浙江省嘉兴2015届高三第一次模拟试卷数学(文)(word版,含答案)

浙江省嘉兴2015届高三第一次模拟试卷数学试卷（文科）本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

考试时间为120分钟，试卷总分为150分。

请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A ={1，3，B ={1，m }，A ∪B =A ，则m =（ ）A.0B.0或3C.1D.1或3 2、已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos (π－θ)=（ ）A.35B.－35C.45D.－453、两条不重合的直线m ，n 及两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是 （ ）A.若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥αB.若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC. 若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α4、命题①“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充要条件；②y =2x －2－x 是奇函数；③若“p q ”为真，则“p q ”为真；④若集合A ∩B =A ，则A ⊆B 。

其中真命题的个数有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、已知直线a 2x +y －2=0与直线bx －(a 2+1)y －1=0互相垂直，则|ab |的最小值为 （ ）A.5B.4C.2D.1 6、已知直线Ax +By +C =0(A 2+B 2=C 2)与圆x 2+y 2=4交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于（ ）A.－2B.－1C.0D.17、已知函数f (x )={1,024,0x x x x +≤->，若函数y =f [f (x )+a ]有四个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A.[－2，2)B.[1，5)C.[1，2)D.[－2，5)7、如图，已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足F F A ⊥B ，设F α∠AB=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线离心率e 的取值范围为（ ）A ．B ．1⎤⎦C ．D ．1⎤⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分。

9、已知函数f (x )={21log (),02,0x x x x --<≥，则f (1)= ；若f (a )=2，则a = .10、如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a = ，该几何体的表面积为11、已知等差数列{a n }的公差d ≠0，首项a 1=4，且a 1，a 5，a 13依次成等比数列，则该数列的通项公式a n = ，数列{2n a}的前6项和为12、若实数x ，y 满足不等式组01x y x y a y -≥⎧⎪+≤⎨≥⎪⎩，若a =4，则z =2x +y 的最大值为 ；若不等式组所表示的平面区域面积为4，则a = .13、已知抛物线方程为y 2=4x ，直线l 的方程为x －y +4=0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值为 14、若△ABC 的重心为G ，AB =3，AC =4，BC =5，动点P 满足GP xGA yGB zGC =++(0≤x ，y ，z ≤1)，则点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于15、若x ，y ，z 是正实数，且满足lgx +lgy +lgz +lg (x +y +z )=0，则log 2(x +y )+log 2(y +z )的最小值为三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本题满分15分）已知函数f (x )=1－2sin (x +8π)[sin (x +8π)－cos (x +8π)]（I ）求函数f (x )的最小正周期；（II ）当x ∈[,]212ππ-，求函数f (x +8π)的值域。

17.(本题满分15分) 在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 为正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A =AB =4，∠CDA =120°，点N 在线段PB 上，且PN 。

(Ⅰ) 求证：MN ∥平面PDC ；(Ⅱ) 求直线PB 与平面P AC 所成角的正弦值.18. (本题满分15分) 已知直线 l : y =kx +1(k ≠0)，与椭圆3x 2+y 2=a (a >0)相交于A ，B 两个不同的点，记直线 l 与y 轴的交点为C 。

(Ⅰ)若k =1，且|AB a 的值；(Ⅱ)若a =5，2AC CB ，求k 的值，及△AOB 的面积。

19.(本题满分15分)在正项数列{a n}中，a1=3，a n2=a n－1+2(n=2，3，…)(Ⅰ)求a2，a3的值，判断a n与2的大小关系并证明；(Ⅱ)求证：|a n－2|<14|a n－1－2|(n=2，3，…)(III)求证：|a1－2|+|a2－2|+…+|a n－2|<4 320. (本题满分15分) 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R)满足条件：①当x∈R时，f(x)的最大值为0，且f(x－1)=f(3－x)成立；②二次函数f(x)的图象与直线y=－2的交点为A，B，且|AB|=4.(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求最小的实数n(n<－1)，使得存在实数t，只要当x∈[n，－1]时，就有f(x+t)≥2x成立。

