高一下册数学教案5.2两角和与差的正弦公式2沪教版
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(教师版)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．２.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．4.能利用两角和（差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).１．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(１)sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsｉｎ＿β；（2)cos(α±β)＝ｃoｓ_αｃos_β∓sin_αsin_β；（3)ｔan(α±β)=错误!.２．二倍角的正弦、余弦、正切公式（１)sｉn2α＝2sｉn αｃｏsα;（2)cｏｓ2α=ｃｏs２α-ｓiｎ2α=2coｓ２α－1=1－２sｉn２α;(3）tan 2α=＼f（2tan α，１-ｔan2α）．3.有关公式的变形和逆用(1）公式Ｔ(α＋β)的变形：①taｎα＋tａn β=taｎ(α＋β)(1-ｔaｎ＿αｔａn_β)；②ｔａn α－ｔanβ＝ｔan（α-β）(1+tａn_αｔan_β)．(2)公式C2α的变形:①sin2α=错误!（1－cｏｓ＿2α）；②cos２α＝＼ｆ(1,2）(１+cos＿2α).(３）公式的逆用①1±ｓiｎ2α＝(ｓin α±cｏｓα)２；②sin α±ｃos α=2sｉn错误!.4.辅助角公式ɑsin α＋bｃos α＝错误!ｓｉn(α＋φ)(其中tａn φ=错误!）.1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）（1）存在实数α,β，使等式ｓin(α＋β)＝sｉn α＋sin β成立．( ）(2）在锐角△ＡＢＣ中，sin Asｉn B和cｏs Acos B大小不确定．()(3)公式tan(α+β)＝ｔaｎα＋ｔan β1－tａn αtaｎβ可以变形为tan α+ｔanβ＝taｎ（α+β)(1-tan αtａn β),且对任意角α，β都成立．()(4)公式ɑsin x＋bcos x＝＼r(ɑ２+b2)ｓiｎ(ｘ＋φ)中φ的取值与ａ，b的值无关.( )答案：(1)√（2)× (3)× (4)×2．(2015·课标全国Ⅰ卷)ｓiｎ20°cｏs10°－cos 160°sin １0°=( ）A ．-＼f(3,2) Ｂ.３2 Ｃ．-1２D.错误! 解析：ｓｉn ２０°cos 1０°－cos 1６０°s ｉn 1０°＝ｓｉｎ 20°ｃos 10°+ｃos ２０°ｓi ｎ 10°＝sin(２0°＋１0°)=ｓin ３0°＝错误!.答案：D3．(经典再现)已知sin 2α=错误!,则ｃos 2(α+错误!)=( ） A.16B.错误! Ｃ.错误! D.错误!解析：∵sin ２α=错误!，∴co ｓ2错误!＝错误!＝错误!=错误!=错误!.答案:A4．(2015·重庆卷)若ｔａn α＝13,tan (α+β)=错误!，则tan β＝（ )Ａ.＼f(1,7) B ．错误! C ．错误! D.56解析:ｔan β＝tan[（α＋β)－α]=＼f(tan(α+β)-ｔan α,1+tan （α＋β）·ta ｎ α)＝错误!=错误!.答案：Ａ5.若锐角α、β满足(1+3tan α）(1+＼r(3)ｔan β）＝4，则α+β＝__＿___＿_.解析：由(1+错误!tan α)(１＋错误!ｔan β）＝4,可得错误!＝错误!,即tan (α＋β)=错误!.又α＋β∈(0，π)，所以α+β＝π3. 答案:错误!一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施.两个技巧1．拆角、拼角技巧:2α=(α＋β)＋(α－β),α=(α+β)－β,β＝错误!－错误!,错误!＝错误!－错误!.2．化简技巧:切化弦，“１”的代换等．三种变化1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系.2．变名：尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等.3．变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.一、选择题1.若sin ＼f(α,2）=错误!，则cos α＝( ）A.-＼ｆ(2,３) B ．-错误! C.错误! D.错误!解析:cos α=1－2ｓin 2＼f(α，2)＝1－２×错误!错误!=错误!. 答案：C2.3－ｓin ７０°2-cos 21０°＝（ ) A.错误! B.错误! C.2 D ．错误! 解析:原式＝错误!＝错误!＝2．答案:Ｃ3.已知sin α＋cos α＝错误!，则ｓｉn 2错误!＝( ）A ．错误! B.错误! C.错误! Ｄ.错误!解析:由s ｉｎ α+cos α=１3得1＋si ｎ 2α＝错误!,解得si ｎ 2α＝-错误!，所以sin ２错误!=错误!=错误!＝错误!． 答案:B4.已知α∈错误!，且c ｏs α=－错误!，则ta ｎ错误!等于( ) Ａ.７ B.错误! C ．－错误!D ．－7解析:因α∈错误!，且c ｏs α＝－错误!,所以sin α＜0,即ｓin α=-错误!，所以tan α＝错误!.所以t ａn 错误!＝错误!＝错误!＝错误!．答案:Ｂ５.已知si ｎ α=错误!，sin （α-β）＝-错误!,α，β均为锐角,则角β等于（ ）Ａ.＼ｆ(5π,12) B ．π3C.错误!D.＼f(π,6)解析:∵α，β均为锐角,∴－错误!<α-β＜错误!.又s ｉｎ(α－β）＝-错误!,∴c os(α－β)=错误!．又sin α＝错误!,∴cos α＝错误!,∴ｓi ｎ β=ｓin [α－(α-β)]=s ｉn αc ｏs (α-β)-c ｏs αsin (α-β)＝５5×错误!-错误!×错误!＝错误!. ∴β＝错误!． 答案:Ｃ二、填空题6．若s ｉn 错误!=错误!，则ｃos ２θ＝___＿____．解析:∵sin 错误!＝cos θ＝错误!，∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×错误!错误!-1=-错误!.答案:－＼f(7，25）7.(2014·山东卷)函数y ＝错误!sin 2x+co ｓ2x 的最小正周期为_＿____＿_．解析:原式=错误!s ｉn 2ｘ＋错误!=sin 错误!＋错误!，∴周期T=２π2=π. 答案:π8．(2０１４·课标全国Ⅱ卷）函数f （x)＝si ｎ(x ＋２φ)-２si ｎ φcos（ｘ+φ）的最大值为_＿___＿__．解析:∵ｆ(x)＝ｓiｎ(x＋２φ)-2ｓｉn φcos（ｘ+φ)＝sin［(x＋φ)＋φ]－2sinφｃos（x＋φ)＝sin(ｘ+φ)cｏsφ＋ｃos(ｘ+φ)siｎφ-2siｎφcoｓ(ｘ+φ)＝siｎ(ｘ＋φ)cｏs φ-ｃos(x＋φ)ｓin φ=sｉn[(x+φ)-φ］＝sin x，∴f(ｘ)的最大值为1.答案：19．设函数f(ｘ）＝sin x+ｃos x，f′（x)是f(x)的导数,若f（x)＝2ｆ′(x),则错误!=_＿____＿_.解析:f′(x）=cｏｓx－ｓin x，由f(ｘ)＝2f′(x）得sin x＋cos x＝2ｃos x－2sｉn x，∴cｏｓx＝3sｉn x，于是错误!=错误!＝错误!=-错误!. 答案:-错误!三、解答题10.已知α∈错误!，且sin错误!+cos错误!＝错误!.(1)求coｓα的值;(2)若ｓin(α-β）＝-＼f(3,５）,β∈错误!，求cos β的值.解:(1)因为sin错误!+cos错误!＝错误!，两边同时平方，得sｉｎα=错误!.又错误!<α＜π，所以cｏｓα=－错误!.(2)因为＼f(π,２)<α＜π，错误!＜β＜π,所以－π<－β＜-＼f(π,２）,故-错误!<α-β<错误!.又siｎ(α-β)＝-＼f(3,５),得ｃos(α-β)=错误!.ｃoｓβ＝cｏｓ［α-(α－β)]＝cos αcos(α-β）＋sinαsin(α-β)=－＼r(3)２×＼f（4,5）+12×错误!=－错误!．１1．（郑州质检)已知函数ｆ(x)=错误!．（１)求函数ｆ(x)的定义域；(２)设α是第四象限的角,且ｔan α＝－＼f(4,３),求f（α）的值. 解析：(1)要使f（ｘ)有意义,则需ｃos x≠0，∴f(x)的定义域是错误!.(2)f(ｘ)=错误!=错误!＝错误!＝2（cos x-sｉｎx).由tａn α=－错误!,得sin α＝-错误!cos α.又sin2α+ｃｏs2α＝1，且α是第四象限角，∴ｃｏs2α＝错误!,则cos α=错误!,siｎα=－错误!.故f(α)=2(ｃｏs α-siｎα)=２错误!=错误!．。
