弹性梁动力响应分析的一种辛算法
移动荷载作用下弹性简支梁的动力响应分析
（ ５ ）
其中： ｖ 为荷载移动速度， 将 （ ） 代入式 （ １ ） 有：
移动荷载列作 用下 刚性约束筒支梁计算模型如 图 １ 所示
】
，
控制方程为 ：
＋ｍ ＋ｃ ＝
（ ｎ （ ｇ （ ， ） ＋ ｍ ｓ ｉ ｎ （ Ｌ
在式 （ ６ ）两边 同乘 （ ｘ ） ＝ ｓ ｉ ｎ （ ７ ｔ ＂ ｘ ） ，然后对全跨 （ ０ － Ｌ ）
型 函数 为 ：
） ｓ ｉ ｎ （ （ ４ ）
随着 人们 对环境要求 的不 引起 了人们广 泛的关注 ，为降 低交通荷 载引起的环境 问题 ，首先可 以从桥 梁结构本身 的动 力 响应着 手。可以在桥梁下面设置一 些弹性 支座 ，可达到降
低桥梁 本身振动的 目的。为此 ，本文则采 用传统的、计算结
２ ． 弹 性 支承 情 形
将 由边界条件 确定 的系 数代 入式 （ １ ６ ） ，可得梁 的振型
函数 ：
弹性支承 时梁 的运 动方程 与刚性 约束时相 同，区别仅在
于梁 两端边界条件 不同而 已，由此导致梁振型 函数不 同。同 样地 ，本文仅 以弹性支承 简支梁 竖向 自由振动为例给 出其运
摘
要 ：为降低列车荷载 引起 的桥梁 的振动 响应 ，桥梁支座一般采取 弹性支 座。文中简单推 到了移 动列车荷载作用
下筒支梁、弹性 支承筒 支梁Ｔ Ｌ Ａ Ｂ编程语言 ， 计算分析了简
支梁及 弹性支承筒支梁在移动荷载列作 用下 的动 力响应 ，得 到了桥 梁跨中的挠度、加速度以及支座处的支反力 。研 究结果表 明弹性支座能降低桥梁 的振动响应 ，但会显著增加桥梁 的挠度 。 关键词 ：移动荷载 ；筒支梁 ；弹性支撑 ；动力响应
陈连弹性梁静力分析的新方法及其智能软件
对上式分别积分两次和一次，可以得到弯矩和剪力 方程如下：
其中
−a j s e Aij = − x s − xi s i e + ( xi − a j ) se −b s se l Bil = − x s i se
M ( x) = ∑ p j x − a j + ∑ M l x − bl
1 前言
*
f ( x) =< x − a > n
建立在连续函数基础上的经典力学，在表述和 处理由集中量（例如集中力、集中力偶）和几何形 状（例如阶形梁和阶形板）引起的不连续问题时， 不得不将一个原本完整的问题分割支离为一个个小 的连续性单元，从而使本来并不十分复杂的问题变 得不胜其烦。例如，弹性梁内力和变形的叠加法和 分段积分法、求连续梁约束反力的三弯矩方程等都 极为繁琐。用连续函数处理不连续问题的弊端不仅 限于繁琐，还往往限制了经典力学的应用范围。仍 以梁弯曲问题为例，用经典力学的办法处理实际上 广泛存在的弹性支座问题就显得无能为力。 本文利用奇异函数与拉普拉斯变换相结合的 方法构建了一种对弹性梁进行变形、内力和应力分 析的普遍化方法，并开发了相应的智能分析软件， 对由铰链支座、固定端和弹性支座等支承形式任意 组合而成的，具有任意支承沉降的，承受任意载荷 （集中力、集中力偶和均布力）的，具有任意阶梯 形状的静定或超静定弹性梁，只要键入支承信息、 载荷信息、几何尺寸信息和材料性能信息即可迅速 获得计算结果，或绘制各种分析曲线。
2006 年 4 月
陈连：弹性梁静力分析的新方法及其智能软件
1
弹性梁静力分析的新方法及其智能软件*
陈 连
（淮海工学院机械工程系，连云港，222005）
摘要：介绍了一种利用奇异函数对弹性梁进行力学分析的新方法及其智能分析软件。该方法利用奇异函数与拉普 拉斯变换相结合的方法导出弹性梁弯曲变形、内力和应力的普遍表达式，并利用边界条件和约束处的变形协调条 件确定约束反力，对由铰链支座、固定端和弹性支座等支承形式任意组合而成的，具有任意支承沉降的，承受任 意载荷（集中力、集中力偶和均布力）的，具有任意阶梯形状的静定或超静定弹性梁具有普遍的适用性。 关键词：奇异函数 弹性梁 静力分析 新方法 智能软件 中图分类号：TB121, TH1123
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
弹性地基梁受撞击的弹塑性动力响应
概率分布 正态
３ 实例 计算
北京地铁黄庄车站 四号线 车站 主体结 构 中拱设 计为钢 筋混 凝土结构 ， 凝土强度等级 为 （ ０ 隧 道围岩 等级 为Ⅵ级 ， 混 ３ ， ３ 断面形
Ａ
截面面积
ｓ．
正态
正态
设计值
设计值
０
．
， 矗 ｍ
０ ３
状为半圆形 ， 高 ３４ ４ｍ， 宽 ６ ４ｍ， 净 ．２ 净 ． 二衬设 计厚度 为 ７ ｍ， ０ｃ
社 ．９ ９ １８ ．
［ ］ Ｂ ５ ０ ０２ ０ ， １Ｇ ０ １—０ ２ 混凝土结构设计规范［ ］ Ｓ． ［ ］ ０ ０ —０ １铁路 隧道 设计 规范［ ］ ２ ＴＢ１０ ３２ ０ ， Ｓ．
８谢 杨成永 ， 杨菁 轩． 同拟 合 曲线对 结构 可靠度 分析 的 不 ［］ ３ 沈在康 ． 混凝 土 结构设 计新规 范应 用讲评 ［ ． 京 ： 国建 ［ ］ 圣娴 ， Ｍ］ 北 中 位移方法的适应性［］ 北方交通大学学报 ，０ １２ ：４２ ． ．９ ３． １９
４ 杨成永 ， 张 弥， 白小 亮． 隧道 喷混 凝土衬 砌结 构可 靠度分析 从以上计 算结 果可 以看 出， 三个 断面 的可 靠指标 都较 高 （ 均 ［ ］ 的位移方法［］ 武汉岩石力学与工程学报 ，０ １ １ ：８２ ． Ｊ． ２ ０ （ ）１ —０ 超过 ２ ０ ， 随着龄 期 的增 加 ， 靠指标 变 化不 断减 小 ， 于稳 ． ）且 可 趋
定。计算结 果表 明， 衬砌结 构在施 工期处 于安全 状态 ， 为施 工的 顺利进行提供了技术依据 。
参考文献 ：
［］ ５张
弥， 成永． 杨 地下 工程喷锚 支护 系统 的不确 定性研 究［］ Ｊ．
利用有限元方法分析桥梁结构的动力响应
利用有限元方法分析桥梁结构的动力响应桥梁作为承载道路交通的重要组成部分，其结构的稳定性和安全性对于保障交通运输的顺畅至关重要。
