平面与直线方程小结
直线的方程小结与复习
直线方程法， 向量平行法， 线段相等法。
(2)如果直线通过点(－1,－3), 并且与x 轴平行，那么的方程是（ A）。 （A）y＋3=0
（C）x＋1=0
（B）y－3=0
（D）x－1=0
若将此题中的平行改为垂直，答案怎样？
（3）已知ab >0, ac <0, 那么 ax＋by＋c =0 必不经过（ C ）。 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（B）(－2, 0)
（D）(－2, 3)
（C）(2, 3)
二、巩固练习1：
1.求过A(2a，b)，B(5 2a，b 1)两点的直线方程。 2.求过M（2， 1 ）点，倾斜角比直线x 4 0 的倾斜角大45 的直线方程。 3.已知：A（ 5， 1 ），B（7，），求过线段 11 AB 的中点M，且在x，y轴上截距相等的直线方程。
巩固练习2:(1)如果A(3, 1)、B(－2, k)、 C(8, 11),在同一直线上，那么k 的值是( D) （A）－6 （B）－7 （C）－8 （D）－9
4.直线与二元一次方程的关系： 直线的方程都是二元一次方程； 任何一个关于x，y的二元一次方程都 表示一条直线。
问题2：直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程
y kx b
适用范围
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距
，y1 )和斜率k y y1 k ( x x1：设l的方程为y k ( x 1) 2， 3 而线段AB的方程为y ( x 3)(2 x 3)， 5 5k 19 将两式联立，解得： x ， 3 5k 5k 19 则 2 3， 3 5k 1 解得k ，或k 5. 2 1 k ， 5， . 2
高中数学解析几何总结(非常全)
高中数学解析几何第一局部:直线一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角α(1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。
(2)范围：︒<≤︒1800α2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.αtan =k〔1〕.倾斜角为︒90的直线没有斜率。
〔2〕.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率〔直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否那么会产生漏解。
〔3〕设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 那么当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =时，o90=α；斜率不存在；二、直线的方程 1.点斜式：直线上一点P 〔x 0,y 0〕及直线的斜率k 〔倾斜角α〕求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；2.斜截式：假设直线在y 轴上的截距〔直线与y 轴焦点的纵坐标〕为b ，斜率为k ，那么直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距〞这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离〞有区别。
3.两点式：假设直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且〔2121,y y x x ≠≠那么直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：假设直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b 〔0,0≠≠b a 〕那么直线方程：1=+bya x ； 注意：1〕.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。
2014-9-27-空间向量、直线方程、平面的方程
将其代入所设方程, 得
上述方程叫做平面的截距式方程 , 而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z轴上的截距.
平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0,其法线向量为 n =(A, B, C). 讨论： 1.填写下表: 平面方程 法线向量 By＋Cz+D=0 n=(0, B, C) Ax+Cz+D=0 n=(A, 0, C) Ax+By+D=0 n=(A, B, 0) Cz+D=0 n=(0, 0, C) Ax+D=0 n=(A, 0, 0) By+D=0 n=(0, B, 0)
例8 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, -1)且垂直于平 面 x+y+z=0, 求它的方程. 解 从点M1到点M2的向量为n1=(-1, 0, -2), 平面x+y+z=0的法线向量为n2=(1, 1, 1). 方法二： 所求平面的法线向量n可取为n1n2-(z-1)=0, 即 2x-y-z=0.
s=(i+j+k)(2i-j+3k)=4i-j-3k. 所给直线的对称式方程为 所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
提示： 先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s.
练习： 将一般方程 化成标准方程及参数方程.
解 先在直线上找一点. y + z = -2 ,得 y = 0 , z = -2 令 x = 1, 解方程组 y - 3z = 6
例1 求过点(2, -3, 0)且以 n =(1, -2, 3)为法线向量的 平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x-2)-2(y+3)+3z=0, 即 x-2y+3z-8=0.
空间中平面及直线的方程(3)
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面 的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1
平面直角坐标系中直线的一般式方程
等式的基本性质 等式的基本性质1:在等式两边都加上或减去同 一个数或整式，结果仍相等． 等式的基本性质2:在等式两边都乘以或除以同 一个数(除数不为0)，结果仍相等．
它们是不等式吗？
√ √ 4x 5 0， a 2 2 b， a ≥0，
x 3， 3(x 2) 4≤5x，√
示的直线： 平行于y轴
y
B=0 , A≠0 , C≠0;
a
0
x
深化探究三
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表
示的直线： 与x轴重合
y
A=0
深化探究四
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表
示的直线： 与y轴重合
y
B=0 , A≠0, C=0;
x x
x1 2 x 1
.
