湖大线性代数2011级考试真题
(完整版)湖南大学线性代数期末试卷及答案,推荐文档
（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
0 2 2
30.设矩阵
A=
2
3
4
的全部特征值为
1，1
和-8.求正交矩阵
T
和对角矩阵
D，使
T-
2 4 3
1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=
x12
2x
2 2
3x
2 3
4x1x2
4x1x3
4x 2 x 3
，
并写出所用的满秩线性变换。 四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E-A 可逆，且（E-A）-1=E+A+A2. 33.设 η0 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2 是其导出组 Ax=0 的一个基础解
0 0
2
0 0 13
1
2
D. 0
0 1
0 0
3
0 0 1
3 1 2
3.设矩阵 A= 1
0 1 ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（
）
2 1 4
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（ ）
A. A =0
xx12
y1
2y2 y2 y3
，
y3
x3
x3
y3
1 2 0
因其系数矩阵 C= 0 1 1 可逆，故此线性变换满秩。
0 0 1
经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）
2011级线性代数答案和评分标准
2011~2012学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择二、填 空 题（5×4分）1. 0, 108;2. 3, (1,1,T; 3. 1 ; 4. 105011023⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ; 5. 12, 17-- 三、解：1111231113231111242111111051111AB A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭21322 217204292-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………5分 111123058111124056111051290T A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………10分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 13020*********00⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………6分 故()3=A r ……………………………………………………………………8分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………12分3214αααα++=…………………………………………………………………15分五、解法一：将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11a b()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--a a a a a a a a a r r ar r 1110011011111111111121212 b A ………………2分（1）当1≠a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001101111111111111a a a a a b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−−→−--1211000100013212a r r r r ，得()()3==A b A R R ，因此当1≠a 时，线性方程组有唯一解……………………4分（2）当1=a 时 ()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ………………6分 ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量………………8分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………10分则12123111010001x x x c c x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（其中21,c c 为任意常数）………………12分解法二、将方程组表示为矩阵形式b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a 1111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11a b211111111011(1)11001A a a a a a a ==--=---…………………………3分1 应用Cramer 法则, 0A ≠时有唯一解，即1a ≠时，有唯一解……………..5分2 1a =时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010000001111111111111 a a a b A ， ()()1==A b A R R ，213=-=-r n ，有两个自由变量即自变量……………7分同解方程组为⎪⎩⎪⎨⎧⋅+⋅+=⋅++=--=32332232100001xx x x x x x x x ……………………………………………………9分则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101100121321c c x x x x ，（其中21,c c 为任意常数）…………………12分六、解：⑴()AX X x x x x x x f T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=321321*********,,则二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110A ……………………..…….2分⑵ 由λλλλλλλλλλ-----=-----=-----=--2111100111110111111111221c c r r A ()()()()212122+--=-+-=λλλλλ得特征值为1,2321==-=λλλ …………………5分1 对应21-=λ，解方程组()02=+X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001101012111211122r E A得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111ξ，将1ξ单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111311e …………………6分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000111111111111r E A 得基础解系 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1013ξ，将2ξ，3ξ正交化 …………………8分取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01122ξη，()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=2112101121101,,2222332ηηηηξξη再将2η，3η单位化，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011212e ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211613e ………………10分将321,,e e e 构造正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=62031612131612131T ， 有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002AT T T于是求得一正交变换TY X =，将二次型f 化为如下标准形2322212y y y f ++-= …………………13分 （3） 由上述标准形可知，该二次型并不是正定二次型． …………………15分七、证：已知321,,ααα线性无关，4321,αααα,,线性相关，所以4α可由321,,ααα惟一的线性表出，设为 3322114ααααk k k ++=. …………………2分假设()4,45321<-ααααα,,r ，则45αα-也可由321,,ααα惟一的线性表出，令其为 33221145αααααl l l ++=-. ………………4分 从而()()()33322211143322115ααααααααk l k l k l l l l +++++=+++=，………5分 即5α可由321,,ααα线性表出， 故5321,αααα,,线性相关，这与4),,,(5321=ααααr 矛盾. ……………6分因此()4,45321=-ααααα,,r ， …………………7分 故向量组45321,ααααα-,,线性无关. …………………8分。
线性代数A试卷答案(无框版)
−1
B、 A + B
C、 ( A + B ) − 1
D、 A( A + B) B
−1
)5 设 α1 ,α 2 ,… ,α m 是 n 维向量组, 下列命题中正确的是( B )
A、如 α m 不能由 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性表示 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性相关; B、如 α1 ,… ,α m 线性相关 , α m 不能由 α 1 ,… , α m −1 线性表示 , 则 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性相关 ; C、如 α 1 ,α 2 ,… ,α m 中, 任意 m − 1 个向量都线性无关 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性无关; D、零向量不能由 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性表示 .
