21.5 反比例函数(第1课时)-课件
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教学课件：第1课时-反比例函数
Fra bibliotek学习技巧
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
数形结合
利用数形结合的方法，通 过图像来理解反比例函数 的性质和变化规律。
归纳总结
对反比例函数的图像、性 质、应用进行归纳总结， 形成完整的知识体系。
善于类比
通过与其他函数的类比， 加深对反比例函数的理解。
学习反比例函数的注意事项
注意定义域和值域
与其他知识的结合
反比例函数的定义域和值域是有限的， 需要注意这一点在解题中的应用。
解析式与几何意义的区别
01
解析式是函数的一种数学表达形 式，通过解析式可以计算出任意 点的函数值，但不能直观地看出 函数的图形。
02
几何意义则可以直观地展示函数 的图形，但无法直接通过图形计 算出任意点的函数值。
解析式与几何意义的综合应用
在解决实际问题时，需要将解析式与几何意义结合起来，通过解析式计算出函数 值，再结合几何意义理解函数的性质和变化规律。
然而，在研究函数的图像和性质时，可以通过绘制反比例函 数的图像来了解其与二次函数的差异。例如，反比例函数的 图像是关于原点对称的，而二次函数的图像则取决于a的符号 和值。
与幂函数的联系
幂函数是形如y=x^n的函数，其中n是实数。当n<0时， 幂函数可以转化为反比例函数的形式。
例如，当n=-1时，幂函数y=1/x可以转化为反比例函数的 形式。此外，幂函数和反比例函数在图像和性质方面也有 一些相似之处。例如，当n<0时，幂函数的图像也是关于 原点对称的。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，商品的价格与供应量、 需求量之间存在反比例关系。当供应 量增加时，价格下降；反之，当供应 量减少时，价格上升。
投资回报
投资回报与投资风险之间也存在反比 例关系。随着投资风险的增加，投资 回报率通常会相应降低。
反比例函数ppt课件免费课件ppt课件
反比例函数的性质
反比例函数具有无限递减或无限递增的性质，即随着$x$的增大或减小，$f(x)$的值 会无限接近于0但永远不会等于0。
反比例函数在自变量$x$等于0时没有定义，因为分母不能为0。
反比例函数具有对称性，即当$x$取正值时和取负值时的函数值是相等的。
02
反比例函数的应用
反比例函数在生活中的应用
反比例函数与正比例函数的比较
定义域
正比例函数和反比例函数的定义 域均为$x in R$，即实数集。
函数图像
正比例函数图像是一条过原点的直 线，而反比例函数的图像是双曲线 。
增减性
正比例函数随着$x$的增大而增大或 减小，而反比例函数在$x>0$时， 随着$x$的增大而减小，在$x<0$时 ，随着$x$的增大而增大。
反比例函数与其他数学知识的结合
与一次函数的结合
反比例函数与一次函数的结合可 以用于解决一些复杂的数学问题 ，例如求解方程的根。
与指数函数的结合
反比例函数与指数函数的结合可 以用于描述一些复杂的数学关系 ，例如人口增长与时间的关系。
03
反比例函数的解析式
反比例函数的解析式
反比例函数的一般形式为 $f(x) = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。
反比例函数在数学问题中的应用01Fra bibliotek0203
解决几何问题
在几何问题中，反比例函 数可以用于描述两个点之 间的距离与它们之间的角 度之间的关系。
解决物理问题
在物理问题中，反比例函 数可以用于描述物体的运 动规律，例如物体的加速 度与时间之间的关系。
解决概率问题
在概率问题中，反比例函 数可以用于描述事件的概 率与样本空间的大小之间 的关系。
数学反比例函数第1课时课件人教新课标八年级下PPT18页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数学反比例函数第1课时课件人教新课标 八年级下
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富的人生
数学反比例函数第1课时课件人教新课标 八年级下
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
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21.5反比例函数的图像与性质
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判 断函数的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接判断 出函数在不同区间的单调性。
特殊值比较法
在函数的定义域内取特殊值进行比较，从而 判断函数的单调性。
பைடு நூலகம்
奇偶性判断方法
奇偶性定义法
根据奇偶性的定义，判断反比例 函数是否满足f(-x)=-f(x)或f(x)=f(x)。
3. 已知反比例函数 $y = frac{2x - 1}{x + 3}$， 试判断该函数图像所在 的象限，并求出该函数 在 $x = -1$ 和 $x = 2$ 处的函数值。
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函数值变化规律
当 $k > 0$ 时
在第一象限和第三象限内，随着 $x$ 的增大 ，$y$ 值逐渐减小。
函数图像关于原点对称。
函数值变化规律
01
当 $k < 0$ 时
在第二象限和第四象限内，随着 $x$ 的增大，$y$ 值逐渐增大。
反比例函数的图像是一条双曲线 ，且该双曲线以坐标原点为中心 对称。
反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，且当 $k > 0$ 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。
当 $k > 0$ 时，在每个象限内，随着 $x$ 的增大， $y$ 值逐渐减小；
反比例函数的图像关于原点对称。
拓展延伸内容探讨
反比例函数与直线的交点问题
21.5反比例函数的图像与 性质
汇报人：XXX 2024-01-26
目录
沪科版数学九年级上册21.5反比例函数 课件(共34张PPT)
随堂练习
如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么?解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m-5>0,解得m>5.
