运动的矢量运算
简谐运动的旋转矢量描述法
π
4
A g a'*
h' * g'* *
t f O b*' T T f'* 3T T 5T
e
c' 4* 2*e' 4
4
-A
d*'
T 2 （旋转矢量旋转一周所需的时间）
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
二、旋转矢量法对相位的表示
若某时刻t，测得质点的位移为x =A/2，向OX轴负方
简谐运动的旋转 矢量表示法
一、简谐运动的旋转矢量表示法
P
t=t
t+
o
A t=0
A
x·
x
x Aco（s t ）
x Aco（s t ）
旋 转 矢量 A的
x 端点在
轴上的投
影点的运
动为简谐
运动.
x Acos(t )
用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
x
Ah
a
bO
c -Ad
x
x Acos(t )
向运动
M
A
O 3P
X
M
三、旋转矢量法对相位差的表示
A2
A1
O
相位差 2 1 2kπ
x
(k 0，1， 2,)
两个振动同相，步调相同
A1
O
A2
相位差 2 1 (2k 1)π
x
(k 0，1,)
两个振动反相，步调相反
例题 两个同方向、同频率的谐振动，频率为2s-1，
当第一个振子从平衡位置向正向运振动的相位差。
解：
2 1
A 2
t
o
矢量形式的ns方程
矢量形式的ns方程
矢量形式的Navier-Stokes（NS）方程是描述流体运动的基本方程。
它由连续性方程和动量方程组成。
1. 连续性方程：
连续性方程描述了质量守恒，即流体在任何给定点的流入和流出的质量必须保持平衡。
矢量形式的连续性方程可以表示为：
∇·u = 0。
其中，∇是向量算子的散度运算符，u是流体的速度矢量。
2. 动量方程：
动量方程描述了流体的运动和力的作用。
矢量形式的动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∇u + u∇²u + u。
其中，∂u/∂u是速度矢量的时间导数，u·∇是速度矢量的对流项，u是压力，u是流体的密度，u是动力黏度，u是外力矢量。
这个方程可以进一步展开为三个独立的方程，即x、y和z方向的方程。
以x方向为例，动量方程可以表示为：
∂u/∂u + (u·∇)u = -1/u∂u/∂u +
u(∂²u/∂u² + ∂²u/∂u² + ∂²u/∂u²) + uu。
其中，uu是外力在x方向上的分量。
总结起来，矢量形式的NS方程包括连续性方程和动量方程，用于描述流体的质量守恒和运动。
这些方程可以进一步展开为三个方向上的方程，用于求解流体的速度和压力分布。
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量1.引言1.1 概述矢量和标量是物理学中常见的概念。
在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。
它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。
例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。
标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。
例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。
在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。
在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。
它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。
在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。
我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。
我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。
我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。
我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
第三部分将探讨矢量和标量在物理中的应用。
我们将以实际的例子来说明矢量和标量在物理学中的重要性和用途。
我们将讨论矢量和标量在运动学、力学和其他物理学领域中的应用，并解释它们如何帮助我们理解和描述物理现象。
最后，我们将在第三部分总结本文的主要内容和观点。
我们将强调矢量和标量在物理学中的作用，以及它们在解决物理问题时的重要性。
第一讲 点的运动学：矢量法、直角坐标
定理：点的加速度在直角 坐标上的投影等于点的对 应坐标对时间的二阶导数。
例题 1.2半径为R的轮子在一竖直平面内沿直线轨道纯滚动(接触
点速度为零的无滑动滚动)。轮心速度已知为常数u，试分析轮子
边缘一点 M 的运动。
y
建立点运动方程的一般过程
1．建立坐标系(明确坐标原点与坐标正方向)；
ϕ = ωt
试建立连杆上 P 点的运动方程并分 析它的运动轨迹、速度及加速度。
解：建立如图所示的坐标系， 研究 P 的运动。
根据已知条件写出 P 的直 角坐标随时间的变化规律，即得 P 的直角坐标形式的运动方程
⎧x = (2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎩
y
=
d
sin(ωt)
P 的轨迹方程为椭圆：
(BP = d)
r
再求导得 P 点的加速度 a = &x&i + &y&j = −ω2r
⎧⎪&x& = −ω 2(2l − d ) cos(ωt)
⎨ ⎪⎩
&y&
Hale Waihona Puke =−ω2d
sin(ωt
)
P点沿椭圆轨道变速周期运动。
2
例1.3：刚体的概念和其上点运动的性质 定义1：运动中始终不变形的物体称为刚体。 定义2：其上任意两点间的距离始终不变的物体称为刚体。
⎪⎩z = f3 (t)
1
速度:描述点瞬时运动快慢和方 向变化的物理量，是矢量。点的 速度沿轨迹切线，指向点的运动 方向。
v(t) = dr 记 r&= dr
dt
dt
直角坐标法
r = xi + yj + zk
浅析大学物理微积分思想与矢量思想
浅析大学物理微积分思想与矢量思想大学物理中的微积分思想和矢量思想是非常重要的概念。
微积分思想是一种数学工具，用于处理变量的变化，而矢量思想则是一种数学工具，用于描述物理量在空间中的运动。
