7[1].4.3反比例函数与一次函数综合.题库学生版

板块
考试要求 A 级要求
B 级要求
C 级要求
反比例函数 能结合具体问题了解反比例函数的意义；
能画出反比例函数的图象； 理解反比例函数的性质
会根据已知条件确定反比例函数的解析式； 能用反比例函数的知识解决有关问题
能用反比例函数解决某些实际问题
一、反比例函数的定义
函数k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.
二、反比例函数的图象
反比例函数k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)的图像由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图像属于双曲线.
反比例函数k y x =与k
y x
=-(0k ≠)的图像关于x 轴对称，也关于y 轴对称.
三、反比例函数图象的性质
反比例函数k
y x
=
(k 为常数，0k ≠)的图像是双曲线； 当0k >时，函数图像的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；
当0k <时，函数图像的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大.
注意：
⑴反比例函数k
y x
=(0k ≠)的取值范围是0x ≠．因此，
①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，
如当0k >时，双曲线k
y x
=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．
这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．
如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．
⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．
⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．
中考要求
知识点睛
反比例函数与一次函数综合
一、反比例函数与一次函数综合
【例1】 已知直线1y k x =(10k ≠)和双曲线2
k y x
=
(20k ≠)的一个交点是(2-，5)，求它们的另一个交点坐标．
【例2】 直线()0y ax a =>与双曲线3
y x
=
交于()()1122A x y B x y ，、，两点，则122143x y x y -= ．
【例3】 已知正比例函数与反比例函数图象交点到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，求它们的解析式．
【例4】 若一次函数3y x b =+和反比例函数3
b y x
-=的图像有两个交点，当b =______时，有一个交点的
纵坐标为6.
【例5】 如图，直线43y x =与双曲线()0k y x x =>交于点A ．将直线43y x =向右平移9
2
个单位后，与双曲
线()0k y x x =>交于点B ，与x 轴交于点C ，若2AO BC
=，则k =_________．
C
A
B
O
y
x
【例6】 已知一次函数y kx b =+(0k ≠)的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与反比例函数
m
y x
=(0m ≠)的图象在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D .若1OA OB OD ===，
（1）点A 、B 、D 的坐标；
（2）求一此函数与反比例函数的解析式.
x
y
O
C B A D
【例7】 在平面直角坐标系Oxy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90︒得到直线l ．直线l 与反比例函数
k
y x
=的图像的一个交点为()3A a ，
，试确定反比例函数的解析式．
例题精讲
【例8】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数
k
y x
=的图象的一个交点为()2A a ，
，则k 的值等于 ．
【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x =-绕点O 顺时针旋转90的到直线l .直线l 与反比例函数
k
y x
=的图象的一个交点为()3A a ，
，试确定反比例函数的解析式.
【例10】 已知反比例函数k
y x
=(0k <)的图像经过点A
(m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且AOB
∆
（1）求k 和m 的值．
（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求:AO AC 的值．
【例11】 如图，反比例函数k
y x
=
的图像与一次函数y mx b =+的图像交于()13A ，
，()1B n -，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图像回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【例12】 如图7，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数2k
y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点()13A ，
． （1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．
【例13】 如图，已知()()424A B n --，
，，是一次函数y kx b =+的图象与反比例函数的图象的两个交点. （1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围．
【例14】 如图，已知：一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m
y x
=
的图像交于A 、B 两点. （1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 取值范围．
A
【例15】 如图，已知()()424A n B --，
，，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m
y x
=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积；
（3）求方程0m
kx b x
+-=的解（请直接写出答案）；
（4）求不等式0m
kx b x
+-
=的解集（请直接写出答案）
.
【例16】 利用图象解一元二次方程230x x +-=时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛
物线2y x =和直线3y x =-+，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程230x x +-=，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y = 和直线y x =-，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数6y x =-的图象（如图9所示），利用图象求方程6
30x x
-+=的近似解（结果保留
两个有效数字）．
（图9）
（图9）
【例17】 如图，是一次函数y kx b =+与反比例函数2y x =
的图像，则关于x 的方程2
kx b x
+=的解为（ ）
A ．1212x x ==，
B ．1221x x =-=-，
C ．1212x x ==-，
D ．1221x x ==-，
【例18】 已知一次函数与反比例函数的图象交于点P (3-，m )，Q (2，3-)．
（1） 求这两个函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系(如图)中，画出这两个函数的大致图象；
（3）x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？x 为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
【例19】 已知正比例函数1y k x =1(0)k ≠与反比例函数22(0)k
y k x
=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标
为(21)，．
（1）求正比例函数、反比例函数的表达式； （2）求点B 的坐标．
【例20】 已知一次函数y x m =+与反比例函数1
m y x
+=(1m ≠-)的图象在第一象限内的交点为P (0x ，3)
（1）0x 的值．
（2）一次函数和反比例函数的解析式.
【例21】 直线y kx =(0k >)与双曲线4
y x
=交于A ()11x y ，
，B ()22x y ，两点，求122127x y x y -的值
.
【例22】 如图，一次函数1
22
y x =
-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，
，为AB 上一点且PC 为AOB ∆的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于Q ，3
2
OQC S ∆=，则k 的值和Q 点的坐标
分别为______________.。