高二数学5月份周末考试试题及答案
高二数学周末测试卷含答案20215
高二数学周末测试卷 2021-5-一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1．复数24z i =-的虚部为 ▲ .2．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A∩B = ▲ .3．函数1()lg f x x=的概念域是 ▲ .4．命题“12,0x R x -∃∈≤”的否定是 ▲ .5．三段论式推理是演绎推理的要紧形式，“函数52)(+=x x f 的图像是一条直线”那个推理所省略的大前提是 ▲6．用反证法证明命题“若是x<y ，那么 >”时，假设的内容应该是 ▲7．存在实数x ，使得2430x bx b -+<成立，那么b 的取值范围是 ▲ .8．假设数列}{n a 是等差数列，令na a ab nn +++=21，那么数列}{n b 也为等差数列；类比上述性质，相应地：假设数列}{n C 是等比数列，且n C ＞0，令=n d ▲ 那么数列}{n d 也是等比数列．9．已知复数),(,R y x yi x z ∈+=，且32=-z ，那么xy的最大值是___▲_____。
10．把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点的纵坐标扩大为原先的3倍，而横坐标不变，取得图象2C ，现在图象1C 恰与2C 重合，那么a = ▲ .11．已知()y f x =是奇函数，当0x >时，2()48f x x x =-+，且当[]5,1x ∈--时，()n f x m≤≤恒成立，那么m n -的最小值为 ▲ .12．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，假设()f x 在[1)+∞，上是增函数，那么a 的取值范围是▲13．数学与文学之间存在着许多奇异的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，即是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，不管从左往右读，仍是从右往左读，都是同一个数，称如此的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有__▲ 个.14．已知两个正数,a b ,可按规那么c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规那么扩充取得一个新数，依次下去，将每扩充一次取得一个新数称为一次操作.若0p q >>，通过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnq p ++-（,m n 为正整数），那么m n +的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. （此题总分值14分）.已知复数2(1)3(1)2i i z i++-=+，假设21()z az b i a b ++=+∈R ，，求,a b 的值．16. （此题总分值14分）已知集合A ＝{|(2)[(31)]0}x x x a --+<，B ＝22{|0}(1)x ax x a -<-+． ⑴当a ＝2时，求A ∩B ；⑵求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．17. (本小题总分值14分)已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 知足不等式2220,x ax a ++≤假设命题""p q 或是假命题，求a 的取值范围.18．（本小题总分值16分） （1）用综合法证明：()（2）用反证法证明：假设均为实数，且，，求证：中至少有一个大于0.19、（本小题总分值16分）某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地址政府预备在此建一个综合性休闲广场，第一要建设如下图的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部份为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米。
上海市2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年度高中数学5月月考卷注意事项：1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一､单选题1. 等比数列的前项和是,且,若,则( ){}n a n n S 11a =1053132S S =1510S S =A.B.C. D.323132132-993992【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的性质成等比数列，列方程求解 51051510,,S S S S S --【详解】设,则,所以 532S x =1031S x =105S S x -=-由等比数列性质知成等比数列 51051510,,S S S S S --所以,得,所以 ()2151032()x S S x -=-151032x S S -=15993313232x S x x =+=所以15109929933231992xS S x ==故选：D2. 如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则1111ABCD AB C D -E F 1111D C B A 11ADD A 和所成的角是（ ）EF CDA. B. C. D.60︒45︒30︒135︒【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，则，，，2()1,1,2E ()1,0,1F ()0,0,0D ，()0,2,0C 所以，，()0,1,1EF =-- ()0,2,0DC =设和所成的角为，则，EF CDαcos EF DC EF DC α⋅===⋅ 因为，所以.090α︒≤≤︒45α=︒故选：B3. 能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函数”，下列函数2214x y +=中不是椭圆的“可分函数”的为（ ） A.B. ()34f x x x =+()5ln5xf x x-=+C. D.()sin f x x =()e exxf x -=+【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC 为奇函数，D 为偶函数，得到答案. 【详解】对选项A ：，，函数为奇函数，满足；()34f x x x =+()()34f x x x f x -=--=-对选项B ：，函数定义域满足，解得，且()5ln5x f x x-=+505xx ->+55x -<<，函数为奇函数，满足； ()()5ln5xf x f x x+-==--对选项C ：为奇函数，满足； ()sin f x x =对选项D ：，，函数为偶函数，且，不满足.()e exxf x -=+()()ee xx f x f x --=+=()020f =≠4. 数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，{}n a 1log (2)(N )n n a n n *+=+∈12k a a a ⋅⋅⋅ k (N )k *∈则区间内的所有期盼数的和等于（ ） [1,2023]A. B. C. D.2023202420252026【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅2log (2)k +123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅数，可得，最后由等比数列前项和公式求解． 22n k =-n 【详解】解：，，()()+1lg 2log (2)lg 1n n n a n n +=+=+ *()N n ∈， ()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5log (2)lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +∴⋅⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋅⋅=++ 又为整数，123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅ 必须是2的次幂，即．2k ∴+n *()N n ∈22n k =-内所有的“幸运数”的和：[1,2023]k ∈()()()()2341022222222S =-+-+-+⋯+-，102(12)20202612-=-=-故选：D ．第II 卷（非选择题）二､填空题5. 抛物线的准线方程为__________. 24y x =【答案】 =1x -【解析】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程. 22y px =2px =-【详解】抛物线的准线方程是. 24y x ==1x -故答案为：.=1x -6. 已知数列的通项公式为，前项和为，则__________． {}n a 2,12,2n n n n a n -=⎧=⎨≥⎩n n S lim n n S →+∞=【答案】## 522.5【解析】【分析】先求得，然后求得正确答案.n S 【详解】1223121222222112n nnS -----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++=+- ，11151212222n n -⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以. lim li 515222m n n n n S →+∞→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭=故答案为：527. 已知直线l 的方程为，则直线l 的倾斜角____________． 221x y+=α=【答案】 135︒【解析】【分析】根据直线的方程求得直线的斜率为，得到，进而求得的值. l 1k =-tan 1α=-α【详解】由题意，直线的方程为，可得直线的斜率为，即， l 221x y+=l 1k =-tan 1α=-又因为，所以. 0180α≤< 135α= 故答案为：.135 8. 数列的通项公式为，是其前项和，则__________.{}n a ()()*(1)21N nn a n n =-+∈n S n 15S =【答案】 17-【解析】【分析】根据分析出是偶数时，，从而()()*(1)21N nn a n n =-+∈n ()121232n n a n n a +=+-++=-分组求和即可. 【详解】，若是偶数，则为奇数，()()*(1)21N nn a n n =-+∈n 1n +此时，()121232n n a n n a +=+-++=-故()()()()()()123451154153579112931S a a a a a a a +++++++==-+-+-++- .32717=--⨯=-故答案为：-179. 已知数列的前项和为，若，则__________． {}n a n n S 2342n S n n =-6a =【答案】 252【解析】【分析】由可直接求得结果. 665a S S =-【详解】. 226653325646545222a S S =-=⨯-⨯-⨯+⨯=故答案为：. 25210. 若圆与直线x ＋y ＋1＝0相交于A 、B 两点，则弦的长为______. ()2214x y -+=AB【答案】 【解析】【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案.d =【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，()2214x y -+=()1,02r =d故. AB ==故答案为：11. 在长方体中，，，若E 为的中点，则点E 到面1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =AB 1ACD 的距离是______. 【答案】13【解析】【分析】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求DA DC 1DD 出点E 到面的距离.1ACD 【详解】以D 为原点，为x 轴，为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：DA DC 1DD，，，，()1,1,0E ()1,0,0A ()0,2,0C ()10,0,1D ，，， ()1,2,0AC =- ()11,0,1AD =-()0,1,0AE =u u u r 设平面的法向量，1ACD (),,n x y z =则，取，得， 1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()2,1,2n = ∴点E 到面的距离为. 1ACD 13AE n d n⋅== 故答案为：. 13【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题. 12. 已知数列满足，，，则__________. {}n a 11a =11nn na a n +=+*n ∈N n a =【答案】 1n【解析】【分析】依题意可得，即可得到为常数数列，从而求出数列的通项公式.()11n n n a na ++={}n na 【详解】因为，，所以， 11a =11nn na a n +=+()11n n n a na ++=所以为常数数列，且，所以.{}n na 1n na =1n a n=故答案为：.1n13. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r k + a b 2a b + k ______.【答案】 11(1,(,)22-+∞ 【解析】【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为，()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r所以，， ()1,1,2a kb k k +=- ()21,2,2a b += 因为向量与的夹角为锐角，k +a b 2a b +所以，解得，()()2124330k a b k k k +⋅+=-++=+>a b 1k >-而当时，，解得，()()//2a kb a b ++ 112122k k -==12k =所以实数的取值范围为. k 11(1,(,)22-+∞ 故答案为：11(1,(,)22-+∞ 14. 直线与曲线m 的取值范围为______. y x m =-+y =【答案】 ⎛ ⎝【解析】【分析】由已知化简可得曲线方程的图象为椭圆的下半部分.作出图象以及直线，结合图象，平yx=-移直线可知，当直线过左顶点时，有两个交点；当直线与椭圆相切时，直线与曲线有一个交点，即可得出m 的取值范围.【详解】解：由可得，，椭圆左定点.y =22112x y +=()0y ≤A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以曲线方程的图象为如下图所示的椭圆的下半部分.由图象可得，当直线平移到，即经过点时，有最大值，此时直线与y x m =-+1l A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭m 曲线有两个交点；当直线平移到，即直线与半椭圆相切时，此时直线与曲线有一个交点.y x m =-+2l联立直线与椭圆的方程可得，.22112y x m x y =-+⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩223210x mx m -+-=由直线与椭圆相切可得，，()()2224310m m ∆=--⨯⨯-=整理可得，，解得. 232m=m =显然，所以. 0m<m =由图象可知，当与曲线.m<≤y x m =-+y =故答案为：. ⎛ ⎝15. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点OACB OA a = OB b = OC c =M OA 23OM OA = 为中点，则等于___________．（用向量表示） N BC MN,,a b c【答案】211322a b c -++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则结合已知条件求解即可. 【详解】因为点为中点， N BC 所以，1()2ON OB OC =+因为，23OM OA = 所以，12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ 故答案为：．211322a b c -++16. 项数为的有限数列的各项均不小于的整数，满足(),2k k k *∈≥N {}n a 1-，其中.给出下列四个结论：123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=10a ≠①若，则；2k =22a =②若，则满足条件的数列有4个； 3k ={}n a ③存在的数列；11a ={}n a ④所有满足条件的数列中，首项相同. {}n a 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②④ 【解析】【分析】根据有限数列的性质，，及满足{}n a 1n a ≥-*N ,Z n n a ∈∈，其中，利用不等式放缩，结合等比数列求和可123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=10a ≠得，即可确定的值，从而可判断①③④的正误，若，得1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭1a 3k =，结合，求得的关系，根据不等式求得的范围，一一列举得数列，即123420a a a ++=1a 23,a a 2a {}n a 可判断②.【详解】由于有限数列的各项均不小于的整数，所以，，{}n a 1-1n a ≥-*N ,Z n n a ∈∈又因为，123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=所以()()123231112312222222121k k k k k k k k a a a a a -------⋅=-⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+≤++++=- 所以，且，为整数，所以，故③不正确，④正确；1111112k a -⎛⎫-≤≤-< ⎪⎝⎭10a ≠1a 11a =-当时，得，所以，则，故①正确；2k =1220a a +=11a =-22a =当时，得，因为，所以，则， 3k =123420a a a ++=11a =-2324a a +=23245a a =-≤所以，为整数，则的可能取值为，对应的的取值为， 2512a -≤≤2a 2a 1,012-,,3a 6,4,2,0故数列可能为；；；，共4个，故②正确. {}n a 1,1,6--1,0,4-1,1,2-1,2,0-故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：项数为的有限数列的性质入手，(),2k k k *∈≥N {}n a 1n a ≥-*N ,Z n n a ∈∈从各项，结合不等式放缩，确定的范围，从而得的值，逐项验证即可.1n a ≥-1a 1a 三､解答题17. 如图，正方体的棱长为2，点为的中点.1111ABCD A B C D -E 1BB（1）求直线与平面所成角的正弦值； 1AA 1D AE （2）求点到平面的距离. 1A 1D AE 【答案】（1）23（2）43【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量的夹角公式即可得1D AE 1AA解；（2）直接利用向量公式求解即可． 【小问1详解】解：以点作坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，A则，0，，，2，，，0，，，0，，(2A 0)(2E 1)1(0D 2)1(2A 2)设平面的一个法向量为，又，1D AE (,,)m x y z = 1(2,0,2),(0,2,1)AD AE =-= 则，则可取，122020m AD x z m AE y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩ (2,1,2)m =- 又，设直线与平面的夹角为，则1(0,0,2)AA = 1AA 1D AE θ，1112sin |cos ,|||3||||m AA m AA m AA θ⋅=<>=== 直线与平面的正弦值为； ∴1AA 1D AE 23【小问2详解】解：因为()10,0,2AA = 所以点到平面的距离为， 1A 1D AE 1||4||3AA m m ⋅== 点到平面的距离为． ∴1A 1D AE 4318. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． {}n a {}n b 111a b ==225a b +=339a b +=（1）求，的通项公式；{}n a {}n b （2）若数列，求前项和．,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数{}n c 2n 【答案】（1），21n a n =-12n n b -=（2） 2222433n n n --+⋅【解析】 【分析】(1)设的公差为，的公比为，根据条件列方程组求解；{}n a d {}n b q (2)将奇数项放在一起使用等差数列求和公式求和，偶数项放在一起使用等比数列求和公式求和.【小问1详解】设的公差为，的公比为，由题意知{}n a d {}n b q ，解得， 215129d q d q ++=⎧⎨++=⎩2d q ==所以，.()1121n a a n d n =+-=-1112n n n b b q --==【小问2详解】所有奇数项构成首项为1，公差为4项数为的等差数列；1321,,,n a a a -⋅⋅⋅n 所有偶数项构成首项为2，公比为4项数为的等比数列；242,,,n a a a ⋅⋅⋅n ()()132211543222n n n S -⎡⎤=+++-++++⎣⎦ ()214(1)4214n n n n --=+⨯+-. 2222433n n n --+⋅=综上， 22222433n n S n n --+⋅=19. 已知圆在轴上的截距为和，在轴上的一个截距为． C x （1）求圆的标准方程；C （2）求过原点且被圆截得的弦长最短时的直线的方程．C 【答案】（1）；（2）．22(1)(1)5x y -++=0x y -=【解析】【详解】（1）设， 则中垂线为，中垂线为， (1,0),(3,0),(0,1)A B D -1x =y x =-∴圆心满足∴，半径(,)C x y (1,1)C -r CD ===∴圆的标准方程为．C 22(1)(1)5x y -++=（2）时，截得的弦长最短，考点：圆的方程及直线与圆的位置关系． 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的方程为，设AB 是过椭圆C 中心O的任意弦，l 2218x y +=是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上与O 不重合的点.（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；（2）若，当点A 在椭圆C 上运动时，求点M 的轨迹方程；2MO OA =（3）记M 是l 与椭圆C 的交点，若直线AB 的方程为，当面积取最小值时，求直()0y kx k =>AMB 线AB 的方程；【答案】（1）；（2）；（3）. 2217x y -=221432x y +=y x =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程确定双曲线方程的，，即可求出双曲线方程；a b c（2）设，根据，建立，的关系即可求出点M 的轨迹方程；(,)M x y 2MO OA =MO OA ⊥x y （3）根据题设条件，建立关于斜率的表达式，利用面积最小值求出斜率，进而求出直线AB 的AMB S k k 方程.【详解】（1）由题知椭圆C 的方程为，2218x y +=则椭圆的，a =1b =c =所以椭圆的左焦点和左顶点的坐标分别为，，设双曲线方程为， 22221x y a b-=根据题中条件有双曲线方程的， a =c =1b =所以双曲线方程为. 2217x y -=（2）设，， (,)M x y 11(,)A x y 由题知,，2OM OA = 0OA OM ⋅= 有，2222221112211114()4104x y x y x y x x y y y x ⎧=⎪⎧+=+⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩因为点在椭圆上，A 有， 22222211114111884432y x x y y x +=⇒+=⇒+=所以点的轨迹方程为. M 221432x y +=（3）由题知，， :(0)AB l y kx k =>22:18x C y +=联立， 22221()188x y x kx y kx ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩解得，， 22818A x k =+222818A k y k=+所以， 222222228888181818A A k k OA x y k k k+=+=+=+++， 22223232418k AB OA k +==+因为是线段AB 的垂直平分线，OM l 所以， 1:OM l y x k=-联立， 2222118()181x y x x k y x k ⎧+=⎪⎪⇒+-=⎨⎪=-⎪⎩解得，， 22288M k x k=+2288M y k =+所以， 222222228888888M M k k OM x y k k k+=+=+=+++所以， 22222221132328844188AMB k k S AB OM k k++==⨯⨯++ 整理得， 222222264(1)39225688(18)(8)81865AMBk S k k k k +==-≥++++当且仅当时等号成立，1k =等号成立时面积最小，即， 259AMB S == 所以当面积取最小值时，直线AB 的方程为.AMB y x =【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，求轨迹方程问题，直线与圆锥曲线联立，椭圆中三角形面积问题，考查较为全面，属于难题.（1）求圆锥曲线的方程问题往往要考查基本量，，，的求解，要牢记圆锥曲线的方程；a b c e （2）求解轨迹方程问题时，一般的解题方法是求谁设谁，再利用已知关系建立，的关系；x y （3）求解三角形面积最值时，一般首先要建立三角形面积的表达式，再根据参数范围或者利用重要不等式求出三角形面积最值.21. 设是公差不为零的等差数列，满足，，设正项数列的前n 项和为，且{}n a 11a =6713a a a +={}n b n S ．