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A( )和点B( ).如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？解：∵m-5>0, ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， ∴当 时， .
当k>0时，y随x的增大而减小;当k<0时，y随x的增大而增大
练一练
1．如果反比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是_______．2．已知直线y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象在第________象限．3．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________.
24
(1)(3)
3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么正比例函数y=kx和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
C
4.已知反比例函数 (k为常数，k≠1)若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值.若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围.若k=13，试判断点B(3,4),C(2,5)，B点是否在这个函数的图象上，并说明理由.解:(1)代入A(1,2)得k-1=2,k=3; (2)k-1>0,k>1; (3) 代入B(3,4),C(2,5),B点在函数图象上，C点不在.
C
A
3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.4.在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是y关于x的反比例函数？其相应的k的值是多少？① ；② ；③xy=2;④ ；⑤ y关于x的反比例函数有①②③;对应的k值分别为2.5,；2;7
如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：(1)图象的另一支位于哪个象限?常数m的取值范围是什么?解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.又因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m-5>0,解得m>5.
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A( )和点B( ).如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？解：∵m-5>0, ∴在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小， ∴当 时， .
当k>0时，y随x的增大而减小;当k<0时，y随x的增大而增大
练一练
1．如果反比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是_______．2．已知直线y＝kx＋b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象在第________象限．3．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是________.
24
(1)(3)
3.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么正比例函数y=kx和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
C
4.已知反比例函数 (k为常数，k≠1)若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值.若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围.若k=13，试判断点B(3,4),C(2,5)，B点是否在这个函数的图象上，并说明理由.解:(1)代入A(1,2)得k-1=2,k=3; (2)k-1>0,k>1; (3) 代入B(3,4),C(2,5),B点在函数图象上，C点不在.
C
A
3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.4.在下列函数表达式中，x均表示自变量，那么哪些是y关于x的反比例函数？其相应的k的值是多少？① ；② ；③xy=2;④ ；⑤ y关于x的反比例函数有①②③;对应的k值分别为2.5,；2;7
反比例函数ppt免费课件
与一次函数的结合
一次函数和反比例函数结合可以 形成复合函数，这种复合函数在 解决实际问题中具有广泛的应用
。
与二次函数的结合
在解决最值问题时，可以利用反比 例函数和二次函数的性质进行求解 。
与对数函数的结合
在解决增长率问题时，可以利用反 比例函数和对数函数的性质进行求 解。
CHAPTER 03
反比例函数的性质和特点
CHAPTER 02
反比例函数的应用
反比例函数在实际问题中的应用
01
02
03
物理问题
电流与电阻的关系、压强 与压力的关系等都可以用 反比例函数表示。
经济问题
例如，商品销售量与价格 的关系，当价格一定时， 销售量与价格成反比。
地理问题
例如，人口密度与土地面 积的关系，在一定条件下 ，人口密度与土地面积成 反比。
反比例函数的单调性
01
反比例函数在各自象限内单调递 减，随着x的增大，y值逐渐减小 。
02
在第一象限和第三象限，当x增大 时，y值减小；在第二象限和第四 象限，当x增大时，y值也减小。
反比例函数的奇偶性
反比例函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。 在坐标系中，反比例函数的图像关于原点对称。
反比例函数的周期性和对称性
探讨两者图像的交点、单调性以及函数值的变化规律。
