捆绑课复习勾股定理
初中数学勾股定理复习
勾股定理复习1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.一、勾股定理：___________________________________在Rt△ABC中，∠C=90°，则有________________【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c= ；若b=8，c=17，则a=_______；【变式1-1】如图1，等腰△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则BC边上的高AD=_______.【变式1-2】如图2：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是米.【变式1-3】一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的地面上，旗杆在折断之前高度为.【变式1-4】一直角三角形两条边长分别是12和5，则第三边平方为.二、勾股定理逆定理_____________________________________ 【例2】下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A. 1.5,2,3; B. 7,24,25; C. 6,8,10; D. 9,12,15.【变式2-1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A. 钝角三角形; B.锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.【变式2-2】在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .三、最短距离问题：主要运用的依据是______________________________【例3】如右图，有一长70cm ，宽50cm ，高50cm 的长方体盒子，A 点处有一只蚂蚁，想吃到B 点处的食物，它爬行的最近距离是 厘米..【变式3-1】如图,一个无盖的圆柱纸盒：高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃,要爬行的最短路程(取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.四、本章注意事项勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点：1、要注意正确使用勾股定理例1 在Rt △ABC 中，∠B =Rt ∠，a=1，b =，求c ．2、要注意定理存在的条件例2 在边长为整数的△ABC 中，AB >AC ，如果AC=4，BC =3，求AB 的长． 3、要注意原定理与逆定理的区别π例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且2AD BD CD =•，求证：△ABC 为直角三角形．4、要注意防止漏解例4 在Rt △ABC 中，a =3，b =4，求c ． 5、要注意正逆合用在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合．当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言． 例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB =13，AD =12，AC =15，BD =5，那么DC =_________．6、要注意创造条件应用例6 如图3，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、D F 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222EF AE BF =+一.选择题1. 在△中，若，则△ABC 是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形 2. 如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则△ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°3．下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A ．三内角之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C ．三边长之比为3：4：5D.三内角之比为3：4：54．如图，一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，A 、B 处距河岸的距离AC 、BD 的长分别为500m 和700m ，且C 、D 两地的距离为500m ，天黑前牧童从A 点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）ABC 1,2,122+==-=n c n b naA ．2900mB ．1200mC ． 1300mD ． 1700m5. 直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边上的高为h ，则下列各式中总能成立的是（ ）A ．ab =h 2B ．a 2+b 2=h 2C ．D ．6．如图，Rt△ABC 中，△C ＝90°，CD △AB 于点D ，AB ＝13，CD ＝6，则(AC ＋BC )2等于( )A.25B.325C.2197D.4057. 