423n n S b +=（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，1b 2b 11x 1b 11x 2b 2b 3b 21x 22x 使、、、成等差数列；…，在和之间插入n 个数、、…、，使、、2b 21x 22x 3b n b 1n b +1n x 2n x nn x n b 1n x 、…、、成等差数列，求；2n x nn x 1n b +11212212n n n nn T x x x x x x =++++++ （3）对于（2）中求得的，是否存在正整数m 、n ，使得成立？若存在，求出所有的正整数n T 12m n m a T a +=对；若不存在，请说明理由．(),m n 【答案】（1）； n a n =1*11(),(N )23n n b n -=⨯∈（2） 332443n nn T +=-⨯（3）存在，所有的正整数对为及.(),m n ()9,2()3,3【解析】【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的通项公式基本量计算求出d ＝1，从而，再由{}n a n a n =，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此求出通项公式； 11,1,2n n n S n b S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n b 1213（2）由题意推导出公差，从而，利用公式得到13(1)n n d n =-+111233(1)n nk n k x n -⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭13n nk n k n x ==∑，故，由此利用错位相减法能求出； 212333n n n T =+++ n T （3）由及第（2）问得到，求出当，n ＝2，n ＝3时的值，再利用12m n m a T a +=462323n n m n +=+--1n =m导函数证明当时，有，即证，由此能求出所有的正整4n ≥()Nn *∈32346n n n -->+3690n n -->数对．【小问1详解】 设等差数列的公差为d ，（d ≠0），{}n a 则由，得，6713a a a +=1115612a d a d a d +++=+因为，所以，11a =1d =所以；()11n a n n =+-=由，①423n n S b +=当时，，②2n ≥11423n n S b --+=①﹣②，得，14220n n n b b b -+-=∴， ()1123n n b b n -=≥又当时，，解得：， 1n =11423b b +=1102b =≠∴是首项为，公比为的等比数列， {}n b 1213∴．1*11,(N )23n n b n -⎛⎫=⨯∈ ⎪⎝⎭【小问2详解】在和之间插入n 个数、、…、，使、、、…、、成等差数列，设公差n b 1n b +1n x 2n x nn x n b 1n x 2n x nn x 1n b +为， n d ∴， 11111112323(2)113(1)n n n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+-++则， 111233(1)n nk n n n k x b kd n -⎛⎫=+=⨯- ⎪+⎝⎭∴， 11111(1)233(1)23n n nk n n k n n n x n n -=+⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪+⎝⎭∑∴，① 112112212333n n n nn n n T x x x x x =++++++=+++则，② 231112133333n n n n n T +-=++++ ①﹣②得， 2111111()21111133(1133333323313n n n n n n n n n n T +++⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+++-=-=--- ∴． 332443n nn T +=-⨯【小问3详解】假设存在正整数m ，n ，使成立， 12m n m a T a +=． 13111144323222n n n n m T m m -+=--==+⨯⨯， 232(323)46462323323323n n n n n n n n m n n n ⨯--+++===+------当时，不合题意， 1n =10232m =+=--当n ＝2时，， *1429N 2m =+=∈当n ＝3时，，213N m *=+=∈下证，当时，有，即证， 4n ≥()Nn *∈32346n n n -->+3690n n -->设，，则，()369x f x x =--4x ≥()3ln 36360x x f x '=->->∴在上单调递增，()f x [)4,+∞故时，，4n ≥43693649480n n -->-⨯-=>∴， 4601323n n n +<<--∴时，m 不是整数，4n ≥∴所有的正整数对为及.(),m n ()9,2()3,3【点睛】本题第二问和第三问有难度，第二问需要先理解题意，转化为等差数列通项公式和求和公式，结合错位相减法进行求解，而第三问则是数列与函数的综合，需要利用导函数来证明当4n ≥()N n *∈时，有，即证，属于综合题，难度大．32346n n n -->+3690n n -->。
浙江省杭州市高二下学期5月月考试理科数学试卷 有答案
浙江省杭州市西湖高级高二下学期5月月考试数学（理）试卷一 、选择题： 本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合U=R ，集合M ＝{|1}x x >，P ＝2{|1}x x >,则下列关系正确的是（ ▲ ） A. M=P B. (C U M)⋂P=Φ C. P ⊆M D. M ⊆P2.函数()21log f x x =+和()12x g x +=在同一直角坐标系下的图像大致是（ ▲ ）3．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ▲ ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 4．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的 ( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()1,1=a ，()2,n =b ，若+=⋅a b a b ，则n = ( ▲ ) A ．3- B ．1- C ．1 D ．36．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=uu r uu r uu u r uu u r，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是 ( ▲ ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．347.函数f (x )=ln x –x2的零点所在的大致区间是 ( ▲ ) A ．(1, 2) B ．(2, 3) C ．(1,e1)和(3, 4) D ．(e, +∞)8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()0x f x ⋅<的解集为（▲） A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，9.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 （ ▲ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]310.b a x b a x f -++=2)2()(，)0(≥a ，且当]1,0[∈x 时恒有1)(≤x f ，则)1(-f 的最大值为（ ▲ ）A ．3B ．-3C ．6D ．-6 二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分. 11．计算222log 32+＝ ▲ .12. 方程||(cos1)1x a =+有两个根，则a 的范围为 ▲ . 13. ()cos 2sin ,[0,]2f x x x x π=+∈的值域为 ▲ .14．函数5()sin 1f x x x =++(x ∈R ),若()2f a =,则()f a -的值为 ▲ . 15．已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan θ= ▲ ．16．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ▲ ．17．已知向量(4,0),(2,2),AB AC ==u u u r u u u r则BC AC 与的夹角的大小为 ▲ .三、解答题：（10+10+10+12，共42分，请写出必要的解题步骤）18.（本题满分10分）设函数21()log 1xf x x-=+. （I ）讨论该函数的奇偶性。
高二下学期5月份月考试题及答案-数学
高二下学期5月份月考试题数 学注意事项或说明：1．答题前，请先将自己的姓名，考号，座位号在指定的位置填写清；2．选择题答案必须涂在答题卡上，填空题，解答题必须将答案写在题纸上，并按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效，不给分！！！参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率k n kk n n p P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：1．已知436mm C A =，则m 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ． 9 2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有（ ）A ．6个B ．12个C ．18个D ．30个3．设6622106)21(x a x a x a a x ++++=- ，则||||||610a a a +++ 的值为 （ ）A ．1B ．64C ．243D ．7294．3名老师随机从3男3女共6人中各带2名学生进行实验，其中每名老师各带1名男生 和1名女生的概率为（ ）A ．52B ．53C ．54 D ．109 5．在一块并排10垄的土地上，选择2垄分别种植A 、B 两种植物，每种植物种植1垄，为 有利于植物生长，则A 、B 两种植物的间隔不小于6垄的概率为（ ）A ．301B ．154 C ．152 D ．3016．某机械零件加工由2道工序组成，第一道工序的废品率为a ，第二道工序的废品率为 b ，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是（ ）A ．ab －a －b +1B ．1－a －bC ．1－abD ．1－2ab7．有n 个相同的电子元件并联在电路中，每个电子元件能正常工作的概率为0.5，要使整 个线路正常工作的概率不小于0.95，n 至少为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是（ ）A ．48B ．36C ．28D ．129．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的 命中率是（ ）A ．31B ．32 C ．41D ．5210．编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有 （ ）A ．10种B ．20种C ．30种D ．60种 11．将一个各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，其中恰好有2面涂有颜色的概率是 （ ）A ．916 B ．2764 C ．38 D ．113212．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）A ．90个B ．120个C ．180个D ．200个第Ⅱ卷（满分90分）二、填空题（16分）13．对于二项式（1－x ）1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000 ＝ －C 10001999x 999； ②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项； ④当x ＝2000时，（1－x ）1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上） 14．若以连续投掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在直线x +y =5下方的概率是________15．将正整数n 表示成k 个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n 分成k 个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n 划分成k 个部分的不同划分的个数记为P （n ，k ），则P （10，3）＝_________．16．将一枚硬币抛掷10次，至少连续5次出现正面的不同情况有________种（用数字作答）． 三、解答题17．（满分12分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ． （Ⅰ） 求文娱队的人数； （Ⅱ） 写出ξ的概率分布列．18．（本小题满分12分）某比赛的规则是5局3胜制，A 、B 两队每局比赛获胜的概率分别为23和13． （Ⅰ）前2局中B 队以2:0领先，求最后A 、B 队各自获胜的概率； （Ⅱ）B 队以3:2获胜的概率．19．（本小题满分12分）已知n a a)3(3-展开式的各项系数之和等于53)514(b b -的展开式中的常数项，求na a)3(3-展开式中1-a 项的二项式系数．20．（本题满分12分）化简：01212mn n n n m C C C C +++++++21．（本小题满分12分）在某次知识抢答赛的预赛中，甲乙两位同学分在同一小组，主持人给每个小组出四个必答题，每次只可由一位选手作答，每个小组只有答对不少于三道题才有资格进入决赛.已知对每道题，甲同学回答正确的概率为23，乙同学回答正确的概率为12.比赛规则规定可任选一位同学答第一题，如果某个同学回答正确，则仍由他继续回答下一道题，如果某个同学答错了，则下一题就由另一位同学来回答，且每个同学答题的行为是相互独立的。
高二数学下学期5月月考测试题(文)
高二数学下学期5月月考试题（文）一．选择题（每小题5分，共50分）：1．已知c ＜d, a ＞b ＞0, 下列不等式中必成立的一个是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a –c ＞b –dC ．ad ＜bcD ．a b c d>2. 设实数,a b 是满足0ab <的实数，则下列不等式成立的是（ ）ba b a A ->+.ba b a B -<+.ba b a C -<-.ba b a D +<-.3．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ）A.若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠B.若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠C.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则220a b +≠ D.若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则220a b +≠4．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-x yB ．191622=-y xC ．116922=-x yD ．116922=-y x 5．不等式3|52|9x ≤-<的解集为（ ） A.[2,1)[4,7)- B. (2,1](4,7]- C.(2,1][4,7)-- D. (2,1][4,7)-6．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．222y x =+ D ．y x x=+7．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-27C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值8．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--9.已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（A ）1x = （B ）1x =- （C ）2x = （D ）2x =-10．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）35分） 11．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________。
高二5月月考数学试题及答案
高二下期5月月考数学试题（时间：150分钟；满分：150分）第I 卷一、选择题（60分）1. 下列命题中不正确的个数是( ) ①终边不同的角的同名三角函数值不等； ②若sin α>0，则α是第一、二象限角；③若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2.A ．0B ．1C ．2D ．32.下列不等式中，正确的是( ) A ．tan 13π4<tan 13π5B ．sin π5>cos(－π7)C ．sin(π－1)<sin1°D ．cos 7π5<cos(－2π5)3. 已知|a |＝22，|b |＝3，a 、b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A ．152B ．152C ．7D ．84. 下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30°D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30° 5. 在△ABC 中，若4sin A ＋2cos B ＝1,2sin B ＋4cos A ＝33，则sin C 的大小是( ) A ．－12B ．32C ．12或32D ．126. 设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A ． 5B ．10C ．2 5D ．107. 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝2，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝60°，△ABC 的面积为33，那么b 等于( )A ．2 2B ．2 3C ． 3D ． 29. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n＝( )A ．5B ．6C ．7D ．810. 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．15211. 已知数列{a n }中的首项a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第三项是( )A ．1B ．12C ．34D ．5812.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、C ．若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A ． 6 B ．2 C ． 3D ． 2 第II 卷二、填空题。
山东省高二下学期5月月考数学试题(解析版)
高二质量检测联合调考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册，必修第一册第一、二章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）{}1A x x =>{}2230B x x x =-->A B ⋃=A.B. （1，3）()3,+∞C. D.()(),11,-∞-⋃+∞()(),13,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，然后再求两集合的并集即可.【详解】由，得，解得或， 2230x x -->(1)(3)0x x +->1x <-3x >所以或，{}{22301B x x x x x =-->=<-}3x >因为，{}1A x x =>所以， A B ⋃=()(),11,-∞-⋃+∞故选：C2. “”是“”的（ ）0b a >>()21a b a +>A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，则，所以，故充分性成立；0b a >>1b a +>()21a b a +>若，不妨令，，此时，，满足， ()21a b a +>1a =12b =()312a b +=21a =()21a b a +>但是，故必要性不成立；a b >故“”是“”的充分不必要条件．0b a >>()21a b a +>故选：B3. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，34思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ） 14A.B.C.D.14345818【答案】C 【解析】【分析】根据全概率公式即可求得答案.【详解】设张三从这4道填空题中随机选择1题，该题有思路为事件, 1A 该题思路不清晰为事件,2A 张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题为事件B ， 则,, 1231(),()44P A P A ==1231(|),(|)44P B A P B A ==由全概率公式可得，张三做对该题的概率为121122()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A ==+, 3311544448=⨯+⨯=故选：C4. 小明收集了五枚不同的铜钱，准备将其串成精美的挂件（如图），根据不同的排放顺序，不同的串法有（ ）A. 20种B. 25种C. 60种D. 120种【答案】D 【解析】【分析】利用排列数公式可求不同的串法总数.【详解】不同的串法总数即为5个不同铜钱的全排列，其大小为，55A 120=故选：D.5. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且(),(1,2,3,,10)i i x y i = ˆ20.4yx =-，去除两个样本点和后，新得到的回归直线方程斜率为3，则样本的残差为2x =(3,1)-(3,1)-(4,8)（ ） A. 0 B.C. 1D. 21-【答案】B 【解析】【分析】由回归方程求出，再求出新样本的平均数，，从而求出回归直线方程，再求出预测值，y x 'y 即可得到残差.【详解】将代入，， 2x =ˆ20.4yx =-220.4 3.6y =⨯-=去除两个样本点和后，所以，，， (3,1)-(3,1)-210582x ⨯'== 3.610982y ⨯'==95ˆ3322a=-⨯=-故去除样本点和后的回归直线方程为． (3,1)-(3,1)-ˆ33yx =-当时，，则样本的残差为． 4x =ˆ3439y=⨯-=(4,8)891-=-故选：B6. 已知函数在处取得极大值1，则的极小值为（ ） ()24ax bf x x +=+=1x -()f x A. 0 B. C. D.12-14-18-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得，求出，从而可求出和的解析式，再由的正负()()1011f f ⎧-=='⎪⎨⎪⎩,a b ()f x ()f x '()f x '求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值. 【详解】的定义域为，()f x R 由，得， ()24ax bf x x +=+()()222244ax bx a f x x --+'=+因为函数在x ＝－1处取得极大值1， ()24ax bf x x +=+所以，解得，()()()22410141114a b a f a b f -++⎧-='=⎪+⎪⎨-+⎪==⎪+⎩23a b =-⎧⎨=⎩所以，． ()2324x f x x -=+()()()()()2222221426844x x x x f x x x +---'==++令．解得或，令，解得， ()0f x ¢>>4x 1x <-()0f x '<14x -<<所以在和上单调递增，在上单调递减， ()f x (),1-∞-()4,+∞(1,4)-即在处取得极大值，在处取得极小值， ()f x =1x -4x =所以的极小值为． ()f x ()144f =-故选：C7. 流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有甲型流感”，则有，A C (|)0.9P A C =．现对自然人群进行普查，设被试验的人患有甲型流感的概率为0.005，即(|0.9P A C =()0.005P C =，则（ ） (|)P C A =A.B.C.D.9208192181227108【答案】A 【解析】【分析】求出，,，，由条件概率公式和全概率公式可得答案. ()|P A C ()|P A C ()P C ()P C 【详解】因为，所以, ()|0.9P A C =()()|1|0.1P A C P A C =-=因为，所以， ()0.005P C =()0.995P C =所以,()()()()()()()()()||||P AC P A C P C P C A P A P A C P C P A C P C ⋅==⋅+⋅．0.90.00590.90.0050.10.995208⨯==⨯+⨯故选：A.8. 已知函数恒成立，则的最小值为（ ） ()()2ln 310f x x ax bx =--+≤ba A.B.C. D. 1e1e-12e-13e-【答案】D 【解析】【分析】通过变形得到恒成立，构造函数和，将问题()ln 31x ax b x +≤+()()ln 31x g x x+=y ax b =+转化成直线恒不在图像的下方，用直线的横截距来表示，再结合图形即可得y ax b =+()g x bay ax b =+出结果.【详解】易知，因为恒成立，即恒成立， 0x >()()2ln 310f x x ax bx =--+≤()ln 31x ax b x+≤+令函数，则， ()()ln 31x g x x +=()()2ln 3x g x x-'=当时，，所以在区间上单调递增，10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '>()g x 1(0,3当时，，所以在区间上单调递减，且当时，，所以1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1(,)3+∞13x >()0g x >的图像如图所示，()g x因为恒成立，故当时，直线恒不在图像的下方，很明显()ln 31x ax b x+≤+,()0x ∈+∞y ax b =+()g x 当时不符合题意， a<0当时，令，得，所以当取得最小值时，直线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距最大， 0a >0ax b +=b x a =-ba令，得，如下图，当与在点处相切时，()0g x =13e x =()b y a x a =+()g x1,03e ⎛⎫⎪⎝⎭()ln 31x ax b x+≤+成立，且此时直线y ＝ax ＋b 的横截距最大，故的最小值是． b a 13e-故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在以下4幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系的是（ ）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系即可.