第三章+信号检测理..

如果n (t )是高斯白噪声: H:xi (t ) = si (t ) + n(t ) N0 Rn (τ ) = δ (τ ) 2 N0 S n (ω ) = 2
实际情况：带限白噪声：Rn (τ )为辛格函数
Rn (τ )
π − ω0
π ω0
2π ω0
S n (ω )
τ
N0 2
−ω0
ω
ω0
π 以∆t= 为间隔采样，x1 , x2 ,⋯ , xn 不相关 ⇒ 独立， ω0
(3.135)
设H1为真条件下，平均观察样本数为n1 n1 n1 Ε ln Λ(xn1 H1) = Ε ∑ln Λ(xi H1) = ∑Ε[ ln Λ(xi H1)] i=1 i=1 进一步假设分布相同：Λ(xi H1) = Λ(xi+1 H1) Ε ln Λ(xn1 H1) = Ε[ n1 ln Λ(x1 H1)] Ε ln Λ(xn1 H1) 平均似然比 ∴n1 = = Ε[ ln Λ(x1 H1)] 单次似然比
(1 − β )ln Λ1 + β ln Λ0 代入(3.135)：n1 = Ε [ ln Λ(x1 H1 )] 同理，H 0为真时的平均样本数n0为： n0 =
(3.143)
α ln Λ1 + (1 − α )ln Λ0
Ε [ ln Λ(x1 H 0 )]
(3.144)
设H1发生概率p，H 0发生概率q 平均样本数n： n=pn1 + qn0 总的平均观测时间Ts Ts = n∆t ∆t为取样间隔
N H0 H1
i = 1, 2,⋯ , N
D1 = 1(原D1判决) (3.71) D1 = 0(原D0判决)
p94例3： 二择一问题，且s0 = 0, s1 ≠ 0，对零均值， 高斯白噪声情况下， (3.71)是最佳的。
2、 线 性 检 测 器 (平 均 值 检 测 器 D 2 ) H 0 : xi = ni H 1 : xi = si + ni 线性检测器：
(3.161)
(3.162)
(1− β ) β ln β + (1− β )ln α n1 或者： = −2 2 −1 −1 N Φ (α ) −Φ (1− β ) n0 2ln β = N Φ−1 (α ) −Φ−1 (1− β )2 且设α = 10−4 ,0.1 ≤ β ≤ 0.5 p111图3.11 结论： (3.164)
N
≥ ∑ (2 xi − a1 ) < ln Λ 2 i =1
N H0
H1
≥ σ2 N 定义检测统计量：y = ∑ xi ln Λ 2 + a1 ≜ T < a1 2 i =1 ∵ Ε[ y H0 ] = 0 Var [ y H 0 ] = Var [ y H1 ] = σ 2 N Ε [ y H1 ] = Na1
N
(3.154) (3.155)
如果用固定样本N,x1 , x2 ,⋯ , xN的似然函数： ∑ ( xi − a1 ) i =1 1 N 1 N 2 p (x N H 0 ) = ( ) exp − 2 ∑ xi 2πσ 2σ i =1
2
a1 对数似然比：lnΛ(xN )= 2 2σ
T
∞
α = 1 − Φ(
T
σ N
) = Φ (−
T
σ N
)
(3.158)
T − Na1 PD = 1 − β = Φ (− ) σ N
(3.159)
2 −1 −1 2
−σ Φ (α ) − Φ (1 − β ) 以上两式联立解得：N = a12
(3.160)
β ln Λ 0 + (1 − β ) ln Λ1 n1 ∴ = −2 2 −1 −1 N Φ (α ) − Φ (1 − β ) n0 (1 − α ) ln Λ 0 + α ln Λ1 =2 2 −1 −1 N Φ (α ) − Φ (1 − β )
3.3 序列检测（或序贯检测）
1、序贯检测的概念 ⊙常规检测：在时间[0,T ]内取N 个观测样本， 求出N点的联合似然比Λ (x), x = [ x1 , x2 ,⋯ , xN ] 问题：在高的SNR条件下， 少量样本点可准确判决，若仍取N点， 则会浪费（时间浪费、计算量浪费） 序贯检测： 边取样，边计算Λ (x)，能作出准确判决则停止
T
在序贯检测中，采用双门限: ≥ Λ1 , D1判决 Λ (xn ) ≤ Λ 0，D0判决 Λ 0 <Λ (xn )<Λ1 , 不确定，继续观测 eg : 在二进制通信中，x(t)= s(t)+ n(t),s(t)=0或1 在第n次样本得到时： ≥ 0.8, 判决1 Λ (xn ) ≤ 0.2，判决0 0.2<Λ (xn )<0.8, 继续观测
