直线的方程(第1课时)练习1(必修2)

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【精品】高中数学必修2_直线的一般式方程及综合讲义知识点讲解+巩固练习(含答案) _基础

直线的一般式方程及综合【学习目标】1．掌握直线的一般式方程；2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；3．能利用直线的一般式方程解决有关问题.【要点梳理】要点一：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为Ax+By+C=0，这个方程(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．要点诠释：1．A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线.当B≠0时，方程可变形为A Cy xB B=--，它表示过点0,CB⎛⎫-⎪⎝⎭，斜率为AB-的直线．当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即CxA=-，它表示一条与x轴垂直的直线．由上可知，关于x、y的二元一次方程，它都表示一条直线．2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程（如斜率为2，在y轴上的截距为1的直线，其方程可以是2x―y+1=0，也可以是1122x y-+=，还可以是4x―2y+2=0等．）要点二：直线方程的不同形式间的关系直线方程的五种形式的比较如下表：要点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多（x 1≠x 2，y 1≠y 2），应用时若采用(y 2―y 1)(x ―x 1)―(x 2―x 1)(y ―y 1)=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．要点三：直线方程的综合应用1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．（1）从斜截式考虑已知直线111:b x k y l +=,222:b x k y l +=,12121212//()l l k k b b αα⇒=⇒=≠；12121211221tan cot 12l l k k k k παααα⊥⇒-=⇒=-⇒=-⇒=- 于是与直线y kx b =+平行的直线可以设为1y kx b =+；垂直的直线可以设为21y x b k=-+．（2）从一般式考虑：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=1212120l l A A B B ⊥⇔+=121221//0l l A B A B ⇔-=且12210A C A C -≠或12210B C B C -≠，记忆式（111222A B C A B C =≠） 1l 与2l 重合，12210A B A B -=，12210A C A C -=，12210B C B C -=于是与直线0Ax By C ++=平行的直线可以设为0Ax By D ++=；垂直的直线可以设为0Bx Ay D -+=.【典型例题】类型一：直线的一般式方程例1．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：（1A （5，3）；（2）过点B （―3，0），且垂直于x 轴；（3）斜率为4，在y 轴上的截距为―2；（4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；（5）经过C （―1，5），D （2，―1）两点；（6）在x ，y 轴上的截距分别是―3，―1．【答案】（130y -+-=（2）x+3=0（3）4x ―y ―2=0（4）4x ―y ―2=0（5）2x+y ―3=0（6）x+3y+3=0【解析】（1）由点斜式方程得35)y x -=-30y -+-=．（2）x=―3，即x+3=0．（3）y=4x ―2，即4x ―y ―2=0．（4）y=3，即y ―3=0．（5）由两点式方程得5(1)152(1)y x ---=----，整理得2x+y ―3=0．（6）由截距式方程得131x y +=--，整理得x+3y+3=0．【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项、y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．举一反三：【变式1】已知直线l 经过点A （―5，6）和点B （―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．【答案】2x －y+16=0 1816x y +=- 【解析】所求直线的一般式方程为2x －y+16=0，截距式方程为1816x y +=-．图形如右图所示．【高清课堂：直线的一般式 381507 例4】例2．ABC ∆的一个顶点为(1,4)A --，B ∠、C ∠ 的平分线在直线10y +=和10x y ++=上，求直线BC 的方程.【答案】230x y +-=【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，所以可得A 点关于B ∠的平分线的对称点'A 在BC 上，B 点关于C ∠的平分线的对称点'B 也在BC 上．写出直线''A B 的方程，即为直线BC 的方程.例3．已知直线1:310l ax y ++=，2:(2)0l x a y a +-+=，求满足下列条件的a 的值．（1）12//l l ；（2）12l l ⊥．【思路点拨】利用直线平行和垂直的条件去求解。

直线的两点式方程第一课时课后习题(带答案)-人教A版数学必修2第三章直线方程3.2.2

3.2.2 直线的两点式方程课后小练一．选择题（共5小题）1．（2015春•达州期末）过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y=0D．2x﹣y﹣3=02．（2015春•某某校级期末）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=03．（2015春•贵港期中）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（﹣2，y）在直线AB上，则y 的值是（）A．﹣5C．54．（2015春•某某校级期中）对于直线l：3x﹣y+6=0的截距，下列说法正确的是（）A．在y轴上的截距是6B．在x轴上的截距是2C．在x轴上的截距是3D．在y轴上的截距是﹣65．（2015春•景县校级期中）过点（0，5）且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为（）A．3x+5y+15=0B．5x+3y﹣15=0C．5x﹣3y+15=0D．3x﹣5y﹣15=0二．填空题（共4小题）6．（2015•某某校级三模）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．7．（2015春•某某期末）过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为．8．（2014秋•某某期末）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值X围是．9．（2014秋•邛崃市期中）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．三．解答题（共2小题）10．（2015春•龙岗区期末）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足向量条件的直线l′的方程．（1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为6．11．（2014秋•某某校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．3.2.2 直线的两点式方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2015春•达州期末）过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y=0D．2x﹣y﹣3=0考点：直线的两点式方程．分析：直接利用截距式方程求解在方程即可．解答：解：过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为：，即x﹣y+1=0．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．2．（2015春•某某校级期末）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0考点：直线的截距式方程．分析：当直线经过原点时易得直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，待定系数法可得．解答：解：当直线经过原点时，直线的斜率为k==，直线的方程为y=x，即3x﹣2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，代入点P（2，3）可得a=5，∴所求直线方程为x+y﹣5=0综合可得所求直线方程为：x+y﹣5=0或3x﹣2y=0故选：C点评：本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．3．（2015春•贵港期中）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（﹣2，y）在直线AB上，则y 的值是（）A．﹣5C．5考点：直线的两点式方程；直线的一般式方程．分析：求出直线AB的方程，代入C的坐标即可求解结果．解答：解：点A（1，1），B（3，5），直线AB的方程为：，即2x﹣y﹣1=0，点C（﹣2，y）在直线AB上，看﹣4﹣y﹣1=0，解得y=﹣5．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法与应用，基本知识的考查．4．（2015春•某某校级期中）对于直线l：3x﹣y+6=0的截距，下列说法正确的是（）A．在y轴上的截距是6B．在x轴上的截距是2C．在x轴上的截距是3D．在y轴上的截距是﹣6考点：直线的截距式方程．分析：分别令x=0、y=0代入直线的方程，求出直线在坐标轴上的截距．解答：解：由题意得，直线l的方程为：3x﹣y+6=0，令x=0得y=6；令y=0得x=﹣2，所以在y轴上的截距是6，在x轴上的截距是﹣2，故选：A．点评：本题考查由直线方程的一般式求出直线在坐标轴上的截距，属于基础题．5．（2015春•景县校级期中）过点（0，5）且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为（）A．3x+5y+15=0B．5x+3y﹣15=0C．5x﹣3y+15=0D．3x﹣5y﹣15=0考点：直线的截距式方程．分析：由题意易得直线得截距，可得截距式方程，化为一般式可得答案．解答：解：由题意可得直线的纵截距b=5，故横截距a=2﹣5=﹣3，∴所求直线的方程为+=1，化为一般式可得5x﹣3y+15=0，故选：C．点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题．二．填空题（共4小题）6．（2015•某某校级三模）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．考点：直线的截距式方程．分析：当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入即可得出．解答：解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x﹣y﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．点评：本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2015春•某某期末）过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为﹣．考点：直线的两点式方程．分析：利用两点式求出直线的方程即可．解答：解：过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线方程为，即y=2x+3，令y=0，则x=﹣，即直线在x轴上的截距为﹣，故答案为：﹣点评：本题主要考查直线方程的求解以及截距的计算，比较基础．8．（2014秋•某某期末）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值X围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：直线的截距式方程．分析：由直线x﹣2y+b=0化为=1，可得直线在坐标轴上的截距分别为：b，﹣．利用＞1，解出即可．解答：解：由直线x﹣2y+b=0化为=1，∴直线在坐标轴上的截距分别为：b，﹣．∴＞1，∴|b|＞2．解得b＜﹣2或b＞2．∴b的取值X围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、含绝对值不等式的解法，属于基础题．9．（2014秋•邛崃市期中）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．考点：直线的截距式方程．分析：根据已知可先求出A，B两点的坐标，从而由两点间的距离公式即可求出|AB|值．解答：解：令x=0，则y=3，令y=0，则x=﹣6．故有A（﹣6，0），B（0，3）．故|AB|==．故答案为：．点评：本题主要考察了直线的方程，两点间的距离公式的应用，属于基础题．三．解答题（共2小题）10．（2015春•龙岗区期末）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足向量条件的直线l′的方程．（1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为6．考点：直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．分析：（1）根据直线平行对应斜率相等求出直线的斜率，利用点斜式方程求直线方程即可．（2）根据直线垂直得到对应斜率之间的关系，求出直线的斜率，利用直线与两坐标轴围成的三角形面积为6．建立方程关系即可求解解答：解：（1）直线l1：3x+4y﹣12=0，k1=﹣，∵l1∥l2∴k2=k1=﹣，∴直线l2：y=，即3x+4y﹣9=0，（2）∵l1⊥l2，∴k2=，设l2的方程为y=x+b，则它与两坐标轴交点是（0，b），（b，0），∴S=|b||b|=6，即b2=16，∴b=±4，∴直线l2的方程是y=x+4，或y=x﹣4．点评：本题主要考查直线方程的求法，利用直线平行和直线垂直得到对应直线的斜率之间的关系，求出直线斜率是解决本题的关键．11．（2014秋•某某校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．考点：直线的两点式方程．分析：由题意易得直线的两点式方程，化为相应的方程形式即可．解答：解：过A（2，﹣1），B（5，1）两点的直线方程为=化为点斜式方程可得：y+1=（x﹣2），化为斜截式为：y=x﹣截距式为：+=1点评：本题考查直线的方程，涉及方程形式的互化，属基础题．。