【详解】A、B中各点都有线性拟合趋势，其中A样本数据正相关，B样本数据负相关；C中各点有非线性拟合趋势，D中各点分布比较分散，它们不具有线性相关.故选：AB10. 若随机变量X服从两点分布，且，则（）()14P X==A. B.()34E X=(23)3E X+=C. D.()316D X=()413216D X+=【答案】AC【解析】【分析】利用X服从两点分布，根据期望和方差的定义，可判断出AC的正误；再利用期望和方差的运算性质即可判断出BD的正误.【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，故，()14P X==()314P X==所以，，故AC正确，()13301444E X=⨯+⨯=()221333301444416D X⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，，故BD错误．()()3923232342E X E X+=+=⨯+=()()32732991616D X D X+==⨯=故选：AC.11. 已知函数，非零实数，，，满足，()1e xf xx=-0x1x2x3x123x x x<<()()()123f x f x f x⋅⋅<，，则下列结论可能成立的是（）()f x=A. B.123001x x x x<<<<<1230x x x x<<<<C. D.120301x x x x <<<<<10230x x x x <<<<【答案】ABD 【解析】【分析】利用函数的定义域、特殊点的函数以及导数、零点存在定理研究函数的大致图象，根据已知结合图象进行判断.【详解】因为f （x ）的定义域为，， ()(),00,∞-+∞U ()21e 0xf x x '=+>所以f （x ）在上单调递增，在上单调递增， (),0∞-()0,∞+当时，f （x ）>0，且，f （1）＝e －1>0， (),0x ∈-∞1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭所以存在，使得．故C 错误． 01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00f x =f （x ）的图象如图所示：因为，所以或 ()()()1230f x f x f x ⋅⋅<123001x x x x <<<<<12300x x x x <<<<或或．故ABD 正确. 12030x x x x <<<<10230x x x x <<<<故选：ABD.12. 已知定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且R ()f x ()g x ()f x '()g x '1()2x f x g x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 为偶函数，为奇函数，则（ ） (1)g x '+A. B. (1)1f '=142g ⎛⎫'=⎪⎝⎭C. D.322g ⎛⎫'=⎪⎝⎭(2)4g '=【答案】ACD 【解析】【分析】根据，故，利用的对称性结合赋值法可求1()2x f x g x +⎛⎫=+⎪⎝⎭11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()g x '及，故可判断A 的正误，又我们可以得到，赋值后可求(1)0g '=(1)1f '=()2(21)2g x f x ''=--，故可判断B 的正误，最后再结合的对称性可得的值，故可判断CD 的正误. 12g æö¢ç÷ç÷èø()g x '3((2)2g g ''【详解】因为为奇函数，所以 ①，(1)g x '+(1)(1)0g x g x ''-+++=的图象关于点对称，则．()g x '(1,0)(1)0g '=而，则，A 正确． 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭1(1)(1)112f g ''=+=因为为偶函数，所以，则，即，()f x ()()f x f x -=()()f x f x ''--=()()0f x f x ''+-=故的图象关于原点对称，．()f x '(0)0f '=因为，所以， 11()122x f x g +⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭()2(21)2g x f x ''=--，B 错误．112212222g f ⎛⎫⎛⎫''=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为的图象关于点对称，所以，C 正确．()g x '(1,0)31222g g ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又， []11()2(2)(2)4422g x g x f x f x ⎛⎫''''-++=+--=-⎪⎝⎭故的图象关于点对称，所以 ②． ()g x '1,22⎛⎫-⎪⎝⎭(1)()4g x g x ''++-=-由①②可得即， (1)(2)4g x g x ''+-+=-(1)()4g x g x ''+-=所以，D 正确． (2)4(1)4g g ''=+=故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.的最小值为______． +【答案】 3【解析】【分析】整理式子利用基本不等式求解即可.，10+>， 1113=++-≥=当且仅当a ＝1时，等号成立． 故答案为：314. 在一次高二数学联考中，某校数学成绩．已知，则从全校学()2~80,X N σ(6080)0.25P X ≤≤=生中任选一名学生，其数学成绩小于100分的概率为________．【答案】0.75## 34【解析】【分析】利用正态分布的对称性以及给定的概率可求解. 【详解】因为，()2~80,X N σ所以，， (6080)(80100)0.25P X P X ≤≤=≤≤=(80)0.5P X <=所以. (100)0.50.250.75P X <=+=故答案为：0.75.15. 已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合，则()y f x =(0,0)()f x y x=(2,1)(2)f '=________． 【答案】 2【解析】【分析】由点在曲线上得出，切线过点，，得出切线的斜率为，(2,1)()f x y x=(2)2f =(0,0)(2,1)12即，继而得出结果. 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==【详解】因为点在曲线上， (2,1)()f x y x=所以，即． (2)12f =(2)2f =因为切线过点，， (0,0)(2,1)所以这条切线的斜率为． 12设，则，()()f x g x x=2()()()xf x f x g x x '-'=，解得． 22(2)(2)1(2)22f fg '-'==(2)2f '=故答案为：216. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A ，B ，C 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A 受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是______． 【答案】266 【解析】【分析】这是一道有限制的分配问题，先将6支救援队分成三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，利用排列、组合进行计算求解，再减去不满足的情况数.【详解】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1142654222C C C A 30A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种，2242C A 12⋅=所以有N 1＝30－12＝18种不同的安排方法；若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法，1231265322C C C C A 240=其中甲、乙去同一个地方的有种， ()1111244322C +C C C A 64=所以有N 2＝240一64＝176种不同的安排方法；若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A ，B ，C 三个受灾点，共有种不同的安排方法， 1223642333C C C A 90A ⋅=其中甲、乙去同一个地方的有种， 22342322C C A 18A ⋅=所以有N 3＝90－18＝72种不同的安排方法． 故共有N ＝N 1＋N 2＋N 3＝266种不同的安排方法． 故答案为：266.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知二项式展开式中只有第6项的二项式系数最大． ()na b +（1）求n ；（2）若a ＋b ＝4，求除以3的余数． ()7na b ++【答案】（1）10 （2）2【解析】【分析】（1）根据二项式定理中二项式系数的单调性与最值进行判断求解. （2）利用第（1）的结论以及二项式定理的展开式计算求解. 【小问1详解】由题意可得，展开式中有11项，所以n ＝10． 【小问2详解】由（1）得：n ＝10，又a ＋b ＝4，所以()()101019289101010101073173C 3C 3C 3C 7na b ++=++=+⨯+⨯++⨯++ ．10192891010103C 3C 3C 38=+⨯+⨯++⨯+ 故所求的余数为2．18. 保护知识产权需要将科技成果转化为科技专利，这样就需要大量的专利代理人员从事专利书写工作，而物理方向的研究生更受专利代理公司青睐．通过培训物理方向的研究生，他们可以书写化学、生物、医学等方面的专利，而其他方向的研究生只能写本专业方面的专利．某大型专利代理公司为了更好、更多地招收研究生来书写专利，通过随机问卷调查的方式对物理方向的研究生进行了专利代理方向就业意向的调查，得到的数据如下表：喜欢专利代理方向就业不喜欢专利代理方向就业男研究生 60 40女研究生8020（1）用频率近似概率，估计从物理方向的研究生中任选人，求至少有人喜欢专利代理方向就业的概32率；（2）根据的独立性检验，能否认为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联？ 0.005α=附临界值表及参考公式：α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.8416.6357.87910.828，．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++【答案】（1）98125（2）物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联 【解析】【分析】（1）计算出物理方向的研究生中每人喜欢专利代理方向就业的概率，再结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）提出零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联，计算出的观测0:H 2χ值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】解：由调查问卷知，名物理方向的研究生中有名喜欢专利代理方向就业， 200140所以估计物理方向的研究生喜欢专利代理方向就业的概率为． 710从物理方向的研究生中任选人，设喜欢专利代理方向就业的人数为，3X 则， ()2323737982C 101010125P X ⎛⎫⎛⎫≥=⨯⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即估计从物理方向的研究生中任选人，至少有人喜欢专利代理方向就业的概率为． 3298125【小问2详解】解：零假设为物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别没有关联．0:H ，()22200408020602009.5247.8791406010010021χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以根据的独立性检验，可以推断不成立，0.005α=0H 所以物理方向的研究生专利代理方向就业意向与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于．0.00519. 已知函数．()24x f x =（1）求曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程； (4,(4))f （2）若恒成立，求a 的取值范围． ()f x a ≥【答案】（1）7x －4y －20＝0（2）．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）利用导数求出函数的单调性得出最小值，即可求出的取值范围. a 【小问1详解】()2x f x '=- ，f （4）＝2． ()744f '∴=则曲线y ＝f （x ）在点处的切线方程为， (4,(4))f ()7244y x -=-即7x －4y －20＝0． 【小问2详解】，()f x '=令函数，． ()1g x =()0g x '=≥所以g （x ）在上单调递增．()0,∞+因为，所以当时，，即， (1)0g =1x >10>()0f x ¢>当时，，即，01x <<10<()0f x '<所以f （x ）在上单调递减，在上单调递增，(0,1)()1,+∞则． ()()314f x f ≥=-因为恒成立，所以． ()f x a ≥34a ≤-故a 的取值范围为．3,4∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦20. 某商家为了促销某商品，制作了一些卡片，卡片共有3种不同的颜色，顾客每次消费满额都随机赠送1张某种颜色的卡片，集齐3张相同颜色的卡片即可兑换该商品一件． （1）求某顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片的概率；（2）设某顾客消费满额次后刚好集齐3张相同颜色的卡片，求的分布列及期望． X X 【答案】（1）23（2）分布列见解析， 409()81E X =【解析】【分析】（1）用古典概型的方法求解；（2）按求分布列的步骤进行求解，进而可求期望. 【小问1详解】顾客消费满额4次后仍未集齐3张相同颜色的卡片包括两种情况： ①4张卡片中有两张同颜色，另外两张各一种颜色； ②4张卡片中有两张同颜色，另外两张也同另一种颜色，故所求概率为． 12122342344C C C C C 233+=【小问2详解】的取值可能为3，4，5，6，7．X ，，331(3)39P X ===1113234C C C 2(4)39P X ===， 1211213423425C C C C C C 8(5)327P X +===，． 112135426C C C C 20(6)381P X ===2216437C C C 10(7)381P X ===的分布列为XX 3 4 5 6 7P 19 29827 20811081．1282010409()345679927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=21. 高尔顿板又称豆机、梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃．让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为1，2，…，6的球槽内．（1）某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动．凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会．若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中．若该商品的成本价X Y 205Y X =-是10元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价．（结果取整数） （2）将79个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？附：设随机变量，则的分布列为，．~(,)B n p ξξ()C (1)k k n kn P k p p ξ-==-0,1,2,,k n =L ．111C (1)()(1)1(1)C (1)(1)k k n k n k k n k n p p P k n p k P k p p k p ξξ----+-=+-==+=---【答案】（1）15元 （2）3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．【解析】【分析】（1）确定的可能取值，利用独立事件乘方公式求对应概率，根据确定的可能X |205|Y X =-Y 取值，进而求对应概率，然后求的期望，即可得最低定价． Y （2）由题意知小球落入3号球槽的个数，利用不等式法求最大概率对应值即可. 5~79,16B ξ⎛⎫⎪⎝⎭ξ【小问1详解】的取值可能为1，2，3，4，5，6．X ，， 511(1)(6)232P X P X ⎛⎫===== ⎪⎝⎭415115(2)(5)C 2232P X P X ⎛⎫====⨯⨯= ⎪⎝⎭．2325115(3)(4)C 2216P X P X ⎛⎫⎛⎫====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以的取值可能为0，5，10，15．|205|Y X =-Y，， 5(0)(4)16P Y P X ====15(5)(3)(5)32P Y P X P X ===+==，． 3(10)(2)(6)16P Y P X P X ===+==1(15)(1)32P Y P X ====的分布列为YY 0 5 10 15P 516 1532 316 132， 5153175()051015 4.71632163216E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=≈则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是10元， 所以该商品的最低定价约为15元． 【小问2详解】 由（1）得． 5(3)16P X ==进行79次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则．ξ5~79,16B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5(791)()251611115(1)11616kP k k k P k k ξξ+⨯-=-=+=+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，，即；25k <()1(1)P k P k ξξ=>=-()(1)P k P k ξξ=>=-当时，，即； 25k =()1(1)P k P k ξξ===-()(1)P k P k ξξ===-当时，，即． 25k >()1(1)P k P k ξξ=<=-()(1)P k P k ξξ=<=-所以当时，，此时这两项概率均为最大值． 25k =(25)(24)P P ξξ===故3号球槽中落入24或25个小球的概率最大．22. 已知函数.e 1()x f x x-=（1）求函数的单调区间；()f x （2）证明：当时，. 0x >()()ln 1f x x x >+【答案】（1）单调递增区间是和(,0)-∞(0,)+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）确定函数定义域，求导得到导函数，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值确定恒成立，得到答案.()0f x ¢>（2）构造函数，求导得到导函数，将导函数设为新函数，再次求导，将导函数设为2e 1()14x x h x x -=--新函数，再次求导，利用隐零点代换得到的单调区间，计算最值得到，再构造函数()h x 2e 114x xx ->+，同理得到，得到证明. ()ln(1)14x F x x =+--ln(1)14xx +<+【小问1详解】函数的定义域为，. ()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()2(1)e 1x x f x x-+'=令函数，.()(1)e 1xg x x =-+()e xg x x '=当时，，在上单调递减； 0x <()0g x '<()g x (,0)-∞当时，，在上单调递增， 0x >()0g x '>()g x (0,)+∞所以，即恒成立， ()(0)0g x g ≥=()0f x ¢>故的单调递增区间是和. ()f x (,0)-∞(0,)+∞【小问2详解】当时，，即当时，. 0x >()ln(1)f x x x >+0x >2e 1ln(1)x x x ->+令，， 2e 1()14x xh x x -=--331(2)e 24()x x x h x x -+-'=令，， 31()(2)e 24xx x x μ=-+-23()(1)e 4x x x x μ'=--令，.23()(1)e 4x x x x ϕ=--3()e 2x x x ϕ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当时，，在上单调递减；30ln 2x <<()0x ϕ'<()ϕx 30,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，在上单调递增，3ln2x >()0x ϕ'>()ϕx 3ln ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭又，， (0)10ϕ=-<2(2)e 30ϕ=->所以存在，使得.0(0,2)x ∈0()0x ϕ=当时，；当时，， 00x x <<()0x ϕ<0x x >()0x ϕ>所以在上单调递减，在上单调递增.()x μ0(0,)x 0(,)x +∞，故当时，；当时，，(0)(2)0μμ==02x <<()0x μ<2x >()0x μ>即当时，；当时，， 02x <<()0h x '<2x >()0h x '>故在上单调递减，在上单调递增.()h x (0,2)(2,)+∞于是，所以.22e 7 2.77()(2)044h x h --≥=>>2e 114x xx ->+令函数，.()ln(1)14xF x x =+--3()4(1)x F x x -'=+当时，；当时，， 03x <<()0F x '>3x >()0F x '<所以在上单调递增；在上单调递减， ()F x (0,3)(3,)+∞则. 7()(3)ln 44F x F ≤=-因为，所以，故，7342e e 4>>=>7ln 44>()(3)0F x F ≤<得. ln(1)14x x +<+综上所述：当时，.0x >()ln(1)f x x x >+【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为和是解题的关键，证明不等式2e 114x xx ->+ln(1)14x x +<+引入中间函数是一个重要技巧，需要熟练掌握.。
高二数学周末试题及答案
高二数学周末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = xD. y = -x答案：C2. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
A. 1B. -1C. 5D. -5答案：A3. 集合{1, 2, 3}与{2, 3, 4}的交集是：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}答案：B4. 已知数列{an}满足a1 = 1，an = 2an-1 + 1，求a3的值。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列{an}的公差为3，首项为2，求第五项a5的值。
答案：176. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(3)的值。
答案：-17. 已知复数z = 3 + 4i，求z的共轭复数。
答案：3 - 4i8. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25，求圆心坐标。
答案：(2, -3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 解方程：2x^2 - 5x + 2 = 0。
答案：x = 2 或 x = 1/210. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 - 6x11. 已知等比数列{bn}的公比为2，第二项b2 = 4，求第一项b1。
答案：b1 = 212. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
答案：f(π/4) = √213. 已知向量a = (3, -4)，b = (-2, 1)，求向量a与向量b的点积。
答案：a·b = -1114. 已知三角形ABC，角A = 60°，边a = 2，边b = 3，求边c的长度。
答案：c = √7四、证明题（每题10分，共20分）15. 证明：若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2√(ab)。
高二数学参考答案及评分标准