在物理学中，这两种思想通常是紧密结合在一起的，因此在研究物理现象时需要同时运用这两种思想。
本文将从微积分思想和矢量思想两个方面对大学物理的研究进行浅析。
微积分思想微积分思想是大学物理研究中最重要的数学思想之一，它是一种处理变量变化的工具。
在物理学中，物体的位置、速度、加速度等重要物理量都是随时间而变化的，微积分思想能够帮助我们描述这些变化。
以物体的运动为例，如果我们知道物体的速度随时间的变化率，就能够用微积分来计算物体在某个时间点的位置。
微积分思想可以用于研究大量的物理问题，如运动方程、牛顿定律、万有引力定律等。
这些问题的求解都需要用到微积分思想，因此掌握微积分思想是大学物理学习中非常重要的一步。
矢量思想矢量思想也是大学物理学习中必备的数学思想之一。
在大学物理中，我们经常需要描述物理量在空间中的运动，如力、速度、加速度等。
这些物理量都具有方向性，因此不能仅仅通过数值来描述。
这时，矢量思想就能够发挥非常重要的作用。
在矢量思想中，我们用带箭头的直线来表示一个矢量，箭头的方向表示该矢量的方向，线段的长度表示该矢量的大小。
矢量可以进行加、减、乘等运算，这些运算结果还是矢量。
在研究物理问题时，我们通常需要用到矢量的加法、减法、点乘、叉乘等运算。
矢量思想也是非常重要的一种工具，我们可以用它来研究大量的物理问题，如质点受力、牛顿第三定律、动量守恒定律等。
这些问题的求解都需要用到矢量思想，因此熟练掌握矢量思想对于学好大学物理非常重要。
微积分思想与矢量思想的结合微积分思想和矢量思想在物理学中通常是紧密结合在一起的。
我们常常需要用微积分思想来描述物体的运动状态，再用矢量思想来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如，当我们研究物体的运动状态时，通常需要用微积分思想来求解物体的速度、加速度等物理量。
运动学中的矢量分析方法
运动学中的矢量分析方法运动学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支，而矢量分析则是运动学中的一种基本工具。
矢量分析方法能够提供关于物体位置、位移、速度和加速度等方面的详细信息，为我们深入理解运动提供了有力的支持。
本文将介绍运动学中常用的矢量分析方法，并探讨其应用。
一、位置矢量的表示和分析方法在运动学中，我们常常需要描述物体的位置。
为了准确地表示物体的位置，我们引入了位置矢量的概念。
位置矢量是从参考点（原点）指向物体位置的矢量，通常用符号r表示。
位置矢量可以用坐标表示，比如在直角坐标系中，位置矢量可以表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k为分别指向坐标轴x、y、z正方向的单位矢量，x、y、z为物体在各坐标轴上的坐标。
利用位置矢量，我们可以方便地研究物体的位移、速度和加速度等性质。
例如，给定物体的两个不同时刻的位置矢量r1和r2，物体的位移矢量可以表示为Δr = r2 - r1。
而物体的平均速度矢量可以表示为vav = (Δr) / Δt，其中Δt为物体在两个时刻之间的时间间隔。
二、速度和加速度的矢量分析方法速度和加速度是描述物体运动快慢和变化快慢的重要概念。
在矢量分析中，我们通过对位置矢量的微分来定义速度和加速度。
具体地说，物体的速度矢量可以表示为v = dr/dt，而物体的加速度矢量可以表示为a = dv/dt。
通过对速度和加速度进行矢量分析，我们可以得到更多有关物体运动的信息。
例如，给定物体的速度矢量v，我们可以分解它为沿着各坐标轴方向的分速度，即v = vxi + vyj + vzk。
这样，我们可以得到物体在各方向上的速度大小和方向。
类似地，给定物体的加速度矢量a，我们也可以进行类似的分解。
三、相对运动的矢量分析方法在研究物体的相对运动时，矢量分析方法同样发挥了重要作用。
相对运动是指两个物体相对于彼此的运动情况。
在相对运动分析中，我们通常采用相对速度和相对加速度等概念。
相对速度是指两个物体之间的速度差，可以表示为vrel = va - vb，其中va和vb分别表示两个物体的速度矢量。
02位置矢量运动学方程
•法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。
5
ˆ 为单位矢量， 大小不变， ˆ, n
但方向改变。 强调：自然坐标系是建立在运动 质点上的，它随质点一起运动在 轨道曲线上。轨道上各点的自然 坐标系的二个坐标轴的方位是不 断变化的。
n
n
s 0O s 0
6
位置矢量在直角坐标系中可以从原点o向质点p所在位置画一矢量来表示质点位置称为位置矢量简称位矢
位置矢量 运动学方程
1
一、位置矢量
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。 在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置， z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。
4
二、自然坐标系
1.自然坐标系
ˆ n
ˆ
ˆ n
ˆ
O
质点P沿已知的平面轨道运动。 将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。
质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s来表示，s称为弧坐标。 运动方程：s s(t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。
在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标的端点代表质点的位置，位 矢的大小表示原点到质点的距离，位 矢的方向由原点指向质点P。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o x
x
z
r
y
y
i , j, k 表示沿x，y，z轴的单位矢量。
2
2 2 2 位矢大小（位矢的模）：r | r | x y z
y
质点的运动实际上就是它的位置在随时间的变化。 即质点运动时，位置矢量是时间的函数。
质点运动时，在某时刻t，位矢可表示为： r r (t )
1-3 位置矢量和运动方程
）
B．椭圆；
C．圆；
x 2t 1 2 y gt 2
D和路程
1、位移 （反映物体位置的变化）
r rB rA
r r ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
例：匀速率圆周运动 消去 t ，得到：
{
x = R cos ω t y = R sin ω t
为轨迹方程。
x2 +y2 = R2
轨迹?