人教版高中数学必修二第三章单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)注意事项：1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则必有( )A.k 1<k 3<k 2B.k 3<k 1<k 2C.k 1<k 2<k 3D.k 3<k 2<k 12.直线x ＋2y －5＝0与2x ＋4y ＋a ＝0之间的距离为5,则a 等于( ) A.0B.－20C.0或－20D.0或－103.若直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A.－3B.2C.－3或2D.3或－24.下列说法正确的是( )A.经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B.经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示 D.经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示5.点M (4,m )关于点N (n ,－3)的对称点为P (6,－9),则( ) A.m ＝－3,n ＝10 B.m ＝3,n ＝10 C.m ＝－3,n ＝5D.m ＝3,n ＝56.以A (1,3),B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0D.3x ＋y ＋2＝07.过点M (2,1)的直线与x 轴,y 轴分别交于P ,Q 两点,且|MP |＝|MQ |,则l 的方程是( ) A.x －2y ＋3＝0 B.2x －y －3＝0 C.2x ＋y －5＝0D.x ＋2y －4＝08.直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点,则该点的坐标是( ) A.(－2,1)B.(2,1)C.(1,－2)D.(1,2)9.如果AC <0且BC <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.直线2x ＋3y －6＝0关于点(1,－1)对称的直线方程是( ) A.3x －2y ＋2＝0 B.2x ＋3y ＋7＝0 C.3x －2y －12＝0D.2x ＋3y ＋8＝011.已知点P (a ,b )和Q (b －1,a ＋1)是关于直线l 对称的两点,则直线l 的方程是( ) A.x ＋y ＝0 B.x －y ＝0C.x ＋y －1＝0D.x －y ＋1＝012.设x ＋2y ＝1,x ≥0,y ≥0,则x 2＋y 2的最小值和最大值分别为( ) A.15,1 B.0,1C.0,15D.15,2二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.不论a 为何实数,直线(a ＋3)x ＋(2a －1)y ＋7＝0恒过第________象限. 14.原点O 在直线l 上的射影为点H (－2,1),则直线l 的方程为______________. 15.经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是____________________. 16.与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为______________. 三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号17.(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋3－2t＝0,分别根据下列条件,求t的值：(1)过点(1,1)；(2)直线在y轴上的截距为－3.19.(12分)光线从A(－3,4)点出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的C点, 18.(12分)直线l过点(1,4),且在两坐标轴上的截距的积是18,求此直线的方程.又被y轴反射,这时反射光线恰好过D(－1,6)点,求直线BC的方程.20.(12分)如图所示,某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0,若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方？21.(12分)已知△ABC的顶点A为(3,－1),AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0,∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0,求BC边所在直线的方程.22.(12分)已知直线l过点P(3,1),且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长度为5,求直线l的方程.2018-2019学年必修二第三章训练卷直线与方程(一)答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【答案】A【解析】由于直线1l 向左倾斜,故10k <,直线2l 与直线3l 均向右倾斜,且2l 更接近y 轴,所以：1320k k k <<<,故选A. 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D【解析】斜率有可能不存在,截距也有可能不存在.故选D. 5.【答案】D【解析】由对称关系462n =+,239m -=-,可得m ＝3,n ＝5.故选D. 6.【答案】B【解析】所求直线过线段AB 的中点(－2,2),且斜率k ＝－3, 可得直线方程为3x ＋y ＋4＝0.故选B. 7.【答案】D【解析】由题意可知M 为线段PQ 的中点,Q (0,2),P (4,0), 可求得直线l 的方程x ＋2y －4＝0.故选D. 8.【答案】A【解析】将原直线化为点斜式方程为y －1＝m (x ＋2), 可知不论m 取何值直线必过定点(－2,1).故选A. 9.【答案】C【解析】将原直线方程化为斜截式为A Cy x B B=--,由AC <0且BC <0,可知AB >0,直线斜率为负,截距为正,故不过第三象限.故选C. 10.【答案】D【解析】所求直线与已知直线平行,且和点(1,－1)等距,不难求得直线为2x ＋3y ＋8＝0.故选D. 11.【答案】D 【解析】∵k PQ ＝11a bb a+---＝－1,∴k l ＝1.显然x －y ＝0错误,故选D.12.【答案】A【解析】x 2＋y 2为线段AB 上的点与原点的距离的平方,由数形结合知, O 到线段AB 的距离的平方为最小值,即d 2＝15,|OB |2＝1为最大值.故选A.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上) 13.【答案】二【解析】直线方程可变形为：(3x －y ＋7)＋a (x ＋2y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＋7＝0x ＋2y ＝0得,⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1. ∴直线过定点(－2,1).因此直线必定过第二象限. 14.【答案】2x －y ＋5＝0【解析】所求直线应过点(－2,1)且斜率为2,故可求直线为2x －y ＋5＝0. 15.【答案】y ＝－25x 或x ＋y ＋3＝0【解析】不能忽略直线过原点的情况. 16.【答案】3x ＋4y －4＝0【解析】所求直线可设为3x ＋4y ＋m ＝0,再由－3m －4m ＝73,可得m ＝－4.三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.【答案】(1)3；(2)95.【解析】(1)代入点(1,1), 得2＋(t －2)＋3－2t ＝0,则t ＝3.(2)令x ＝0,得y ＝232t t --＝－3,解得t ＝95.18.【答案】2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 【解析】设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1,则18141ab a b=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得36a b =⎧⎨=⎩或3212a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则直线l 的方程2x ＋y －6＝0或8x ＋y －12＝0. 19.【答案】5x －2y ＋7＝0. 【解析】如图所示,由题设,点B 在原点O 的左侧,根据物理学知识,直线BC 一定过(－1,6)关于y 轴的对称点(1,6),直线AB 一定过(1,6)关于x 轴的对称点(1,－6)且k AB ＝k CD , ∴k AB ＝k CD ＝4631+--＝－52.∴AB 方程为y －4＝－52(x ＋3). 令y ＝0,得x ＝－75,∴B 7,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.CD 方程为y －6＝－52(x ＋1). 令x ＝0,得y ＝72,∴C 70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴BC 的方程为75x -＋72y＝1,即5x －2y ＋7＝0.20.【答案】见解析. 【解析】如图所示,过A 作直线l 的对称点A ′,连接A ′B 交l 于P , 若P ′(异于P )在直线上,则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |. 因此,供水站只有在P 点处,才能取得最小值,设A ′(a ,b ), 则AA ′的中点在l 上,且AA ′⊥l ,即1221002221112a b a a ++⎧+⨯-=⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⋅-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩解得36a b =⎧⎨=⎩即A ′(3,6).所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得38113611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫3811，3611.故供水站应建在点P ⎝⎛⎭⎫3811，3611处. 21.【答案】2x ＋9y －65＝0. 【解析】设B (4y 1－10,y 1),由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上,可得：114716+1059=22y y --⋅⋅-0,y 1＝5, 所以B (10,5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′,y ′), 则有3141002211134x y y x ''''⎧+--⋅+=⎪⎪⎨+⎪⋅=-⎪-⎩⇒A ′(1,7),∵点A ′(1,7),B (10,5)在直线BC 上,∴51075110y x --=--,故BC ：2x ＋9y －65＝0. 22.【答案】x ＝3或y ＝1.【解析】若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x ＝3,此时与直线l 1,l 2的交点分别为A (3,－4),B (3,－9).截得的线段AB 的长为|AB |＝|－4＋9|＝5,符合题意. 若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组()311y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得321411k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩所以点A 的坐标为3241,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.解方程组()316y k x x y ⎧=-+⎪⎨++=0⎪⎩得371911k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=-⎪+⎩,所以点B 的坐标为3791,11k k k k --⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为|AB |＝5,所以2232374191=251111k k k k k k k k --⎡--⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解得k ＝0,即所求直线为y ＝1.综上所述,所求直线方程为x ＝3或y ＝1.。