设x1 , x2 ,⋯ , xn是相互独立 ⇒ p( x1 H1 ) p ( x2 H1 )⋯ p ( xn-1 H1 ) p ( xn H1 ) ∴Λ (xn ) = p( x1 H 0 ) p( x2 H 0 )⋯ p ( xn-1 H 0 ) p ( xn H 0 ) = Λ (xn-1 ) Λ (xn ) (3.125)
作D1判决（取积分域为R1），即认为Λ (xn ) ≥ Λ1 ∴1 − β ≥ Λ1 ∫ p (xn H 0 )d xn
R1
∴1 − β ≥ Λ1α ∴Λ1 ≤ 1− β
β 同理:从β出发，可得Λ 0 ≥ 1−α
取等号：
α
(3.130) (3.131)
β ∴Λ1 = , Λ0 = α 1−α
1− β
信号检测理论II 第三章 信号检测理论
内容提要： 内容提要：
• 序列检测（序贯检测） 序列检测（序贯检测）
高斯白噪声下的信号检测，观测样本数不固定。 高斯白噪声下的信号检测，观测样本数不固定。
• 高斯色噪声下的信号检测
借助K-L分解推导检测方法。 分解推导检测方法。 借助 分解推导检测方法
• 非参量检测
2 1 2 2 1 2
(1 − β ) ln Λ1 + β ln Λ 0 代入(3.143)：n1 = d 2 α ln Λ1 + (1 − α ) ln Λ 0 代入(3.144)：n2 = −d 2 式中Λ 0 , Λ1可由α , β 确定. 1 N 1 p (x N H1 ) = ( ) exp − 2 2πσ 2σ
p (x1 H1 ) a1x1 a ln Λ ( x1 ) = ln = 2 − p(x1 H 0 ) σ 2σ
2 1 2
a1x1 a12 Ε [ ln Λ ( x1 H 0 ) ] = Ε 2 − 2 2σ H :x = n ( t ) σ 0 1 a d =− ≜− 2σ 2 a d ≜ 同理：Ε [ ln Λ (x1 H1 ) ] = 2σ 2
(3.163)
（1）H0为真时，Ε[ n0 H0 ] ≪ N很适用于雷达观测目标的情况 （H0为真为主，经常无目标） （2）α ≪ β 适宜用序贯检测方式（节省大量时间）
3.2
非参量：
非参量信号检测
不用噪声的统计信息(pdf )，进行信号检测。 一般而言，准确知pdf ，参量检测性能优于非参量检测。 一旦pdf 弄错，参量检测性能劣于非参量检测。 实际中，若pdf 不能确知，则应用非参量检测。
设有x1 ,x2 , ,xN 个观测样本，且是相互独立的。 ⋯ 1、相关检测器(D1 ) 二元检测：H 0 : x(t ) = n(t ) H1 : x(t ) = s (t ) + n(t ) H 0 : xi = ni 样本点： H1 : xi = si + ni 相关检测器： ≥ ∑ xi si < C1 i =1
3、 符 号 检 测 器 ( D 3 ) H 0 : xi = ni H 1 : xi = si + ni 1 令 u ( xi ) = 0 检 测 器 ： u ( xi ) ∑
i=1 N
s i > 0 , n i是 零 均 值 xi > 0 阶跃 xi < 0
4、瓦尔特序列检测样本数与固定样本数N的比较 eg ⇒ 二元检测 H 0 : x(t ) = n(t ) H1 : x(t ) = a1 + n(t )
t = 1, 2,⋯ , N
2
其中a1为常数，n(t )是零均值，方差为σ 的高斯白噪声 x12 1 H 0下的似然函数：p (x1 H 0 ) = exp − 2 2πσ 2σ ( x1 − a1 ) 2 1 H1下的似然函数：p (x1 H1 ) = exp 2 2πσ 2σ
2、瓦尔特序列检测器原理 （在平稳高斯白噪声中的序列检测） 双门限Λ 0 , Λ1怎样确定？ 由虚警 P(D1 H 0 ) 和漏报 P (D0 H1 ) 确定门限Λ 0 , Λ1，
α
β
T
称为“修正纽曼-皮尔逊准则” 在第n个观测样本时刻得xn = [ x1 , x2 ,⋯ , xn ] p ( x1 , x2 ⋯ , xn H1 ) n时刻得似然比：Λ (x) = p ( x1 , x2 ⋯ , xn H 0 )
p (x|H i )＝p ( x1|H i )⋯ p ( xn |H i ) p (x|H1 ) 可以计算出似然比Λ(x)= p (x|H 0 )
问题： （1）若n(t )不是白噪声（带限白噪声）， x1 , x2 ,⋯, xn不可能不相关； （2）若n(t )不是白噪声，x1 , x2 ,⋯, xn不可能相互独立。
H1
i = 1, 2, ⋯ , N
∑x
i=1
N
≥ <
i
C2
(3.76) D 2 = 0( 无 信 号 )