在桥梁的设计和施工过程中，为了确保其在受到外力作用时的动力响应满足要求，有限元方法成为了一种常用的工具。
本篇文章将介绍如何利用有限元方法分析桥梁结构的动力响应。
有限元方法是一种求解结构力学问题的数值分析方法，它将连续体划分为有限个小区域，然后通过对这些小区域的力学性能进行数值计算，得到整个结构的力学特性。
在分析桥梁结构的动力响应时，有限元方法可以考虑各种因素，如自然频率、振型形状、振动模式等，以评估结构的稳定性及抗震性能。
首先，我们需要建立桥梁结构的有限元模型。
在建模过程中，需要考虑桥梁的几何形状、材料特性以及边界条件等。
通常情况下，桥梁可以近似看作是一个三维结构，可以通过虚拟节点和单元网格的方式来划分为有限个小区域。
然后，根据桥梁结构的材料特性和边界条件，对每个小区域进行力学特性的计算和参数设定。
接下来，通过将结构的受力平衡和运动方程转化为矩阵形式，可以得到有限元模型的运动方程。
这里的运动方程可以描述桥梁在受到外力作用时的振动情况。
运动方程的求解通常使用数值计算方法，如有限差分法或有限元法。
利用这些方法，我们可以得到桥梁结构的动力响应，如自然频率和振型等信息。
在进行动力响应分析时，我们可以对桥梁结构施加不同类型和大小的载荷，模拟实际使用情况下的动力作用。
通过分析桥梁结构在不同频率下的响应，可以评估结构的稳定性和安全性。
在实际工程中，这些信息对于桥梁的设计、施工和维护具有重要意义。
除了动力响应分析，有限元方法还可以用于桥梁结构的优化设计。
通过对不同结构参数的变化进行分析，可以找到使桥梁结构在特定工况下具有最优性能的设计方案。
这种优化设计方法可以提高桥梁结构的抗震性能、减小结构的振动响应，从而保障桥梁的安全可靠性。
总之，利用有限元方法分析桥梁结构的动力响应是一种重要的工程方法。
弹性地基梁动力响应分析的一种辛算法
ａ ｄＮ ｗ ａｋ Ｂｍ ｔｏ ． ｎ ｅ ｍ ｒ ｅ ｄ ｈ
学的相 空间 （ 挠度 、动 量）非 传统 Ｈ ｍｉｏ ａ ｌ ｎ型 变分原理 。这 种 变分原理 不仅 能反 映这 种 动力 学初值一 边值 ｔ 问题 的 全部 特征 ，而且 它的 欧拉 方程 具有 辛结构 的 特征 。基 于该 变分 原理 。提 出一 种称 之 为辛 空 间有 限
元一 时间子域 法的辛算 法。这 种新 方法是 由空间域采 用有 限元 法与 时间子 域采 用 Ｌｇａｇ ａｒ ｅ插值 多项 式插 值 ｎ 的时间子域 法相结合 而成。 文 中用这 种辛算 法分析 了四种 支承 条件 下弹性 地基 梁的 动力 响应 问题 。算例 的
ｕ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｌＨａ ｌ ｎ ｔｐ ａ ｉｔ ｎ ｒｎ ｉ ｌ ｎ ｐ ａ ｅ ｓ ａ ｅ ｆｒ ｄ ｎ ｍｉｓ ｏ ｌ ｓｉ ｏ ｎ ａ ｉｎ ｂ ａ ｗｉ ｎ ｏ ｖ ｎ ｉ ａ ｍｉ ｏ － ｙ ｅ ｖ ｒａｉ ａ ｐ ｃ ｐ ｅ ｉ ｈ ｓ ｐ ｃ ｏ ｙ ａ ｃ ｆｅａ ｔ ｆ ｕ ｄ ｔ ｅ ｍ ｔ ｏ ｔ ｏｌ ｉ ｃ ｏ ｈ ｌ ｅ ａ ｉ ｇ ｉ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ ｈ ｃ ａ ｕ ｌ ｈ ａ ｔ ｒ ｅ ｔ ｅ ｉ ｉ ａ － ｏ ｎ ａ ｙ ｖ ｕ ｒ ｂ ｅ ｏ ｉ ｙ ａ ｃ ． ｉ ａ ｄ ｍｐ ｎ ｓ ｓａ ｌ ｅ ，ｗ ｉｈ ｃ ｎ ｆ ｌ ｃ ａ ｃ ｅ ｚ ｈ ｎ ｔ ｎｒ ｓ ｙ ｒ ｉ ｉ ｂ ｕ ｄ ｒ － ａ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｈ ｓｄ ｎ ｍｉｓ ｌ ｌ ｔ Ａｎ ｔ ｌｒｆ ｎ ｔ ｎ ｈ ｓ ｓ ｍｐ ｅ ｔ ｔ ｃｕ ｅ ｃ ａａ ｔｒ ａ ｅ ｎ ｔ ｉ ｖ ｒ ｔ ｎ ｒｎ ｉ ｌ ｎ ｐ ａ ｅ ｓ ａ ｅ ｄ ｉ Ｅｕ ｅ ｕ ｃｉ ａ ｙ ｌｃ ｉ ｓｒ ｔ ｒ ｈ ｃ ｅ ．Ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｓ ａ ａ ｉ ａ ｐ ｃｐ ｅ ｉ ｈ ｓ ｐ ｃ ，ａ ｓ ｏ ｃ ｕ ｒ ｉ ｏｌ ｉ ｓ ｍｐ ｅ ｔ ｐ ｃ ｎ ｔ ｌｍｅ ｔ 一 ｔ ｕ ｄ ｍａｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ． ｈ ｓｎ ｗ ｔ ｏ ｅ ｒ ｓ ｌ ｏ ｍｂ ｎ ｎ ｙ ｌ ｃｉ ｓ ａ ｅｆ ｉ ｅ ｅ ｎ — ｉ ｓ ｂ ｏ ｉ ｔ ｏ ｐ ｅ ｅ ｔｄ Ｔ ｉ ｅ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｔ ｅ ｕ ｔ ｆ ｏ ｉ ｉ ｇ ｃ ｉ ｅ ｍｅ ｓ ｓｈ ｃ ｉ ｔ ｅｅ ｎ ｔ ｏ ｎ ｓ ａ ｅ ｄ ｍａ ｎ ｗｉ ｔ ｆ ｉ ｌ ｍｅ ｔ ｍｅｈ ｄ ｉ ｐ ｃ ｏ ｉ ｔ ｉ ｕ ｄ ｍａ ｎ ｍｅｈ ｄ ｂ ｐ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ Ｌ ｇ ａ ｇ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ｎ ｎ ｅ ｈ ｍｅ ｓ ｂ ｏ ｉ ｔ ｏ ｙ ａ ｐ ｙｎ ｈ ａ ｒ ｎ ｅ ｉ ｔｒ ｏａ ｉ ｏ ｐ ｌ ｎ ｍｉ ｓ ａ ｐ ｒ ｘ ｍａｉ ｎ ｔ ｅ ｔ ｕ ｄ ｍａ ｎ ｈ ｕ ｒ ａ ｅ ｕ ｔ ｓ ｏ ｈ ｔ ｈ ｔｂ ｌ ｙ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ， ｏｙ ｏ ａ ｓ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｔ ｉ ｓ ｂ ｏ ｉ ．Ｔ ｅ ｎ ｍｅ ｃ ｌ ｓ ｌ ｈ ｗ ｔ ａ ｅ ｓａ ｉ ｔ ，ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｌ ｏ ｏ ｈ ｍｅ ｉ ｒ ｓ ｔ ｉ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｃ ｕ ａ ｙ ａ ｄ ｅｆ ｉ ｎ ｙ ｏ ｉ ｅ ｍｅｈ ｄ ｅ ｃ ｌ ｂ ｉｕ ｌ ｈ ｓ ｆ ｄ ｌ ｓ ｄ Ｗ ｉ ｏ 一 ０ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｕ ａ ｉ ａ ａ ｃ ｒ ｃ ｎ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｈ ｓ ｎ ｗ ｔ ｏ ｘ ｅ ｖｏ ｓｙ ｔ ｏ ｅ ｏ ｅｙ ｕ ｅ ｌ ｎ ｏｌ ｉ ｔ ｏ ｗｉ ｓ ｔｏ