数学5.4两角和与差的余弦、正弦和正切正弦公式教案2沪教版高中一级第二学期
5.4 (2)两角和与差的正弦公式一、教学内容分析本节课的重点在于两角和与差的正弦公式的推导以及公式的应用.学生之前已经学习了两角和与差的余弦公式，又通过第五、六组诱导公式了解了正余弦之间的相互转化.在经过复习之后，教师可提出问题：如何用角α与β的三角比表示βα+以及βα-的正弦三角比？之前的复习作为铺垫，有利于渗透用已知解决未知问题的化归思想，有助于同学推导公式.在得到两角和与差的正弦公式之后，教师需要强调公式的特征，从而便于学生对公式的记忆，有利于公式的应用.因为公式的应用是本节课的难点之一，应用可以包括对公式的正用、逆用、变式以及与余弦公式的综合应用.二、教学目标设计（1）应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.（2）初步掌握两角和与差的正弦公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明.（3）通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学兴趣.三、教学重点及难点两角和与差的正弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的正弦公式.四、教学流程设计五、教学过程设计一、讲授新课1、复习引入上节课学习了两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±，该式对任意角α和β成立.作为课后的思考题，要求同学们证明三角恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-. 由这两式又可以进一步得到ααπcot )2tan(=-、ααπtan )2cot(=-，即 ααπsin )2cos(=- ααπcos )2sin(=- ααπcot )2tan(=- ααπtan )2cot(=- 用α-替换上述各式中的α，则可得到如下各式 ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=+ ααπcot )2tan(-=+ ααπtan )2cot(-=+ 将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.应用两角和与差的余弦公式，十分方便的推导了上述两组公式，实现了两组角间正余弦、正余切的转化.问题：已知可用α和β三角比表示βα+以及βα-的余弦三角比，可否用于表示βα+以及βα-的正弦三角比呢？已知的余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？2、公式推导学生分小组讨论，进行推导. ))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα--=+-=+ βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(+=-+-= ))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα+-=--=- βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(-=---= 称βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+； βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-为两角和与差的正弦公式，它们对任意角α、β成立.[说明]其中使用了第五组诱导公式.3、强调特征两角和与差的正弦公式在结构上的特征为（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差；（2）左右两边的加减号相同.4、例题解析例1、 求)3cos()12cos()6cos()125cos(απαππαπα--+++的值. 解答：原式22=. [说明]可以选取两角和的正弦公式或余弦公式.例2、已知53cos -=ϕ，),2(ππϕ∈，求)6sin(πϕ+. 解答：10334)6sin(-=+πϕ 例3、已知：53cos sin =+βα，54sin cos =-βα，求)sin(βα- 解答：21)sin(-=-βα 例4、求证：αββαβα22cos cos )sin()sin(-=-+[说明]与平方关系相结合；增强对两角和与差正弦公式结构的理解和记忆；常用的三角恒等式.例5、已知32sin =α，43cos -=β，判断βα-是第几象限角. 解答：因为0)sin(<-βα且0)cos(>-βα，所以βα-是第四象限角.[说明]用三角比值的符号确定角所在的象限；体现公式的作用.三、巩固练习课本第57页 练习5.4（2）1、2四、课堂小结（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式.（2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题.五、课后作业课本第57页 练习5.4（2）3、4、5六、教学设计说明1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案课时目标：1.理解两角和与差的正弦公式的定义及应用；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。
教学重点：1.了解两角和与差的正弦公式的定义和特点；2.掌握两角和与差的正弦公式的推导过程；3.运用两角和与差的正弦公式解决相关问题。
教学难点：1.理解两角和与差的正弦公式的应用场景；2.运用两角和与差的正弦公式解决复杂问题。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.黑板、粉笔等教学工具。
教学过程：Step 1：导入新课（5分钟）1.引入问题：在三角函数中，我们已经学过两角和的余弦公式，那么是否存在两角和的正弦公式呢？这两者有何关系呢？2.针对上述问题进行讨论，引导学生思考。
Step 2：两角和的正弦公式的定义（10分钟）1. 展示两角和的正弦公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
2.解释公式的含义：两角和的正弦等于第一个角的正弦与第二个角的余弦之积加上第一个角的余弦与第二个角的正弦之积。
3.探究公式的特点：该公式是正弦函数的两个变量的线性组合。
Step 3：两角和的正弦公式的推导（20分钟）1. 给出公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB。
