第六章线空间习题解答

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线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N MN M MN N ⊆==证明:证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆2 证明: (1))()()(L M N M L N M =. (2))()()(L M N M L N M = 证明:(1).),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且 L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.另一方面,因为)(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M ⊆.(2) 一方面,))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M ⊆.另一方面,.),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法. (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕, )2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+= . (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k =0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为 k =.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, =(a,b)0. 取=(a+1,b), =(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5) 证明: 10显然V 非空. 02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl α(7)(k+l)α =（（k+1）a1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕(8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+ 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠，但这里。

第6章线性空间(解答题)(65题)

1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或；4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3），4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性空间，记作nP .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=，（1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β可以由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.如果向量组12,,,r ααα中每个向量都可以由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每个向量都可以由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,r ααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？答：是的.不难证明以下三条成立：1）反身性：每一个向量组都与自身等价. 2）对称性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3）传递性：如果12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？答：容易证明的有：1）零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2）单个非零向量是线性无关的. 3）设向量组()12,,,2m m ααα≥，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4）向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5）向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关. 6）向量组12,,,r ααα可以由向量组12,,,s βββ线性表出，则12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7）任意1n +个n 维向量必线性相关.8）两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，则12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）若12,,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）若12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，则当然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，则由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，则由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出. 若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，则()()1110m mm l s ls αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？答：如果向量组的一个部分组满足 1）此部分组线性无关；2）原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),i j i j n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4）在nP 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri iαα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，则12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，则1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或者12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因而12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，则12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A是数域P 上的n n ⨯矩阵. 证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，所以0B ≠.必要性设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.所以12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，则1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2）由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，则1,,s αα线性无关.证：用反证法.如果1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s αα线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或者全为0，或者全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===. 证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =都不为0.若等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2）由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.如果()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，所以2,,m αα的系数全为0，即121210m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：1210212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =则可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为如果21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，kk a a =，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全体n nA P⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212mk k k mx x x 1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!.16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中210000,00A ωωω⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭解：因为212ω-=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.nn k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无限维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，则12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，所以()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在坐标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=，（3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =，所以1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1）于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2）又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭，（3）将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫⎪- ⎪==⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=构成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=，则1,,n αα为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是nP 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则IW V λλ∈⊆⋂.○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价（i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=，（iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。

第6章线性空间练习题.doc

第6章线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是，解空间一组基是．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。

2020高考数学第六章立体几何考点测试42空间点、直线、平面间的位置关系文(含解析)

