13函数的奇偶性
函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性说课稿 函数的奇偶性说课稿一 一、教材分析 1 教材所处的地位和作用 "奇偶性"是人教版第一章"集合与函数概念"的第 3 节"函数的基本性质 "的第 2 小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及入手，从特殊到 一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇 偶性。
从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函 数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
2 学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称 图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初 步经验。
从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理 论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题。
3 教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教 学目标 【知识与技能】 1 能判断一些简单函数的奇偶性。
2 能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的 归纳概括能力。
【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
从课堂反应看，基本上达到了预期效果。
4、教学重点和难点 重点函数奇偶性的概念和几何意义。
几年的教学实践证明，虽然"函数奇偶性"这一节知识点并不是很难理 解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。
他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验成立即可，而忽视 了考虑函数定义域的问题。
因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从 正反两方面讲清定义的内涵和外延。
因此，我把"函数的奇偶性概念"设计为本节课的重点。
函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习
法二
− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝ － −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
目录
高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
目录
高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】 （1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－ ）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
目录
高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
目录
高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
目录
高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
目录
高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
高三数学复习课件【函数的奇偶性及周期性】
f(x)＝－ x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， 则 f 32＝________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，
且 f(x)＝－x，4x02≤＋x2<，1，－1≤x<0， ∴f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
返回 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f1x，x∈(0,2]时，f(x)
关 于 _原__点_ 对称
f(x)就叫做奇函数
返回 2.函数的周期性 (1)周期函数
对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定 义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数也
不是偶函数． 答案：B
返回
3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b
的值是
()
A．－13
B.13
C.12
D．－12
解ห้องสมุดไป่ตู้：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－
奇函数，所以 f 121＝f －12＝－f 12＝123＝18. 答案：B
返回
5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1
函数的奇偶性和周期性(含解析)
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
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1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
高考数学一轮复习 13 函数的奇偶性学案 理
第十三课时 函数的奇偶性课前预习案1．掌握奇函数、偶函数的定义及其判断方法； 2．掌握奇函数、偶函数的图象与性质； 3．会应用奇函数、偶函数解决问题．1.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做-------------------------------;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)= －f(x),那么函数f(x)叫做---------------------------;2.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=-------------------------. 如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是----------------; 如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是----------------3.奇偶函数的性质:(1)具有奇偶性的函数定义域关于--------------------------对称.(2)奇函数的图象关于------------------------------对称, 偶函数的图象关于------------------------------对称. (3)奇函数在对称区间上的单调性--------------------------------,偶函数在对称区间上的单调性--------------------------------.(4)y=f(a+x)是偶函数⇔ f(a+x)= f(a-x) ⇔f(x)= f(2a-x)⇔f(x)关于x=a 对称;(5)y=f(b+x)是奇函数⇔f (b-x)=－f(b+x)⇔f(x)关于(b,0)成中心对称图形.1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A. 1y x =+B. 2y x =- C. 1y =D. ||y x x =3.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的表达式是（ ）A ．(2)y x x =-B ．(||2)y x x =+C ．||(2)y x x =-D ．(||2)y x x =- 4.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g 。
函数的性质(高考总复习)