2022～2023学年5月联合质量测评试题高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.C2.A3.A4.B5.D6.B7.D8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.CD 10.ABC 11.ABD 12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.-15.312 16.813.2 14.1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.所以26320=++⨯n m ，即263=+n m ．① ………-2分 因为121=++n m ，所以21=+n m ．② (3)联立①，②解得61,31==n m ． ………4分(2)1(0)2P X >=，依题意知13,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………5分 故()311028P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， (6)()2131131228P Y C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………7分()2231132228P Y C ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭， ………8分()311328P Y ⎛⎫===⎪⎝⎭． ………9分故Y 的概率分布列为………10分Y 的数学期望为()13313012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………11分Y 的方差为3113)(=⨯⨯=Y D . ………12分 ）函数f x=）解：()log22.解:(1)设七月份这种饮品的日需求量为X ，则X 的可能取值有300,200,100， 由题意知()3000.6P X ==，()2000.2P X ==，()1000.2P X ==， ………2分 所以()3000.62000.21000.2240E X =⨯+⨯+⨯=， ………3分 故七月份这种饮品一天的平均需求量为240瓶. ………4分 (2)当30C 35C T ≤<时，日利润()()420020012600200300y n n n n =⨯+-⨯-=-≤≤； 当35C T ≥时，日利润()523200300y n n n n =-=≤≤. ………5分 由题意知七月份某一天的最高气温30C T ≥的概率10.20.8p =-=， 所以30C 35C T ≤<的概率10.210.84p ==，35C T ≥的概率20.630.84p == ………6分 设这三天销售这种饮品的总利润为Y ，若这三天的最高气温都满足35C T ≥，则9Y n =，()3323279464P Y n p ⎛⎫==== ⎪⎝⎭； ………7分若这三天中有两天的最高气温满足35C T ≥，一天的最高气温满足30C 35C T ≤<，则236005600Y n n n =⨯+-=+，()22232131275600C 34464P Y n p p ⎛⎫=+=⋅⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ………8分若这三天中有一天的最高气温满足35C T ≥，两天的最高气温满足30C 35C T ≤<， 则()326001200Y n n n =+-=+，()212132133191200C C 4464P Y n p p ⎛⎫=+=⋅⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ………9分若这三天的最高气温都满足30C 35C T ≤<，则18003Y n =-，()3311118003464P Y n p ⎛⎫=-===⎪⎝⎭. ………10分 所以Y 的分布列如下表所示：………11分故()()()()27279195600120018003645064646464E Y n n n n n =⨯++⨯++⨯+-⨯=+，其中200300n ≤≤. ………12分。
高二数学5月月考试题 文含解析 试题
第五中学2021-2021学年高二数学5月月考试题 文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分,在每一小题的四个选项里面只有一个符合题目要求，请把答案填在答题卡的答题框中〕1. 〕．A. 是有理数B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否认成立，而命题考点：反证法．2.椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的HY 方程为221916x y +=，所以所以e ＝4.故答案为：A【点睛】(1) 此题主要考察参数方程和普通方程的互化，考察椭圆的简单几何性质，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能. (2)在椭圆中，222,.cc a b e a=-=3.给出下面类比推理命题〔其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集〕： ①“假设,a b R ∈，那么0a b a b -=⇒=〞类比推出“,a b C ∈，那么0a c a c -=⇒=〞；②“假设,,,a b c d R ∈，那么复数,a bi c di a c b d +=+⇒==〞类比推出“,,,a b c d Q ∈，那么,a c a c b d +=+==〞；③“假设,a b R ∈，那么0a b a b ->⇒>〞类比推出“假设,a b C ∈，那么0a b a b ->⇒>〞；④“假设x R ∈，那么111x x <⇒-<<〞类比推出“假设z C ∈，那么111z z <⇒-<<〞；其中类比结论正确的个数有〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】很明显命题①②正确，对于命题③，当32,22a i b i =+=+时，0a b ->，但是无法比拟,a b 的大小，原命题错误；对于命题④，假设1122z i =+，那么12z ==<，但是无法比拟z 与1,-1的大小，原命题错误；综上可得，类比结论正确个数为2.此题选择B 选项.点睛：在进展类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被外表现象所迷惑；否那么只抓住一点外表现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．4.以下推理合理的是( )A. ()f x 是增函数，那么()'0f x >B. 因为(),a b a b R >∈，那么+2 i>+2 i(i a b 是虚数单位)C. ,αβ是锐角ABC ∆的两个内角，那么sin cos αβ>D. A 是三角形ABC 的内角，假设cos 0A >，那么此三角形为锐角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】举例3()f x x =，可判断A ，根据虚数不能比拟大小，可判断B ，根据诱导公式，可判断C ，根据三角形的分类，可判断D 。
高二数学5月试题 理含解析 试题
2021-2021学年度下学期高二下5月份考试卷数学一、选择题。
z 满足(34)25i z -=,那么z =( )A. 34i --B. 34i -+C. 34i -D. 34i +【答案】D 【解析】试题分析：由()3425i z -=得()()()25342534343434i z i i i i +===+--+，应选D ． 考点：复数运算．2.用反证法证明：假设整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，以下假设正确的选项是〔 〕A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否认，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否认，所以用反证法证明命题：“假设整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数〞时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数〞，应选B 。
【点睛】此题主要考察了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否认是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题。
3.【2021高考，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔 〕 〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=。
〕A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%【答案】B 【解析】 试题分析：由题意13368.26%6695.44%3695.44%68.26%13.59%2P P P （＜＜），（＜＜），（＜＜）（）．ξξξ-=-=∴=-= 应选B ． 考点：正态分布4.84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是〔 〕 A. 56 B. 84C. 112D. 168【答案】D 【解析】因为8(1)x +的展开式中2x 的系数为28C ，4(1)y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284168C C =.应选D.【考点定位】二项式定理x 〔单位厘米〕和身高y 〔单位厘米〕的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．101225i i x ==∑，1011600ii y==∑，ˆ4b=．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为〔 〕 A. 160 B. 2F BC. 166D. 170【答案】C 【解析】由22.5,160,160422.570,42470166ˆx y ay ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【名师点睛】〔1〕判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：〔1〕利用散点图直观判断；〔2〕将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进展判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．4cos x y x e =-的图象可能是〔 〕A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】计算函数与y 轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【详解】当x ＝0时，y ＝4﹣1＝3＞0，排除C ，当π>x>0时，4cos xy x e =-是单调递减的，当x>π时，导函数为-4sinx-π4x e e <-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，应选A. 应选：A ．【点睛】此题考察了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于根底题．7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术〞，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---求得，其中p 为三角形周长的一半，有一个三角形的边长满足12a b +=，8c =那么此三角形面积的最大值为〔 〕 A. 45 B. 5C. 15D. 15【解析】解：由题意可得：10,22a b cp p c ++==-= ，三角形的面积： ()()()()()222010220208522p a p b a b S p a p b ⎡⎤⎡⎤-+--+=⨯⨯-⨯-≤=⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当6a b == 时等号成立， 综上可得，此三角形面积的最大值为815 . 此题选择B 选项.8.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色〔允许只用其中几种〕，使邻区〔有公一共边的小格〕不同色，那么不同的涂色方式种数为〔 〕A. 24B. 36C. 72D. 84【答案】D 【解析】试题分析：选两色有24C 种，一色选择对角有2种选法，一共计24212C =种；选三色有34C 种，其中一色重复有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，一共计432248⨯⨯⨯=种；四色全用有4!24=种〔因,,,A B C D 为固定位置〕，合计84种． 考点：排列组合．9.某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是〔 〕【解析】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良〞，B =“第二天空气质量也为优良〞，由题意可知()()0.75,0.6P A P A B =⋂=,所以()()()4|5P A B P B A P A ⋂==，应选A. 考点：条件概率．R 上的奇函数()f x ，设其导函数为'()f x ，当(,0]x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令()()F x xf x =，那么满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是〔 〕A. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. (1,2)-C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. (2,1)-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和条件，通过导函数判断函数()F x 的单调性，利用函数的奇偶性和 单调性解不等式即可． 【详解】()f x 是奇函数，∴不等式()()xf x f x '<-，等价为()()xf x f x '<-，即()()0xf x f x '+<， ()()F x xf x =， ()()()F x xf x f x ∴'='+，即当(x ∈-∞，0]时，()()()0F x xf x f x '='+<，函数()F x 为减函数，()f x 是奇函数，()()F x xf x ∴=为偶数，且当0x >为增函数．即不等式F 〔3〕(21)F x >-等价为F 〔3〕(|21|)F x >-， |21|3x ∴-<， 3213x ∴-<-<，即224x -<<， 12x ∴-<<，即实数x 的取值范围是(1,2)-， 故答案为：B ．【点睛】此题主要考察函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决此题的关键，综合考察了函数性质的应用．11.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同．现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛工程是〔 〕 A. 跑步比赛 B. 跳远比赛C. 铅球比赛D. 无法判断【答案】A 【解析】分析：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛. 应选：A.点睛：此题考察合情推理，考察学生分析解决问题的才能.()f x 的导函数'()f x 满足(ln )'()()x x x f x f x +<对1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭恒成立，那么以下不等式中一定成立的是〔 〕 A. 2(1)()f f e < B. 2(1)()e f f e > C. 2(1)()f f e > D. (1)()ef f e <【答案】C 【解析】 【分析】令()()1f x g x lnx =+，可得21()(1)()()0(1)f x lnx f x x g x lnx '+-'=<+．可得()g x 在1(e ，)+∞递减，即可求解．【详解】由()()()x xlnx f x f x +'<，1(x e∈，)+∞，得1(1)()()0lnx f x f x x+'-<， 令()()1f x g x lnx =+，那么21()(1)()()0(1)f x lnx f x xg x lnx '+-'=<+． ∴故()g x 在1(e，)+∞递减；g ∴〔e 〕g <〔1〕，即()(1)21f e f f <⇒〔e 〕2f <〔1〕． 应选：C ．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法、等价转化方法，考察了推理才能与计算才能，属于难题．二、填空题(把答案填在题中的横线上)13.随机变量X 服从二项分布B ～〔n ，p 〕，假设E 〔X 〕=30，D 〔X 〕=20，那么P=__________． 【答案】13【解析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 解：随机变量X 服从二项分布B 〔n ，p 〕，假设E 〔X 〕=30，D 〔X 〕=20， 可得np=30，npq=20，q=，那么p=， 故答案为：．点评：此题考察离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考察计算才能．(2224x x dx --⎰得__________．【答案】2π. 【解析】分析：根据定积分的定义分别221dx -⎰和224x dx --，求和即可.详解：2224x dx --表示以〔0，0〕为圆心，以2为半径的半径.故2242x dx π--=⎰∴(22222222221414|242xdx dx x dx x ππ-----=+-=+=+⎰⎰.故答案为：42π+. 点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强． (2)利用微积分根本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,那么a= ．【答案】8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1yax a x 的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线〔切线〕得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线〔曲线〕方程便可求得参数．22,(0)()3,(0)x a x f x x ax a x ⎧-≤=⎨-+>⎩，有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】4,19⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由题意可得需使指数函数局部与x 轴有一个交点，抛物线局部与x 轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a 的不等式，解之可得答案． 【详解】由题意可知：函数图象的左半局部为单调递增指数函数的局部， 函数图象的右半局部为开口向上的抛物线，对称轴为x=32a，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的局部向下平移到与x 轴相交， 由指数函数过点〔0，1〕，故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x 轴由两个交点，故最低点241(3)41a a ⨯⨯--⨯＜0，解得a ＜0或者a ＞49，综合可得49＜a≤1， 故答案为：49＜a≤1 【点睛】函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)别离参数法：先将参数别离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题(解容许写出文字说明、解答过程或者演算步骤。
高二数学下学期5月月考试题 理含解析 试题
云天化中学2021-2021学年高二数学下学期5月月考试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合2[1,2],{|1,}M N y y x x M =-==+∈，那么M N =〔 〕A. [1,2]B. [1,5]C. [0,5)D. [-1,2]【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数值域求解方法求出集合N ，根据交集定义求得结果.【详解】[]1,2M =- {}[]21,1,5N y y x x M ∴==+∈=[]1,2M N ∴⋂=此题正确选项：A【点睛】此题考察集合运算中的交集运算，涉及到二次函数值域的求解，属于根底题. 2.复数1013ii+的一共轭复数的虚部为〔 〕 A. 1 B. 3C. 3-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算、一共轭复数的定义求得一共轭复数，从而可知虚部.【详解】()()()1013103131313i i i i i i i -==+++- 1013i i∴+的一共轭复数为：3i - ∴虚部为：1-此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的除法运算、一共轭复数的求解、复数的实部和虚部的定义，属于根底题.3.以下四个命题为真命题的是A. “假设0a+b=，那么,a b 互为相反数〞的逆命题；B. “全等三角形的面积相等〞 的否命题；C. “假设1c ≤，那么220x x c ++=无实根〞的逆否命题；D. “不等边三角形的三个内角相等〞的逆命题； 【答案】A 【解析】 【分析】根据四种命题的定义依次得到四个选项里面的命题，并判断真假，从而得到结果. 【详解】选项A 的逆命题为“假设,a b 互为相反数，那么0a b +=〞，为真命题；选项B 的否命题为“不全等三角形的面积不相等〞，不全等三角形的面积也可以相等，为假命题； 选项C 的逆否命题为“假设220x x c ++=有实根，那么1c >〞，当220x x c ++=有实根，那么440c ∆=-≥，解得1c ≤，可知为假命题；选项D 的逆命题为“假设三角形的三个内角相等，那么该三角形是不等边三角形〞，显然为假命题. 此题正确选项：A【点睛】此题考察四种命题的求解和辨析，关键是可以准确的根据原命题求解出其他三个命题，属于根底题.4.袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是〔 〕 A.13B.37C.16D.12【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式可分别求得“第一次抽到红球〞和“第一次和第二次都抽到红球〞的概率，利用条件概率公式求得结果.【详解】记“第一次抽到红球〞为事件A ；记“第二次抽到红球〞为事件B()141747C P A C ∴==，()1143117627C C P AB C C == ()()()217427P AB P B A P A ∴===此题正确选项：D【点睛】此题考察条件概率的求解问题，属于根底题.5.向量(1,1)a =-，向量(1,2)b =-，假设a b μ+与a b -垂直，那么μ=〔 〕 A. 1-B. 1C.85D. 58-【答案】C 【解析】 【分析】利用坐标运算求得a b μ+和a b -，根据向量垂直关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意知：()1,2a b μμμ+=--+，()2,3a b -=-a b μ+与a b -垂直 ()()()()21320a b a b μμμ∴+⋅-=---+=解得：85μ=此题正确选项：C【点睛】此题考察向量垂直的坐标表示，关键是明确向量垂直时，两个向量的数量积为零，属于根底题.6.设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=++++，那么20191222019222a a a ++⋯+的值是〔 〕 A. 2 B. 0C. 1-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】 分别令0x =和12x =即可求得结果. 【详解】()201922019012201912x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+令0x =，可得：01a = 令12x =，可得：2019122201901222a a a =+++⋅⋅⋅+ 201912220191222a a a ∴++⋅⋅⋅+=- 此题正确选项：C【点睛】此题考察二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.7.假设直线2=0x y --与圆22()2x a y -+=相切，那么a 等于〔 〕 A. 0或者4 B. 0或者4-C. 1或者3D. 1-或者3【答案】A 【解析】【分析】由圆的方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切可知圆心到直线间隔 等于半径，构造方程解得结果. 【详解】由题意知：圆心为(),0a，半径r =直线与圆相切 ∴圆心到直线间隔：d ==即：22a -=，解得：0a =或者4 此题正确选项：A【点睛】此题考察根据直线与圆相切求解参数值的问题，关键是明确直线与圆相切时圆心到直线的间隔 等于半径.8.射线4(0)y x x =≥与曲线3y x =所围成的图形的面积为〔 〕 A. 2 B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】射线与曲线方程联立可求得交点坐标，利用积分的知识可求得结果.【详解】将射线方程与曲线方程联立34y xy x =⎧⎨=⎩，解得：1100x y =⎧⎨=⎩，2228x y =⎧⎨=⎩ 即射线()40y x x =≥与曲线3y x =有两个公一共点所围成的图形的面积为()223240014244x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰此题正确选项：B【点睛】此题考察曲边梯形面积的求解问题，关键是可以求得交点坐标后，利用定积分的知识来求解.9.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球的体积是〔〕A.2 33C. 3πD. 3π【答案】B【解析】【分析】直接利用三视图转换为几何体，可知该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．进一步求出几何体的外接球半径，最后求出球的体积．【详解】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径222111322r++==，那么：3433322Vππ⎛⎫=⋅⋅=⎪⎪⎝⎭.应选：B．【点睛】此题考察了三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察数学运算才能和转换才能.10.设函数()cos 222f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，那么以下结论正确的个数是〔 〕 ①2π-为()f x 的一个周期； ②()y f x =的图像关于直线2x π=对称；③()f x 的一个零点为4x π=;④()f x 的最大值为2. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】将函数整理为：())1cos 2f x x =；求出最小正周期为π，可知2π-是周期，①正确；当2x π=时，函数取最小值，②正确；当4x π=时，()0f x =1，④错误，由此可得结果.