反比例函数与二次函数的结合
研究如何利用反比例函数的性质解决二次函数问题，如求最值等。
反比例函数在微积分中的应用
导数与反比例函数
理解反比例函数的导数形式，掌 握利用导数研究函数的单调性、 极值等问题。
积分与反比例函数
掌握对反比例函数进行积分的计 算方法，理解积分在解决实际问 题中的应用。
反比例函数第一课时ppt
九年级数学(上)第五章 反比例函数
学如逆水行 舟，不进则 退。 1.反比例函数(1) 反比例函数的概念
温故知新
一、一次函数的定义：
kx ＋b 1、一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常 ≠０ =０ 数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数 kx ≠０ y=____(k____)叫做正比例函数。
面值(x) 张数(y)
50 20 10 10 5 20
x
100 x
2
5
① 你会用含x的代数式表示y吗？ y 100 ② 当所换的面值x越来越小时，相应的 x 张数y怎样变化？ ③ 变量y是x的函数吗？为什么？
做一做
2
物理中的数学
我们知道,压强P,受力面积S,压力F之间满足关系式 F=PS 当F=200N时： ＿＿＿＿ ， 200 (1)你能用含有S的代数式表示P吗? P S (2)利用写出的关系式完成下表: S/㎡ 5 10 16 20 100 P/Pa
是 k=5 是 k=0.4 不是 是 k=2
5 1 5 y 6 x 3; 6xy 7; 7 y 2 ; 8 y x 5x 不是 不是 是 k=-7 是 k= 1 5
小结
拓展
一次函数 形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式; 正比例函数 一次函数y=kx+b(k≠0)当常数b＝0时, y=kx(k是常数,k≠0)的形式。 ★反比例函数 一般地,如果两个变量x,y之间的关系 可以表示成： k
解:∵y=kx+b图象与y= - 2x图象平行 ∴k=-2 ∵图像经过点（0，4） ∴b=4 ∴此函数的解析式为y= - 2x+4 ∵函数y= - 2x+4与两坐标轴的交点为(0,4) (2,0)
学如逆水行 舟，不进则 退。 1.反比例函数(1) 反比例函数的概念
温故知新
一、一次函数的定义：
kx ＋b 1、一次函数的概念：函数y=_______(k、b为常 ≠０ =０ 数，k______)叫做一次函数。当b_____时，函数 kx ≠０ y=____(k____)叫做正比例函数。
面值(x) 张数(y)
50 20 10 10 5 20
x
100 x
2
5
① 你会用含x的代数式表示y吗？ y 100 ② 当所换的面值x越来越小时，相应的 x 张数y怎样变化？ ③ 变量y是x的函数吗？为什么？
做一做
2
物理中的数学
我们知道,压强P,受力面积S,压力F之间满足关系式 F=PS 当F=200N时： ＿＿＿＿ ， 200 (1)你能用含有S的代数式表示P吗? P S (2)利用写出的关系式完成下表: S/㎡ 5 10 16 20 100 P/Pa
是 k=5 是 k=0.4 不是 是 k=2
5 1 5 y 6 x 3; 6xy 7; 7 y 2 ; 8 y x 5x 不是 不是 是 k=-7 是 k= 1 5
小结
拓展
一次函数 形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式; 正比例函数 一次函数y=kx+b(k≠0)当常数b＝0时, y=kx(k是常数,k≠0)的形式。 ★反比例函数 一般地,如果两个变量x,y之间的关系 可以表示成： k
解:∵y=kx+b图象与y= - 2x图象平行 ∴k=-2 ∵图像经过点（0，4） ∴b=4 ∴此函数的解析式为y= - 2x+4 ∵函数y= - 2x+4与两坐标轴的交点为(0,4) (2,0)
最新反比例函数第一课时课件精品课件
比例系数k等于－4
第九页，共20页。
函数(hánshù)， 求k的值。
解：依题意(tíyì)得
k 2 5 1
∴ k=±2 又∵ （2－k）≠0
∴ k≠2
∴ k=2
第十页，共20页。
y m 2x 4）若函数(hánshù)
求 m的3值 是反比例函数(hámnshù)，
xì)4式为3
x
第十五页，共20页。
例4： 已知：y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例， 并且x=2和x=3时，y的值都等于(děngyú)19，求y与x之间的 函数关系式。
解：设
y1=K1X
y2=K2/X
y
k1x
k2 x
｛19
2k1
k2 2
19
3k1
k2 3
第十六页，共20页。
五：课堂
1、什么是函数?大家(dàjiā)能举出实例 吗?
在某变化过程中有两个变量x,y若给定其中 一个变量x的值,y都有唯一(wéi yī)确定的值和 它对应,则称y是x的函数。
2、一次函数的表达式为 Y=kx+b 其中 k,b为常数(chángshù)且k≠0
3、正比例函数的表达式为 不为0的常数(chángshù)
3x
x
(5) y 2 ;(6)xy 0.5 5x
7y x 2
3
第八页，共20页。
（2）、关系式xy+4=0中y是x的反比例(bǐlì)函数吗?若是， 比例(bǐlì)系数k等于多少？若不是，请说明理由。
解：xy+4=0可以(kěyǐ)改y 4 写成所以(suǒyǐ)y是x的反比例函数x
例3： 已知 y 3 与 x 是反比例关系 (guānxxì)，2 且当y 1 时， y x，求
第九页，共20页。
函数(hánshù)， 求k的值。
解：依题意(tíyì)得
k 2 5 1
∴ k=±2 又∵ （2－k）≠0
∴ k≠2
∴ k=2
第十页，共20页。
y m 2x 4）若函数(hánshù)
求 m的3值 是反比例函数(hámnshù)，
xì)4式为3
x
第十五页，共20页。
例4： 已知：y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例， 并且x=2和x=3时，y的值都等于(děngyú)19，求y与x之间的 函数关系式。
解：设
y1=K1X
y2=K2/X
y
k1x
k2 x
｛19
2k1
k2 2
19
3k1
k2 3
第十六页，共20页。
五：课堂
1、什么是函数?大家(dàjiā)能举出实例 吗?