已知三角形的三边长为，由下列条件能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D.8. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，△BAC =90°，AB =3，AC =4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）111a b h +=222111a b h +=a b c 、、()()2222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,4,1a m b m c m =-==+()()222221,2,1a m b m c m =-==+()()2222221,2,1a m b m c m =-==+A ． 90B ．100 C ．110 D ．121二.填空题9. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．10．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB ＝6，BC ＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边AC 上，折痕为AD ，则BD ＝______．11．已知：△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，BC 边上的高AD ＝12，BC ＝_______．12．如图，E 是边长为4cm 的正方形ABCD 的边AB 上一点，且AE =1cm ，P 为对角线BD 上的任意一点，则AP +EP 的最小值是 cm ．13．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP =BC ．如果用一根细线从点A 开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P ，那么所用细线最短需要 cm ．1414．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为30cm ，40cm ，50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： （选填“能”或“不能”）．15. 已知长方形OABC ，点A 、C 的坐标分别为OA =10，OC =4，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，CP 的长为________．16. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，BC 边上的中线AD ＝6，△BAD ＝________.三.解答题17.如图所示，已知D 、E 、F 分别是△ABC 中BC 、AB 、AC 边上的点，且AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ，AB ＝4，AC ＝3，，求：△ABC 的面积．18．如图等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一个动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究，当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线P A 与腰垂直．32BD CD。
勾股定理复习课课件
等腰三角形
等腰三角形也可以应用勾股定理 来计算其边长。
不等边三角形
勾股定理也适用于计算不等边三 角形的边长。
勾股定理的证明方法
几何证明
最常见的证明方法是使用几何图形和推导来展示勾股定理的有效性。
代数证明
勾股定理也可以通过代数运算和方程的求解进行证明。
三角函数证明
三角函数的关系也可以用来证明勾股定理。
勾股定理复习课ppt课件
欢迎来到本次勾股定理复习课的PPT课件！跟着我们一起回顾勾股定理的定义、 历史、三角形形式、证明方法、应用、练习题，并总结重点。
勾股数学中一个重要的几何定理。它表明：在任何直角三角形中， 直角边的平方和等于斜边的平方。
1 关键词：
2 示意图：
3 题目三
已知一个不等边三角形的 两条边长分别为2和7，求 第三条边的长度。
结论和要点
通过本次复习课，我们回顾了勾股定理的定义、历史、三角形形式、证明方法、应用和练习题。牢记勾股定理 的主要要点，它将在数学和实际生活中发挥重要作用。
勾股定理的应用
1
测量距离
勾股定理可以在地理测量和建筑测量中用来计算距离。
2
导弹制导
勾股定理可以用于导弹制导系统的计算。
3
图像处理
勾股定理可以应用于图像处理算法，例如边缘检测。
勾股定理的练习题
1 题目一
已知一个直角三角形的直 角边长分别为3和4，求斜 边的长度。
2 题目二
已知一个等腰直角三角形 的斜边长为5，求直角边 的长度。
直角三角形、直角边、斜边、平方和
显示一个直角三角形，标明直角边和斜边
勾股定理的历史
1
古希腊
勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出。
勾股定理全章综合复习