【详解】())cos 22cos 221cos 22f x x x x x x π⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭()f x ∴的最小正周期为：22ππ=，2π∴-是()f x 的周期，①正确；当2x π=时，())1f x =-，为最小值，()f x ∴的图象关于直线2x π=对称，②正确；当4x π=时，()0f x =，()f x ∴的一个零点为4x π=，③正确；由于()f x 1+，故④错误. 此题正确选项：C【点睛】此题考察三角函数有关命题的判断，涉及到周期、对称轴、零点、最值的判断，综合考察三角函数局部的知识掌握情况.11.抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3,6，2-，那么,,A B C 三点的横坐标之和为〔 〕 A.149B.79C.1427D.2827【答案】A 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，利用两点连线斜率公式可求出纵坐标之间关系为：1230y +y +y =，进而可求得三点的纵坐标，代入抛物线方程即可求得结果.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y那么1212221212124344AB y y y y k y y x x y y --====-+-，可得：12y y +43=； 同理可得：2331424,2632y y y y +==+==-- 三式相加得：1230y +y +y = 故与前三式联立得：123y =-，22y =，343y =- 211149y x ∴==，22214y x ==，233449y x ==123149x x x ∴++=此题正确选项：A【点睛】此题考察两点连线斜率公式的应用、抛物线方程的简单应用问题，关键是可以通过斜率公式建立起抛物线上点的纵坐标之间的关系.12.假设定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x =f +x -，且当1x <时，()xxf x e =，那么满足(1)()f a ->f a 的a 的取值范围是〔 〕A. (2,)+∞B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. (3,)+∞D. 3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据()()11f x f x -=+可知函数关于直线1x =对称；利用导数可判断出函数在(),1-∞上单调递增；利用对称性知函数在()1,+∞上单调递减；利用函数值的大小关系可得与自变量有关的不等式，解不等式求得结果. 【详解】()()11f x f x -=+ ()f x ∴关于直线1x =对称当1x <时，()x x f x e =，那么()210x x x x e xe xf x e e--'==>()f x ∴在(),1-∞上单调递增由对称性可知：函数()f x 在()1,+∞上单调递减 假设()()1f a >f a -，那么：111a a --<- 解得：32a >，即3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察函数单调性、对称性的综合应用问题，关键是可以根据函数的性质将函数值之间的比拟转变为函数自变量的关系，从而得到与参数有关的不等式.第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13.实数,x y 满足103030x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，那么22z x y =+的最大值是__________．【答案】13 【解析】 【分析】根据约束条件得到可行域，根据22z x y =+的几何意义可知当过()2,3B 时，z 取最大值，代入求得结果.【详解】实数,x y 满足103030x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩的可行域，如下图：其中()2,3B目的函数22z x y =+的几何意义是可行域内的点到坐标原点间隔 的平方 由图形可知仅在点()2,3B 获得最大值 max 4913z ∴=+= 此题正确结果：13【点睛】此题考察线性规划求解最值的问题，关键是明确平方和型目的函数的几何意义，利用几何意义求得最值.14.程大位是明代著名数学家，他的?新编直指算法统宗?是中国历史上一部影响宏大的著作，卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面7个，问该假设干？〞，如图，是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为__________．【答案】84 【解析】 【分析】按照程序框图运行程序，直到满足7i ≥时输出结果即可.【详解】执行程序框图，输入0i =，0n =，0S =，那么1i =，1n =，1S =，不满足7i ≥，循环；2i =，3n =，4S =，不满足7i ≥，循环； 3i =，6n =，10S =，不满足7i ≥，循环； 4i =，10n =，20S =，不满足7i ≥，循环； 5i =，15n =，35S =，不满足7i ≥，循环； 6i =，21n =，56S =，不满足7i ≥，循环；7i =，28n =，84S =，满足7i ≥，输出84S =此题正确结果：84【点睛】此题考察循环构造框图计算输出结果的问题，属于根底题.15.假设函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，那么实数a 的最小值是__________．【答案】18【解析】 【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据别离变量的方式得到22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结果.【详解】函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增()210af x x x∴=-+≥'在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()22g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14x =时， ()max 18g x =18a ∴≥，故实数a 的最小值是18此题正确结果：18【点睛】此题考察根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过别离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.16.F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，过点F 作直线l 与圆222x y a +=相切于点A ，且与双曲线的右支相交于点B ，假设13FA FB =，那么双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】32y x =± 【解析】【分析】利用直线与圆相切可求得cos bAFO c∠=，根据向量关系和双曲线的定义可求得,,BF FF BF ''；在BFF ∆'中，利用余弦定理可构造方程整理出ba的值，进而得到结果.【详解】如下图：设双曲线的右焦点为F 'OA a =，AF OA ⊥，OF c = 22AF c a b ∴=-= cos b AFO c∴∠=13FA FB =，O 是FF '的中点 3BF b ∴=，2FF c '=由双曲线的定义可知：2BF BF a '-= 32BF b a ∴=-' 在BFF ∆'中，由余弦定理可得：222229423243bBF b c b c c b c=+-⋅⋅⋅=-' 222(32)43b a c b ∴-=-，整理可得：32b a = ∴双曲线的渐近线方程为：32y x =±此题正确结果：32y x =±【点睛】此题考察双曲线渐近线的求解问题，涉及到双曲线定义、余弦定理的应用，主要考察双曲线的几何性质，属于中档题.三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 17.如图，在平面四边形ABCD 中，22,2,2AB BC AC ===.〔Ⅰ〕求cos BAC ∠；〔Ⅱ〕假设45,90D BAD ∠=∠=，求CD .【答案】52；〔Ⅱ〕52.【解析】 【分析】〔Ⅰ〕在ABC ∆中利用余弦定理即可求得结果；〔Ⅱ〕在ACD ∆中利用正弦定理构造方程即可求得结果. 【详解】〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由余弦定理可得：22252cos 282222AB AC BC BAC AB AC +-∠===⋅⨯⨯ 〔Ⅱ〕90DAC BAC ∠=-∠ 52sin cos 8DAC BAC ∴∠=∠=， 在ACD ∆中，由正弦定理可得：sin sin 45CD ACDAC =∠，即：52282=解得：52CD =【点睛】此题考察利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，考察公式的简单应用，属于根底题.18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n S a +=. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】〔Ⅰ〕1123n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕93914243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】 【分析】 〔Ⅰ〕根据132n n S a +=，代入1n =求得1a ；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 是以2为首项，13为公比的等比数列，从而可得n a ，验证首项满足通项后可得通项公式；〔Ⅱ〕由n a 可得1123n n na n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法即可求得结果.【详解】〔Ⅰ〕数列{}n a 的前n 项和为n S 且132n n S a +=……① 当1n =时，解得：12a =； 当2n ≥时，11132n n S a --+=……② ①-②，得：13122n n a a -=，即113n n a a -= ∴数列{}n a 是以2为首项，13为公比的等比数列 1123n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭首项符合通项 1123n n a -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭〔Ⅱ〕由于1123n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭1123n n na n -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭1111112333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么121111123333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭以上两式作差得：011111 2111113133333313n n nnnT n n-⎛⎫⨯-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-整理得：93914243nnnT⎛⎫⎛⎫=-+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考察利用n a与n S的关系求解通项公式、错位相减法求解数列的前n项和的问题，关键是明确当通项公式为等差与等比数列乘积的形式时，对应的求和方法为错位相减法.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，ABD∆为正三角形，,,CD AD CB AB M⊥⊥为线段PA的中点. 〔Ⅰ〕求证：//DM平面PBC；〔Ⅱ〕假设2,6AB PB PD PA====DM与平面PAB所成的角的正弦值.【答案】〔Ⅰ〕详见解析；26.【解析】【分析】〔Ⅰ〕取AB的中点N，根据中位线可得//MN PB，在根据垂直关系可证得//BC DN；根据面面平行的断定定理可证得平面//DMN PBC；利用面面平行性质定理证得结论；〔Ⅱ〕根据线面垂直断定定理可证得PO⊥平面ABCD，从而可以以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【详解】〔Ⅰ〕证明：取AB的中点N，连接,MN DN，如下图：,M N 分别为,PA AB 中点 //MN PB ∴ABD ∆为等边三角形 DN AB ∴⊥又BC AB ⊥ //BC DN ∴ 又,MNDN N PBBC B == ∴平面//DMN 平面PBC又DM ⊂平面DMN //DM ∴平面PBC 〔Ⅱ〕ABD ∆为正三角形，CD AD ⊥，CB AB ⊥30CDB CBD ∴∠=∠=，CD CB =连接AC ，ACBD O =，那么O 为BD 的中点BD AC ⊥，BD PO ⊥又3OA OP ==，6PA = PO AO ∴⊥ 又AOBD O = PO ∴⊥平面ABCD以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为,x y ，z 轴，建立如下图空间直角坐标系那么()0,1,0D -，()3,0,0A，()0,0,3P ，()0,1,0B，33,0,22M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭33,1,22DM ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AB =-，()3,0,3AP =-设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =30330n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，那么3y =，1z = ()1,3,1n ∴= 设直线DM 与平面PAB 所成角为θ那么直线DM 与平面PAB 所成角的正弦值为：3332622sin cos ,552DM n θ++===⨯ 【点睛】此题考察线面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，涉及到面面平行的断定与性质、线面垂直关系的证明问题，属于常规题型.20.新个税法于2019年1月1日进展施行.为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A 地各个国企中随机抽取了1000名员工进展调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中4a b =.〔1〕求,a b 的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；〔计算结果保存两位小数〕〔2〕假设按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率. 【答案】〔1〕见解析〔2〕1328【解析】 【分析】〔1〕根据频率分布直方图的面积之和为1得到参数值，再由中位数的求法公式得到结果；〔2〕依题意，知分数在[)50,60的员工抽取了2人，分数在[)60,70的员工抽取了6人，列出相应的所有情况，以及至少有1人的分数在[)50,60的时间是个数，根据古典概型的计算公式得到结果. 【详解】〔1〕依题意，()0.0080.0270.035101a b ++++⨯=，所以0.03a b +=. 又4a b =，所以0.024a =，0.006b =. 所以中位数为0.50.080.247075.140.035--+≈.〔2〕依题意，知分数在[)50,60的员工抽取了2人，记为,a b ，分数在[)60,70的员工抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),5a ，(),6a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),5b ，(),6b ，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6，一共28种.其中满足条件的为(),a b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),5a ，(),6a ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),5b ，(),6b ，一共13种，设“至少有1人的分数在[)50,60〞的事件为A ，那么()1328P A =. 【点睛】这个题目考察了分层抽样的概念，古典概型的公式，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.21.如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)A〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点A 作斜率分别为12,k k 的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且12=2k +k ，求直线MN 过定点的坐标.【答案】〔Ⅰ〕2214x y +=；〔Ⅱ〕(1,1)--. 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕将()0,1A 代入椭圆方程，结合离心率和,,a b c 的关系即可求得结果；〔Ⅱ〕当直线MN 斜率不存在时，根据122k k +=可求得直线MN 方程为1x =-；当直线MN 斜率存在时，设直线为y kx m =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式；将韦达定理代入122k k +=中可整理得1k m =+，从而可知直线MN 恒过定点()1,1--；又1x =-也过点()1,1--，从而可知()1,1--即为所求定点.【详解】〔Ⅰ〕椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,1A代入可得：1b =又3c a =221a c -=，解得：2a = ∴所求椭圆C 的方程为：2214x y += 〔Ⅱ〕当直线MN 的斜率不存在时，设直线方程为x t = 那么(),M t s ，(),N t s -，那么11s k t -=-，21sk t+=-121122s s k k t t t-+∴+=+==--- 1t ∴=- 当直线MN 的斜率存在时，设直线方程为：y kx m =+与椭圆方程联立得：()222418440k x kmx m +++-= 设()11,M x y ，()22,N x y ，那么有12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩〔*〕 ()()()121212121212121212122111y x x y x x kx x m x x y y k k x x x x x x +-++-+--∴+=+== 将〔*〕式代入，化简可得：288244km k m -=- 即()()110k m m ---= 1k m ∴=+直线()():11MN y m x m m x x =++=++∴直线MN 过定点的坐标是()1,1--综上所述：直线MN 过定点()1,1--【点睛】此题考察椭圆HY 方程的求解、椭圆中的定点类问题的求解.解决定点类问题的关键是可以将的等量关系利用韦达定理来进展表示，从而整理得到变量之间的关系，通过消元的方式得到定点坐标.22.设()()1ln a f x x a x a R x-=--∈ 〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线方程；〔Ⅱ〕当1a <时，在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦内是否存在一实数0x ，使()01f x e >-成立？请说明理由. 【答案】〔Ⅰ〕11ln 22y x =+-；〔Ⅱ〕存在，理由详见解析. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕利用函数解析式和导函数求得切点坐标和切线斜率，利用点斜式得到切线方程；〔Ⅱ〕假设存在0x满足题意，将问题转变为证明当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 1f x e >-，利用导数可求得()f x 单调性，从而知()()max 1max ,f x f f e e ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；那么只需证明()1f e e >-或者11f e e ⎛⎫>- ⎪⎝⎭即可，经历证()1f e e >-成立，所以假设正确，得到结论.【详解】〔Ⅰ〕当1a =时，()ln f x x x =- ()22ln 2f ∴=-即切点坐标为：()2,2ln 2-()11f x x=-' ∴曲线()y f x =在点()2,2ln 2-处的切线的斜率为：()112122f =-=' ∴所求切线方程为：()12ln 222y x -+=⨯-，即：11ln 22y x =+- 〔Ⅱ〕假设当1a <时，在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在一点0x ，使()01f x e >-成立 那么只需证明当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 1f x e >-即可 ()()()()()2222111110x x a x ax a a a f x x x x x x⎡⎤----+--⎣⎦=+-==>' 令()0f x '=，解得：11x =，21x a =-当1a <时，10a <-∴当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()1,x e ∈时，()0f x '> 函数()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增 ()()max 1max ,f x f f e e ⎧⎫⎛⎫∴=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭那么只需证明()1f e e >-或者11f e e ⎛⎫>- ⎪⎝⎭即可()()()()()111110e a a f e e e a e e e+----=----=>()1f e e∴>-成立∴假设正确∴当1a<时，在1,x ee⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上至少存在一个实数x，使()01f x e>-成立【点睛】此题考察求解在曲线上某一点处的切线方程、函数中的能成立问题的求解，涉及到导数几何意义的应用、利用导数研究函数的最值问题.解决能成立问题的关键是将问题转变为函数最值问题的求解.制卷人：打自企；成别使；而都那。
高二数学下学期5月考试试题PDF
月考试卷答案制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、单项选择题1．C 2、D 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、C 9、D 10、C 11、A 12、D二、填空题13、6 14、-160 15、160 16、2257 三、解答题17、解∵只有第6项的二项式系数最大，∴二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式的中间一项12n T +的二项式的系数最大，解得n=10．〔1〕332nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=．其展开式的通项T r+1==．令=2，得r=2．∴含2x 的项的系数为180； 〔2〕由∈Z ，得r=2,5,8，∴展开式中的有理项为：T 3 =180x 2;T 6=-8064;T 9=11520x -2。
18、解：〔1〕记事件A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件A ，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜， 故()0.80.90.72P A =⨯=.〔2〕设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量ξ〔金〕，那么ξ的取值为-1000和1000,假设在某月的比赛中田忌获胜，那么三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负.设在该月的比赛中田忌获胜的概率为P ，那么 ×0.5×0.3+××0.7+××××0.3=()1000(1)1000100E p p ξ=--+=-, 因此田忌一年赛马获利的数学期望为-200×12=-2400〔金〕. 19、解：〔1〕依题意，X 的所有可能值为0、1、2、3， 那么()()2200.310.30.60.3P X p p p ==-=-+，()()()2210.710.3210.10.80.7P X p p p p p ==-+⨯-=-+，()()22220.710.3 1.1 1.4P X p p p p p ==⨯-+=-+， ()230.7P X p ==.所以，随机变量X 的分布列为：()()()22210.10.80.72 1.1 1.430.720.7E X p p p p p p ∴=⨯-++⨯-++⨯=+；〔2〕由〔1〕知当P=0.9时，()E X 获得最大值． ①一棵B 种树苗最终成活的概率为：+(1-0.9) ×× ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，那么Y ~(),0.92Y B n ~，()0.92E Y n =， ()0.924000.0880100000n ∴⨯-⨯≥，100000276.55361.6n ≈≥．×400-80×0.0325〕n ≥100000，n ≥-200所以该农户至少要种植261棵树苗，才可获利不低于10万元． 20、解〔1〕由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴5000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. 〔2〕依题意z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为×5000=≈793人.〔3〕全竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅ 10.5010.499=-=.20、解：(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg 〞，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg 〞．由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 ＋，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 ，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：K2＝200×〔62×66－34×38〕2100×100×96×104≈15.705.，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为 ，箱产量低于55 kg 的直方图面积为 ＞，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋≈(kg)．22、解：〔Ⅰ〕由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更合适．〔Ⅱ〕对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii ii i nni i i i u u v v u v nuvdu u u nu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， ∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=， ∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由〔Ⅱ〕知，13()27z x x x =-，∴23()91z x x-='-，令23()910z x x --'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 获得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高二5月月考(数学)试卷含答案