截
距
式
：x a
y b
1.
一般式：Ax By C 0.
作业
作业本作业： • 1 课本P99练习1:(2),(4). • 2 课本P100练习2:(2),(4).
课后练习作业： • 1 课本P100A组1，5填在书上. • 2 B组2填在书上.
9.1.2 不等式的性质 第1课时
于
4 3
的直线方程的点斜式是y 4
4 3
(
x
6)。
化为一般式，得4x3y 12 0。
截
距
式
是
：x 3
y 4
1.
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距。
解：将原方程移项，得2y x 6,
空间平面与直线方程教学设计
《空间平面与直线方程》教学设计公共教学部数学教研室余黎1.教材内容分析：本教学设计所使用的教材是《高等数学应用教程》许艾珍、黄丽萍、李明主编，航空工业出版社2010年8月第一版。
本节是第七章空间解析几何与向量代数中的第三节内容。
前面已经学习了向量的相关知识并已经建立了空间直角坐标系，本节内容是向量和立体几何的第一次“结合”，同时也为下面继续学习曲面曲线方程等打下基础。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
2. 学情分析：目前数学都是大班上课，相对小班上课学生注意力不容易集中，需要教学更加“跌宕起伏”来吸引学生的注意力。
目前教材内容多课时少，每节课的容量巨大，而本校的学生学习的自觉性较差，很少有学生会课后预习或复习，甚至不能独立完成作业。
这就要求教师充分利用好课堂45分钟，合理安排每个环节，增加学生课堂练习巩固的时间。
3. 设计思想结合学生学情和本教材的特点使用情景教学的方法。
首先构造数学思维活动的情节，以探索启发为主，运用合理的推理和拟真推理进行教学；设计教学活动过程联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏——存疑——豁然开朗的过程，也就是提出问题——试一试——不断尝试中增强信心——下决心证明——得到正确结果的过程。
在新课一开始就提出了富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣和积极的求知态度。
但情景只是手段、不是目的，是开端、不是终点；良好的开端是成功的一半，情景的创设不应只在课的开始阶段，而是存在于整个知识的发生、发展、规律的揭示、形成和应用过程中，也就是说在整个课堂教学过程中，都根据具体情况创设合理的情景来进一步激发学生的参与热情。
4. 教学目标：我确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）教材的特点：例题简单，练习有一定难度（3）所教学生的实际情况已有的认知结构及心理特征：学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。
高数各章各节总结
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
机动
内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
a ( a x , a y , a z )
x y z 1 a b c
x x1 x2 x1 x3 x1
(abc 0)
z z1 z 2 z1 0 z3 z1
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三点式
y y1 y2 y1 y3 y1
2.平面与平面之间的关系 平面 1 : A1 x B 1 y C 1 z D1 0, n1 ( A1 , B 1 , C 1 )
垂直: 平行: s1 s2 0
s1 s2 夹角公式: cos s1 s2
m1m2 n1n2 p1 p2 0 m1 n1 p1 m 2 n 2 p2
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面与线间的关系 平面: Ax By Cz D 0, n ( A , B , C )
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(2,1,3)
P (3,2,1) (1,1,0)
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例4. 求直线
上的投影直线方程.