圆
轨迹：质点在运动时所描绘出的空间径迹。
【习题 1-1】 一质点在平面内运动，其参数方
1 2 程为： x 2t ， y gt （g为重力加速 2
度）。则此质点的运动轨迹为（
2、 质点作圆周运动位置矢量大小一定不变。
【习题1-3】一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，当t=T/4到t = 3T/4时间内，质点通 2 过的路程是（ ）。其中 。 y T A．2R
B．πR
C．0 D．πRω
x
【习题1-4】 一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，从t =T/4到t =3T/4时间内该质点的位 2 y 移是（ ）。其中 。 T A． -2R i
B． 2R i Ｃ．-2R j
Ｄ．0
x
【补充例题1】 一质点在 xoy 平面内按x = t 2 ，y = t3/16的规律沿曲线运动，其中 x、y 以m为单位，t 以s 为单位。试求：质点2s末到4s末的位移。 解：
运动方程 （分量式）
运动方程举例： x = x0 + υ0 cos θ t 斜抛运动： y = y0 + υ0 sinθ t
机构的运动分析-相对运动矢量方程图解法
运动副
连接两个构件，限制它 们相对运动的约束。
自由度
速度和加速度
机构能够独立运动的数 量。
描述构件运动的物理量， 包括线速度、角速度、 线加速度和角加速度。
机构运动分析的数学模型
矢量方程
描述机构中各构件之间相对运动的矢 量方程，包括位置矢量、速度矢量和 加速度矢量。
矩阵运算
用于求解矢量方程的数学工具，包括 矩阵乘法、转置和逆等。
理解机构的运动规律。
齿轮机构的运动分析
齿轮机构是一种常见的机械传动机构，其运动特性可以通过相对运动矢量方程进行描述。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
齿轮机构在运动过程中，各构件之间的相对位置和相对运动关系可以通过矢量方程进行表示， 通过图解法可以直观地理解机构的运动规律。
复杂的机构运动分析中。
深入研究机构运动分析的其他方 法和技术，促进机构设计领域的
创新和发展。
加强与其他学科的交叉研究，将 机构运动分析方法应用于更多领 域，如机器人学、生物力学等。
对未来研究的建议
注重理论与实践相结合，加强实际应用案例的积累和 分析，提高方法的实用性和可靠性。
鼓励跨学科合作，发挥各自优势，共同推进机构运动 分析领域的发展。
05
结论与展望
研究结论
相对运动矢量方程图解法能够 准确描述机构的运动特性，为 机构运动分析提供了有效工具。
通过实例分析验证了该方法的 可行性和实用性，为机构设计 和优化提供了理论支持。
该方法具有直观、易理解的特 点，有助于提高机构运动分析 的效率和精度。
研究展望
进一步拓展相机构的运动分析
第三章 机构的运动分析--相对运动矢量方程图解法
二、两构件组成移动副的重合点的速度和加速度
B 3 2 1 1 A
3
速度分析：
ω3 3 4 C b1 ( b2 )
p
vB3
l BC
大小 ？ 方向 CB
vB3 vB2 vB3 B 2
√ AB ？ // BC
k
p
v B3 v pb3
加速度分析：
b3
v m
b3 b3
运动分析—矢量方程法
两类问题： 1）同一构件不同点之间的运动关联
刚体的平面运动=随基点的平动+绕基点的转动 选构件两点
基点法
2）两构件重合点之间的运动关联
点的复合运动=动系(重合点)的牵连运动+相对 (该重合点的)运动 选两构件重合点
重合点法
一、同一构件上各点的速度和加速度
C B 2
已知：各杆长 度，机构位置， 1 为常数。
连接点p与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点
的绝对速度，其指向是从p指向该点。如p→x代表 vX
连接其他任意两点的矢量便代表该两点在机构图中的同名
点间的相对速度，其指向适与速度的角标相反。如x→y代 表 vYX
速度影像的应用条件是同一构件内。
加速度影像（梅姆克第二定理）
– 一个刚体上三个点的加速度矢量末端在加速度平面图 中所构成的三角形与原始三角形同向相似。 π称为极点，代表所有构件上绝对加速度为零的点。 连接点π与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的 绝对加速度，其指向是从π指向该点。如π→x’代表示 aX 连接带有角标’的其他任意两点的矢量便代表该两点在机构 图中的同名点间的相对加速度，其指向适与加速度的角标相 反。如x’→y’代表 aYX 加速度分量一般用虚线表示。切向加速度用同名而不同上标 的两个字母表示，方向指向单撇(’)点。如y”→y’代表 atYX。而Y→X的向心加速度x’ → y”代表 anYX
矢量运算基础
读者自行完成此步的矢量合成图．
2
A -B
B
-B D
Aห้องสมุดไป่ตู้
图 8. 矢量的差
两个或两个以上矢量叠加可以合成一个矢量，相反，一个矢量也可以分解为两个或多个分矢量．通 常，一个矢量分解为两个矢量可以有无穷多种不同的分解方案，可以在几何上想象为对角线不变的平行 四边行有无限多个，相邻的两个邻边就是两个分矢量．图 9 给出了同一矢量 C 分解为两个矢量的无穷 多种不同的分解方案中两种可能的分解结果．只有已知两个分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方 向，这种分解才能有唯一结果．
带箭头的线段来表示，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向即矢量的方向，有时为了方便表示，
不标注起点和终点，如图 1 所示．显然，矢量具有平移不变性，即矢量虽然具有大小和方向，但它在空 间没有确定的位置，可以如图 2 所示平移到任何地方，而他仍是同一个矢量．
AP
A
O
图 1． 矢量的表示及其简化形式
A
AB
DC
B
C
A A+B
A+B+C
D
E=A+B+C +D
图 7. 多矢量的合成
矢量 A 与 B 的相减 A-B 可写成矢量 A 与矢量 -B 的叠加，即 A-B=A (-B) ，如同两矢量相加一样，
取矢量 B 的负矢量 -B ，移动 -B 使 -B 的始端与矢量 A 的末端重合，从 A 的始端引向 -B 的末端的矢量 D 就是矢量 A 与 B 差 D A-B=A (-B) ，如图 8 所示，读者也可以通过交换律得到 D A-B=(-B)+A ，请
A A
图 2．矢量的平移
两个表示同类物理量（如力）的矢量 A 与 B ，如果矢量 A 与 B 大小相等且方向相同，则称矢量 A 与 B 相等，记为 A B ， 如图 3 所示； 如果这两个矢量大小不相等或方向不相同，则矢量 A 与 B 不 相等； 如果这两个矢量大小相等但方向相反，则矢量 A 与 B 互为负矢量，记为 A -B 或 B -A ，如 图 4 所示．
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz R = ai
则有: Rx= aix Ry= aiy Rz= aiz
4.矢量的矢积
(1)定义: c = a × b
c
c a b sin a b
b
(2)直角坐标中的解析表示
a
6
i jk a b ax ay az
bx by bz
O
y
A
即: 2aA aE
D E
x
17
例题4.图示滑轮系统,已知物体E的运动方程为 xE = 2t +t2 ,求t = 4s时物体D的速度和加速度.
