高中数学 选修1-1 同步练习 专题3.3.3 函数的最大(小)值与导数(原卷版)
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3.3.3函数的最大(小)值与导数 Word版含答案
►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区分与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，y min＝0.1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17 D．9，－19解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝43或x＝2，∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫43＝427，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋3x在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4 B．5。
黑龙江省海林市朝鲜族中学人教高中数学选修1-1同步练习：3.3.3 函数的最大(小)值与导数(A) Word含解析
3.3.3 函数的最大(小)值与导数(A)一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．函数f (x )＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2，1]上的最小值为( ) A.2227B ．2C ．－1D ．－42．函数y ＝ln xx 的最大值为( )A.1eB ．eC ．e 2D ．－e3．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．(－5，1) C ．(－2，1) D ．(－5，－2)4．若函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－225．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )6．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有最小值，则实数b 的取值范围为( ) A ．(0，1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，12 7．函数f (x )＝－x 3＋3x 在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，11) B ．(－1，2)C ．(－1，2]D ．(1，4)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知0＜x ＜1，则函数f (x )＝4x ＋11－x 的最小值为________________________________．9．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的最小值是________．10．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意的x ∈(0，1]都有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为________．11．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0，1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a ＝________，b ＝________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求函数的解析式； (2)写出该函数的单调区间；(3)求此函数在[－2，2]上的最大值和最小值．13．(13分)已知函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8a . (1)若a ＝2，求f (x )的极大值和极小值；(2)若对任意的x ∈[0，4]，f (x )<4a 2恒成立，求a 的取值范围．3．3.3 函数的最大(小)值与导数(A)1．C [解析] f′(x)＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)，令f′(x)＞0，解得x ＞13或x ＜－1，令f′(x)＜0，解得－1＜x ＜13，∴函数在[－2，－1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1，13上单调递减，在⎝⎛⎦⎤13，1上单调递增．∴当x ＝－1时，f(x)取得极大值，极大值是2，当x ＝13时，f(x)取得极小值，极小值是2227，而f(－2)＝－1，f(1)＝2，故函数的最小值是－1.2．A [解析] y′＝1－ln xx 2，令y′＝0，解得x ＝e ，当x ＞e 时，y ′＜0，函数单调递减，当0＜x ＜e 时，y ′＞0，函数单调递增，∴当x ＝e 时，函数有最大值，最大值为1e.3．C [解析] 因为f(x)＝x 3－3x ，所以f′(x)＝3x 2－3.令f′(x)＝3x 2－3＝0，可得x ＝±1.因为f(x)在区间(a ，6－a 2)上有最小值，且f(x)在x ＝1处取得极小值，所以易知x ＝1必在区间(a ，6－a 2)内，且f(a)>f(1)，所以可知⎩⎪⎨⎪⎧a<1<6－a 2，f （a ）>f （1），6－a 2－a>0，解得－2<a<1.4．B [解析] f′(x)＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f′(x)＝0得x ＝3或－1，又f(－4)＝k －76，f(3)＝k －27，f(－1)＝k ＋5，f(4)＝k －20.由f(x)max ＝k ＋5＝10，得k ＝5，∴f(x)min ＝k －76＝－71.5．A [解析] 令h(x)＝f(x)－g(x)，x ∈[a ，b]，则h′(x)＝f′(x)－g ′(x)<0，∴h(x)是[a ，b]上的减函数．∴h(x)max ＝[f(x)－g(x)]max ＝f(a)－g(a)．6．D [解析] 由题意得，f ′(x)＝3x 2－6b 在(0，1)内有零点，且 f′(0)＜0，f ′(1)＞0，即－6b ＜0，且3－6b ＞0，∴0＜b ＜12.7．C [解析] 由题 f′(x)＝3－3x 2，令f′(x)＞0，解得－1＜x ＜1，令f′(x)＜0，解得x ＜－1或x ＞1.由此得函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，∵f(0)＝0，∴函数f(x)＝－x 3＋3x 在R 上的图像大致如图所示．故函数在x ＝－1处取到极小值－2，判断知此极小值必是区间(a 2－12，a )上的最小值，∴a 2－12＜－1＜a ，解得－1＜a ＜11，又当x ＝2时，f (2)＝－2，故有a ≤2，综上知a ∈(－1，2]．8．9 [解析] f ′(x )＝－4x 2＋1（1－x ）2＝（2－x ）（3x －2）x 2（1－x ）2(0<x <1)，当f ′(x )＞0时，解得23<x <1，当f ′(x )＜0时，解得0<x <23.∴当且仅当x ＝23时，f (x )取得极小值即最小值，且f ⎝⎛⎭⎫23＝9.9．－12 [解析] f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝1.f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2.∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.10．[4，＋∞) [解析] 因为x ∈(0，1]，f (x )≥0可化为a ≥3x 2－1x 3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4.令g ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x <12时，g ′(x )>0；当12<x ≤1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0，1]上有极大值g ⎝⎛⎭⎫12＝4，它也是最大值，所以a ≥4.11．2 3 [解析] f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)，令f ′(x )＝0， 得x 1＝0(舍)，x 2＝2，x 3＝－2(舍)，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2，b ＝3.12．解：(1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，解得a ＝－6，b ＝9，所以函数解析式为y ＝－6x 3＋9x 2.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x .令y ′＞0，得0＜x ＜1；令y ′＜0，得x ＞1或x ＜0.所以函数的单调递增区间为(0，1)，函数的单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)．(3)由(2)知当x ＝0时函数取得极小值0，当x ＝1时函数取得极大值3，又y |x ＝－2＝84，y |x ＝2＝－12.故函数在[－2，2]上的最大值为84，最小值为－12.13．解：(1)∵a ＝2时，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋16，∴f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值为f (2)＝20.(2)对任意的x ∈[0，4]，f (x )<4a 2恒成立，则当x ∈[0，4]时，f (x )max <4a 2恒成立．由(1)知当x ＝1时，f (x )有极大值f (1)＝5＋8a ，又f (4)＝32＋8a ，∴对任意的x ∈[0，4]，f (x )max ＝32＋8a ，∴32＋8a <4a 2，解得a >4或a <－2.。
高中数学 选修1-1 专题3.3.3 函数的最大(小)值与导数-高二数学(文)人教版
1．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的________；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．K 知识参考答案：1．连续不断2．极值K —重点 利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K —难点 函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题 K —易错 求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值． 【答案】见解析．【解析】由2()e 1xf x ax bx =---，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-．因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--． 当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增． 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； 当e2a ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在区间[0,1]上单调递减． 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--； 当1e22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈． 所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增． 于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--． 综上所述，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1gb =-； 当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--； 当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g ab =--．【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．已知函数1()ln ,f x a x a x=+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当1[,1]2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】（1）见解析；（2）2ln 2a =． 【解析】（1）2211()a ax f x x x x-'=-+=，0x >， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为(0,)+∞； 当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为1(0,)a．【名师点睛】本题中的参数a 对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a 进行分类讨论．恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．若函数21e (2)xf x k x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．1(,)e +∞ B ．(0,)+∞ C ．1[,)e+∞D ．[0,)+∞【答案】C【解析】因为21e (2)xf x k x =-，所以()e x 'x x f k =-． 因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以e 0()xx k f x '=-≥在(0,)+∞上恒成立，即e x x k ≥在(0,)+∞上恒成立．令()e x x g x =，则()1exxg x -='， 所以当01x <<时，0()g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，0()g x '<，()g x 单调递减，所以max 1()1e )(g x g ==，所以1e k ≥． 故实数k 的取值范围是1[,)e+∞．故选C ．已知函数()e xf x x =-．（1）求()f x 的极小值；（2）对(0,),()x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）极小值为1；（2）(,e 1)-∞-．【解析】（1）'()e 1xf x =-，令'()0f x =，得0x =．当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：则()f x 的极小值为(0)1f =．（2）当0x >时，e 1xa x->恒成立．