平面与空间直线
平面与空间直线平面及其方程我们把与一平面垂直的任一直线称为此平面的法线。
设给定点为Po(x0,y0,z0),给定法线n的一组方向数为{A,B,C}A2+B2+C2≠0，则过此定点且以n为法线的平面方程可表示为：注意：此种形式的方程称为平面方程的点法式。
例题：设直线L的方向数为{3，-4，8}，求通过点(2,1,-4)且垂直于直线L的平面方程.解答：应用上面的公式得所求的平面方程为：即我们把形式为：Ax+By+Cz+D=0.称为平面方程的一般式。
其中x,y,z的系数A，B，C是平面的法线的一组方向数。
几种特殊位置平面的方程1、通过原点其平面方程的一般形式为：Ax+By+Cz=0.2、平行于坐标轴平行于x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz+D=0.平行于y轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz+D=0.平行于z轴的平面方程的一般形式为：Ax+By+D=0.3、通过坐标轴通过x轴的平面方程的一般形式为：By+Cz=0.通过y轴和z轴的平面方程的一般形式为：Ax+Cz=0，Ax+By=0.4、垂直于坐标轴垂直于x、y、z轴的平面方程的一般形式为：Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.直线及其方程任一给定的直线都有着确定的方位.但是,具有某一确定方位的直线可以有无穷多条,它们相互平行.如果要求直线再通过某一定点,则直线便被唯一确定，因而此直线的方程就可由通过它的方向数和定点的坐标表示出来。
设已知直线L的方向数为{l,m,n}，又知L上一点Po(x0,y0,z0),则直线L的方程可表示为：上式就是直线L的方程，这种方程的形式被称为直线方程的对称式。
直线方程也有一般式，它是有两个平面方程联立得到的，如下：这就是直线方程的一般式。
平面、直线间的平行垂直关系对于一个给定的平面，它的法线也就可以知道了。
因此平面间的平行与垂直关系，也就转化为直线间的平行与垂直关系。
平面与直线间的平行与垂直关系，也就是平面的法线与直线的平行与垂直关系。
直线方程复习小结
.基础知识回顾(1)直线的倾斜角一条直线向上的方向与X轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与X轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0£<a Y i80t0<a Y；t).注：①当a =90或X2=x i时，直线I垂直于X轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与X轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.(2)直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点(a,0), (0,b)，即直线在X轴,y轴上的截距分别为a,b(aH0,bH0)时，直线方程是：-+丄=1.a b附直线系：对于直线的斜截式方程y =kx+b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.(3)两条直线的位置关系10两条直线平行I1 // l^k^^2两条直线平行的条件是：① l1和〔2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线I i，i2 ,它们在y轴上的纵截距是b i，b2 ,则l l // l2U k i=k2 ,且b i我2或I l，l2的斜率均不存在，即A I B2=B I A2是平行的必要不充分条件，且C1 ?C2)推论：如果两条直线I i，l2的倾斜角为8口2则11 // l^a^2 .20两条直线垂直两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2,则有I i_LJ 2U k i k2 = -1这里的前提是I l,l2的斜率都存在.②l l丄l2U k i = 0，且I 2的斜率不存在或k2=0，且l i的斜率不存在.(即A I B2+A2B I=0是垂直的充要条件)(4)两条直线的交角①直线l i到l2的角(方向角)；直线l i到l2的角，是指直线l i绕交点依逆时针方向旋转到与I2重合时所转动的角0,它的范围是(呵，当£芒90角ta^=^.②两条相交直线l1与l 2的夹角：两条相交直线l 1与l 2的夹角, 的四个角中最小的正角e,又称为丨1和丨2所成的角，它的取值范围是是指由l1与l2相交所成雋L *90。
空间的平面与直线
3
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例 7 若平面 x + ky − 2 z = 0 与平面 2 x − 3 y + z = 0的
π 夹角为 ，求 k = ? （补充题） 4 1× 2 + k × (−3) − 2 × 1 解： cos π = , 2 2 2 2 2 2 4 1 + k + (−2) ⋅ 2 + (−3) + 1
s1 = (m1 , n1 , p1 ) , s2 = (m2 , n2 , p2 )
则两直线夹角 ϕ 满足
s1 ϕ
L1 L2
s2
s1 ⋅ s2 cos ϕ = s1 s2 = m1m2 + n1n2 + p1 p2 m1 + n1 + p1
5
2
2
2
m2 + n 2 + p 2
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2
2
2
2012年2月28日星期二
特别有下列结论：
Π1 : n1 = ( A1 , B1 , C1 )
n2
(1) Π1 ⊥ Π 2
n1 ⊥ n2 A1 A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0
∏1
∏2
n1
(2) Π1 // Π 2
n1 // n2 A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