2023届高二数学周考4（考试总分：100 分）一、单选题（本题共计6小题，总分42分）1.（7分）1.如下茎叶图记录了甲乙两组各5名工人在某日的产量数据(单位：件)，若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )A.5，5B.3，5C.3，7D.5，72.（7分）2.若某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样法抽取2%的学生进行调查，则在抽取的高中生中，近视人数约为( )A.1000B.40C.27D.203.（7分）3.从甲乙等4名同学中随机选出2名同学参加社区活动，则甲乙两人中只有一人被选中的概率为( )A.56B.23C.12D.134.（7分）4.将八进制135(8)转化为二进制数是( )A.1110101（2）B.1010101（2）C.111001（2）D.1011101（2）5.（7分）5.如下程序框图的算法思想源于《几何原本》中的辗转相除法，又叫欧几里德算法，框图中的算术运算符MOD表示取余数，如aMODb表示a除以b的余数，若输入m=1813，n=333，则输出m的值为( )A.148B.143C.37D.336.（7分）6．若执行如上程序框图，则输出的结果为( )A.1B.-1C.1D.22二、填空题（本题共计4小题，总分28分）7.（7分）7.由样本数据得变量y对x的线性回归直线方程9.58.8=+，则表中一Y X模糊数据为______.8.（7分）8.某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…，480的480个专卖店销售数据中，用系统抽样法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…，则样本中的最后一个个体编号为______.9.（7分）9.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，下列各对事件为互斥事件的有 .(填序号)①恰有1名男生与恰有2名男生；②至少有1名男生与至少有1名女生；③至少有1名男生与全是男生； 至少有1名男生与全是女生．10.（7分）10.甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜时间段内随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为_____.三、解答题（本题共计2小题，总分30分）11.（15分）11.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样获得某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨)，将数据分成9组：(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]，得如图的频率分布直方图.(1)求直方图中实数a的值；(2)若该市有30万居民，求全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)求居民月用水量的中位数.12.（15分）12.某服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系如下表，且721280iix==∑，72145442iiy==∑，713490 i iix y ==∑．(1)画出散点图；(2)判断变量y与x之间是否线性相关，若线性相关，求其线性回归直线方程(保留小数点后两位).答案一、单选题（本题共计6小题，总分42分）1.（7分）B2.（7分）D3.（7分）B4.（7分）D5.（7分）C6.（7分）A二、填空题（本题共计4小题，总分28分）7.（7分）7、39 .8.（7分）8、469 .9.（7分）9、①④.10.（7分）10 、716.三、解答题（本题共计2小题，总分30分）11.（15分）11、解:（Ⅰ）由频率分布直方图，可知：月均用水量在[0,0.5）的频率为0.08×0.5=0.04.同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a，解得a=0.30.（Ⅰ）由（Ⅰ）100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36000.（Ⅰ）设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5所以2≤x<2.5.由0.50×（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.12.（15分）12、解：（1）1(3456789)67x=++++++=，1(67697381899091)807y=++++++=；（2）把所给的7对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；（3）由散点图知，y 与x 有线性相关关系. ∵721280i i x ==∑，72145442ii y ==∑，713490i i i x y ==∑，∴34907680ˆ 4.64280736b-⨯⨯==-⨯，ˆ806 4.6452.16a =-⨯=，故线性回归方程为ˆ 4.6452.16yx =+．。
高二数学周末试题(5月21日)
高二数学周末试题(5月21日)1．|21＋i |＝( ) A ．2 2 B ．2 C ． 2 D ．12．已知f (x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f(x)＝42x ＋2 B ．f(x)＝2x ＋1 C ．f(x)＝1x ＋1 D ．f(x)＝22x ＋13．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A ．33 B ．－33 C ．36 D ．－364．复数z ＝a （a ＋2）a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R)为纯虚数，则a 的值为( ) A ．a ＝0 B ．a ＝0，且a≠－1 C ．a≠1，或a≠－3 D ．a ＝0，或a ＝－25．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是 ( )A ．5，－15B ．5，－4C ．－4，－15D ．5，－166．已知f (x )＝x 3＋x ，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值 ( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集是 ( )A ．(－3，0)∪(3，＋∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)8．给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ，b 是实数，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③a ∈C ，则(a ＋1)i 是纯虚数；④z ＝1i，则z 2＋1对应的点在第一象限．其中正确的有_______________个． 9．若下列两个方程x 2－(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是__ ______．10．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：（1）函数y ＝f (x )在区间(3，5)内单调递增；（2）函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－12，3内单调递减； （3）函数y ＝f (x )在区间(－3，2)内单调递增；（4）当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值； （5）当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值．则上述判断中正确的序号是________________．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，z 1·z 2是实数，求z 2.12．设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (常数a ，b 满足0<a <1，b ∈R)． （1）求函数f (x )的单调区间、极值；（2）若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围．13.已知直线l 过定点3(3,)2P --与圆C ：5cos ()5sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数相交于A 、B 两点．求：（1）若||8AB =，求直线l 的方程；（2）若点3(3,)2P --为弦AB 的中点，求弦AB 的方程．高二数学周末试题(5月21日)参考答案1-7：CBADAAD 8 0 9: a ≤－2或a ≥－1 10: (3)11、解:(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴z 2＝4＋2i.12.解:(1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a )·(x －a )，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝3a ，列表如下：(略) ∴f (x )在(a ，3a )上单调递增，在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上单调递减．则当x ＝a 时，f (x )极小＝b －43a 3， 当x ＝3a 时，f (x )极大＝b .(2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，∵0＜a ＜1，∴对称轴x ＝2a ＜a ＋1，∴f ′(x )在[a ＋1，a ＋2]上单调递减． ∴f ′max ＝－(a ＋1)2＋4a (a ＋1)－3a 2＝2a －1，f ′min ＝－(a ＋2)2＋4a (a ＋2)－3a 2＝4a －4. 依题设，|f ′(x )|≤a ⇔|f ′max |≤a ，|f ′min |≤a ， 即|2a －1|≤a ，|4a －4|≤a .解得，45≤a ≤1，又0＜a ＜1，∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫45，1. 13．解：（1）由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩， 设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，将参数方程①代入圆的方程2225x y +=得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>，所以方程有两相异实数根1t 、2t，∴12||||8AB t t =-==，化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解之cos 0α=或3tan 4α=-，从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++=． 14．（2）若P 为AB 的中点，所以120t t +=，15．由（1）知2cos sin 0αα+=，得tan 2α=-，故所求弦AB 的方程为2242150(25)x y xy ++=+≤．。
高二数学5月月考试题理含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校外国语二零二零—二零二壹高二数学5月月考试题理〔含解析〕一.选择题(一共12小题，每一小题5分，总分值是60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案集中填写上在答题卷上.){}11A x x =->，{}1,0,2,3B =-，那么()U C A B =()A.{}0,2B.{}0,1,2C.{}1,3-D.{}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合A ，求出U C A ，再和集合B 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}1120A x x x x x =->=><或， 所以{}02U C A x x =≤≤， 又{}1,0,2,3B =-，所以{}(0,2)U C A B =.应选A【点睛】此题主要考察集合的混合运算，熟记概念即可，属于根底题型.1i2i 1iz +=+-，那么z =() A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z ，进而可得到z .【详解】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，那么3i z =，故3z =，选B. 【点睛】此题考察了复数的四那么运算，考察了复数的模，属于根底题。
(5,)a m =，(2,2)b =-，假设()a b b -⊥，那么m =()A.1-B.1C.2D.2-【答案】B 【解析】 【分析】由(5,)a m =，(2,2)b =-，表示出a b -，再由()a b b -⊥，即可得出结果. 【详解】因为(5,)a m =，(2,2)b =-，所以(3,2)a b m -=+， 又()a b b -⊥，所以()0a b b -⋅=， 即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =. 应选B【点睛】此题主要向量数量积的坐标运算，熟记运算法那么即可，属于根底题型.{}n a 的前n 项和为n S ，假设44a =，972S =，那么10a =()A.20B.23C.24D.28【答案】D 【解析】 【分析】将条件转化为1a d ,的形式，列方程组，解方程组求得1a d ,的值，进而求得10a 的值.【详解】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得18,4a d =-=，故101983628a a d =+=-+=.应选D.【点睛】本小题主要考察利用根本元的思想求等差数列的根本量1a d ,、通项公式和前n 5个根本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或者前n 项和公式，结合条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1a d ,，进而求得数列其它的一些量的值.5.为理解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如下列图，其中阴影局部表示倾向选择生育二胎的对应比例，那么以下表达中错误的选项是() A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数一样D.倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，通过阅读理解、识图，将数据进展比对，通过计算可得出C 选项错误．【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为0.812096⨯=人，女性人数为0.68048⨯=人，男性人数与女性人数不一样，故C 错误，应选：C ．【点睛】此题主要考察了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达的含义是解答的关键，着重考察了阅读理解才能、识图才能，属于根底题.6.“1m >〞是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线〞的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解得方程22115y xm m+=--表示焦点在y轴上的双曲线的m的范围即可解答.【详解】22115y xm m+=--表示焦点在y轴上的双曲线⇔1050mm->⎧⎨-<⎩,解得1<m<5,应选：B.【点睛】此题考察双曲线的方程，是根底题，易错点是不注意2.5xm-前是加号7.π1cos25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，那么cos2α=()A.725B.725- C.2325D.2325-【答案】C【解析】【分析】由根据三角函数的诱导公式，求得sinα，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由π1cosα25⎛⎫-=⎪⎝⎭，得1sinα5=，又由2123cos2α12sinα122525=-=-⨯=．应选：C．【点睛】此题主要考察了此题考察三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题．8.()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，那么a ，b ，c 的大小关系是() A.a b c << B.c a b << C.b a c << D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】结合0,1进展a,b,c 的大小比较，即可。
高二数学5月月考试题 理含解析 试题
广西HY 中学2021-2021学年高二数学5月月考试题 理〔含解析〕一、选择题：每一小题5分，12题一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1.设1i2i 1iz -=++，那么||z =A. 0B.12C. 1【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法那么：分子、分母同乘以分母的一共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，那么1z =，应选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是〔〕A. 12cos 1x x x +++ B. 12cos x x x -+ C. 12cos x x x+-D. 12cos x x x++【答案】D 【解析】【分析】根据导数的公式即可得到结论．【详解】解：由2()ln sin 1f x x x x =+++，得1()2cos f x x x x'=++ 应选D ．【点睛】此题考察了导数的根本运算，属根底题．3. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，那么不同的选法一共有 A. 60种 B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选C ．考点：排列数组合数公式及运用． 4.定积分1(2)xx e dx +⎰的值是( )A. 2e +B. 1e +C. eD. 1e -【答案】C 【解析】试题分析：121220100(2)()|()|()|x x x x x x e x dx e x e x e x ==+=+=+-+⎰=(1)1e e +-=.应选C.考点：1.微积分根本定理；2.定积分的计算.5.()5221x x --的展开式中2x 的系数为〔 〕 A. 400B. 120C. 80D. 0【答案】D 【解析】 【分析】 变形为()525521(1)(21)x x x x --=-+，分别写出两个二项式展开式的通项55(1)r rr C x--，55C (2)k k x -，可知()525521(1)(21)x x x x --=-+的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，即可求解.【详解】∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r rr C x--，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)k kx x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444355555553(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.【点睛】此题主要考察了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属于难题. 6.在用数学归纳法证明等式2*12322 ()n n n n N ++++=+∈的第(ii)步中，假设n k =时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为〔 〕A. ()()()22123221221 1k k k k k k ++++++=+++++ B. ()()()2123 221211k k k k ++++++=+++C. ()()()()22123221212211k k k k k k k ++++++++=+++++ D. ()()()()2123221 21211k k k k k ++++++++=+++【答案】D 【解析】 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为要证2*12322 ()n n n n N ++++=+∈，因此，当1n k =+时，需要证明()2*1232(21)212(1))((1) ++++++++=+++∈k k k k k n N .应选：D【点睛】此题主要考察数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型. 7.曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，那么〔 〕 A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，应选D ．【点睛】此题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 8.假设函数()2123ln 2f x x x x =--，那么函数()f x 的单调递减区间为〔 〕 A. (,1)(3,)-∞-+∞B. ()1,3-C. (0，3)D.()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求函数()f x 的定义域，再求导数()f x '，最后令()0f x '<，解之即可得到结果.【详解】函数()2123ln 2f x x x x =--的定义域为：{|0}x x >， 因为2323(3)(1)()2x x x x f x x x x x '---+=--==， 令(3)(1)0x x x-+<并且0x >，得：03x <<，所以函数()2123ln 2f x x x x =--的单调递减区间为(0，3).故此题正确答案为C.【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属根底题. 9. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或者乙，最右端不能排甲，那么不同的排法一共有〔 〕 A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种【答案】B 【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 解：最左端排甲，一共有55A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444C A =96种，根据加法原理可得，一共有120+96=216种．应选B ．10.函数()ln x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是〔 〕 A.12eB. 22eC. 0D.1e【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出()f x 的最大值即可． 【详解】函数()lnx f x x =的导数()21lnxf'x x -=． 令()f'0.x >可得0e x <<，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在()2e,e单调递减，∴函数()lnx f x x =在(20,e ⎤⎦上的最大值是()1f e e=． 应选D ．【点睛】此题考察了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．11.假设()()25270127121...x x a a x a x a x +-=++++，那么246a a a ++= A. 32 B. 16 C. 15 D. 0【答案】C 【解析】 【分析】本道题目分别令x=1,x=-1,x=0,代入该二项式，相加后即可．【详解】令1x =-，得()()2501234567121132,a a a a a a a a -+=-+-+-+-= 令1,x =得()()250123456712110a a a a a a a a +-=+++++++= 两式子相加得：024616a a a a +++= 令0x =，得到01a =， 所以24615a a a ++=，应选C ．