勾股定理全章综合复习A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个(2)已知a, b, c为厶ABC三边，且满足(a2—b2)(a2+b2—c2)= 0,则它的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形(3)三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )2 2 2A. a: b: c=8 : 16 :仃B. a - b =cC. a2=(b+c)(b-c)D. a: b: c=13 : 5 : 12(4)三角形的三边长为(a+b ) 2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形；B.钝角三角形；C.直角三角形；D.锐角三角形(5)直角三角形中一直角边的长为9,另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为________(6)若厶ABC的三边长a,b,c满足a2 b2+c2 +200 = 12a + 16b + 20c,试判断△ ABC的形状。
例3:求最大、最小角的问题(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。
(2)已知三角形三边的比为1 : 3 : 2,则其最小角为。
考点三：勾股定理的应用例1:面积问题（1）下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、 B 、C 、D 的边长分别是3、 3）（2）如图，△ ABC 为直角三角形，分别以 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积 关系，可得（ ） A. S 1+ S 2> S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S ID.以上都不是 （3 ）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个 正三角形，其面积分别是 S 、S 、S,贝陀们之间的关 系是（ ）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+Sv S 1D. S 2- S 3=S 5、2、3,则最大正方形ED.（图AB, BC47 2)例2:求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后, 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
知识点梳理与总结——数学勾股定理复习教案
知识点梳理与总结——数学勾股定理复习教案数学勾股定理复习教案一、教学目标1.知道勾股定理的定义和运用场景。
2.熟悉三角形的分类及特性。
3.掌握勾股定理的推导方法和运用技巧。
4.能够独立应用勾股定理解决实际问题。
5.提高学生的数学思想逻辑和计算能力。
二、教学重难点1.熟悉勾股定理各种形式，掌握它的证明方法和应用技巧。
2.熟悉三角形的特性，能够正确判断三角形种类及特征。
三、教学过程1.引入老师介绍数学中的一个重要定理——勾股定理，勾股定理可以用来判断三角形是否为直角三角形。
并通过实例引导学生来认识勾股定理的重要性。
2.课堂演示老师利用教学案例，演示勾股定理的应用方法。
首先介绍勾股定理的含义和各个形式，然后通过三组数字的对比来展示勾股定理的应用。
讲解了勾股定理的证明方法和推导公式。
3.课堂练习让学生自主判断三角形的种类，掌握如何正确运用勾股定理。
然后通过让学生计算几个实际问题，来加深对勾股定理的理解和认识。
四、教学评估1.课堂练习提供一些包括勾股定理的题目，让学生自由练习。
2.小型测试进行小型测试，考察学生关于勾股定理的掌握情况。
五、教学反思1.整合课程，明确目标勾股定理不仅仅是一条公式，更是一个重要的思维方式，需要让学生在动手实践中去掌握。
在教学过程中，应该注重优化课程设计，明确教学目标，同时以实例作为引子，激发学生的兴趣。
2.明确难点，重点勾股定理的证明方法和应用技巧在教学中都是不可避免的重点和难点。
需要认真分析学生的学习情况，采用多种方法巩固学生的理解。
3.学以致用，注重实践勾股定理需要应用到实际问题中去，教学过程中应注重理论与实践相结合。
通过课堂练习和小型测试，检验学生对勾股定理的掌握情况，并让学生在实践中发现问题和加深理解。
六、教学材料1.勾股定理的定义和公式2.三角形的种类及特性3.勾股定理的证明和推导公式4.实际问题的样例和解析七、教学方法1.PBL教学法2.TBL教学法3.讨论教学法4.创新教学法5.案例分析法八、教学资源1.教学PPT资源2.案例模拟工具3.勾股定理实验平台4.互联网资源和文献资料九、教学成果1.引导学生掌握勾股定理在数学中的重要性。
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。
【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。
英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。
题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。
因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。
这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。
下面给出常见的考题类型。
【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。
（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。
勾股定理的教案复习与应用
勾股定理的教案复习与应用勾股定理是数学中的重要定理之一，是三角形中最基本的定理之一。