得分
评阅人
三、计算题（每题 9 分, 共 45 分. ）
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ x ⋯ a2 0 0 ⋮ 的值. −1 a1 + x
10
x −1 0 0 x −1 计算 n 阶行列式 D = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 an an−1 an−2
解：采用按最后一行展开计算，可得结果 D = a n ( − 1) n + 1 ( − 1) n − 1 + a n − 1 ( − 1) n + 2 ( − 1) n − 2 x + ⋯
四、证明题（每题 10 分, 共 20 分）
n-1
15
设 A 为 n(n ≥ 2) 阶方阵, 证明 : A* = A
n
.
证：因为 AA* = A E. ，所以 A A* = A . 分两种情况证明
(1) A ≠ 0. 由上式可知 A* = A
2011级线性代数期末复习试题解答
2011级线性代数期末复习题一．选择题 1. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组[（C ）]（A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关。
（B ）14433221,,,αααααααα----线性无关。
（C ）14433221,,,αααααααα-+++线性无关。
（D ）14433221,,,αααααααα--++线性无关。
()A 对应向量组线性相关。
12233441,,,αααααααα∴++++线性相关。
类似（B ）,(D)对应向量组线性相关。
2. 设A ，B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有[（A ） ] （A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
12(,,,)=000AX=00AX=0R(A)m r r n n A B A b b b B B r⨯⨯=⇒≠⇒⇒<L K （，，，）的每一列是的解；有非零解A 的列向量组线性相关;00T T AB B A =⇒=⇒B 的行向量组线性相关.3. 对非齐次线性方程组b Ax =及其导出组0=Ax ，应有[（C ）]成立。
（A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =无解；（B ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解； （C ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解； （D ）若b Ax =有惟一解，则0=Ax 有非零解。
注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。
4.设A 为n m ⨯矩阵，齐次线性方程有0=Ax 仅有零解的充要条件是[（A ） ] （A ）A 的列向量线性无关； （B ）A 的列向量线性相关； （C ）A 的行向量线性无关；（D ）A 的行向量线性相关。
5.若在非齐次线性方程组m n A x b ⨯=中，系数矩阵A 的秩为r ，则[（A ） ] （A ）m r =时, b Ax =有解 （B ）n m =时， b Ax =有惟一解 （C ）n r =时, b Ax =有惟一解（D ）n r <时, b Ax =有无穷解 注意增广矩阵B 的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m 。
2011-2012线代A卷答案
（答案要注明各个要点的评分标准）一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 2-2. 222061⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3. -34. 12-5. 2b 二. 选择题（每小题3分，共15分）1. （B ）2. （B ）3. （D ）4. （A ）5. （B ）三. 计算题 （本题60分）1．解：432114321433214)4(2=f ………………………….…. (2分) = =43211432143101010102432114321431111102 ………………………….…. (6分) =440040121103211211211032111211213000110--=---=---2…….….……. (8分) 160= ………………….….……. (10分)2 解：（1）301100100121( )110 010010 012014001001001r A E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦….……. (4分)故1121012001A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………………….….…….…（5分） （2）因为A 可逆，由AX B =，得1X A B -=121140122500113--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭……………（7分）4901113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭………………….….…….…（10分）3. 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=αααα=11304014211032271),,,(4321A …….….….…….………（3分）~r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000010011302271 .….…….……….….…….………（6分） 故 向量组的秩为3 .….…….………（8分）321,,ααα为向量组的一个最大无关组。
.….…….………（10分）4. 解：对该齐次线性方程组的系数矩阵实行初等行变换101510151015210301270127111201270000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………….…（5分） 由于()24R A =<，基础解系含2个自由未知量 .…（7分）原方程组等价于134237527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩，取34,x x 为自由未知量。
2006—2011考研真题(线性代数)
考研真题（线性代数）2006数（一）（5）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（11）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关；(12) 设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（T T PAP C D APP C C ==)(）（20 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。