2. 利用三角函数的基本关系式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，以及角的和差公式sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，通过变形推导得到两角和的正弦公式。
Step 4：实例分析（20分钟）1.使用两角和的正弦公式解决实例问题，例如：- 已知sinα = 1/3，cosβ = 4/5，且α和β属于第一象限，求sin(α + β)和cos(α - β)的值。
- 已知sinA = -2/3，cosB = -3/5，且A和B属于第二象限，求sin(A - B)和cos(A + B)的值。
两角和与差的正弦公式教案
两角和、差正弦公式一、教学目标1.知识技能目标：理解两角和、差的正弦公式的推导过程，熟记两角和与差的正弦公式，运用两角和与差的正弦公式，解决相关数学问题。
2.过程方法与目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感态度价值观：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦公式的灵活运用.三、教学过程（一）导入：回顾两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 推导：()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦特例：sin()cos 2αα∏±=3sin()cos 2αα∏±=-（二）例题讲解例1、 利用和（差）公式求︒︒15sin 75sin 和的值。
1sin 75*2224o o o o o o =+=ｏ＝sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin301sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 302o o o o o o o =-=-==另：sin15sin(9075)cos 75o o o o =-=例2、 已知)sin()sin(),,2(,43cos ),2,0(,32sin βαβαππββπαα-+∈-=∈=与求的值。
两角和与差的正弦公式教案
两角和与差的正弦公式教案一、动机和引入1.引导学生回顾前面学过的正弦函数的基本性质：周期、最大值、最小值等。
2.提问学生：在求正弦函数的和或差的时候，我们有没有什么公式可以使用？3.引导学生分析：我们可以使用两角和与差的公式，类似于整数相加减，但是存在一些特殊性质。
二、学习公式1.提醒学生：求两角和与差的公式都是从公式角度出发，通过对三角函数的和差关系进行求解。
2. 教师板书公式：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 解读公式：sin(A±B)等于sinA和sinB的乘积之和或差。
4. 引导学生根据公式推导cos(A±B)的公式：cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB5.提醒学生：在公式推导的过程中，可以根据三角函数的诱导公式进行转换。
如：cos^2A+sin^2A=1三、例题实践1. 例题一：求sin(π/6+π/4)的值。
解法：根据公式sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB：sin(π/6+π/4)=sin(π/6)cos(π/4)+cos(π/6)sin(π/4)=1/2×√2/2+√3/2×√2/2=√2/4+√6/4=(√2+√6)/4答案：(√2+√6)/42. 例题二：求cos(3π/4-π/3)的值。
解法：根据公式cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB：cos(3π/4-π/3)=cos(3π/4)cos(π/3)+sin(3π/4)sin(π/3)=-√2/2×1/2+√2/2×√3/2=-√2/4+√6/4=(√6-√2)/4答案：(√6-√2)/4四、练习与巩固1. 练习题一：求sin(π/3+π/2)的值。
2. 练习题二：求cos(5π/6-π/3)的值。
五、总结与归纳1.引导学生总结：两角和与差的正弦公式和余弦公式都是通过对三角函数的和差关系进行推导得到的。
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案
两角和与差的正弦余弦正切公式教学案一、教学目标：1.知识与技能目标：掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
2.过程与方法目标：鼓励学生积极思考、合作学习，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感与态度目标：培养学生的数学兴趣，增强对数学的自信心。
二、教学重、难点：1.教学重点：学习正弦、余弦、正切两角和与差的公式，能够正确地应用到解题中。
2.教学难点：正弦、余弦、正切两角和与差的公式的推导与应用。
三、教学准备：1.教师准备：教案、笔记、教辅资料、教学媒体等。
2.学生准备：学习笔记、作业本。
四、教学步骤：Step 1 引入新课1.教师展示一幅图形，引导学生观察图形中的三角形，并提问：对于一个任意的三角形ABC，如何求角A和角C的两角和与差的正弦、余弦和正切？2.引导学生思考，并提醒学生复习正弦、余弦、正切的定义和性质。
Step 2 探究与讨论1.教师以角A和角C的两角和为例，引导学生分析角A和角C的三角函数之间可能存在的关系，并引导学生探究和讨论。
2.学生合作讨论，提出各自的思考结果并互相交流。
Step 3 运用公式解题1.教师给出两具体的角A和角C的数值，并提问学生如何求其两角和与差的正弦、余弦和正切的值。
2.学生运用公式计算，并与他人交流讨论结果，互相纠正错误。
Step 4 归纳总结1.教师总结学生的讨论结果，整理归纳出正弦、余弦、正切两角和与差的公式。
2.指导学生将这些公式整理成归纳表格或表格。
Step 5 拓展应用1.教师给出一些拓展应用题目，要求学生利用所学知识解答。
2.学生独立完成练习题，并互相交流讨论。
Step 6 小结与反思1.教师对本节课的内容进行小结，并引导学生参与总结。
2.向学生征求反馈意见，以便以后教学改进。
五、教学评价：1.学生通过合作探究和讨论，积极参与课堂活动。
2.学生能够利用正弦、余弦、正切两角和与差的公式解决实际问题。
3.学生对角度与三角函数之间的关系有了更深入的了解。
4.学生对本节课的教学内容和方式进行评价。
高一数学“四步教学法”教案： 3.1两角和与差的正弦(2)
程
3
2
2k (k Z ) ，即 x
6
2k ( k Z ) 时函数
及
取得最大值 1. 练习：求 y
方 的最大值与最小值. 2 2
4
3 4 sin x cos x 的最值是什么？如何求？ 5 5
cos
法
则
作直角三角形，是它的两条直角边分别长 3，4，如图所示，
1
方 法
C( ) ： cos( ) cos cos sin sin S( ) ： sin( ) sin cos cos sin S ( ) : sin( ) sin cos cos sin
=
3 5
3
，
sin =
4 , y sin x cos cos x sin sin(x ) 5
所以最大值是 1，最小值是-1. 辅助角公式：
2
a sin x b cos x a 2 b2 sin(x )
练习：教材 P112——5 三、公式应用，点拨拓展(15mins)
解：将已知条件按两角和与差的正弦公式展开，得
2 sin cos cos sin 3 sin cos cos sin 1 5
从而得
7 sin cos 30 cos sin 13 30
辅助角公式的应用.