荷载试验弹性变形计算公式
荷载试验弹性变形计算公式引言。
荷载试验是工程结构设计和施工过程中非常重要的一项工作，通过荷载试验可以了解结构的承载能力和变形情况，为工程设计和施工提供重要的参考依据。
其中弹性变形是结构在荷载作用下产生的一种变形形式，对于结构的安全性和稳定性具有重要的影响。
因此，弹性变形的计算是荷载试验中的一个重要环节，本文将介绍荷载试验弹性变形计算公式及其应用。
一、荷载试验弹性变形计算公式。
在进行荷载试验时，需要计算结构在荷载作用下的弹性变形，以评估结构的承载能力和稳定性。
弹性变形的计算通常采用弹性力学理论中的公式，其中最常用的是梁的弹性变形计算公式。
梁的弹性变形计算公式是基于梁的受力分析和弹性力学理论推导出来的，其一般形式如下：δ = (P L^3) / (3 E I)。
其中，δ为梁的弹性变形，P为作用在梁上的荷载，L为梁的长度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
这个公式适用于简单的梁的弹性变形计算，对于其他结构形式，可以根据具体情况进行修正和推广。
二、荷载试验弹性变形计算公式的应用。
荷载试验弹性变形计算公式可以应用于各种类型的结构，如梁、板、柱等，通过计算结构在荷载作用下的弹性变形，可以评估结构的承载能力和变形情况，为工程设计和施工提供重要的参考依据。
下面将以梁的弹性变形计算为例，介绍荷载试验弹性变形计算公式的应用。
1. 梁的弹性变形计算。
假设有一根长度为L、截面惯性矩为I的梁，受到荷载P的作用，我们可以通过荷载试验弹性变形计算公式来计算梁的弹性变形。
首先，我们需要确定梁的弹性模量E，然后将荷载P、长度L、弹性模量E和惯性矩I带入弹性变形计算公式中，即可得到梁的弹性变形δ。
2. 应用举例。
假设一根长度为5m、截面惯性矩为1000cm^4的梁，受到1000N的荷载作用，梁的弹性模量为2.1x10^5N/cm^2，我们可以通过荷载试验弹性变形计算公式来计算梁的弹性变形。
将荷载P=1000N、长度L=5m、弹性模量E=2.1x10^5N/cm^2和惯性矩I=1000cm^4带入弹性变形计算公式中，即可得到梁的弹性变形δ=0.238mm。
弹性地基梁解析法
入基坑开挖过程中多种因素的影响，从支档结构位移可初步估
计开挖对周边环境的影响，目前被广泛应用并列入有关规范、规
程中。“建筑基坑支护技术规程”（ＪＧＪｌ２０－－９９）将其称为弹性支
点法，计算简图见图１，图中将支锚构件简化为与截面积、弹性
模量及计算长度等有关的二力杆弹簧，基坑内侧土体视为土弹
簧，外侧自上而下作用已知之水、土压力，用杆系有限单元法求
（２～７）
式中：△一桩顶位移，ｍ；
Ｈ～基坑开挖深度，ｍ；
Ｙ。、‰一弹性地基梁顶面（基坑底面）的水平位移及转角，由式
２—２、２—３计算；ｆｏ一固定端设在基坑底面的悬臂梁，在侧压力作用
下顶端产生的水平位移，由“建筑基坑工程技术规程”（ＤＢ６２／２５—
３００１—２０００）表Ｄ·０·２查得。
图３
２·３多（单）支点排桩支护结构的计算
ｒ
嗣
Ｔｌ
虏 骨
＿云
●
现通过一具体工程实例的计算对弹性支点法与弹性地基梁解析法的计算结果进行比较。某 工程开挖深度９．５ｍ，地面超载及工程与水文地质条件见图５，支护桩为冲击成孔灌注桩，按悬臂 式及单支点两种方式进行支护设计。单支点支护方式为：自桩顶向下３ｍ处设对撑支撑体系，支 撑间距８ｍ，长度３２ｍ，支撑采用直径３５１ｍｍ，壁厚８ｒａｍ之热轧无缝钢管（截面积８６２１ｍｍ２，弹性 模量２．０６×１０５Ｎ／ｍｍ２）。
算结果与实际往往出入较大；难以反映基坑开挖过程中其他各种复杂因素的影响。极限平衡法虽
存在上述问题，但具有简单快捷的特点，且支护结构抗倾覆稳定所需嵌固深度本质上是支护结构
前后荷载达极限时的平衡问题，因此，现行规范保留了此法，但对其应用范围作了限制。
弹性地基梁法能够考虑支挡结构的平衡条件和结构与土的
弹性力学弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章 弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件 位移表示的平衡微分方程应力解法 体力为常量时的变形协调方程 物理量的性质逆解法和半逆解法 解的迭加原理 ,弹性力学基本求解方法 、内容介绍通过弹性力学课程学习， 我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用 公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结， 并且讨论具体地求 解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计 15 个，基本方程有 平衡微分方程、 几何方程和本构方程， 也是 15 个。