21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量()T1211--=α，()T 1102-=α是线性方程组的两个解，（1）求A 的特征值；（2） 求正交矩阵Λ=ΛAQ Q Q T 使得和对角矩阵。
（6）设___,222112=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=B E B BA B E A 则满足阶单位矩阵，矩阵为，（13）设矩阵，下列选项是维向量，均为，，，n m A n s ⨯ααα 21正确的是： s s A A A A αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性相关； s s A A A B αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性相关； s s A A A C αααααα,,)(2121 ，线性无关，则，，，若线性无关； s s A A A D αααααα,,)(2121 ，线性相关，则，，，若线性无关； （14）设B B A A ，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(-倍加到第2列得到，记C⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010011P则：11)(--==PAP C B AP P C A ）（ T T PAP C D AP P C C ==)(）（22 已知非线性方程组：有三个线性无关的解；⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=-++-=+++1315341432143214321bx x x ax x x x x x x x x 证明（1）方程组系数矩阵A 的秩2)(=A r （2）求b a ,的值及其方程组的解。
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第一部分 选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式=m ，=n ，则行列式等于（）a a a a 11122122aa a a 13112321aa a a a a 111213212223++ A. m+n B. -(m+n) C. n -mD. m -n2.设矩阵A =，则A -1等于（）100020003⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. B. 13000120001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪10001200013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ C. D. 13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪12000130001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A =，A *是A 的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）312101214---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ A. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设A 是方阵，如有矩阵关系式AB =AC ，则必有（ ） A. A =0 B. B C 时A =0≠ C. A 0时B =C D. |A |0时B =C ≠≠5.已知3×4矩阵A 的行向量组线性无关，则秩（A T ）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs 和β1，β2，…，βs 均线性相关，则（ ）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和λ1β1+λ2β2+…λs βs =0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs （αs +βs ）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs （αs -βs ）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs 和不全为0的数μ1，μ2，…，μs 使λ1α1+λ2α2+…+λs αs =0和μ1β1+μ2β2+…+μs βs =07.设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ）A.所有r -1阶子式都不为0B.所有r -1阶子式全为0C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为08.设Ax=b 是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.η1+η2是Ax=b 的一个解1212C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b 的一个解9.设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )<n B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A 是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）A.如存在数λ和向量α使A α=λα，则α是A 的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE -A )α=0，则λ是A 的特征值C.A 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A 的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A 的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A 的特征方程的3重根，A 的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k ，则必有（ ） A. k ≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>312.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A |必为1 C.A -1=A T D.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B =C T AC .则（ ） A.A 与B 相似 B. A 与B 不等价C. A 与B 有相同的特征值D. A 与B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A. B.2334⎛⎝ ⎫⎭⎪3426⎛⎝ ⎫⎭⎪ C. D.100023035--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪111120102⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪第二部分 非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