灵活应用所学公式及辅助角公式进行化简、证明与求值. 多媒体辅助教学
教学程序设计
教 学 过 程 及 过程设计
1.复习导入(1min) 回顾一下前面所推导的两角和与差的余弦公式与正弦公式：
高一数学备课课件两角和与差的正弦余弦正切公式
$cos(A pm B) = cos A cos B mp sin A sin B$
两角和与差的正切公式
03
$tan(A pm B) = frac{tan A pm tan B}{1 mp tan A tan B}$
学生学习成果评价
掌握两角和与差的正 弦、余弦、正切公式 及其推导过程。
通过课堂练习和课后 作业，加深对知识点 的理解和记忆。
化简含有正切的复杂表 达式，如(tanx + tany)
/ (1 - tanxtany)等
证明与正切和差公式相 关的恒等式或不等式
解含有正切的三角方程 ，如tanx + tany = a,
tanxtany = b等
05
公式之间的关系与转换
正弦、余弦、正切公式之间的关系
正弦公式
$sin(alpha pm beta) = sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta$
03
两角和与差的余弦公式
余弦和公式
$cos(alpha + beta) = cosalphacosbeta - sinalphasinbeta$
该公式表示两个角的余弦和等于各自余弦的乘积减去各自正弦的乘积。
余弦差公式
$cos(alpha - beta) = cosalphacosbeta + sinalphasinbeta$
1 2
通过三角函数的定义转换
正弦、余弦、正切函数之间可以通过三角函数的 定义相互转换，例如 $tan x = frac{sin x}{cos x}$。
通过诱导公式转换
利用三角函数的诱导公式，可以将角度进行加减 或乘除运算，从而得到其他角度的三角函数值。
沪教版高一下册数学高一下册教案两角和与差的正弦公式
5.4 (2)两角和与差的正弦公式上海市杨浦高级中学 曹丽琼一、教学内容分析本节课的重点在于两角和与差的正弦公式的推导以及公式的应用.学生之前已经学习了两角和与差的余弦公式，又通过第五、六组诱导公式了解了正余弦之间的相互转化.在经过复习之后，教师可提出问题：如何用角α与β的三角比表示βα+以及βα-的正弦三角比？之前的复习作为铺垫，有利于渗透用已知解决未知问题的化归思想，有助于同学推导公式.在得到两角和与差的正弦公式之后，教师需要强调公式的特征，从而便于学生对公式的记忆，有利于公式的应用.因为公式的应用是本节课的难点之一，应用可以包括对公式的正用、逆用、变式以及与余弦公式的综合应用. 二、教学目标设计（1）应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.（2）初步掌握两角和与差的正弦公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明. （3）通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学兴趣.三、教学重点及难点两角和与差的正弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的正弦公式. 四、教学流程设计五、教学过程设计 一、讲授新课1、复习引入上节课学习了两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±，该式对任意角α和β成立.作为课后的思考题，要求同学们证明三角恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-.由这两式又可以进一步得到ααπcot )2tan(=-、ααπtan )2cot(=-，即ααπsin )2cos(=- ααπcos )2sin(=- ααπcot )2tan(=- ααπtan )2cot(=-用α-替换上述各式中的α，则可得到如下各式ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=+ ααπcot )2tan(-=+ ααπtan )2cot(-=+将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.应用两角和与差的余弦公式，十分方便的推导了上述两组公式，实现了两组角间正余弦、正余切的转化.问题：已知可用α和β三角比表示βα+以及βα-的余弦三角比，可否用于表示βα+以及βα-的正弦三角比呢？已知的余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？2、公式推导学生分小组讨论，进行推导.))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα--=+-=+βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(+=-+-= ))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα+-=--=-βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(-=---=称βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-为两角和与差的正弦公式，它们对任意角α、β成立.[说明]其中使用了第五组诱导公式. 3、强调特征两角和与差的正弦公式在结构上的特征为（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差； （2）左右两边的加减号相同 4、例题解析 例1、 求)3cos()12cos()6cos()125cos(απαππαπα--+++的值.解答：原式22=. [说明]可以选取两角和的正弦公式或余弦公式. 例2、已知53cos -=ϕ，),2(ππϕ∈，求)6sin(πϕ+.解答：10334)6sin(-=+πϕ例3、已知：53cos sin =+βα， 54sin cos =-βα，求)sin(βα- 解答：21)sin(-=-βα例4、求证：αββαβα22cos cos )sin()sin(-=-+[说明]与平方关系相结合；增强对两角和与差正弦公式结构的理解和记忆；常用的三角恒等式.例5、已知32sin =α，43cos -=β，判断βα-是第几象限角. 解答：因为0)sin(<-βα且0)cos(>-βα，所以βα-是第四象限角 [说明]用三角比值的符号确定角所在的象限；体现公式的作用. 三、巩固练习课本第57页 练习5.4（2）1、2 四、课堂小结（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式 （2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题. 五、课后作业课本第57页 练习5.4（2）3、4、5 六、教学设计说明1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.。
沪教版高一下册数学两角和与差的余弦、正弦和正切余弦公式教案一级第二学期