面对这样一个庞大的方程组， 直接求解显然是困难的， 必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求， 本章的主要 任务有三个：是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质， 确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程， 得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、 应力解位移解法 位移边界条件 变形协调方程 混合解法 应变能定理 解的唯一性原理 圣维南原理法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15 个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
刚性与弹性支承梁动力响应分析的新方法
间子 域 法 ，该 法对 空间域采 用有 限元 来 离散 ，而时 间子域 采 用 ５次 Ｈｅｍｉ 插 值 多项 式插值 ． Байду номын сангаас ｔ ｅ
数值 计 算结 果表 明该 方 法 的计算 精度 和 效率 都 明显 高于其 它数 值 计算 方 法．
关键 词 ：刚 性 与弹性 支承 梁 ；Ｈ ｍｉｏ ａ ｌ ｎ型 拟 变分原 理 ；有 限元 法 ；时 间子域 法 ；动 力响 应 ｔ
维普资讯
第２ １卷 第 ２期
２０ ０ ７年 ７月
五 邑 大学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ Ｒ Ｌ Ｆ ＯＵ ＮＡ Ｏ Ｗ Ｕ Ｕ Ｖ Ｒ ＩＹ （ ｔｒｌ ｃｅｃ Ｅ ｉ ｎ ＹＩ ＮＩ Ｅ ＳＴ Ｎａ ａ ｕ Ｓｉｎ ｅ ￣ｆ ） ｏ
、ｏ ． １ Ｎｏ ２ ，１ ２ ．
Ｊ ． ｕ１
２ ０７ ０
文章 编 号 ：１ ０ ． ３ ２ （ ０ ７ ２０ ５ ．４ ０ ６７ ０ ２ ０ ）０ ．０ １０
刚性 与弹 性 支 承 梁 动 力 响应 分 析 的新 方 法
朱 慧 坚 ’ 罗 恩 。 ，
（ ．广 东技 术 师 范 学院 计算 机科 学 系，广 东 广 州 ，５ ０ ６ ； １ １ ６ ５ ２ ．中山 大学 力学 系，广 东 广 州 ，５ ０ ７ １２ ５） 摘要 ：首 先建 立 了能反 映动 力学初值 一边值 问题 的全部 特征 的有 阻尼 刚性 与 弹性 支承 梁动 力 学 的一类 变量广 义 Ｈａ ｌ ｎ型拟 变分原理 ， ｍｉｏ ｔ 然后 提 出拉 格 朗 日力学体 系下的 空 间有 限元一 时
ａ ｃ ｒ ｔ ｈ ｎ ｏｈｅ ｕ ｅ ｉ ａ ｔ ｄ ． ｃ ｕ ａ ｅｔ ａ ｔ ｒｎ ｍ ｒｃ ｌｍｅ ｈｏ ｓ
弹性地基梁法
弹性地基梁法标签：弹性地基梁法计算基础梁上的荷载整体式平底板的平面尺寸远较厚度为大，可视为地基上的受力复杂的一块板。
目前工程实际仍用近似简化计算方法进行强度分析。
一般认为闸墩刚度较大，底板顺水流方向弯曲变形远较垂直水流方向小，假定顺水流方向地基反力呈直线分布，故常在垂直水流方向截取单宽板条进行内力计算。
按照不同的地基情况采用不同的底板应力计算方法。
相对密度Dr ＞0.5的砂土地基或粘性土地基,可采用弹性地基梁法。
相对密度Dr 0.5的砂土地基，因地基松软，底板刚度相对较大，变形容易得到调整，可以采用地基反力沿水流流向呈直线分布、垂直水流流向为均匀分布的反力直线分布法。
对小型水闸，则常采用倒置梁法。
（一）弹性地基梁法该法认为底板和地基都是弹性体，底板变形和地基沉降协调一致，垂直水流方向地基反力不呈均匀分布（图1），据此计算地基反力和底板内力。
此法考虑了底板变形和地基沉降相协调，又计入边荷载的影响，比较合理，但计算比较复杂。
当采用弹性地基梁法分析水闸闸底板应力时，应考虑可压缩土层厚度T 与弹性地基梁半长L ／2之比值的影响。
当L T 2小于0.25时，可按基床系数法（文克尔假定）计算；当LT 2大于2.0时，可按半无限深的弹性地基梁法计算；当2T ／L 为0.25-2.0时，可按有限深的弹性地基梁计算。
弹性地基梁法计算地基反力和底板内力的具体步骤如下：（1）用偏心受压公式计算闸底纵向(顺水流方向)地基反力。
（2）在垂直水流方向截取单宽板条及墩条，计算板条及墩条上的不平衡剪力。
以闸门槽上游边缘为界，将底板分为上、下游两段，分别在两段的中央截取单宽板条及墩条进行分析，如图1（a ）所示。
作用在板条及墩条上的力有：底板自重（q 1）、水重（q 2）、中墩重（G 1/b i ）及缝墩重（G 2/b i ），中墩及缝墩重中（包括其上部结构及设备自重在内），在底板的底面有扬压力（q 3）及地基反力（q 4），见图1（b）所示。
结构动力响应计算的精细积分法_55346
在合理的积分步长范围内，它是不会发生稳定性问题的。即使对高
度病态的问题，精细积分法仍具有很高的精度。
2
将状态方程： z(t) Hz(t) F(t) 的通解：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)dst0源自改写为齐次通解zh与特解z p 之和:
z(t) zh (t) z p (t)
假定在每一积分步长 t [tk ,tk1] 内荷载变化是线性的
即： F(t) r1 (t tk )r2
z(t) Hz(t) F(t)
应用待定系数法可求得特解： z p (t) (H1 tI)(H1r2 ) H1(r1 tkr2 ) z p (t) 代入 z(t) T( t)[z(tk ) z p (tk )] z p (t) 中 得：z(tk1) T(t)[z(t k ) H1(r1 H1r2 )] H1(r1 H1r2 tr2 )
F(t)
Fe(t ) m
1
方程 z(t) Hz(t) F(t) 为一阶线性微分方程组，通解为：
z(t) eH(tt0 )z(t0 ) eHt
t eHsF(s)ds
t0
二、精细积分法
钟万勰在2N 类算法计算指数矩阵的基础上，提出了精细积分法，
用于求解热传导、扩散对流问题以及结构动力学问题的暂态过程。
m
N一般取20，于是 m=1,048,576 106 t
4
t tk1 tk
T(t)=eHt (eH )m
令： t , m 2N
m
I
H
(H )2
2!