测试 42空间点、直线、平面间的地点关系高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、解答题，分值为5分或 12分，中等难度考纲研读1．理解空间直线、平面地点关系的定义2．认识能够作为推理依照的公义和定理3．能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题一、基础小题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A．充足非必需条件 B ．必需非充足条件C．充足必需条件 D ．既非充足又非必需条件答案A分析“两条直线为异面直线”? “两条直线无公共点”．“两直线无公共点”? “两直线异面或平行”．应选A．2．以下命题正确的个数为()①经过三点确立一个平面；②梯形能够确立一个平面；③两两订交的三条直线最多能够确立三个平面；④假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案C分析经过不共线的三点能够确立一个平面，∴①不正确；两条平行线能够确立一个平面，∴②正确；两两订交的三条直线能够确立一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点能否共线，∴④不正确．3．若直线上有两个点在平面外，则()A．直线上起码有一个点在平面内B．直线上有无量多个点在平面内C．直线上全部点都在平面外D．直线上至多有一个点在平面内答案D分析依据题意，两点确立一条直线，那么因为直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只好是直线与平面订交，或许直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．4．如图，α ∩β＝l，A，B∈ α，C∈ β，且C?l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过 ()A．点A B．点BC．点C但可是点M D ．点C和点M答案D分析∵ A， B∈γ， M∈ AB，∴ M∈γ ．又α ∩ β＝l ， M∈ l ，∴ M∈β ．依据公义 3 可知， M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．5．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的地点关系是 ()A．异面或平行 B ．异面或订交C．异面 D ．订交、平行或异面答案D分析异面直线不拥有传达性，能够以长方体为载体加以说明，地点如图 ( 可有三种状况) 所示，故a， c 可能订交、平行或异面．6．以下四个命题中：a， b异面，直线c的①不共面的四点中，此中随意三点不共线；②若点A， B， C， D 共面，点共面，则点 A，B， C，D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线A，B，C，E b，c 共面；④挨次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B分析①正确，不然三点共线和第四点必共面；②错误，如图三棱锥，能切合题意但A，B，C，，E 不共面；③错误，从②的几何体知；空间四边形为反例可知，④错误．D7．已知异面直线a， b 分别在平面α ，β 内，且α ∩ β＝c，那么直线 c 必定() A．与a，b都订交B．只好与a， b 中的一条订交C．起码与a， b 中的一条订交D．与a，b都平行答案C分析假如 c 与 a， b 都平行，那么由平行线的传达性知a，b 平行，与异面矛盾．应选C．8．如图，平行六面体ABCD－ A1B1C1D1中既与 AB共面又与 CC1共面的棱有________条．答案5分析依题意，与 AB和 CC1都订交的棱有BC；与 AB订交且与 CC1平行的棱有AA1，BB1；与 AB平行且与 CC1订交的棱有 CD， C1D1．故切合条件的棱有5条．二、高考小题9．(2018 ·全国卷Ⅱ) 在正方体ABCD－ A1 B1C1D1中， E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()2357A．2 B．2 C．2 D．2答案C分析在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， CD∥AB，所以异面直线AE与 CD所成的角为∠ EAB，设正方体的棱长为2a，则由 E 为棱CC1的中点，可得CE＝a，所以BE＝5a，BE 则 tan ∠EAB＝＝AB5a＝2a52．应选C．10．(2015 ·广东高考) 若空间中n 个不一样的点两两距离都相等，则正整数n 的取值() A．至多等于 3 B ．至多等于4C．等于 5 D ．大于 5答案B分析第一我们知道正三角形的三个极点知足两两距离相等，于是能够清除C ，D ．又注意到正四周体的四个极点也知足两两距离相等，于是清除A ，应选B ．11．(2016 ·山东高考 ) 已知直线 a ， b 分别在两个不一样的平面 α ， β 内，则“直线 a 和直线b 订交”是“平面α 和平面 β 订交”的()A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件答案A分析因为直线 a 和直线 b 订交，所以直线 a 与直线 b 有一个公共点，而直线a ，b 分别在平面 α， β 内，所以平面 α 与 β 必有公共点，进而平面α 与 β 订交；反之，若平面 α 与 β 订交，则直线a 与直线b 可能订交、平行、异面．应选A ．三、模拟小题12．(2018 ·武昌调研 ) 已知直线 l 和平面 α ，不论直线 l 与平面 α 拥有如何的地点关系，在平面 α 内总存在一条直线与直线l ()A ．订交B ．平行C ．垂直D ．异面答案C分析当直线 l 与平面 α 平行时，在平面 α 内起码有一条直线与直线l 垂直，当直线l ? 平面 α 时，在平面 α 内起码有一条直线与直线l 垂直，当直线 l 与平面 α 订交时，在平面 α 内起码有一条直线与直线 l 垂直，所以不论直线 l 与平面 α 拥有如何的地点关系，在平面 α 内总存在一条直线与直线l 垂直．13．(2018 ·福州五校联考 ) 如图，已知在正方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，AC ∩ BD ＝F ，DC 1∩ CD 1＝，则直线 EF 是平面 1 与 ( )E ACDA ．平面 BDB 1的交线B ．平面 BDC 1的交线C ．平面 ACB 1的交线D ．平面 ACC 1的交线答案B分析连结 BC 1．因为 E ∈ DC 1， F ∈ BD ，所以 EF ? 平面 BDC 1，故平面ACD 1∩平面 BDC 1＝EF ．应选 B ．14．(2018 ·湖北七市 ( 州) 联考 ) 设直线 m 与平面 α 订交但不垂直，则以下说法中正确的是()A ．在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直B ．过直线 m 有且只有一个平面与平面α 垂直C ．与直线 m 垂直的直线不行能与平面α 平行D ．与直线 m 平行的平面不行能与平面 α 垂直答案 B分析关于 A ，在平面 α 内可能有无数条直线与直线垂直，这些直线是相互平行的，mA 错误；关于B ，因为直线 m 与平面 α 订交但不垂直，所以过直线 m 必有而且也只有一个平面与平面 α 垂直， B 正确；关于 C ，近似于 A ，在平面 α 外可能有无数条直线垂直于直线 m而且平行于平面 α， C 错误；关于 D ，与直线 m 平行且与平面α 垂直的平面有无数个，D错误．应选 B ．15．(2018 ·兰州市高考实战模拟) 已知长方体－ 1 11 1中，1＝＝ 3，＝1，ABCD A B CDAAABAD则异面直线 B C 和 CD 所成角的余弦值为 ()116 6 2 3A ．4B ．3C ．6D ．6答案A分析如图，连结 A D ， A C ，由题易知B C ∥ A D ，∴∠ CDA 是异面直线 B C 与 CD 所成1 1 11 1 1 1 1 1的角，又1＝＝ 3，＝1，∴1＝2，1＝ 6， 11＝ 2，由余弦定理，得cos ∠ 1 1AA ABADA DDCA CCDA2226CD ＋AD －AC11114 ，应选 A ．＝2×1×1＝CD A D16．(2018 ·河北石家庄质检 ) 以下正方体或四周体中，，，，S 分别是所在棱的中P Q R点，这四点不共面的一个图是 ( )答案 D分析( 利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断 ) 对选项 A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R， S共面；对选项B，易判断 QR∥ SP，故点 P， Q，R，S 共面；对选项C，易判断 PQ∥SR，故点 P， Q， R， S 共面；而选项D中的 RS， PQ为异面直线，应选D．17．(2018 ·武汉调研 ) 如图为正方体表面的一种睁开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有 ________对．