《直线的方程》课件1(人教版必修2(A))1

5
直线L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
7. 若直线 l1 ： mx+2y+6=0 和直线 l2:x+(m-1)y+m2-
1=0平行但不重合，则m的值是___-_1__.
8．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在第一象限，则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
(6)向量式:
OP OA t为ta参数，为方a向向量.
(7)参数式：设直线过点 P（0 x0，y0），v=（a，b）
是它的一个方向向量， P（x，y是）直线上任一点，
x
ab（t为参称数）为直线的参数方程
。
(8)点向式： x x0 y y0（ab 0a）、b称为方向数.
（2）若直线则
l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，
l1// l2 A1B2—A2B1=0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对
对顶角，把 l1 依逆时针方向旋转到与 l2 重合时
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数
1/m，则直线过定点____(_m_,_m__) __.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，
且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0，则直线PB的方程为( B )
(A) 2x-y-1=0
(B) x+y-5=0

直线的点斜式方程同步练习1苏教版必修2

第二章解析几何初步
§1直线与直线的方程
第二课时直线的点斜式方程
一、选择题
1、过点P （2，1），且倾斜角是直线
l ：01y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（）A 、012y x
B 、2x
C 、)2(21x y
D 、012y x
2．方程a ax y 1
表示的直线可能是（）
二、填空题
3．若直线l 经过点(－1，3)，且斜率为－2，则直线l 的方程为__________．
4．已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y= 2x +3的斜率相同，则该直线的方程是_________．
5、在x 轴上的截距是5，倾斜角为4
3的直线方程为。

6．直线l 的斜率为4
1，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，则直线l 的方程为＿．
三、解答题
7．已知三角形的顶点坐标是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．
8、求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点（3,2），倾斜角为4
3；（2）在x 轴上的截距为4，斜率为直线321x y
的斜率的相反数。

四、创新题
9、已知直线l 的斜率与直线623y x 的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程。