2011线性代数期末试题(B)[1]
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中山大学软件学院2011级软件工程专业(2011学年秋季学期)《S E -103+线性代数》期末试题(B 卷)(考试形式：闭 卷 考试时间: 2小时)《中山大学授予学士学位工作细则》第六条考试作弊不授予学士学位方向： 姓名： ______ 学号：出卷： 伍丽华 复核： 高成英1. Fill in the blank （5×4=20 Pts ）(1) If T is the linear transformation from to whose matrix relative to is2P 2P },t t ,1{2B = , then =_________________________________. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=421130012][B T )(2210t a t a a T ++(2) If the row space of a 4×7 matrix is 4-dimentional, then the dimension of the null space of is _______________. Is ?__________________ (Yes or No). A A 4Col R A = (3) Let ，，and be eigenvectors of a 3×3 matrix , with corresponding eigenvalues 3, 2, and 1. Compute . =_______________________. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0221v ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222v ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2203v A A A(4) Determine the value(s) of a such that the system is inconsistent. =_____________________________________.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+03121232121321x x x a a a(5) For x in 3R , Let , this quadratic form as is _________________________________________________________.32212221853)(x x x x x x x Q +−+=Ax x T2．Make each statement True or False, and descript your reasons.（5×4=20 Pts ）(1) Whenever a system has free variables, the solution set contains many solutions.(2) If are vectors in a vector space andk v v v ,,,21L V },,,{Span },,,{Span 12121−=k k v v v v v v L L , then are linearly dependent. k v v v ,,,21L(3) Let be a linear transformation. If is the standard matrix representation of n n R R T →:A T , then an n ×n matrix B will also be a matrix representation of T if and only if B is similar to .A(4) If is an n ×n matrix, then and have the same eigenvectors.A A T A(5) If is symmetric and det()>0, then is positive definite.A A A3. Calculation (5×8=40 Pts ）(1) let and ][321b b b A =]9342[321321321b b b b b b b b b B ++++++=, where and are vectors in 21,b b 3b 3R . Suppose 1det =A , find .B det(2) Computer , where . 6A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=1234A(3) Let , ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−+−−+=numbers real any ,,,,4854328573e d c b a e d c b e d d c b c b a H a. Show that H is a subspace of 4Rb. Find a basis for H .(4) Let , . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=421351A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=324b a. Find the orthogonal projection of onto Col .b A b. Find a least-squares solution of b Ax =.c. Determine the associated least-squares error.(5) Let W =Span , where , and , Construct an orthonormal basis for .},{21x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1521x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2142x W4. Prove issues （2×6=12 Pts ）(1) Let be a subspace of W nR such that p W =dim , and let },,,{21p w w w S L = be an orthonomal basis for . Define by W W R T n →:p p w w v w w v w w v v T )()()()(2211⋅++⋅+⋅=LProve that T is a linear transformation.