答案3分析体中，明显平面图形的翻折应注意翻折前后相对地点的变化，AB与 CD， EF与 GH， AB与 GH都是异面直线，而则 AB，CD，EF和 GH在原正方AB与 EF订交， CD与 GH订交，CD 与EF平行．故互为异面直线的有3 对．18．(2018 ·山西四校联考) 以下图，在空间四边形A－ BCD中，点 E，H分别是边 AB，CF CG2AD的中点，点 F，G分别是边 BC，CD上的点，且＝＝，则以下说法正确的选项是________．( 填CBCD3写全部正确说法的序号)①EF与 GH平行；② EF与 GH异面；③ EF与 GH的交点 M可能在直线 AC上，也可能不在直线 AC上；④ EF与 GH的交点 M必定在直线 AC上．答案④分析连结 EH，FG(图略)，依题意，可得 EH∥BD，FG∥ BD，故 EH∥FG，所以 E，F，G，12H共面．因为EH＝2BD，FG＝3BD，故 EH≠ FG，所以四边形EFGH是梯形， EF与 GH必订交，设交点为 M．因为点 M在 EF上，故点 M在平面 ACB上．同理，点 M在平面 ACD上，所以点 M 是平面 ACB与平面 ACD的交点，又 AC是这两个平面的交线，所以点 M必定在直线 AC上．一、高考大题1．(2017 ·全国卷Ⅲ) 如图，四周体ABCD中，△ ABC是正三角形， AD＝CD．(1)证明： AC⊥ BD；(2)已知△ ACD是直角三角形， AB＝ BD，若 E为棱 BD上与 D不重合的点，且 AE⊥ EC，求四周体 ABCE与四周体 ACDE的体积比．解 (1) 证明：如图，取AC的中点O，连结DO，BO．因为 AD＝ CD，所以 AC⊥ DO．又因为△ABC是正三角形，所以 AC⊥ BO．进而 AC⊥平面 DOB，故 AC⊥ BD．(2)连结 EO．由 (1) 及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝ AO．222在 Rt△AOB中，BO＋AO＝AB．又 AB＝ BD，222222所以 BO＋ DO＝ BO＋AO＝ AB＝ BD，故∠ DOB＝90°．1由题设知△ AEC为直角三角形，所以EO＝2AC．1又△ ABC是正三角形，且AB＝ BD，所以 EO＝2BD．故E 为的中点，进而E到平面的距离为D到平面的距离的1ABCE，四周体BD ABC ABC21的体积为四周体ABCD的体积的2，即四周体 ABCE与四周体 ACDE的体积之比为1∶1．2．(2015 ·四川高考 ) 一个正方体的平面睁开图及该正方体的直观图的表示图以下图．(1)请将字母 F， G， H标志在正方体相应的极点处(不需说明原因)；(2)判断平面 BEG与平面 ACH的地点关系，并证明你的结论；(3)证明：直线 DF⊥平面 BEG．解 (1) 点F，G，H的地点以下图．(2)平面 BEG∥平面 ACH，证明以下：因为 ABCD－ EFGH为正方体，所以BC∥ FG，BC＝ FG，又 FG∥ EH， FG＝ EH，所以 BC∥ EH， BC＝ EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以 BE∥ CH．又 CH?平面 ACH， BE?平面 ACH，所以BE∥平面ACH．同理BG∥平面ACH．又 BE∩ BG＝ B，所以平面 BEG∥平面 ACH．(3)证明：连结 FH．因为 ABCD－ EFGH为正方体，所以 DH⊥平面 EFGH．因为 EG?平面 EFGH，所以 DH⊥ EG．又 EG⊥ FH， DH∩ FH＝ H，所以 EG⊥平面BFHD．又 DF?平面 BFHD，所以 DF⊥ EG．同理 DF⊥ BG．又 EG∩ BG＝ G，所以 DF⊥平面BEG．二、模拟大题3．(2018 ·河南洛阳月考) 以下图，正方体ABCD－ A1 B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证： (1) E，C，D1，F四点共面；(2)CE， D1F， DA三线共点．证明(1) 以下图，连结CD1， EF，A1B，∵ E，F 分别是 AB和 AA1的中点，1∴ FE∥A1B 且 EF＝2A1B．∵ A1D1綊 BC，∴四边形 A1BCD1是平行四边形，∴ A1B∥ D1C，∴ FE∥ D1C，∴ EF与 CD1可确立一个平面，即 E，C， D1， F 四点共面．1(2) 由 (1) 知EF∥CD1，且EF＝2CD1，∴四边形 CD1FE是梯形，∴直线 CE与 D1F 必订交，设交点为P，则 P∈CE?平面 ABCD，且P∈D1F?平面 A1 ADD1，∴ P∈平面 ABCD且 P∈平面 A1ADD1．又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝ AD，∴ P∈ AD，∴ CE， D1F， DA三线共点．4．(2018 ·河南焦作一模 ) 以下图，平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直， AD⊥ CD，AD⊥ ED，AF∥ DE，AB∥ CD，CD＝2AB＝2AD＝2ED＝ xAF．(1)若四点 F， B， C， E 共面， AB＝ a，求 x 的值；(2)求证：平面 CBE⊥平面 EDB．解 (1) ∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，∴平面 ABF∥平面 DCE．∵四点 F， B， C， E 共面，∴FB∥CE，∴△ ABF与△ DCE相像．2a∵ AB＝a，∴ ED＝ a， CD＝2a， AF＝x，2aAF AB x a由相像比得＝，即＝，所以x＝4．ED CD a2a(2)证明：不如设 AB＝1，则 AD＝AB＝1， CD＝2，在 Rt△BAD中，BD＝2，取CD中点为M，则MD与AB平行且相等，连结BM，可得△BMD 为等腰直角三角形，所以BC＝2，因为222BD＋ BC＝ CD，所以BC⊥ BD，又因为平面四边形ADEF所在的平面与梯形ABCD所在的平面垂直，平面ADEF∩平面ABCD＝ AD， ED⊥ AD，所以ED⊥平面ABCD，所以BC⊥ DE，又因为BD∩ DE＝ D，所以BC⊥平面EDB，因为BC?平面CBE，所以平面CBE⊥平面EDB．5．(2018 ·沈阳质检) 如图，在三棱锥S－ ABC中，平面SAB⊥平面SBC， AB⊥ BC， AS＝AB．过 A 作 AF⊥ SB，垂足为 F，点 E，G分别是棱 SA， SC的中点．求证：(1)平面 EFG∥平面 ABC；(2)BC⊥ SA．证明(1) 因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以 F 是 SB的中点．又因为 E 是 SA的中点，所以 EF∥ AB．因为 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC．同理 EG∥平面 ABC．又 EF∩ EG＝ E，所以平面 EFG∥平面 ABC．(2)因为平面 SAB⊥平面 SBC，且交线为 SB，又 AF?平面 SAB， AF⊥ SB，所以 AF⊥平面 SBC，因为 BC?平面 SBC，所以 AF⊥ BC．又因为 AB⊥ BC， AF∩ AB＝A， AF，AB?平面 SAB，所以 BC⊥平面 SAB．因为 SA?平面 SAB，所以 BC⊥ SA．6．(2018 ·河南郑州模拟) 如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是边长为2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ ABC＝60°的菱形， M为 PC的中点．(1)求证： PC⊥ AD；(2)在棱 PB上能否存在一点 Q，使得 A， Q， M， D四点共面？若存在，指出点 Q的地点并证明；若不存在，请说明原因；(3)求点 D到平面 PAM的距离．解(1) 证明：取AD的中点O，连结OP，OC，AC，因为四边形ABCD是∠ ABC＝60°的菱形，所以∠ ADC＝60°， AD＝ CD，所以△ ACD是正三角形，所以 OC⊥ AD，又△ PAD是正三角形，所以 OP⊥ AD，又 OC∩ OP＝ O，OC?平面 POC， OP?平面 POC，所以 AD⊥平面 POC，又 PC?平面 POC，所以 PC⊥ AD．(2)存在．当点 Q为棱 PB的中点时， A， Q， M， D四点共面．证明以下：取棱PB的中点 Q，连结 QM， QA，因为 M为 PC的中点，所以 QM∥ BC，在菱形 ABCD中， AD∥ BC，所以 QM∥ AD，所以 A， Q， M，D四点共面．(3)点 D到平面 PAM的距离即为点 D到平面 PAC的距离，由 (1) 可知PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝ AD， PO?平面 PAD，所以 PO⊥平面 ABCD，即 PO为三棱锥 P－ ACD的高，在 Rt△POC中，PO＝OC＝ 3，则PC＝ 6，在△ PAC中， PA＝ AC＝2，PC＝6，2210，所以边 PC上的高 AM＝PA－ PM＝ 2111015△ PAC所以 S＝2PC·AM＝2×6× 2 ＝2，设点 D到平面 PAC的距离为 h，由 V D－PAC＝ V P－ACD，11得3S△PAC· h＝3S△ACD· PO，115132即3×2· h＝3×4×2× 3，解得＝215，所以点D到平面的距离为 2 15．h5PAM5。

