二次函数图像特征与a_b_c的符号2
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
A 、 abc＞0
B 、 b＞a+c
C、 2a-b=0
D、 b 2 -4ac＜ 0
14、已知二次函数 y= ax2 +bx+c （ a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
① ac＞ 0；② a-b+c＜ 0；③当 x＜ 0 时， y＜ 0；
④方程 ax 2 +bx+c=0 （ a≠ 0）有两个大于 -1 的实数根．其中错误的结论有（ C）
A 、 ab＜0
B、 ac＜0
C、当 x＜ 2 时，函数值随 x 增大而增大；当 x＞ 2 时，函数值随
B） x 增大而减小
D、二次函数 y= ax 2 +bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2 +bx+c=0 的根
A 、②③
B、②④
C、①③
D、①④
15、如图所示为二次函数 y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的图象，在下列选项中错误的是（ C）
A 、 ac＜ 0
B、 x＞1 时， y 随 x 的增大而增大
C、 a+b+c＞ 0 D、方程 ax2+bx+c=0 的根是 x1 =-1 ， x2 =3
16、二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（
11、已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（
B）
A 、 ac＜ 0
B 、a-b+c＞ 0
C、 b=-4a
D 、关于 x 的方程 a x 2 +bx+c=0 的根是 x 1=-1 ， x 2=5
二次函数图像与abc符号关系课件
目 录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的图像分析 • 二次函数的abc符号变化对图像的影响 • 实际应用举例 • 总结与思考
01
二次函数的基本概念
二次函数的一般形式
总结词
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$是常数，且$a neq 0$。
于负半轴。
对二次函数图像与abc符号关系的深入思考
a符号与开口大小的关系
虽然a决定了开口方向，但a的绝对值大小也会影响开口的大小。当|a|越大，开口越宽； 当|a|越小，开口越窄。
b符号与对称性的关系
b的符号和大小决定了抛物线的对称性。当b=0时，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛物 线关于x=−b/2a对称。
详细描述
在二次函数的一般形式$f(x) = ax^2 + bx + c$中，$a, b, c$分别被称为二次项系数、一次项系数和常数项。它 们的符号决定了函数的开口方向、顶点位置等性质。例如，当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$时，函 数图像开口向下。
二次函数的开口方向与abc符号的关系
04
实际应用举例
利用二次函数解决实际问题
总结词
通过理解二次函数的图像和abc符 号关系，可以解决一些实际问题 。
详细描述
二次函数图像的开口方向、顶点 位置和对称轴等特性，可以帮助 我们解决一些实际问题，例如最 值问题、面积问题等。
二次函数在数学建模中的应用
总结词
二次函数是数学建模中常用的函数之 一，可以用来描述一些实际问题中的 数量关系。
05
总结与思考
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、经济等领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像和性质，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
这里的x和y分别代表自变量和因变量，a、b、c则决定了二次函数的图像特征。
根据a的正负性可以判断二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二次函数的图像一般呈现为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b²-4ac，代表二次函数的判别式。
二、二次函数的性质1. 零点和因子定理：二次函数的零点即方程y=ax²+bx+c=0的解。
根据因子定理，零点等于函数的因子。
2. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 最值和极值点：当a>0时，二次函数的最值为最小值；当a<0时，二次函数的最值为最大值。
最值点即为抛物线的顶点。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
5. 范围与值域：当a>0时，二次函数的值域为[0, +∞)，即非负实数集；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, 0]，即非正实数集。
三、二次函数的应用实例在物理学中，二次函数常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，抛体的运动轨迹满足二次方程，通过对抛体运动关键点的分析，可以确定抛体的初速度、最高点高度、时间等。
在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
例如，某企业的生产成本与产量之间满足二次函数关系，通过分析二次函数的图像和性质，可以确定产量对应的成本最小值。
此外，二次函数还在建筑设计、生态学等领域发挥着重要作用。
中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)
二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。
考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。
九年级数学二次函数中a,b,c符号的确定
九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。
一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。
抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。
（2）c 符号的确定。
因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。
（3）b 符号的确定。
b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。