浙江省嘉兴一中2015届高三第一次模拟试卷文科数学 参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1.B ；2.D ；3.D ；4.B ；5.C;6.A;7.C;8.B. 8．【解析】ABF Rt ∆中，c AB c OF 2,=∴=，ααcos 2,sin 2c BF c AF ==∴ a c AF BF 2|sin cos |2||=-=-∴αα，|)4cos(|21|sin cos |1πααα+=-==∴a c e,12543,612ππαππαπ≤+≤∴≤≤]22,213[|)4cos(|2],21,426[)4cos(-∈+-∈+∴παπα]13,2[+∈∴e 二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）9. 1，－4或2 10.1832,3+ 11. 3+n ，1008 12. 7，6 13.1225- 14. 12 15. 1 14．【解析】点P 的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好为ABC ∆面积的2倍，因此面积为12.15.【解析】由已知1)(=++z y x xyz ，因此，21)())((2≥+=+++=+++=++xzxz z y x y xz yz y xz xy z y y x ， 1)(log )(log 22≥+++∴z y y x三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本题满分14分）已知函数)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x f ．（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）当]12,2[ππ-∈x ，求函数)8(π+x f 的值域．16.【解析】（I ）)]8cos()8)[sin(8sin(21)(πππ+-++-=x x x x fABCG E FD)8cos()8sin(2)8(sin 212πππ+⋅+++-=x x x)42sin()42cos(ππ+++=x xx x x 2cos 2)22sin(2)442sin(2=+=++=πππ……5分所以，)(x f 的最小正周期ππ==22T .……7分 （Ⅱ）由（I ）可知)42cos(2)8(2cos 2)8(πππ+=+=+x x x f .……9分]12,2[ππ-∈x ，]125,43[42πππ-∈+∴x ，……11分 ]1,22[)42cos(-∈+∴πx ， ∴]2,1[)8(-∈+πx f .所以，)8(π+x f 的值域为]2,1[-.……14分17．（本题满分15分）在四棱锥ABCD P -中， ⊥PA 平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4==AB PA ，︒=∠120CDA ，点N 在线段PB 上，且2=PN ．（I ）求证：//MN 平面PDC ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值． 17．【解析】（Ⅰ）在正三角形ABC 中，32=BM在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，AC DM ⊥，所以CD AD =， ︒=∠120CDA ，所以332=DM ，所以1:3:=MD BM ……4分 在等腰直角三角形PAB 中，24,4===PB AB PA ， 所以1:3:=NP BN ，MD BM NP BN ::=，所以PD MN //又⊄MN 平面PDC ，⊂PD 平面PDC ，所以//MN 平面PDC ……7分 （Ⅱ）在正三角形ABC 中，AC BM ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，⊂BM 平面ABCD ，所以BM PA ⊥AN MBDCP（第17题）而A AC PA = ，因此⊥BM 平面PAC连结PM ，因此BPM ∠就是直线PB 与平面PAC 所成角……10分在直角三角形PBM 中，24,32==PB BM ， 因此，462432sin ===∠PB BM BPM ……15分18．（本题满分15分）已知直线)0(1:≠+=k kx y l 与椭圆)0(322>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，记直线l 与y 轴的交点为C .（I ）若1=k ，且210||=AB ，求实数a 的值； （II ）若a 2,5==，求k 的值，及AOB ∆的面积. 18.【解析】设),(),,(2211y x B y x A（I ）联立⎩⎨⎧=++=ay x x y 2231得：01242=-++a x x 因此，41,212121ax x x x -=-=+2210)43(2||2||21=⇒=-=-=a a x x AB ……6分 （II ）221221222234,32042)3(531k x x k k x x kx x k y x kx y +-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++= ……9分由CB AC 2=得：212x x -=，代入上式得： 22222342,32kx kk x +-=-+-=-消去2x 得：332±=⇒=k k ……12分AN MBDCP（第17题）23316)3(4214)(21||||2122222122121=+++=-+=-=∆k k k x x x x x x OC S AOB……15分19．（本题满分15分）在正项数列}{n a 中，),3,2(2,3121 =+==-n a a a n n （I ）求32,a a 的值，判断n a 与2的大小关系并证明；（II ）求证：),3,2(|2|41|2|1 =-<--n a a n n ； （III ）求证：34|2||2||2|21<-++-+-n a a a .19.【解析】（1）5212=+=a a ，25223+=+=a a ……2分由题设，2412-=--n n a a ，2)2)(2(1-=+--n n n a a a 因为02>+n a ，所以2-n a 与21--n a 同号又0121>=-a ，所以)2(02≥>-n a n ，即：2>n a ……5分 （II ）由题设，21|22|1+=---n n n a a a由（I ）知，2>n a ，所以4121<+n a ，因此41|22|1<---n n a a ，即|2|41|2|1-<--n n a a ……9分（III ）由（II ）知，|2|41|2|1-<--n n a a ， 因此),3,2(41|2|41|2|111 ==-<---n a a n n n因此，12214141411|2||2||2|-++++<-++-+-n n a a a34)411(34411411<-=--=n n ……15分20．（本题满分15分）设二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=满足条件：①当R x ∈时，)(x f 的最大值为0，且)3()1(x f x f -=-成立；②二次函数)(x f 的图象与直线2-=y 的交点为B A ,，且4||=AB .（I ）求)(x f 的解析式；（II ）求最小的实数)1(-<n n ，使得存在实数t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．20. 【解析】（Ⅰ）由)3()1(x f x f -=-可知函数)(x f 的对称轴为1=x ，……2分 由)(x f 的最大值为0，可假设)0()1()(2<-=a x a x f . 令2)1(2-=-x a ，a x 21-±=，则易知422=-a ，21-=a . 所以，2)1(21)(--=x x f .……6分（Ⅱ）由x t x f 2)(≥+可得，x t x 2)1(212≥+--，即0)1()1(222≤-+++t x t x ， 解得t t x t t 2121+--≤≤---.……8分 又x t x f 2)(≥+在]1,[-∈n x 时恒成立，可得⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--≤---)2(121)1(21t t n t t ，由（2）得40≤≤t .……10分令t t t g 21)(---=，易知t t t g 21)(---=单调递减，所以，9)4()(-=≥g t g ， 由于只需存在实数t ，故9-≥n ，则n 能取到的最小实数为9-.此时，存在实数4=t ，只要当]1,[-∈n x 时，就有x t x f 2)(≥+成立．……15分命题人吴旻玲、刘 舸、沈勤龙、黄海平吴明华、张启源、徐连根、沈顺良、李富强、吴林华2015年2月。