它表述了在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理在数学、物理、工程、建筑等领域应用广泛，它在解决实际问题，如测量距离、计算角度等方面起着重要作用。
本文将从复习勾股定理的教案和勾股定理的应用两个方面来详细阐述勾股定理。
一、勾股定理的教案复习1.基本概念的复习在复习勾股定理时首先需要复习直角三角形的基本概念。
学生需要掌握直角三角形的构造，包括直角、斜边和直角边这三个基本概念，此外学生还要学会如何测量三角形的各边和角度。
2.勾股定理的引入在学生理解直角三角形的概念和测量方法后，可以引入勾股定理。
引入时可以通过具体的生活案例向学生展示勾股定理的实际应用。
例如，学生可以测量相邻两点的距离，搭建直角三角形等等。
在引入过程中，可以结合数学公式让学生理解和感悟勾股定理。
3.勾股定理的证明在学生掌握勾股定理的应用后，可以进一步学习勾股定理的证明。
学生需要理解勾股定理的全面性和普遍性，理解证明过程。
这有助于学生更好的掌握勾股定理的知识。
二、勾股定理的应用1.测量距离和高度勾股定理可以用于测量两点之间的距离和高度。
例如，在建筑工程中，勾股定理可以用来测量房屋的高度和角度，在物理实验中，勾股定理可以用来测量物体的高度和距离，这对于探索空间的深度和广度具有重要意义。
2.计算角度勾股定理还可以用来计算角度，如计算摆动的角度、太阳的高度、电视天线的角度等。
通过勾股定理可以精确的计算角度，方便人们进行实际的工作和生活。
3.解决实际问题勾股定理还可以用于解决实际问题，如航空导航中通过勾股定理可以计算飞机飞行相对于地面的高度和距离，帮助飞行员更加准确的控制飞行；在数学竞赛和物理竞赛中，勾股定理也是经常出现的题目类型。
通过勾股定理，可以更好的理解和解决实际问题。
总体来说，勾股定理是数学中的基础定理之一，它具有广泛的应用领域。
在理解勾股定理的基本概念和证明过程后，学生可以通过实际运用来掌握勾股定理，同时也可以通过勾股定理来解决实际问题，拓宽生活和工作的广度和深度。
勾股定理复习与提升
01
利用相似三角形的性质、四边形面积公式、向量等不同方法证
明勾股定理。
勾股定理的变形
02
在解决实际问题时，可以根据需要将勾股定理进行变形，如$(c-
a)^2 + b^2 = c^2$等。
勾股定理的应用范围
03
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到任意三角形和
多边形中。
勾股定理的易错点与注意事项
勾股定理在物理学中的应用
力学分析
光学分析
在力学分析中，勾股定理可以用来确定物 体的运动轨迹、速度和加速度等参数，以 确保物体的运动状态和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为的正确性。
在光学分析中，勾股定理可以用来确定光 的传播路径、折射率和反射率等参数，以 确保光的传播特性和行为的正确性。
电磁学
在电磁学中，勾股定理可以用来确定电磁 波的传播方向、幅度和相位等参数，以确 保电磁波的传播特性和行为的正确性。
02 勾股定理的拓展
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三边满足勾股定理的关系，那么这个三 角形是直角三角形。具体来说，如果$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$和$b$是直角 三角形的两条直角边，$c$是斜边，那么这个三角形是直角三角形。
证明方法：假设三角形ABC是直角三角形，且角C是直角。那么根据勾股定理，我们 有$a^2 + b^2 = c^2$。如果$a^2 + b^2 neq c^2$，则说明角C不是直角，与 假设矛盾。
勾股定理在几何图形中的应用
在几何图形中，勾股定理的应用非常广泛。例如，在直角三角形中，可以利用勾股定理来求解直角三角形的角度或边长；在 等腰三角形中，可以利用勾股定理来证明底边的垂直平分线就是高线；在矩形中，可以利用勾股定理来证明矩形的对角线相 等。
八年级--数学《勾股定理》学习复习计划的要点计划归纳
八年级--数学《勾股定理》学习复习计划的重点计划概括
八年级数学《勾股定理》复习重点概括
八年级数学《勾股定理》复习重点概括
1.勾股定理内容：
假如直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那
么 a2+b2=c2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方。
2.勾股定理的 ` 证明：
勾股定理的证明方法好多，常有的是拼图的方法
3.用拼图的方法考证勾股定理的思路是：
(1)图形进过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面
积不会改变 ;
(2)依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，
推导出勾股定理。
4.勾股定理的合用范围：
勾股定理揭露了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，
它只合用于直角三角形，关于锐角三角形和钝角三角形的三边
就不拥有这一特点。
s();
【八年级数学《勾股定理》复习重点概括】。
勾股定理专题复习课
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
在此添加您的文本16字
总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
勾股定理复习课说课稿（精选5篇）
勾股定理复习课说课稿（精选5篇）勾股定理复习课说课稿（精选5篇）作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要用到说课稿，认真拟定说课稿，那么问题来了，说课稿应该怎么写？下面是小编收集整理的勾股定理复习课说课稿（精选5篇），欢迎大家分享。