二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。
分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。
（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。
（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。
（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。
2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。
对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。
因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。
3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。
判定二次函数中的a,b,c的符号
10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。
二次函数的图像特征与系数a,b,c的关系
二次函数y=ax2 3 4 5+bx+c的图像与系数a,b,c的关系教学设计一、教学目标知识与技能目标：理解a、b、c对二次函数图象的作用，能够根据二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号。
过程和方法：让学生经历作图、观察、比较、归纳的学习过程，使学生掌握类比、化归等数学思想方法。
第三个层面是情感、态度和价值观：通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，进一步培养学生数形结合的思想和动手操作能力，激发学生学习数学的热情。
二、教学重难点重点：理解a、b、c对二次函数图象的作用难点；能够根据二次函数图象判断a、b、c及相关代数式的符号。
其中关键是数形结合思想的应用和培养学生的归纳能力。
三、教学过程：1、知识回顾2（1）抛物线y=ax +bx+c开口方向方向与有关？2 抛物线y=ax +bx+c对称轴是 _________________ 。
23 抛物线y=ax +bx+c与y轴的交点的坐标是___________4 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数与有关5 抛物线y=ax2+bx+c的顶点的坐标是。
2、探索发现利用几何画板画出几个函数的图像，观察图像 总结；|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽|a|相同，抛物线的开口大小相同；(2)b 的符号；由于对称轴是-三;a,b 共同决定对称轴的位置,观察图像，得出结论\1b _x = ----- >0 I 2a —1 ----- ► Va<0 va>0 / 1 /. b<0 / 1 f 1 \ A b>0 1对称轴在y 轴右侧时a,b 异号归纳：当对称轴在 y 轴的两则时，a,b 的符号是 ______________ ;对称轴是y 轴时 ________________ 抛物线开口向下av 0 a的符号确定抛物线开口方向(1) a 的符号2•例题精讲例1、根据图象判断a 、b 、c 及b 2 — 4ac 的符号例2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像如图所示，对称轴是直线 x= -1,有以下结论：① abc>0;②4ac v b 2 ; ③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的是 (填3、课堂练习(3) c 的符号归纳：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置1 .已知二次函数y=ax2+bx+c , a v 0 , b>0, c>0那么抛物线的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-b+c，④b2-4ac，⑤a+b+c中，值大于0的个数有（）3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为（-1,0）,（3,0）. 对于下列命题：①b-2a=0；②abc<0；③a-2b+4c<0；④8a+c>0.其中正确结论的是（填序号）4已知二次函数y=ax2+bx+c（a工0）的图象如图所示，有下列5个结果①abc>0; ②b-a>c；③4a+2b+c>0；④2c<3b;⑤a+b>m（am+b）（m^ 1）；其中正确的结论（）4、本课小结开口方向和犬小 y 釉交点位羞y=ax 2bx-^-c （申））* I对称轴位羞 x= z 决定函数r=m+ *+空的俏 戈=-』决定的值5、布置作业（导学案）1. （2010?广安）已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，下列结论：① abc >0; ② bv a+c ；③2a+b=0;④ a+b > m （ am+b （m^ 1 的实数）.其中正确的结论有（A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2. 如图，抛物线y=ax 2 +bx+c 的对称轴是x=1,下列结论：①bv0；②（a+c ） 2 > b 2 ;③2a+b-c > 0;④3bv 2c .其中正确的结论有 ①③④（填上正确结论的序号）.6.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，以下结论：①a+b+c=O;②4a+b=0;③abcv0;④4ac-b 2 v 0;⑤当XM 2时，总有4a+2b > ax 2+bx 其中正确的有 ______________ （填写正确结论的序号）.2 | | - * ______________________________________________________________ ___________________1题图 2题图7.已知二次函数y=ax+bx+c（aM0）的图象如下图所示，有下列5个结论：①abcv0；②a-b+c > 0;③2a+b=0;④b -4ac > 0⑤a+b+c> （ am+b +c, （m> 1的实数），其中正确的结论有（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （X i, 0），-3 v X i v-2，对称轴为x=-1 .给出四个结论：① abc>0;②2a+b=0;③b >4ac;④a-b >m（ma+b （mM-1 的实数）；⑤3b+2c> 0.其中正确的结论有（）A. 2个B . 3个C . 4个D . 5个9.