令e ()1,0x g x x x =->，则2e (1)'()x x g x x-=，令'()0g x =，得1x =． 当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：则min ()(1)e 1g x g ==-，故实数a 的取值范围是(,e 1)-∞-．【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()a f x ≥或()a f x ≤的形式，然后利用导数求出函数()f x 的最值，则由max ()a f x ≥或min ()a f x ≤即可求出参数a 的取值范围．因未验根而致误已知3223()f x ax bx a x =+++在1x =-时有极值0，求常数a ，b 的值．【错解】因为()f x 在1x =-时有极值0且2()36f x x ax b '=++，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩． 【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证1x =-两侧函数的单调性而导致产生增根．【正解】因为()f x 在1x =-时有极值0，且2()36f x x ax b '=++．所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩． 当1a =，3b =时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥， 所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去．当2a =，9b =时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'．当3()x ∈∞--，时，()f x 为增函数； 当3()1x ∈--，时，()f x 为减函数； 当1()x ∈-+∞，时，()f x 为增函数． 所以()f x 在1x =-时取得极小值， 因此2a =，9b =．【名师点睛】可导函数在0x x =处的导数为0是该函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0f x '=求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是 A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值4．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是 A ．12，－8B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－165．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则其导函数()f 'x 是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数6．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为 A ．-5B ．-11C ．-29D ．-377．若函数323()12f x x x =-+，则 A ．最大值为1，最小值为12B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为12，无最大值D ．既无最大值也无最小值8．函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是________________． 9．函数ln xy x=的最大值为________________． 10．函数2()(1)f x x x =-在[0，1]上的最大值为________________． 11．函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为________________．12．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切． （1）求b a ,的值；（2）求()f x13．已知函数()ln (1)f x a x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求实数a 的取值范围．14．函数.)(223m x a ax x x f +-+=（1）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知函数3()31f x x x =--，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是 A ．20 B ．18 C ．3D ．016．函数32231(0)()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是A ．1[ln 2,)2+∞ B ．1[0,ln 2]2 C ．(,0)-∞D ．1(,ln 2]2-∞17．已知32()6f k x x x =-+在[1，5]上有最小值为0，则()f x 在[1，5]上的最大值为________________． 18．已知2()(1),()e x f x x m g x x =--+=，若12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是________________．19．已知函数2e (1)x f x x =--，若()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围为________________．20．已知函数()g x 的导函数e ()x g x '=，且()0)1e (g g ='，其中e 为自然对数的底数．若存在[0,)x ∈+∞，m 的取值范围为________________． 21．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -．（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值．22．已知函数()ln (,0)f x ax a x x =-∈>R ．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上的最小值．23．已知函数(2)ln ()1f x x x ax =--+．（1）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若存在正数0x ，使得001()ln f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．24．（2017新课标全国III ）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1 25．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数，则的最小值是________________． 26．（2018江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________________．27．（2017新课标全国III 文节选）已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++，当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．28．（2017北京文）已知函数()e cos xf x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2017新课标全国I 文）已知函数2e e ()()x xf x a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．30．（2017新课标全国II ）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．31．（2018新课标全国Ⅱ）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．1．【答案】D【解析】由极值与最值的概念可知应选D ． 2．【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值， 又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．故选A ． 3．【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵x ∈(－1，1)，∴f ′(x )<0，即函数在(－1，1)上是递减的， ∴函数f (x )在区间(－1，1)上既无最大值，也无最小值．故选D ． 4．【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8．∴y max ＝12，y min ＝－8．故选A ． 5．【答案】D6．【答案】D【解析】令2()6126(2)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或2x =，当20x -≤<时，()0f 'x >，当02x <<时，()0f 'x <，所以最大值在0x =处取得，即(30)f m ==，又()37(2)52,f f -=-=-，所以最小值为37-．故选D ． 7．【答案】D【解析】2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，得0x <或1x >，令()0f x '<，得01x <<，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以在0x =时，函数()f x 取得极大值1，在1x =时，函数()f x 取得极小值12，但是函数()f x 在(,)-∞+∞上，既无最大值也无最小值，故选D ．8．【答案】1【解析】()e 1xf x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()e xf x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=． 9．【答案】1e【解析】2ln 1xxy -='，当0e x <<时，0>'y ，当e x >时，0<'y ， 所以当e x =时，取得最大值，max e1ex y y===． 10．【答案】2311．【答案】6-【解析】4232()25,()444(1)f x x x f x x x x x '=--∴=-=-，令()0f x '=，得1x =-或0x =或1x =．列表如下：x 1-(1,0)-0 (0，1) 1 (1，2) 2 ()f x ' 0+ 0-+ ()f x6- 增5- 减6-增3由表可知，函数的最小值为6-． 12．【答案】（1）11,2a b ==（2）最大值为12-． 【解析】（1）由题可得()2af x bx x'=-．由函数()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切，可得(1)01(1)2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得21()ln 2f x x x =-，其定义域为(0,)+∞，所以211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在1[,1)e 上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以()f x 在1[,e]e上的最大值为1(1)2f =-．13．【答案】（1）见解析；（2）(0,1)．（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值； 当0a >时，()f x 在1x a =处取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-． 因此，1()22ln 10f a a a a>-⇔+-<．令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上是增函数，(1)0g =，于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此实数a 的取值范围是(0,1)． 14．【答案】（1）(,3){0}(3,)-∞-+∞；（2）(,87]-∞-．【解析】（1）由题意知，22()32f x x ax a '=+-，当0=a 时，()0f 'x ≥恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；当0≠a 时，因为0)0(<'f ，所以(1)0(1)0f f '<⎧⎨'-<⎩，解得3>a 或3-<a ．综上，实数a 的取值范围为(,3){0}(3,)-∞-+∞．15．【答案】A【解析】2()333(1)(1)x f 'x x x =-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．(3)19f -=-，(12)f =，(1)1f -=，(31)f =-，可知12|()()|f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20．故选A ． 16．【答案】D【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=．欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a 的值必须小于或等于2，即2e 2a ≤，解得1(,ln 2]2a ∈-∞，故选D ． 17．【答案】27【解析】令2()3123(4)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或4x =，当14x ≤<时，()0f 'x <，当45x <≤时，()0f 'x >，所以()f x 在4x =处取得最小值，即()3204f k =-+=，所以32k =，又(21)7f =，(5)7f =，所以函数()f x 在[1，5]上的最大值为27．18．【答案】1[,)e-+∞【解析】易知2()(1)f x x m =--+的最大值为m ，()e e e (1)xxxg x x x '=+=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 减函数，当1x >-时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()g x 的最小值为1(1)e g -=-．12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，只需1e m ≥-．故实数m 的取值范围是1[,)e-+∞． 19．【答案】(,e 2]-∞-【解析】()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立．令()()f x x x ϕ=，0x >，则22(1)1()()(e )()x x x f x x x 'x x f x'ϕ----==，（8分） 易知当(0,)x ∈+∞时，e 10x x -->恒成立，令0()'x ϕ>，得1x >；令0()'x ϕ<，得01x <<，所以函数()x ϕ的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，所以min 1e 2()()x ϕϕ==-，所以min e ()2k x ϕ≤=-，故实数k 的取值范围为(,e 2]-∞-．