数学分析十讲习题册、课后习题答案

数学分析十讲习题册、课后习题答案

习 题

1-1

1．计算下列极限

（1）lim x

a

x a

a x

x a

→--, 0;a > 解：原式

lim[]x a a a

x a a a x a x a x a

→--=---=()|

()|x

a x a

x a

a x ==''-

=1

ln a

a a a a a --⋅=(ln 1)a

a a - （2）sin sin lim sin()

x a

x a

x a →--； 解：原式sin sin lim x a

x a x a

→-=-(sin )'

cos x a

x a

===

（3

）2lim 2), 0;n n a →∞

>

解：原式2

n =20[()']x x a ==2ln a = （4）1

lim [(1)1]

p n n n

→∞+-，

0;p >

解：原式

111(1)1lim ()|p p p x n n n

x =→∞

+-'===11

p x px p -==

（5）1010

0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x

→+--

解：原式

101000(1tan )1(1sin )1lim lim tan sin x x x x x x

→→+---=--

=990

10(1)|10(1)|20t t t t ==+++=

（6）

1x →，,m n 为正整数；

解：原式1

11

1

n x x x →-=-11

11

()'

()'

m

x n

x x x ===

n m

=

2．设

()

f x 在

x 处二阶可导，计算000

2

()2()()

lim

h f x h f x f x h h →+-+-.

解

：

原式

000

()()lim

2h f x h f x h h →''+--=00000()()()()

lim 2h f x h f x f x f x h h

→''''+-+--=

00000

0()()()()lim

lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011()()()22

f x f x f x ''''''=+=

3

．设0a >，()0f a >，()f a '存在，计算

1

ln ln ()lim[]()

x a x a f x f a -

→.

解：1

ln ln ()lim[]()

x a x a f x f a -→ln ()ln ()ln ln lim f x f a x a

x a e --→= ln ()ln ()

lim

ln ln x a f x f a x a e

→--=ln ()ln ()lim ln ln x a f x f a x a

x a

x a

e

→----=

'()

()

f a a f a

e

=

习 题

1-2

1.求下列极限 （1）lim x →+∞

;

解：原式1lim [(1)(1)]0

2x x x ξξ

→+∞

=+--= ，其中ξ在1x -与

1

x +之间

（2）4

cos(sin )cos lim sin x x x

x

→-; 解：原式=4

sin (sin )lim x x x x ξ→--=3

sin sin lim()()()x x x x x ξξξ→-

-⋅=1

6

，其中ξ

在x 与sin x 之间

（3） lim x →+∞

解：原式116611lim [(1)(1)]x x x x →+∞=+--5

6111

lim (1)[(1)(1)]6x x x x ξ-→+∞=⋅+⋅+--

5611lim (1)33x ξ-→+∞=+= ，其中ξ在

11x -与

1

1x

+之间

（4）

211

lim (arctan arctan );1

n n n n →+∞-+

解：原式2

2

111

lim ()11n n

n n ξ→+∞

=-++1=，其中其中ξ在11n +与1

n

之间

2．设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算

11()lim ()n

n n n f a f a →∞⎡⎤+⎢⎥-⎣

⎦. 解：原式11

11

(ln ()ln ())

lim (ln ()ln ())lim n n f a f a n f a f a n n

n n

n e e

→∞+--+--→∞

==

11

ln ()ln ()ln ()ln ()

[lim lim ]11n n f a f a f a f a n n n n

e

→∞→∞

+---+-

=()()

2()()()

()

f a f a f a f a f a f a e

e

'''+

==

习 题

1-3

1．求下列极限

（1）

0(1)1lim (1)1

x x x λμ→+-+-,0;μ≠

解：原式0

lim x x x λ

λμμ

→== （2）0

x →;

解

：02ln cos cos 2cos lim

12x x x nx

I x

→-⋅⋅⋅=20ln cos ln cos 2ln cos 2lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=-

2

0cos 1cos 21cos 1

2lim

x x x nx x →-+-+⋅⋅⋅+-=-222

2

0(2)()lim x x x nx x →++⋅⋅⋅+=2

1n

i i ==∑

（3）0

11

lim )1

x

x x e →--（;