(H )3
3!
(H )4
4!
m
(I Ta0 )m
令 I Tai (I Ta,i1)2 I 2Ta,i1 T T a,i1 a,i1 (i 1, 2,...N )
弹性地基梁动力响应的Floquet变换解法
Ｄｙ ａ ｉ ａ ｙ ｉ ｆ Ａ ａ ｏ ａ ｔｃ Ｆｏ ｎ ａ ｉ ｎ ｎ ｍ ｃ Ａｎ ｌ ｓ ｓ ｏ Ｂｅ ｍ ｎ Ｅｌ ｓ ｉ ｕ ｄ ｔｏ Ｔｈ ｏ ｇ ｈ ｏ ｕ ｔＴｒ ｎ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ Ｍ ｅ ｈｏ ｒ ｕ ｈ ｔ ｅ Ｆｌ ｑ ｅ ａ ｓ ｏ ｍ ｔｏ ｔ ｄ
地基梁动力响应的 Ｆｏｕｔ ｌ ｅ 变换解法， ｑ 并利用 Ｆｕｉ 变换解法进行 了验证 ． ｏｒ ｒ ｅ 结果表明 Ｆｏｕｔ ｌ ｅ 变换 ｑ 解 法在 解 决弹性地 基 梁动 力响应 上具 有一 定 的适 用性 ， 为此 类 问题 的解 答 开辟 了一个 新 的途 径 ．
关 键词 ： 力响应 ； 动 弹性 地基 梁 ；ｌ ｕｔ Ｆｏ ｅ 变换 解 法 ； 率一 ｑ 频 波数 域
性 地 基 梁 在 纵 向上 的无 限周 期 性 ， 用 Ｆｏ ｕ ｔ 采 ｌｑ ｅ 变
≥ Ａ ＋
＋Ｋ 。 ＝ （ ） ｔ Ｙ （ ） （） １
换＿来解决在 Ｄｒ 脉冲作用下弹性地基梁的动力 ４ ］ ｉｃ ａ 响应 ， 给出 了它的解析解和数值解 ， 利用 Ｆ ｕｉ 并 ｏｒ ｒ ｅ
续 弹性 支撑 的刚度 为 Ｋ 阻尼 为 Ｃ 在 ｔ ＝０时刻 在 梁 的原点处作 用 一 个 单 位 Ｄｒｃ 冲 （ ， ） ｉ 脉 ａ Ｙ ｔ：
（ （ ）在 此条 件下 梁 的偏 微 分运 动方程 为 ） ｔ ．
的 目的是 为此类 问题 探 讨 一个 新 的方 法 ， 即利 用 弹
ｔｅｄ ｎ ｍｉ ｒｓｏ ｓ ｆ ｈ ｅｍ ｓ ｂｅｔ ｏａＤ ｒｃｉ ｕｓ ｉ ａ ａ ｚｄｂ ｈ ｌ ｕ ｔ ｒｎｆｒ — ｈ ｙ ａ ｃ ｅｐ ｎｅｏ ｅｂ ａ ｕｊｃｅ ｔ ｉ ｔ ｄ ａ ｍｐ ｌ ｎ ｌ ｅ ｙｔｅＦｏ ｅ ａｓｏｍａ ｅｓ ｙ ｑ ｔ
弹性基础简支梁的动态分析
作用力频率增大到 220HZ 时，脉冲频率接近简支梁条件下的一阶弯曲频率，在刚性支撑条件下 将发生共振（图 8），但支撑弹簧的刚度减弱到 100N/mm 时，得到支撑反力响应如图 12，与图
10 相比，两者结果相似，这是由于支撑弹簧刚度很软的情况下，系统的振动特性主要由弹簧质 量系统的第一阶固有频率决定。可见，即使冲击力频率与梁一阶弯曲频率接近，但通过改变支 撑刚性可有效避免共振发生，这是施加减振装置后产生的效果。
的一阶弯曲频率517hz的一阶弯曲频率228hz弹性基础简支梁的瞬态冲击简支梁常见的一种瞬态力作用条件是承受图4脉冲力的冲击梁的响应与冲击力幅值f0作用时间t0脉冲力作用频率1t简支梁的瞬态冲击分析当支撑弹簧的刚度为k1000000nmm时梁近似于刚性支撑条件简支梁的第一阶固有频率为228hz当冲击力幅值f000167s时得到梁中点的位移应力和支撑反力响应如图5图6图7支撑最大反力达550n为静载荷的55因此在此工作频率下动力冲击对梁及周围环境的影响很大
表1
f T , f J , f E 随弹簧刚度的变化关系
随着弹簧刚度的增加，系统的支撑性质向刚性化过渡，有限元计算值 f E 也逐渐趋向 f J ，可以预 见当弹簧刚度趋向无穷大时， f E 逼近 f J ，此时不能再用公式（1）来计算系统的初阶固有频率 值，应采用公式（2）来计算。 当 f T = f J 时得到：
图4
简支梁的瞬态冲击分析
当支撑弹簧的刚度为 K=1000000N/mm 时，梁近似于刚性支撑条件，简支梁的第一阶固有 频率为 228HZ，当冲击力幅值 F0=100N，作用频率 120HZ，作用时间 t0=0.00167s 时，得到梁中 点的位移、应力和支撑反力响应如图 5，图 6，图 7，支撑最大反力达 550N，为静载荷的 5.5 倍， 因此在此工作频率下动力冲击对梁及周围环境的影响很大。 当脉冲力作用频率为 220HZ 时，由于接近梁的第一阶固有频率，将发生共振，随着时间的 推移，支撑反力逐步增大，如图 8，到 0.07s 时梁的反力达到 1400N，是静载荷的 14 倍。 当支撑弹簧的刚度为K=100N/mm时，整个系统接近于一弹簧质量系统，第一阶固有频率为 13HZ，当冲击力幅值F0=100N，作用频率120HZ时，梁中点的位移、应力和支撑反力响应如图9， 图10，图11。支撑最大反力为42N，为静载荷的2/5，且振动的波形变的舒缓，振动按第一阶固 有频率传播，大大减小了对梁和环境的冲击，但不利因素是梁的刚体位移增加。
弹性力学10梁模型法
2
n
Pl M
P
cot
i1
n
a i cot b i
( n 2 ) 2n
正多边形（集中力作用在板中心）： a i b i
Pl M
2
n
P
n
2 tan
n
i1
Pl 2 nM
P
tan
n
n 3 : Pl 10 . 39 M n 4 : Pl 8 M
P
P
n 5 : Pl 7 . 27 M n 6 : Pl 6 . 93 M
P
P
三、周边固支的多边形板 在O 处受集中力P 作用
D C AC=ai OD=hi D O A
bi-1
ai
O
bi
固支边上形成塑性铰线 内力功Wi ：
Wi M P d cot
i1 n
a i cot
Q(x)+dQ(x)
d rQ
三、板的平衡方程
dQ ( x ) dx
dM ( x ) dx Q(x) m
r
qr
rQ Mq
d 2 rQ dr
d ( 2 rM dr
r
)
2 qr
2 rQ 2 M q
dr
d ( rM
r
)
r
q( x )
10－6 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷
一、屈服条件
最大弯矩极限条件：
max
Mq
Mp
Mq
, M
r
Mr
汽车荷载作用下弹性支承梁桥的动力响应分析
题名（中英对照） ：汽车荷载作用下弹性支承梁桥的动力响应分析
（Dynamic Response of Elastic Support Bridge due to Moving Vehicles）
作者姓名：莫帅 指导教师姓名 及学位、职称：陈志刚 博士、副教授 学科、专业名称：工学、结构工程 论文提交日期：2014 年 4 月 20 日 论文答辩日期：2014 年 6 月 07 日 答辩委员会主席： 论文评阅人： 学位授予单位和日期：暨南大学 2014 年 6 月 29 日
- III-
暨南大学硕士学位论文