20．【答案】(,3)-∞21．【答案】（1）1a =，12b =-；（2）4-．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+．由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩．（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-．令()0f x '=，得122,2x x =-=．当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数； 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数．由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-． 由题设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-， 因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-．22．【答案】（1）单调递增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞；（2）当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-．（2）由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x-+'=-=， 令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1x a>， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减．①当11a≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1，2]上是减函数， ∴()f x 的最小值是()l 2n 22f a =-．②当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1，2]上是增函数，∴()f x 的最小值是()1f a =-．③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a 是减函数．又21()()ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时，ln 20,a ->最小值是()1f a =-； 当ln 21a ≤<时，最小值为()l 2n 22f a =-．综上，当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-． 23．【答案】（1）(,1]-∞-；（2）[0,)+∞．（2）不等式001()ln f x x ≤-即0000(2)ln 11ln x x ax x --+≤-，即000ln ln a x x x ≥-， 令ln ln ()xg x x x=-，由题意可得min ()x a g ≥， 易得221ln 1l 1)n (x x xg x x x x --+=-='，令1(n )l x x x h -+=，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，又11110(ln )h -+==，所以当01x <<时，()0h x <；当1x >时，()0h x >， 所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>， 故函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()()ln 11ln 110x g g ==-=，所以0a ≥． 故实数a 的取值范围为[0,)+∞．24．【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足2112(e e)x x x x a --+-=-+， 设11e e ()eee ex x x x g x --+=+=+，则2(1)1e 1()e x x g x ---'=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为(1)2g =．设2()2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 与函数()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =．故选C ． 25．【答案】【名师点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 26．【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，27．【答案】证明见解析．【思路分析】证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a≤--，而)21()(max a f x f -=，所以需证11ln 1022a a-++≤，设ln ()1g x x x =-+，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证．28．【答案】（1）1y =；（2）最大值为1；最小值为π2-． 【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()(000)y f f x '-=-中即可；（2）设()()h f 'x x =，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为(00)h =，从而可以知道()()0h f 'x x =<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值．【解析】（1）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=． 又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（2）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减． 所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<， 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 29．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]-．【分析】（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．30．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立．（2）由（1）知 2()ln x x f x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-． 当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2(e )0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()'x f h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-．由0(0,1)x ∈可得01()4f x <，因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点， 由1e (0,1)-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=，所以220e ()2f x --<<．31．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值．（2）设函数2()1e xh x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
高中数学人教新课标A版选修1-1(文科)第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数同步练习(I)卷
高中数学人教新课标A版选修1-1（文科）第三章3.3.3函数的最大（小）值与导数同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）函数f（x）=ex﹣x﹣1的最小值是（）A . ﹣ln2B .C . 0D . 12. （2分）函数y=xlnx的单调递减区间是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二上·集宁期末) f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A . ﹣2B . 0C . 2D . 45. （2分）若函数f（x）=x4+4x3+ax2﹣4x+1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （1，+∞）C . （，+∞）D . （，+∞）6. （2分）函数y=x4﹣4x+3在区间[﹣2，3]上的最小值为（）A . 72B . 36C . 2D . 07. （2分） (2018高三上·辽宁期末) 已知函数的图象上存在不同的两点 ,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·南昌月考) 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分）(2020·湖南模拟) 若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列四个结论：①1不是函数的一个下界；②函数有下界，无上界；③函数有上界，无下界；④函数有界.其中所有正确结论的编号为________.10. （1分） (2017高二上·江苏月考) 设函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是________.11. （1分） (2016高一上·虹口期末) 设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是________．三、解答题 (共3题；共30分)12. （5分）设函数，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M⊊P，则求实数a的取值范围．13. （10分）设函数f（x）=lnx﹣ax2（a＞0）．（1）讨论函数f（x）零点的个数；（2）若函数f（x）有极大值为，且存在实数m，n，m＜n使得f（m）=f（n），证明：m+n＞4a．14. （15分） (2016高三上·辽宁期中) 已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：且n＞1）参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共30分)12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、14-3、。
专题3.3.3函数的最大(小)值与导数 2018-2019学年高二数学人教版(选修1-1)Word版含解析
第三章 导数及其应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-【答案】A2．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为 A ．2[,)e+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞D ．2(,)e+∞【答案】B【解析】由题意得()()0f x g x ->在[1,e]上有解，即min 2ln 2ln 0,()xax x a x->>， 设2ln x y x =，则22(1ln )0x y x -'=≥，因此当1x =时，min 2ln ()0xx=，则0a >．故选B ． 3．若函数32231(0)e (0())ax x x x x x f ++≤>⎧⎪=⎨⎪⎩在[2,3]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是A ．1[ln2,)3+∞ B ．10,ln23[] C ．(,0]-∞D ．1(,ln2]3-∞【答案】D 【解析】依题意，时，，函数()f x 在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D ．4．若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(5,1)-B ．[5,1)-C ．[2,1)-D ．(5,2]--【答案】C5．若存在正实数,,x y z ，使得e 2z xy z =，且2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]2【答案】B【解析】易得e ln ln ln ln ln ln2ln2z xy y x x x x x z z z z z=-=-=--，由2e x z x ≤≤可得1e 2x z ≤≤，设x t z=，则1[,e]2t ∈，令l (n )n2l f t t t --=，1[,e]2t ∈，则11()1t f t t t -=-='．易得函数()f t 在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min ()(1)1ln2f t f ==-，因为1111()ln ln22222f =--=，1(e)e 1ln 22f =-->，所以max (e e 1n 2()l )f f t =--=，所以[1ln2,e 1ln2]()f t ---∈，即ln [1ln2,e 1ln2]yx∈---．故选B ．6．已知函数e ()e xx x f x a=+，0a >，若函数()f x 的最小值为1-，则a =A ．21e B ．1eC ．eD ．2e【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(3,1)-【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<．8．已知函数23((4)2)ln 2f x x a x x =++-，若函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】(9,5)--【解析】由题可得22(3(43)2)()4x a x x x a x f 'x++-=++-=，因为函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，所以()(120)f 'f '⋅<，即9)50()(a a ++<，解得95a -<<-，故实数a 的取值范围是(9,5)--． 9．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为________________． 【答案】37-【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，0()f 'x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-．10．抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．【答案】86911．已知函数e ,1()e ,1x x x f x x -⎧≤-⎪=⎨≥⎪⎩，2()g x mx =，若函数)())((f x F g x x +=有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为________________．【答案】2e [e,)4--【解析】显然函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞ ，函数()g x 的定义域为(,)-∞+∞，且()f x -=()f x ，()()g x g x -=，所以函数()f x ，()g x 都是偶函数．要使函数()F x 有四个不同的零点，则当1x ≥时2e 0xmx +=有两个不同的实数根，由2e 0xmx +=可得2e xm x=-，则直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点．因为3(()e 2)x x h'x x -=，所以当12x ≤<时，()0h'x >；当2x >时，()0h 'x<，所以2max e ()(2)4h x h ==-，又22e 4(e )e e (1)h h -=-<-=，所以当e m -≤<2e 4-时直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点，即当2ee 4m -≤<-时函数()F x 有四个不同的零点，故实数m 的取值范围为2e[e,)4--．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值．。