n2
∏2 ∏1
n1
2012年2月28日星期二
14
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(自学课本 P29 例12)
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2012年2月28日星期二
⎧x + 5 y + z = 0, 例 11 求通过直线 ⎨ 且与平面 x − 4 y − 8 z + 12 = 0 ⎩x − z + 4 = 0 π （课本例 13） 成 角的平面． 4 解：设所求的平面为 μ ( x + 5 y + z ) + λ ( x − z + 4) = 0 ，
直线方程基础知识小结
直线方程基础知识小结一 .网络结构图：平面直角坐标系中的直线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧简单的线性规划直线的位置关系直线方程的五种形式直线的倾斜角和斜率二．直线的倾斜角和斜率：1.直线方程的概念：（1，这条直线叫做这个方程的直线.2.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为αx 轴平行重合时， 规定直线的倾斜角为0°.3.直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，k 表示.倾斜角是︒90的直线没有斜率4. 三个题型： （1）已知倾斜角求斜率：⎪⎭⎫ ⎝⎛≠<≤=2,0tan παπααK （2）已知斜率求倾斜角：即由K =αtan 求αα＝（3）已知倾斜角的范围求斜率的范围：已知斜率的范围求倾斜角的范围：方法：应用如上正切曲线，数形结合解决问题5.斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P )2x ≠（当2121,y y x x ≠=（即直线和x6.直线的方向向量：直线上的向量→21P P 及与它平行的所有非零向量λ→21P P （）且0≠∈λλR 都是该直线的方向向量 常用的直线的方向向量有：（1） （2） （3） （4）7.证明三点共线的方法：（1）函数法；（2）定比分点公式（3）共线向量（4）斜率相等（5）线段和五．点到直线的距离公式：（1）P ()00,y x 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式：（2）0:;0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 的距离公式：（3）P ()00,y x 到直线a x l =:的距离公式：P ()00,y x 到直线b y l =:的距离公式： 六．直线的对称问题：1．点关于点的对称点问题：()()())2,2(),(,,00y b x a y x y x ba ----任意点，坐标原点关于方法依据：中点坐标公式 2. 点关于直线的对称点问题：()()()()()()()()()(),,0,,,,2,,2,,=++=+-=++-=====-=+----------C By Ax c y x c y x xy xy by ax y y x x c x c y c x c y x y x y y b x y x a y x y x 直线直线直线直线直线直线直线直线直线关于说明：01（1）到（4）方法依据是中点坐标公式02（5）到（9）方法依据是：点关于直线对称点的基本解法3点关于直线对称的基本解法：直接法：设所求的对称点坐标是（),00y x 则由题意有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⨯--=++++1)(0220000B A x x y y C y y B xx A ⎩⎨⎧==∴00y x间接法 ：3.三个典型题：（1）距离和的最小值问题：在定直线l 上取点P ，求P 到两定点A,B 距离和PB PA +的最小值当两定点A,B 在直线l 的两侧时：PB PA +AB ≥，最小值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:AB l C By Ax l 决定 当两定点A,B 在直线l 的同侧时：先求点B 关于定直线l 的对称点 /B ，则PB PA +＝//AB PB PA ≥+，最小值是/AB此时点P 坐标由方程组 ⎩⎨⎧=++:0:/AB l C By Ax l 决定 （2）距离差的最大值问题：在定直线l 上取点P ，求P 到两定点A,B 距离差PB PA -的最大值当两定点A,B 在直线l 的同侧时：PB PA -AB ≥，最大值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:AB l C By Ax l 决定 当两定点A,B 在直线l 的两侧时：先求点B 关于定直线l 的对称点 /B ，PB PA -＝//AB PB PA ≤- ，最大值是,AB 此时点P 坐标由方程组⎩⎨⎧=++:0:/AB l C By Ax l 决定（3）入射光线和反射光线问题：入射光线上的点关于界面的对称点在反射光线上；反射光线上的点关于界面的对称点在入射光线上； 入射光线与界面的交点在反射光线上； 反射光线与界面的交点在入射光线上；界面是x 轴（y 轴）时，考虑入射光线与反射光线的斜率互为相反数； 界面是直线y=x(y=-x)时，考虑入射光线与反射光线上点的对称 例5光线由点)4,1(-A 射出，遇到直线l ：0632=-+y x 后被反射，已知其)1362,3(B ， 求反射光线所在直线的方程.七.几组特殊的直线系方程：1.直线系方程的定义：具有某种共同性质(过某点、共斜率等)的所有直线的集合叫做直线系。
8.2空间解析几何与向量代数 直线方程(3)
=
0 即 方程为
=
=
5 平面外一点到平面的距离 如图
M0 N
M
1
设平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则 平面上点M1(x1, y1, z1)满足 A1x+B1y+C1z+D1=0. 由于 M0N 为之法向.故 M0N // (A, B, C).
