!解决与圆的方程相关的实际应用题的步骤如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱CD的高度（精确到0．01 m)．解：建立如图所示的直角坐标系，则圆心在y轴上．设圆心的坐标是(0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b）2＝r2．因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、(10,0）都是这个圆的方程的解．于是得到方程组错误!，解得b＝－10．5，r2＝14．52．所以，这个圆的方程是x2＋（y＋10．5)2＝14．52．把点C的横坐标x＝－2代入这个圆的方程，得（－2)2＋（y＋10．5）2＝14．52．y＋10．5＝错误!(因为C的纵坐标y〉0，所以取正值)，于是y＝错误!－10．5≈3．86 m．所以支柱CD的高度为3．86 m．1．方程（x－a)2＋(y－b）2＝m．当m>0时，表示圆心为C(a,b)，半径为错误!的圆；当m＝0时，表示一个点C（a，b）；当m<0时,不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤(1）直接代入法根据已知条件求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法第一步：设圆的标准方程为(x－a)2＋（y－b)2＝r2；第二步：根据条件列方程组求得待定系数a，b，r；第三步：将求得的值代入所设的方程中去,得到所求圆的标准方程．如果在求圆的方程时能够结合圆的有关性质来考虑,可以使思路简捷、直观,计算简单，这就是数形结合思想．圆常用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点的距离等于圆的半径；圆的弦的垂直平分线过圆心；圆中两条弦的垂直平分线的交点为圆心等．1．圆心是O(－3，4），半径长为5的圆的方程为（）A．（x－3）2＋(y＋4）2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．（x＋3）2＋（y－4）2＝5D．(x＋3)2＋（y－4）2＝25解析:选D．将O(－3,4)，r＝5代入圆的标准方程可得．2．下面各点在圆（x－1）2＋(y－1)2＝2上的是( ）A．（1，1）B．(2，1)C．(0，0) D．（错误!，错误!)答案:C3．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0,－4）,B（0，－2），则圆C的方程为______________________．解析：由题意知圆心坐标为（2,－3)，半径r＝（2－02＋（－3＋2)2)＝错误!,所以圆C的方程为（x－2）2＋(y＋3）2＝5．答案：(x－2）2＋(y＋3)2＝54．若坐标原点在圆（x－a)2＋（y－a)2＝4的内部,则实数a的取值范围是________．答案：－错误!<a〈错误!，[学生用书P121(单独成册）])［A 基础达标］1．圆(x－3）2＋（y＋2）2＝13的周长是（)A．错误!πB．2错误!πC．2πD．2错误!π解析：选B．根据圆的方程知半径为13，所以该圆的周长为2πr＝2错误!π．故选B．2．已知点A（3，－2）、B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的方程是（）A．(x－1）2＋(y＋1）2＝25B．(x＋1）2＋(y－1)2＝25C．（x－1)2＋(y＋1）2＝100D．(x＋1）2＋(y－1)2＝100解析：选B．由题意得圆心的坐标为(－1，1）,半径r＝错误!｜AB｜＝错误!错误!＝5,故选B．3．圆（x＋2）2＋y2＝5关于原点（0,0)对称的圆的方程为（) A．（x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－3)2＝5C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析：选A．圆心(－2，0）关于原点的对称点为(2，0)，故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝5．4．圆（x－1）2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是（）A．2 B．1＋错误!C．2＋错误!D．1＋2错误!解析:选B．圆(x－1)2＋（y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为错误!＝错误!，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离,即最大距离为1＋错误!．5．圆心在x轴上,半径为1，且过点(2,1）的圆的方程是（）A．（x－2)2＋y2＝1 B．（x＋2）2＋y2＝1C．（x－1）2＋(y－3)2＝1 D．x2＋（y－2)2＝1解析:选A．设圆的圆心为(a，0),则错误!＝1，所以a＝2，所以圆的标准方程是（x－2）2＋y2＝1．故选A．6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：（x－2）2＋（y＋1)2＝5,则两圆圆心间的距离为________．解析:C1(5，3)，C2(2,－1),根据两点间距离公式得|C1C2|＝错误!＝5．答案:57．若实数x，y满足（x＋5）2＋(y－12）2＝142，则x2＋y2的最小值为________．解析:设P（x，y)，且点P在圆(x＋5）2＋（y－12）2＝142上，则圆心C(－5，12），r＝14，x2＋y2＝（x－0)2＋(y－0)2＝|OP｜2．又|OP｜的最小值是r－｜OC|＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1．答案：18．