【点睛】本道题目考察的是二项式系数，解决此类题可以考虑代入特殊值法，然后消去不需要的，即可得出答案． 12.设函数'()f x 是奇函数()f x 〔x ∈R 〕的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，那么使得()0f x >成立的x 的取值范围是〔 〕A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)C. (,1)(1,0)-∞--D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f xg x x =,()()()2 'xf x f x g x x-='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 应选A.点睛：此题主要考察利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：〔1〕条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,〔2〕假设()()f x f x -'，就构造()()xf xg x e=，〔3〕()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，〔4〕()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数. 二、填空题： 本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.计算：4275C A -的值是______.【答案】15 【解析】 【分析】根据组合数和排列数的计算公式求解得到结果.【详解】437776535321C C ⨯⨯===⨯⨯，255420A =⨯=那么4275352015C A -=-=此题正确结果：15【点睛】此题考察排列数和组合数的计算，属于根底题. 14.曲线2y x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.【答案】43【解析】由2 2y x y x⎧=⎨=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或者2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是()222320014233S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.点睛：此题考察了曲线围成的图形的面积，着重考察了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于根底题；用定积分求平面图形的面积的步骤：〔1〕根据条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰中选取计算公式；〔2〕解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；〔3〕详细计算定积分，求出图形的面积． 15.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城时，甲说：我去过的城比乙多，但没去过城；乙说：我没去过城.丙说：我们三个去过同一城. 由此可判断乙去过的城为__________ 【答案】A 【解析】试题分析：由乙说：我没去过C 城，那么乙可能去过A 城或者B 城，但甲说：我去过的城比乙多，但没去过B 城，那么乙只能是去过A ，B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城，那么由此可判断乙去过的城为A 考点：进展简单的合情推理16.函数()2xe xf x a =-．假设()f x 在()0,∞+只有一个零点，那么a 的值是__________【答案】24e【解析】 【分析】设()21xh x ax e -=-，由题意得()h x 在()0,∞+只有一个零点，由题意可知0a >，求导得()()'2x h x ax x e -=-，从而可求得()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，那么()()2421ah x h e ≥=-，分类讨论即可求出答案． 【详解】解：设()21xh x ax e -=-，∴()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点， 〔1〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； 〔2〕当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-，当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >； ∴()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增， 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值， ①假设()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点；②假设()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点；③假设()20h <，即24e a >，由()01h =，()h x 在()0,2有一个零点，易得当0x >时，2x e x >，那么()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->， 故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点，综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =，故答案为：24e ．【点睛】此题主要考察利用导数研究函数的零点问题，考察利用导数研究函数的单调性与最值，考察计算才能与推理才能，考察转化与化归思想，考察分类讨论思想，属于难题． 三、解答题：本大题一一共6小题，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 17.复数()22656z m m m m i =--+++，〔m R ∈，i 为虚数单位〕 〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 对应的点在复平面内的第二象限，务实数m 的取值范围. 【答案】〔1〕3m =；〔2〕23m -<< 【解析】 【分析】〔1〕令实部为零，虚部不为零，即可求得结果； 〔2〕令实部小于零，虚部大于零，即可求得结果.【详解】〔1〕因为z 为纯虚数，所以2260560m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =.〔2〕因为复数z 对应的点在复平面内的第二象限，所以2260560m m m m ⎧--<⎨++>⎩，由260m m --<，解得()2,3m ∈-由2560m m ++>，解得2m >-或者3m <-， 所以23m -<<.【点睛】此题考察由复数的类型求参数值，以及由复数所在点的象限求参数范围，属综合根底题.18.2nx⎛+ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22．〔1〕求n 的值；〔2〕求展开式中的常数项；〔3〕求展开式中二项式系数最大的项． 【答案】〔1〕6；〔2〕60；〔3〕. 【解析】 【分析】(1)利用公式展开得前三项，二项式系数和为22，即可求出n ． (2)利用通项公式求解展开式中的常数项即可． (3)利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项．【详解】解：由题意，(2nx+展开式前三项的二项式系数和为22． (1)二项式定理展开：前三项二项式系数为：()01211222n n n n n C C C n -++=++=，解得：6n =或者7(n =-舍去)． 即n 的值是6．(2)由通项公式36662166(2)2k k kk k kk T C x C x ---+==， 令3602k-=， 可得：4k =．∴展开式中的常数项为1264642416260TC x--+==；()3n 是偶数，展开式一共有7项.那么第四项最大∴展开式中二项式系数最大的项为936363223162160TC xx --+==．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，通项公式的有关计算，属于根底题． 19.用适当的方法证明以下不等式：〔1〕假设0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+； 〔2〕设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>． 【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xy x y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；〔2〕采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据根本不等式即可证明．【详解】证明：〔1〕当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 那么只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立，∴22x y xyx y+≥+成立； 〔2〕∵0a >，0b >，111a b+=且a b ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+=，∵ab ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】此题主要考察不等式的证明方法，考察分析法与综合法证明不等式，考察根本不等式的应用，属于中档题．20.学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动．〔1〕设事件A 为选取的这2个人来自不同的年级，求事件A 的概率()P A ；〔2〕设X 表示选到三年级学生的人数，分别求出选到三年级学生的人数为0个人的概率(0)P X =，1个人的概率(1)P X =，2个人的概率(2)P X =【答案】〔1〕34；〔2〕()5014P X ==，()15128P X ==，()3228P X ==．【解析】 【分析】〔1〕设事件A 表示“这2人来自同一年级〞，由古典概型的概率计算公式及组合数公式求出()P A ，那么这2人来自两个不同年级的概率为()1P A -；〔2〕X 服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式求解即可．【详解】解：〔1〕设事件A 表示“这2人来自同一年级〞，()2222332814C C C P A C ++==， 这2人来自两个不同年级的概率为()131144P A -=-=； 〔2〕()25285014C P X C ===，()11532815128C C P X C ===，()23283228C P X C ===．【点睛】此题主要考察古典概型的概率计算公式，考察超几何分布的应用，考察超几何分布的概率计算公式，属于根底题． 21.设定函数32()(0)3a f x x bx cx d a =+++，且方程()90f x x -='的两个根分别为1，4．〔Ⅰ〕当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； 〔Ⅱ〕假设()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围． 【答案】〔Ⅰ〕32()312f x x x x =-+〔Ⅱ〕[]1,9【解析】试题分析：〔1〕先求出函数的导数()22f x ax bx c =++'，根据方程的两个根分别为1,4得到关于,,a b c 的方程组，再根据3a =且曲线()y f x =过原点，分别求出a b c d ,,,的值，从而求得函数()f x 的解析式；〔2〕函数()f x 在(),-∞+∞内无极值点，再根据0a >可知()220f x ax bx c =++≥'在(),-∞+∞内恒成立，可以得到0{a ∆≤>，解出a 的取值范围即可；试题解析：由()()3203a f x x bx cx d a =+++>，得()22f x ax bx c =++'． 由于()()29290f x x ax b x c -=+-+='的两个根分别为1,4，29=0{168360a b c a b c ++-∴++-=〔*〕〔1〕当3a =时，由〔*〕式得26=0{8120b c b c +-+-=解得3{12b c =-=，又因为曲线()y f x =过原点，所以0d =，故()32312f x x x x =-+．〔2〕由于0a >，()323a f x x bx cx d =+++在(),-∞+∞内无极值点， ()220f x ax bx c ∴=++≥'在(),-∞+∞内恒成立．由〔*〕式得295,4b a c a =-=， 又()()()2=24919b ac a a ∆-=--．解()()=9190{0a a a ∆--≤>得[]1,9a ∈，即a 的取值范围为[]1,9． 考点：导数的应用；2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.〔Ⅰ〕讨论()f x 的单调性；〔Ⅱ〕假设()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕()0,+∞. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕先求得()()()'12.xf x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进展分类确定()f x 的单调性；〔Ⅱ〕借助第〔Ⅰ〕问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析：〔Ⅰ〕()()()()()'12112.xxf x x e a x x e a =-+-=-+〔Ⅰ〕设0a ≥，那么当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以f 〔x 〕在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 〔Ⅱ〕设0a <，由()'0f x =得x=1或者x=ln 〔-2a 〕. ①假设2e a =-，那么()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增.②假设2ea >-，那么ln 〔-2a 〕＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-⋃+∞时，()'0f x >； 当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③假设2ea <-，那么()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞⋃-+∞时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.〔Ⅱ〕〔Ⅰ〕设0a >，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 2ab <， 那么()()()22321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. 〔Ⅱ〕设a=0，那么()()2xf x x e =-，所以()f x 只有一个零点〔iii 〕设a ＜0，假设2ea ≥-，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；假设2ea <-，那么由〔Ⅰ〕知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为()0,+∞. 【考点】函数单调性，导数应用【名师点睛】此题第〔Ⅰ〕问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性确实定,通常要根据参数进展分类讨论,要注意分类讨论的原那么：互斥、无漏、最简；第〔Ⅱ〕问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或者极值破解.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高二数学5月月考试题含解析试题
金山中学2021-2021学年高二数学5月月考试题〔含解析〕一、填空题〔本大题一一共12小题，满分是54分，其中1～6题每一小题4分，7～12题每一小题5分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写上结果. 1.i 为虚数单位，假设复数()()12ai i ++是纯虚数，那么实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么进展化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数〔1+ai 〕〔2+i 〕＝2﹣a +〔1+2a 〕i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】纯熟掌握复数的运算法那么、纯虚数的定义是解题的关键，此题属于根底题．5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕的焦距为______. 【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】此题考察椭圆的参数方程，考察椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______. 【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的HY 方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F 〔±1，0〕，0〕；那么双曲线的顶点为〔±1，0〕，0〕， ∴a ＝1，c，∴b ===1， ∴双曲线的方程为221x y -=，故答案为：221x y -=．【点睛】此题考察了椭圆与双曲线的HY 方程与简单几何性质的应用问题，是根底题．23π的扇形，当侧面积是27π时，那么该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，那么侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，那么2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h == ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】此题考察圆锥的体积公式，考察了空间想象才能，计算才能，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于根底题．x 、y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，那么目的函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或者最小值会在可行域的端点或者边界上获得.M 的底面圆的半径与球O 的半径一样，假设圆柱M 与球O 的体积相等，那么它们的外表积之比:S S =圆柱球______.〔用数值答题〕 【答案】76【解析】 【分析】由中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的外表积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 那么球的外表积S 球＝4πR 2 又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 那么S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=，∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76. 【点睛】此题考察的知识点是球的体积和外表积，圆柱的体积和外表积，其中根据求出圆柱的高，是解答此题的关键．1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，那么pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 〕，根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为一共轭复数，设z 1＝a +bi ，那么z 2＝a ﹣bi ，〔a ，b ∈R 且b 0≠〕，又212z z =，那么222i a b ab -+=a ﹣bi ，∴〔2a +b 〕+〔a +2b 〕i ＝1﹣i ，∴22122a a b a ab b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩．∴z 1＝12-+2i ，z 2＝122--i ，〔或者z 2＝12-+2i ，z 1＝122--i 〕由根与系数的关系，得p ＝﹣〔z 1+z 2〕＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】此题考察实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考察了两个复数相等的充要条件，属于根底题．221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，那么直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，202011y x =-，由A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P 〔x 0，y 0〕，那么22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1〔﹣1，0〕，A 2〔1，0〕，设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案为：2．【点睛】此题考察两直线的斜率之积的求法，考察曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考察了分析问题的才能，属于根底题．R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，那么R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面间隔 都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：【点睛】此题考察了球的根本概念及性质应用，考察了空间想象才能，是根底题．x 的方程1x +=m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y m 分类，分别画出y =的图象，可求出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+1=故直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象．由于函数y 2m x =+，当m=0时，y 22m x x x =+==和直线y ＝x +1的图象如图：满足有一个交点； 当m>0时，y 2m x =+y 2﹣x 2＝m(y>0)此双曲线y 2﹣x 2＝m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行， 双曲线y 2﹣x 2＝m 的顶点坐标为〔0，m 〕， 如图：只要m>0，均满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+的图象有一个交点，当m<0时，y 2m x =+x 2﹣y 2＝﹣m(y>0)，此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行，而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为〔m ±-，0〕，如图：1m -时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】此题考察的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y 2m x =+于中档题．1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动〔不包括线段端点〕，且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②假设点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，那么由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.〔填序号〕【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，那么MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确； ②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，那么由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，那么M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时获得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1B A 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确； 综上可知，正确的结论为①②③ 故答案为：①②③【点睛】此题考察线面平行、垂直，考察点到面的间隔 的计算，考察学生分析解决问题的才能，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近上下各不同.〞同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，那么22a b +的最小值为______. 【答案】1100【解析】 【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 222222(1)(2)x a b x x -+≥-+得a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得． 