M2(1, 1, 1) 且与
平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 . 设 1 法向 n1=(1, 1, 1). 则 平面 // n1 . 而 过点M1, M2. 故 平面 // M1M2 .
M2
= =
重合
n1
M1
因此，平面 n1M1M2 . 即 的法向 n =n1M1M2 .
n
即
即
点到平面的 距离公式
3
王毅教案
二、 空间直线及其关系
例6 求 M0(x0, y0, z0) 到 xy 平面的距离. 解：xy平面：z=0. 1 空间直线的一般方程 上述直线也等价于
故
空间上任何两个不平行的平面的交点在一 条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两 条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程 组表示
z=0
例4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r 非零. 解：设平面 为方程 A x + B y + C z + D = 0. 则 A p+D = B q + D = C r + D = 0.
1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.
高中数学：直线与方程综合小结 (3)
所以当点 M 的坐标为(2,5)时,||MA|-|MB||取得最大值,且最大值为 5 .
方法技巧 本题是对称问题在求线段和、差的最值上的应用,利用对称问 题可以解决类似的两类问题:一类是在定直线上找一点M,使点M到两定点 A,B的距离之差||MA|-|MB||最大;一类是在定直线上找一点M,使点M到两 定点A,B的距离之和||MA|+|MB||最小,这时还要考虑A,B两点在直线的同 侧还是异侧.
值|AB′|,且|AB′|= 4 32 1 32 = 5 .
因为过点 A(4,1),B′(3,3)的直线方程为 y 1 = x 4 ,即 2x+y-9=0.解方程组 31 3 4
2x 3x
y y
9 0, 1 0,
得
x
y
2, 5.
所以直线 AB′与直线 l 的交点为 M(2,5).
即时训练3-1:(2018·江西新余高一期末)已知直线l1:(k-1)x+y+2=0和直 线l2:8x+(k+1)y+k-1=0平行,则k的值是( )
(A)3
(B)-3
(C)3 或-3 (D) 7 或- 7
解析:由题意可得(k-1)(k+1)-8=0,解得k=3或k=-3,经验证当k=-3 时两直线重合,不满足题意.故选A.
2
23
直线方程为 y=- 3 x+6 或 y=- 3 x-6,即 3x+4y-24=0 或 3x+4y+24=0.
4
4
法二 设直线 l 的方程为 x + y =1,则直线的斜率 k=- b .因为 l 与直线 y= 4 x+ 5
ab
a
33
平面与直线
例 18 求过三点 A( 2,−1,4)、 B( −1,3,−2) 和
C (0,2,3)的平面方程.
解
AB = { −3, 4,−6}
AC = { −2, 3,−1}
取 n = AB × AC = {14, 9,−1}, 所求平面方程为 14( x − 2) + 9( y + 1) − ( z − 4) = 0, 化简得 14 x + 9 y − z − 15 = 0.
n1 = { A1 , B1 , C1},
Π1
n2 = { A2 , B2 , C 2 },
按照两向量夹角余弦公式有
cosθ =
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 | A + B + C ⋅ A2 + B2 + C2
2 1 2 1 2 1 2 2 2
两平面位置特征： 两平面位置特征：
两平面夹角余弦公式
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
s = n1 × n2 = {4,−1,−3},
x −1 y −0 z + 2 对称式方程 , = = 4 −1 −3 x = 1 + 4t . 参数方程 y = − t z = −2 − 3t
3、两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角称之 （锐角） 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
1
o x
y
由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） a = b = c , 向量平行的充要条件）
1
1
6
1
6
1 1 1 1 1 1 = = , 令 = = 化简得 =t 6a b 6c 6a b 6c 1 1 1 ⇒a= , b= , c= , 6t 6t t
平面和直线方程
n ( A, B ,C),
sin
cos( s , n)
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
解 (1)
2. 两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角） 称为两直线的夹角.