5.4 (1)两角和与差的余弦公式一、教学内容分析两角和与差的余弦是三角恒等式的起始课，是本章中一系列的三角恒等式的基础，因此对两角和与差的余弦公式的掌握必须扎实.两角和与差的余弦公式的推导是本节课的重点和难点.这一推导过程难度较大也比较复杂，教师可以通过设置问题情景，提出如何用两角的三角比表示两角差的余弦三角比.在猜测公式和实例检验的过程中激发学生探求公式的兴趣,在具体的推导过程中，引导学生想到借助单位圆来研究任意角三角比的基本方法，运用数形结合完成推导.对学生在推导过程中出现的问题，例如任意角的准确表示等，教师需指出或以引导的方式加以更正.在得到公式之后，需要观察和总结公式的特点和规律，便于记忆.在练习时要注意公式的逆用和其它变式的求值及化简问题，应用所学的公式证明三角恒等式的练习在本节课中不宜太难.二、教学目标设计探求两角和与差的余弦公式的推导，经历公式推导的过程，并在此过程中，进一步形成严密而准确的数学思维方法.初步掌握公式，并会应用它们解决一些简单的有关三角的求值问题与证明问题；三、教学重点及难点两角和与差的余弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的余弦公式.四、教学流程设计五、教学过程设计一、讲授新课1、实例引入（1）2160cos =︒、2245cos =︒ ，而︒-︒=︒456015，那么等式︒-︒=︒45cos 60cos 15cos 是否成立？（2）对于任意角α、β，βα-的余弦如何用α和β的三角比来表示？[说明]（1）045cos 60cos <︒-︒，而015cos >︒，所以等式不成立.（2）对学生所提出的猜想，用具体的数加以检验.通过检验发现)cos(βα-不能用简单的βαcos cos -或是βαcos cos +等来表示.从而明确余弦运算不满足分配律.2、公式推导设α、β是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角α、β，射线OA 、OB 分别为其终边，与单位圆相交于A 、B 两点，其坐标分别为)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB . 方法一、将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转β-角，分别转到A O '和B O '的位置，则))sin(),(cos(βαβα--'A ，)0,1(B '.根据两点间距离公式，有)sin sin cos (cos 22)sin (sin )cos (cos ||22βαβαβαβα+-=-+-=AB)cos(22)(sin ]1)[cos(||222βαβαβα--=-+--=''B A因为AOB ∆绕O 旋转β-角得到B O A ''∆，所以||||B A AB ''=从而βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 也可以将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转α-角，则同理可得αβαβαβsin sin cos cos )cos(+=-，一方面由诱导公式可知)cos()cos(βααβ-=-，所以得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.另一方面，由于α、β表示任意角，所以用α替换β，β替换α公式仍成立.从而得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-. O x y A)sin ,(cos αα)sin ,(cos ββB )0,1(B '))sin(),(cos(βαβα--'A O xy这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角α和β都成立.在两角差的余弦公式中，用β-代替β.可得到两角和的余弦公式：βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+.3、强调特征两角和与差的余弦公式在结构上的特征为：1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；2、左右两边的加减号互异.4、例题解析例1、利用两角和与差的余弦公式，求︒15cos 、︒75cos 的值. 解：42615cos +=︒、42675cos -=︒ [说明]可以选择不同的角及公式，例如，)4560cos(15cos ︒-︒=︒、)3045cos(15cos ︒-︒=︒；)45120cos(75cos ︒-︒=︒、)3045cos(75cos ︒+︒=︒例2、化简：)60sin(sin )60cos(cos αααα-︒--︒解：1cos cos(60)sin sin(60)cos(60)cos602αααααα︒--︒-=+-==[说明]两角差的余弦公式逆用.例3、求︒︒+︒︒40cos 10cos 50cos 80cos 的值.解：原式2330cos 50sin 80sin 50cos 80cos =︒=︒︒+︒︒= [说明]公式变式训练.例4已知三角形ABC ，求证：B A B A C cos cos sin sin cos -=[说明]cos cos[()]C A B π=-+三、巩固练习课本第54页 练习5.4（1）：1/（2）；2四、课堂小结（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单三角恒等式证明.五、课后作业思考题：求证下列恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-课本第54页 练习5.4（1）3；4六、教学设计说明两角差的余弦公式的推导是这堂课的教学难点.一方面，这一推导本身比较复杂，需要学生对任意角有较好的理解.另一方面是来自于学生对待公式推导和证明的认识上.学生其实很清楚，从课本上所学的命题都是被证明过的，是真的.所以认为在课堂学习时，再证明一次并没有多大意义.他们会自觉地重视公式的应用，不自觉地忽视公式的推导.所以要做好证明教学是这堂课成功与否的关键，让学生在探寻、思考、构造的过程中将证明变成真正有意义的学习活动.所以，在设计教学过程时，将公式的证明变形为开放式的探求.探求的起点是合理的联想：)cos(βα-等于什么？一定是与α、β角的三角比有关.学生很容易联想到乘法分配律：mb ma b a m +=+)(，于是猜测βαβαcos cos )cos(-=-.经过实例检验说明上式只对个别角度成立，不具有一般性，从而与乘法分配律区分开.再猜测、再检验…，从这样的过程中一方面培养学生逻辑思考的能力，激励学生探求公式的兴趣，另一方面，发现公式的形式不会太简单，于是转化思路，以求代猜.其基点便是任意角的概念：在直角坐标中由旋转而形成.而研究任意角三角比需借助单位圆的力量.让学生体会到数形结合这一数学思想的美妙.而在单位圆中作出角α、β时，很容易忽略了两角的任意性，将它们表示为：从而没能使接下去的证明涵盖到任意角.这里是教师训练学生逻辑思维和思维严密性的发力点，教师可以通过提问的形式，引导学生自己发现这一问题，想办法补救，使得推导严密准确，适用于任意角度.经历这样一个过程，不但使得学生对公式的任意性有了更好的认识，对变量替换思想有更好的理解，更使得学生的证明能力得到提高，数学的思维方法得到了培养.在得到公式后，教师应对该公式的重要性加以肯定和突出.不仅能加强学生对公式的重视，更能使学生感到其努力是有价值的，从中体验到成就感. αβ将课本的例题4作为思考题留给学生，除了课堂时间有限这一因素之外，也作为与下一堂课的衔接.。
