实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数课件人教版数学九年级下册
截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．由图可知： (1)y与S之间的函数解析式为__y_＝__1_S2_8______； (2)当面条粗1.6 mm2时，面条的总长度是__8_0_m______
6．(5分)李老师参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他 购买的电脑价格为9 800元，交了首付之后每月付款y元，x个月结清余款， y与x满足如图的函数关系式，通过以上信息可知李老师的首付款为 ______3___8_0_0_________元．
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向地下掘进多深? 解：把 S = 500 代入 S 104 ，得 d 500 104 ， d 解得 d = 20 （m） . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘 进 20 m 深.
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存 室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)?
解：(1)3×10×60＝1 800(个) (2)依题意得3×60xy＝1 800，∴y＝1x0 (3)当x＝20时，y＝1200 ＝12 (小时)＝30(分钟)，故 最少30分钟可以使就餐学生全部就餐
归纳新知
反实 比际 例问 函题 数中
的
过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
实际问题与反比例函数
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物, 把轮船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨 /天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据 已知条件有 k=30×8=240， 240 所以v与t的函数式为 v (t>0) t (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天 内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物? 240 240 ，得 v 48 把t=5代入 v 5 t
4
,得
10 s
15
解得
4
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为 666.67
m
2
才能满足需要.
小结
1、通过本节课的学习,你有哪些收获? 2、利用反比例函数解决实际问题的关键: 建立反比例函数模型.
利用反比例函数解决实际问 题时，既要关注函数本身，又要 考虑实际意义。
作业：
240-30×2=180，此时有了新的比例系数180，即
180 v1 (t>0) t1
解得
v1 45
再使用上一小问的思路解得，平均每天至少要卸载45吨。
你能大致地画出这个函数的图像吗？
实际问题中的反比例函数的图象 与纯数学问题中反比例函数图象有何 异同？原因何在？
实际问题中的反比例函数图象一般只是一 个分支或一个分支的一部分，而纯数学问 题是双曲线，原因是它们的自变量取值发 生了变化。
练习2
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有 怎样的函数关系?
解: (1)根据圆柱体的体积公式,
实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数知识点一：反比例函数的图象应用知识要点1.反比例函数图象的平移：（1（22.反比例函数图象的对称性：典例分析例1、反比例函数的图象经过点)32,3(-M ，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 _________ .例2、若将反比例函数xky =的图象绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则反比例函数的解析式为__________.巩固练习：1.反比例函数的图象经过点)32,6(-M ，将其图象向右平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为______ .2.已知反比例函数xky =的图象经过点A （-2，3），将它绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则旋转后的反比例函数的解析式为__________.知识点二：反比例函数的应用知识要点1.方式方法：把实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，运用数学知识解决实际问题。
2.常见题型：利用反比例函数求具体问题中的值，解决确定反比例函数中常数k 值的实际问题。
典例分析题型一：反比例函数的实际应用例1、京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （k m /h ）之间的函数关系式为？例2、若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是（ ）例3、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？巩固练习：1.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）(第2题图) A ．不大于3m 3524 B ．不小于3m 3524 C ．不大于3m 3724D ．不小于3m 37243．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y （m ）是面条的横截面积S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y （m ）与S （mm 2）的函数关系式；⑵求当面条的横截面积是1.6 mm 2时，面条的总长度是多少米？4.正在新建中的饿某会议厅的地面约5002m ，现要铺贴地板砖. （1）所需地板砖的块数n 与每块地板砖的面积S 有怎样的函数关系？（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为80×802cm ，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？5.一场暴雨过后，一洼地存雨水20m 3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a m 3/min ，且排水时间为 5～10min（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）当排水量为3m 3/min 时，排水的时间需要多长？ （3）当排水时间4.5分钟时，每分钟排水量多少？题型二：反比例函数与一次函数的交点问题例1、如图，一次函数y =kx +5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y =-8x的图象交于A (-2,b )，B 两点. (1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m (m >0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A (-2,b )在y =-8x上， ∴-2b =-8，b =4.