§1直线与直线的方程第二课时直线的点斜式方程。

北师大版高中数学必修2：直线的方程学案

直线方程的点斜式第一课时[学习目标] 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程． 2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y 轴上的截距的含义． 3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.【主干自填】1．直线方程的点斜式和斜截式2．垂直于坐标轴的直线3．截距的概念(1)在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的□03纵坐标． (2)在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a,0)的□04横坐标．【即时小测】1．思考下列问题(1)若直线经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则该直线上任意一点的坐标满足什么关系？提示：设P (x ，y )是直线上除P 0外任意一点，那么y －y 0x －x 0＝k ，∴y －y 0＝k (x －x 0)，点P 0也满足该式，这就是直线的方程．(2)过点(2,1)且垂直于x 轴或y 轴的直线方程是怎样的？提示：x ＝2，y ＝1.(3)经过y 轴上一点(0，b )且斜率为k 的直线方程是什么？提示：设直线上除(0，b )外任一点坐标为(x ，y )，则y －bx＝k ，即y ＝kx ＋b .点(0，b )也满足该式，∴直线方程为y ＝kx ＋b .2．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)提示：D 由点斜式得y －0＝3(x ＋2)，即y ＝3(x ＋2)． 3．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 提示：C ∵直线方程y ＋2＝－x －1，可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.4．直线方程y ＝kx ＋b (k ＋b ＝0，k ≠0)表示的图形可能是( )提示：B 解法一：因为直线方程为y ＝kx ＋b ，且k ≠0，k ＋b ＝0，即k ＝－b ，所以令y ＝0，得x ＝－bk＝1，所以直线与x 轴的交点为(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法二：已知k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，代入直线方程，可得y ＝－bx ＋b ，即y ＝－b (x －1)．又k ≠0，所以b ≠0，所以直线必过点(1,0)．只有选项B 中图形符合要求．解法三：由直线方程为y ＝kx ＋b ，可得直线的斜率为k ，在y 轴上的截距为b .因为k ＋b ＝0，所以k ＝－b ，即直线的斜率与直线在y 轴上的截距互为相反数．选项A 中，k >0，b >0，则k ＋b >0，不符合要求；选项B 中，k >0，b <0，图形可能符合要求；选项C 中，k <0，b ＝0，则k ＋b <0，不符合要求；选项D 中，k <0，b <0，则k ＋b <0，不符合要求.例1 根据条件写出下列直线方程的点斜式．(1)经过点A(－1,4)，倾斜角为45°；(2)经过点B(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过原点，倾斜角为60°；(4)经过点D(－1,1)，倾斜角为0°.[解](1)直线斜率为tan45°＝1，∴直线方程为y－4＝x＋1.(2)直线斜率不存在，直线平行于y轴，∴所求直线方程为x＝4.(3)直线斜率为tan60°＝3，∴所求直线的方程为y＝3x.(4)直线斜率为0，∴直线方程为y＝1.类题通法点斜式方程使用的条件是直线的斜率必须存在，因此解答本题要先判断直线的斜率是否存在.若存在，求出斜率，利用点斜式写出方程；若不存在，直接写出方程x＝x0.[变式训练1]根据下列条件写出直线方程的点斜式．(1)经过点(3,1)，倾斜角为60°；(2)斜率为32，与x轴交点的横坐标为－7.解(1)设直线的倾斜角为α，∵α＝60°，k＝tanα＝tan60°＝3，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝3(x－3)．(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7得直线过点(－7,0)，又斜率为32，由直线方程的点斜式得y－0＝32[x－(－7)]，即y＝32(x＋7).例2 (1)写出斜率为2，在y轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．[解] (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．类题通法斜截式方程书写注意的问题(1)已知直线斜率或直线与y 轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．[变式训练2] 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y 轴上的截距是0.解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y ＝3x －3.(2)由题意可知，直线的斜率k ＝tan60°＝3，所求直线的方程为y ＝3x ＋5. (3)由题意可知所求直线的斜率k ＝tan30°＝33，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y ＝33x .例3 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． [证明] 证法一：直线l 的方程可化为 y －3＝(m －1)(x ＋2)，∴直线l 过定点(－2,3)，由于点(－2,3)在第二象限，故直线l 总过第二象限．证法二：直线l 的方程可化为(x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．类题通法直线的斜截式方程的书写方法直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断．[变式训练3] 已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，求k 的取值范围．解由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.所以，k 的取值范围是{|k k ≥32.易错点⊳忽略方程的适用条件致错[典例] 已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求直线AB 的方程． [错解] 由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [错因分析] 没有讨论直线AB 的斜率是否存在(m 的取值)，而直接认为直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． [正解] 当m ＝－1时，由A (－1,2)，B (－1,3)，得直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，由A (－1,2)，B (m,3)，得直线AB 的斜率k ＝1m ＋1，利用点斜式，得直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有y －y 1x －x 1＝k ，此式是不含点P 1(x 1，y 1)的两条反向射线的方程，必须化为y －y 1＝k (x －x 1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x －0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x 的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.1．直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )A．60°，2 B．120°，2－ 3C．60°，2－ 3 D．120°，2答案 B解析该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ 3.2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )A．k>0，b>0 B．k>0，b<0C．k<0，b>0 D．k<0，b<0答案 B解析∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，则由图知，k>0，b<0.3．斜率为4，经过(2，－3)的直线方程为________．答案y＋3＝4(x－2)4．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l 的方程为________．答案x＝3解析直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.直线方程的两点式和一般式第二课时[学习目标] 1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围． 2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程． 4.会进行直线方程不同形式的转化.【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)能表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)所有的直线吗？提示：在方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．(2)直线的一般式方程中，A ，B 不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？提示：A 、B 不同时为零的含义有三点：①A ≠0且B ≠0；②若A ＝0且B ≠0；③若B ＝0且A ≠0.以上三种情况可用统一的代数式A 2＋B 2≠0表示．2．直线2x －y ＝8的截距式方程为( ) A ．y ＝2x －8 B.x 4＋x8＝1C.x 4＋y －8＝0D.x 4＋y－8＝1 提示：D 方程2x －y ＝8中，令x ＝0，得y ＝－8；令y ＝0，得x ＝4；即直线2x －y ＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x 4＋y－8＝1.3．如果AC <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限提示：C 因为AC <0，BC <0，所以AB >0，显然B ≠0. 将一般式Ax ＋By ＋C ＝0化为斜截式y ＝－A B x －C B ，所以k ＝－A B <0，b ＝－C B>0.所以直线不通过第三象限．4．已知直线l 与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l 的方程为________．提示：2x ＋3y －6＝0 由截距式得x 3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x ＋3y －6＝0.例1 求满足下列条件的直线方程． (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解] (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2，化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式得x 4＋y－5＝1，化简为5x －4y －20＝0.(3)①若截距为零，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若截距不为零，则l 的方程可设为x a ＋y a＝1. ∵l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a＝1，即a ＝1，∴直线l 的方程为x ＋y ＝1，即为x ＋y －1＝0.综合①②可知直线l 的方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1] 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程．解 (1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， ∴由两点式得y －－－－－＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 边的方程为2x ＋5y ＋10＝0(0≤x ≤5)． (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝5＋02＝52，y 0＝－＋－2＝－3.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3，又BC 边上的中线经过点A (－3,2)．∴由两点式得y －2－3－2＝x －－52－－，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0.例2 设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0. [解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k ＝5. (2)直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1. 类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0中要求，A ，B 不同时为0；(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2] 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：(1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)l 的斜率是－1.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，①2m －6m 2－2m －3＝－3，②由①得：m ≠－1且m ≠3，由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0，③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1.④由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；[解] (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎪⎨⎪⎧5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝35，即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一． (2)要使l 不经过第二象限，需它在y 轴上的截距不大于零，即令x ＝0时，y ＝－a －35≤0，∴a ≥3. 类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x ，y 作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x ，y 的值，即为直线过的定点．[变式训练3] 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等，此时a ＝2，方程为3x ＋y ＝0.若a ≠2，由l 在两坐标轴上的截距相等，有a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可知，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2. ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1]．易错点⊳忽略截距为零的情况[典例] 已知直线l 经过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．[错解] 设直线l 的方程为x m ＋y m＝1，因为直线l 过点P (2,3)，所以2m ＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.[错因分析] “截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解] 若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0；若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k ＝3－02－0＝32，故此时直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式直线方程的逆向应用.1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2； ③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．过两点A (1,1)，B (0，－1)的直线方程是( ) A.y ＋1x －0＝1＋11－0 B.y －10－1＝x －10－1 C.y －10－1＝x －1－1－1D.y ＋11＋1＝x －01－0答案 D解析由直线的两点式方程，易得y －－1－－＝x －01－0，即y ＋11＋1＝x －01－0. 3．下列说法中正确的是( )A ．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.x 2－y 3＝1与x 2＋y3＝－1是直线的截距式方程C ．直线方程的斜截式都可以化为截距式D ．在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x 2＋y－3＝1答案 D解析因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A 错误．因为方程x 2－y3＝1与x 2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B 错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y ＝2x ，所以C 错误．直线在x 轴、y 轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x 2＋y－3＝1，所以D 正确．4．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为( ) A ．(1，－2) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(2，－1) 答案 D解析 y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．。