已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C,且OB=O,则下列结论正确的个数是（）①b=2a ②a-b+c >-1 ③0v b2-4ac v4 ④ac+1=b.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个10.如图所示，二次函数y=ax2+bx+c （aM 0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标为X1、X2,其中-2 v X1 v-1，0v X2< 1,下列结论：① abc>0;②4a-2b+c v 0；③2a-b >0;④11. （2006?武汉）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a >0）的对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点 为（X 1, 0）,且0vX 1V 1,下列结论：①9a-3b+c >0;②bva ；③3a+c >0.其中正确结论的 个数是（ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 312. 如图为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1AB> AQ 下列几个结论：（1） abcv 0;（ 2） b >2a ；（ 3） a-b=-1 ; （4） 4a-2b+1 v0.其中正确 的个数是（ ） A . 4 B . 3 C . 2 D . 1没3. （2011?广西）已知：二次函数 y=ax2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，下列结论中：① abc > 0;② 2a+bv 0；③ a+bv m （ am+b （m^ 1 的实数）;a+c ） v b ;⑤ a > 1.其中正确的项 是（ A 、①⑤ B 、①②⑤ C 、②⑤ D 、①③④4. （2010?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ^0）的图象如图所示，有下列结论： ①b2-4ac >0;②abc> 0;③8a+c>0;④9a+3b+cv0其中，正确结论的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、45. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ^0）的图象，则下列结论正确序号是 _____________ （只填序 号）.①abc >0，②c=-3a ，③b 2-4ac >0，④a+bv m （ am+b （ m^ 1 的实数）.9题图10题图 11题图 12题图。
二次函数图像特征与a_b_c的符号111
课题二次函数图象与系数符号学习目标：1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；学习过程一、知识回顾：1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：开口向上开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o与y轴的交点在；c 与 y 轴的交点在；c=o抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线.b=0对称轴是；a、b同号－ 0对称轴在y轴的侧；a、b异号－ 0对称轴在y轴的侧.4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴没有交点.二、协作归纳，获取新知（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。
1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上；抛物线y=ax2+bx+c开口向下 .2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上，抛物线经过坐标原点.3. 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴b 0；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的左侧－ 0a、b号；抛物线y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧－0a、b号.4. 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点△ ；抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点△；抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点△.试一试：根据二次函数的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号，并说明理由.（二）确定代数式a+b+c； a-b+c； 4a+2b+c；4a-2b+c；2a+b；2a-b的符号1.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=；当x=-1时，y=.2.二次函数y=ax2+bx+c中，当x=2时，y=；当x=-2时，y=.试一试：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，判断下列各式的符号（1）a+b+c （2）a-b+c （3）4a+2b+c（4） 4a-2b+c （5）2a+b （6）2a-b 三、归纳小结，升华提高a、b、c 及代数式由抛物线的决定具体说明a由抛物线的开口方向决定开口向上a>0开口向下 ab 由对称轴对称轴在y轴左侧a、bx=－的位置决定同号对称轴在y轴右侧a、b 异号对称轴是y轴b=0c 由抛物线与y轴交点（0，c）的位置决定与y轴交点在正半轴上c>o与y轴交点在负半轴上c<0抛物线过原点c=0b2-4ac 由抛物线与x轴交点个数决定与x轴有2个交点>o与x轴有1个交点=o与x轴没有交点2a-b －与-1比较2a+b －与1比较a+b+c 令x=1，看纵坐标a-b+c 令x=-1，看纵坐标4a+2b+c 令x=2，看纵坐标4a-2b+c 令x=-2，看纵坐标四、累化回味，形成技能1.二次函数y=kx2-3x+2k-k2的图象经过原点，则k= .2.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .3.二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是(D4.若，则抛物线的大致图象为（）5.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，则下列结论成立的是（）A.a>0且b2-4ac≥0B.a>0且b2-4ac>0C.a<0且b2-4ac<0D.a <0且b2-4ac ≤0五、拓广探索：观察抛物线图象填空：(1方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;(2方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;(3方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;(4不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;(5不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;(6不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.。