勾股定理复习课说课稿1一、教材分析：（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实生活中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生进行爱国主义教育的良好素材，因此具有相当重要的地位和作用。
根据数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动接受为主动探究，我确定本节课的重点为：勾股定理的探索过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发现勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
二、教学与学法分析教学方法叶圣陶说过"教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。
"因此教师利用几何直观提出问题，引导学生由浅入深的探索，设计实验让学生进行验证，感悟其中所蕴涵的思想方法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓励学生采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
三、教学过程我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感受其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板进行合作拼图。
让学生观察并思考三个正方形面积之间的关系？它们围成了怎么样三角形，反映在三边上，又蕴含着怎么样数学奥秘呢？寓教于乐，激发学生好奇、探究的欲望。
第二步追溯历史解密真相勾股定理的探索过程是本节课的重点，依照数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
中学数学勾股定理的复习教案
中学数学勾股定理的复习教案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理的内容。
2.能对不同的勾股定理问题进行合理判断，并对相应问进行解决。
3.能解决空间基本图形的勾股定理问题。
二、知识点总结1.勾股定理的排列组合⑴若 A、B 为直角边，C 为斜边，则有 A²+B²=C²。
⑵若 A、C 为两条直角边，B 为斜边，则有 A²+C²=B²。
⑶若 B、C 为两条直角边，A 为斜边，则有 B²+C²=A²。
其中，⑴和⑵是等式的两种变形形式，而⑶则是勾股定理的两种不同定义形式。
2.应用问题⑴求出长度为多少的直角边？左图为已知斜边为 5，一条直角边为 3，问另一直角边长 B？右图为已知斜边长度 8，求其另一直角边长 A 与 B。
⑵判断图形是否为直角三角形？某几何图形各边长为 4、5、6，是否三角形？是否是直角三角形？三、教学流程1.引入⑴回忆勾股定理的知识点。
⑵引入教学主题：本次的复习将会了解如何应用勾股定理，解决一些勾股定理在几何图形中的应用问题。
2.教学重点⑴勾股定理的应用。
⑵怎样进行图形判断。
3.教学步骤与方法⑴教师出示勾股定理相关练习题讲解方法，可在小黑板上，或PPT等辅助教具上讲解。
⑵针对练习题，进行讲解解决步骤，同时加深同学们对勾股定理知识点的理解。
⑶介绍解决勾股定理在空间基本图形上的应用问题，如立方体、直角三角形等。
4.教学策略⑴合作学习：通过进行课堂练习，在小组合作完成教师留下的应用题目，在轮流发言的学习模式下达到合作学习的目的。
⑵讲授：通过教师的讲授，让学生更好地掌握勾股定理的知识点，同时，让学生更自主地思考题目及其解决方法。
⑶案例分析：通过案例分析，让同学们理解勾股定理在几何图形中的应用，能够遇到问题及时进行判断、解决。
5.教学提示在教学过程中，教师要注重对同学们的思维引导，同时营造积极、自信的课堂环境。
应遇到问题及时指导，但不应破坏学生自主思考、独立解决问题的机会。
勾股定理复习课(第1和2课时)
3km
20s
V=S÷T
8.某考古员发现了一张文字叙述的藏宝图“他们登陆后先往东走 8千米，又往北走 2千米，遇到障碍后又往西走 3 千米，再折向北 走到 图画出来(2)登陆点A到宝藏点B的直线距离是多少千米？
过点B作BC⊥AC于C 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=6，BC=8 AB = 2 2 = 6 8 =10（千米） 答：登陆点A到宝藏点B的直线 距离是10千米。
D O
BD OD OB
B
在RtCOD中，由勾股定理得：
OD2 CD 2 OC 2
?
OD 21
即：21 3 2
分类思想
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是 直角边还是斜边时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
六、最短路径
勾股定理的复习
第1课时
什么叫勾股定理？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2
注意：
1、直角三角形是前提。 2、谁是斜边要清楚。
1、勾股定理的公式变形
a2+b2=c2
A
a2=c2－b2
c
b2 =c2-a2
2
2
b C
a c b
2
B
b= c2-a2
2
a
c a b
勾股定理的证明
5.勾股定理的逆定理:
三角形的三边a,b,c满足 a2+b2=c2,则这个三角形是直角 三角形，较大边C所对的角是
直角.