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
x1 x0 y1 y0 z1 z0
m
n
p
2.异面直线间的距离
v p2 p1 (s1 s2 ) s1 s2 d
d P2P2s1 (s1s2 s2 )
另法: 做一法向量
n s1 s2
x y
n
x0 y0
,
z z0 . p
4. 任一条直线均可表示为对称式方程.
例8 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0, 2x y 3z 4 0. 解
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 s n1 n2 (4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
直线方程复习小结
形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快
捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示
的平面区域的性质使问题得以解决.
三、解答题
10.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、
（2，2），若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，
求m的范围.
解 方法一 直线x+my+m=0
恒过A（0，-1）点.
由已知3- 2 =2-k3k，解得k=-1或k=2 ,
k
3
∴直线l的方程为
y-2=-（x-3）或y-2=
2 3
(x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ，
则所求直线的倾斜角为2 .
∵tan =3,∴tan
2 =
2 tan 1 tan2
3. 4
又直线经过点A（-1，-3），
3
若a≠0，则设l的方程为
x a
y a
1,
∵l过点（3，2），∴ 3 2 1, aa
∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3),
令y=0，得x=3- 2 ,令x=0,得y=2-3k,
由 l⊥OP，得 kl·kOP ＝－1，所以 kl ＝－k1OP＝2.
由直线方程的点斜式得 y＋1＝2(x－2)， 即 2x－y－5＝0， 即直线 2x－y－5＝0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，
最大距离为|－5|＝ 5
5.
(3)方法一：由(2)可知，过 P 点不存在到原点距离超过 5的 直线，因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线．
高中数学必修2---直线与方程(小结与复习)
直线与方程（小结与复习）1、倾斜角与斜率的互化问题（1）倾斜角的取值范围是：[)πα，0∈直线的斜率：αtan =k ，且斜率k 的取值范围为：R k ∈（2）已知倾斜角α求k ：当2πα=时，k 不存在；当2πα≠时，αtan =k（3）经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式: 1212tan x x y y k --==α ）（21x x ≠ （4）利用斜率证明三点共线的方法：已知),(),,(),,(332211y x C y x B y x A ，若AC AB k k x x x ===或321,则C B A 、、三点共线。
例1、（1）若)33,3(--∈k ，则∈α ；（2）若)1,1(-∈k ，则∈α 。
例2、若直线l 过点),1(),2,0(2m N m M )(R m ∈，求直线l 的倾斜角的取值范围。
例3、已知直线l 过点)1,2(),,32(-+m N m m M )(R m ∈，当m 为何值时，直线l 的倾斜角为锐角、直角、钝角？例4、直线)3,6(03cos 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=--ππαa y x 的倾斜角的变化范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6.ππA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4.ππB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4.ππC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,4.ππD例5、)3,6(03sin 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=--ππαa y x 的倾斜角的变化范围是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6.ππA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4.ππB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4.ππC ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,4.ππD 例6、已知点)2,3(),51(---B A ，，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍，求直线l 的斜率．例7、已知点)2,3-(),32(--B A ，，直线l 过点)11(，P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围是（ ）443.-≤≥k k A 或 434.≤≤-k B 4143.-≤≥k k C 或 443.≤≤-k D2、直线平行与垂直的问题（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，则有⇔21//l l 21k k =，特别地，当直线21,l l 的斜率都不存在时21l l 与的关系为平行。
与平面平行的直线方程
与平面平行的直线方程
与平面平行的直线方程是数学中一个重要的概念。
在三维空间中，一个平面可以由一个点和一个法向量确定。
当一个直线与这个平面平行时，意味着这条直线的方向向量与平面的法向量垂直。
换句话说，这两个向量的点积为零。
要找到与给定平面平行的直线方程，首先需要知道平面的方程。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中(A, B, C) 是平面的法向量。
接下来，我们需要找到直线的方向向量。
由于直线与平面平行，方向向量必须与平面的法向量垂直。
因此，我们可以选择两个与(A, B, C) 垂直的向量作为直线的方向向量。