在某变化过程中有两个变量x,y若给定其中 一个变量x的值,y都有唯一(wéi yī)确定的值和 它对应,则称y是x的函数。
2、一次函数的表达式为 Y=kx+b 其中 k,b为常数(chángshù)且k≠0
3、正比例函数的表达式为 不为0的常数(chángshù)
3x
x
(5) y 2 ;(6)xy 0.5 5x
7y x 2
3
第八页，共20页。
（2）、关系式xy+4=0中y是x的反比例(bǐlì)函数吗?若是， 比例(bǐlì)系数k等于多少？若不是，请说明理由。
解：xy+4=0可以(kěyǐ)改y 4 写成所以(suǒyǐ)y是x的反比例函数x
例3： 已知 y 3 与 x 是反比例关系 (guānxxì)，2 且当y 1 时， y x，求
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12 ∵y与x的函数关系式为 y x
12 ⑵ 把 x=4 代入 y x 12 得 y 3
k 6 k 12 2
待 定 系 数 法
4
9
随堂练习
1.判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系， 如果是，请写出这个函数表达式。
（1）正三角形的面积S与边长a；
（2）当圆锥的体积是50时，它的高h与底面积S；
① y = 3x-1 ④ ② y= ⑤
2x2
-1
2 ③ y= 3x
y=
2x 3
y=x
ห้องสมุดไป่ตู้
⑥
2 (k= ) 3
xy=3
(k=1)
(k= 3)
7
练习:
⑴ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ C ）
3 （A） y = X+5 （B） y = x + 7
（C）xy = 5
2 （D） y = x2
x
(3)利用y关于x的函数解析式，
说明当动力臂长扩大到原来 的n倍时，所需动力将怎样 变化？
用反比例函数的知识解释: 在我们使用撬棍时,为什 么 动力臂越长就越省力.
15
……
21.6 反比例函数 （第1课时）
1.在某一变化过程中,不断变化的量：变量
保持不变的量： 常量
2.一般地.在某个变化中,有两个变量x和y, 如果给定一个x的值,相应地就确定了y的 一个值,那么我们称y是x的函数，其中x 叫自变量,y叫因变量. 函数的实质是两个变量之间的关系.
思考 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的 函数式表示？这些函数有什么共同特点？
3.反比例函数的定义
反比例函数的定义
一般地，表达式形如
k y （k为常数， x
且k不为０）的函数，叫做反比例函数。
注意：
常数 k 0 ，称为该反比例函数的系数 自变量Ｘ不能为零（因分母为零时，分式无意义）
xy = k k y 可以写成 y kx 1 ，注意Ｘ的指数为-1 x
下列函数中哪些是反比例函数,并指出相应k的值？
8
8 ⑵ 已知函数 y = xm -7 是正比例函数 ,则 m = ___ ； 1 -1 x =
6 。 已知函数 y = 3xm -7 是反比例函数,则 m = ___
例1：已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式: （2）求当x=4时y的值.
k 解： (1)设反比例函数y x 因为当 x=2 时y=6，所以有
（3）当矩形的面积为90时，它的一边y与另一边 x.
2、一定质量的氧气，它的密度r与它的体积V成
反比例关系。当V=10m3时，r=1.43kg/m3。
（1）求r与V之间的函数表达式；
（2）当V=2m3时，求氧气的密度r的值。
r=
14.3 v
背景知识:
给我一个支点，我可 以撬动地球！
——阿基米德
背景知识:
阻 杠杆定律
力
阻力臂
动 力
动力臂
【例1】如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y
（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略 去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
(1)求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?
如果是，请说出比例系数；
(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；
(3)在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路 的电流 I 的大小与该电路的电阻 R 的大小之间 有怎样的函数关系？
U I= R
思考 1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数
200 y= x 248 t= v U I= R
2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
k 都是 y= x 的形式,其中k是非零常数.
(1)某村有耕地200hm²，人口数量x逐年发生变化， 该村人均耕地面积yhm²与人口数量x之间有怎样 的数量关系。 200 y= x
(2)某市距省城248Km，汽车行驶全程所需的时间 t h与平均速度v Km/h之间有怎样的函数关系？ 248 t= v 3
思考 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的 函数式表示？这些函数有什么共同特点？