人教新课标版数学高二数学 选修1-1练习3-3-3函数的最大(小)值与导数
3．3．3 函数的最大(小)值与导数双基达标 （限时20分钟）1．函数y ＝x (1－x 2)在[0，1]上的最大值为( )． A.29 3 B.29 2 C.49 2 D.38解析 y ′＝1－3x 2＝0，∴x ＝±33.当0<x <33时，y ′>0；当33<x <1时，y ′<0.所以当x ＝33时，y 极大值＝293；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0.所以当x ＝33时，y max ＝29 3. 答案 A2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( )． A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B. 答案 B3．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )．A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－2b3a ，所以b ＝0，故选A. 答案 A4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 答案 π6＋ 35．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________．解析 f ′(x )＝cos x －sin x ＝0，即tan x ＝1， x ＝k π＋π4，(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，当－π2＜x ＜π4时，f ′(x )＞0；当π4＜x ＜π2时，f ′(x )＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4是极大值．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴函数最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1.答案2 －16．求函数f (x )＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值． 解 f ′(x )＝5x 4＋20x 3＋15x 2＝5x 2(x ＋3)(x ＋1)， 由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－1或x ＝－3(舍)， 列表：x －1 (－1，0)0 (0，4)4f ′(x ) 0 ＋0 ＋f (x )12 625又f (0)∴函数y ＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1，4]上的最大值为2 625，最小值为0.综合提高 （限时25分钟）7．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是( )．A．－173B．－103C．－4 D．－643解析y′＝x2＋2x－3(x∈[0，2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，y min＝－173，故选A.答案 A8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()．A．－37 B．－29 C．－5 D．－11解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案 A9．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________．解析∵y′＝4（x2＋1）－2x·4x（x2＋1）2＝－4x2＋4（x2＋1）2，令y′＝0可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.答案2－210．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－52＋a＝－12.答案－1 211．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1，3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1，2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0.可得4a ＋3b ＋4＝0. ②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，代入3x －y ＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23. 当x ∈[－3，－2)，⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1时f ′(x )>0，函数是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23时f ′(x )<0，函数是减函数，∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13. 在x ＝23处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527.。
2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析
3.3.3 函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升一、基础巩固1.函数y=x-sin x ,x ∈[π2,π]的最大值是( )A.π-1B .π2‒1C.πD.π+1y'=1-cos x ,x ∈≥0.[π2,π],∴y '∴y=x-sin x .在[π2,π]上是增函数∴当x=π时,y max =π.2.函数f (x )=4x-x 4在x ∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是( )A.f (1)与f (-1)B.f (1)与f (2)C.f (-1)与f (2)D.f (2)与f (-1)(x )=4-4x 3,由f'(x )>0,得x<1;由f'(x )<0,得x>1.所以f (x )=4x-x 4在x=1时取极大值f (1)=3.而f (-1)=-5,f (2)=-8,所以f (x )=4x-x 4在[-1,2]上的最大值为f (1),最小值为f (2).3.函数y=x 3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是( )A.1B.5C.12D.-153x 2-3,令y'=0,得3x 2-3=0,解得x=1或x=-1.∵当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0.∴y 极小值=y|x=1=1,y 极大值=y|x=-1=5,而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min =-15.4.已知函数f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.-11f'(x )=6x 2-12x=6x (x-2)=0,解得x=0或x=2.因为f (0)=m ,f (2)=m-8,f (-2)=m-40,所以f (x )max =m=3,f (x )min =f (-2)=m-40=3-40=-37.5.设函数f (x )=ax 3+3bx (a ,b 为实数,a<0,b>0),当x ∈[0,1]时,有f (x )∈[0,1],则b 的最大值是( )A .12B.24C.32D.3+146.函数f (x )=x ex 在[0,4]上的最小值是___________________.(x )f'(x )>0,得x<1.=1-xe x ,由∴f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.∵f (0)=0,f (4)=4e 4,∴f (x )在[0,4]上的最小值为0.7.若函数f (x )=13x 3‒x 在(a ,10‒a 2)内有最小值,则实数a 的取值范围为_________________.f (x )f'(x )=x 2-1.=13x 3‒x ,所以由f'(x )>0,得x>1或x<-1;由f'(x )<0,得-1<x<1.所以x=1是函数的极小值点.因为函数f (x )在开区间内有最小值,所以1∈(a ,10-a 2),即a<1<10-a 2,解得-3<a<1.-3,1)8.已知函数f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是 =a x 2+2ln x ,当a >0时,f (x ).f (x )x ,得f'(x )=ax 2+2ln =2(x 2-a )x 3,f (x )的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x )=0,得x=)或x 又函数‒a (舍去=a .当0<x ,f'(x )<0;<a 时当x ,f'(x )>0,故x f (x )的极小值点,也是最小值点,且f >a 时=a 是函数(a )=ln a+1.要使f (x )≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a ≥e .+∞)9.已知函数f (x )=x 3-3x 2-9x+k ,对任意x ∈[-4,4],都有f (x )≥0成立,求实数k 的取值范围.(x )=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x )=0,得x=3或x=-1.∵f (-4)=k-76,f (3)=k-27,f (-1)=k+5,f (4)=k-20.∴f (x )min =k-76.由k-76≥0,得k ≥76.∴k 的取值范围是[76,+∞).10.设f (x )=ln x ,g (x )=f (x )+f'(x ).(1)求g (x )的单调区间和最小值.(2)若g (a )-g (x )<1a 对任意x >0恒成立,求a 的取值范围.由题设知f'(x )g (x )=ln x =1x ,则+1x (x >0).所以g'(x )g'(x )=0得x=1.=x -1x 2,令当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,故g (x )的单调递减区间是(0,1);当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,故g (x )的单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g (x )在(0,+∞)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g (1)=1.(2)由(1)知g (x )的最小值为1,所以g (a )-g (x )x>0恒成立可转化为g (a )-1<1a 对任意<ln a<1,从而得0<a<e .1a ,即故实数a 的取值范围为(0,e).二、能力提升1.函数f (x )=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A.12,-15B.-4,-15C.12,-4D.5,-15(x )=6x 2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f'(x )=0,得x=-1或x=2.因为f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4,所以f (2)<f (3)<f (0).所以f (x )max =f (0)=5,f (x )min =f (2)=-15.2.已知a ≤1-x x +ln x 对任意x ∈[12,2]恒成立,则a 的最大值是( )A.0 B.1C.2D.3f (x )x ,则f'(x )f'(x )=0,解得x=1.当x ∈=1-xx +ln =-x +x -1x 2+1x =x -1x 2.令[12,1),f'(x )<0,故函数f (x );当x ∈(1,2]时,f'(x )>0,故函数f (x )在(1,2]上单时在[12,1)内单调递减调递增,∴f (x )min =f (1)=0,∴a ≤0,即a 的最大值为0.3.若函数f (x )=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围是( )A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D .(0,12)(x )=3x 2-3a=3(x 2-a ).若a ≤0,则f'(x )>0,即f (x )在(0,1)内单调递增,f (x )无最小值.若a>0,由f'(x )>0,得x f (x )在(0,.>a ,则,a )内单调递减在[a ,+∞)内单调递增≥1,则f (x )在(0,1)内单调递减,f (x )无最小值.若a 0<a<1.此时,f (x )在(0,,当x 故a <1,即,a )内单调递减在(a ,1)内单调递增=a 时,f (x )取最小值.4.设直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小值时t 的值为( )A.1B .12C.52D.22,由图可以看出|MN|=y=t 2-ln t (t>0).y'=2t ‒1t =2t 2-1t =2(t +2)(t -2)t .当0<t ,y'<0,可知y ;<22时在(0,22)内单调递减当t ,y'>0,可知y .故当t ,|MN|有最小值.>22时在(22,+∞)内单调递增=22时5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是 .★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:x-2056f(x)3-2-23①函数f(x)在(0,3)内是增函数;②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;④若∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是 .7.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.f'(x)=(x-k+1)e x.由f'(x)>0,得x>k-1.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.∵f (1)=-3-c ,即b-c=-3-c ,∴b=-3.又f'(x )=4ax 3ln x+ax 3+4bx 3=x 3(4a ln x+a+4b ),由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.(2)由(1)知,f'(x )=48x 3·ln x (x>0).由f'(x )>0,得x>1.∴f (x )在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(3)由(2)知f (x )在x=1处取最小值-3-c ,要使f (x )≥-2c 2恒成立,只需-3-c ≥-2c 2,即2c 2-c-3≥0,解得c ≥c ≤-1.32或故c 的取值范围是(-∞,-1]∪[32,+∞).。