∴A (-2,4). ∵A (-2,4)在y =kx +5上， ∴k ＝12， ∴一次函数为y ＝12x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y =12x +5-m ，由题意，得15.82y y x m x=-=+⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，整理得12x 2+(5-m )x +8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m )2-4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.巩固练习：1.如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（-1，2）．⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点D 的坐标；⑶ 利用图象直接写出当x 在什么范围内取值时，12y y >．2.反比例函数中y =5x-，当x <2时，y 的取值范围是 ；当y ≥-1时，x 的取值范围是 .3.一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x 的图象如图，则关于x 的方程kx+b =2x的解为( ) xyD CBAOA . x l =1，x 2=2B . x l =-2，x 2=-1C . x l =1，x 2=-2D . x l =2，x 2=-题型三：反比例函数求面积类问题例2、如图，点A 、B 在反比例函数ky x的图象上， A 、B 两点的横坐标分别为a 2a （a ＞0），AC ⊥x 轴于点C ，且ΔAOC 的面积为2． ⑴求该反比例函数的解析式；⑵若点（-a ，y 1），（-2a ，y 2）在该反比例函数的图象上，试比较y 1 与y 2的大小；⑶求ΔAOB 的面积．例3、如图，一次函数y =-x +2的图象与反比例函数y =-3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称. (1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积.巩固练习：1.如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y =kx在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.2.如图，在直角坐标系xOy 中，直线y =mx 与双曲线y =nx相交于A (-1，a )、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m 、n 的值； (2)求直线AC 的解析式.课后作业1．如图1，一次函数y x b =+与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，若已知一个交点为A （2，1），则另一个交点B 的坐标为（ ）图1A . （2，－1）B .（－2，－1）C . （－1，－2）D . （1，2）2．点P 为反比例函数图象上一点，如图2，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为 __________3.如图3，利用函数图象解不等式xx 1<，则不等式的解集为______________4．不解方程，利用函数的图象判断方程02=-x x的解的个数为_____________ 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A (1，0)，与反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象相交于点B (2，1). (1)求m 的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x >0时，不等式kx +b >mx的解集.6.如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象过点P (-32，0)，且与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象相交于点A (-2,1)和点B . (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？7.已知一次函数y =kx -6的图象与反比例函数y =-2kx的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2. (1)求k 的值和点A 的坐标； (2)判断点B 的象限，并说明理由.。
反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)
26.2 实际问题与反比例函数第1课时反比例函数的实际应用（1）【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣.【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t 单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48（m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：（1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；60 yx ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少?③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？答案：①20yx=②53cm;5 cm③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x 个窗口时，需要y 小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m3/h）之间的函数关系为（A）A.60tQ= B.t=60QC.6012tQ=- D.6012tQ=+4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000y x；不选一次函数是因为y 与x 之间不成正比例关系. （2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)， （2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.。
八下数学课件 用反比例函数解决实际问题(第二课时)
八年级 下册第十一章 反比例数11.3 用反比例函数解决实际问题
（第二课时）
学习目标
学习目标
1）运用反比例函数的知识解决实际问题。
2）经历“实际问题-建立模型-拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力。
3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想。
重点
运用反比例函数解决实际问题。
数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D．9月份该厂利润达到200万元
【详解】
治污改造完成前后，1-6月份的利润分别为200万元、100万元、
的利润低于100万元，C选项错误；
9月份的利润为30 × 9 − 70 = 200万元，D选项正确；
(1)动力 F 与动力臂 L 有怎样的函数关系?
(2)当动力臂为1.5米时,撬动石头至少需要多大的力?
(3)若想使动力F不超过题(2)中所用力的一半, 则动力臂至少要加长多少米?