两角和与差的余弦、正弦和正切-沪教版教案
第5章第5讲 两角和与差的余弦、正弦、正切 在上一节的学习中，我们是考虑了由一个角出发，经过旋转、对称而得到某一个新的角度的三角比，也就是4个重要的诱导公式。
本节我们换一个角度，从两个角度,αβ出发，通过它们的三角比来表示角αβ-及αβ+的三角比，这就是接下来要学习的两角和与差的余弦、正弦的问题。
当然，由三角比之间的关系，可以很方便的得出正切、余切、正割、余割等值。
-----------------------------------------------------------------------------一、首先我们给出将要证明的结论：（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-（3）cos()cos cos cos sin αβαβαβ+=-（4）cos()cos cos cos sin αβαβαβ-=+（5）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- （6）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ 证明：我们证明的思路是先证（4）→再证（3）→后证（1）→再得到（2）→最后（1）除以（3）得到（5）→（2）除以（4）得到（6），具体看黑板。
-------------------------------------------------------------------------------二、由上面6个公式可得到如下进一步的诱导公式：（1）sin()cos 2παα-=； cos()sin 2παα-=； tan()cot 2παα-=； cot()tan 2παα-=. （2）sin()cos 2παα+=； cos()sin 2παα+=-； tan()cot 2παα+=-； cot()tan 2παα+=-. （3）3sin()cos 2παα-=-； 3cos()sin 2παα-=- 3tan()cot 2παα-=-； 3cot()tan 2παα-=- -------------------------------------------------------------------------【例题精讲】例1、求015及075的6个三角比。
高一数学第四章教案两角和与差的正弦
第十六教时教材：两角和与差的正弦目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
过程：一、复习：两角和与差的余弦练习：1．求cos75︒的值解：cos75︒=cos(45︒+30︒)=cos45︒cos30︒-sin45︒sin30︒ =42621222322-=⋅-⋅ 2．计算：1︒ cos65︒cos115︒-cos25︒sin115︒2︒ -cos70︒cos20︒+sin110︒sin20︒解：原式= cos65︒cos115︒-sin65︒sin115︒=cos(65︒+115︒)=cos180︒=-1原式=-cos70︒cos20︒+sin70︒sin20︒=-cos(70︒+20︒)=03．已知锐角α,β满足cos α=53 cos(α+β)=135-求cos β. 解：∵cos α=53 ∴sin α=54又∵cos(α+β)=135-<0 ∴α+β为钝角 ∴sin(α+β)=1312 ∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =653354131253135=⋅+⋅- （角变换技巧） 二、两角和与差的正弦1．推导sin(α+β)=cos[2π-(α+β)]=cos[(2π-α)-β] =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β 即： sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β （S α+β）以-β代β得： sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β （S α-β）2．公式的分析，结构解剖，嘱记3．例一 不查表，求下列各式的值：1︒ sin75︒ 2︒ sin13︒cos17︒+cos13︒sin17︒解：1︒原式= sin(30︒+45︒)= sin30︒cos45︒+cos30︒sin45︒=46222232221+=⋅+⋅ 2︒原式= sin(13︒+17︒)=sin30︒=21例二 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α) 证一：左边=2(21cos α+23 sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α) =2sin(6π+α)=右边 （构造辅助角）证二：右边=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)= cos α+3sin α=左边例三 〈精编〉P47-48 例一 已知sin(α+β)=32,sin(α-β)=52 求βαtan tan 的值解： ∵sin(α+β)=32 ∴sin αcos β+cos αsin β=32①sin(α-β)=52 ∴sin αcos β-cos αsin β=52②①+②：sin αcos β=158 ①-②：cos αsin β=152 三、小结：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式”四、作业： P38 练习2中①② 3中① 5中①③P40-41 习题4.6 2中①③ 3中①②⑤⑦⑧ 7中①④⑤〈精编〉P60-61 2、3、4 ⇒βαtan tan =4152158sin cos cos sin ==βαβα。
沪教版数学高一下册-5.4两角和与差的余弦、正弦和正切- 两角和与差的余弦公式(第一课时)课件(共12张PPT)
例3：化简： cos cos( ) sin sin( )
3
3
例4：已知 , 为锐角，且 cos 1 ，
cos( ) 11
，求
7 cos 的值。
14
课堂小结：
1、方法 2、结论 3、其他
作业： 1、见打印
2、思考题： 下列四个命题中的假命题是（ ）
(A)存在, 使得cos( ) cos cos sin sin
是该有的生活！无论未来的每一天，是什么样子，都是我自己的选择，按照自己的选择来生活，是送给自己最好的礼物。
两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
再探：两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
公式应用：
例1.利用两角和与差的余弦公式求 cos15o的值
例2：设 cos 4 ,
5
sin 12
13
且 为第二象限角， 为第四象限角，求 cos( )
前言
对于30°，45°，60°等特殊角的三角比的值可 以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°， 210°，315°等角的三角比的值.如果能再引进一 些公式，能够求更多的非特殊角的三角比的值， 如 cos15, cos 75等就更好了，同时也为三 角的计算和化简提供更多理论依据.
