《线面垂直的判定》
线面垂直判定定理
小结
• 内容 • 思想 • 作业：金太阳
思考：
1、过一点能作几条直线和已知平面垂直？ 2、过一点能作几个平面和已知直线垂直？
3、两条直线同时垂直于第三条直线，这 两条直线什么位置关系？第三条直线改为 平面呢？
4、两条平行线中的一条垂直于第三条直线， 那么另一条呢？
完成P65探究
折叠后将三角形纸片立于桌面，折痕与桌面垂 直吗？如何折可以保证折痕与桌面垂直 L⊥n mﾧα nﾧα m∩n=o
}
L⊥α
定理内容蕴含了什么思想？
转化思想，若线线垂直，则线面垂直
判断真假并说明理由：“两条平行线中的一 条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该 平面”
P67练习1T
P66探究
阅读P66探究与例2之间内容回答问题
• 什么是线面角？线面角的范围是什么？ （空间中两条直线夹角范围呢？异面直线 夹角范围呢？） • 一个平面的斜线和面内线所成角中的最小 角是什么角？ • 如果一条直线与一平面的斜线垂直，那么 它和斜线在面内的射影垂直吗？反之呢？
线面垂直
学习目标
• 1、探索线面垂直判定定理，培养空间想象 力 • 2、掌握定理内容，能用定理分析解决简单 问题
问题：日常生活中你遇到过哪些线面垂直
的直观印象？ • • • • • 操场的升旗杆与地面关系 桌子腿与地面关系 开关门的旋转轴与地面关系 三视图中 投影线与投影幕关系 。。。。。。
问题：
如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直 线，那么直线与平面是否垂直？说明理由
新知探究
• 你觉着如何给线面垂直下定义？怎样用图 形表示线面垂直？
一条直线如果垂直于平面内所有（任意）直线，则 称该直线垂直于平面
L
α
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系1.线面垂直直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式:直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2.面面垂直两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果 ,那么这两个平面互相垂直。
推理模式:两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明.例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC.(1)求证:平面PAC ⊥平面PBC;(2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥证明:平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值;(Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .5、如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中,AC ＝BC ＝1,∠ACB ＝90°,AA 1 ＝2,D 就是A 1B 1 中点.(1)求证C 1D ⊥平面A 1B ;(2)当点F 在BB 1 上什么位置时,会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明您的结论6、S 就是△ABC 所在平面外一点,SA ⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB ⊥BC 、7、在四棱锥中,底面ABCD 就是正方形,侧面VAD 就是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD证明:AB ⊥平面VAD8、如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置,使平面EDB ⊥平面ABD 、求证:AB DE ⊥VDC B A SAB9、如图,在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E 、F 分别就是AP 、AD 的中点求证:(1)直线EF ‖平面PCD;(2)平面BEF ⊥平面PAD10、如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,、过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ,分别就是棱SC SA ,的中点。
高一数学必修2线、面垂直的判定与性质
α β a A 线、面垂直的判定与性质一、线、面垂直的判定与性质1.线面垂直的定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.2.线面垂直的判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 直线与平面垂直3.（1）的射影所成的角（2）（3一条直线与平面所成的角的取值范围是 4.二面角相关概念：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. ∠AOB即为二面角α-AB-β的平面角注意：二面角的平面角必须满足：（1）角的顶点在棱上.（2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.二面角的取值范围 5.面面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记为β⊥α6.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．7.直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行8.面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线面垂直α⊥l 记为⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫l a l ⊥b l ⊥α⊂a α⊂b A b a = ]90,0[0[]]0[180,000π，或a β⊂a α⊥面⇒βα⊥//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭a b αa bl a a l αβαββ⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭a α⇒⊥二、例题解析题型一、判断问题例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定变式：如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④例2、已知直线a∥平面α，a⊥平面β，则( )A．