2）把L=1.5带入到函数解析式F=
600
解得，F=400（N）
则对于函数F=
600
，当L=1.5米时，F=400 N，此时
段是恒温阶段，BC段是双曲线 = 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
（1）把B（12，20）代入 = 中得：k=12×20=240；
（2）设AD的解析式为：y=mx+n．
把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中
2、实际问题与反比例函数汇总
反比例函数实际应用一、知识点详解在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式，一是确定实际问题中的反比例函数解析式，这类问题一般属于跨学科问题，除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式；二是判断实际问题中的函数图象，这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数，正确解答这类问题的关键是确定函数关系式，同时注意自变量的取值范围。
二、知识点拨1、实际问题中常见的反比例关系现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象，常见的主要有以下几种：（1）面积S 一定，长方形的长a 与宽b 之间的反比例函数关系：a ＝Sb。
（2）体积V 一定，圆柱体的底面积S 与高d 之间的反比例函数关系：S ＝Vd ；（3）压力N 一定，压强P 与接触面积S 之间的反比例函数关系：P ＝NS；（4）质量m 一定，气体压强p 与气体体积V 之间的反比例函数关系：p ＝mV ；（5）功率P 一定，速度v 与所受阻力F 之间的反比例函数关系：v ＝PF；（6）路程S 一定，匀速行驶速度v 与时间t 之间的反比例函数关系：v ＝St ；（7）电压U 一定，电路中电流I 与电阻R 之间的反比例函数关系：I ＝UR；2、反比例函数模型的建立1. 条件：实际问题中的两个变量在变化过程中，它们的积为定值；2. 过程：（1）用两个不同字母表示变量； （2）确定k 的值； （3）建立函数关系式；（4）利用图象及其性质解决问题。
3、实际问题中反比例函数的特点1. 实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的，一般情况取正数，有时取正整数，所以在实际问题中，具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。
2. 实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段，这与自变量的取值范围有关。
三、经典例题 能力提升类例1 填空题（1）在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离s （米）成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是__________米。
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计
人教版数学九年级下册26.2《实际问题与反比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的一个重要内容。
本节内容主要让学生了解反比例函数在实际问题中的应用，通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过丰富的实例，引导学生认识反比例函数的实际意义，感受数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了反比例函数的基本知识，对反比例函数的定义、性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效结合，对反比例函数在实际问题中的应用还不够熟练。
因此，在教学本节内容时，要注重培养学生的实际问题解决能力，引导学生运用反比例函数解决实际问题。
三. 教学目标1.了解反比例函数在实际问题中的应用，感受数学与生活的紧密联系。
2.能够运用反比例函数解决实际问题，提高学生的实际问题解决能力。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.反比例函数在实际问题中的应用。
2.如何将实际问题转化为反比例函数问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学规律。
2.利用合作交流的方式，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力。
3.通过实例讲解，让学生感受反比例函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备与反比例函数实际问题相关的实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、计算机等。
3.准备学生分组讨论所需的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题引入本节课的内容，如“一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶1小时，行驶的路程是多少？”引导学生思考实际问题与反比例函数的关系。
2.呈现（10分钟）呈现几个与反比例函数实际问题相关的实例，如“一个长方形的面积是24cm²，长是8cm，求宽是多少？”让学生尝试解决这些问题，体会反比例函数在实际问题中的应用。
人教版九年级数学下册：26.2《实际问题与反比例函数》说课稿1
人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》说课稿1一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的重要内容。
本节内容通过引入实际问题，让学生了解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
本节内容分为两个部分：一是反比例函数的定义及其性质；二是反比例函数在实际问题中的应用。
在第一部分中，学生需要理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等。
在第二部分中，学生需要能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于反比例函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和实际问题，引导学生理解反比例函数的定义和性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等；学生能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的引入和解决，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义及其性质，反比例函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：反比例函数的性质的理解和应用，将实际问题转化为反比例函数问题的方法的掌握。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导法、讨论法、实例教学法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、教学软件等，展示反比例函数的图像和实际问题的数据，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数的性质和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。
数学中的反比例函数应用
数学中的反比例函数应用数学中的反比例函数是指两个变量之间的关系特点是一个变量的值的倍数与另一个变量的值之积为常数的函数。
在实际生活和各个领域中，反比例函数都有着广泛的应用。
本文将从几个常见的应用场景入手，介绍反比例函数在实际问题中的运用。
一、金融领域的应用在金融领域中，反比例函数可以用来描述利率和投资金额之间的关系。
假设一个人投资的金额为x，投资期限为y年，利息为k，利率为r。
那么根据利息的定义我们可以得到：k = r * x * y从上式可知，当投资金额不变时，利息与投资期限成反比例关系；当投资期限不变时，利息与投资金额成反比例关系。
这种关系可以帮助人们根据自己的需求来选择适合的投资方案。
二、物理学中的应用反比例函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在牛顿第二定律中，力和物体的加速度之间的关系可以表示为：F = m * a其中，F代表力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
从上式中可以看出，当物体的质量增大时，所受到的力变小，即力与质量成反比例关系。
在实际应用中，这个关系可以帮助我们计算物体所受到的力或者质量的大小。
三、化学反应速率的应用化学反应速率是指单位时间内反应物消失或生成物出现的量。
某些化学反应中，反应物的浓度与反应速率成反比例关系。
例如，某一反应的速率与反应物A的浓度之间的关系可以表示为：v = k / [A]其中，v代表反应速率，[A]代表反应物A的浓度，k为常数。
从上式可以看出，当反应物A的浓度增大时，反应速率变小，即反应速率与反应物浓度成反比例关系。
这个关系在化学实验中的应用很广泛，可以帮助化学家们计算反应速率或者控制反应的进行。
四、经济学中的应用在经济领域中，反比例函数可以用来描述供需关系。
当某种商品的价格上涨时，需求量往往会下降；相反，价格下跌时，需求量往往会增加。
这种供需关系可以用反比例函数来表示。
例如，假设某商品的价格为p，需求量为q，那么可以得到：q = k / p其中，k代表常数。
实际问题与反比例函数1
公元前3世纪 古希腊科学家阿基米德发现了著名的 公元前 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的 世纪 杠杆定律” 若两物体与支点的距离反比于重量 若两物体与支点的距离反比于重量,则 “杠杆定律”:若两物体与支点的距离反比于重量 则 杠杆平衡.通俗一点可以描述为 通俗一点可以描述为: 杠杆平衡 通俗一点可以描述为
48 :t与 之间的函数关系式为: 解:t与Q之间的函数关系式为: t = Q
2.某蓄水池的排水管每时排水8m ,6h可 2.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可 某蓄水池的排水管每时排水 将满池水全部排空. 将满池水全部排空.