(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x I Y ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.(2) 设A 是n ⨯n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k ⋅α=0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k ⋅α=α.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a ⊕b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, β=(a,b)≠0. 取α=(a+1,b), γ=(a-1, b), 则α, γ∈V , 但是, α+ γ ∉V . (5) 证明: 10显然V 非空.02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。

第六章习题解答与阐释

第六章习题1．解释什么是受激吸收过程。

答：。

原子在受到外来能量（如光能、电能和热能等）作用时，原子中的电子从外界获得能量E2-E1，而从低能级E1跃迁到高能级E2，即原子被激发，激发的过程是一个“受激吸收”过程。

外界一次性提供给原子的能量必须等于原子能级的能量之差，才能发生受激吸收。

2. 解释什么是自发辐射过程。

答：一般来说，处于激发态E2能级上的原子是不稳定的，处在高能级E2的电子寿命很短（一般为10-8~10-9s），即使原子在没有外界影响的情况下，也会自发地向低能级E1跃迁并辐射出一个频率为v、能量为hv=E2-E1的光子（h为普朗克常数），这种自发跃迁引起的辐射称为自发辐射。

原子的自发辐射过程完全是一种随机过程，各发光原子的发光过程各自独立，互不关联。

各个原子自发辐射的光子的相位、偏振状态和传播方向不尽相同，因而自发辐射光是非相干光，如白炽灯、日光灯等普通光源，它们的发光过程就是自发辐射过程。

另外，由于激发能级有一个宽度，所以发射光的频率也不是单一的，而有一定范围。

3. 解释什么是受激辐射过程。

答：物质的原子都有特定的一系列能级，每个能级均与原子的某一状态相对应。

在高能级E2上有原子存在，如果一个外来的入射光子的能量等于相应的高能级与低能级E1的能量差hv=E2-E1，入射光子的电磁场就会引发原子从高能级跃迁到低能级上，同时放出一个与入射光子的频率、相位、偏振方向和传播方向都完全相同的光子，这就是受激辐射。

4. 解释“能级的寿命”和“亚稳态”概念。

答：物质的原子都有特定的一系列能级，每个能级均与原子的某一状态相对应。

假设处于某能级E2的原子数为N2(t)，则如果没有其他过程，N2(t)将按指数迅速衰减。

E2能级上的原子数减少到原来的1/e所需要的时间τ，称为原子在E2上的平均寿命，或简称为能级的寿命，能级的寿命是该能级上的原子数减少到原来的1/e（约37%）所经历的时间。

“能级的寿命”这一概念对激光的研究也是很重要的，各原子的各个能级的平均寿命与原子结构有关。

高等代数(北大版)第6章《线性空间》习题解答

第六章线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M NL ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x MN ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故（L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。

数理经济学第6章课后题答案

第六章习题答案1．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≤+=0,1..max 2121211x x x x t s x y 用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：可行域为OAB利用图解法求的均衡点为)0,1(B ，1max =y对于)0,1(B 来说，有112221≤=+x x ，因此该约束规格是紧的。

构建拉格朗日函数 )1(),,(2221121-++=x x x x x L λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-+≥=-+==∂∂=+=∂∂01,00)1(020212221222122211x x x x x x L x x x Lλλλ⇒)0,1(B 符合T K -条件2．考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=0,0..min 212211x x x x t s x y用图解法解此题。

并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的BA Ox 1x 2构建拉格朗日函数 )(),,(221121x x x x x L -+=λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(0021221221211x x x x xL x x Lλλλλ⇒)0,0(o 符合T K -条件3. 考虑如下最优化问题⎩⎨⎧≥≥-=00..min 22311x x x t s x y检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩—塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为)0,0(o ，0min =y求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 )(),,(231121x x x x x L -+=λλx 1Ox 2x 2x 1⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥=-==∂∂=+=∂∂0,00)(00312312312211x x x x x L x x L λλλλ⇒)0,0(o 不符合T K -条件4．写出下面优化问题的一阶必要条件⎩⎨⎧>≤++--=0,,2..),,(max 222z y x z y x t s z y x z y x f解：)2(),,(22221-++---=z y x z y x x x L λλ一阶必要条件为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++≥=+-=∂∂=+-=∂∂=-=∂∂0)2(,0021021021222z y x z z Ly y L x xL λλλλλ5．求解下面最优化问题（1）⎩⎨⎧≥≤+++0,122..4max 22y x y x t s y x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥--≥-+=0,160..min 212212121x x x x x x x t s x x y（3）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥+++=0,,302105..10540min 3213121321x x x x x x x t s x x x y （4）⎩⎨⎧>>≤+-=0,04..),(max 21222122121x x x x t s x x x x f （5）⎩⎨⎧≥≤+=0,16..max 212121x x x x t s x x y 解：（1）22(,,)4(221)L x y x x y x y λλ=++-+-一阶必要条件为：2120820(221)00,221Lx xL y y x y x y λλλλ∂⎧=+-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪+-=⎪⎪≥+≤⎩解得314,,1055x y λ=== （2）图解法可行域为314,,1055x y λ===，均衡解点(1,1) min 2A y = (3) 12312123112213(,,,,)40510(105)(302)L x x x x x x x x x x λλλλ=+++--+--一阶必要条件为：x 1BCAx 212112231122131212134052050100(105)0(3023)0,0,510230Lx L x L x x x x x x x x x λλλλλλλλ∂⎧=--≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎪∂⎪∂⎪=-≥⎨∂⎪--=⎪⎪--=⎪⎪≥+≥⎪+≥⎩ (4) 222121212(,,)(4)L x x x x x x λλ=--+-一阶必要条件为：1122222122212120220(4)00,4Lx x L x x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=--=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得1212,0,4x x λ===(5) 121212(,,)(16)L x x x x x x λλ=-+- 一阶必要条件为：2112121200(16)00,16Lx x L x x x x x x λλλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪+-=⎪≥+≤⎩ 解得128x x λ===6．考虑如下最优化模型⎩⎨⎧≥≥---=0,0)1(..max 213121x x x x t s x y 证明：（1）均衡解()()12,1,0x x **=不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数00≥λ，把拉格朗日函数修改成如下形式()()[]n i i mi i n x x x g r x x x f Z ,,,,,,2112100 -+=∑=λλ，则在点()0,1处满足库恩-塔克条件。

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设即.M x N x M x ∈∈∈或且L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则若).(,L N M x M x I Y ∈∈则若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.(5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:),(),(),(2121212211a a b b a a b a b a +++=⊕,)2)1(,(),(211111a k k kb ka b a k -+=ο. (6) 平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法: k =0. (7) 集合与加法同(6), 数量乘法为k =.(8) 全体正实数R +,加法和数量乘法定义为: a b=ab , ka=a k .(1) 否. ,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式. 取f (x )=x n , g (x )=x n -1. 则f (x )+g (x )=-1不再是n 次多项式.(2) 是. 因为集合]}[)(|)({x R x f A f V ∈=作为n 级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3) 是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称(反对称,上三角)矩阵.(4) 否. 设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量, =(a,b)0. 取=(a+1,b),=(a-1, b), 则 , V, 但是,+V.(5) 证明: 10显然V 非空.02 2个代数运算封闭.03 先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+22211(2))2k l kl k l a ++-- 221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o (8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间(6) 否. 不满足定义3之(5): 1100αααα==≠Q ，但这里。