α⊥βB．α∥βC．α与β不垂直D．以上都有可能变式：下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β例3、已知b⊥平面α，a⊂α，则直线a 与直线b 的位置关系是( )A．a∥b B．a⊥b C．直线a 与直线b 垂直相交D．直线a 与直线b 垂直且异面变式1：下面四个命题，其中真命题的个数为( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l 与平面α不垂直，则直线l 和平面α内的所有直线都不垂直；④如果直线l 与平面α不垂直，则平面α内也可以有无数条直线与直线l 垂直．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个变式2：已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是()①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A．4 B．3C．2D．1题型二：求角问题（线面角、面面角）例1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值．(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．变式：如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5且它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．例2、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BC －A 1的平面角是( )A ．∠ABCB ．∠ABB 1C ．∠ABA 1D ．∠ABC 1变式：如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝3，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，求二面角P －CD －B 的大小．题型三：证明问题例1、如图，在三棱锥 A-BCD 中，AD ，BC ，CD 两两互相垂直，M ，N分别为 AB ，AC 的中点．(1)求证：BC ∥平面 MND ；(2)求证：平面 MND ⊥平面 ACD .变式： 如图，四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，AB=2，,侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角.BC A B C D P三、巩固练习1．在三棱锥V -ABC 中，VA ＝VC ，AB ＝BC ，则下列结论一定成立的是( )A ．VA ⊥BCB ．AB ⊥VCC ．VB ⊥ACD ．VA ⊥VB2．若A ∈α，B ∈α，A ∈l ，B ∈l ，P ∈l ，则( )A ．P ⊂αB ．P αC ．l αD ．P ∈α3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定4．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.2 65C.155D.1055．设x ，y ，z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x ，y ，z 均为直线；②x ，y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x ，y 是平面；④x ，y ，z 均为平面．其中使“x ⊥z ，且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是( )A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于__________．7如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则二面角C 1-BD -C 的正切值为________．8.如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图所示的三棱锥A -BCF ，其中BC ＝22. (1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .。
线面垂直 面面垂直的性质与判定定理
A
又⊥β，∩β=AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
∴AD⊥平面SBC
符号语言：
ab
a ,b a//b
α
线面垂直关 系
线线平行关 系
平面与平面垂直的性质
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内找到 另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
思考1:如果平面α与平面β互相垂直，
a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
α
Aa
β
a⊥β
B
例3 ,a ,a ,判 断 a 与 位 置 关 系
证明：设 I l
α a //
在α内作直线b⊥l
b
a
l
β
I b b
l
l
b
α 发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
证明线面垂直的三种途径
