2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试数学(文)试题(解析版)

2020届甘肃省武威第六中学高三上学期第五次过关考试数学（文）试题一、单选题1．已知R 是实数集，{|0M x x =<或2}x >,{|N y y ==,，则R N C M?( ) A ．（1，2） B ．[0，2]C ．∅D ．[1，2]【答案】B【解析】化简集合N ，然后进行交补运算即可. 【详解】M ＝（﹣∞，0）∪（2，+∞）． 则∁R M ＝[0，2]．又N ＝{y |y =＝[0，+∞）． 所以N ∩∁R M ＝[0，2]∩[0，+∞）＝[0，2]． 故选：B ． 【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了不等式的解法，考查了无理函数值域的求法，是基础的运算题．2．设i 为虚数单位，复数3iz i-=，则z 的共轭复数z =( ) A ．13i -- B ．13i -C ．13i -+D ．13i +【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】∵z ()()()3313i i i i i i i ---===--⋅-， ∴13z i =-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．已知1,2,25a b a b ==-=，则向量,a b 的夹角为A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 【答案】C【解析】根据条件求出a b ，然后再根据数量积的定义求解可得两向量的夹角． 【详解】∵25a b -=， ∴()2222445a ba ab b -=-+=，又1,2a b ==， ∴14425a b -+⨯=， ∴1a b =．设向量,a b 的夹角为θ，则2cos θ2||a b a b ==， 又0θπ≤≤， ∴θ 4π=．故选C ． 【点睛】求两向量的夹角时应先求出两向量的数量积，然后再根据公式求解，但在解题中要注意两向量夹角的取值范围，否则出现错误． 4．下列命题中，真命题是（ ） A ． B ．C ．若，则D ．是的充分不必要条件【答案】D【解析】试题分析：因，故,所以是的充分条件.反之,若故,则就不成立了,故应选D.【考点】充分必要条件．5．已知m ，n 是两条不同直线，α ，β ，γ 是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥n B ．若m ⊥α ，n ⊥α ，则m ∥n C ．若α ⊥γ ，β ⊥γ ，则α ∥β D ．若m ∥α ，m ∥β ，则α ∥β【答案】B【解析】A 根据线面平行的性质判断．B 利用线面垂直的性质判断．C 利用面面垂直的性质定理判断．D 利用线面平行和面面平行的判定定理判断． 【详解】解：A ．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A 错误． B ．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B 正确．C ．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴C 错误．D ．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴D 错误． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理． 6．将函数sin(2)12y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象对称中心为（） A ．(),028k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B ．(,0)()26k k Z ππ-∈ C ．(,0)()28k k Z ππ+∈ D ．(,0)()26k k Z ππ+∈ 【答案】C【解析】根据三角函数的图象平移关系求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可． 【详解】解：将函数y ＝sin （2x 12π+）的图象向右平移6π个单位长度，得y ＝sin[2（x 6π-）12π+]＝sin （2x 312ππ-+）＝sin （2x 4π-），由2x 4π-=k π，得x 28k ππ=+， 即对称中心为（28k ππ+，0），k ∈Z ， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．7．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选：A 【点睛】本题考查利用可行域求最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题. 8．榫卯（sun mao ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构. 图中网格小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A ．24523452ππ++，B ．24523654，ππ++C ．24543654ππ++，D ．24543452ππ++，【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积0B ∴∉，表面积2232364322235436S πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9．若函数()()20.2log 2f x x x=+-在区间(),1a a +上单调递增，且12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【解析】先求得复合函数f （x ）的增区间为（12，2），可得12≤a ≤2，再结合c ＜b ＜0，可得a 、b 、c 的大小关系． 【详解】解：令2+x ﹣x 2＞0，求得﹣1＜x ＜2，可得函数f （x ）＝log 0.2（2+x ﹣x 2）的定义域为（﹣1，2）． 结合二次函数的性质、复合函数的单调性可得f （x ）的增区间为（12，2），减区间为（﹣1，12）． 又函数f （x ）在区间（a ，a +1）上单调递增，∴a 12≥，且a +1≤2，求得12≤a ≤1． 又b ＝f （12-）0.254log =＜0，c ＝f （12）0.20.29544log log ==＜b ， ∴c ＜b ＜a ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数、对数函数的定义域和单调性，复合函数的单调性规律，属于中档题．10．若某正四面体内切球的体积为43π，则正四面体外接球的表面积为（） A ．4π B ．16πC ．36πD ．64π【答案】C【解析】首先求出内切球的半径，进一步利用球的接与切，求出三棱锥的棱长，最后确定外接球的半径，进一步求出球的表面积． 