数学：3.2.3《直线的方程》测试(新人教A版必修2)

直线的方程学习目标：1.明确直线方程一般式的形式特征.2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距.3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.2、已知直线:0l ax by c ++= 且0,0ab bc <<，则l 不通过的象限是第__ _象限3、求过点（4，-3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线的方程。

二、自学,记下重点，并提出问题。

三、提问与答疑四、课堂练习： P 46练习1、2、3补充例题：1、求过点（2，-1），倾斜角是直线4340x y -+=倾斜角的一半的直线方程。

2、直线Ax ＋By ＋C ＝0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件( )A.A 、B 、C 同号B.AC ＜0，BC ＜0C.C ＝0，AB ＜0D.A ＝0，BC ＜0五、作业布置：★1、求过点P （0，1）且和点A （3，3）B （5，-1）距离相等的直线方程。

3、直线方程Ax ＋By ＋C ＝0的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质？（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在的直线；（5）是y 轴所在的直线。

4、证明：三点A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上．5、设点P(x 0，y 0)在直线A+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0．★ ★6、直线l 的方程为14)()32(22-=-+-+m y m m x m m①当m=________时，直线l 的倾斜角为045；②当m=________时，直线l 在x 轴的截距为1；③当m=________时，直线l 在y 轴的截距为23-； ④当m=________时，直线l 与x 轴平行；⑤当m=________时，直线l 与y 轴平行；7、设直线l 的方程为y m m x m m )12()32(22-++-- 062=+-m ，试根据下列条件，分别求出m 的值：（1）l 在x 轴上的截距为3-；（2）l 的斜率为1。

高中数学人教版必修二第三章《直线与方程》达标训练(含答案解析)

高中数学人教版必修二第三章《直线与方程》达标训练（含答案解析）一、选择题1．(2020·淄博高一检测)下列说法正确的是()A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程xa＋yb＝1表示D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是() A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝03．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则() A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc>0C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<04．已知直线l 1：(k －3)x ＋(3－k )y ＋1＝0与直线l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0垂直，则k 的值是( )A ．2B ．3C ．2或3D ．2或－35．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )二、填空题6．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．7．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．三、解答题8．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m的范围；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．9．已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)求三角形三边所在直线的方程；(2)求AC边上的垂直平分线的方程．10．(2020·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如图3-2-3所示，则( )图3-2-3A ．b >0，d <0，a <cB ．b >0，d <0，a >cC ．b <0，d >0，a >cD ．b <0，d >0，a <c11．直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12； (2)△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x2＋y6＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.。