证明线面垂直问题是高考数学试题中的常见题型之一，主要考查同学们的空间想象能力和数学运算能力.对于简单的证明线面垂直问题，通常可直接运用直线与平面垂直的定义进行证明，对于一些较为复杂的证明线面垂直问题，利用定义法无法证明结论，此时需利用转化思想，把线面垂直问题转化为线线垂直问题、面面垂直问题、空间向量问题来求解.下面重点探讨一下如何证明线面垂直.一、利用线面垂直的判定定理进行证明线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与此平面垂直.运用线面垂直的判定定理，需通过证明线线垂直来推出线面垂直.而证明线线垂直的常用手段有：（1）利用等腰三角形的三线合一性质（或等腰梯形上下底的中点连线与上下底垂直）；（2）利用菱形的对角线互相垂直；（3）利用勾股定理；（4）利用圆的性质：圆的直径所对的圆周角是直角.例1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB=BC，AC=2，AA1=2.求证：BM⊥平面ACC1A1.证明：∵点M为棱AC的中点，AB=BC，∴BM⊥AC，∵AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，∴AA1⊥BM，∵AA1⋂AC=A，AA1⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1.要证BM⊥平面ACC1A1，需要在平面ACC1A1内找到两条与BM垂直的相交直线，即AC与AA1.再利用线面垂直的判定定理加以证明.在证明BM⊥AC时，需要用到等腰三角形的三线合一性质，而证明AA1⊥BM 时，需用到直棱柱的侧棱与底面垂直的性质.例2.如图1，六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1//BB1//CC1//DD1，且BB1⊥平面ABCD，AA1=CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1()0＜λ≤1，平面BEF 与平面ABCD的交线为l.求证：直线l⊥平面B1BDD1.证明：如图1所示，连接AC、BD，∵AA1=CC1，AA1//CC1， AE=λ AA1， CF=λ CC1(0＜λ≤1)，∴ AE= CF，∴AE=CF，AE//CF，∴四边形AEFC为平行四边形，∴AC//EF，∵EF⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，∴AC//平面BEF，∵平面BEF⋂平面ABCD=l，AC⊂平面ABCD，∴AC//l，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，∵BD⋂BB1=B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，∴AC⊥平面B1BDD1，∵AC//l，∴l⊥平面B1BDD1.要证明l⊥平面B1BDD1，需先根据菱形的对角线互相垂直的性质证明AC⊥BD，以及线面垂直的性质证明AC⊥BB1，从而根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面B1BDD1；最后根据平行线的性质证明结论.例3.如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，BC⊥CD，侧面PAB为等边三角形，AB=BC=4，CD=PD=2，求证：PD⊥平面PAB.证明：如图2所示，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，∵AB//CD，BC⊥CD，∴四边形BEDC为矩形，在RtΔAED中，DE=BC=4，AE=2，∴AD=AE2+DE2=25，∵ΔPAB为等边三角形，∴PA=PB=AB=4，∵在ΔPAD中，PD=2，∴PA2+PD2=20=AD2，∴PD⊥PA，在RtΔBCD中，BC=4，CD=2，∴BD=BC2+CD2=25，∴在ΔPBD中，PB2+PD2=20=BD2，∴PD⊥PB，而PA⋂PB=P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PD⊥平面PAB.我们利用勾股定理、等边三角形的性质、矩形的性质，在平面PAB中找到与PD垂直的两条相交直线PA、PB，证明PD⊥PA、PD⊥PB，便可根据线面垂直的判定定理证明PD⊥平面PAB.图2解题宝典图1 36二、利用面面垂直的性质定理进行证明面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.在解题时，往往要先根据面面垂直的定义证明两个平面互相垂直；然后确定两个平面的交线，运用面面垂直的性质定理证明线面垂直.例4.如图3，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2，AB=3，E，H分别是棱AD，PB的中点，求证：BC⊥平面PCE.证明：如图3所示，在棱AB上取点F，使得AF=2BF=2，连接CF，BE，∵AB//CD，CD⊥AD，AD=CD=2=AF，∴四边形AFCD是正方形，∴∠BAE=∠CDE=∠CFB=90°，且CF=AD=2，∵E是棱AD的中点，∴AE=DE=1，∵AB=3，∴BC=CF2+BF2=5，CE=CD2+DE2=5，BE=AE2+AB2=10，∴BE2=BC2+CE2，∴BC⊥CE，∵PA=PD，E是棱AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴PE⊥BC，∵PE⊂平面PCE，CE⊂平面PCE，PE⋂CE=E，∴BC⊥平面PCE．先结合图形确定平面PAD与平面ABCD的交线，根据等腰三角形三项合一的性质证明PE⊥AD，进而证明PE⊥平面ABCD，便可根据面面垂直的性质定理证明PE⊥BC；然后由勾股定理和正方形的性质可证明BC⊥CE，即可根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PCE.三、利用空间向量法进行证明当几何体中出现（或可以构造）两两互相垂直的三条线时，可以考虑建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，通过空间向量运算，来证明直线的方向向量与平面的法向量平行，即可证明直线与平面垂直.例5.如图4，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.解：存在.理由如下：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为ABCD为正方形，所以CD⊥DA.PA⋂DA=A，PA⊂平面ADP，DA⊂平面ADP，所以CD⊥平面ADP.以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图4所示.则D()0,0,0，A()0,2,0，B()0,2,2，C()0,0,2，P(2,2,0)，则DB=()0,2,2，而E为PA中点，所以E()1,2,0，DE=()1,2,0，设PF=λPC()0≤λ≤1，而PC=()-2,-2,2，则PF=()-2λ,-2λ,2λ，所以F()2-2λ,2-2λ,2λ，得AF=()2-2λ,-2λ,2λ，设平面BDE的法向量为n =()x,y,z，则ìíîn ∙DB=2y+2z=0，n ∙DE=x+2y=0，取y=1，则{x=-2，z=-1，得n =()-2,1,-1，当AF⊥平面BDE时，AF//n ，则2-2λ-2=-2λ，解得λ=13，所以Fæèöø23，23，23，故PF=.首先根据线面垂直的性质定理、正方形的性质及线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ADP，即可确定两两互相垂直的三条线，据此建立空间直角坐标系；然后求出所需的各点的坐标、直线的方向向量AF、平面BDE的法向量n ；再根据AF//n ，计算出λ的值，最终求出PF的长度.在证明线面垂直时，通常要用到线面垂直的判定定理来寻找垂直关系，即便是采用空间向量法，也需要根据线面垂直的判定定理证明几何体中存在两两互相垂直的三条线，才能建立空间直角坐标系.同学们在解题受阻时，要学会灵活运用转化思想，将问题进行合理的转化，以拓宽解题的思路.本文系黑龙江省教育科学“十四五”规划教研专项重点课题《信息技术环境下的高中数学直观想象核心素养的培养研究》（课题编号：JYB1422308）研究成果.（作者单位：黑龙江省大庆铁人中学）图3F图4解题宝典37。