(2) Let and A B be similar matrices. Show that if satisfies the equation , then A 033=+−I A A B also satisfies a similar equation . 033=+−I B B5. Synthesis (8 points)Let x be a vector in n R with , Show that if , then .1=x x T T xx I A −=n A rank <)(。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学试题 (文科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文）试题解析本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===U I 则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
2．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（ ）Ａ．1,1a b == Ｂ．1,1a b =-= Ｃ．1,1a b ==- Ｄ．1,1a b =-=- 答案：C解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。
3．"1""||1"x x >>是的（ ）A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A解析：因"1""||1"x x >⇒>，反之 "||1""11"x x x >⇒><-或，不一定有"1"x >。
4．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．942π+ Ｂ．3618π+Ｃ．9122π+ Ｄ．9182π+答案：D解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。
由222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K ab c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得, 附表：正视图 侧视图俯视图图1参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 答案：A解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A.6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。
湖南大学2011级2012年高数A1答案
x d x d x d ( 2 t x ) f ( t ) dt 2 tf ( t ) dt [ x f (t )dt] dx 0 dx 0 dx 0
x x 0 0
（4 分）
2xf ( x) f (t )dt xf ( x) xf ( x) f (t )dt
（3 分）
3 x 1 ln( x 2 2x 5) arctan C 2 2
6、解： 作换元 x
（5 分）
1 ， 有 u
2
（1 分）
3 1 2
dx x 1 x1 3Fra biblioteku 1 u
2
1
du 1 u |1 2
2
1 3
2 3 3
(2 分)
(4 分)
(5 分) （1 分） （3 分）
a (H h)]2 dh ， H
（6 分）
a (H h)]2 hdh H
H 0
g[ (H h)]2 hdh
a H
1 ga2 H 2 12
（7 分）
代入数据得 W=3210×9.81×(230)2× (146)2/12=2959062766470J≈2.96× 1012 J
（8 分）
1
2
1 1 2n 1 ) 1 1 1（7 分） ，知 2 n 2 2 (k 1) (n 1) n1 n (n 1)
11、解：方程变形为 y
1
y cos 2x ，于是该方程为一阶线性方程; （2 分） x
1
1 1 1 C dx dx 求解得 y e x ( cos 2x e x dx C) ( x cos 2xdx C) sin 2x cos 2x x 2 4x x
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。
2、闭卷考试。
评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。
(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+(C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a__________________系__________专业___________班级姓名_______________学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R >(C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r >【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是(A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量(B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例(C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示(D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是(A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值(C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。
2011年自考线性代数真题
全国2010年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T表示矩阵A 的转置，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32 B.1 C.2D.382.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ）A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 =（ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2011A卷答案