Elastic support has some influence on bridge under the condition of vehicle loading effect, and the magnitude of the effect is related to the support stiffness of the bridge. When the support stiffness of the bridge is small, the elastic support has a little influence on it, and the method of simplifying boundary condition of bridge into rigidity will still be applicable; when the support stiffness of the bridge is large, the elastic support has larger influence, the method of simplifying boundary condition of bridge into rigidity will lead to greater deviation, which is not applicable any more. Key words: finite element; vehicle-bridge coupling; dynamic response; simply supported beam; continuous beam; elastic support
10-1 弹性地基梁的解析方法
2. 弹性地基梁法弹性地基梁内力计算：基床系数法和半无限弹性体法。
基床系数法：采用文克勒（Winkler）地基模型，地基由许多互不联系的弹簧所组成，某点的地基沉降仅由该点上作用的压力所产生。
通过求解弹性地基梁的挠曲微分方程，可求出基础梁的内力。
半无限弹性体法：假定地基为半无限弹性体，将柱下条形基础看作放在半无限弹性体表面上的梁，而基础梁在荷载作用下，满足一般的挠曲微分方程。
应用弹性理论求解基本挠曲微分方程，并引入基础与半无限弹性体满足变形协调的条件及基础的边界条件，求出基础的位移和基底压力，进而求出基础的内力。
半无限弹性体法的求解一般采用有限单元法等数值方法。
，根据微分梁单元力的平衡，则：∑Y＝M x w EI -=22d d 由材料力学知，梁的挠曲微分方程为：或2244d d d d xM x w EI -=根据截面剪力与弯矩的相互关系，即则：x x M d dQ d d 22=q bp x w EI +-=44d d q bkw x w EI =+44d d 引入文克勒地基模型及地基沉降s 与基础梁的挠曲变形协调条件，可得：。
w s =kw ks p ==代入上式，可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程为：当梁上的分布荷载q =0时，梁的挠曲微分方程变为齐次方程：0d d 44=+bkw x w EI令，称为梁的柔度指标，其单位为(长度)-1。
的倒数值称为特征长度，值愈大，梁对地基的相对刚度愈大。
44EI kb =λλλλ1λ104d d 444=+w x w λ该微分方程的通解为)sin cos ()sin cos (4321x C x C e x C x C e w x x λλλλλλ+++=-于是，梁的挠曲微分方程可进一步写成如下形式：式中C 1、C 2、C 3、C 4为待定参数，根据荷载及边界条件定；为无量纲量，当x ＝L (L 为基础长度)，称为柔性指数，它反映了相对刚度对内力分布的影响。
具有水平摩阻力的弹性地基上梁的解
具有水平摩阻力的弹性地基上梁的解
梁的振动与阻尼，是一个历史悠久的问题，也是一个复杂的研究主题。
在最近
的几十年中，人们开始关注梁地基的振动行为，并对不同类型的梁地基结构的振动性能进行了研究。
其中，弹性地基上梁的振动受到水平摩阻力的影响，是一个有相当深度的研究课题。
关于弹性地基上梁水平摩阻力的振动行为可以简单地概括为：随着梁大小质量、地基刚度以及梁地基结构和水平摩阻力的参数改变，弹性地基上梁的响应特征会发生变化。
梁的振动特征的解取决于给定的地基刚度和水平摩阻力参数。
弹性地基上梁水平摩阻力的计算，一般采用数值分析方法来求解，如基于有限
元素法。
首先，建立一个模型，细分梁结构，让计算机识别其地基参数，并添加水平摩阻力，从而实现调整梁地基结构所受阻力，从而获得精确的模型表示。
随后，可以使用不同的数学工具，如传统的泛函分析法，加以分析和解决弹性地基上梁的水平摩阻力的振动方程。
综上，解弹性地基上梁水平摩阻力的振动行为，人们需要建立数值模型，以及
采用数值方法来分析，解决振动方程，最终获得解析的结果。
研究这一领域的挺带来了更好的设计，建设，安全和性能方面的指导。
弹性地基梁的计算
第3章 弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设： (1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。
3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。
Ky =σ (3-1) 式中，σ－任一点的地基反力（kN/m 2）y －相应点的地基沉陷量（m ）K －弹性压缩系数（kN/m 3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。
推导出基础梁的挠度曲线微分方程。
图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑y =0，得 (dQ Q +)－Q +dx x q )(－dx σ＝0 化简后变为)(x q dx dQ-=σ (3-2) 再根据∑M =0，得M －(M +dM )+(dQ Q +)dx +2)(2)()(22dx dx x q σ-=0 整理并略去二阶微量，则得dx dM Q =(3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知)(22x q dx Md dx dQ -==σ (3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得dx dy =θdx d EJM θ-== 22dx y d EJ - (3-5)33dx y d EJ dx dM Q -== 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得)(44x q Ky dx yd EJ +-= (3-6) 令 α＝44EJ K（3-7） 代入式(3-6)，得)(444444x q K y dx y d αα=+ (3-8)式中α叫做梁的弹性标值。