线面垂直、面面垂直的性质与判定定理
α
发展条件
转化结论
CB
D β
E 证明：在平面β内过D作直线
A
DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D
所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
又a
a// b
b
性质
a //
a
面面垂直性质
变式：
思考：已 ， 知 ，平 直 a,且 面 线 ,A,B a/ / ,aA,B 试判断 a与直 平 的 线 面 位置关
a⊥β
α
b
a
B
γ
证明：过a作平面γ 交于b， 因为直线a//，所以a//b
： 2、会利用“转化思想”解决垂直问题
面面关系
线面关系
线线关系Βιβλιοθήκη 空间问题平面化 面面平行线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
β 又因为a⊥AB，所以b⊥AB
A
又⊥β ，∩β =AB
辅助线（面）：
所以b⊥β
发展条件的使解题过 程获得突破的
进而a⊥β
【课后自测】4、如图，已知SA⊥平面ABC，
平面SAB⊥平面SBC，求证：AB⊥BC
证明：过点A作AD⊥SB于D， ∵平面SAB⊥平面SBC，
S
平面SAB∩平面SBC=SB，
符号语言：
β
线面垂直的判定定理-教学设计
《线面垂直的判定定理》教学设计一、内容解析：《直线与平面垂直的判定》是高中新教材人教A版必修2第2章的内容，本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法；直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条垂直转化为只要与两条相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法和性质，它是探究线面垂直判定定理的基础；线面垂直的判定定理充分体现了线线垂直与线面垂直之间的转化，它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！学好这部分内容，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到认识立体图形的飞跃，是非常重要的。
教学重点和难点《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；又考虑到学生的认知水平所以我将本节课的教学重点确立为：操作确认并概括直线与平面垂直的定义及判定定理。
教学难点确立为：概括出直线与平面垂直的定义及判定定理，定理的初步应用。
二、教学目标根据以上分析，结合学生的认知水平和课容量，将教材中线面成角问题安排在下节课进行。
故而确立本节课的教学目标为：（1）知识与技能掌握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及性质定理，并能应用．（2）过程与方法'通过“观察”“认识”“画出”空间图形及垂直关系相关定理的学习过程，进一步培养学生的空间想象力及合情推理能力．（3）情感、态度与价值观垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用．三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象（学生的客观现实）和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
面面垂直→线线垂直判定定理
面面垂直→线线垂直判定定理
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。
面面垂直性质定理：
定理1:如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
平面垂直的判定定理和性质如下:
平面垂直的判定定理:
一个平面过另一平面的，则这两个平面相互垂直。
推论1:如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
推论2:如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
（可理解为垂直的平面互相垂直）
面面垂直性质定理1:
如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
定理2:如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。
定理3:如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。
（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。
（判定定理推论2的逆定理）。
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
【高中数学必修二】2.3.1线面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例
大桥的桥柱与水面垂直
生活中有很多直线与平面垂直的实例
旗杆与地面垂直
你能发现旗杆所在直线与它在地面的影子所在直 线的位置关系吗？ 随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是 旗杆所在直线AB与影子所在直线BC始终垂直么？ 也就是说，旗杆AB所在直线与地面内任意一条过 点B的直线垂直． 事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过 点B的直线B’C’也是垂直的．
证明：在平面 内作 两条相交直线m，n． a 因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m, a n.