(4)如果准备在 内将满池水排空 那么每时的排水量至少 如果准备在5h内将满池水排空 如果准备在 内将满池水排空,那么每时的排水量至少 为多少? 为多少 解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至 当 时 所以每时的排水量至 少为9.6m 少为9.6m3. (5)已知排水管的最大排水量为每时 已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少 已知排水管的最大排水量为每时 那么最少 多长时间可将满池水全部排空? 多长时间可将满池水全部排空 所以最少需5h可 解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需 可 当 时 所以最少需 将满池水全部排空. 将满池水全部排空 (6)画出函数图象 根据图象请对问题 和(5)作出直 画出函数图象,根据图象请对问题 画出函数图象 根据图象请对问题(4)和 作出直 观解释,并和同伴交流 并和同伴交流. 观解释 并和同伴交流
实际问题 与反比例函数
化庄中学 姚栋祥
挑战记忆: 挑战记忆:
反比例函数图象有哪些性质? 反比例函数图象有哪些性质?
k 是由两支曲线组成, 反比例函数 y = 是由两支线组成 x 两支曲线分别位于第一 当K>0时,两支曲线分别位于第一、三象内， 时 两支曲线分别位于第一、 象内，
数学实际问题与反比例函数
渐近线
双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。当x趋 近于0或y趋近于0时，双曲线无限接近这两条渐 近线。
对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x, y) 在图像上，那么点(-x, -y)也在图像上。
实验改进
针对实验反思中发现的问题和不足， 提出改进措施和建议。
实验拓展
在反思和改进的基础上，进一步拓 展实验内容和范围，深化对反比例 函数的研究。
06
结论与展望
研究结论
反比例函数在实际问题中的应用广泛性
本研究通过多个实际案例的分析，证实了反比例函数在描述和解决现实生活中的多种问题 时的有效性，如物理、经济、工程等领域。
反比例函数的性质
当 $k > 0$ 时，反比例函数在第一、三象限内单调 递减；当 $k < 0$ 时，反比例函数在第二、四象限 内单调递增。
02
数学实际问题中的反比例关系
生活中的反比例关系
速度、时间和距离的关系
当距离一定时，速度和时间成反比。例如，从家到学校的距离是固定的，如果 走路速度越快，所需时间就越短。
培养学生的数学应用能力和问题解决能力
通过实际问题与反比例函数的结合，帮助学生理解数学在实际生 活中的应用，并提高其数学应用能力和问题解决能力。
反比例函数的概念
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的 函数称为反比例函数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是一条双曲线，位于第一、三象 限或第二、四象限。
函数的连续性
反比例函数在其定义域内是连 续的，但在x=0处没有定义， 因此不连续。
实际问题与反比例函数+课件+—2025学年人教版数学九年级下册
数关系如图2所示.
6
7
4
(1)将水从20℃加热到100℃需要_________min.
【解析】(1)∵开机加热时每分钟上升20℃,
−
∴水温从20℃加热到100℃,所需时间为
=4(min).
8
(2)在水温下降的过程中,求水温y关于通电时间x的函数解析式.
解析式为I= .
11
(2)若4≤R≤200,求电流I的变化范围.