Q 15o 45o 30o,cos15o=cos(45o-30o). cos(45o-30o)=？
| AB |2 [cos( ) 1]2 sin 2 ( )
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有， 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！ 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的， 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努
沪教版(上海)2019-2020学年高一数学下两角和与差的正弦导学案(学生版)
5.4两角和与差的余弦，正弦和正切第2课时 两角和与差的正弦学习目标1.理解两角和的正弦公式的推导过程，熟练掌提两角和与差的正弦公式。
2.能灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式解决三角式的求值、化简和证明问题。
3.能正用、适用、变形应用两角和与差的正弦公式。
温故知新 知识链接1. 两角差的余弦公式cos(α-β)=__________.2. Cos(2π-α)=___,sin(2π-α)=___,cos(2π+α)=____,sin(2π+α)=____, 3. 化简cos65°cos35°+sin65°sin35°的结果是 ( ) A. cos100° B.sin100° C.23 D.21 预习导学。
两角和与差的正弦公式Sin(α+β)=________________________________;sin(α-β)=____________________________________.【问题」如何快速记忆两角和与差的正弦公式？课堂讲义要点一给角求值问题【例1】化简下列各式：(1)sin140cos160+sin760cos740;.(2)sin12[规律方法]解含非特殊角的三角式的求值问题，(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值；(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的正弦公式的结构形式，然后逆用公式求值. 跟踪演练1化简下列各式： (1)sin45°cos15°-cos135°sin165°; (2)cos(3π+a)+sin(6π+a).要点二给值求值问题 【例2】已知434παβπ<<<,cos(a -B)=1312，sin(a+B)=53-,求sin2a 的值.[规律方法]本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系，常见角的变换为： (1)2a+B=(a+B)+a,2a -B=(a -B)+a; (2)）（）（βαβαβα-2-2-2=+ ，）（）（βαβαβα++=2-22-； (3) ）（）（）（βαπβπαπ++=+++244; (4) ）—（）—（）（βαπβπαπ+=++244. 跟踪演练2已知），，（），，（ππβπα220∈∈且sin(βα+)=6533,cos β=135-,求sin α.要点三 给值求角问题 【例3】已知sina=55,cosB=1010,且a,B 为锐角，求a -B 的值.[规律方法]求角的大小，要解决两个问题：(1)确定所求角的范围；(2)求角的某一三角比的值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角比，求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大（小）,导致求出的角不合题意或者漏解.跟踪演练3若），（），，（0,220πβπα-∈∈且cos(βα-)=53,sin β=102-,试求角α的大小.要点四化简证明问题 【例4】化简：)cos(2sin )2sin(βααβα---.[规律方法]处理本类问题应注意分析角如何变化，以及公式的正用、逆用和变形应用。
沪教版数学高一下册5.4.2 两角和与差的余弦、正弦和正切(2)—诱导公式教案
§5.4.2 两角合与差的余弦、正弦和正切（2）——诱导公式[教学目标]1． 知识与技能 掌握第五、第六、第七、第八组诱导公式并能进行简单的化简与计算. 2． 过程与方法 掌握第五、第六、第七、第八组诱导公式的推导过程. 3． 情感态度与价值观 体会数学知识的内在联系，体会由未知到已知转化过程. [教学重点]利用诱导公式进行简单的化简与计算. [教学难点]诱导公式的推导与记忆. [教学过程] 一．复习1．三角比在各象限内的符号；2．前四组诱导公式；3．()cos αβ± 二．诱导公式推导1．几个特殊值：sin 00,sin 1,cos 01,cos022ππ====2．推导： （1）第五组：cos cos cos sin sin sin 222πππαααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭用α代替上式中的2πα-，则上式中的2πα-成为α，得cos sin 222πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos 2παα⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭sin 2tan cot 2cos 2παπααπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，cot tan 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）第六组：用α-代替α cos sin ,sin cos 22ππαααα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cot ,cot tan 22ππαααα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）第七组： 3sin sin sin cos 222πππαπααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦；3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 3tan cot 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭；3cot tan 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（4）第八组： 3333sin cos ,cos sin ,tan cot ,cot tan 2222ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=+=-+=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3．诱导公式的记忆 “奇变偶不变，符号看象限” 如()2sin sin sin 2ππααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭；3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭三．诱导公式的应用 例1 求值：（1）()sin120sin 9030cos30︒=︒+︒=︒=；注意代换的数学思想注意“奇、偶”的含义；正负看左边的使学生熟悉诱导公式的简单应用（2）()cos135cos 4590sin 45︒=︒+︒=-︒=； （3）2tan tan cot 3626ππππ⎛⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）193cos cos 4cos sin 44424ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2 化简：()()()()()11sin 2cos cos cos 229cos sin 3sin sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭解：原式()()()()()()sin cos sin cos 52cos sin sin sin 42παααπαπαπαπαπα⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2παααπαααα⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭sin tan cos ααα-==-.练习1 化简：()()cos 2sin 2cos 25sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭例3 ,,A B C 为三角形的内角，化简()()sin ,cos B C A B ++ 解：()()()sin sin sin sin B C A B C A A A π+=++-=-=()()()cos cos cos cos A B A B C C C C π+=++-=-=-.例4 已知点()0.6,0.8A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至'OA ，求点'A 的坐标. 解：设以x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角为θ，1OA =，所以有cos 0.6,sin 0.8θθ==， 'cos ,sin 22A ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos sin 0.82sin cos 0.62πθθπθθ⎧⎛⎫+=-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+== ⎪⎪⎝⎭⎩ ()'0.8,0.6A ∴-.四．布置作业各组诱导公式的综合应用A B C π++=逆时针旋转θ为加θ角。