海南大学2010-2011学年度第2学期试卷 科目：《线性代数与概率论》试题(A 卷)参考答一．选择题（每题3分，共24分）1、若三阶行列式M a a a a a a a a a =333231232221131211，则111213212223313233333333333a a a a a a a a a ---------=（ D ）。
(A) －9M (B) 9M (C) 27M (D) －27M2、设矩阵A 和C 分别是m n ⨯和s t ⨯，若要使ABC 有意义，则矩阵B 应是（ B ）。
(A) m t ⨯阵 (B) n s ⨯阵 (C) m s ⨯阵 (D) n t ⨯阵3、齐次线性方程120n x x x +++= 的基础解系中解向量的个数为（ C ）。
(A) 0 (B) 1 (C) 1n - (D) n4、在线性方程组Ax b =中，A 是86´阵，如果系数矩阵A 与增广矩阵(,)A b 的秩均为6，则Ax b =有( A ) .(A) 有唯一解 (B) 有无穷解 (C) 无解 (D) 无法确定是否有解5、一名射手连续向某目标射击三次，事件i A 表示第i 次射击时击中目标(1,2,3)i =，则三次射击至少有一次击中目标表示为：（ B ） （A ） 121323A A A A A A ++ （B ） 123A A A ++（C ） 123A A A ++ （D ）123A A A 6、已知离散型随机变量X 的概率分布为：X -1 0 1 2 4P101 51 101 51 52则下列概率计算结果中（ D ）正确.（A ）1}4{=<X P （B ）0}0{==X P （C ）1}1{=->X P （D ）103}21{=<<-X P 7、设离散型随机变量),,(~p n B X 若数学期望,2.1)(=X E 方差,08.1)(=X D 则参 数,n p 的值为（ A ）.（A ） 16,0.1n p == （B ） 4,0.4n p == （C ） 8,0.2n p == （D ） 2,0.8n p ==8、设随机变量X 的概率密度为()X f x ，则23Y X =-+的概率密度为 （ B ）（A ）13()22X y f --- （B ） 13()22X y f --（C ）13()22X y f +-- （D ） 13()22X y f +-二、填空题：（每题3分，共24分）1、已知171201,423132201A B 骣-÷ç骣÷-ç÷÷çç÷=?çç÷÷ç÷ç÷桫ç÷÷ç桫，则()T AB =_____0171413310骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç-桫________. 2、设行列式1428211012341021D -=，则1113142A A A ++=________0______. 3、n 维向量组12(1,1,,1),(2,2,,2),,(,,,)m m m m a a a === 的秩为____1______.4、已知矩阵111121231A l 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç+桫的秩为()2,R A =则l =____1______. 5、设随机变量X 和Y 相互独立，且()()1E X E Y ==，()2D X =，()3D Y =，则()D XY =____11______.()()()D XY E X Y E XY =-222[]()()()()E X E Y E X E Y =? 222()()()()E X E Y E X E Y =? 2222(()())(()())D X E X D Y E Y =+?-221()()=++-21311=11.6、设事件,,,A B C A B È发生的概率分别为0.4,0.3,0.6，则()P AB =____0.3_______.7、设随机变量123,,X X X 相互独立，其中1X 在[0,6]上服从均匀分布，2X 服从正态分布2(0,2)N ，3X 服从参数为3l =的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y =______46_________.依题意21()()12b a D X -=，22()4D X s ==，3()3D X l ==，123123()(23)()4()9()46D Y D X X X D X D X D X =-+=++=.8、已知二维随机变量(,)X Y 的密度函数为4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩，其它.则{}P X Y ≤=___12_________. 111{}(,)42xx yP X Y f x y dxdy xdx ydy ≤≤===⎰⎰⎰⎰ 三、计算题（每题6分，共42分）1、计算行列式 3111131111311113D =. 解：3111131111311113D ==6666131111311113……………(3分) =61111131111311113=611110200002002=48. ……………(6分)2、解矩阵方程AX B X +=，其中01011111,2010153A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.解：由AX B X +=得()I A X B -=。
线性代数11级试卷A
A
3
1
1 1 5
3 3 9
1 4 8
1
4
0
1
0
0
1 4 4
3 6 6
1 7 7
1
1
1
1
0
0
1 1 0
3 3
2 0
1 7
4 0
1
1
4
0
1
0
3 2
3 4
5
4
0
1
3 2
7 4
1 4
0
0
0
0
0
(5 分)
x1
3 2
x3
3 4
x4
5 4
则得
x2
3 2
x3
7 4
x4
1 4
x3 1x3 0x4 0
1．计算行列式
6. 用化二次型 f
120 1x120 23x22
0 0 5x32
2x1x2 2x1x3 6x2 x3 为标准型，并求所用的交换矩阵.
线内和纸卷正面，否则不记分)
10 0 4
一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1．排列 4312 的逆序数为
.
4.234． ． ．求二已 设非次知A齐型,向B次量f为线(组x性n1,阶方x12方程, x阵(组31),，3,3若x1x1x)1x,1有215可2x2xx22逆2x2(2矩0393,1x阵xx,33331x)P3,248x，xx4344满4x1足(1104x,2的4, 通kx)1解x线3.性4相，x2关x则3，的称则对A称k与矩B阵相为似_.___________.____.
x4 0x3 1x4 0
（8 分）
第 2页共 2页
2011线性代数试卷答案