李景宁版有机化学第六章习题解答

Br
H
CH2CH2CH3
CH2CH2CH3
S
R
3-溴-己烷
（2S，3R）（2R，3S）（2S，3S）（2R，3R） 3-溴-2-丁醇
meso forms
racemic forms
meso forms
racemic forms
meso forms
racemic forms
7、写出下列化合物的费歇尔投影式。
个C均得(Ⅱ),而丛(Б)的反面进攻环上的两个C均得Ⅱ 的对映体Ⅲ ,
反应的立体化学过程如下：
H
CH3
HO C
H
CH3
C + HOCl
H
CH3
C Cl
HO
C Cl
H3C
H
C
H3C
H
CH3
C
H
CH3 HO
H
CH3
C Cl HO C
HO
H
H3C
H
Cl
H
CH3
CH3
H
Cl
H
OH
旋转180oC
CH3
H
Cl
H
*
*
有手性碳有手性
3、写出分子式为C3H6DCl所有构造异构体的结构式，在这些化合物中那些具有手性？用投影式表示它们的对映异构体。
(1) CH3CH2*CHDCl (2) CH3CDClCH3 (3) CH3C* HDCH2Cl
(4) CH2ClCH2CH2D (5) CH3C* HClCH2D
H
CHl O
H
CH3
Cl
H
HO
H
CH3
2S,3R
（5）

2020年同济大学线性代数第六版第六章《线性空间与线性变换》同步练习与解析

第六章线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.(1) 2阶矩阵的全体S 1;解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B)∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε 是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解设⎪⎭⎫⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+,2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3. 解设A , B ∈S 3, 则A T=A , B T=B . 因为 (A +B)T=A T+B T=A +B , (A +B)∈S 3, (kA)T=kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解设V ={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T, r 2=(-1, 0, 1)T, 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T∉V , 即V 不是线性空间.3.在线性空间P[x]3中，下列向量组是否为一个基？（1）Ⅰ：1+x,x+x 2,1+x 3,2+2x+x 2+x 3（2）Ⅱ：-1+x,1-x 2,-2+2x+x 2,x 34. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T, α2=(6, 3, 2)T, α3=(3, 1, 0)T下的坐标. 解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T.5. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T, α2=(2, 3, 3)T, α3=(3, 7, 1)T; β1=(3, 1, 4)T, β2=(5, 2, 1)T, β3=(1, 1, -6)T. 试求坐标变换公式.解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .6. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T, e 2=(0,1,0,0)T, e 3=(0,0,1,0)T, e 4=(0,0,0,1)T; α1=(2,1,-1,1)T, α2=(0,3,1,0)T, α3=(5,3,2,1)T, α3=(6,6,1,3)T. (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T在后一个基下的坐标; 解因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).7.设线性空间S1中向量（2阶矩阵的全体S 1），a 1=(1210),a 2=(−1−111),b 1=(1331),b 2=(2−141)，（1）.问b 1能否由a 1， a 2线性表示；b 2能否由a 1， a 2线性表示；（2）.求由向量组a 1， a 2 ，b 1 ，b 2所生成的向量空间L 的维数和一个基。

线性空间习题解答

第六章线性空间习题解答 P267.1 设M N,证明 :MNM ,M N N证明 : 一方面 M NM . 另一方面 , 由于 M M ,M N, 得 MM N.2 证明: (1) M (N L) (M N ) (M L).(2) M (N L) (M N) (M L)证明: (1) 设x M (N L), 则x M 且x N L. 即 x M 且x N 或 x M且 x L. 于是有x(M N ) (M L).另一方面 , 因为 MN M (NL), M L M (N L), 所以(M N) (M L) M (N L).(2) 一方面, M (N L) M N, M (N L) M L), 所以M (N L) (M N) (M L).另一方面 , x (M N) (M L), 则x M N 且x M L.若 x M ,则x M (N L). 若 x M ,则x N 且x L. 所以 x N L. 总之有x M (N L),所以 (M N ) (M L) M (N L) .3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间 . (1) 次数等于 n(n 1)的实系数多项式的全体 ,对于多项式的加法和数量乘法 . (2) 设 A 是 n n 实矩阵, A 的实系数多项式 f(A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法. (3) 全体 n 级实对称 (反对称 ,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法 . (4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合 ,对于向量的加法和数量乘法. (5) 全体实数的二元数列 ,对于下面定义的运算 :(a 1,b 1) (a 2,b 2) (a 1 a 2,b 1 b 2 a 1a 2 ),k (a 1,b 1) (ka 1,kb 1 k(k 1)a 12).2(6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:k =0.(7)集合与加法同(6), 数量乘法为k = .(8)全体正实数R+, 加法和数量乘法定义为: a b=ab, ka=a k.(1)否. ,因为2个n次多项式相加不一定是n次多项式. 取f(x)=x n, g(x)=x n-1. 则f(x)+g(x)=-1 不再是n次多项式.(2)是. 因为集合V { f (A)| f (x) R[ x]}作为n级实矩阵全体的子集, 关于矩阵的加法和数量乘法封闭.(3)是. 因为实对称(反对称,上三角)矩阵之和或之倍数仍是实对称( 反对称,上三角)矩阵.(4)否. 设V | 为平面上不平行的向量, =(a,b) 0. 取=(a+1,b),=(a-1, b), 则, V, 但是, + V.(5)证明: 1 0显然V非空.20 2 个代数运算封闭.30先设(a1, b2 ), (a2,b2 ),r (a3,b3 ),及k,t R(1) (a2 a1,b2 b1 a2a1)(2) ()r ((a1 a2) a3 ,( b1 b2 a1a2) b3 (a1 a2)a3 (a1 a2 a3,b1 (b2 b 3 a2a3)( r) (a1 (a2 a3),b(b2 (b2 b3 a2a3) a1(a2 a3) (a1 a2 a3,b1 b2 b3 a2a3 a1a2 a1a3) ( )2(3) 0 (0,0), 0 (a1 0,b1 0 a10)(a1,b1)(4) 的负为(a1,a 12b1). ( ) )a1 ( a1), b1 22 b1) a1( a1)) (0,0) 012(5)1 (1 a1,1 b1 21 (1 1)a12) (a1,b1)12(6)k (l ) k (la1,lb12l(l 1)a121 2 1 2...... (kla1,k(lb1 k(k 1)a12) k(k 1)(la1)2)1 12121121 2 2 2=((k+1)a1,(k+l)b 1+ (k2 l2 2kl k l)a12)(kla1 klb kla12 (l 1 (k 1))12=(kla1,klb1+ kl((k 1)a12)=kl12(7)(k+l) =((k+1)a1,(k+l)b1+ (k l)(k l 1)a12)(1) a b=b a=ba (2) (a b) c=(ab)c=a(bc)= a (b c) (3) 零元 0=1, a 0=a1=a11 (4) 负元 -a= ,a (-a)=a =1=0. aa1(5) 1 a=a 1=a (6) k (l a)=k (a 1)=(a 1)k =a lk =(lk) a (7) (k+l) a=a (k+l) =a k a l =a k a l =k a l a (8) k (a b)=k (ab)=(ab)k =a k b k = a k b k= k a k b 故 R +关于做成 R 上的向量空间 .4. 在线性空间中 , 证明: (1) k0=0. (2) k( ) k k证明: (1) 设是线性空间的任一个向量 ,由零向量的性质 +0= ,再由分配律 : k( +0)=k = k +k0, 所以 k0=0.(2) 由(1)得 k( +( ))=k0=0=k +k( ), 得 k( )= k . 所以 k( )=k( +( ))=k + k(- )=k k .5. 证明: 在实函数空间中 , 0, cos 2t, cos2t 是线性相关的 . 证明:cos2t=2cos 2t 1, 所以1 2cos 2t cos2t=0. ∴ 1.cos 2t ,cos 2t 线性相关6. 如果是 f 1,f 2,f 3 线性空间 P[x]中的三个互素的多项式 , 但是其中(ka 1k(8)k( la 1, kb 1 12k(k 1)a 12(b 112)l(ll 2 22 1)a 1 ka 1 la 1) (ka 1 (ka 1 ) k (a 1 a 2,b 1 b 21k(k 2 1k(k 2 2ka 2, kb 1 ka 2,( kb 11)a 121)a 12) 12a 1a 2) (k(a 1 a 2 ), k(b 1 b 2 a 1a 2 2k(k 1)(a 1 a 2)2) 12(ka 1,kb 2 2k(k 1)a 12) 满足 3,故 V 是一个线性空间否. 不满足定义 3 之(5): 1 (ka 2kb 2 12 kb 2 k(k 1)a 2212 (kb 2 k(k 1)a 2212ka 1a 2 k(k (k 2a 1a 2)) 1)a 1a 2 ) (6)，但这里 1 0。