如果直线l将圆（x－1)2＋(y－2）2＝5平分且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范围是__________．解析：如图所示,满足条件的直线l，应介于l1和l2之间，其斜率范围是[0，2］．答案:［0，2]9．已知圆C过点A（4，7），B（－3，6),且圆心C在直线l:2x ＋y－5＝0上，求圆C的方程．解：法一：设圆C：（x－a）2＋(y－b）2＝r2，因为A，B∈圆C，C∈l，所以错误!解得错误!故圆C的方程为（x－1)2＋(y－3)2＝25．法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为C∈l，所以2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，所以圆心为C(a，5－2a)．由圆的定义得｜AC｜＝｜BC|,即错误!＝错误!．解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C（1,3），半径r＝｜CA|＝错误!＝5．故圆C的方程为（x－1)2＋（y－3)2＝25．10．平面直角坐标系中有A（0，1)，B(2,1），C（3,4)，D（－1,2）四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解：能．设过A（0，1）,B（2，1），C(3，4)的圆的方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2．将A，B,C三点的坐标分别代入得错误!解得错误!所以圆的方程为(x－1）2＋（y－3)2＝5．将D(－1，2）的坐标代入上式圆的方程左边,(－1－1)2＋（2－3)2＝4＋1＝5，即D点坐标适合此圆的方程．故A，B，C，D四点在同一圆上．[B 能力提升］11．方程｜x｜－1＝错误!所表示的曲线是（)A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析:选D．由题意，得错误!即错误!或错误!故原方程表示两个半圆．12．已知两点A（－1，0)，B（0,2)，点P是圆(x－1）2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是（) A．2，错误!(4－错误!) B．错误!（4＋错误!),错误!(4－错误!）C．错误!,4－错误!D．错误!（错误!＋2），错误!（错误!－2)解析：选B．点A（－1，0）,B(0，2)所在的直线方程为2x－y ＋2＝0，圆(x－1）2＋y2＝1的圆心到直线的距离为错误!＝错误!，又AB ＝5，所以△PAB面积的最大值为错误!×错误!×错误!＝错误!(4＋错误!)，最小值为错误!×错误!×错误!＝错误!（4－错误!)，选B．13．已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0),且过定点P（4，2）．(1）求圆C的方程；(2）当x0为何值时,圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程．解:(1)由题意,设圆C的方程为（x－x0）2＋(y－x0)2＝r2（r≠0）．因为圆C过定点P（4，2），所以（4－x0）2＋(2－x0)2＝r2（r≠0）．所以r2＝2x错误!－12x0＋20．所以圆C的方程为（x－x0)2＋（y－x0)2＝2x错误!－12x0＋20．(2)因为(x－x0)2＋（y－x0）2＝2x错误!－12x0＋20＝2(x0－3)2＋2，所以当x0＝3时，圆C的半径最小，即面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2．14．（选做题）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响?解：我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴,南北方向为y轴，建立如图所示的直角坐标系．这样,受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝302，①轮船航线所在直线l的方程为错误!＋错误!＝1,即4x＋7y－280＝0．②如果圆O与直线l有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果圆O与直线l无公共点，则轮船不受影响,无需改变航向．由于圆心O(0，0）到直线l的距离d＝错误!＝错误!>30，所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将不受台风影响．。
人教版2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程练习新人教B版必修2
2.3.2 圆的一般方程1.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线2ax+y-1=0的距离为1,则a等于( A )(A)-(B)-(C)-(D)-解析:圆的标准方程为(x-1)2+(y-4)2=4,圆心为(1,4),半径为2,圆心到直线的距离为=1,解得a=-,选A.2.(2017·汉口模拟)圆x2+y2-x+2y=0关于直线x-y=0对称的圆的方程为( A )(A)x2+y2+2x-y=0 (B)x2+y2-2x+y=0(C)x2+y2-2x-y=0 (D)x2+y2+x-2=0解析:圆的方程化为(x-)2+(y+1)2=,圆心坐标为(,-1),则圆心关于直线x-y=0的对称点为(-1,),因此所求圆的方程为(x+1)2+(y-)2=,即x2+y2+2x-y=0.3.已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则△ABM面积的最小值为.