解:利用绳长不变的约 束条件得:
O
y
xE+2xA= c1
A
xB+(xB - xA) = c2
B E
xC+(xC - xB) = c3
C
xD - xC =c4
(6)
dt
10
(2)旋转矢量的导数
d R d r r
dt dt
dr dr dt dt
r
R
o r´
r r (r r)
R
11
例题1.矢量 a = 3i + 4j +5k , b = i + 2j +5k 求:(1) a+b (2) ab (3) a×b (4) ab (5) ba
ab b
31 4 2 5 5 36
1 22 52
30
13
(5) a0 3i 4 j 5k 3i 4 j 5k
32 42 52
25
ba
大学物理运动学第一章第四节曲线运动方程的矢量形式课件
y
yR
o xx
4、速度分量式
vx
dx dt
d dt
(R cos
t)
R sin
t
vy
dy dt
d dt
(R sin
t)
R cos
t
v
vx2
v
2 y
R
5、速度矢量式
v
dr dt
vxi
vy
j
R sin t i cos t j
6、加速度分量式
vx R sin t vy R cos t
ax
dvx dt
R 2
cos
t
ay
dvy dt
R 2
sin
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7、加速度矢量式
a
(R
2
cos
t)i
(R
2
sin
t)
j
2 R cos ti R sin tj
2r
二、抛体运动方程的矢量形式
1）可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运
动。
初速度沿x轴和y轴的分量分别是：
v0x v0 cos , v0y v0 sin y
加速度沿x轴和y轴的分量分别是：
ax 0,
则速度为：
ay g
v0 v0 x
O
v0 y
高等教育大学教学课件
用矢量运算巧解相对运动中的关联速度问题
习题研究教学参考第50卷第4期2021年4月用矢量运算巧解相对运动中的关联速度问题张铁林1朱行建2(1.天津经济技术开发区第一中学天津300457;2.天津经济技术开发区教育促进中心天津300457)文章编号：l〇〇2-218X(2021)04-0054-02中图分类号：G632. 479文献标识码：B 摘要：找出相对运动两个物体上的关联点，变换参考系后找出它们之间的相对速度i相对，借助r绝对=■〇相时+u牵述矢量 表达式，可以迅速构建矢量三角形，在矢量三角形中利用边角关系可迅速得到关联速度关系，整个过程简洁清晰。
关键词：关联速度；变换参考系；相对运动；矢量关系式关联速度是“运动的合成与分解”一节中的重点与难点，尤其是当涉及两个物体相对运动时，关联问 题会更加复杂，若使用运动的分解，必须要深人理解其本质，初学者很难掌握，而变换参考系后利用矢量运算可以很巧妙地解决这个问题，整个过程简洁、清 晰、高效。
使用这种方法，f先要找到相对运动中两个相互关联的点（如A和£!)，然后选择其中某一个点为参考 系（如B)，观察另外一个点的相对运动情况（如v.«)，借助矢量关系式：V.谨=V/Ui +VB地（或者〜绝对=V a b相对+画出矢量三角形，借助边角函数关系解决此类问题。
向下运动，设P相对于Q的速度为方向沿斜面向下，再由〜地=v pq +vc» (vm =v p，V f f l t e=)构建矢量三角形（图3)，根据矢量三角形，可以看图2出vP :v Q=tan (9(图4)，可知 v A:vB=tan沒。
二、杆面接触_、面面接触例1如图1所示，将楔形木块B放在光滑水平面上的墙边处并用手扶着，然后在木块和墙面之间放人一个小球A，放手让小球和木块同时由静止开始运动，已知楔形木块的倾角为0，某时刻二者速度分别为f A和，求:抑的值。
解析这属于面面接触的关联问题，首先找到球例2 —个半径为i?的半圆柱体沿水平方向向右以速度V。
角速度线速度和半径 矢量
角速度线速度和半径矢量全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：角速度、线速度和半径是物理学中重要的概念，它们之间密切相关，是描述物体运动和转动的基本参数。
本文将探讨角速度、线速度和半径之间的矢量关系，以及它们在物理学中的应用。
我们来介绍一下这三个概念。
角速度是描述物体绕某一轴旋转的快慢程度的物理量，通常用字母ω表示，其单位是弧度每秒（rad/s）。
线速度是描述物体沿着一条路径运动的快慢程度的物理量，通常用字母v表示，其单位是米每秒（m/s）。
而半径则是描述旋转或者圆周运动时的圆的大小的物理量，通常用字母r表示，其单位是米（m）。
在圆周运动中，角速度、线速度和半径之间存在着一种重要的关系，即线速度等于角速度乘以半径。
这一关系可以用矢量的形式表示为v = ωr，其中v为线速度的矢量，ω为角速度的矢量，r为半径的矢量。
这意味着当物体的角速度增大时，其线速度也随之增大；当半径增大时，线速度同样增大。
这种关系在描述圆周运动时非常有用，能够帮助我们更好地理解物体的运动规律。
在物理学和工程学中，这种关系被广泛地应用于各个领域。
在机械工程中，设计旋转机械时需要考虑到角速度、线速度和半径之间的关系，以确保机械的稳定运行和安全性。
在航天工程中，描述宇宙飞船的轨道运动也需要考虑到这些参数之间的关系。
在自然界中，天体运动和微观粒子的运动也可以通过这种关系来描述和研究。
除了在物理学和工程学中的应用之外，角速度、线速度和半径之间的矢量关系还可以应用于生活中。
我们骑自行车或者开车的时候，就可以通过这种关系来理解车轮的转动规律，从而更好地控制车辆的速度和转向。
角速度、线速度和半径之间的矢量关系是物理学中一个重要的概念，它帮助我们描述和理解物体的运动规律，广泛应用于各个领域。
通过深入理解这种关系，我们可以更好地掌握物理学知识，应用于实际工程和生活中。
第二篇示例：角速度和线速度以及半径是物理学中非常重要的概念，它们在描述物体运动和旋转时起着关键作用。
运动矢量的计算方法
矢量之间的运算要遵循特殊的法则。
矢量加法一般可用平行四边形法则。
由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。
矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。
A-B=A+（-B）。
矢量的乘法。
矢量和标量的乘积仍为矢量。
矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。
例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。
W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
M=r×F，F=qv×B。
专题：矢量图解运动问题