线性代数模拟试卷答案(仅供参考)一．1.4；2.[]T 3,21，+k []T 2,1,0 (k 为任意数)；3. ƒ=-y 21-y 22+5y 234.3；5.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2-12-1102-01 二．1.D2.A3.C4.B三．1.解：原式=9-405-1000215-0242-11=1×（-1）21+9-45-100215-2（4分）=29-45-50115-2=21645019-5-0（1分）=-21649-5-=88（1分）2.解：用初等变换法[]E A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100431010332001221→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----101210012110001221(2分)→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---113-100012110023-001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡113-1001-2-5010023-001 所以A 1-=11312523----(4分)3.Ã=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332322212111111→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110101*********→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000001101000101(2分) 与原方程组同解方程⎩⎨⎧-=-=42311x x x x ，得特解X 0=[]T 0,0,1,0,对应的其次线性方程组的基础解系1ξ=[]T 0,1-0,1，，2ξ=[]T1-0,1,0，（3分）方程组的通解是X 0+k 11ξ+k 22ξ( k 1, k 2为任意数)（1分） 4.解：由AX+B=X 得(E-A)X=B因为E-A=21101011--=2111-=3≠0，所以E-A 可逆，于是X=(E-A)1-B(2分) 由于[]B A E -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---352010*********→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----333000*********→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111001*********→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111002********* 因此X=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213。
(完整word版)湖南大学年高等代数真题
湖南大学2011年高等代数真题一．计算n 阶行列式x y z xy zx y z xy z xD n +++++=11111，其中，yz x =。
二．已知多项式)(x f 满足,1)4(,0)3(==f f 求)(x f 除以)4)(3(--x x 的余式。
三．设)1()!2(1!41!211)(242≥++++=k x k x x x f k ，证明)(x f 不存在三重根。
四．设矩阵A,B 分别为n m ⨯和m n ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，且矩阵A 的秩为r(r<n)。
并且A(C+BA)=0, 证明：（1）矩阵C+BA 的秩为n-r ；（2）线性方程组0=Ax 的通解为z BA C x )(+=，其中z 为任意的n 维列向量。
五．设()n n ij a A ⨯=，且0=A ，证明：A 的伴随矩阵*A 的n 个特征值中至少有n-1个为0，且一个非零特征值（如果存在）等于nn A A A +++ 2211，其中ij A 为矩阵A 的关于元素ij a 的代数余子式。
六．设A 为n 阶实对称矩阵，()'=n b b b b ,,,21 为n 维实的列向量，证明：（1）若0>A ,则01>-A ,这里0>A 表示A 为正定矩阵。
（2）若0>'-b b A ，则0>A 且11<'-b A b 。
七.设n n P A ⨯∈，且n E A =2，其中n E 为n 阶单位矩阵，令{}x Ax P x V n =∈=|1， {}x Ax P x V n -=∈=|2，证明：（1）1V 和2V 均为n P 的子空间；（2）21V V P n ⊕=,其中⊕表示子空间的直和。
八.设V 是复数域C 上的线性空间，σ和τ均为V 上的线性变换，且满足τσστ=，又设0λ为σ的一个特征值，证明：（1）0λV 为τ的不变子空间，其中{}αλσααλ0|0=∈=V V 为σ的特征子空间；（2）σ与τ至少有一个公共的特征向量。
线性代数试卷及答案
2011线性代数试卷答案一、填空题 （每小题4分，共20分） 1. 设矩阵A 为3阶方阵，且|A |=12，则|2A |= 4 ； 2. 设三元线性方程组b Ax =的两个特解为12[1,2,3],[1,1,1]T Tηη==，且2)(=A R ,则b Ax =的通解为[1,2,3][0,1,2](T Tk k +为任意数）；3. 二次型222123123121332(,,)444f x x x x x x x x x x x x =+++++的标准形是2221235f y y y =--+4. 设三阶方阵A 的特征值为0,-1,1, 且2B A A E =-+,则B = 3 .5. 设二次型2221231323242f x x x x x x x =+--+，则二次型f 的矩阵为 102011212-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦二、单项选择题（每小题5分，共20分）1.设,A B 都是n 阶方阵，下列命题正确的是 （ D ） （A ）222()2A B A AB B +=++ （B ） 222()AB A B = (C) 22()()A B A B A B +-=- （D ） ()TTTAB B A =2. 设A 是35⨯矩阵，B 是3维列向量，()3R A =.则方程组AX B = （ A ） （A ）必定有解 (B)未必有解 （C ）必定无解 （D ）必有唯一解3.矩阵110021003A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似于 （ C ）（A ） 123-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（B ）110010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（D ）222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设二次型222123122322f x x x x x x x λ=++-+，则f 为正定的充要条件是λ满足（ B ）（A ）4λ> （B ） 2λ> （C ） 1λ>- （D ）0λ> 三、下列各题（本题共6小题，每小题6分，共36分）1．计算行列式1124 2051 1126 2323-----;解：原式=11242051200105049----=122511(1)2010549+-⨯---（4分）=251059210521055490416---=--（1分） =59288416---=（1分）。