第6章线空间(解答题)(65题)

1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中定义了一个加法运算,在P 和V 的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=ααg ； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在定义了加法和数乘运算之后成为P 上的一个线性空间，V 能否再定义另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？答：有可能．例如，全体二元实数列构成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).定义(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=g ，则V 成为R 上的一个线性空间 2).定义2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+g ，则V 成为R 上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或； 4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--g （）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3）， 4）因为+=0αα-（），所以α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-Q .另一式子可类似证明. 6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--.7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-Q 是方程的解.又若1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.所以方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判断一个非空集合M 不是线性空间有哪些基本方法？答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于定义的某一运算不封闭； 3）M 不满足8条规则中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R 和复数域 C 按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，按照数的加法和乘法，P 构成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个实线性空间.4）分量属于数域P 的全体n 元数组，对于n 元数组的加法与数乘构成P 上的一个线性空间，记作n P .5）无穷实数列的全体：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=L L ，，R ，，对于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈L L L L L ，，，，，，，（，，），k ，构成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全体，对于n 维向量的加法和数乘构成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.8）数域P 上全体n 阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，则全体与A 可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全体满足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++L 的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全体：W={()|()|()}f x g x f x ，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x x x k ++==∑L L L L ，，为正整数的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P 上的线性空间，其中12m k k k a P ∈L .17）对于在区间[,]a b 上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.[,]a b 上的连续实函数全体为其子空间，记作[,]C a b .18）全体形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++L 的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R 上的线性空间.6．下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂=o 5）设P 为有理数域，对整数集定义运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂o .证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠o 不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=o 而5k l ∂⊕∂=o o .故()k l +∂o ≠（k l ∂⊕∂o o ），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥L ，如果存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=L ，使得()11220s s k a k a k a +++=L ，（1）那么称向量组1,,s a a L 是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一. ○21,,sa a L 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===L 成立.8.设1,,n ααL 线性相关,是否对任意一组不全为零的1,,n k k L 都有110n n k k αα++=L ？答:不一定，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？答：设12,,,,m αααβL 都是数域P 上的n 维向量，如果有P 中的m 个数1,,m k k L ，使1122m m k k k βααα=+++L ，那么称β是12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由12,,,m αααL 线性表出（线性表示）. 如果向量组12,,,r αααL 中每个向量都可以由向量组12,,,s βββL 线性表出，且12,,,s βββL 中的每个向量都可以由12,,,r αααL 线性表出，那么称向量组12,,,r αααL 与向量组12,,,s βββL 是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？答：是的.不难证明以下三条成立：1）反身性：每一个向量组都与自身等价.2）对称性：如果12,,,r αααL 与12,,,s βββL 等价，那么12,,,s βββL 也与12,,,r αααL 等价.3）传递性：如果12,,,r αααL 与12,,,s βββL 等价，而12,,,s βββL 与12,,,t γγγL 等价，那么12,,,r αααL 与12,,,t γγγL 等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？答：容易证明的有：1）零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2）单个非零向量是线性无关的.3）设向量组()12,,,2m m ααα≥L ，则它们线性相关⇔至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4）向量组()I 中如果有部分向量线性相关，则()I 一定线性相关. 5）向量组()I 线性无关，则()I 的任意一个部分组必线性无关.6）向量组12,,,r αααL 可以由向量组12,,,s βββL 线性表出，则12,,,r αααL 线性无关r s ⇔≤.7）任意1n +个n 维向量必线性相关.8）两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈L ()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=L L ，则12,,,m αααL 线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==L .7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=L L L ，令()1,,i ik βαα=L ()1,2,,i m =L 则 1）若12,,,m αααL 线性相关⇒12,,,m βββL 线性相关；2）若12,,,m αααL 线性无关⇒12,,,m βββL 线性无关.证：1）若存在不全为零的数1,,m l l L ，使110m m l a l a ++=L ，则当然有110m m l l ββ++=L .2）用反证法.若12,,,m αααL 线性相关，则由1）知12,,,m βββL 也线性相关，矛盾.13.如果12,,,m αααL 线性无关，但12,,,,m αααβL 线性相关，那么β可由12,,,m αααL 线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +L 使1110m m m k k k ααβ++++=L .若10m k +=，则由110m m k k αα++=L ，可证10m k k ===L .这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++L ，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=L .即β可由12,,,m αααL 线性表出.若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++L L ，则()()1110m m m l s l s αα-++-=L .由12,,,m αααK 线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==L ，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？答：如果向量组的一个部分组满足 1）此部分组线性无关；2）原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，则β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n ααL ，1,,s V ββ∈L ，且1,,n ααL 线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=L L ，其中(),ij ij n sA P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =L ，其中1,,s c c L 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c L 为()1,,s A c c =L 的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==L L . （2） ○1先证1,,i ik ββL 线性无关.设110i k ik l l ββ++=L ，那么110i k ik l l ββ=++L()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++L L L()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα=L L （3）因为12,,,n αααL 线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c =L （4）在n P 中，1,,i ik c c L 线性无关，由（4）知10k l l ===L . ○2其次，再任取{}12,,,s ββββ∈L ，那么i c 可由1,,i ik c c L 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++L ，于是()12,,,i n i c βααα=L()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++L L()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++L L L11i k ik m m ββ=++L .综合○1、○2，即知1,,i ik ββL 为1,,s ββL 的一个极大线性无关组. 2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=L 秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求n P 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()111221221031213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，所以向量组,,,,A B C D F 的秩等于3.20.设1,,s ααL 的秩为r ，1,,ri iααL 是1,,s ααL 中r 个向量，使得1,,s ααL 中每个向量都可被它们线性表出，则1,,ri iααL 是1,,s ααL 的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s ααL 可由1,,ri iααL 线性表出，但1,,ri iααL 可由1,,s ααL 线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r ααααL L 秩秩.1,,r i i αα∴L 线性无关.21.如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈L ，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==L L L 可被它们线性表出，则12,,,n αααL 线性无关.证：1,,n ααL 显然可被1,,n εεL 线性表出，又1,,n εεL 可被1,,n ααL 线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεεL L 秩秩.即知1,,n ααL 线性无关. 注：○1这个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改为：设1,,n ββL 为V 的一组基，1,,r V αα∈L 且1,,n ββL 可由1,,n ααL 线性表出，则1,,n ααL 也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n ααL 是线性空间V 中的一组n 维向量，则1,,n ααL 线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组.证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s αααL ，如果()I 中每个向量可经()II 线性表出，则()II 为()I 的一个极大无关组.否则至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，则()III 中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m αααL 线性无关，12,,,,,m αααβγL 线性相关.证明：或者β与γ中至少有一个可由12,,,m αααL 线性表出，或者12,,,,m αααβL 与12,,,,m αααγL 等价. 证：因12,,,,,m αααβγL 线性相关，所以存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c L 使110m m k k b c ααβγ++++=L .显然，,b c 不全为零，否则与12,,,m αααL 线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m αααL 线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγL 线性表出，γ可由12,,,,m αααβL 线性表出，因而12,,,,m αααβL 与12,,,,m αααγL 等价.25.设12,,,n n P ααα∈L 且线性无关，则12,,,n A A A αααL 线性无关⇔()=A n 秩.其中A 是数域P 上的n n ⨯矩阵.证：令()12,,,n B ααα=L .因1,,n ααL 线性无关，所以0B ≠. 必要性设12,,,n A A A αααL 线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠L L .所以0A ≠，即()=A n 秩.充分性设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠L L .所以12,,,n A A A αααL 线性无关.26. 设向量组12,,,s αααL 的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i αααL，则{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-L 秩.证：设12,,,m i i i αααL的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s ααL 的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s ααL 除向量组1,,m i i ααL 外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++L ，213r βααα=+++L ，L ，121r r βααα-=+++L ，则 1）1,,r ββL 与1,,r ααL 有相同的秩；2）1,,r ααL 的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββL L 的极大线性无关组. 证：1）由假设知1,,r ββL 可由1,,r ααL 线性表出.但是()()1212+=1r r r βββααα++-+++L L()()12121=+1r r r αααβββ+++++-L L （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩---L L L L L L L L L L L 即1,,r ααL 也可由1,,r ββL 等价，所以{}{}11,,,,r r r ββαα=≤L L 秩秩.2）由1）知1,,r ααL 与11,,,,,r r ααββL L 等价，可知1,,r ααL 的一个极大线性无关组就是11,,,,,r r ααββL L 的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s ααL 中10α≠且每个()2,3,,i i s α=L 都不能由11,,i αα-L 线性表出，则1,,s ααL 线性无关.证：用反证法.如果1,,s ααL 线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k L 使1122=0s s k k k ααα+++L （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===L ，则（1）式为1122=0l l k k k ααα+++L .因10α≠，所以1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----L .即l α可由121,,,l ααα-L 线性表出，此与题设矛盾.所以1,,s ααL 线性无关.29.如果()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，则()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式就是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，所以()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m αααL 线性无关，则122311,,,,m m m αααααααα-++++L 线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+L ，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=L L ，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L O O M M O O L 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββL 线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m αααL 线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，则1）等式1122=0m m k k k ααα+++L 中的系数()1,,i k i m =L 或者全为0，或者全不为0. 2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++L （1） 1122=0m m l l l ααα+++L （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212m mk k k l l l ===L . 证：1）当()1,,i k i m =L 全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一般性，设10k =.此时其余的()2,,i k i m =L 都不为0.若等式化为()100j jj ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2）由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l L 均不为0.如果()1,,i k i m =L 全为0，那么结论成立.否则i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=g L .由1），因1α的系数为0，所以2,,m ααL 的系数全为0，即1212110m m l k k l l k k l =-==-L ，即1212m mk k k l l l ===L .32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 施行初等变换为阶梯型矩阵B ：121212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方法可以找到向量间的全部极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，所以134,,ααα为一极大无关组.解3（逐一扩充法）因10α≠，所以1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），所以3α不收入.再观察124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，所以124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，所以124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：如果数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n αααL ，而且V 中每个向量都可以由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n αααL 生成（或张成）线性空间V .12,,,n αααL 为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.如果V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无限维线性空间，记为dim V =∞.如果{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，实际上就是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n ααL ，取()ij n n A α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =L ，其中1,,n c c L 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=L ()1,2,,i n =L 则可知1,,n ββL 也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是互相等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是互相等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，则1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，则dim P =∞.事实上，21,,,ππL 是线性无关的.因为如果21,,,,nπππL 线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,nπππL 都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全体正实数R +，定义a b ab ⊕=，k k a a =o ，则R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==g ，即α可由β线性表出，所以是一维的.5）数域P 上的全体n 元数组构成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=L ，()20,1,,0ε=L ，L ，()0,,0,1n ε=L 是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全体m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，则()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==L L 为m nP⨯的一组基.8）实数域上全体n 级实对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全体n 级反对称矩阵构成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全体n 级上三角矩阵构成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全体形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）构成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，所以线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=L 为一组基.12）全体n n A P ⨯∈且满足0trA =（A 的迹为0）的矩阵构成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =L 为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全体加上零多项式构成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x-L 为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----L 是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,m mm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑L L L L 为正整数和零多项式构成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!L ，1212m kk km x x x L1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数实际上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++L 展开后不同类的项数：()()()()1111211n n m m n m n m n n n m C C C m -+-+-+++-===-!L .16）分量属于复数域的全体n 元数组构成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=L ，()20,1,,0ε=L ，L ，()0,,0,1n ε=L ，()11,0,,0η=L ，()20,1,,0η=L ，L ，()0,,0,1n η=L 为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L ααK 的维数等于1,,m ααK 的秩，1,,m ααK 的任一极大无关组都是()1,,m L ααK 的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中2100100,200A ωωω⎛⎫-+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.解：因为2ω=，31ω=，所以21,3;,31;,3 2.n n k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，所以方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，所以V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全体构成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100k kn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L . （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n k n n k nn n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.所以方程组有唯一解011,,,n k k k -L .这就证明了（1）. 再令10110n n k E k A k A --+++=L （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，所以只有零解：0110n k k k -====L ，说明1,,,n E A A-L 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A-L 的线性组合，所以dim V n =，21,,,,n E A A A -L 为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m αααL 的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无限维时，V 也是无限维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基.证：1) ()0=00V ∈Q L ，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封闭，且满足定义中的8条规则，所以V 是域P 上的线性空间.2）当V 是无限维时，取12,,,n βββL 为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=L ()1,2,,i n =L ，则12,,,n ηηηL 线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无限维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =.事实上，设12,,,n εεεL 为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=L ，()20,,,0i i ηε=L ，L ，()0,0,,ni i ηε=L ，1,2,,i n =L ，则这个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈L ，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑L ，所以()1212111,,,,,,m n n nm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑L L()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑L L L L 1122111nn ni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑L .即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==L L 线性表出，所以它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n ααL 为V 的一组基.设V β∈，则()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭L L M .称()1,,n k k L 为β在基1,,n ααL 下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一般是不相同的.○2同一个β，当基1,,n ααL 排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3这里的坐标概念是解析几何中坐标概念的推广.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n ααL 相当于建立一个坐标系.β的坐标()12,,,nn k k k P ∈L ，相当于β在坐标系12,,,n αααL 下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出定义.设1,,n ααL 与1,,n ββL 为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=L ，1,2,,k n =L . （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭L M .把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=L L . （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈L .称A 为基1,,n ααL 到基1,,n ββL 的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式. 注：○1如果0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=L L ，（3）即1A -为基1,,n ββL 到基1,,n ααL 的过渡矩阵.○3求1,,n ααL 到1,,n ββL 的过渡矩阵A ，只要求出每个i β在基1,,n ααL 下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？答：设1,,n ααL 与1,,n ββL 为V 的两组基，由基1,,n ααL 到基1,,n ββL 的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n ααL 下的坐标为()1,,n x x L .设γ在基1,,n ββL 下的坐标为()1,,n y y L ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭M M . （1）公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n ααL 为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++L L 也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n ααL 下的坐标为(),1,,2,1n n -L 时，求α在基1,,n ββL 下的坐标. 证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=L L ，其中1101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L OM ，1A =，所以1,,n ββL 线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββL 下的坐标为()1,,n x x L ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O O M M O M.43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，所以()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫ ⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1）于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2）又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭，（3）将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 所以100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩分别是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 以及由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 分别为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，则121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算（加法和数量乘法）也构成线性空间，则称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的平凡子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的平凡子空间，V 除平凡子空间外的子空间（如果存在的话），称为V 的非平凡子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=L L L构成V 的一个子空间，称为由1,,m ααL 张成（或生成）的子空间.注：这一记号非常重要.设V 是n 维的，若()1,,n V L αα=L ，则1,,n ααL 为V 的一组基.48.怎样判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，则W 为V 的子空间的充要条件是：W 对于V 的两种运算是封闭的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2可以合并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些主要结论？答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=L L 的充分必要条件是1,,s ααL 与1,,t ββL 等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=L L L L . 3）()1,,s L ααL 的维数{}1,,s αα=L 秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些? 答：1）V 的两个平凡子空间.2）全体实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，则其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V 的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特征值λ的特征向量的全体添上零向量是V 的特征子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，则()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是n P 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εεL 为数域P 上线性空间V 的一组基，m nA P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈L 则()'11|,,0n i i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑L 是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =L L 即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭L M ，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭L M ，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ，10n d A d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M . 12,k k P ∀∈，则()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L M M ，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M M M M .所以12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，则1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，则IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合交换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 分别为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 分别为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，则312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，则{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一般的，设1,,n V V L 都是V 的子空间，它们的和空间定义为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=L L L .注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，则I W V λλ∈⊆⋂. ○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，则12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价（i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=，（iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，则1V È2V =1V +2V Û1V Í2V 或2V Í1V 。