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------函数的性质(高考总复习)函数的性质一、函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的性质⑴奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．⑵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反⑶若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. 3. 设f(x) ， g(x) 的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶+非零常数＝偶，奇+非零常数＝非奇非偶，奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇，练习 1．若函数 f(x) ＝x2－| x＋a| 为偶函数，则实数 a＝_______.2．若函数 f(x) ＝(x＋a) (bx＋2a) (常数 a、 bR) 是偶函数，且它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x) ＝_____ ___. 3．对于定义域为 R 的奇函数 f(x) ，下列结论成立的是( ) A． f(x) －f(－x) 0 C． f(x) f(－x) 0 4．如下图，给出了奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2) 的值为( ) B． f(x) －f(－x) 0 D． f(x) f(－x) 0 A.32 B．－32 C.12 D．－12 5．已知函数( )f x 是定义在 R 上的奇函数，若1 / 7当时，，则当时，( )f x 的表达式为（）A．．．．6．已知函数的图像关于坐标原点对称，则实数a=( ) A、 1 B、 -1 C、 0 D、．如果奇函数在区间[3， 7]上是增函数且最小值为 5，那么在区间上是 ( ) A．增函数且最小值为．增函数且最大值为．减函数且最小值为．减函数且最大值为．若偶函数)(xf在上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A．．) 2 (f)23()．．2 (．设奇函数)(xf的定义域为，若当时， )(xf的图象如右图, 则不等式的解是 10．如果定义在区间[2－a, 4]上的函数 y＝f(x) 为偶函数，那么 a＝___ _____. 11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 为偶函数，其定义域为[a－1, 2a]，则 a的值为________． 12．若 f(x) ＝(m－1) x2＋6mx＋2 是偶函数，则f(0) 、f(1) 、f(－2) 从小到大的顺序是____ __． 13．已知奇函数 ( )f x 的定义域为上单调递减，且满足条件求a的取值范围。
高中数学 函数的奇偶性
当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分高考 要求内容 要求层次 具体要求A B C 奇偶性√结合具体函数，了解奇偶性的含义．北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标) 第2题 5分 第13题 5分第3题5分 第13题5分第6题 5分 第14题 5分第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分第14题5分今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解．因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出．奇偶性的引入（直观）直观：特殊的对称性．初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的．有些函数关于y 轴对称：①2y x = ②y x =- ③21y x=OxyxyOy O x像这样的关于y 轴对称的函数叫做偶函数．4.1函数奇偶性的定义与判别新课标剖析函数的奇偶性还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称：①y x=：②1yx=③3y x=④y象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数．例：根据图象判断以下函数的奇偶性：①②③④⑤注意③不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子．对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在《大家来找茬》里才有．下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律．例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式）⑴()4f x x=；⑵()1f xx=；⑶()3f x=；⑷()0f x=；⑸()f x=⑹()2f xx=-．答案：⑴偶；⑵偶；⑶偶；⑷既奇又偶；⑸非奇非偶；⑹奇．先看偶函数的数学表达：总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我们总结出来的规律．那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？任取x，在它对称的地方取x-，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数，从而得到偶函数的数学表达：()y f x=定义域为D，①D关于原点对称（⇔任意x D∈，有x D-∈）；（如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数）②任意x D∈，()()f x f x=-，称()f x为偶函数．再看奇函数的数学表达：任取一点x，存在另x-，使()f x与()f x-互为相反数．（这就是关于原点中心对称）∴对于奇函数有()()f x f x-=-．如果()()f x f x≠-，()()f x f x-≠-，则是非奇非偶函数．考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数． 答案：⑴先看定义域：定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()()44221111f x x x f x x x -=-++=++=-，∴()f x 为偶函数． ⑵先看定义域：定义域为()()00-∞+∞，，，3311()()()g x x x g x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭．∴()g x 为奇函数．<教师备案> 判断一个函数的奇偶性先看定义域是否对称，定义域[10)(01]-，，，R 都是对称的定义域；而[0)+∞，，[11)-，就不是对称的定义域，这样的函数一定是非奇非偶的．在一个函数的定义域是对称的基础上考查每个x ，看()f x 与()f x -是否相等或互为相反数．函数的奇偶性是整体性，这与单调性截然不同．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【解析】 ①奇；②非奇非偶；③偶；④奇；⑤非奇非偶；⑥偶．【例1】 将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-； ⑥32()1x xf x x +=-；⑦()21x f x -=； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--； 经典精讲知识点睛⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________； ⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．【解析】 ⑴⑦⑩；⑵⑥；⑶①③④⑧⑨；⑷②⑤．看函数先看定义域，定义域不对称的一定是非奇非偶函数，如①，③，④，⑧． ④与⑦的定义域比较隐蔽，如果不注意定义域，直接化简，就会掉到坑里．如⑧：定义域101xx+-≥，()()110x x +-≥且1x ≠，∴[)11x ∈-，，非奇非偶．如果直接化简得到()f x =就会误以为是偶函数，掉到坑里．