【详解】 解：如图所示由于正四面体的内切球体积为43π， 所以：34433r ππ=， 解得：r ＝1．设正四面体的棱长为2x ，即：AB ＝BC ＝CD ＝BD ＝AD ＝2x ，所以：FD ==，利用勾股定理：3AF ===， 所以：在直角三角形AEO 中，AE 2+OE 2＝AO 2，即：221)1=+，解得：x =所以：AF 4==， 则：AO ＝4﹣1＝3， 即外接球的半径为3， 所以S ＝4π•32＝36π． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球与内切球的关系，球的体积和表面积的公式的应用．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为A ．4B ．5C ．6D ．4或5【答案】B【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．12．设()2sin f x x x =-，当02πθ≤≤时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(,0)-∞C ．1(,)2-∞D ．(,1)-∞【答案】D【解析】根据题意，分析可得函数f （x ）为奇函数且在R 为增函数，进而f （m sinθ）+f （1﹣m ）＞0恒成立可以转化为m sinθ＞m ﹣1，对θ的值分情况讨论，求出m 的取值范围，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，f （x ）＝2x ﹣sin x ，有f （﹣x ）＝2（﹣x ）﹣sin （﹣x ）＝﹣（2x ﹣sin x ）＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，又由f （x ）＝2x ﹣sin x ，则f ′（x ）＝2﹣cos x ＞0，则函数f （x ）在R 上为增函数， 若f （m sinθ）+f （1﹣m ）＞0恒成立，则有f （m sinθ）＞﹣f （1﹣m ） 即f （m sinθ）＞f （m ﹣1）恒成立， 而函数f （x ）为增函数， 则有m sinθ＞m ﹣1， 若θ2π=，则sinθ＝1，此时m sinθ＞m ﹣1恒成立；若02πθ≤＜时，此时m sinθ＞m ﹣1转化为m 11sin θ-＜，分析可得m ＜1，综合可得：m 的取值范围是（﹣∞，1）； 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，属于中档题．二、填空题13．等比数列{a n }中，若1240a a +＝，3460a a +＝，则78a a +＝____________ 【答案】135【解析】根据等比数列{a n }的性质可知，S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4，S 8﹣S 6成等比数列，进而根据a 1+a 2和a 3+a 4的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得S 8﹣S 6的值． 【详解】解：利用等比数列{a n }的性质有S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4，S 8﹣S 6成等比数列， ∴S 2＝40，S 4﹣S 2＝a 3+a 4＝60，则S 6﹣S 4＝90，S 8﹣S 6＝135 故a 7+a 8＝S 8﹣S 6＝135． 故答案为：135． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，利用了 S 2、S 4﹣S 2、S 6﹣S 4、S 8﹣S 6 也成等比数列，属于中档题． 14．若1cos()43πα+=,则sin 2α的值为______. 【答案】79【解析】分析：首先将题中的条件应用和角公式展开，求得cos sin 3αα-=，结合式子的特征，将其平方，借同角正余弦平方和等于1从而求得2sin cos αα的值，即sin 2α的值.详解：根据1cos()sin )43πααα+=-=，可知cos sin αα-=，可知212cos sin 9αα-=，即7sin 29α=，故答案是79. 点睛：该题所考查的知识点有余弦的和角公式，以及sin ,cos αα两者和、差、积是知一求二的，再结合正弦倍角公式从而求得结果，在求解时需要做的就是平方运算.15．在ABC ∆中，A B C 、、，对边分别为a b c 、、，若8a =，6b =，sin 8B =，则A ∠=__． 【答案】3π或23π 【解析】直接利用正弦定理和三角形的三边关系求出结果． 【详解】△ABC 中，A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若a ＝8，b ＝6，sinB =， 则直接利用正弦定理：a bsinA sinB=，解得：2sinA =， 由于：0＜A ＜π， 所以：A 3π=或23π，由于12sinB =， 所以：6B π＞，由于a ＞b ， 所以：A ＞B ．故A 3π=或23π， 故答案为： 3π或23π．【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形三边关系的应用． 16．函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．【答案】2【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由(4)()f x f x +=得函数()f x 的周期为4，所以11(15)(161)(1)1,22f f f =-=-=-+=因此1π((15))()cos 242f f f === 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12,a =且1241,1,1a a a +++成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设*11,,n n n n b n S a a +=∈N 是数列{}n b 的前n 项和,求使319n S <成立的最大的正整数n .【答案】（Ⅰ）31n a n =-，*N n ∈.（Ⅱ）11n =.【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()23333d d +=+，解得3d =. 从而求得31n a n =-. （2）由（1）1111133132n n n b a a n n +⎡⎤==-⎢⎥-+⎣⎦， 得 ()11111111133253583313223219n n S n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=<⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得12n <. 故最大的正整数11n =.试题解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，*N n ∈.