2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第六章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

第六章　第3节1．已知命题p ：a ，b 为异面直线，命题q ：直线a ，b 不相交，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [若直线a ，b 不相交，则a ，b 平行或异面，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. ]2．如图是某个正方体的侧面展开图，l 1，l 2是两条侧面对角线，则在正方体中，l 1与l 2( )A ．互相平行 B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为D ．相交且夹角为π3π3解析：D [将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合．故l 1与l 2相交，连接AD ，△ABD 为正三角形，所以l 1与l 2的夹角为.故选D.]π33．(2019·泉州市模拟)设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A ．存在唯一直线l ，使得l ⊥a ，且l ⊥bB ．存在唯一直线l ，使得l ∥a ，且l ⊥bC ．存在唯一平面α，使得a ⊂α，且b ∥αD ．存在唯一平面α，使得a ⊂α，且b ⊥α解析：C [a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A 不正确；由l ∥a ，且l ⊥b ，可得a ⊥b ，与题设矛盾，故B 不正确；由a ⊂α，且b ⊥α，可得a ⊥b ，与题设矛盾，故D 不正确．故选C. ]4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图形是( )A ．三角形 B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：D [如图所示，作RG ∥PQ 交C 1D 1于G ，连接QP 并延长与CB 延长线交于M ，且QP 反向延长线与CD 延长线交于N ，连接MR 交BB 1于E ，连接PE ，则PE ，RE 为截面与正方体的交线，同理连接NG 交DD 1于F ，连接QF ，FG ，则QF ，FG 为截面与正方体的交线，∴截面为六边形，故选D.]5．(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.3215510533解析：C [M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则AB 1，BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角(异面线所成角为)，可知MN ＝AB 1＝，NP ＝BC 1＝，(0，π2]12521222作BC 中点Q ，则可知△PQM 为直角三角形．PQ ＝1，MQ ＝AC, 12△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝4＋1－2×2×1·＝7，AC ＝，(－12)7则MQ ＝，则△MQP 中，MP ＝＝，72MQ 2＋PQ 2112则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP＝＝－(52)2＋(22)2－(112)22·52·22105又异面直线所成角为，则余弦值为.故选C.](0，π2]1056．如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件______时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件______时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且12EF ＝AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足12EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD7．(2019·安庆市二模)正四面体ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：如图，连接CF ，取BF 的中点M ，连接CM ，EM ，则ME ∥AF ，故∠CEM 即为所求的异面直线AF 、CE 所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD 中，AF ＝＝CE ＝CF ，EM ＝，CM ＝，332132∴cos ∠CEM ＝＝.34＋3－1342×32×316答案：168.如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM 与ED 为异面直线，故命题①不成立；而CN 与BE 平行，故命题②不成立．∵BE ∥CN ，∴CN 与BM 所成角为∠MBE .∵∠MBE ＝60°，故③正确；∵BC ⊥平面CDNM ，∴BC ⊥DM ，又∵DM ⊥NC ，∴DM ⊥平面BCN ，∴DM ⊥BN ，故④正确，故填③④.答案：③④9．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线；(3)DE ，BF ，CC 1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A 1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C 与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.。

2020届新高考艺术生数学复习冲关训练：第六章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

第六章第3节1．已知命题p ：a ，b 为异面直线，命题q ：直线a ，b 不相交，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [若直线a ，b 不相交，则a ，b 平行或异面，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. ]2．如图是某个正方体的侧面展开图，l 1，l 2是两条侧面对角线，则在正方体中，l 1与l 2( )A ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为π3D ．相交且夹角为π3解析：D [将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B ，C 两点重合．故l 1与l 2相交，连接AD，△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为π3.故选D.]3．(2019·泉州市模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是() A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α解析：C[a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a ⊥b，与题设矛盾，故D不正确．故选C. ]4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体过P，Q，R的截面图形是()A．三角形B．四边形C ．五边形D ．六边形解析：D [如图所示，作RG ∥PQ 交C 1D 1于G ，连接QP 并延长与CB 延长线交于M ，且QP 反向延长线与CD 延长线交于N ，连接MR 交BB 1于E ，连接PE ，则PE ，RE 为截面与正方体的交线，同理连接NG 交DD 1于F ，连接QF ，FG ，则QF ，FG 为截面与正方体的交线，∴截面为六边形，故选D.]5．(2017·全国Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32 B.155 C.105 D.33解析：C [M ，N ，P 分别为AB ，BB 1，B 1C 1中点，则AB 1，BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角(异面线所成角为⎝⎛⎦⎤0，π2)，可知MN ＝12AB 1＝52，NP ＝12BC 1＝22，作BC 中点Q ，则可知△PQM 为直角三角形．PQ ＝1，MQ ＝12AC,△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC＝4＋1－2×2×1·⎝⎛⎭⎫－12＝7，AC ＝7，则MQ ＝72，则△MQP 中，MP ＝MQ 2＋PQ 2＝112，则△PMN 中，cos ∠PNM ＝MN 2＋NP 2－PM 22·MN ·NP＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫11222·52·22＝－105又异面直线所成角为⎝⎛⎦⎤0，π2，则余弦值为105.故选C.] 6．如图所示，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件______时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件______时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使平行四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BD AC ＝BD 且AC ⊥BD7．(2019·安庆市二模)正四面体ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：如图，连接CF ，取BF 的中点M ，连接CM ，EM ，则ME ∥AF ，故∠CEM 即为所求的异面直线AF 、CE 所成的角．设这个正四面体的棱长为2，在△ABD 中，AF ＝3＝CE ＝CF ，EM ＝32，CM ＝132， ∴cos ∠CEM ＝34＋3－1342×32×3＝16.答案：168.如图所示，是某正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE.∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥平面CDNM，∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥平面BCN，∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.答案：③④9．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明：(1)如图所示．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF ∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)∵EF∥BD且EF<BD，∴DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三线交于点M.10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接AC，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C 与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由(1)知AC∥A1C1.∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即所求角为90°.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.。

第六章-空间解析几何要求与练习（含答案）

第六章-空间解析⼏何要求与练习（含答案）第六章要求与练习⼀、学习要求1、理解空间直⾓坐标系，理解向量的概念及其表⽰.2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平⾏的条件.掌握单位向量、⽅向数与⽅向余弦、向量的坐标表达式，以及⽤坐标表达式进⾏向量运算的⽅法.3、掌握平⾯⽅程和直线⽅程及其求法，会利⽤平⾯、直线的相互关系（平⾏、垂直、相交等）解决有关问题.7、了解空间曲线在坐标平⾯上的投影，会求其⽅程.⼆、练习1、⼀向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求（1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量；（2）AB 的模；（3）AB 的⽅向余弦；（4）AB ⽅向上的单位向量.解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的分向量2k ；（2）AB =；（3）AB；（4）AB 382)i j k -++. 2、设向量a 和b 夹⾓为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -.解：()2220||||||2||||cos60a b a b a b a b +=+=++=()2220||||||2||||cos60a b a ba b a b -=-=+-=7.3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求（1）平⾏于向量a 的单位向量；（2）向量b 的⽅向余弦.解（1）2223a =+=平⾏于向量a 的单位向量221{,,}333±；（2）2849b =+=，向量b 的⽅向余弦为：841,,999-.4、⼀向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求（1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影；（3）以a 、b 为边的平⾏四边形的⾯积以及夹⾓余弦. 解（1）()6,1,10,137c a b c =?=--=，06,1,10)c ±--；（2）()cos ,17a b a b a b==；（3）()sin ,137S a b a b a b =?=?=()4cos ,1751a b =； 6、设0a b c ++=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++. 解：()222220a b ca b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-；7、求参数k ，使得平⾯29x ky z +-=分别适合下列条件：（1）经过点(5,4,6)--；（2）与平⾯2433x y z ++=垂直；（3）与平⾯230x y z -+=成4π的⾓；（4）与原点相距3个单位；解：7、（1）2；（2）1；（3）2±；（4）2±； 8、已知平⾯平⾏于y 轴，且过点(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -，求平⾯的⽅程.解：设平⾯⽅程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代⼊求得1,1, 2.A B D ===-该平⾯⽅程为：20x z +-=.9、已知平⾯过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平⾯⽅程.解：设平⾯⽅程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代⼊平⾯⽅程得，1,2,1,A B C ==-=-，该平⾯⽅程为20x y z --=.10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平⾯0x y +=与510y z +-=的平⾯⽅程. 解：两平⾯的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==，所⽰平⾯的法向量为：()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =?=?=-，则所⽰的平⾯⽅程为：540x y z -+-=.11、把直线124x y z x y z -+=??++=?化为对称式⽅程及参数⽅程.解：两平⾯的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=，则直线的⽅向向量为：()()()121,1,12,1,12,1,3s n n =?=-?=-，取直线上⼀点为：(1，1，1)，则直线对称式⽅程为：111,213x y z t ---===-参数⽅程为:12113x ty t z t=-??=+??=+?.解⼆：若取点为：(0，-3/2,5/2) ,则直线对称式⽅程为：3/25/2213x y z --==- ，参数⽅程为:2,3/2,35/2x t y t z t =-=+=+.12、求过点(0,2,4)且与平⾯21x z +=及32y z -=都平⾏的直线⽅程.解：两平⾯的法向量为：()()121,2,2,0,1,3n n ==-，则直线的⽅向向量为：()()()111,2,20,1,32,3,1s n n =?=?-=-，则直线⽅程为：24231x y z t --===-，或2234x ty t z t =-??=+??=+?13、⼀直线过点(2,3,4)A -且和y 轴垂直相交，求其⽅程.解：过点(2,3,4)A -的直线与y 轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的⽅向向量为：(2，0，4)，所以直线⽅程为：231204x y z -++==，即302124y x z +=??-+=. 14．将xoz 坐标⾯上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转⼀周，求所⽣成的旋转曲⾯的⽅程。

