苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.2.1(2)课时作业(含答案)

1．2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.会用三角函数线比较三角函数值的大小．
1．三角函数的定义域
正弦函数y ＝sin x 的定义域是________；余弦函数y ＝cos x 的定义域是________；正切函数y ＝tan x 的定义域是________________． 2．三角函数线
如图，设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边交于P 点．过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M ，过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点．单位圆中的有向线段________、________、________分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
一、填空题 1.
如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是________．
①正弦线PM ，正切线A ′T ′；②正弦线MP ，正切线A ′T ′；③正弦线MP ，正切线AT ；④正弦线PM ，正切线AT . 2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为________．
3．在[0,2π]上满足sin x ≥1
2
的x 的取值范围为______．
4．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是________(用“>”连接)． 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________.
6．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>1
2
，则角α的取值范围是________．
7．如果π4<α<π
2
，那么sin α，tan α，cos α按从小到大的顺序排列为________．
8．不等式tan α＋
3
3
>0的解集是______________． 9．已知α，β均为第二象限角，若sin α<sin β，则tan α与tan β的大小关系是tan α____tan β.
10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 二、解答题
11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥32； (2)cos α≤－1
2
.
12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ
2
的大小．
能力提升
13．求下列函数的定义域．
f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝
⎛⎭⎫sin x －2
2.
14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈⎝⎛⎭⎫0，π
2时，求证：sin α<α<tan α.
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负，三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便． 2．三角函数的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点，再画出MP 、OM 、AT .
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
1．2.1 任意角的三角函数(二)
知识梳理
1．R R {x |x ∈R 且x ≠k π＋π
2
，k ∈Z }
2．MP OM AT MP OM AT 作业设计 1．③ 2.3π4或7π4
解析 角α终边落在直线y ＝－x 上． 3.⎣⎡⎦⎤π6，5π6
4．sin 1.5>sin 1.2>sin 1
解析 ∵1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，正弦线在⎝⎛⎭
⎫0，π
2内随α的增大而逐渐增大， ∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.
5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π
6.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π
3，2π 7．cos α<sin α<tan α
解析
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.
8.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z 解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫
α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z . 9．>
解析 作出符合题意的正弦线后，再作出α，β的正切线得tan α>tan β.
10.⎝
⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π
3，k ∈Z 解析 如图所示．
∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <3
2
.
∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π
3 (k ∈Z )． 11．解 (1)
图1
作直线y ＝
3
2
交单位圆于A 、B ，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为
{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π
3
，k ∈Z }．
(2)
图2
作直线x ＝－1
2
交单位圆于C 、D ，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图2阴影部
分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π
3
，k ∈Z }．
12．解 ∵θ是第二象限角，
∴2k π＋π
2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，
故k π＋π4<θ2<k π＋π
2
(k ∈Z )．
作出θ
2
所在范围如图所示．
当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2 (k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ
2.
当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3
2π (k ∈Z )时，
sin θ2<cos θ2<tan θ2
.
13．解 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧
1－2cos x ≥0，sin x －2
2>0. 即⎩⎨⎧
sin x >2
2，cos x ≤12
.
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .
14．证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.
因为S △AOP ＝1
2
OA ·MP
＝1
2
sin α， S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝1
2
tan α，
又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，
所以12sin α<12α<1
2tan α，
即sin α<α<tan α.。