（这里学生化简可能会遇到困难，遇到0a <，有=对⑦：()f x =[)(]1001-，∪，，()f x ===.是奇函数．对⑨，⑩：通过图象直接得到奇偶性是比较明智的，也可以取特殊点看．从这里可以引申出三个结论：结论一：如果一个奇函数，在0x =处有定义，则一定有()00f =．因为在0x =处，要关于()00，对称，又不可能同一个x 对应两个y ，∴只能是()00f =． 也可以根据()()f x f x -=-，有()()()0000f f f -=-⇒=． 当然，奇函数可能在0x =处无定义，如1()f x x=，这样的就不用管，只要有定义，一定有()00f =．对于偶函数有这样的结论吗？没有．如偶函数2()1f x x =+．结论二：既奇又偶的函数有穷多个，这些函数的值域都为{0}．请别忘记，定义域不同的函数就是不同的函数．如()0f x =，x ∈R ；()0f x =，()11x ∈-，；()0f x =，[]11x ∈-，；()0f x =，0x =．图象为一个点它也是既奇又偶的函数．结论三：已知5432()f x ax bx cx dx ex f =+++++，系数a b c d e f ∈R ，，，，，为常数．⑴若()f x 是奇函数，则系数满足0b d f ===；⑵若()f x 是偶函数，则系数满足0a c e ===． 对于一个多项式函数来说，若它是奇函数，则一定只有奇次项，若它是偶函数，则一定只有偶次项．一般情况下认为，偶函数与x 、2x 、4x 、21x、常数a 相关，由以上东西加加减减得到的多为偶函数；若是与x 、1x、3x 、5x 相关基本上会觉得是奇函数．若都有，如1x +，21x x ++，就是非奇非偶函数．讲完结论三，就可以秒例2了．【拓展】函数y =的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【解析】 B【例2】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【解析】 ⑴ [0)+∞，；⑵ 当12m n =±=-，时，()f x 是奇函数．【例3】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【解析】 C本题可以推广到任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和．我们在秋季再展开讲．【例4】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______．【解析】 ⑴B ．⑵1-；拓展：复合函数的奇偶性也会由每一层的奇偶性决定，一个函数是奇的还是偶的，到底产生了什么样的变化，换言之，要判断函数是奇还是偶，把x 取x -，看结果前是否有负号． 如：要判断()()()y f g h r x ⎡⎤=⎣⎦的奇偶性．x 相当于小人，r ，h ，g ，f 相当于4个守关boss ，来看一下每个boss 的属性．偶：()()f x f x -=对于“-”的态度是坚决消灭，也就是“-”闯不过偶函数这一关． 奇：()()f x f x -=-，对“-”可以闯过去．令x x =-，看小人x -闯关，逐层分析，“-”能否过关取决于是否有偶函数．如果每层函数都具有奇偶性，则只要某层为偶函数，复合后一定为偶函数．只有所有层都为奇函数的情况下，复合后才是奇函数．如果某层出现非奇非偶函数，则没有固定的结论．例：判断函数()()2231f x x+答案：偶函数．最内层21u x =+为偶函数→即可判定()f x 为偶．不需要再考虑2v u =与3y v =函数运算之后的奇偶性也可以直接通过定义去验证，奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，奇函数与偶函数的积，考虑奇函数的个数，有奇数个奇函数则为奇函数，有偶数个奇函数则为偶函数．考点2：函数奇偶性的简单应用与奇偶性相关的几个问题：奇偶性在图象范围是一种对称性的体现：如果告诉你一个函数是偶函数，已知右半边的图象，你能否画出左边的？（可以随手给个图形为例）．若已知一个函数是奇函数，给出左边图象，能否画右边的？（可以随手给个图形为例）．那这个过程能解决什么问题？若一个函数是奇/偶函数，且告诉你它在一半区间上的特点，就能反推到另一半特点，比如已知左边单调性、与x 轴交点、最大值、最小值，你就能知道另一半什么样，就好有一个镜子，你照一半，就知道另一半什么样．如：已知()f x 是偶函数，且()13f =，则(1)3f -=；若()f x 是奇函数，其它条件不变，则有()13f -=-．再比如已知()f x 是奇/偶函数，给出()f x 在0x >（或0x <）的解析式，就可以得到另一半的解析式．练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______． 答案：()21f x x =-+（可以通过图象的对称性得到，或者通过两点得到）【例5】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．【解析】 ⑴()243f x x x =++（画图解决）．可以画出图象的问题，知一半求一半可以直接通过图形得到．当给出的一半的解析式不能画图时怎么办？有什么统一的方法？ 统一方法：以⑴为例：设()0x ∈-∞，，()0x -∈+∞，，()()243f x x x f x -=++= 目的求()f x ，（x 在左边取），而()f x 要由对称的点求，即()()f x f x -=，先求()f x -． 用此方法可以求出⑵⑶的解析式．⑵31()f x x x =--；⑶ 2210()001x x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪->⎩，，，．经典精讲知识点睛所有跟奇偶性相关的问题实质上就是一个问题：告诉你一半区间上的性质，让你去求另一半性质．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．奇函数与偶函数的单调性可以通过单调性的定义去证明．由此可以得到奇（或偶）函数的值域与最值的一些相关结论，如偶函数在()0+∞，上的值域与它在()0-∞，上的值域相同．而奇函数在()0+∞，上的值域若为()34，，则它在()0-∞，上的值域为()43--，．偶函数在()0+∞，上的最值与它在()0-∞，上的最值相同；奇函数在()0+∞，上的最大值的相反数是它在()0-∞，上的最小值．奇函数在()0+∞，上的最小值的相反数是它在()0-∞，上的最大值．这些通过图象都很容易得到．练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．答案：在()10-，上单调递减，在()1-∞-，上单调递增．【例6】 ⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ） A ．(3)(2)(1)f f f <-< B ．(1)(2)(3)f f f <-< C ．(2)(1)(3)f f f -<< D ．(3)(1)(2)f f f <<-⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________． ⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x-<．【解析】 ⑴Ｂ；⑵2(23)(1)f a a f -+<-；⑶()()3113--，，．⑷()()()321123---，，，；注意：知道一个奇函数在(0)+∞，上单调增，只能得到它在(0)-∞，上也单调增，不能得到它在R 上单调增，即使在0x =有定义．但如果已知奇函数在[0)+∞，上单调增，则可以得到它在R 上单调增．4.2单调性与奇偶性综合经典精讲知识点睛【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能【解析】 A ．已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【解析】302⎛⎤⎥⎝⎦，；【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数【解析】 A ．【演练2】⑴在[0)+∞，上，()4321f x x x x x =-+-+，()f x 在定义域上为偶函数．求在()0-∞，上， ()f x = ．⑵()f x 是奇函数，当(0)x ∈+∞，时，()2211f x x x x =+++，则在()0-∞，上， ()f x = ．【解析】 ⑴4321x x x x ++++；⑵()2211f x x x x=--+-；【演练3】函数()23f x ax bx a b =+++的图象关于y 轴对称，它的定义域为[]32a a -，，则函数()f x 的值域为 ． 