高中数学 选修1-1 同步练习 专题3.3.3 函数的最大(小)值与导数(解析版)
第三章 导数及其应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+D ．1-【答案】A2．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()ag x x=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为 A ．2[,)e+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞D ．2(,)e+∞【答案】B【解析】由题意得()()0f x g x ->在[1,e]上有解，即min 2ln 2ln 0,()xax x a x->>， 设2ln x y x =，则22(1ln )0x y x -'=≥，因此当1x =时，min 2ln ()0xx=，则0a >．故选B ． 3．若函数32231(0)e (0())ax x x x x x f ++≤>⎧⎪=⎨⎪⎩在[2,3]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是A ．1[ln2,)3+∞ B ．10,ln23[] C ．(,0]-∞D ．1(,ln2]3-∞【答案】D 【解析】依题意，时，，函数()f x 在上单调递增，在上单调递减，最大值为，故当时，，即，故选D ．4．若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(5,1)-B ．[5,1)-C ．[2,1)-D ．(5,2]--【答案】C5．若存在正实数,,x y z ，使得e zxy z =2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是 A ．1[1ln2,]2-B ．[1ln2,e 1ln2]---C ．[ln2,e 1ln2]---D ．1[,1]2【答案】B【解析】易得e ln ln ln ln ln2lnzx y y x x x x x z z z z z =-==--，由2e x z x ≤≤可得1e 2x z ≤≤， 设x t z =，则1[,e]2t ∈，令l (n )n2l f t t t --=，1[,e]2t ∈，则11()1t f t t t-=-='． 易得函数()f t 在1[,1)2上单调递减，在(1,e]上单调递增，所以min ()(1)1ln2f t f ==-，因为1111()ln ln22222f =--=，1(e)e 1ln 22f =-->，所以max (e e 1n 2()l )f f t =--=，所以[1ln2,e 1ln2]()f t ---∈，即ln [1ln2,e 1ln2]yx∈---．故选B ．6．已知函数e ()e xx x f x a=+，0a >，若函数()f x 的最小值为1-，则a =A ．21eB ．1eC ．eD ．2e【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．若函数31()3f x x x =-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为________________． 【答案】(3,1)-【解析】2()1f x x =-'，则由()0f x '>，得1x >或1x <-；由()0f x '<，得11x -<<，所以1x =是函数的极小值点，因为函数在开区间内有最小值，所以21(,10)a a ∈-，即2110a a <<-，解得31a -<<．8．已知函数23((4)2)ln 2f x x a x x =++-()f x 在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】(9,5)--【解析】由题可得22(3(43)2)()4x a x x x a x f 'x++-=++-=，因为函数()f x 在区间(1,2)上存在最值，所以()(120)f 'f '⋅<，即9)50()(a a ++<，解得95a -<<-，故实数a 的取值范围是(9,5)--． 9．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为________________． 【答案】37-【解析】由题意知2()612f x x x '=-，由()0f x '=得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x '>；当02x <<时，0()f 'x <，则()f x 在[]2,0-上单调递增，在[0,2]上单调递减，由条件知(0)3f m ==，故(2)5f =-，(2)37f -=-，从而最小值为37-．10．抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．【答案】8611．已知函数e ,1()e ,1x x x f x x -⎧≤-⎪=⎨≥⎪⎩，2()g x mx =，若函数)())((f x F g x x +=有四个不同的零点，则实数m 的取值范围为________________．【答案】2e [e,)4--【解析】显然函数()f x 的定义域为(,1][1,)-∞-+∞，函数()g x 的定义域为(,)-∞+∞，且()f x -=()f x ，()()g x g x -=，所以函数()f x ，()g x 都是偶函数．要使函数()F x 有四个不同的零点，则当1x ≥时2e 0xmx +=有两个不同的实数根，由2e 0xmx +=可得2e xm x=-，则直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点．因为3(()e 2)x x h'x x-=，所以当12x ≤<时，()0h'x >；当2x >时，()0h'x <，所以2maxe ()(2)4h x h ==-，又22e 4(e )e e (1)h h -=-<-=，所以当e m -≤<2e 4-时直线y m =与曲线2e ()x h x x =-在[1,)+∞上有两个不同的交点，即当2ee 4m -≤<-时函数()F x 有四个不同的零点，故实数m 的取值范围为2e [e,)4--．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值．【答案】最大值为2，最小值为18-．【解析】2()33,()0,1,1f x x f x x x ''=-==-=令得或． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x (3,1)--1-(1,1)-1 3(1,)2()f x ' + 0 – 0 + ()f x递增极大值递减极小值递增因此，当1x =-时，()f x 有极大值，为(1)2f -=；当1x =时，()f x 有极小值，为(1)2f =-， 又39(3)18,()28f f -=-=-，所以函数()f x 在3[3,]2-上的最大值为2，最小值为18-． 13．已知函数()e x f x ax =-，其中e 为自然对数的底数．（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值． 【答案】（1）10x y +-=；（2）2e a a -．由题可得(0)1f =，2e ()a f a a =-，设2()()(0)e 1a h a f a f a =-=--，则2()e ah a a =-'，设e (2)a H a a =-，则当1a >时e 2(0)aH'a -=>恒成立，所以当1a >时1()()1e 210h a h '-=⨯'>>，所以函数()h a 在(1,)+∞上单调递增．又12(1)e 11e 20h =--=->，所以当1a >时()0h a >恒成立，即当1a >时()()0f a f >， 所以当1a >时，函数()f x 在[0,]a 上的最大值为2e ()af a a =-．14．已知函数2(1)3ln ()f x a x x =+-，a ∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,()1)f 处的切线方程； （2）若对任意的[1,e]x ∈，()2f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）530x y -+=；（2）25(,)(e 1)-∞+．又2(1)0h =>，e 30)7e (h =-<，所以存在0(1,e)x ∈，使得0()0h x =． 所以当0[1,)x x ∈时，0()g x '>；当0(,e]x x ∈时，0()g x '<． 所以函数()g x 在0[1,)x 上单调递增，在0(,e]x 上单调递减． 由min ()a g x <可得()1a g <且()e a g <，即12a <且25(e 1)a <+，又2155210e (1)=>+，所以25(e 1)a <+，故实数a 的取值范围为25(,)(e 1)-∞+． 15．已知函数21()e 2x f x x ax a =+-，()g x 为函数()f x 的导函数． （1）求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()g x 在(,)-∞+∞上存在最大值，且max ()0g x =，求函数()f x 在[0,)+∞上的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1-．。
高中数学 3.3.3 函数的最大(小)值与导数课时作业(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
课时作业29 函数的最大(小)值与导数知识点一函数最值的概念1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点答案 C解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值答案 A解析f′(x)＝2＋sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．知识点二求函数的最值3.函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16答案 A解析∵f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令f′(x)＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.答案20解析∵f′(x)＝3x2－3，∴当x>1或x<－1时f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)<f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m.∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.5．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，32时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，f ′(x )>0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834.易错点 对“存在型”和“任意性”认识不到位6.已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．易错分析 误解“任意性”与“存在型”的关系．实际上本题是双变量恒成立问题，对于这类问题有如下结论：记区间D 1，D 2分别是函数y ＝f (x )，y ＝g (x )定义域的子区间．双变量的恒成立与能成立问题包含以下四种基本类型：类型1 ∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )max .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任一函数值均大于函数y ＝g (x )的任一函数值，只需f (x )min >g (x )max 即可．同理有：∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)<g (x 2)⇔f (x )max <g (x )min .类型2 ∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )min .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任一函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值，但并不要求大于y ＝g (x )的所有函数值，故只需f (x )min >g (x )min 即可．类型3 ∃x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )max >g (x )max .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的某些函数值大于函数y ＝g (x )的任一函数值，只要求y ＝f (x )有函数值大于y ＝g (x )的函数值即可，故只需f (x )max >g (x )max 即可．类型4 ∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )max >g (x )min .