专题4矢量图解运动问题文/晨教你一手一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法．矢量加减依据平行四边形定则，也可简化为三角形（多边形）法．其图解方法如图4-1，若已知矢量A、B、（如图4-1(a)），当求R=A+B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段未端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为R（如图4-1(b)）；当求R=A-B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段未端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为R（如图4-1(c)）．运用这种方法可以进行多个矢量的连续相加或相减．我们可归纳如下：图4-1图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和．图解方法求矢量差：末端共点地分别作相减二矢量，连接两箭头、方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差．二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．运动的合成与分解遵循如下原理：１．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会因有其他分运动的存在而发生改变．２．等时性原理合运动是同一物体在同一时间同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义．３．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行四边形定则作上述物理量的运算．将一个复杂运动分解为几个分运动，通常有两种方法：⑴引入中介参照系．例如船过河的运动，是以静止的河岸为参考的一个复杂运动，我们可以取一个动参考物——运动的河水为中介，那么，船的运动可分解为船相对水的运动与水相对岸的运动．若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为v AC，动参考系B对C的速度（牵连速度）为v BC，而A对动参考系B的速度（相对速度）为v AB，则有v AC=v AB+v BC，v AB=v AC－v BC．同样地，我们可以按这种方法进行位移或加速度的合成与分解，例如，a AC=a AB+a BC，a AB=a AC－a BC．注意矢量运算式中下标的规律性．⑵依据实际效果分解运动．例如一架飞机以速度v与水平成θ角斜向上飞行，实际效果是在上升的同时水平向前移动了，我们可将飞机的运动分解为竖直方向与水平方向的两个分运动，若这两个分运动的速度依次为v1和v2，则有v＝v1＋v2．处理相对运动等复杂运动时，涉及速度、位移或加速度等矢量的加减运算，若用矢量图助解常会收到奇效．例1假定某日刮正北风，风速为u，一运动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下，运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角最大？分析与解设风相对于人的速度（即运动员感到的风速）为V，根据题给条件，有u=V+v．三个速度矢量中，u大小、方向均确定，v大小一定，V与v两矢量互相垂直（所谓正右侧），故可断定三个矢量所构成的满足题意要求的关系三角形应为直角三角形.如图4-2，取一点O，先作矢量u，以其矢端为圆心，表示v大小的线段长为半径作一圆，自O点向圆引切线OA，则矢量三角形△ＯＯ′Ａ即为符合题意要求的u、V、v关系．由图显见，当运动员朝南偏西θ＝arccos(v/u)方向以速率v奔跑时会感觉风从自己右侧吹来，并且在v＜u时才可能有这种感觉．若v＞u，绝对风速、风相对人的速度及人奔跑速度关系如图4-3，在△ＯＯ′Ａ′中运用正弦定理有(ｖ/ｓｉｎβ)＝(ｕ/ｓｉｎα)，可知当β＝(π/2)时，α＝ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)为最大，即在运动员向西偏南ａｒｃｓｉｎ(ｕ/ｖ)方向奔跑时感觉风与自己跑的方向所成夹角最大．图4-2 图4-3例2一只木筏离开河岸，初速度为v，方向垂直于岸，划行路线如图4-4虚线所示，经过时间T，木筏划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行方向不变．用作图法找到2T、3T……时刻此木筏在航线上的确切位置．图4-4分析与解设木筏相对于水的速度为V，则离岸时，V＝v-u，其矢量关系如图4-5(a)所示，该图同时给出了此后木筏复合运动的速度情况：木筏相对于水的速度V方向不变、大小是变化的；木筏的绝对速度v大小、方向均有变化．故而我们看到木筏的运动轨迹为一曲线．现如图4-5中(b)所示，连接OA的有向线段是时间T木筏的绝对位移s木，而s木＝s木对水＋s水，其中s水沿x正方向，s木对水平行于V方向．现作满足上式关系的位移矢量三角形，在x轴上得到Ｂ点，有向线段OB即为s水．由于水速u恒定，则各T时间s水恒定，故可在x轴上得ＯＢ′＝２s水，ＯＢ″＝３s水，过Ｂ′、Ｂ″点……作平行于V的直线交木筏轨迹于Ａ′、Ａ″……各点，即得2T、3T……时刻此木筏的确切位置．质点做变速运动时，若初速度为v0，末速度为v t，则速度增量Δv=v t－v0，这是一个矢量相减运算，其图解关系如图4-1(c)，利用这种矢量关系图解速度增量问题有其独到之处．图4-5例3某一恒力作用在以恒定速度v运动的物体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度v3t之大小．图4-6分析与解由于物体受恒力作用，故在相同时间，速度增量相同即Δv=v t－v=v2t－v t=v3t －v2t．现作满足题给条件的矢量图如图4-6所示，图中有向线段AB＝BC＝CD＝Δv，ＯＢ＝v t，v t=(v/２)，ＯＣ＝v2t，v2t=(v/４)，ＯＤ为待求量v3t．设恒力方向与v方向成π－α角，由图给几何关系，在△ＯＡＢ、△ＯＡＣ、ＯＡＤ中运用余弦定理，得(ｖ/２)2＝ｖ2＋Δｖ2－２ｖ·Δｖ·ｃｏｓα，(ｖ/４)2＝ｖ2＋（２Δｖ）2－２ｖ·２Δｖ·ｃｏｓα，ｖ3t2＝ｖ2＋（３Δｖ）2－２ｖ·３Δｖ·ｃｏｓα．由此方程组可解得物体在恒力作用3t时间后的速度大小为ｖ3t＝(/4)ｖ．例4从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最大．分析与解物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的时间t，速度增量Δv恒为竖直向下，大小为gt，落地时速度v的大小为，v0、v t与与Δv构成如图4-7所示矢量三角形关系．