二次函数图象与系数a、b、c之间的关系
二次函数的图象特征与系数a、b、c的关系【教材分析】二次函数是北师大版数学九年级下册第二章的内容，本节课是一节复习课。
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是初中代数的重要内容之一，体现了数形结合的思想,也是高中数学知识的基石。
正因为二次函数在初中数学中很重要，所以是中考必考的内容。
每年中考大约26-32分之间，其中填空题、选择题、解答题均有，分值也不相同。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步复习二次函数图象特征和系数a、b、c之间的关系。
学生在初学时只是按课本上的教学内容学习，没有系统的总结和归纳，所以在教学时引导学生先总结找出规律，二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)图象和系数a、b、c的联系，然后通过观察图象，结合解析式特点，思考和归纳函数图象的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数的系数对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值，让学生对二次函数有一个形象和直观的认识。
【学情分析】学生在七年级和八年级学习了一次函数和反比例函数，前期又系统学习了二次函数的内容，大多数学生已经具备了一些函数的有关性质和研究方法的经验，初步形成了利用函数的观点认识现实世界的意识和能力；也具备了简单的从图象获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力；也已经具备了一定的观察、分析能力和几何直观水平。
【教学目标】知识技能：1.能够熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质；2.理解二次函数关系式中系数a、b、c对函数图象的影响；问题解决：1.能由二次函数解析式系数a、b、c，可以判断出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴、最值及增减性。
2.根据图象对二次函数的性质进行分析，进一步积累研究函数性质的经验，发展几何直观。
3.通过二次函数的综合练习，巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。
情感态度：1.营造轻松和谐的课堂气氛，鼓励学生敢于发表自己的想法，勇于质疑的学习习惯。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
第22章专题2 二次函数的图象与系数a,b,c的关系-九年级数学上册教学课件(人教版)
；(6)若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1,x2,且x1＜x2,则x1＜-1
＜5＜x2。其中正确的结论(1有)(_2_)_(_5_)_____.
y
-1 O
2
x
基础训练
9.已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图.顶点为(-1,0),下列
结论:①abc＜0；②b2-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0.其中正
拓展提高
2.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两
点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=1,则下列结论：①abc
＜0；② a+ 1 b+ 1 c = 0 ③ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次 24
方程ax2+bx+c=0的一个根其中正确的有( B )个 y
原
y
y
y
y
理
O 精
x
O
x
Ox
Ox
炼
A
B
C
D
提 升
函数图象共存问题
典 1.两个函数中相同的字母系数一定要符号相同； 例
2.两个函数中不同的字母系数一般不用考虑； 原 3.数字系数一定要注意。 理
精 炼
提 升
函数图象共存问题
典 1.当ab＞0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是( D )
例
y
y
yO
C
D
提 升
根据已知条件确定函数图象
典 2.若a＞0,b＜0,c＞0,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是 例
二次函数图像特征与a、b、c、△符号的关系
二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a ≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1、a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 2、b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-ab ，则对称轴在y 轴的左边；b 与a 异号，说明，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3、c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点． 