两角和与差的余弦、正弦和正切-沪教版教案
-----------------------------------------------------------------------------一、首先我们给出将要证明的结论：（1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+（2）sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-（3）cos()cos cos cos sin αβαβαβ+=-（4）cos()cos cos cos sin αβαβαβ-=+（5）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- （6）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+ 证明：我们证明的思路是先证（4）→再证（3）→后证（1）→再得到（2）→最后（1）除以（3）得到（5）→（2）除以（4）得到（6），具体看黑板。
-------------------------------------------------------------------------------二、由上面6个公式可得到如下进一步的诱导公式：（1）sin()cos 2παα-=； cos()sin 2παα-=； tan()cot 2παα-=； cot()tan 2παα-=. （2）sin()cos 2παα+=； cos()sin 2παα+=-；tan()cot 2παα+=-； cot()tan 2παα+=-. （3）3sin()cos 2παα-=-； 3cos()sin 2παα-=- 3tan()cot 2παα-=-； 3cot()tan 2παα-=- -------------------------------------------------------------------------【例题精讲】例1、求015及075的6个三角比。
解：--------------------------------------例2、已知点A 的坐标为（,），将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至'OA ，求点'A 的坐标(,)x y 解：---------------------------------------例3、在ABC ∆中，3sin 5A =，5cos 13B =，求cosC 的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.4 (2)两角和与差的正弦公式
上海市杨浦高级中学 曹丽琼
一、教学内容分析
本节课的重点在于两角和与差的正弦公式的推导以及公式的应用.学生之前已经学习了两角和与差的余弦公式，又通过第五、六组诱导公式了解了正余弦之间的相互转化.在经过复习之后，教师可提出问题：如何用角α与β的三角比表示βα+以及βα-的正弦三角比？之前的复习作为铺垫，有利于渗透用已知解决未知问题的化归思想，有助于同学推导公式.
在得到两角和与差的正弦公式之后，教师需要强调公式的特征，从而便于学生对公式的记忆，有利于公式的应用.因为公式的应用是本节课的难点之一，应用可以包括对公式的正用、逆用、变式以及与余弦公式的综合应用. 二、教学目标设计
（1）应用第五组诱导公式推导两角和与差正弦公式.在推导过程中，进一步掌握变量替换的思想方法，渗透用已知解决未知问题的化归数学思想.
（2）初步掌握两角和与差的正弦公式，并能应用于求值、化简以及三角恒等式的证明. （3）通过学习两角和与差的正弦公式的推导和初步应用，体会知识之间的有机联系，激发学习数学兴趣.
三、教学重点及难点
两角和与差的正弦公式的推导；掌握和应用两角和与差的正弦公式. 四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、讲授新课
1、复习引入
上节课学习了两角和与差的余弦公式
βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±，
该式对任意角α和β成立.作为课后的思考题，要求同学们证明三角恒等式：（1）
ααπ
sin )2
cos(
=-；（2）ααπ
cos )2
sin(
=-.
由这两式又可以进一步得到ααπ
cot )2
tan(
=-、ααπ
tan )2
cot(
=-，即
ααπ
sin )2cos(=- ααπ
cos )2
sin(
=- ααπ
cot )2
tan(
=- ααπ
tan )2
cot(
=-
用α-替换上述各式中的α，则可得到如下各式
ααπ
sin )2
cos(-=+ ααπ
cos )2sin(
=+ ααπ
cot )2
tan(
-=+ ααπ
tan )2
cot(
-=+
将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.
应用两角和与差的余弦公式，十分方便的推导了上述两组公式，实现了两组角间正余弦、正余切的转化.
问题：已知可用α和β三角比表示βα+以及βα-的余弦三角比，可否用于表示
βα+以及βα-的正弦三角比呢？已知的余弦公式是否有助于正弦公式的推导呢？
2、公式推导
学生分小组讨论，进行推导.
))2
cos(())(2
cos(
)sin(βαπ
βαπ
βα--=+-=+
βαβαβαπ
βαπ
sin cos cos sin sin )2
sin(
cos )2
cos(
+=-+-= ))2
cos(())(2
cos(
)sin(βαπ
βαπ
βα+-=--=-
βαβαβαπ
βαπ
sin cos cos sin sin )2
sin(
cos )2
cos(
-=---=
称βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-为两角和与差的正弦公式，
它们对任意角α、β成立.
[说明]其中使用了第五组诱导公式. 3、强调特征
两角和与差的正弦公式在结构上的特征为
（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差； （2）左右两边的加减号相同 4、例题解析 例1、 求)3
cos()12cos()6cos()125cos(απ
αππαπα--+++
的值.解答：原式22=. [说明]可以选取两角和的正弦公式或余弦公式. 例2、已知53cos -
=ϕ，),2(ππϕ∈，求)6
sin(π
ϕ+.解答：10334)6sin(-=+πϕ
例3、已知：53cos sin =+βα， 5
4
sin cos =-βα，求)sin(βα- 解答：2
1)sin(-=-βα
例4、求证：αββαβα22cos cos )sin()sin(-=-+
[说明]与平方关系相结合；增强对两角和与差正弦公式结构的理解和记忆；常用的三角恒等式.
例5、已知32sin =
α，4
3
cos -=β，判断βα-是第几象限角. 解答：因为0)sin(<-βα且0)cos(>-βα，所以βα-是第四象限角 [说明]用三角比值的符号确定角所在的象限；体现公式的作用. 三、巩固练习
课本第57页 练习5.4（2）1、2 四、课堂小结
（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式 （2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题. 五、课后作业
课本第57页 练习5.4（2）3、4、5 六、教学设计说明
1、公式的推导应由学生自主得到，此过程有利于进一步提高学生推证的能力，感受三角证明的灵活性和多变性.
2、在例题的设计中注意公式的正用、逆用以及变式使用.对于三角恒等式的证明应由浅入深，较复杂的证明题可以留作思考题.。