图中θ角、α角分别是初速度、落地速度与水平方向的夹角．注意到在矢量三角形的面积Ｓ△＝(１/２)ｇｔ·ｖ0ｃｏｓθ式中，v0tｃｏｓθ即为抛体飞行的水平位移x，则有Ｓ＝(１/２)ｇｘ．这样，我们只须考虑何时矢量三角形有最大面积即可．由于Ｓ△＝(１/２)△ｖ0·ｖtｓｉｎ（θ＋α），而v0、v t大小确定，则当（θ＋α）＝90°，即θ＝ａｒｃｔａｎ(ｖ/)时，S△有最大值：(１/２)ｇｘ＝(１/２)ｖ0·ｖt，亦即物体飞行的水平位移将达到最大，0其值为ｘm＝(ｖ0/ｇ)．图4-7例5网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应以什么样的速度vＰ运动？如果速度v0和球拍面的法线的夹角是α，速度vＰ和此法线的夹角φ是多少？设任何时刻球拍和球都是做平动的．分析与解本题求解的关键是作满足题给条件的矢量关系图，而矢量图的完成又有赖于准确地把握各矢量间的关系，题中给出了三个重要的关于矢量间关系的隐含条件：第一，重球拍的“重”告诉我们，可以认为拍的速度vＰ在碰球前后保持不变；第二，网球是弹性地射回，则告诉我们在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、方向相反；第三，由于球和拍都是作平动的，故球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切向速度分量．现取球拍面之法线为x轴，使y轴沿拍面，O为网球入射点，如图4-8所示，从O点沿与x轴成α角方向作有向线段ＯＡ＝v0，作射线OP⊥OA，从A点作x轴平行线交OP于Ｂ，取AB中点C，则有向线段ＯB 即是球离拍时的速度v t，有向线段ＯC则是球拍速度vＰ，而有向线段CＡ、CB则是射入时球对拍速度v0－vＰ和弹回时球对球拍速度v t－vＰ，前面已经分析到，它们是等值、反向且沿球拍法向的．根据所作的矢量图，在直角三角形OAB中，斜边上的中线ＯＣ＝(ＡＢ/２)，ＡＢ＝(ＯＡ/ｃｏｓα)．故ｖP＝(ｖ0/２ｃｏｓθ)，而球拍速度与球拍法线方向夹角为φ＝２（(π/２)－α）＝π－２α．图4-8小试身手1.甲、乙两船在静水中航行速度分别为v和v乙，两船从同一渡口向河对岸划去．已知甲甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时间之比t甲∶t乙＝_____________．2.骑自行车的人以20km／h的速率向东行驶，感到风从正北方吹来，以40km／h的速率向东行驶，感到风从东北方向吹来，试求风向和风速．3.从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最短距离．4.如图4-9所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸的距离为D，船速为v0，一艘速率为v（v＜v0）的海上警卫小艇从港口出发沿直线航行去拦截这条船．图4-9（1）证明小艇必须在这条船驶过海岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的(/ｖ)·D处．（2）如果快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？5.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速度之比v1∶v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）6.敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度ω转动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？7.如图4-10所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50km／h和v2＝70km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速．图4-108.磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动，重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径ｒ初的３倍．绕带的时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带，问需要多少时间？9.在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半径经过时间t1＝20min减小一半．问此后半径又减小一半需要多少时间t2？10.快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5km/h沿与湖岸成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸以速度v1＝4km/h行走或在水中以速度v2＝2km/h游去，此人能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？11.如图4-11所示，在仰角α＝π/６的雪坡上举行跳台滑雪比赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ点，坡上O、B两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角为多大？图4-1112.一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸，小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的速度应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的．参考答案1.甲、乙船速度矢量关系如图答4-1，两船航程相同，由图得(ｔ甲/ｔ乙)＝(ｖ2乙/ｖ2甲)．图答4-1 图答4-22.速度矢量v 风=v 风对人+v 人的关系如图答4-2，由图易得v 风≈28km/h ．3.以竖直上抛的石块为参考系，另一石块以相对速度v 21做匀速直线运动，速度矢量关系如图答4-3，由图知ｖ21＝，两石块最短距离ｄ＝ｌ·ｓｉｎθ＝(ｖ1/)ｌ，这个最短距离适用于另一石块落地之前，即(ｌcosα)/()＝(ｌｖ2)/(ｖ12＋ｖ22)≤时．图答4-3 图答4-44.（1）艇相对船的速度方向不会超过θ，如图答4-4所示，ｃｏｔθ＝(/ｖ)，A 点、港口间的连线与岸的夹角即两者相对位移方向不超过θ，则A 点在港口后面ｓ＝D·ｃｏｔθ＝(/ｖ)D ．