式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算，在上式中用变数x α代替变数x ，二者有如下的关系：)()()(x d dy dxx d x d dy dx dy αααα== (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得)(44)(44x q K y x d y d αα=+ (3-10)2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：x x sh C x x sh C x x ch C x x ch C y ααααααααsin cos sin cos 4321+++= （3-11） 在上式中引用了2x x e e x sh ααα--=， 2xx e e x ch ααα-+=3.2按文克尔假定计算短梁1. 初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移0y ，角变0θ、弯矩0M 和剪力0Q ，它们的正方向如图中所示。
弹性地基梁计算模型(简版专享)
简约版
3
2、土的反力模型
弹性地基梁计算中地基模型的选取主要有以下6种
（1）.文克尔地基模型 即假定建筑物基础底面任一点的接触应力数值与在该点的沉 降存在一种比例关系
P(x , y)= k* W ( x ,y )
简约版
4
2、土的反力模型
（2）.利夫金模型 (文克尔地基模型的改进 )
即为弥补文克尔地基模型不能扩散应力和变形的缺陷 ,利夫金分析了 各种地基模型下矩形基础反力分布的特性 ,对文克尔模型作出了改进:
简约版
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2、弹性地基梁的计算方法
2.1不考虑共同作用的计算方法
倒梁法 假定柱下条形基础的基底反力为直线分布 ,将柱下条形基 础假设为以柱脚作为固定铰支座的倒置的连续梁 ,以线性 分布的基底净反力作为荷载 ,用弯矩分配分配法求解内力。
简约版
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2、弹性地基梁的计算方法
2.2考虑地基与基础相互作用的计算方法(解析法） 在地基梁的计算中, 通常用 p 表示沿梁单位长度内的地基压力, 称作 地基压力的线集度。 线集度 p 与压强 σ之间有如下关系:
W( x ,y ) =p*(1-u^2)/π*E*r
主要的模型参数为: 土的变形模量 E,泊松比 u ,荷载作用点距离 r
简约版
6
2、土的反力模型
（4）.分层总和地基模型
分层地基模型就是我国地基规范中用以计算地基沉降的分层 总和法 ,地基沉降等于压缩层范围以内各计算分层在完全侧限 条件下的压缩量之和。
S=∑(σi*Hi)/Ei
简约版
7
2、土的反力模型
（5）邓肯.张模型(非线性）
ε1= ε3/f+d* ε3 其中（σ1-σ3）——主应力差；
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弹性梁动力响应分析的一种辛算法X黄伟江,罗 恩,佘 慧(中山大学应用力学与工程系,广东广州510275)摘 要:根据古典阴阳互补和现代对偶互补的基本思想,首次建立了线性阻尼情形下弹性梁动力学的相空间(挠度、动量)非传统Hamilton 型变分原理。
这种变分原理不仅能反映这种动力学初值-边值问题的全部特征,而且它的欧拉方程具有自然辛结构。
基于该变分原理,提出一种称之为辛空间有限元-时间子域法的辛算法。
这种新方法由空间域采用有限元法与时间子域采用Lagrange 插值多项式插值的时间子域法相结合而成。
文中算例的计算结果表明,这种新方法的计算精度和效率都明显高于国际上常用的W ilson _H 法和Newmark _B 法。
关键词:相空间;非传统Hamilton 型变分原理;初值-边值问题;辛算法;动力响应中图分类号:O322 文献标识码:A 文章编号:0529-6579(2002)03-0005-041 弹性梁动力学相空间非传统Hamilton 型变分原理按文[1,2]的思路,可以建立有阻尼弹性梁动力学的相空间(挠度、动量)非传统Hamilton 型变分原理。
对于边界条件x =0:w = w ,H = H ;x =l:M = M ,Q = Q 和初始条件w (x ,0)= w 0,p (x ,0)= p 0的情形,其泛函表达式为02(w ,p )=Q t 10Qlp Ûw -12 m p 2-EI2(w d )2- c Ûw .w +f w d x d t -Q t1( w-w )(-EIw d )c -EI (w c - H )w d x =0d t +Q t1Qw- M w c x =ld t +Q lp 0(x )w (x ,0)-Üp (x ,t 1)w (x ,t 1)+Üw (x ,0)- w 0(x )p (x ,0)d x(1)式中带上标.的量为限制变分量[3],上标#表示对时间t 的偏导数,上角标c 表示对坐标x 的偏导数。
对于其它边界条件,上式中的划线项应作相应的改变。
式中 m 和 c 分别是单位梁长的质量和粘性阻尼系数。
当梁端支承分别为通常的简支、固支或自由、以及位移满足位移边界条件和位移初始条件时,式(1)就变成为02(w ,p )=Q t 10Qlp Ûw -12 m p 2-EI 2(w d )2- c Ûw .w +f w d x d t +Q l 0p 0(x ) wo(x )-Üp (x ,t 1)w (x ,t 1)d x (2)2 辛空间有限元-时间子域法211 辛有限元法对空间域用辛有限元法进行离散。
对任一梁单元eij ,其结点位移和结点动量分别为:q (e )(t)=w i (t) H i (t) w j (t ) H j (t )T(3)p (e)(t)=p i (t) r i (t) p j (t )r j (t )T(4)挠度和动量模式为:w (e)(x ,t)=[N (x )]{q (e)(t )}(5)p (e)(x ,t)=[N (x )]{p(e)(t)}(6)将式(5,6)代入式(2),得:02=Qt1{p }T [M t ]{Ûq }-12{p }T [K p ]{p }-12{q}T[K ]{q}-{Ûq .}T [C]{q }+{F}T {q}d t +Qlp 0(x ) w 0(x )d x -{Üp 1}T [M t]{q 1}(7)式中[M t ]=E eQ l(e)[N (x )]T [N (x )]d x [K p ]=E eQ l(e)1m [N (x )]T [N (x )]d x X 收稿日期:2001-11-16基金项目:国家自然科学基金资助项目(10172097,19902022,19672074)作者简介:黄伟江(1975-),男,硕士;通讯联系人:罗 恩;E_mail:luoenzsu@sina 1com第41卷 第3期2002年 5月中山大学学报(自然科学版)ACT A SCIEN T IARU M N AT U RAL IU M U N IVERSIT AT IS SU N YAT SENI Vol 141 N o 13M ay 2002[K ]=E e Q l(e)EI [N d (x )]T[N d (x )]d x [C ]=E eQ l(e)c [N (x )]T[N (x )]d x{F}=E eQ l(e)[N (x )]Tf d x{q(t)}=[q 1(t)q 2(t),q i (t),q n (t)]T {p (t )}=[p 1(t)p 2(t ),p i (t),p n (t)]T 以上各式均是按有限元的一般方法对号集总而成,设其自由度总数为2n =4n e (n e 为结点总数)。