【解析】 []37，；【演练4】已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若1()()1f xg x x +=-，则()f x 的解析式为_______． 实战演练【解析】 ()211f x x =-；【演练5】已知函数1()f x x x=+． ⑴求证：函数()f x 为奇函数； ⑵用定义证明：函数()f x 在(1)-∞-，上是增函数．【解析】 ⑴1()f x x x=+的定义域为}{|0x x ≠关于原点对称；11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭．所以函数()f x 为奇函数． ⑵ 任取()121x x ∈-∞-，，，且12x x <，则 12121211()()f x f x x x x x -=+--211212()x x x x x x -=-+1212121()x x x x x x -=-， 由()121x x ∈-∞-，，，且12x x <，可知12x x <，1210x x ->． 所以12()()f x f x <．所以函数()f x 在()1-∞-，上是增函数．1．奇函数与偶函数的定义域都关于_____对称，奇函数满足____________，且奇函数的图象关于_____________对称； 偶函数满足____________，且偶函数的图象关于_____________对称．2．奇函数在对称区间上的单调性_______，偶函数在对称区间上的单调性________． 3．如果一个奇函数在原点有定义，则一定有(0)f =______．答案：1．原点；()()f x f x -=-，原点（中心对称）；()()f x f x -=，y 轴； 2．相同；相反；3．0．概念要点回顾。
函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的奇偶性的经典总结归纳
x x x f 1)(+=1)(2+=x xx f x x f 1)(=函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。
注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。
（2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及)()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。
题型一 判断下列函数的奇偶性。
⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4)(5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断（1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
（2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(=（4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。
当()x g ≠0时，)()(x g x f 为偶函数。
（5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ⋅是偶函数，当()x g ≠0时，)()(x g x f 是偶函数。
新教材高中数学第三章函数3.1.3函数的奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念课件新人教B版必修第一册
已知函数 y＝f(x)是 的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选 D.因为 f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，所
以这四个交点每组两个关于 y 轴一定是对称的，故所有实根之
和为 0.
利用函数的奇偶性求参数
(1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且定义域为
第三章 函 数
3．1.3 函数的奇偶性
第 1 课时 函数奇偶性的概念
第三章 函 数
考点
函数奇偶 性的判断
奇、偶函 数的图像 奇、偶函 数的应用
学习目标 结合具体函数，了解函数奇偶 性的含义，掌握判断函数奇偶 性的方法 了解函数奇偶性与函数图像 对称性之间的关系 会利用函数的奇偶性解决简 单问题
核心素养 数学抽象、
(2)作出函数在 y 轴另一侧的图像，如图所示．
观察图像可知 f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，f(－1)<f(－3)，所以 f(1)<f(3)．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
即有－1≤x≤1 且 x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为 f(－x)＝
1－(－x)2 －x
＝－ 1－x x2＝－f(x)．
所以 f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数．
高中数学 13 函数的基本性质 2 函数的奇偶性学案 新人教A版必修1 学案
函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x）〔或f（x）+f（－x）=0〕，则称f（x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=f（x）〔或f（x）－f（－x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.●点击双基1.下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）A.1B.2C.3解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－a，a）〕.答案：Af（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是A.奇函数解析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（a≠0）为奇函数.答案：Af （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是A.f （cos α）＞f （cos β）B.f （sin α）＞f （cos β）C.f （sin α）＞f （sin β）D.f （cos α）＞f （sin β）解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x α、β是锐角三角形的两个内角， ∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0.∴f （sin α）＞f （cos β）.答案：Bf （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________. 解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝31. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0. 答案：31 0 5.给定函数:①y=x 1（x ≠0）；②y=x 2+1；③y=2x ；④y=log 2x ；⑤y=log 2（x+12 x ）. 在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________. 答案：①⑤②③④●典例剖析【例1】 已知函数y=f （x ）是偶函数，y=f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则A.f （0）＜f （－1）＜f （2）B.f （－1）＜f （0）＜f （2）C.f （－1）＜f （2）＜f （0）D.f （2）＜f （－1）＜f （0）剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减.∵y=f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A.