6、特殊三角形的三边关系：
A
A b c
c
b
B
a
C
初中数学《勾股定理》复习课
A.20
B.10 C.14 D.无法确定
2
O
蛋糕
B
C
６
8
８
A
周长的一半
A
B
2.一根150cm的木棒，要放在长、宽、高分别是
40 cm，30 cm，120 cm的长方体木箱中，露出木
箱的部分最短是多少？
探究新知
类型五：判断一个三角形是否为直角三角形
例1: 如图，正方形ABCD中，边长为4，F为DC的中点，E为BC上
那么这个三角形是直角三角形
B
b
C
符号语言： 在△ABC中,
2+b2=c2
∵a
c
∴ △ABC 是直角三角形，
∠C=90°
a
A
在∆ABC中, a，b，c为三边长,若 c为最大边, 则∠C为三
角形最大角。
若a2 +b2=c2, 则∆ABC为 直角 三角形; ∠C为 直角
若a2 +b2>c2, 则∆ABC为 锐角 三角形; ∠C 为 锐角
∴AE2+ AD2= DE2, BE2+ BC2= EC2,
∴AE2+ AD2= BE2+ BC2,
设AE= ,则BE=AB-AE=(25- ),
∵DA=15km，CB=10km,
∴ 2+ 152=(25- )2 + 102;
解得: =10, ∴ AE= 10km ,
探究新知
类型七：勾股定理与最短距离问题
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要
在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距
离相等．
E站应建在A站多少km处？
八年级数学下册同步辅导-《勾股定理》的复习
课题 《勾股定理》的复习教学目标 1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.知识要点及重难点重点：理解并掌握勾股定理及逆定理的内容。
难点：应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题。
要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段.要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c与22+=，则△ABC是以∠C为直角的直a b c+是否具有相等关系，若222a b角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222+=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显x y z然，以x y z、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c、、为三角形的三边长，此三角形必、、)是勾股数，当t为正整数时，以at bt ct为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c=+成立.（例如④中存在27＝<<，那么存在2a b c、、，且a b c24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：2222+=．AM BM CM【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD⊥AB．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：22-=⋅.AB AD BD CD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE 2+EF 2=BF 2.举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝62，AE⊥BC 于E ，求AE 的长．4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC的形状.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【巩固练习】一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )A.212B.310C.56D.583.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c+= B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A.32cmB.42cmC.62cmD.122cm二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c 、、满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm ．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18.甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.。
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《勾股定理》复习导学案
【复习目标】
1、 掌握勾股定理及其逆定理，并能利用它们解决实际问题。
2、 如何选择适当的数学模型解决数学问题。
【复习重、难点】
勾股定理及其逆定理的熟练应用；
【学法指导】
数形结合 方程思想 分类讨论思想
【复习回顾】
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么 。
2、勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足 ，那么这个三角形是 三角形。
（且∠ =90°）
3.满足条件a 2+b 2=c 2的三个_____数，称为勾股数。
常见的勾股数组有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。
题型一 ：勾股定理应用：（已知直角三角形中两边，求第三边。
）
例1：已知：一个三角形的两直角边长分别是3cm 和4cm ，求：第三边的长。
巩固练习
1、已知△ABC 中，∠C=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .
2、如图，求下列直角三角形中未知边的长度
x= x=
3、已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____.
★4.已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,则第三边的长等于
_______________。
（分类讨论思想）
x 817
24
6 x 26
★5. 利用勾股定理计算（方程思想）
如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD 上
取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.
题型二 :勾股定理逆定理的应用
如何判定一个三角形是直角三角形：
① 先确定最大边（如c ）；
② 求与22b a +与2c 的值
(1)若22b a +=2
c ，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；
(2)若22b a +≠2c ，则△ABC 不是直角三角形。
例2:若三角形的三边长依次为5，13，12，求这个三角形的面积。
巩固练习：
1、下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（ ）
A 、5，6，7
B 、40，41，9
C 、3,4,6
D 、31，41，51 2. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )
A 、等边三角形
B 、钝角三角形
C 、直角三角形
D 、锐角三角形 ★3.一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中DBC A ∠∠,都应是直角。
工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？
题型三：勾股定理及其逆定理的综合应用
例3:如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：四边形ABCD 的面积
巩固练习
如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积。
课堂小结：与同伴交流你本节课的学习收获，你还有那些疑惑？
目标检测：
1.（1）若直角三角形的两边长分别为3cm 、4cm ，则第三边长为5cm 。
（ ）
（2）在直角三角形ABC 中，a 2+b 2=c 2。
（ ）
2、填空
（1）在Rt △ABC 中，若斜边2=AB ，则=++222CA BC AB 。
（2）若直角三角形两直角边长分别为3、4，则以斜边的平方为 。
（3）若三角形的三边长分别为9cm 、12cm 、15cm ，则长为15cm 的边上的高为 cm 。
★（4）在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为 。
★（5）等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
3．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
布置作业：
1.课本P81 1--4
2.预习下一节
学后反思。