4、a,b,c 共同决定判别式的符号进而决定图象与x 轴的交点与x 轴两个交点与x 轴一个交点与x 轴没有交点5、几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴;判别式……等等）的符号二次函数专题训练1——图像特征与a 、b 、c 、△符号的关系1例1、已知二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ． a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；例2、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（ ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是=-1，=31、已知二次函数2y ax bx c =++，如图所示，若0a <，0c >，那么它的图象大致是 （ ）2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下，则下列结论正确的是（ ） A 、0ab < B 、0bc < C 、0a b c ++> D 、0a b c -+<4、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则（ ）A 、0a >，240b ac -<B 、0a >，240b ac ->C 、0a <，240b ac -<D 、0a <，240b ac ->7、已知函数y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限，那么y=ax 2+bx+1的图象大致为( )8、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜09、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．240b ac -> B ．0a > C ．0c > D ．02b a -<10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是（ ）（1）abc ＜0；（2）a ＋b ＋c ＜0； （3）a ＋c ＞b ；（4）a ＜2b -．A ．1B 2C .3 D. 411、已知二次函数的图象如图所示，有下列5 个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论是（ ）． A ②④ B ①④ C ②③ D ①③13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c<0，②b>•0，•③4a+2b+c>0，④（a+c ）2<b 2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 215、已知： ()220y ax bx a b a =+++≠的图像为下列图像之一，则a 的值为（ ）A .－1B ． 1C . －3D . －416、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个17、已知函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是（ ） A .1 B .2 C .3 D . 418、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 419、已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个20、已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们的大致图象是（ ）21、函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )22、函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示, 则下列选项中正确的是( ) A. ab>0,c>0 B. ab<0,c>0 C. ab>0,c<0 D. ab<0,c<0x O y22、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于两个点，根据图象回答： (1)b_______0(填“>、<、=)； (2)当x 满足______________时，ax 2+bx+c>0：(3)当x 满足______________时，ax 2+bx+c 的值随x 增大而减小．24、如图为二次函数y=ax 2＋b x ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋b x ＋c=0的根是x1= －1, x 2= 3 ③a ＋b ＋c ＞0④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大。
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。
二次函数一般式的图像与性质(与a.b.c符号)ppt课件
a < 0 ,b< 0, c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c >0,a+b+c = 0
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自我挑战1
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线 上填写“<”,“>”或“=”.
（1） a__<_0, b__<__0, c__>___0, abc__>__0 b2-4ac__>___0
为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的
单位长度，建立平面直角坐标系， 求（1）以这一部分抛物线为图
y
象的函数解析式，并写出x的取
O
值范围；
x
（2） 有一辆宽2.8米，高1米的
农用货车（货物最高处与地面AB
的距离）能否通过此隧道？
A CB
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探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部 离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线 的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以 水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
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b影响 对称轴 的位置
b与图象的关系 当b=0时对称轴为y轴 当ab>0时对称轴在y轴左侧 当ab<0时对称轴在y轴右侧
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c与图象的关系
C 确定图 象与y轴 的交点
当c＝0时图象过原点 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交 当c < 0时图象与y轴负半轴相交