答案：A【例2】 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx -+11； （3）f （x ）=2|2|12-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ），∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数.xx -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有xf （x ）=2212-+-x x =xx 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－xx 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数. （4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.故函数f （x ）为奇函数.评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】 （2005年东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值X 围.（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0. 令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x ∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值X 围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}. 评述：解答本题易出现如下思维障碍：（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.深化拓展已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0的解集是（22a ，2b ），2b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（22a ，2b ）B.（－b ，－a 2） C.（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）D.（22a ，b ）∪（－b 2，－a 2） 提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.0)(,0)(x g x f ∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2b ，－a 2）. 答案：C【例4】 （2004年某某模拟题）已知函数f （x ）=x+x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值.（2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －x p +m=－x －xp －m. ∴2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数. ①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数，∴f （x ）max =f （2）=2+2p ，f （x ）min =f （1）=1+p. ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.f （x ）min =f （p ）=2p .f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2p }. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2p ，f （x ）max =f （1）. ③当p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f（2）=2+2p . （文）解答略.评述：f （x ）=x+xp （p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法.函数的基本性质要点精讲1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。
08 第二章 第三节 第1课时 函数的奇偶性、周期性、对称性
第1课时
应用1
n＝(
函数的奇偶性、周期性、对称性
必备知识
提升“四能”
课时质量评价
)
B．1
√
D．4
C
核心考点
已知函数f (x)＝x3＋x＋m是定义在区间[－2－n，2n]上的奇函数，则m＋
A．0
C．2
落实“四基”
解析：由已知得－2－n＋2n＝0且f (0)＝0，所以n＝2，m＝0，此时f (x)＝x3
2
D．f (x)＝ex－e－x
)
BC 解析：对于A，f (x)＝x3＋1，定义域为R，f (1)＝2，f (－1)＝0，故f (x)为非
奇非偶函数；对于B，f (x)＝ln |x|，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x)＝ln |
π
－x|＝ln |x|，故f (x)为偶函数；对于C，f (x)＝sin x+ ＝cos x，故f (x)为偶函
，定义域不关于原点
x+2
对称，不是奇函数．
第1课时
函数的奇偶性、周期性、对称性
必备知识
落实“四基”
核心考点
ex－e－x
(3)(多选题)设函数f (x)＝
，则下列结论正确的有(
2
A．|f (x)|是偶函数
√
C．f (x)|f (x)|是奇函数
√
提升“四能”
课时质量评价
)
B．－f (x)是奇函数
√
D．f (|x|)f (x)是偶函数
【常用结论】
1．函数奇偶性的2个常用结论
(1)如果一个奇函数f (x)在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；如
果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)．
函数的奇偶性(第一课时)课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
点睛
(1)一看定义域.定义域D具有对称性，即∀x∈D，－x∈D，也就是说奇、 偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇 非偶函数. 如f(x)＝x2，x∈R是偶函数，但f(x)＝x2，x∈[－1，2]是非奇非偶函数. (2)二看等式.当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系： ①f(－x)＝f(x)⇔f(x)是偶函数； ②f(－x)＝－f(x)⇔f(x)是奇函数； ③f(－x)≠±f(x)⇔f(x)是非奇非偶函数； ④f(－x)＝±f(x)⇔f(x)既是奇函数又是偶函数.这样的函数只有一类，即f(x) ＝0，x∈D，且D关于原点对称. 由以上两点不难得到利用定义法判断函数奇偶性的步骤.
___3_____，b＝___0_____； (2)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝_____0___. 解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＋2a＝0，解得 a＝13，又 函数 f(x)＝13x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0. (2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0， 得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，又x∈R使其恒成立，故a＝0.
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
课堂小结
1.由图象抽象出函数的奇偶性，提升数学抽象素养和逻辑推理素养. 2.奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性， 有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式 f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x) ＝0⇔f（f（－x）x）＝±1(f(x)≠0). 3.函数奇、偶性反映到图象上是函数图象的对称性，奇函数的图象关于原点对称， 偶函数的图象关于 y 轴对称.