（2）当v 相对=时，根据题目要求，此时s 相对(D/sinθ)＝(D ｖ0/ｖ)，ｔ＝(D ｖ0/ｖ0)，截住船的位置在A 前方ｖ0ｔ＝(D ｖ02/)处．5.冰雹落向车的速度与弹离车速度遵守“反射定律”，故汽车以v 1运动时，v 雹近车的方向与车玻璃法线成β1，汽车以v 2运动时，则成β2角，各速度矢量关系如图答4-5，由如图答4-５所示的甲、乙两图分别有ｖ1＝ｖ雹ｃｏｔ３０°，ｖ2＝ｖ雹ｃｏｔ６０°，则(ｖ1/ｖ2)＝(３/１)．图答4-56.v 人=rω，v 雨=v 0，v 雨对人=v 雨－v 人，矢量关系如图答4-6所示，由图可知，相对于人，雨的速度方向为θ＝ａｒｃｔａｎ[(ｒω)/ｖ0]，此即撑伞方向．图答4-6 图答4-77.观察照片，将两车之距离AB按5∶7比例分成左、右两部分，分点C为两车相遇处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点C到照片上位置历时ｔ＝ＡＢ/(ｖ1＋ｖ2)，风速为ＣＯ/ｔ≈３５km/h．8.如图答4-８所示，设磁带的总长l，由题意当带厚为d时有ｌｄ＝π（9ｒ初2－ｒ初2），当带厚为(d/2)时有ｌ(ｄ/２)＝π（Ｒ2－ｒ初2），得绕好后带卷半径R＝ｒ初，因ｔ1＝(２ｒ初/ｄ)(２π/ω)；ｔ2＝(（－１）ｒ初/ｄ／２)·(２π/ω)，得ｔ2＝（－１）ｔ1．9.与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的，ｔ1＝(π（４ｒ2－ｒ2）/ｄｖ)，ｔ2＝(π（ｒ2－(１/４)ｒ2）/ｄｖ)，则ｔ2＝(ｔ1/４)＝５min．图答4-8 图答4-910.作快艇与人运动的位移矢量图，人赶上艇，两者位移矢量构成闭合三角形如图答4-9，设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有（２ｙ）2＝（４ｘ）2＋［２．５（ｘ＋ｙ）］2－２×４ｘ×２．５（ｘ＋ｙ）ｃｏｓ１５°，整理得［89-20（＋）］ｘ2＋［５０-２０（＋）］ｘｙ＋９ｙ2＝０，因Δ＝［５０－２０（＋）］2－４×９［８９－２０（＋）］＞０，此式有解，即人能赶上以2.5km/h飘行的快艇；推至一般，只要（2ｙ）2＝（4ｘ）2＋［ｖ（ｘ＋ｙ）］2-2×4ｘ×ｖ（ｘ＋ｙ）cos15°式成立，即，只要Δ＝（－１）ｖ2－２（＋）ｖ＋１６≥０，ｖ≤２ｋｍ／ｈ总可赶上．11.如图答4-10所示．ｘ＝Ｌcosα，ｘ＝ｖ0cosθｔ，ｙ＝Ｌsinα．ｙ＝(１/２)ｇｔ2－ｖ0ｔsinθ．图答4-10 图答4-11ｙ/ｘ＝ｔａｎα＝[(１/２)ｇｔ－ｖ0ｓｉｎθ]/(ｖ0ｃｏｓθ)ｔ＝[2(ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ)]/ｇ，代入ｘ＝ｖ0ｃｏｓθｔ，ｖ0＝１０ｍ／ｓ，α＝(π/６)，ｇ＝１０ｍ·ｓ-2ｘ＝ｖ0ｃｏｓθ(２（ｔａｎαｖ0ｃｏｓθ＋ｖ0ｓｉｎθ）)/ｇ＝２ｖ02(ｔａｎα·ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ/ｇ)．＝１００(/３)＋１００（ｓｉｎ２θ＋(/３)ｃｏｓ２θ）由ａｓｉｎθ＋ｂｓｉｎθ＝ｓｉｎ（２θ＋ａｒｃｔａｎ(ｂ/ａ)），得上式＝１００(/３)＋１００·ｓｉｎ（２θ＋(π/６)）．当２θ＝(π/３)时，Ｌ最大，则θ＝(π/６)，代入得Ｌmax＝１００（ｍ）．12.设船速为v0，因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与反射速度大小相等，速度方向遵守“入射角与反射角”，如同例5作矢量关系图如图答4-11，由图知只要v0沿墙的法线方向分量ｖON＝ｖ1/2即可．。
矢量方程图解法对机构运动分析1
《机械原理》第三章平面机构运动分析——矢量方程图解法对机构运动分析（1）矢量方程图解法（相对运动图解法）依据的原理理论力学中的运动合成原理同一构件两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系ω1A D C1432B C B CB v v v =+2121C C C C v v v =+矢量方程图解法（相对运动图解法）依据的原理理论力学中的运动合成原理同一构件两点间的运动关系两构件重合点间的运动关系1、根据运动合成原理列出矢量方程2、根据矢量方程图解条件作图求解基本作法二、同一构件两点间的运动分析运动合成原理：连杆上任一点（如C 点）的运动，可以看作是随同该构件上另一点B 的平动(牵连运动)和绕该点的转动(相对运动)的合成。
已知图示曲柄滑块机构原动件AB 的运动规律和各构件尺寸。
求：①图示位置连杆BC 的角速度和其上各点速度。
②连杆BC 的角加速度和其上C 点加速度。
理论力学大小：方向：？ω1l AB ?∥xx ⊥AB ⊥BC cp★求V C①由运动合成原理列矢量方程式CB B C v v v +=v B ω2②确定速度图解比例尺μv ( (m/s)/mm)/B v pb v μ=b2CB CB l ω=v （逆时针方向）2CB CBl ω=v C v v pc μ=CB v v bc μ=③作图求解未知量：大小：方向：c p★求V Ev B ω2bE v v peμ=？√ ?？⊥AB ⊥EBE B EB v v v =+C EC v v =+∥xx ⊥EC √ ?e 速度多边形极点m/sc pv B ω2be 速度多边形极点①由极点p 向外放射的矢量代表相应点的绝对速度，极点p 的速度为零；②连接极点以外其他任意两点的矢量代表构件上相应两点间的相对速度，其指向与速度的下角标相反；③因为△BCE 与△bce 对应边相互垂直且角标字母顺序一致，故相似，所以图形bce 称之为图形BCE 的速度影像。
CB B C v v v +=C v v pc μ=速度影像。
圆周运动 r矢量
在物理学中，圆周运动是指物体沿着一个固定半径的圆周路径运动。
r矢量代表了物体从固定点到物体位置的位移矢量。
这个位移矢量的大小等于物体与固定点之间的距离，方向则指向物体在圆周上的位置。
假设我们有一个圆心位于原点的圆周运动，半径为R。
如果物体在时间t内绕圆周运动了角度θ，那么它的位移矢量可以用如下公式表示：
r = R * cos(θ) i + R * sin(θ) j
其中，i和j分别是x轴和y轴的单位矢量。
这个位移矢量r具有两个分量，一个沿着x轴方向，另一个沿着y轴方向。
当物体在圆周上运动时，位移矢量r的大小始终等于半径R，因为物体与圆心的距离保持不变。
而位移矢量r的方向随着物体在圆周上的位置而改变，始终指向物体的位置。
需要注意的是，以上公式适用于物体做匀速圆周运动的情况。
对于非匀速圆周运动，位移矢量的表达式会稍有不同。
1。
质点圆周运动的加速度a的矢量表达式
质点圆周运动的加速度a的矢量表达式质点圆周运动是指质点在一个平面内以一个固定的半径作匀速圆周运动。
这种运动的加速度是圆心指向质点的瞬时加速度，也称为向心加速度。