解析:将圆M:x2+y2-2x+2y=0化成标准方程(x-1)2+(y+1)2=2,圆心(1,-1),半径r=,因为A(-2,0),B(0,2),所以|AB|=2,要求△ABM面积最小值,即要使圆上的动点M到直线AB的距离d最小,而圆心(1,-1)到直线AB的距离为2,所以S△ABM的最小值为·|AB|·d min=×2×=2.答案:24.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于.解析:设P点的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+ y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.答案:4π5.已知定点A(6,0),有一动点M在圆x2+y2=4上运动,则线段AM的中点P的轨迹方程为 .解析:设P点坐标为(x,y),动点M(x0,y0),则有x=,y=,所以x0=2x-6,y0=2y.因为(x0,y0)在圆上,所以+=4.即(2x-6)2+(2y)2=4.所以P点的轨迹方程为(x-3)2+y2=1.答案:(x-3)2+y2=16.判断下列方程是否表示圆,若是,求出圆心和半径.(1)x2+y2-x+=0;(2)x2+y2+2ax=0(a≠0);(3)x2+y2+2ay-1=0;(4)x2+y2+20x+162=0.解:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式(x+)2+(y+)2=后,D2+E2-4F是否大于0,若大于0则表示圆,否则不表示圆. 法一(1)将原方程转化为(x-)2+y2=0,表示一个点,坐标为(,0).(2)将原方程转化为(x+a)2+y2=a2(a≠0),表示圆,圆心为(-a,0),半径r=|a|.(3)将原方程转化为x2+(y+a)2=1+a2,表示圆,圆心为(0,-a),半径r=.(4)将原方程转化为(x+10)2+y2=102-162<0,不表示任何图形.法二(1)因为D2+E2-4F=(-1)2+02-4×=0,所以表示一个点,其坐标为(,0).(2)因为D2+E2-4F=4a2+0-0=4a2>0(a≠0),所以表示圆.又因为-=-a,-=0,=·=|a|,所以圆心为(-a,0),半径r=|a|.(3)因为D2+E2-4F=02+(2a)2+4=4(1+a)2>0,所以表示圆.又因为-=0,-=-a,=,所以圆心为(0,-a),半径r=.(4)因为D2+E2-4F=202+02-4×162=-624<0,所以不表示任何图形.7.若直线x+y=1平分圆x2+y2+Dx+Ey=0,则D与E的关系是( D )(A)D+E=2 (B)D+E=1(C)D+E=-1 (D)D+E=-2解析:因为x2+y2+Dx+Ey=0的圆心为(-,-),由题意得--=1,所以D+E=-2.故选D.8.(2018·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+ 2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为( C )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(2,+∞) (D)(1,+∞)解析:曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆心,2为半径的圆,又曲线C上所有的点均在第二象限内,所以解得a>2,故选C.9.若直线x=my-1与圆C:x2+y2+mx+ny+p=0交于A,B两点,且A,B两点关于直线y=x对称,则实数p的取值范围为.解析:根据题意,可知直线AB的斜率为-1,故可知m=-1,并且中点坐标在y=x上,联立方程组得x=y=,即交点为(-,-),则该点在圆内部,则++-n+p<0,又圆心(-,-)即(,-)在y=x上得-=,n=-1,得p<-.答案:(-∞,-)10.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与y轴交于A点,与x轴交于B,C两点.(1)求△ABC的面积;(2)求△ABC外接圆的方程.解:(1)A(0,1),B(3+2,0),C(3-2,0),|BC|=4.S△ABC=|BC||OA|=×4×1=2.(2)法一设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则有解得故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.法二(几何法)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为A(0,1),与x轴的交点为B(3+2,0),C(3-2,0).故可设外接圆的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则外接圆的半径为=3,所以外接圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.11.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆的半径r的取值范围;(3)求圆心C的轨迹方程.解:(1)要使方程表示圆,则4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,即4m2+24m+36+4-32m2+64m4-64m4-36>0,整理得7m2-6m-1<0,解得-<m<1.所以实数m的取值范围为(-,1).(2)r===.得0<r≤.所以该圆的半径r的取值范围为(0,]. (3)设圆心坐标为(x,y),则消去m可得(x-3)2=(y+1).因为-<m<1,所以<x<4.故圆心C的轨迹方程为(x-3)2=(y+1)(<x<4).。
2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.2圆的一般方程课件新人教B版必修2ppt版本
F 0,
F 0,
则 16 4D F 0, 解得 D 4,
36 6E F 0.
E 6.