高中数学 7.2直线的方程(第一课时) 大纲人教版必修

7.2. 直线的方程课时安排3课时从容说课1.本小节内容包括直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式.2．本小节的重、难点.本小节的重点是学习直线方程的点斜式、两点式和一般式，难点是弄清五种直线方程的限制条件及相互之间的联系.3．本小节在教材中的地位.一方面，通过研究直线方程的多种形式，进一步研究直线和二元一次方程的关系，为继续学习“曲线和方程〞打下基础.另一方面，在讨论两直线的位置关系或者讨论直线的其他问题时，常常把直线的不同类型的方型化成同一类方程，所以，学习直线方程的互相转化为下一步学习作好辅垫.4.本小节重、难点的处理.直线方程的点斜式是本章内容的基础和关键所在,而直线方程的斜截式、两点式都由点斜式推出.推导和建立直线方程点斜式的主要依据是，经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，假设直线斜率存在，那么设其为k ；在得出方程k x x y y =--11时，要把它变成方程y-y 1=k(x-x 1).因为前者表示的直线上缺少一个P 1点，而后者才是整条直线的方程；当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，此时直线方程为x=x 1.为加深学生对于直线方程限制条件的认识，可给出具体的不符合限制条件的特殊直线方程，要求学生进行归类，从而熟悉各种表示形式的基本限制条件.●课题§7.2.1 直线的方程(一)●教学目标(一)教学知识点1.直线方程的点斜式.2.横、纵截距.3.直线方程的斜截式.(二)能力训练要求1.理解直线方程的点斜式的形式特点和适用X 围.2.了解求直线方程的一般思路.3.了解直线方程的斜截式的形式特点及适用X 围.(三)德育渗透目标1.认识事物之间的普遍联系和相互转化.2.能够用联系的观点看问题.●教学重点直线方程的点斜式●教学难点点斜式推导过程的理解●教学方法学导式引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的变形，并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得，要使学生认识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在直线的斜率与直线在y 轴上的截距时而得到的.●教具准备投影片四X第一X ：点斜式的推导过程(记作§7.2.1 A)第二X ：点斜式的形式特点(记作§7.2.1 B)第三X ：本节例题(记作§7.2.1 C 〕第四X ：斜截式的形式特点(记作§7.2.1 D)●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上一节，我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用，它也是我们继续学习推导直线方程的基础.我们先来看下面的问题：假设直线l 经过点P 1〔1，2〕，且斜率为1，求直线l 的方程.分析：直线l 的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程，设此动点为P (x ，y 〕，故所求直线为经过P 1P 的直线，由斜率公式得：k ＝12--x y ＝1〔x ≠1〕整理变形为：y －2＝x －1经验证：(1，2)点符合上式，并且直线l 上的每个点都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线上，所以此方程为所求直线方程.［师］如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形，即可得到直线方程的点斜式. Ⅱ.讲授新课1.直线方程的点斜式y －y 1＝k 〔x －x 1〕其中x 1，y 1为直线上一点坐标，k 为直线的斜率.(给出幻灯片§7.2.1 A)推导：假设直线l 经过点P 1〔x 1，y 1〕，且斜率为k ，求l 方程.设点P (x ，y )是直线上不同于点P 1的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得k ＝11x x y y --(x ≠x 1〕可化为：y －y 1＝k 〔x －x 1〕(给出幻灯片§7.2.1 B 〕［师］说明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的；(2)当直线l 的倾斜角为0°时，直线方程为y ＝y 1；(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x ＝x 1.［师］接下来，我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式.2.例题讲练［例1］一条直线经过点P 1〔－2，3〕，倾斜角α＝４5°，求这条直线方程，并画出图象.分析：此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式.解：这条直线经过点P 1〔－2，3〕，斜率是k ＝tan ４5°＝1代入点斜式方程，得y －3＝x ＋2即x －y ＋5＝0这就是所求直线方程.图形如下：［例2］一直线过点A 〔－1，－3〕，其倾斜角等于直线y ＝2x 的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.分析：此题所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可.根据条件，先求出直线y ＝2x 的倾斜角，再求出所求直线l 的倾斜角，进而求出斜率.解：设所求直线的斜率为k ，直线y ＝2x 的倾斜角为α，那么tan α＝2，k ＝tan2k∴k ＝tan2α＝34212tan 1tan 2222--=-x αα 代入点斜式；得y －〔－3〕＝－34[x －〔－1〕] 即：４x ＋3y ＋13＝0.评述：通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用.［例3］直线的斜率为k ，与y 轴的交点是P 〔0，b 〕，求直线l 的方程.解：将点P (0，b 〕，k 代入直线方程的点斜式得：y －b ＝k 〔x －0〕即y ＝kx ＋b［师］说明：(1)上述方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式.(2)我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.(3)截距b 可以大于0，也可以等于或小于0.［师］下面，我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式.Ⅲ.课堂练习课本P 39练习1.写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A (2，5〕，斜率是4；(2)经过点B (3，－1)，斜率是2；(3)经过点C (－2，2〕，倾斜角是30°；(4)经过点D (0，3〕，倾斜角是0°；(5)经过点E(４，－2〕，倾斜角是120°.解：(1)由直线方程的点斜式得y －5＝４〔x －2〕即所求直线方程.(2)点斜式方程为y －〔－1〕＝2〔x －3〕即y ＋1＝2〔x －3)(3)直线斜率k ＝tan30°＝33 ∴点斜式方程为：y －2＝33〔x ＋2〕 (4)k ＝tan0°＝0∴点斜式方程为y －3＝0(5)k ＝tan120°＝－3 ∴点斜式方程为y －〔－2〕＝－3〔x －４〕即y ＋2＝－3〔x －４〕图形依次为：〔1〕〔2〕（3）〔4〕〔5〕2.填空题(1)直线的点斜式方程是y －2＝x －1，那么，直线的斜率是，倾斜角是.(2)直线的点斜式方程是y ＋2＝－33〔x ＋1〕，那么直线的斜率是，倾斜角是. 答案：〔1〕1 45° (2)-33 150° 3.写出以下直线的斜截式方程，并画出图形：(1)斜率是23，在y 轴上的截距是－2. (2)倾斜角是135°，在y 轴上的截距是3.解：(1)由斜截式得y ＝23x －2 (2)k ＝tan135°＝－1由斜截式得：y ＝－x ＋3图形依次为：〔1〕〔2〕Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P ４４习题7.2 1.根据以下条件写出直线的方程：(1)斜率是33，经过点A (8，－2〕； (2)过点B (－2，0)，且与x 轴垂直；(3)斜率为－４，在y 轴上截距为7；(4)经过两点A 〔－1，８〕，B 〔４，－2〕；(5)在y 轴上截距是2，且与x 轴平行.解：(1)由点斜式得：y ＋2＝33〔x －８〕即3x －3y －８3－6＝0(2)x ＝－2(3)由斜截式得y ＝－４x ＋7即４x ＋y －7＝0(4)k ＝251041)2(8-=-=---- 由点斜式得y －８＝－2〔x ＋1〕即2x ＋y －6＝0(5)y ＝2.2.直线的斜率k ＝2，P 1〔3，5〕，P 2〔x 2，7〕，P 3〔－1，y 3〕是这条直线上的三个点，求x 2和y3.解：将k ＝2，P 1〔3，5〕代入点斜式得y －5＝2〔x －3)即2x －y －1＝0将y ＝7代入直线方程得2x 2－7－1＝0解得x 2＝４将x ＝－1代入直线方程得－2－y 3－1＝0解得 y 3＝－3评述：此题也可通过斜率相等，利用斜率公式求解.3.一直线经过点A (2，－3〕，它的倾斜角等于直线y ＝31x 的倾斜角的2倍，求这条直线的方程.解：设所求直线斜率为k ，直线y ＝31x 的倾斜角为α，那么tan α＝31∵α∈［0，π〕∴α＝30°那么2α＝60°，k＝tan60°＝3∴由点斜式得y＋3＝3〔x－2〕〔二〕1.预习内容：P４0～４12.预习提纲：〔1〕直线方程的两点式与截距式有何形式特点?适用X围是什么? 〔2〕两点式与截距式有何联系?〔3〕两点式与点斜式有何联系?●板书设计。

(完整版)高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解(最新整理)

这样的直线有 3 条： y 2x ， x y 3 0 ，或 x y 1 0 。
4. 解：设直线为 y 4 k(x 5), 交 x 轴于点 ( 4 5, 0) ，交 y 轴于点 (0,5k 4) ， k
S 1 4 5 5k 4 5, 40 16 25k 10
2k
2. l2 : y 2x 3,l3 : y 2x 3,l4 : x 2 y 3, 3. 2x y 5 0 k ' 1 0 1 , k 2, y (1) 2(x 2)
20 2 4. 8 x2 y2 可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
是
．
5．当 0 k 1 时，两条直线 kx y k 1、 ky x 2k 的交点在
象
2
限．
三、解答题
1．经过点 M (3, 5) 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？
2．求经过点 P(1, 2) 的直线，且使 A(2, 3) ， B(0, 5) 到它的距离相等的直线方程
3．已知点 A(1,1) ， B(2, 2) ，点 P 在直线 y 1 x 上，求 PA 2 PB 2 取得 2
A． 2x y 1 0 B． 2x y 5 0
C． x 2 y 5 0 D． x 2 y 7 0
3．已知过点 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2x y 1 0 平行，
则 m 的值为（）
A． 0
B． 8
C． 2
D．10
4．已知 ab 0,bc 0 ，则直线 ax by c 通过（）
k 2，
2
y 3 2(x 2), 4x 2 y 5 0 2
2.A
k AB

《直线的方程》课件1 (北师大版必修2)

直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.
由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？
x y 1 a b
以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.
2、直线方程的两点式和截距式
探究4：a,b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？
不能,因为斜率可能不存在. 因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.
1、直线方程的点斜式和斜截式
问题3：
求直线L的方程？
直线L与Y轴交点的纵坐标。纵截距：说明：直线L与X轴交点的横坐标。横截距：
(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。 (2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。 (3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便. (4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.
7.2 直线的方程（1）
7.2 直线的方程(1)
一.复习回顾
直线的方程与方程的直线直的倾斜角和斜率概念辨析
斜率公式斜率公式的形式特点及适用范围确定一条直线需要具备几个独立条件
直线的方程与方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。
3、直线方程的一般形式
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为-4/3，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/5 （x – 6）化成一般式，得 4x+3y – 12=0