b .
b
n
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
m
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么 另一条也垂直于这个平面．
P O A
一条直线垂直于平面， 我们说直线和平面所成 的角是直角； 一条直线和平面平行， 或在平面内，我们说直 线和平面所成的角是0 的角。
斜线和平面所成角的范围是（0，90） 直线和平面所成角的范围是 [0，90]
请同学们阅读教材66页例2，并思考求线面 角的步骤？ 求线面角的步骤: 1、找(作)出线面角; 2、证明找到角就是所求的线面角; 3、求出此角的大小。
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直，
如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这 不一定 条直线是否与这个平面垂直？
A
C
C
B B
画直线与平面垂直时，通常把直线画成表 示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．
线面垂直的判定与性质
线面垂直线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 3.三垂线定理和它的逆定理. 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直. 逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直. ●题型示例【例1】 如图所示，已知点S 是平面ABC 外一点，外一点， ∠ABC =90°，SA ⊥平面ABC ，点A 在直线SB 和SC 上的上的 射影分别为点E 、F ，求证：EF ⊥SC . 【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设用分析法寻找解决问题的途径，假设 EF ⊥SC 成立，结合AF ⊥SC 可推证SC ⊥平面AEF ，这样，这样 SC ⊥AE ，结合AE ⊥SB ，可推证AE ⊥平面SBC ，因此证明，因此证明 AE ⊥平面SBC 是解决本题的关键环节.由题设SA ⊥平面ABC ， ∠ABC =90°，可以推证BC ⊥AE ，结合AE ⊥SB 完成AE ⊥平⊥平 面SBC 的证明. 【规范解答】【解后归纳】 题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键. 例1题图题图【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB . 【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c Þb ⊥c ;(2)a ⊥α,b ÌαÞa ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理. 由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行. 【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”. 所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上. 所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线. 【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1. 【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理自然想到题断AB 1与A 1C垂直用同法（对称原理）例3题图解(1) 转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了. 【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：证线线垂直主要途径是： （1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化. 利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务. 证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法. 【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 . 【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6, AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3, ∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为的最大值为974)36(22222=++=+AH HD【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论. 例4题图题图●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ^Þþýü^// ②b a M b M a //Þþýü^^ ③Þþýü^^b a M a b ∥M ④Þþýü^b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.①②①② B.①②③①②③ C.②③④②③④ D.①②④①②④ 2.下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( ) A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m Ìα和m ⊥γ,那么必有那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为的距离为 ( ) A.1 B.2 C.552 D.553 7.有三个命题：有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直都不垂直 其中正确命题的个数为其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图题图A.α与β必相交且交线m∥d 或m 与d 重合重合 B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合不重合 C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行一定不平行 D.α与β不一定相交不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是的序号是 ( ) A.①②③①②③ B.①②④①②④ C.②③④②③④ D.①③④①③④ 10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是其中正确的命题是 ( ) A.③与④③与④B.①与③①与③C.②与④②与④D.①与②①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是′的面积是 . 12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件满足条件时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高. (1)求证:VC ⊥AB ; (2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC 所成角的大小. 第11题图题图第12题图题图第13题图题图第14题图题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证：MN ∥平面P AD . (2)求证：MN ⊥CD . (3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3. (1)求证：BD ⊥平面P AD . (2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小. 17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P . 第15题图题图第16题图题图522+BC AC 52×5354122++CD PC 333定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB . 14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心, ∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC , ∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC . (2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC , ∴AB ⊥面DEC . ∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，的平面角， ∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD , ∴VC 在底面ABC 上的射影为CD . ∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE , ∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE , ∴∠CED =90°,故∠ECD=60°, ∴VC 与面ABC 所成角为60°. 15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE . ∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . (2)∵P A ⊥平面ABCD ， ∴P A ⊥AB . 又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD . ∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN . 又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD . (3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD . 又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点. ∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ， ∴MN ⊥平面PCD . 16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，°， 故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，°，即AD ⊥BD 在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12， ∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ， ∴BD ⊥平面P AD . (2)由BD ⊥平面P AD，BD 平面ABCD . ∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ， 又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD所成的角. 第15题图解题图解第16题图解题图解∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=´. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ， ∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角. 又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中，中，tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°. ∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M . 由三垂线定理知AB 1⊥A 1M . 点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2. 又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ， ∴NP ⊥平面ABCD . (2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ， ∴∠MCD 为该二面角的平面角. 在Rt △MCD 中可知中可知∠MCD ＝arctan21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高. ∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131=¢×，6 1。
线面垂直的判定与性质
线面垂直的判定和性质知识点一（线面垂直基本问题） 【知识梳理】一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义．直线l 与平面α内的 任意一条 直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论.【例题精讲】垂直关系的基本问题1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面 有________个．2．(1)(长沙期末)下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，β⊥α则m ∥β；④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ.正确的命题是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④3．三棱锥P －ABC 的顶点P 在底面的射影为O ，若PA ＝PB ＝PC ，则点O 为△ABC 的________心，若PA 、PB 、PC 两两垂直，则O 为△ABC 的________心．4．直线l 不垂直于平面α，则α内与l 垂直的直线有 ( ) A ．0条 B ．1条 C ．无数条 D ．α内所有直线5．已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件文字图形语言 符号语言判定定理一条直线与平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．(广东东莞一模)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有 ()A．0个B．1个C．2个D．3个【课堂练习】1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥α D．l∥m，l∥α2．已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC4．(山东济南)设a ，b ，c 表示三条直线，α、β表示两个平面，下列命题中不正确的是( ) A.⎭⎬⎫a ⊥αα∥β⇒a ⊥β B.⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥βα⊥β⇒a ⊥b C.⎭⎬⎫b ∥cb ⊂αc ⊄α⇒c ∥αD.⎭⎬⎫a ∥αb ⊥a ⇒b ⊥α5．(陕西宝鸡)设a ，b ，c 是空间不重合的三条直线，α，β是空间两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( ) A ．当c ⊥α时，若c ⊥β，则α∥β B ．当b ⊂α时，若b ⊥β，则α⊥βC ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊂α，且c ⊄α时，若c ∥α，则b ∥c6.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( ) A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°7.如图，在三棱锥D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列命题中正确的有__________(填序号) ①平面ABC ⊥平面ABD ②平面ABD ⊥平面BCD③平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ACD ⊥平面BDE ④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE8．设直线m 与平面α相交但不垂直，给出以下说法： ①在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直； ②过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直； ③与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行；④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直．其中错误的是________．9．(合肥第一次质检)设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．知识点二（空间线面垂直的判定）【知识梳理】思考：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面α互相垂直，记作lα⊥。