【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：〔x 2﹣1〕a +2xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点〔a ，b 〕到原点的间隔 大于等于原点到直线的间隔 ，≥所以a2+b222221()51(24)2xx xx-≥=+-++-，∵x﹣252x+-在[3，4]是减函数，∴252+≤x﹣252x+≤-1+5；即92≤x﹣252x+≤-6；故2115100(24)2xx≥-++-；当x＝3，a225=-，b350=-时取等号，故a2+b2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】此题考察了函数的零点的应用，把等式看成关于a，b的直线方程〔x2﹣1〕a+2xb+x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、填空题〔本大题一一共有4小题，满分是20分，每一小题5分〕每一小题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.l与平面α平行，直线m在平面α上，那么〔〕A. 直线l不平行于直线mB. 直线l与直线m异面C. 直线l与直线m没有公一共点D. 直线l与直线m不垂直【答案】C【解析】【分析】由中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或者平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公一共点， 又直线m 在平面α上，∴直线l 与直线m 没有公一共点， 应选：C ．【点睛】此题考察的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考察了直线与平面平行的定义，属于根底题．{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，假设A B =∅，那么a ，b 之间的关系是〔 〕A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D.221a b +>【答案】C 【解析】 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，假设A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，,x y R ∈,那么〔a +bi 〕〔x ﹣yi 〕+〔a ﹣bi 〕〔x +yi 〕+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=1的点集，假设A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=1没有交点，2211d a b=+＞，即a 2+b 2＜1应选：C ．【点睛】此题考察了复数相等的定义及几何意义，考察了直线与圆的位置关系，考察了转化思想，属于中档题．15.某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，那么两条较长棱所在直线所成角的余弦值为〔 〕 A. 0 B.79C. 0或者79D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时， 如图，取CD中点E，那么∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE72=，不满足AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9应选B.【点睛】此题考察了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考察了余弦定理、线面垂直的断定与性质和异面直线所成角等知识，属于根底题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④假设两个二面角的半平面互相垂直，那么这两个二面角的大小相等或者互补.其中正确命题的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法规那么直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规那么知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如下图的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个角的平面角相等或者互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．应选A．【点睛】此题考察了命题的真假判断与应用，考察了空间几何体的构造特征，考察了学生的空间想象才能和思维才能，是中档题．三、解答题〔本大题一一共5题，满分是76分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.〔1〕求二面角1B AC B --的大小；〔用反三角函数表示〕 〔2〕求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小. 【答案】〔1〕2；〔2〕6π. 【解析】 【分析】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．〔2〕取11B D 的中点1O ，连接11A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得11A O ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中，计算11sin A BO ∠即可.【详解】〔1〕连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，那么BO AC ⊥， 因为11AB CB =，那么1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角. 因为1B B ⊥平面ABCD ，2BO =11BB =，所以11tan 2BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=1B AC B --的大小为. 〔2〕取11B D 的中点1O ，连接11A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得11A O ⊥平面11BDD B ， 所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B中，11A O =1A B =， 所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】此题考察线面角的大小的求法，考察二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点.〔1〕假设1a =，求PA 的最小值；〔2〕O 为坐标原点，假设PA 的最小值为OA ，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕1；〔2〕2a ≤. 【解析】 【分析】〔1〕由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的间隔 ，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.〔2〕将PA 表示为关于x 的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】〔1〕当1a =时，A 〔1，0〕为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的间隔 ， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的间隔 最小为1，即PA 的最小值为1.〔2〕2222||()24PA x a y x ax a x =-+=-++2(2)44x a a =+-+-||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 获得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】此题考察了抛物线的定义的应用，考察了二次函数最值问题，考察了分析转化才能，属于根底题.19.如图，四面体ABCD 中，32DA DB DC ===且,,DA DB DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.〔1〕过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积； 〔2〕将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，那么在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】〔146；〔2〕60cos θ≤≤. 【解析】 【分析】〔1〕由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的6，底半径为33，代入圆锥的体积公式，即可得到答案． 〔2〕以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得|3|cos 62x y θ+=，令3t x y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】〔1〕过E 作EH DO ⊥，经计算得6DO =，23=OA ，2OE =，由此得233EH =， 所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积2123466339V ππ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 〔2〕过O 作OGAC 交AB 于G ，取AC 的中点F ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么6)D ，(23,0,0)B -，3,3,0)C -，设(,,0)A x y ，那么(33,3,0)BC =-，(,6)AD x y =--，所以3cos 62x θ=，在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=， 令3t x y =+，将3t x y =+看作直线y=3x+t ， 那么直线y=3-与圆2212x y +=有公一共点， 那么||232t d =≤ 所以043t ≤≤60cos θ≤≤. 【点睛】此题考察了旋转体的体积，考察了利用空间向量进展异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.〔1〕求异面直线BE 和CD 所成角的大小； 〔2〕求几何体EF ABCD -的体积；〔3〕假设平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD Γ的形状并说明理由.【答案】〔1〕6arccos3；〔2〕163；〔3〕双曲线.【解析】 【分析】〔1〕根据几何体的特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；〔2〕利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．〔3〕利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果. 【详解】〔1〕∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥ 如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，那么(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =- 设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，那么6cos 13||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为6arccos3. 〔2〕如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，那么BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF()1111111642222223332323ABCDEFCS DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163．〔3〕设(, , 0)Q x y ，那么(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为6arccos3226||||42EQ CD EQ CD x y ⋅==++⋅‖化简得22184y x -=所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】此题考察了利用向量法求异面直线所成角，考察了组合几何体体积的计算，考察了学生的空间想象才能与运算才能，属于中档题．C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点. 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .假设OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；〔3〕设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】〔1〕2214x y +=；〔2〕2245x y +=；〔3〕5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】〔1〕由题意知a ＝2b，由此能求出椭圆方程．〔2〕先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||OD =满足，那么可得点D 的轨迹方程.〔3〕设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】〔1〕由题可知，2a b =，解得：2a =，1b =，故椭圆的方程为：2214x y +=.〔2〕当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y += ∴()()12120x x kx m kx m +++= 由韦达定理代入化简得：22544m k =+ ∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD ==当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求255t，此时||OD = 所以点D 的轨迹方程为2245x y +=. 〔3〕设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =.∵0k >，∴12k =此时()21620m ∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】此题考察椭圆方程的求法及求曲线的方程，考察弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考察了函数思想，属于较难题．。
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牛镇高中高二5月份周末考试数学试题（2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． （1）1a =“”是“直线x+y =0和直线0x ay -=互相垂直”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（2）设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是 （ ）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x（3）直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（ ）A. 1B. 2C.1 D.2 1（4）直线0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A ．B ．C ．-D ．-（5）若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．（6）设椭圆1C 的焦点在x 轴上且长轴长为26，且离心率为513；曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A ．2222143x y -=B ．22221135x y -=C ．2222134x y -=D ．222211312x y -=（7）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14（8）.抛物线y x =2的准线方程是 （ ）A.014=+xB.014=+yC.012=+xD.012=+y（9）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4（10）若点P 在抛物线24y x =上，则该点到点(21)Q -，的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为（ ）A.114⎛⎫- ⎪⎝⎭， B.114⎛⎫⎪⎝⎭，C.(12)，D.(12)-，（11）.我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆(地球半径忽略不计).若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n （近地点是指卫星到地面的最近距离，远地点是最远距离），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率 （ ）A.变大B.变小C.不变D.以上都有可能（12）已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） A.4. B.5. C.7. D.8. 二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分，共20分．（13）已知实数0a >，直线l 过点22P -(,)，且垂直于向量(3,3)m =-，若直线l 与圆02222=-+-+a a ax y x 相交，则实数a 的取值范围是________________ .（14）已知12, F F 为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于 A B 、两点 若2212F A F B +=，则AB = .（15）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ．（16）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．牛镇高中高二5月份周末考试（2）数学答题卡13、 14、15、 16、 三、解答题：本大题共6小题. 共70分． 17、（10分）已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.18、（12分）已知平面区域00240x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≥≤恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆C 的方程；(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，且满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.19、（12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．求证：“若直线l 过点T （3，0），则→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题.20、（12分）已知直线)0(1012222>>=+=-+b a b y a x y x 与椭圆相交于A 、B 两点，M 是线段AB 上的一点，-=，且M 点在直线1: 2l y x =上.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l 的对称点在单位圆122=+y x 上，求椭圆的方程.21、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，问：是否存在实数k ，使得向量OP OQ + 与AB共线？给出判断并说明理由.22、（12分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ FP QF QP ⋅=⋅ （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ．（1）已知1MA AF λ= ，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB的最小值．参考答案一、选择题：CADCB AABBD C D 二、填空题（13）82<<a ; （14）8; （15）28y x =; （16）3.三、解答题（17）解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ， 则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.(Ⅰ) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . 解得43-=a . ………………6分(Ⅱ) 解：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD 解得1,7--=a . ∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………12分（18）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=. ………………6分 (Ⅱ)设直线l 的方程是:y x b =+.因为CA CB ⊥ ,所以圆心C 到直线l,=. 解得:1b =-………………………………11分 所以直线l的方程是1y x =-±………………12分（19）解：设过点T(3,0)的直线l 交抛物线22y x =于点A 11(,)x y 、B 22(,)x y . （Ⅰ）当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为3x =,此时, 直线l 与抛物线相交于点A(3,6)（）.B(3,－6)，∴⋅=3. …….............4分 （Ⅱ）当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-. …………………….….6分又 ∵ 22112211,22x y x y ==， ∴2121212121()34⋅=+=+= OA OB x x y y y y y y ，………………………….10分综上所述，命题“若直线l 过点T(3,0)，则⋅=3” 是真命题. ………………….12分 （20）解：（Ⅰ）由-=知M 是AB 的中点，设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A由02)(:.1,0122222222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+b a a x a x b a b y ax y x 得.22221212222122)(,2ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+， ∴M 点的坐标为),(222222b a b b a a ++. …………………………4分 又M 点在直线l 上， 02222222=+-+∴b a b b a a . 2222222)(22c a c a b a =∴-==∴， .22==∴a c e ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知c b =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线l x y 21=上的对称点为),(00y x ， 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-+-=⋅--.5453:.0222,1210000000b y b x y b x b x y 解得. ………………10分 由已知222200341,()()155x y b b +=∴+=. 12=∴b ，∴所求的椭圆的方程为1222=+y x . ………………12分 （21）解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx ++=．整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ① ……………………………………3分直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <或k >．即k的取值范围为⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞∞．………………6分（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③ …………………………………9分而(01)()A B AB =，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <或2k >，故没有符合题意的常数k ．………………12分（22）解：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由..QP QF FP FQ =(10).(2)(1).(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．……4分（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，． ……………………………………………7分 由1MA AF λ= ，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y m λ+=-，整理得：1121my λ=--，2221my λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222.y y m y y +=--242.4m m =---0=．……10分 （2）解：212.M M MA MB y y y y =-- 221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2214(2)4216m m ⎛=+++= ⎝≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB ⋅ 最小值为16． ……14分。