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第六章线性空间习题解答P267.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明:,x M x N M x M N M M N x M N x M M N M M N M M N M∀∈⇒∈=⇒∈⇒⊆∀∈⇒∈⇒⊆∴⊆∴=I I I I I I 证：x N x M N N M N x M N x N x M N x N M N N∀∈⇒∈⇒⊂∀∈⇒∈∈⊆⇒∈∴=U U U U 又或 P267.2证：①)()()(L M N M L N M I Y I Y I =②)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =①：(1)()(2)()x x M x N L x M x N x L x M N x M L x x M x N L x M x N x L x M N x M L x ∈⇔∈∈⇔∈∈∈⇔∈∈⇔∈⇒∈⇔∈∈⇔∈∈∈⇔∈∈⇔∈U I I I U U 证：左且且或或右反过来。

证毕证：左或或且且右。

证毕P 267.3①不做成,因为2个n 次多项式相加不一定是n 次多项式,如(1)(2)21u u x x x x x +++-+-=-②做成,因为1122()()(),(()()()()(),(()()f A g A h A h x f x g x kf A h A h x kf x +==+==为多项式)为多项式)③,),)做成.因为实对称(反对称,上三角下三角之和之倍数仍为实对称(反对称,上三角下三角故做成线性空间④不做成,设{}|V ααβ=为平面上不平行的向量⑤不做成,违反定义3.(5)1100αααα==≠Q ，但这里。

取即得矛盾。

P 267.3⑤2111112121212211)1(21,(),(),(),(),(a k k kb ka b a k a a b b a a b a b a -+=+++=⊕ο解:显然V 非空10以及2个封闭的代数运算02验证03先设R t k b a r b a b a ∈===,),,(),,(),,(332221及βα2121211231212312312312323123122323123(1)(,)(2)()((),()()......................(,()....()((),(()().....................a a b b a a r a a a b b a a b a a a a a a b b b a a r a a a b b b b a a a a a αββααβαβ⊕=⊕=+++⊕+=+++++++=+++++⊕⊕=++=+++++=12312323121311111211121111111211111(,)()(3)0(0,0),0(0,00)(,)(4)(,)...........())(),()())(0,0)01(5)1(1,11(11))(,)2a a ab b b a a a a a a r a b a a b a a b a a b a b a a a b a a b αβααααααα+++++++=++=+=+++==-=--⊕-=+-+-+-===+-==o o o o 的负为21112211111(6)()(,(1)211...............(,((1))(1)())22k l k la lb l l a kla k lb k k a k k la αα=+-=+-+-o o o2111((1(1))2kla klb kla l k =++-+-=（kla 1,klb 1+211((1))2kl k a -=kl o α(7)(k+l)o α =（（k+1）a 1,(k+l)b 1+211()(1))2k l k l a ++-=((k+1)a 1,(k+l)b 1+ 22211(2))2k l kl k l a ++--221111111111(,(1)()(1))22ka la kb k k a b l l a ka la =++-++-+⋅k l αα=⊕o o(8)2121212121212121()(,)((),((1)())2k k a a b b a a k a a k b b a a k k a a αβ⊕=+++=++++-+o o 22121122121211(,(1)(1)(1))22ka ka kb k k a kb k k a ka a k k a a =++-++-++-2221211221211(,((1))((1)())22ka ka kb k k a kb k k a k a a =++-++-+2212122211(,(1))((1))22ka kb k k a ka kb k k a αβ=+-⊕+-=⊕满足3,故V 是一个线性空间⑥0, 2.(11). 1. 1.0,ααααααααα∀≠==+=+=+⇒=不做成。

违反分配律，则会有矛盾P 267,3⑧V=R + P=R a ⊕b=ab kk a a =o 解:V 非是①关于⊕o 封闭② 任取a.b.c ,,R k l R +∈∈(1)a ⊕b=b ⊕a=ba(2)(a ⊕b )⊕c=(ab)c=a(bc)=a ⊕(b ⊕c) (3)零元0=1, a ⊕0=a g 1=a(4)负元-a=1a ,a ⊕(-a)=a g 1a=1=0(5)1o a=a 1=a(6)k o (l o a)=k o (a 1)=(a 1)k =a lk =(lk)o a(7)(k+l)o a=a (k+l)=a k g a l =a k ⊕a l=k o a ⊕l o a (8)k o (a ⊕b)=k o (ab)=(ab)k =a k b k = a k ⊕b k = k o a ⊕k o b都成立,故R +关于⊕o 做成R 上的向量空间P 268.4①k0=0 证:设0,0(00)00()0k k k k k ααααααα===+=+=+∴=+-=则即k0=04②()k k k αβαβ-=-0()(1)[1(1)].0.0(1)()((1))(1)(1)()(())k k k k k k k k k k αααααααααβαβαβαβαβαβ=+-=+-=+-==∴-=--=+-=+-=+-=+-=-Q 故P 268,5实函数空间F 中,0是0函数0(x),∀x ∈定义域O(x)=0, 于是k g 1+2cos cos 2l t m t ⋅+⋅ =221cos (2cos 1)k l t m t ⋅++-2()1(2)cos k m l m t =-⋅++可取,m=1,k=1,l=-2,则211(2)cos 1cos 20()t t x ⋅+-+⋅=⋅∴21.cos ,cos 2t t 线性相关P 268.6在P[x]中,0元是0多项式(即系数全为0的多项式) 证:∵123122321(,,)1,(,)1,(,)1,(,)1,f f f f f f f f f =≠≠≠ 设112233()()()0,a f x a f x a f x ++=不妨设10a ≠321231123()()()()()(,)1,a a f x f x f x a a f f ∴--+-≠Q 23被(f(x),f(x))=d(x),那么d(x)整除23,f f 的组合,故1()|(),d x f x 于是有 123()|((),(),())d x f x f x f x 与123(,,)1f f f =矛盾!P268,7①()()()()()1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,14321=--=--=--==ξεεεε 设11223344x x x x ξεεεε=+++得方程解1122134111111111411121111211111111114111111111x A E x x A A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---∴= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=414141451115411121111111111111111141 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--41,41,41,45268123411223344123123424124.7.(2)(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1)(0,0,0,1),01210012100011110010100301000110110P x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεξξεεεε====--==+++++=⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪+++=-⎪⎪ ⎪→⎨⎬⎪-+=⎪⎪⎪⎪⎪-+==⎝⎭⎩⎭，设得123412310011111012010001100010101001010010000002000121001010012100010000101,0,1,0(1,0,1,0)x x x x ξεε⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪---⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=∴=--唯一解得在此基下的坐标为 P 268.8①n n P ⨯的一组是2,.1,2,...,,ij E i j n n =共有个(矩阵)元素它们线性无关,10()0,,0nij ij ij ij i j a E A a i j a ==⇒==⇒∀=∑Q且任何,1(),nn nij ij ij i j B b P B b E ⨯==∈=∑则2dim ,,,1,2,...,n n ij P n E i j n ⨯==它的一个基是8②n n P ⨯中全体对称矩阵集合S(P),它的一个基是,ij ji E E i j +≤ 1dim ()(1)2S P n n =+n n P ⨯中全体对称矩阵集合K(P),它的一个基是,ij ji E E i j -<1dim ()(1)2K P n n =-n n P ⨯中全体上(),,ij U T E i j ≤三角矩阵集合它的一个基是1dim ()(1)2U T n n =+n n P ⨯中全体真下(),,ij D T E i j +>三角矩阵集合它的一个基是1dim ()(1)2D T n n =-8②中,,10,1,a a a IR θ+>≠∈零元是，取一个则,log (lg .lg k a b R k b b k a a b k a +∀∈===⇒=Q o 那么取log (log )dim 1a ba Rb b a a a R R ++∴===o 所以是的一个基26821.8(4),()()[],,P V f A f x R x A ωωω⎧⎛⎫⎪⎪=∈==⎨ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩解：因为ω3=1所以22234111.11A A E ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故任设()()2012[],n n f x R x f x a a x a x a x ∈=++++L则()()()()2036147258f A a a a E a a a A a a a A =+++++++++++L L L 故()2210A b A b E b A f ++=∴E,A,A 2可表示V 中所有元素。

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