线面垂直的判定及性质
线面垂直、线面夹角1.线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面. 推论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面. 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.4.线面角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；求线面角：“一作，二证，三计算”。
①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。
②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。
线线垂直⇒线面垂直 （线面垂直⇒线线垂直） 例1.如图：AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于B A ,的任意一点，求证： PAC BC 平面⊥例 2. 三棱柱111ABC A B C -的侧棱1A A 垂直于底面ABC ，12A A =，1AC CB ==，90BCA ︒∠=，M 、N 分别是AB 、1A A 的中点．（1）求BN 的长；（2）求证：1A B CM ⊥．例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点(1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 线面角例4. 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为 ．例5. 如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为 _________ ．例6. 在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ________例7.a 是平面α的斜线，b α⊂，a 与b 成3π角，b 与a 在α内的射影成4π角，则a 与α所成角的大小为 。
证明线面垂直过程详解
证明线面垂直过程详解证明线面垂直过程∵PA⊥平面α，直线L∈平面α∴PA⊥L========================①∵PB⊥平面β，直线L∈平面β∴PB⊥L========================②综合①②得：直线L⊥平面PAB(垂直于平面两条相交直线的直线垂直于这个平面)∴L⊥AB(垂直于平面的直线垂直于平面内的任一直线)线面垂直的判定定理证明，我一直觉得证明过程太过复杂。
前年曾经这样证明，今天写在这里。
m和n为平面中两条相交直线，通过平移或者说原本就在，使得l经过m、n的交点O，我们只需证明l垂直与平面中的任意一条直线g 即可!在m、n上分别以O点为中点截取AC、BD，则得到平行四边形ABCD。
此时不难由三角形全等的知识得到l⊥g。
答案补充证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直，L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线(重合或平行直接可得它与L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF，分别过E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)则�SOED ≌�S OFB (SAS) 延长DE、BF分别交L1于A、C 则�SOEA≌�SOFC(ASA)(注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等)。
所以OA=OC，所以�SOAD≌�SOBC(SAS)所以AD=CB 因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以�SMAD≌�SMCD(SSS)所以角MAE= 角MCF 所以�SMAE≌�SMCF(SAS) 所以ME=MF，所以�SMOE≌�SMOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因为角MOE与角MOF互补，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L31利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
线面垂直的判定
2 2 2
p
同理可证 PA⊥AB ⊥ 又∵ BA∩AC=A A ∴PA⊥面ABC ⊥ (2)由（1） PA⊥面ABC 由 ） ⊥ ∴PA ⊥BC
B
C
练习2、 如图， 是圆柱的母线， AA AB 是圆柱底面的直径，
1
C 是底面圆周上异于 A, B 的任意一点， = AB = 2. AA 求证： BC ⊥ 平面 ACA . A
1 1
1
A C
B
练习3 在三棱锥P ABC中 PA⊥平 练习3、在三棱锥P-ABC中，PA⊥平 ABC，AB⊥BC，PA=AB， PB的中 面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中 求证: 点，求证:(1)BC ⊥面ABP （2）AD ⊥面PBC （3）AD⊥PC. ） P
D A B C
1、直线与平面垂直的定义 2、直线与平面垂直的判定与性质 m ⊂α n ⊂α (1) m ∩ n = B ⇒ l ⊥ α l⊥m l⊥n
D’ B’ D B
C’
C
练习1 如图，在三棱锥P ABC中 练习1、如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3,AB=AC=4,PB=PC=BC=5, 求证：(1)PA⊥面 求证：(1)PA⊥面ABC.
p
(2)PA ⊥BC
B
A
C
(1)证明：在△PAC中， 证明： 中 证明 ∵PA=3,AB=4,PC=5
A A
α
B 一条直线和一个平面内的两条相交 如果一条直线和一个平面内的两条相交 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 都垂直
m ⊂α n ⊂α m ∩ n = B ⇒ l ⊥ α l⊥m l⊥n
线面垂直的判定定理(公开课)
2、斜线和平面所成的角： 斜线和它在平面上的射影所成的锐 角． 3、当直线垂直平面时：900
当直线在平面内或与平 面平行时： 00 α A P
O
想一想 斜线和平面所成角(即∠PAO) 的范围是多少呢？ （00，900） 直线和平面所成角(即∠PAO) 的范围是多少呢？ A [00，900] α
P
O
B
定理应用
（1）尝试练习： 求证：与三角形的两条边同时垂直的直 线必与第三条边垂直。
提示：
转化为几何命题 ： a⊥AC，a ⊥BC，求证：a ⊥AB。
A C B a
1.如图,已知点M是菱形ABCD所在平面外一点，且MA=MC M 求证：AC⊥平面BDM
D
O A B
C
小 测 试：
1、若l m, m , 则（ D ） A. l B. l和 不垂直 C. l / / D. 以上都不对 2、如果l和内的无数条直线垂直，那么（ 3、下列命题中正确的是（
2.b是平面α内任一直线,a⊥α，则a⊥b （√）
探究:
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线 垂直，能不能保证该直线垂直于此平面？ 即：
l
l b,b × l
b
不能
探究:
（2）和一个平面内的两条直线垂直呢？
b , c , b c P l l b, l c
D
）
A. l B. l和 相交 C. l D. l和的关系不确定
A
）
a / /b a / /b A. a B. a / / b b a b ab C. a D. b b / / a 4、若l ，m ，则（
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
符号语言表示：
a α , b α , a I b = P ,且 若
l ⊥ a, l ⊥ b ，则 l ⊥ α
图形语言表示：
动手实践
过△ABC 的顶点 A 翻折纸片， 得到折痕 AD， 再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、 DC 与桌面接触） ，进行观察并思考： （1）折痕 AD 与桌面垂直吗？
思 考3
如果一条直线垂直于一个平面内的两 条条直线，那么这条直线是否与这个平 面垂直?