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的某些函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值，都只要求有这样的函数值，不要求所有的函数值，故只需f (x )max >g (x )min .同理有：∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)<g (x 2)⇔f (x )min <g (x )max .答案 m ≥－52解析 由∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)知，只需f (x )min ≥g (x )min .因为f ′(x )＝2x 3－1x 2，x ∈[1,2]，所以f ′(x )≥0，f (x )在[1,2]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝3.又在[－1,1]上g (x )min ＝g (1)＝12－m ，所以12－m ≤3，即m ≥－52.一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12答案 B解析 由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.2．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 答案 B解析 f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，而f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数．当x ＝π时，y max ＝π.4．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．－1答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.二、填空题5．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________． 答案 2＋2a －2ln 2解析 令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0，得x ＝2.当x ∈(0,2)时，F ′(x )<0， 当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0，∴当x ＝2时，F (x )min ＝F (2)＝2－2ln 2＋2a .6．设函数f (x )＝12x 2e x，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) 0－ 0＋ f (x )递减递增∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )>m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m <f (x )min ， ∴m <0.7．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )，x ∈[0,1]的值域为__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12esin1＋cos1解析 当0≤x ≤1时，f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x >0，所以f (x )在[0,1]上单调递增，则f (0)≤f (x )≤f (1)，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e sin1＋cos1.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称． (1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值． 解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得：f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x 在[－1,2]上变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：2. 9．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a ，b 的值． 解 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3a (x 2－4x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4. ∵x ∈[－1,2]，∴x ＝0. 由题意知a ≠0.①若a >0，则f (x )，f ′(x )随x 变化的情况如下表：单调递增单调递减∴当x 又f (2)＝8a －24a ＋3＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取最小值，－16a ＋3＝－29， ∴a ＝2.②若a <0，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：单调递减单调递增又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3，综上：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.。
2019-2020学年数学人教A版选修1-1同步检测：3.3.3函数的最大(小)值与导数
A．1 B．4
C．－1 D．0
解析：∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当 x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即 f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4. 答案：B 5．函数 f(x)＝(1－x)ex 有( ) A．最大值为 1 B．最小值为 1 C．最大值为 e D．最小值为 e 解析：f′(x)＝－ex＋(1－x)ex＝－xex，当 x<0 时，f′(x)>0，当 x>0 时，f′(x)<0，∴f(x) 在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
1＋ 1＋ 1＋ 因为 2 22 23 >2，所以整数 m 的最小值为 3.
基础达标 一、选择题 1．函数 f(x)＝x2－4x＋1 在[1,5]上的最大值和最小值是( )
A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2) 解析：f′(x)＝2x－4，令 f′(x)＝0，得 x＝2.
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
－6
增
－5
减
－6
增
3
由表可知，函数的最小值为－6.
答案：－6
7．若函数 f(x)＝x3－3x－a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 m，n，则
m－n＝________.
解析：∵f′(x)＝3x2－3，
∴当 x>1 或 x<－1 时 f′(x)>0，
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高中数学选修1-1单元配套练习试题3.3.3 函数的最大(小)值与导数及参考答案解析
3.3.3 函数的最大(小)值与导数姓名:___________班级:______________________1.下列命题中,真命题是( )A.函数的最大值一定不是该函数的极大值B.函数的极大值可以小于该函数的极小值C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D.函数在开区间内不存在最大值和最小值2.函数ln x y x =的最大值为( ) A.1e - B.e C.2e D.103 3.函数()3223125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是 ( )A.5,－15B.5,－4C.－4,－15D.5,－164.函数2cos y x x =+在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取最大值时,x 的值为( ) A.0 B.π6C.π3D.π25.函数()3224f x x x x =--+,当[]3,3x ∈-时,有()f x a ≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.()311-，B.[)33,-+∞C.(],33-∞-D.[]27，6.函数()e xf x x =-(e 为自然对数的底数)在区间[]1,1-上的最大值是( )A.1B.1C.e ＋1D.e －17.若函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上有最大值3,则该函数在[]1,1-上的最小值是( )8.已知0ln 1)1(≤--+x x a 对于任意,则实数a 的最大值为( ) A.0 B.1C.2ln 21-9.函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是__________.10.已知1ln x a x x -≤+对任意的1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_____. 11.若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值,则实数a 的取值范围为_________.12.已知a 为实数,()))(4(2a x x x f --=. (1)求导数()x f '; (2)若()01=-'f ,求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值.13.已知函数()()2ln f x x ax x a =-+-∈R .(1)当3a =时,求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值; (2)函数()f x 既有极大值又有极小值,求实数a 的取值范围.14.已知函数()e 2x f x ax =+.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为0,求实数a 的值.参考答案1.B【解析】函数的最值是在定义域内某个封闭区间上的最大、最小值,最值可能是极值,也可能是区间端点值;由函数图象可知,极大值可能小于极小值.结合选项可知B 正确.考点:最值与极值的关系判断.2.A当(0,e)x ∈时函数单调递增,当(e,)x ∈+∞时函数单调递减故选A. 考点:导数在函数最值中的应用.3.A 【解析】2()6612f x x x '=--,∴()f x 在[)0,2上单调递减,在(]2,3上单调递增,∴min ()(2)15f x f ==-,max ()max{(0),(3)}(0)5f x f f f ===.考点:利用导数求函数在闭区间上的最值.【答案】B【解析】12sin ,y x '=-,由0y '>可知π06x <<,由0y '<可知ππ62x <<,所以函数在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,故2cos y x x =+在π6x =时取得最大值. 考点:用导数判断函数在闭区间上的最值.5.C【解析】()2344f x x x '=--+,令()0f x '=,可得2x =-或23.()33f -=-,()28f -=-,()240,333,327f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭要使()f x a ≥在[]3,3x ∈-上恒成立, 只需()min ,33f x a a ≥∴≤-,所以a 的取值范围是(],33-∞-,故选C.考点:利用导数求函数在闭区间上的最值.6.D【解析】()e 1xf x '=-,令()0,f x '=得0x =. 又()()()010e 01,1e 11,111,e f f f =-==->-=+>且11e 11e 2e e ⎛⎫--+=-- ⎪⎝⎭＝2e 2e 10e--=>,所以()()max 1e 1,f x f ==-故选D. 考点:利用导数求函数在闭区间上的最值.7.C【解析】()()23331f x x x x x '=-=-,当()0f x '>时,1>x 或0<x ,当()0f x '<时,10<<x ,所以()f x 在区间[]1,0-上函数递增,在区间[]1,0上函数递减,所以当0=x 时,函数取得最大值()30==a f ,则()32332f x x x =-+,所以()211=-f ,()251=f ,所以最小值是()211=-f . 考点:利用导数求函数在闭区间上的最值.8.C 【解析】依题意得1ln 1,x a x ++≤令1ln ()x f x x +=,则()2ln 1,,22x f x x x ⎡⎤'=-∈⎢⎥⎣⎦,当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0f x '>,当(]1,2x ∈时,()0f x '<,所以函数1ln ()x f x x +=先增后减,最小值为()11min ,222ln 222f f f ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==-⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭, 所以22ln 2112ln 2a ≤--=-.故选C.考点:不等式恒成立问题,利用导数研究函数的最值.9.1【解析】因为()e 1x f x '=-,()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<,所以()f x 在[1,0]-单调递减,在[0,1]单调递增,从而函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=.考点:函数的最值与导数.10.0【解析】令()1ln ,x f x x x -=+则()21x f x x -'=,当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()0f x '<,当(]1,2x ∈时,()0f x '>,∴()()min 10,0,f x f a ==∴≤故a 最大值为0.考点:利用导数求函数在闭区间上的最值及不等式恒成立.11.[)1,2-【解析】()()()2111f x x x x '=-=+-,令()'0f x >,得1x <-或1x >, 令()0f x '<得11x -<<,所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞,减区间为()1,1-.所以要使函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值,只需()()21101,a a f a f ⎧<<-⎪⎨≥⎪⎩即考点:用导数研究函数的最值.12.(1)()2324f x x ax '=--【解析】(1)()423)4()(2'22--=-+-=ax x x a x x x f .