原创_常见函数的奇偶性的判断与证明(超经典)
讲义：常见奇函数与偶函数的分类与判定一、常见奇函数与偶函数的分类：类型一：奇数次方实例f(x)＝x n，(n为奇数)是奇函数x1，x3，x5，x7，x9，x11，x13，x15，x17，x19，x21，x23，x25，x27，……类型二：偶数次方实例f(x)＝x n，(n为偶数)是偶函数x2，x4，x6，x8，x10，x12，x14，x16，x18，x20，x22，x24，x26，x28，……类型三：奇数次方根实例f(x)＝n x，(n为奇数)是偶函数3x，5x，7x，9x，11x，13x，15x，17x，19x，21x，23x，25x，27x，29x，31x，……二、函数奇偶性的合成运算：法则一：1f(x)与f(x)的奇偶性相同.文字语言：奇函数的倒数还是奇函数，偶函数的倒数还是偶函数.实例符号语言：1f(x)与f(x)的奇偶性相同.1x，1x3，1x5，1x7，1x9，1x11，1x13，1x15，……都是奇函数. 1x2，1x4，1x6，1x8，1x10，1x12，1x14，1x16，……都是偶函数.法则二：k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.文字语言：将一个函数乘一个非零实数，其奇偶性不变.实例符号语言：k·f(x)(k≠0)与f(x)的奇偶性相同.x3与2x3,-5x3的奇偶性相同，都是奇函数；x2与4x2,-7x2的奇偶性相同，都是奇函数；法则三：加减法则.文字语言：奇±奇＝奇偶±偶＝偶实例符号语言：f(x)，g(x)都是奇函数，则f(x)±g(x)也是奇函数f(x)＝x3＋2x，g(x)＝1x＋2x5-5x7都是奇函数；符号语言：f(x)，g(x)都是偶函数，则f(x)±g(x)也是偶函数f(x)＝x4＋2x2，g(x)＝1x2＋2x2-5x6都是奇函数；归纳：同性相加减，奇偶性不变.法则四：乘除法则.文字语言实例奇×奇＝奇f(x)，g(x)都是奇函数，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是偶函数f(x)＝x 3·1x ，g(x)＝2x 5-5x 7x都是偶函数；偶×偶＝偶f(x)，g(x)都是偶函数，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是偶函数f(x)＝x 4＋2|x|，g(x)＝2x 2-5x 6|x|都是偶函数；奇×偶＝奇f(x)，g(x)一奇一偶，则f(x)×g(x)，f(x)g(x)都是奇函数f(x)＝x 3·|x|，g(x)＝2x 5-5x 7x 2都是奇函数；归纳：同性相乘得偶，异性相乘得奇.三、一些常见的奇函数、偶函数的判定及其证明（1）f(x)＝|x|是偶函数.证明一：∵函数f(x)＝|x|的定义域为实数集R ，关于原点对称．又∵f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x|是偶函数．证明二：∵函数f(x)＝|x|的图像关于Y 轴对称；∴f(x)＝|x|是偶函数.（2）f(x)＝|x －3|＋|x ＋3|是偶函数.证明：∵函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．又∵f(－x)＝|－x －3|＋|－x ＋3|＝|x ＋3|＋|x －3|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x －3|＋|x ＋3|是偶函数．归纳：形如f(x)＝|x －a|＋|x ＋a|的函数都是偶函数.（3）f(x)＝x 是奇函数.方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，又∵f(－x)＝－x ＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.方法二：图像法.∵函数f(x)＝x 的图像关于原点对称，∴f(x)＝x 是奇函数.方法三：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝1f(－1)＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.（4）f(x)＝1x 是奇函数.判定方法一：定义法.∵函数f(x)＝1x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝1－x＝－1x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.判定方法二：图像法.∵函数f(x)＝x 的图像关于原点对称，∴f(x)＝x 是奇函数.判定方法三：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝1f(－1)＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x 是奇函数.（5）f(x)＝x 2＋2是偶函数.证明：∵函数f(x)＝x 2＋2的定义域R 关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)2＋2＝x 2＋2＝f(x)，∴f(x)是偶函数.（6）f(x)＝x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（7）f(x)＝x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝(－x)3＝－x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（8）f(x)＝1x 是奇函数.判定方法一：定义法.∵函数f(x)＝1x 的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝1－x＝－1x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.判定方法二：合成法.∵y ＝x 是奇函数，∴f(x)＝1x 也是奇函数.f(x)与1f(x)具有相同的奇偶性.（9）f(x)＝3x 是奇函数.证明：∵函数f(x)＝3x 的定义域(－∞,＋∞)关于原点对称；又∵f(－x)＝3－x ＝－3x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.（10）f(x)＝－x 3(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 3的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)3＝x 3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵y ＝x 是奇函数，∴f(x)＝1x也是奇函数.f(x)与－f(x)具有相同的奇偶性.（11）f(x)＝1－x2|x＋3|－3是奇函数.证明：－x2≥0①＋3|－3≠0②由①得－1≤x≤1，那么x＋3＞0，则|x＋3|=x＋3,从而分母|x＋3|－3＝x＋3－3＝x，则f(x)＝1－x2x，定义域为[－∞，0)∪(0，＋∞]，关于原点对称.又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.（12）f(x)2＋2，x＞0x2－2，x＜0是奇函数.证明：方法一.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；①当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)．②∴函数f(x)2＋2，x＞0x2－2，x＜0是奇函数．方法二：特殊值验证法（仅适用于选填题）.∵函数f(x)＝x的定义域(－∞,0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又∵f(1)＝12＋2＝3f(－1)＝－(－1)2＋2＝－f(－1)＝－f(1)，符合f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x是奇函数.（13）f(x)＝－x2＋1是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝－x2＋1的定义域为R，关于原点对称，又∵f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，∴y＝－x2＋1是偶函数．方法二：合成法.∵x2是偶函数，那么－x2也是偶函数f(x)与－f(x)具有相同的奇偶性，又∵1也是偶函数，∴f(x)＝－x2＋1是偶函数.（14）f(x)＝1－x 2x －1是非奇非偶函数.