【步步高】高中数学第二章 2.1.2直线的方程(一)配套名师课件苏教版必修2

练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．方程 y＝k(x－2)表示___③_____． ①通过点(－2,0)的所有直线； ②通过点(2,0)的所有直线； ③通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线； ④通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线．解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于 x 轴．
斜率？答当 x1≠x2 时，kAB＝yx22－－yx11；当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
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问题 2 在直角坐标系内确定一条直线，应已知哪些条件？答已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．
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2.1.2 直线的方程
第一课时
【学习要求】 1．理解由斜率公式推导直线方程的点斜式的思路，掌握直
线方程的点斜式与斜截式的关系． 2．初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题．【学法指导】
通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探讨得出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与 “距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想．
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探究点二直线的斜截式方程问题 1 已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b)，
得到的直线 l 的方程是什么？答将 k 及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
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小结我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距．方程 y＝kx＋b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．
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2019-2020年苏教版数学必修二讲义：第2章+2.1+2.1.2 第1课时点斜式及答案

2.1.2 直线的方程第1课时点斜式1．直线的点斜式方程(1)过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线方程y －y 1＝k (x －x 1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P 1(x 1，y 1)且与x 轴垂直的方程为x ＝x 1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y ＝kx ＋b ，它表示经过点P (0，b )，且斜率为k 的直线方程．其中b 为直线与y 轴交点的纵坐标，称其为直线在y 轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x 0，y 0)的直线l 的方程为y ＝y 0.( )(2)直线与y 轴交点到原点的距离和直线在y 轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3 (x－0)，即3x－y－2＝0.](1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝33x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解] 设所求直线的点斜式方程为：y －1＝k (x －4)(k <0)，当x ＝0时，y ＝1－4k ；当y ＝0时，x ＝4－1k .由题意，得12×(1－4k )×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k ＝8. 解得k ＝－14.所以直线l 的点斜式方程为 y －1＝－14(x －4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程．[解] 设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1，即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.] 4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4－3，k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴3k＋4－4k∴k＝4或k＝－13.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.。

人教A版高中数学必修2第三章直线与方程3.2 直线的方程习题(1)

1．直线10x y -+=的倾斜角为．【答案】45︒ 【解析】试题分析：方程10x y -+=可化为斜截式1+=x y ，所以斜率1=k ，所以倾斜角 45 考点：直线方程、直线的倾斜角与斜率2．已知ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________. 【答案】52【解析】试题分析：因为，ABC ∆的三个顶点分别是()2,2A ，(0,1)B ，()4,3C ，点(,1)D m 在边BC 的高所在的直线上，所以，高线的斜率为12122AD BC k m k -==-=--，故m=52. 考点：直线斜率的坐标计算公式，直线垂直的条件。

点评：简单题，两直线垂直，斜率乘积等于-1，或一条直线的斜率为0，另一直线的斜率不存在。

3．.经过点(0,1)P -作直线l ,若直线l 与连接(1,2),(2,1)A B -的线段没有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围为 . 【答案】()()+∞-∞-,11, 【解析】略4．已知点P （0，-1），点Q 在直线01=+-y x 上，若直线PQ 垂直于直线052=-+y x ，则点Q 的坐标是 . 【答案】(2,3) 【解析】试题分析：根据点Q 在直线x-y+1=0上设Q （x ，x+1），由已知的直线方程求出斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，以及两点间的斜率公式求出x 的值，再求出点Q 的坐标。

解：由于点Q 在直线x-y+1=0上，故设Q （x ，x+1），∵直线x+2y-5=0的斜率为-12，且与直线PQ 垂直，∴k PQ =2=1(1)x x +--- ，解得x=2，即Q （2，3）．故答案为(2,3)考点：两条直线垂直点评：本题考查了点与直线关系，以及直线的一般方程，主要利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于-1，求出点的坐标 5．已知直线ax －y +2a =0与(2a －1)x +ay +a =0互相垂直 ,则a 的值= 【答案】1,0 【解析】略6．已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______.【解析】因为已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则斜率相等，即7_______________【解析】试题分析：直斜率，即tan α，所以，直线考点：本题主要考查直线的斜率与直线的倾斜角。

2020版高中数学人教版必修2高一数学第三章直线的方程(课时作业)

课时作业20　直线的点斜式方程基础巩固1．直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可以表示( ) A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线C ．不与坐标轴垂直的直线D ．不与x 轴垂直的直线解析：点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x 轴垂直的直线．答案：D2．已知直线的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )A ．y ＝x ＋2B.y ＝－x ＋2 33C ．y ＝－x －2D.y ＝x －233解析：直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式得y ＝3x －2. 3答案：D3．直线y －b ＝2(x －a )在y 轴上的截距为( ) A ．a ＋b B ．2a －b C ．b －2aD ．|2a －b |解析：由y －b ＝2(x －a )，得y ＝2x －2a ＋b ，故在y 轴上的截距为b －2a .答案：C4．直线l 过点(－3，0)，且与直线y ＋1＝2x 垂直，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－(x －3)B.y ＝－(x ＋3)1212C ．y ＝(x －3)D.y ＝(x ＋3)1212解析：因为直线y ＝2x －1的斜率为2，所以直线l 的斜率为－.12又直线l 过点(－3，0)，故所求直线的方程为y ＝－(x ＋3)，选B.12答案：B5．直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )解析：对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.答案：D6．直线x tan ＋y ＝0的倾斜角是__________．π7解析：k ＝－tan ＝tan ＝tan ，且∈[0，π)，所以π7(π－π7)6π76π7倾斜角为π.67答案：6π7能力提升1．已知直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a12的值为( )A ．4B ．2C ．－2D.±2解析：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝1，∴a ＝±2.又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则a ≠1，12即a ≠2，故a ＝－2. 答案：C2．将直线y ＝(x －2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得3直线方程是( )A.x ＋y －2＝0B.x －y ＋2＝0 3333C.x ＋y ＋2＝0D.x －y －2＝03333解析：∵直线y ＝(x －2)的倾斜角是60°，∴按逆时针旋转60°3后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)．∴其方程为3y －0＝－(x －2)，即x ＋y －2＝0.333答案：A3．在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0，0)，A (1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D.y －3＝－3(x －1)解析：由对称性可得B (2，0)，∴k AB ＝＝－3，31－2∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．答案：D4．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )( ) A ．1 B ．2 C ．－D ．2或－1212解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为＝1，4m －12m 2＋m －3即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－.12答案：D5.若直线l 的倾斜角是直线y ＝x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点P (3, 3)，则直线l 的方程为________．解析：直线y ＝x ＋1的斜率为1，则倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角为90°，且l 过点P (3，3)，所以直线l 的方程x ＝3.答案：x ＝36．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点坐标是________．解析：将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，所以该直线过定点(2，3)．答案：(2，3)7．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，图1如图1，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]8．与直线l ：y ＝x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的34直线l 1的方程为________.解析：依题意设直线方程为y ＝x ＋b ，34令x ＝0可得纵截距为b ，令y ＝0可得横截距为－b ，43∴－b ＋b ＝1，∴b ＝－3，43所以直线方程为y ＝x －3.34答案：y ＝x －3349．已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，(1)求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限； (2)为了使直线l 不过第二象限，求a 的取值范围．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y －＝a ， 35(x －15)图2由点斜式方程可知直线l 的斜率为a ，且过定点A ，(15，35)由于点A 在第一象限，所以直线一定过第一象限．(2)如图2，直线l 的倾斜角介于直线AO 与AP 的倾斜角之间， k AO ＝＝3，直线AP 的斜率不存在，故a ≥3.35－015－010．已知在△ABC 中，A (0，0)，B (3，1)，C (1，3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程． (2)求BC 边上的高所在直线的方程． (3)求过点A 与BC 平行的直线方程．解：(1)直线AB 的斜率k 1＝＝，AB 边上的高所在直线的斜1－03－013率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝＝－1，BC 边上的高所在直线的斜率3－11－3为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y ＝x .(3)由第二问知过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＝－x .11．求经过点A (－2，2)，并且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线方程．解：因为直线的斜率存在且不为0，所以设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0，得y ＝2k ＋2，令y ＝0，得x ＝－，2k ＋2k由2k ＋2>0，－>0，得－1<k <0.2k ＋2k 由已知得(2k ＋2)＝1，12(－2k ＋2k )整理得2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－，12因为－1<k <0，所以k ＝－，12所以直线方程为y －2＝－(x ＋2)．1212．已知直线l ：ax ＋y －4＝0(－1≤a ≤1)，求直线l 的倾斜角3α的取值范围．解：设l 的斜率为k ，∴k ＝－，a3∵－1≤a ≤1，∴－≤k ≤.3333当0≤k ≤时，α∈， 33[0，π6]当－≤k <0时，α∈，33[5π6，π)[0，π6][5π6，π)∴α的取值范围是∪.。