高中数学二次函数的图像性质分析
高中数学二次函数的图像性质分析一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数的图像开口方向1. 当a > 0时，抛物线开口向上，图像在y轴上方有最小值；2. 当a < 0时，抛物线开口向下，图像在y轴下方有最大值。
三、二次函数的对称轴对称轴是指抛物线的镜像对称轴。
对称轴的方程为：x = -b / (2a)。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
四、二次函数的顶点顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，即x = -b / (2a)；纵坐标为把x代入二次函数中得到的值。
五、二次函数的零点零点是指函数值等于零的点，即二次函数与x轴的交点。
求二次函数的零点可以使用因式分解、配方法或求根公式。
六、二次函数的图像特点1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，顶点是最小值点；例如：y = x^2 - 2x + 1，a = 1，b = -2，c = 1。
这个函数的图像开口向上，顶点为(1, 0)，对称轴为x = 1，最小值为0。
2. 当a < 0时，二次函数的图像开口向下，顶点是最大值点；例如：y = -x^2 + 2x + 1，a = -1，b = 2，c = 1。
这个函数的图像开口向下，顶点为(1, 0)，对称轴为x = 1，最大值为0。
七、二次函数的平移通过改变二次函数的参数可以实现平移图像的效果。
具体来说，对于函数y = ax^2 + bx + c：1. 当c > 0时，抛物线向上平移|c|个单位；2. 当c < 0时，抛物线向下平移|c|个单位；3. 当b > 0时，抛物线向左平移|b|个单位；4. 当b < 0时，抛物线向右平移|b|个单位。
八、二次函数的缩放通过改变二次函数的参数可以实现缩放图像的效果。
具体来说，对于函数y = ax^2 + bx + c：1. 当|a| > 1时，抛物线在y轴方向上收缩；2. 当0 < |a| < 1时，抛物线在y轴方向上伸长；3. 当a < 0时，抛物线关于x轴翻转。
二次函数像特征
二次函数像特征二次函数是数学中一个非常重要且常见的概念，它在很多领域都有广泛的应用，如物理学、经济学和工程学等。
本文将详细介绍二次函数的定义、特征、图像和应用。
一、二次函数的定义二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数，且a≠0。
二次函数中的x是自变量，y是因变量。
二次函数的定义域为实数集，值域也是实数集。
二、二次函数的特征1. 平移：二次函数的平移可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)表示平移的向量，h为左右平移的距离，k为上下平移的距离。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是指二次函数的图像关于x轴的对称轴。
对称轴的方程可以表示为x=h，其中(h,k)是图像的顶点。
3. 顶点：二次函数的顶点表示为(h,k)，它是二次函数的图像的最低点或最高点。
顶点的y坐标k表示二次函数的最大值或最小值。
4. 开口方向：二次函数的开口方向取决于a的正负。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
5. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称。
这意味着，如果(x,y)在二次函数的图像上，那么对应的点(x, -y)也在图像上。
三、二次函数的图像二次函数的图像一般是一个U型曲线，也被称为抛物线。
它的开口方向、顶点和对称轴可以通过观察二次函数的表达式得到。
在绘制图像时，可以通过选择几个点来确定二次函数的形状。
当a的值较大时，抛物线会更加扁平，开口更大；当a的值较小时，抛物线会更加陡峭，开口更小。
四、二次函数的应用1. 物理学中的应用：二次函数在物理学中有着广泛的应用。
例如，自由落体运动的高度随时间变化的关系可以用二次函数来描述。
抛体运动的轨迹也可以用二次函数来表示。
2. 经济学中的应用：二次函数在经济学中也有许多应用。
例如，成本函数和收入函数通常是二次函数，可以用来研究成本与产量之间的关系。
二次函数还可以用来研究市场需求曲线和供给曲线。
3. 工程学中的应用：在工程学中，二次函数被广泛应用于控制系统和优化问题中。
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二次函数系数相关代数式符号的判定的复习学案
复习目标：
1．探索发现二次函数的系数a、b、c的符号与图象之间的关系；
2．由抛物线确定a,b,c,及相关代数式的符号；
学习过程
一、知识回顾：
二次函数的一般式为：,图像为：，顶点与Y轴的交点: 对称轴为：
二、协作归纳，获取新知
（一）a、b、c的符号的判定
对于y=ax2+bx+c（a≠0)的抛物线
1.a的符号
决定抛物线y=ax2+bx+c 的；
⇒开口向上
⇒开口向下.
2.c的符号
决定抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与的交点的位置.
c>o⇒与y轴的交点在；
c<o⇒与y轴的交点在；
c=o⇒抛物线过点
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .
b=0⇒对称轴是；
a、b同号⇒－b
0⇒对称轴在y轴的侧；
2a
0⇒对称轴在y轴的侧.
a、b异号⇒－b
2a
4、例题分析
5、应用拓展
1、二次函数y=-x 2
+bx+c 的图像如图所示，则
一次函数y=bx+c 不经过 象限
2、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像如图所示，（1）判断a 、b 、
c 的符号，（2）若OA=OB,求证：ac+b+1=0
（二）、含a 、b 、c 的代数式符号的判定
对于y=ax 2
+bx+c （a ≠0)的抛物线 X=1时，y= ，那么此抛物线图像过（1， ）
X=-1时，y= ，那么此抛物线图像过（-1， ）
X=2时，y= ，那么此抛物线图像过（2， ）
X=-2时，y= ，那么此抛物线图像过（-2， ）
X=m 时，y= , 那么此抛物线图像过（m ， ）
析：b与2a观察图像找对称轴与1和-1的大小
三、拓广探索，形成技能
例4、已知抛物线y=ax2+bx+c的一段图像如图所示,
求a+b+c的取值范围
跟进练习：
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，以下几个结论，正确的是（）
A 、abc ＜ 0 B、b = a+c
C、a+b ＜ m(am+b)(m≠1)
四、归纳小结，升华提高
五．自主反思。