证明：∵函数f(x)＝1－x 2x －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴函数f(x)＝1－x 2x －1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（15）函数y ＝2－x 是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝2－x 的定义域是(－∞，2]，不关于原点对称，∴函数y ＝2－x 是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（16）函数y ＝1x －4是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝1x －4的定义域是(－∞，4)∪(4，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝1x －4是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（17）函数y ＝（x －1）2x －1是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝（x －1）2x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝（x －1）2x －1是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（18）函数y ＝x 2x －2是非奇非偶函数.证明：∵函数y ＝x 2x －2的定义域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y ＝x 2x －2是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（19）f(x)＝x 3＋3x ＋1x(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝x 3＋3x ＋1x 的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)3＋3－x ＋1－x ＝－(x 3＋3x ＋1x )＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵x 3，3x ，1x 都是奇函数，∴f(x)＝x 3＋3x ＋1x 也是奇函数.奇＋奇＝奇.（20）f(x)＝－x ＋1x(x ∈(－1,1))是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数f(x)＝－x ＋1x 的定义域(－1,1)关于原点对称；又∵f(－x)＝－(－x)＋1－x ＝x －1x ＝－(－x ＋1x )＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.方法二：合成法.∵－x ，1x都是奇函数，∴f(x)＝－x ＋1x (x ∈(－1,1))也是奇函数.奇＋奇＝奇.（21）f(x)＝2x 2＋4x是奇函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2＋4－x ＝－2x 2＋4x ＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．方法二：合成法.∵2x 2＋4是偶函数，x 是奇函数，∴f(x)＝2x 2＋4x 是奇函数.奇×偶=奇，奇÷偶=奇.（22）f(x)＝2x 2＋4|x|是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2＋4|－x |＝2x 2＋4x f(x)，∴函数f(x)是奇函数．方法二：合成法.∵2x 2＋4是偶函数，|x|是奇函数，∴f(x)＝2x 2＋4|x|是奇函数.偶×偶=偶，偶÷偶=偶.（23）f(x)＝2x 3＋4xx是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )3＋4×(－x )－x ＝－2x 3－4－x ＝2x 3＋4xx ＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵2x 3，4x 都是奇函数，则2x 3＋4x 也是奇函数，又∵x 是奇函数，∴f(x)＝2x 3＋4xx 是偶函数.同性相乘除得偶，即：奇×奇=偶，奇÷奇=偶.（24）f(x)＝2x 2－x 是非奇非偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x2x 2＋x ≠2x 2－x 且2x 2＋x ≠－(2x 2－x )，f(x)≠f(－x)且f(x)≠－f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵2x 2是偶函数，又∵x 是奇函数，∴f(x)＝2x2－x是偶函数.奇±偶=非奇非偶函数.（25）函数y＝x2＋x是非奇非偶函数.证明：∵函数y＝x2＋x的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，∴函数y＝x2＋x是非奇非偶函数.定义域不关于原点对称的函数是非奇非偶函数（26）f(x)＝5x4－4x2＋7是偶函数.证明：方法一：定义法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f(－x)＝f(x)＝5×(－x)4－4×(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．方法二：合成法.∵函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵5x4，4x2，7都是偶函数，∴f(x)＝5x4－4x2＋7是偶函数.偶±偶=偶.。
人教版高一数学必修1第13课时函数的奇偶性(含详细答案)
第13课时函数的奇偶性课时目标1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．识记强化1．奇(偶)函数的概念．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．2．奇(偶)函数的图象特点．(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝(x－1)·1＋x1－x，x∈(－1,1)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.∴f(x)＝(x－1)·1＋x1－x＝－1－x2.g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )， H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－H (x )所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3x ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则2a ＋3b ＝________. 答案：－253解析：因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以(a －1)＋2a ＝0，所以a ＝13.因为偶函数的图象关于y 轴对称， 所以－b ＋32a ＝0，所以b ＝－3.故2a ＋3b ＝－253.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．9．已知f (x )、g (x )是R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－1∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)∴|x－1|<3，－2<x<4.。
高中数学必修一教案-函数的奇偶性