此外,在进行数值运算之前,还应对边界条件进行处理。
212 辛时间子域法辛时间子域法的思想是把所考察的整个时间响应历程划分成若干个时间子域,在任一时间子域上,用Lagrange 插值多项式逼近待定的位移和动量函数,根据动力学变分原理,求解出当前时间子域末端的状态值;然后,把当前时间子域的末端状态值作为下一个时间子域的初始状态值,重复上一步计算;如此进行迭代,直至最后一个时间子域。
对于任意时间子域[t i ,t i+1],令t 0=t i+1-t i ,则局部时间坐标表示的时间子域为t I [0,t 0];再把该时间子域等分为m 段,令s =m +1,每段长为H ,则无量纲局部时间坐标表示的时间子域为S I [0,m ],其中S =t/H 。
在当前的时间子域上,令:q i (t )=E sj =1a i j U j (S )p i (t)=E sj=1b ij U j (S )(i =1,2,,n )或表示为:{q (t)}=[5(S )]{a}(8){p (t)}=[5(S )]{b }(9)式中[5(S )]=[[<1(S )][<2(S )],[<s (S )]][<j (S )]=U j (S )0,00U j (S ),0+w ++0,U j (S )n @n(j =1,2,,,s ),U j 是m 次Lagrange 插值多项式;{a}=[a 11a 21,a n 1a 12,a n 2,a ns ]T {b}=[b 11b 21,b n 1b 12,b n 2,b ns ]T将式(8,9)代入式(7),得:02={b }T [M t t ]{a}-12{b}T [K p t ]{b}-12{a}T [K t]{a}-{Üa }T [C t ]{a}+{F t }T {a}+Ql 0p 0(x ) w 0(x )d x -{Üb }T [M t 1]{a}(10)式中[M t t ]=Qm 0[5]T [M t][Û5]d S[K p t]=Q mH [5]T[K p][5]d S [K t]=Q mH [5]T[K ][5]d S [C t]=Q m[Û5]T[C][5]d S {F t}T=Q mH {F }T[5]d S[M t 1]=[51]T [M t ][51]上面的{F}是整体时间坐标的函数,积分时要把它转换到当前时间子域的局部时间坐标上。
令D 02=0,并整理可得12([K t ]+[K t ]T )+[C t ]T [M t 1]T -[M t t ]T -[M t t ]12([K p t ]+[K p t]T ){a}{b }={F t }{0}(11)求解方程(11)时应先处理初始条件.求解处理后的线性方程组可得到当前时间子域内各结点任一时刻的位移和动量。
然后,把当前时间子域末端的状态值作为下一时间子域的初始状态值,如此重复进行就形成迭代算法。
3 算 例假设弹性梁长50cm,宽1cm,高2cm,弹性模量E =115@106kg /cm 2,Q =01008kg/cm 3,周期干扰力f =100sin (500t )(kg)作用于梁中点,初位移 w 0=0,初动量 p 0=0,计算梁中点的动挠度值。
这里将梁等分成10个单元,时间子域分别采用5次、4次、3次Lagrang e 插值多项式,解析解取前20阶振型。
有关各种边界条件的弹性梁的计算结果比较分别见表1和图1-4。
图中的本文解表示时间子域采用5次Lagrange 插值多项式,其长度取5H =5$t 。
表中计算结果的右边列是相对误差百分比。
6中山大学学报(自然科学版)第41卷表1一端固支一端简支弹性梁的动力响应值($t=010004s)T ab11Dynamic response values of elatic beam with one fix ed end and the ot her simply suppo rted end时刻s 解析解mm本文解/mm5H=$t5H=5$t4H=$t3H=$tW ilson_H法H=114,$tNewmark_B法B=0125,$t0100040102090102090100010216-313501021001020801015227127010244-16175 0100080111700111700100011177-01600111700111730110807169011217-4102 010012013294013295-0103013286012401329401329001303171980132381170 0100160165180165180100016511011101652001651401601971660163063125 0100201103401103400100110336010411033911034901962961880199803148 010024113872113873-0101113845011911387011387011313951281134792183 0100281161671161660101116167010011617111616711574121631159741119 0100321166711166700101116683-0107116668116686116787-0170116772-0161 01003611525811525801001152580100115256115255115996-4184115657-2162 0100401122641122640100112287-0119112272112258113567-10162112988-5190 0100440185780185780100018614-0142018573018584110073-17143019367-9120010048015131015133-01040151200121015128015116016272-22124015609-9132图1两端简支弹性梁($t=010006s) F ig11Elastic beam w ith two simply suppo rtedends图2两端固支弹性梁($t=010003s)Fig12Elastic beam w ith tw o fixedends图3一端固支一端简支由弹性梁($t=010004s)Fig13Elastic beam w ith one fixed end andthe other simply supportedend图4一端固支一端自由弹性梁($t=01001s)F ig14Elastic beam w ith one fix ed end andthe other fr ee end4结语本文首次建立了有阻尼弹性梁动力学的相空间(挠度、动量)非传统H amilton型变分原理。