则()34,143'2=-=⇒--=x x x x x f 或43x =或, 由0)2()2(==-f f ,41641205504.39329627f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-⨯=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点:函数导数与闭区间上的最值.13.(1)最大值是2,最小值为2ln 2-(2)a >【解析】(1)3a =时,()()()()22111231230x x x x f x x x x x x---+'=-+-=-=->, 函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦仅有极大值点1x =,故这个极大值点也是最大值点, 故函数在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦最大值是()12f =, 又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-. (2)()21212,x ax f x x a x x-+-'=-+-= 若()f x 既有极大值又有极小值,则()0f x '=有两个不同正根12,x x ,即2210x ax -+=有两个不同正根,故a考点:利用导数求函数闭区间上的最值.14.(1)当0a ≥时,在R 上单调递增;当0a <时,递减区间为()()a 2ln ,-∞-,递增区间为()()+∞-,2ln a (2)e 2a =- 【解析】(1)当0a ≥时,函数()e 20x f x a '=+>,()f x 在R 上单调递增,当0a <时,()e 2x f x a '=+,令e 20x a +=,得ln(2)x a =-,所以当(,l n (2x a ∈-∞-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减;当(ln(2),)x a ∈-+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增.(2)由(1)可知,当0a ≥时,函数()e 20xf x ax =+>,不符合题意.当0a <时,()f x 在(,ln(2))a -∞-上单调递减,在(ln(2),)a -+∞上单调递增. ①当ln(2)1a -≤,,()f x 最小值为(1)2e f a =+. 解2e 0a +=,符合题意. ②当ln(2)1a ->,,()f x 最小值为(ln(2))22ln(2)f a a a a -=-+-, 解22ln(2)0a a a -+-=,得2e a =-,不符合题意. 综上考点:利用导数求函数的单调区间与最值.。
高中数学选修1-1课时作业2：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、基础达标1．函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值 [答案] D[解析] 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．(－1,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2， 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B. 3．函数y ＝ln xx 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D.103 [答案] A[解析] 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0(x ＞0)．解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0＜x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值， 所以y max ＝1e .4．函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值[答案] C[解析] 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0， 得x ＝±1.最大值2.5．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，2ln 2－2][解析] 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可． 6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________． [答案] π6＋ 3[解析] y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3.7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －2(－2,0)0(0,2) 2f′(x)＋0－0f(x)－40＋a 极大值a －8＋amin当x＝0时，f(x)的最大值为3.二、能力提升8．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为()A．1 B.12 C.52 D.22[答案] D[解析]由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－ln t(t>0)．y′＝2t－1t＝2t2－1t＝2(t＋22)(t－22)t.当0<t<22时，y′<0，可知y在(0，22)上单调递减；当t>22时，y′>0，可知y在(22，＋∞)上单调递增．故当t ＝22时，|MN |有最小值．9．(2014·湖北重点中学检测)已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ∈[]1，2，b ∈(2,3]，函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B ．(－∞，5] C ．[3，＋∞) D ．[5，＋∞)[答案] D[解析] ∵f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则有f ′(x )≤0在[a ，b ]上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在[a ，b ]上恒成立，即有t ≥32(x ＋1x )在[a ，b ]上恒成立，而函数y ＝32(x ＋1x )在[1,3]上单调递增，由于a ∈[1,2]，b ∈(2,3]，当b ＝3时，函数y ＝32(x ＋1x )取得最大值，即y max ＝32(3＋13)＝5，所以t ≥5，故选D.10．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________． [答案] －12[解析] f ′(x )＝3x 2－3x ， 令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. ∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ， f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9.当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围． 12．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，且f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.三、探究与创新13．(2013·新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4,而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，∴a＝4，b＝2，d＝2，c＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)，设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2(x≥－2)，F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得，x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，∴当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增，故F(x)在x＝x1时取最小值F(x1)，而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e2)，∴当x≥－2时，F′(x)≥0，∴F(x)在(－2，＋∞)单调递增，而F(－2)＝0，∴当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立，③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0，∴当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2].。
高中数学选修1-1课时作业13：3.3.3 函数的最大(小)值与导数
3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B.π2－1C ．πD ．π＋1 考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] C[[解析]] y ′＝1－cos x ≥0，故y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递增，所以当x ＝π时，y max ＝π.2．函数y ＝ln x x的最大值为( ) A ．10B ．e －1C ．e 2D ．e考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] B[[解析]] 令y ′＝(ln x )′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0，所以y 极大值＝y |x ＝e ＝e －1，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1.3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点 利用导数求函数的最值题点 抽象函数的最值[[答案]] A[[解析]] 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．4．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则m 的取值范围是() A ．m ≥32 B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] A[[解析]] ∵f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，验证可知x ＝3是函数的最小值点，故f (x )min ＝f (3)＝3m －272，由f (x )＋9≥0恒成立，得f (x )≥－9恒成立，即3m －272≥－9，∴m ≥32.5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12 D.12或－32考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数[[答案]] C[[解析]] 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，所以f (x )max ＝f (a )，即－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)． 6．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 考点 函数最值的应用题点 最值存在性问题[[答案]] D[[解析]] 由题意得函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 的导函数f ′(x )＝3x 2－6b 在(0,1)内有零点，且f ′(0)<0，f ′(1)>0，即－6b <0，且3－6b >0，∴0<b <12，故选D. 7．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] A[[解析]] 由f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，则f (x )min ＝f (－3)＝－19，f (x )max ＝f (－1)＝f (2)＝1，由题意知|f (x 1)－f (x 2)|max ＝|－19－1|＝20，∴t ≥20，故t min ＝20.8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B.12C.52D.22考点 函数最值的应用题点 距离的最值问题[[答案]] D[[解析]] 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0)，则y ′＝2t －1t＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎫t ＋22⎝⎛⎭⎫t －22t . 当0<t <22时，y ′<0，可知y 在⎝⎛⎭⎫0，22内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在⎝⎛⎭⎫22，＋∞内单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 二、填空题9．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考点 利用导数求函数的最值题点 不含参数的函数求最值[[答案]] 2 －2[[解析]] f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， 得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.10．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． 考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数[[答案]] 3－1[[解析]] f ′(x )＝(x 2＋a )－x ·2x (x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2＝(a －x )(a ＋x )(x 2＋a )2， 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数．若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为单调递减函数，由f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，得a ＝3－1； 若a >1，即a >1时，f (x )在[1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，a ＝34(舍去)． 