§1．3．2函数的奇偶性一．教学目标1．知识与技能：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；2．过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3．情态与价值：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．二．教学重点和难点：教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式三．学法与教学用具学法：学生通过自己动手计算，独立地去经历发现，猜想与证明的全过程，从而建立奇偶函数的概念．教学用具：三角板 投影仪四．教学思路（一）创设情景，揭示课题“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x=y yx 0 x 通过讨论归纳：函数()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数()f x 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于轴对称的点的坐标有什么关系？归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．（二）研探新知函数的奇偶性定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．3．具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．判断下列函数是否是偶函数．（1）2()[1,2]f x xx =∈- （2）32()1x x f x x -=- 解：函数2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32()1x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称． 例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+（4）21()f x x= 解：（略）小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定()()f x f x -与的关系；③作出相应结论：若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．例3．判断下列函数的奇偶性：①()(4)(4)f x lg x g x =++- ②2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或． 解：（1）{()f x x x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数．（2）当x ＞0时，－x ＜0，于是 2211()()1(1)()22g x x x g x -=---=-+=- 当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R －∪R +上，()g x 是奇函数．例4．利用函数的奇偶性补全函数的图象．教材P 35思考题：规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．例5．已知()f x 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x 在（－∞，0）上也是增函数．证明：（略）小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P 36 练习1．2 P 39 B 组题的1．2．3（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6];f x x =∈--②()|2||2|f x x x =-++③()|2||2|f x x x =--+ ④2()(1)f x lg x x =++（五）归纳小结，整体认识．本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．（六）设置问题，留下悬念．1．书面作业：课本P 44习题A 组1．3．9．10题2．设()f x R x 在上是奇函数,当＞0时，()(1)f x x x =-试问：当x ＜0时，()f x 的表达式是什么？解：当x ＜0时，－x ＞0，所以()(1)f x x x -=-+，又因为()f x 是奇函数，所以()()[(1)](1)f x f x x x x x =--=--+=+．A 组一、选择题：1．已知函数2|2|4)(2-+-=x x x f ，则它是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数2．已知函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则f （x ）在区间（-5，-2）上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．部分为增函数，部分为减函数D ．无法确定增减性3．函数)1(2-=x x y 的大致图象是（ ）4．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值是5，那么()f x 在区间[]7,3--上A 、是增函数且最小值是—5B 、是增函数且最大值是—5C 、是减函数且最小值是—5D 、是减函数且最大值是—55．已知||1)(2x x x f +=在[—3，—2]上是减函数，下面结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数，在[2，3]上单调递减B ．f （x ）是奇函数，在[2，3]上单调递减C ．f （x ）是偶函数，在[2，3]上单调递增D ．f （x ）是奇函数，在[2，3]上单调递增6．()f x 为奇函数，在()0,+∞上()()1f x x x =-，则它在(),0-∞上表达式 （ ）A 、()()1f x x x =-B 、()()1f x x x =-+C 、()()1f x x x =+D 、()()1f x x x =--二、填空题:7．函数cx bx x x f ++=23)(是奇函数，函数5)2()(2+-+=x c x x g 是偶函数，则b=______，c=_______。
高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性
高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。
这一节我们继续学习函数的另一个性质。
请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。
图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。
大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。
教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。
即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。
（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。
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高一数学必修一导学案 编制人： 审核人： 领导签字： 编号：13 班级： 小组： 姓名： 组内评价： 教师评价：
函数的奇偶性预习案
【使用说明及学法指导】
1.先精读教材P33—P36，用红笔进行勾画；再针对导学案问题导学部分二次阅读并回答，时间不超过15分钟.
2.限时完成导学案合作探究部分，书写规范，完成所有题目；
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑.
【学习目标】
1.能用自己的话说出函数的奇偶性，并能判断由具体函数的奇偶性等性质；
2.体会数和形的统一，理解数形结合的思想.
一、预习自测：
1.根据函数奇偶性回答问题：
（1）具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称. （2）如果≠=a f )0(0，函数()f x 可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？
（3）若()f x 是定义在[,]a b 上的奇函数，则a,b 的关系是 ，且(0)f =
（4）如果函数
()f x 、()g x 是定义域相同的偶函数，试问()()()F x f x g x =+是偶函数吗？说明原因？
2.判断下列函数的奇偶性： （1）
x
x x f 1
)(+= （2）2432)(x x x f += （3）x x x f 2)(3-=
【我的疑惑】___________________________________________________________________________________________
函数的奇偶性探究案
【学习目标】
1.能用自己的话说出函数的奇偶性，并能判断由具体函数的奇偶性等性质；
2.体会数和形的统一，理解数形结合的思想.
探究问题：函数奇偶性的判断及其性质的应用
【例1】判断下列函数的奇偶性（考察学生对概念的理解应用能力） ①()35=++f x x x x ；
②()421=++f x x x ；
③()[]21,2,2f x x x =+∈-； ④()(f x x =-
【小结】定义法判断奇偶性的步骤
【例2】已知偶函数
()f x （图(1)）和奇函数()g x （图(2)）在y 轴右边的一部分图象，试根据偶函数和
奇函数的性质，分别作出它们在y 轴左边的图象.
【拓展提升】若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ） A 增函数，最小值为5- B 、增函数，最大值为5- C 减函数，最小值为5- D 、减函数，最大值为5- 【小结】奇偶性的运用
【课堂小结】
1.知识方面
2.数学思想方法。