所以圆的一般方程为 x2+y2-4x-6y=0.
答案:x2+y2-4x-6y=0
课堂探究·素养提升
类型一 二元二次方程表示圆的条件
【例1】 下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心和半径. (1)x2+y2+x+1=0; (2)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0); (3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).
2.3.2 圆的一般方程
目标导航
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程 课标要求 解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法. 通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想方法的 素养达成 养成,帮助直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养的达 成.
(A)(1,- 1 ) (B)(-2,1) 2
(C)(2,-1)
(D)(-1, 1 ) 2
解析:原方程转化为(x-1)2+(y+ 1 )2= 11 , 24
所以圆心坐标为(1,- 1 ). 2
3.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称,那
么必有( A )
(4)二元二次方程一般形式:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,而圆的一般方程为 x2+y2+ Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).要使二元二次方程表示的曲线为圆,应满足三个条件:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.1 圆的标准方程
1圆(x-3)2+(y+2)2=13的周长是()
A.π
B.2π
C.2π
D.2π
,故周长为2π·=2π.
2圆(x-2)2+(y+3) 2=2上的点与点(0,-5)的最大距离为()
A. B.2 C.4 D.3
(2,-3),点(0,-5)与圆心的距离为=2,又圆的半径为,故所求最大距离为2=3.
3从点P(3,b)向圆(x+2)2+(y+2)2=1作切线,则切线长的最小值为()
A.5
B.4
C.5.5
D.2
d=,故当b=-2时,d 取最小值2.
4三颗地球通讯卫星发射的信号即可覆盖全球,若设赤道大圆的方程为x2+y2=R2(R为地球半径),三颗卫星均可分布于赤道上空,则三颗卫星所在位置确定的圆的方程为()
A.x2+y2=2R2
B.x2+y2=4R2
C.x2+y2=8R2
D.x2+y2=9R2
R,则方程为x2+y2=4R2.故选B.
5方程y=-表示的曲线是()
A.一条射线
B.一个圆
C.两条射线
D.半个圆
y2=12-x2,于是x2+y2=12,但y≤0,故该方程表示的曲线是一个半圆,即圆x2+y2=12位于x轴下方的部分.
6圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程
为.
C(a,b),则
即且|AC|=|BC|=r=.
故(x-2)2+(y+3)2=5为所求.
x-2)2+(y+3)2=5
7圆(x-3)2+(y+1)2=1关于直线x+2y-3=0对称的圆的方程是.
x+2y-3=0对称的两圆半径相等,圆心连线被直线x+2y-3=0垂直平分.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1.
由题意得
解得
故所求圆的方程为=1.
=1
8已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2+y2=1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为.
x-2)2+y2=
9若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y=x(x≥0)相切,试求这个圆的标准方程.
(1,b)(b>0).根据该圆与直线y=x相切,得
=1⇒⇒b=,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=1.
10已知点A(0,2)和圆C:(x-6)2+(y-4)2=,一条光线从点A出发射到x轴上后沿圆的切线方向反射,求这条光线从点A到切点所经过的路程.
D,点A关于x轴的对称点的坐标为A1(0,-2),则光线从点A到切点所走的路程为|A1D|.
在Rt△A1CD中,|A1D|2=|A1C|2-|CD|2=(-6)2+(-2-4)2-.
所以|A1D|=,即光线从A点到切点所经过的路程是.
11已知点P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的任意一点,点A(-1,0),B(1,0),试求|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.
,转化为求圆C上的点与原点距离的最值.
P(x,y),则有|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x-
1)2+y2=2x2+2y2+2=2()2+2=2[]2+2=2|OP|2+2,
由题意得|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4.
所以|PA|2+|PB|2的最大值是2×62+2=74,最小值是2×42+2=34.
★12有一种大型商品,A,B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A,B两地距离10千米,顾客选A或B地购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A,B两地售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
,以A,B所确定的直线为x轴,A,B中点O为坐标原点,建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).
设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜并设A地的运费为3a元/千米,B 地的运费为a元/千米.
价格+每单位距离运费×到A地的距离≤价格+每单位距离运费×到B地的距离,
即3a≤a,
∵a>0,∴3,
即+y2≤.
∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线.
圆C内的居民从A地购货便宜.
圆C外的居民从B地购货便宜.
圆C上的居民从A,B两地购货的总费用相等,因此,可随意从A,B两地之一购货.
我爱我的家。