故a ＝3－1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．考点 函数极值的应用题点 函数的零点与方程的根[[答案]] (－∞，2ln2－2][[解析]] f ′(x )＝e x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝ln2.当x ∈(－∞，ln2)时，f ′(x )<0，x ∈(ln2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )min ＝f (ln2)＝2－2ln2＋a .由题意知，2－2ln2＋a ≤0，可得a ≤2ln2－2.三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在[1，a ]上的最大值和最小值．考点 含参数的函数最值问题题点 含参数的函数求最值解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，∵当x ∈[1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当且仅当x ＝1时取等号)， ∴a ≤3，即实数a 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意知f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0，∴a ＝5，∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)． 当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0，即当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝－9.又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立． 考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围解 (1)由题设知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝ln x ＋1x， 所以g ′(x )＝x －1x 2. 令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)因为g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立， 即ln a <g (x )对任意x >0成立．由(1)知，g (x )的最小值为1，所以ln a <1，解得0<a <e.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－4x ＋1，直线l ：x ＋y ＋2k －1＝0，当x ∈[－3,3]时，直线l 恒在函数f (x )图象的下方，则实数k 的取值范围是( )A ．k >－34B ．k <－34C ．k <92D ．k >92考点 函数最值的应用题点 恒成立中参数的取值范围[[答案]] D[[解析]] 命题等价于当x ∈[－3,3]时，⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2－4x ＋1－(－x －2k ＋1)>0恒成立， 即k >－16x 3＋12x 2＋32x . 设g (x )＝－16x 3＋12x 2＋32x ，则 g ′(x )＝－12x 2＋x ＋32＝12(3－x )(1＋x )． 由g ′(x )>0，得－1<x <3；由g ′(x )<0，得－3<x <－1.∴g (x )在[－3，－1)上单调递减，在(－1,3]上单调递增，∴当x ＝－1时，g (x )取得最小值，又g (－3)＝92，g (3)＝92，∴y max ＝92，∴k >92. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值． 考点 含参数的函数最值问题题点 知最值求参数解 函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； ③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾．综上所述，a 的值为 e.。
人教新课标版数学高二数学选修1-1练习3-3-3函数的最大(小)值与导数
技能演练1.下列命题中真命题是( )A ．函数的最大值一定不是该函数的极大值B ．函数的极大值可以小于该函数的极小值C ．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ．函数在开区间内不存在最大值和最小值答案 B2．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．0≤a <1B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析 设f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，若a ＝0，则f ′(x )＝3x 2，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)是增函数，∴无最小值，排除A 、C.当a ＝12时，f ′(x )＝3(x 2－12)，令f ′(x )＝0，x ＝±22，∴当x ∈(0，22)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(22，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．∴当x ＝22时，f (x )有最小值，排除D ，故选B.答案 B3．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15解析 求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.故选A.答案 A4．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是() A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析求导可得f′(x)＝x＋sin x，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1,1]时，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．答案 D5．若f′(x0)＝0，则x0是()A．极大值点B．极小值点C．最值点D．可能是极值点答案 D6．函数f(x)＝－x3＋3x在区间[－3,3]上的最小值是________．解析f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，∴x＝±1.f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(3)＝－18，f(－3)＝18，∴f(x)的最小值为－18.答案－187．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0,1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．解析f′(x)＝2x＋2a.令f′(x)＝0，x＝－a，∴若f(1)为最小值，只须－a≥1，∴a≤－1.答案(－∞，－1]8．函数y ＝x ·e x 的最小值为________．解析 f ′(x )＝(x ·e x )′＝1·e x ＋x ·e x＝(x ＋1)·e x .令f ′(x )>0得x >－1，令f ′(x )<0得x <－1，∴f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．f (x )在(－∞，－1)上单调递减．∴f (x )min ＝f (－1)＝－1·e －1＝－1e .答案 －1e9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在区间[1，a ]上的最大值．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3，由f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则当x ∈[1，＋∞)时，恒有f ′(x )≥0，即3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立．由Δ＝4a 2＋36>0，a 3≤1且f ′(1)＝－2a ≥0， 解得a ≤0.(2)依题意得f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，a ＝4，则f (x )＝x 3－4x 2－3x ，令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，解得x 1＝－13，x 2＝3，而f (1)＝－6，f (3)＝－18，f (4)＝－12，故f (x )在区间[1,4]上的最大值是f (1)＝－6.10．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a >0)为奇函数，其图像在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12.又直线x －6y －7＝0的斜率为16，因此f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.故a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)f (x )＝2x 3－12x ，f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝ 2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f(2)＝－82；∴当x＝2时，f(x)取得最小值为－8 2.当x＝3时，f(x)取得最大值为18.感悟高考(2010·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．解(1)由题意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b，因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.∵函数g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，即对任意实数x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，∴f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知，g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2]，[2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在[－2，2]上是增函数．∴g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423， 最小值为g (2)＝43.。
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第三章 导数及其应用
3.3.3 函数的最大（小）值与导数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数2(n )2l f x x x =-在[1,2]上的最大值是 A ．42ln 2- B ．1 C ．42ln 2+
D ．1-
2．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ，()a
g x x
=-，若至少存在一个0[1,e]x ∈，使00()()f x g x >成立，则实数a 的取值范围为 A ．2[,)e
+∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞
D ．2(,)e
+∞
3．若函数32231(0)
e (0())
ax x x x x x f ++≤>⎧⎪=⎨⎪⎩在[2,3]-上的最大值为2，则实数a 的取值范围是
A ．1
[ln2,)3
+∞ B ．10,ln23
[] C ．(,0]-∞
D ．1(,ln2]3
-∞
4．若函数3()3f x x x =-在区间2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．(5,1)- B ．[5,1) C ．[2,1)-
D ．(5,2]-
5．若存在正实数,,x y z ，使得e z
x
y z =2e x z x ≤≤，则ln y x 的取值范围是 A ．1
[1ln2,]2
-
B ．[1ln2,e 1ln2]---
C ．[ln2,e 1ln2]---
D ．1[,1]2
6．已知函数e ()e x
x x f x a
=+，0a >，若函数()f x 的最小值为1-，则a =
A ．
21e
B ．
1e
C ．e
D ．2e
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．若函数3
1()
f x x x =
-在2(,10)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为________________． 8()f x 在区间(1,2)上存在最值，则实数a 的取值范围
是________________．
9．已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为________________．
10．抛物线22y x =-与x 轴所围成的封闭图形的内接矩形的最大面积为________________．
11．已知函数e ,1()e ,1
x x x f x x -⎧≤-⎪=⎨≥⎪⎩，2
()g x mx =，若函数)())((f x F g x x +=有四个不同的零点，则实数
m 的取值范围为________________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．已知函数3()3f x x x =-，求函数()f x 在3
[3,]2
-上的最大值和最小值．
13．已知函数()e x f x ax =-，其中e 为自然对数的底数．
（1）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．
14．已知函数2(1)3ln ()f x a x x =+-，a ∈R ．
（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,()1)f 处的切线方程； （2）若对任意的[1,e]x ∈，()2f x <恒成立，求实数a 的取值范围．
15．已知函数2
1()e 2
x f x x ax a =
+-，()g x 为函数()f x 的导函数． （1）求函数()g x 的单调区间；
（2）若函数()g x 在(,)-∞+∞上存在最大值，且max ()0g x =，求函数()f x 在[0,)+∞上的最大值．。