向心加速度的矢量表达式是a = v²/r，其中v表示质点的速度，r表示质点运动的半径。
该式表明，向心加速度与速度的平方成正比，与运动半径的倒数成反比。
在质点圆周运动中，向心加速度是一个向圆心的矢量，其大小为v²/r。
该加速度的方向垂直于速度矢量，并指向圆心。
由于向心加速度的方向始终指向圆心，因此它也被称为圆心加速度。
质点圆周运动中，向心加速度对运动具有重要的作用。
它保证了质点运动在一个固定的半径上，并使得质点能够保持匀速圆周运动。
此外，向心加速度还会影响质点的运动轨迹，使得质点在运动时呈现出一些特殊的物理现象，如离心力和科里奥利力等。
离心力是指质点在圆周运动中受到的惯性力，它与向心加速度大小相等，方向相反。
离心力的作用是使得质点偏离原来的圆周轨迹，向外运动。
在离心力的作用下，质点的运动轨迹呈现出一个向外的弯曲形状。
科里奥利力是指质点在匀速圆周运动中，受到速度和角速度的交叉作用而产生的一种向垂直于速度和角速度方向的力。
该力的作用是使得质点的运动轨迹发生旋转，产生出类似于涡流的物理现象。
科里奥利力在地球自转、风力和海洋洋流等自然现象中发挥着重要的作用。
质点圆周运动的加速度矢量表达式a = v²/r，描述了质点在圆周运动中向心加速度的大小和方向。
向心加速度是圆心指向质点的瞬时加速度，它保证了质点在一个固定的半径上匀速圆周运动，并影响质点的运动轨迹。
离心力和科里奥利力等物理现象也在质点圆周运动中发挥着重要的作用。
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平面上运动的矢量运算
一、位移的合成与分解（Displacement Component ）
1. 定义：位移是物体位置起始点到终点的有向线段，其长度为两点间的距离，方向由起始点指向终点。
Definition: Displacement is defined as the magnitude and direction of the straight line joining one's starting point to one's final point.
位移表示为矢量B A
2. 位移的合成与分解
从A 点到C 点的位移等价与A 到B 和B 到C 的两个位移之和。
The displacement from A to C equal to the sum of the displacements from A to B and from B to C.
记为C B B A C A +=，即 各种矢量加法 + = = + = = 0
+ = = + = =
3. 在平面直角坐标系下，一个矢量可被分解为X 轴方向和Y 轴方向上的两个互
相垂直的分量，表示为j a i a a y x +=，i 表示X 轴方向，j 表示Y 轴方向，y
x a a 和分别为a 在X 方向和Y 方向分量的长度。
()()j b a i b a b a y y x x +++=+
Example: A ship leaves harbour H and sails 6 km north to port A. From here the ship travels 12km east to port B, before sailing 6 km south-west to port C. Determine the final position of the ship.
在平面直角坐标系中研究此问题，以出发点为原点O ，北方为X 轴方向
二、速度的合成与分解（Velocity Component ）
1. 定义：速度是位移的变化量相对时间的比率。
Definition: Velocity is the rate of change of displacement with respect to time.
t
s s t s v initial final ∆-=∆∆=
Example: A man runs around a circular track of radius 100m. It takes him 120s to complete a revolution of the track. If he runs at constant speed calculate:
1. his speed,
2. his instantaneous velocity at point A,
3. his instantaneous velocity at point B,
4. his average velocity between points A and B,
5. his average velocity during a revolution.
2. 速度的合成和分解
速度的合成和分解同样遵从矢量运算的规则。
Example: A man wants to swim across a river. His swimming speed in static water can reach to 1.5 m/s, the river flows at a speed of 1 m/s. The width of the river is 30 m. If he choose to reach the other side of river:
1. with shortest time
or 2. with shortest displacement
How should he do?
三、加速度（Acceleration ）
1. 定义：加速度是速度的变化量相对时间的比率。
Definition: Acceleration is the rate of change of velocity with respect to time.
t
v v t v a initial final ∆-=∆∆=
2. 匀加速直线运动（Recti linear motion with constant acceleration ） 物体的加速度方向与速度方向相同，且加速度恒定。
Velocity Equation ：t a v v +=0
Displacement Equation ：202
1t a t v s += Example ：
1. A car starts off at 10 m/s and accelerates at 1 m/s 2 for 10 seconds. What is it's final velocity ？and what is it's displacement in the 10 seconds ？
2. A car is going 30 m/s and stops in 2 seconds. What is it's stopping distance for this speed?
3. A car going at 20 m/s stops in a distance of 20 m/s. What is it's deceleration?。