思 考3
如果一条直线垂直于一个平面内的无 数条直线，那么这条直线是否与这个平 面垂直?
思 考3
如果一条直线垂直于一个平面内的两 条相交直线，那么这条直线是否与这个 平面垂直?
抽象概括
直线和平面垂直判定定理： 如果一条直 线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，那么这条直线垂直这个平面．
直线和平面垂直的定义：如果一条直线和 一个平面内的任何一条直线都垂直，那么 称这条直线和这个平面垂直．
用符号记作： l ⊥ α ．
用图形表示：
直线和平面垂直的第一个判定定理： 定义．
直线和平面垂直的第一个性质定理： 定义．
思 考2
怎样判定直线与平面垂直呢?
思 考3
如果一条直线垂直于一个平面内的一 条直线，那么这条直线是否与这个平面 垂直?
垂 直 关系
高一数学
主讲老师： 郑宏宝
问题提出
问题 1 空间一条直线与平面有哪几种
位置关系?
问题 2 在直线与平面相交的位置关系
中，哪种相交最特殊?
在我们的生活中， 随处可见线、 面的垂直： 在操场上竖立的国旗杆与地面、竖直的墙 角线与地面、灯塔与海平面.
系?
又 AH
平面 ABH，于是 CD ⊥ AH,
已知 AH ⊥BE, 且 BE ICD = E, 所以 AH ⊥ 平面 BCD.
课堂小结
判定直线和平面是否垂直， 有两种方法： (1)定义：强调是“任何一条直线” ； (2)判定定理：必须是“两条相交直线” ．
定义
线 线 垂 直
判定定理
线 面 垂 直
解：因为 PA ⊥ 平面 ABC， 所以 PA ⊥ AB，PA ⊥ AC，PA ⊥ BC． 所以△PAB，△PAC 为直角三角形． 又 PA ⊥ BC，AB ⊥ BC，且 PAI AB = A， 所以 BC ⊥ 平面 PAB．
又 PB 平面 PAB，于是 BC ⊥ PB， 所以△PBC 也为直角三角形． 所以四面体 PABC 中的四个面都是 直角三角形．
（2） 如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的 平面垂直？若不过顶点 A 翻折纸片呢？ （3） 翻折前后垂直关系发生变化了吗？由此 你能得到什么结论？
知识应用
例 1 如图所示， Rt△ABC 中，∠B = 90 ， 在
0
P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥ 平面 ABC 问：四面体 P—ABC 中有几个直角三角形?
例 2 如图所示，已知三棱锥 A-BCD 中，
CA = CB , DA = DB , BE ⊥ CD , AH ⊥ BE ,
且 F 为棱 AB 的中点， 求证： AH ⊥ 平面 BCD.
证明：取 AB 的中点 F， 连接 CF，DF， 因为 CA=CB，DA=DB， 所以 CF ⊥ AB, DF ⊥ AB, 又 CF I DF = F, 所以 AB ⊥ 平面 CDF. 又 CD 平面 CDF，于是 AB ⊥ CD, 由已知 BE ⊥ CD, 且 AB I BE = B, 所以 CD ⊥ 平面 ABH.
布置作业
课本习题 1—6 A 组 5、6（1） B 组 2（1）
思考交流
α
m
A
B
l
C
g
E
D
n
A/
如图，直线 m、n 都是线段 AA 的垂直平 分线，设 m、n 确定的平面为 α ，能否证 明： /⊥g， AA 其中 g 为平面内过点 B 的任 意直线.
/