这可以通过找到(A, B, C) 的两个正交向量来完成。
一旦我们有了直线的方向向量，我们就可以使用点斜式或参数式来表示这条直线。
假设我们有一个点P(x0, y0, z0) 在直线上，以及直线的方向向量v = (v1, v2, v3)，则直线的参数方程可以表示为：
x = x0 + tv1
y = y0 + tv2
z = z0 + t*v3
其中t 是参数。
这样，我们就得到了与给定平面平行的直线方程。
这个概念在几何、物理和工程等领域都有广泛的应用，因此理解它是非常重要的。
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M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ， 则
x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
平面与直线总结
2/3
平面间的关系 设有两个平面：
平面与直线间的关系 设有直线与平面：
直线间的关系 设有两条直线：
π1 : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 π2 : A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0
L:
x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n
⎧ x = x 0 + lt ⎪ ⎨ y = y 0 + mt ⎪ z = z + nt 0 ⎩
4．两点式方程 已 知 直 线 上 的 两 点 M 1 ( x 1 , y1 , z1 ) ，
4．三点式方程 已 知 平 面 上 的 三 点 M 1 ( x 1 , y1 , z1 ) ，
M 2 ( x2 , y2 , z2 ) ， M 3 ( x3 , y3 , z3 ) ， 则
v
v
2
x − x1 y − y1 z − z1 = = 的距离为 l m n
离为
d =
0
0
0
A2 + B2 + C
v i x0 − x1 d= M1 M0 × s s
M0
v v j k y0 − y1 z0 − z1 m l 2 + m 2 + n2 n
=
l
l
M1
或d = 两个平行平面
2
M 0M1
r − [( M 0 M 1 ) s ]2
L // π ⇔ Al + Bm + Cn = 0
2．垂直的的充要条件
L1 // L2 ⇔
l1 m n = 1 = 1 l 2 m 2 n2
2．垂直的的充要条件
π 1 ⊥ π 2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0
2．垂直的的充要条件
L1 ⊥ L2 ⇔ l1 l 2 + m 1 m 2 + n1 n 2 = 0
平面的法向量 n = {A, B , C } 2．点法式方程 已 知 平 面 上 的 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 平面的法向量 n = {A, B, C } ，则
v
v
v
v
r
v
A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
3．截距式方程 已知平面在三个坐标轴上的截距分别为
L1 :
x − x1 y − y1 z − z1 = = l1 m1 n1 x − x2 y − y 2 z − z 2 = = l2 m2 n2
π : Ax + By + Cz + D = 0
1．平行的充要条件 1．平行的充要条件
L2 :
1．平行的充要条件
π 1 // π 2 ⇔
A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2
x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n
3．参数式方程 已 知 直 线 上 的 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 直线的方向向量 s = {l , m , n} ，则
a , b, c ，即平面过点 (a ,0,0) (0, b,0) (0,0, c )
则
v
x y z + + =1 a b c
平面与直线总结
1/3
平面与直线总结
平面方程 1．一般式方程
直线方程 2．一般式方程（两平面交线）
Ax + By + Cz + D = 0
⎧ A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0 平面π 1 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 平面π 2
直线的方向向量 s = n1 × n 2 2．标准式（对称式）方程 已 知 直 线 上 的 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 直线的方向向量 s = {l , m , n} ，则
A B C L⊥π ⇔ = = l m n
3．夹角的确定
sinθ = Al + Bm + Cn A +B +C
2 2 2
3．夹角的确定
cosθ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2
2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2
3．夹角的确定
cosθ = A1 A2 + B1 B2 + C1C2
离
d =
D1 − D 2 A2 + B2 + C
2
பைடு நூலகம்d =
x 2 − x1 l1 l2
y 2 − y1 z 2 − z1 m1 n1 m2 n2 r r r i j k l1 m 1 n1 l2 m 2 n2
由方程可得 P1 ( x1 , y 1 , z 1 ) ， P2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 故两条直线共面的充分必要条件： ( s1 × s 2 ) ⋅ P1 P2 = 0
2 2 2 2 2 2 A1 + B1 + C1 A2 + B2 + C2
l +m +n
2 2
2
平面与直线总结
3/3
点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 到 平 面
点
L:
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
到
直
线
π : Ax + By + Cz + D = 0 的 距
Ax + By + Cz + D
两条异面直线
L1 : L2 x − x1 y − y1 z − z1 = = l1 m1 n1 x − x2 y − y2 z − z 2 间的距离 : = = l2 m2 n2
π 1 : Ax + By + Cz + D1 = 0 π 2 : Ax + By + Cz + D 2 = 0 间 的 距