由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++， 即()()23333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =.所以数列的通项公式为31n a n =-，*N n ∈.（Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦，所以()111111111111325358331323232232n n S n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 由319n S <，即()323219n n <+，得12n <. 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. 18．如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，，n ＝2cos 2,2cos 12B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．【答案】(1) 3π;(2) 【解析】试题分析：(1)由向量共线的坐标表示,代入用二倍角公式化简得出角B;(2)由余弦定理结合基本不等式,得到ac 的最大值,代入求出三角形面积的最大值.试题解析:(1)因为m ＝(2sin B ，－)，n ＝，m ∥n .所以2sin B ＝－cos 2B ， 所以tan 2B ＝－. 又因为角B 为锐角，所以2B ＝，即B ＝.(2)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．因为△ABC 的面积S △ABC ＝ac sin B ＝ac ≤，所以△ABC 的面积S △ABC 的最大值为. 20．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD DE ==22CE EB ==.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求点B 到平面PDE 的距离.【答案】(1)见解析；（2）点B 到平面PDE . 【解析】试题分析：（1）PC DE CD DE ⊥⊥，，所以DE ⊥平面PCD ；（2）利用等体积法，B PDE P BDE V V --=，所以点B 到平面PDE 的距离为22. 试题解析：(Ⅰ)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故.PC DE ⊥由2,CE CD DE ===CDE ∆为等腰直角三角形，故.CD DE ⊥又PC CD C ⋂=，故DE ⊥平面PCD ．(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，CDE ∆为等腰直角三角形，,4DCE π∠=过D 作DF 垂直CE 于F ，易知1DF CF EF ===，又DE ⊥平面PCD ，所以DE PD ⊥，PD ==，设点B 到平面PDE 的距离为h ，即为三棱锥B PDE -的高，由B PDE P BDE V V --=得1133PDE BDE S h S PC ∆∆⋅=⋅， 即11113232PD DE h BE DF PC ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，113h =⨯⨯，所以22h =，所以点B 到平面PDE的距离为22. 21．已知32()(21)(21)1f x x a x a x =-++---，2()(1)ln 32(1)g x x x x x a =+-+--，a R ∈．（1）当2a =时，求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当1x ≥时，若()()g x f x '≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 4x -y -4=0 (2) (,0]-∞．【解析】（1）a ＝2时，f （x ）＝﹣x 3+5x 2﹣3x ﹣1，f （1）＝0．f ′（x ）＝﹣3x 2+10x ﹣3，f ′（1）＝4．利用点斜式即可得出：函数＝f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程．（2）g （x ）≥f ′（x ），即（x +1）lnx ﹣3x 2+x ﹣2（a ﹣1）≥﹣3x 2+（4a +2）x ﹣（2a ﹣1），化为：4a +1()11x lnx x ++≤，（x ≥1）．令h （x ）()11x lnx x++=，（x ≥1）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【详解】(1)a =2时，32()531,(1)(0)f x x x x f =-+--=2()3103,(1)(4)f x x x f ''=-+-=∴ 函数y =f (x )的图象在点（1,f (1)）处的切线方程为：y -0=4(x -1)，即4x -y -4=0(2)()()g x f x '≥，∴22(1)ln 32(1)3(42)(21)x x x x a x a x a +-+--≥-++--， 化为：(1)ln 141,(1)x x a x x+++≤≥． 令(1)ln 1(),(1)x x h x x x ++=≥． 221ln (1)ln 1ln ()x x x x x x x x h x x x '+⎛⎫+-+- ⎪-⎝⎭==， 令1()ln ,()10,(1)(1)u x x x u x u x'=-=-≥= 因此函数()u x 在[1,)+∞上单调递增．∴ ()(1)1(0)u x u -≥=>∴ ()0h x '>∴ 函数h （x ）在[1,)+∞上单调递增．∴ 函数min ()()(1)1h x h x h ≥==，∴ 411a +≤，解得0a ≤∴ 实数a 的取值范围是(,0]-∞．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、切线方程与不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标.【答案】（1）1C ：2213x y +=，2C ：40x y +-=；（2）min PQ ，此时31(,)22P . 【解析】试题分析：（1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα⇒P 到2C 的距离π()sin()2|3d αα==+- ⇒当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22. 试题解析： （1）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()sin()2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.【考点】坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程0(),F x y 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．。