2.2.2 直线的方程第1课时(教学课件)-高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册

直线方程：y=kx+b b:截距
函数解析式：y=kx+b b:函数与y轴的交点的纵坐标
关系
(1)k≠0时，斜截式方程就是一次函数的解析式.
(2)斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线，即斜率不存在的直线只能用x=x₀表示；一次函数的表达式既不能表示垂直于x轴的直线，也不能表示垂直于y轴的直线.
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学习目标
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学习目标
新课讲授
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课堂总结
知识点一：直线的方程和方程的直线的概念
思考：设 l₁,l₂ 上是平面直角坐标系中的直线，分别判断满足下列条件的l₁,l₂ 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线，直线上任意一点的坐标 (x,y) 应满足什么条件.
(1)已知l₁的斜率不存在； (2)已知l₁的斜率不存在且l₁过点A(-2,1).
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学习目标
新课讲授
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课堂总结
从直线的斜截式方程y=kx+b, 可以方便地看出直线的斜率k和截距b.
若(x₁,y₁),(x₂,y₂ 则
)是直线上两个不同的点，
第二式减去第一式可得y₂-y₁=k(x₂-x₁), 因此当x₂-x₁≠0时有
从而k就是直线的斜率.在方程y=kx+b中，令x=0得y=b, 因此直线与y轴的交点为(0,b), 所以b为直线的截距(即直线在y轴上的截距).
点斜式斜截式
y-yo=k(x-x₀) y=kx+b; (斜率k, 截距b)
设P(x,y) 为平面直角坐标系中任意一点，则P 在直线l 上的充要条件是P₀P 与a 共线，
又因为P₀P=(x-xo,y-y₀), 所以 y-y₀=k(x-x₀),

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直线的方程（1）
1．方程()2-=x k y 表示．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ｃ）
Ａ．通过点()0,2-的所有直线Ｂ．通过点()0,2的所有直线
Ｃ．通过点()0,2且不垂直于x 轴的直线
Ｄ．通过点()0,2且除去x 轴的直线
２．若0,0<>b k ，则直线b kx y +=不经过．．．．．．．．．．．．（Ｂ）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
３．过两点()1,1-和()9,3的直线在x 轴上的截距为．．．．．．．．．（Ａ）
Ａ．23
- Ｂ．32
- Ｃ．52
Ｄ．２
４．若直线通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（Ａ）
Ａ．A 、B 、C 同号Ｂ．0,0<<BC AC
Ｃ．0,0<>AB C Ｄ．0,0<=BC A
５．斜率是23，在y 轴上的截距是－２的直线方程是223
-=x y ．
６．倾斜角是 135，在y 轴上的截距是３的直线方程是3+-=x y ．
７．已知直线l 的点斜式是12-=-x y ，那么直线l 的斜率是１，
倾斜角是 45 ．
８．设函数b kx y +=，当b k ,满足2=+b k
９．写出下列点斜式直线方程，并画出图形：
（１）经过点()5,2A ，斜率是４；（２）经过点()1,3-B ，倾斜角是 30．
解：（１）()345-=-x y
（２）()33
31-=+x y 10．已知直线l 经过点()4,5--P ，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为５，求直线l 的
方程．
解：由已知得l 与两坐标轴不垂直．直线l 经过点()4,5--P
∴可设直线l 的方程为()()[]54--=--x k y ．即()54+=+x k y
则直线l 在x 轴上的截距为54-k
，在y 轴上的截距为45-k ．根据题意得5455421=-⋅-k k
，即()k k 10452=-．当0>k 时，原方程可化为()k k 10452
=-，解得58,5221==k k ；当0<k 时，原方程可化为()k k 10452-=-，此方程无实数解．
故直线l 的方程为()5524+=+x y ，或()55
84+=+x y ．即01052=--y x 或02058=+-y x ．
11．已知△ABC 在第一象限，若()()
45,60,1,5,1,1=∠=∠B A B A ，求：（１）边AB 所在直线的方程；
（２）边AC 和BC 所在直线的方程．
解：（１）AB 边的方程为1=y ()51≤≤x ．
（２） AB 平行于x 轴，且△ABC 在第一象限，()145tan 45180tan ,360tan -=-=-=== BC AC k k ，
∴ 直线AC 的方程为()131-=-x y ，即133+-=x y ；
∴ 直线BC 的方程为()51--=-x y ，即06=-+y x ．
12．已知直线l ：0355=+--a y ax ．
（１）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；
（２）为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．
解：（１）将直线l 的方程整理为⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-5153x a y ． ∴直线l 的斜率为a ，且过定点⎪⎭⎫
⎝⎛53,51A
而点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,51A 在第一象限，所以，直线l 恒过第一象限．
（２）线l 不经过第二象限，直线l 所在的区域介于AO 和BO ，如图，包含直线AO ，但不包含直线BO ．3≥∴a ．。