【解析】(2)∵在I= 中,144>0,R>0,
∴图象在第一象限,I随R的增大而减小.
∵4≤R≤200,∴把电阻最小值R=4代入I= ,得到电流的最大值I=36,
把电阻最大值R=200代入I= ,得到电流的最小值I= =0.72(安培),
在降温过程中,水温为40℃时,40= ,
解得x=10,∵10-1=9(min),
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9 min.
10
重点2反比例函数在其他学科中的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P15例4拓展)
我们知道当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤36.
素养 当堂 300 t煤,这些煤能烧的时间y(天)与平均每天烧的吨
数x(t)之间的函数关系式是( A )
1 300
A.y=
(x>0)
1 300
B.y=
(x≥0)
C.y=1 300x(x≥0)
实际问题与反比例函数洋葱数学
实际问题与反比例函数洋葱数学
反比例函数是一种广泛应用的函数形式，可以用来模拟许多实际现象。
洋葱数学就是利用
反比例函数来模拟近距离射击成功率的一个模型。
通常都是应用于战争游戏中，但它也可
以用来解决实际问题，比如说最少时间拜访多个地点的路线规划。
在洋葱数学模型中，每次射击的命中率都会随目标距离的增加而减少，其函数表达式为：
T(d) = 1 / (1 + d)，其中d是射击目标和射手之间的距离，T(d)是射击命中率。
可以看到，随着距离增加，攻击命中率越来越低，被攻击者则有越来越高的机会逃脱。
同样，反比例
函数也可以用来解决实际问题，如最短时间拜访多个地点的路线规划问题。
在路线规划的问题中，可以用反比例函数来表示每个节点之间的距离。
在这个模型中，可
以以节点i为起点，计算它到节点j的最短距离，其函数表达式可以写为： D(i, j) = 1 / (1
+ |i - j|)，其中|i - j|表示i和j之间的距离。
由于每个节点之间距离都是采用反比例函数来
表示，因此可以有效地避免节点之间重复访问，从而可以减少路线寻址的时间。
总之，反比例函数可以应用于多种实际问题求解，比如洋葱数学中的近距离射击命中率模型，以及路线规划中的节点距离表达式。
通过反比例函数，我们不仅可以解决战争游戏中
的射击成功率问题，而且还可以解决实际问题，比如说最短时间拜访多个地点的路线规划。
《实际问题与反比例函数》反比例函数PPT优秀课件(第2课时)
26.2 实际问题与反比例函数 第2课时
导入新知
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
1．你认为可能吗？ 2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？ 3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，
是真的吗？
学习目标
3. 体会数学建模思想，培养学生数学应用意识.
程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进 行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时 间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数， 在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（ C ）
A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到 10mg/m3 B．室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min C．当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于35分 钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效 D．当室内空气中的含药量低于2mg/m3时，对人体才是安全的， 所以从室内空气中的含药量达到2mg/m3开始，需经过59min后， 学生才能进入室内
如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且
OB=20cm．
（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；
（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛
顿的力？
A
B
O
F
G
课堂检测
解：（1）F•h=8×20=160
所以 F 160
A
h
F
（2）当h=80cm时，
F 160 （2 牛顿） 80
至少要加长多少? 分析：对于函数 F 600 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求
人教版数学九年级下册：(反比例函数)实际问题与反比例函数(教案)
实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣.【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t 单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中的水将用多长时间排完？【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48（m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：（1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.第2课时实际问题与反比例函数（2）【知识与技能】运用反比例函数解决实际应用问题，增强数学建模思想.【过程与方法】经历“实际问题一数学建模一拓展应用”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣. 【教学重点】用反比例函数的有关知识解决实际应用问题.【教学难点】构建反比例函数模型解决实际应用问题，巩固反比例函数性质.一、情境导入，初步认识“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力×阻力臂=动力×动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系.二、典例精析，掌握新知例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m.(1 )动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【分析】显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，首先由阻力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂l的函数关系式为F=600l(l＞0),再把l=1 . 5代入，求出动力的大小.注意“橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，但用相等关系来解决更方便些.而（2)中的问题即可用F=400×12= 200代入求动力臂的长度的最小值，也可利用不等关系，600l≤400×12,得l的范围是l≥3，而动力臂至少应加长1.5米才行.【教学说明】在本例教学时，应仍由学生自主探究，构建适合题意的反比例函数关系式，让学生加深对反比例函数意义的理解，进一步增强分析问题和解决问题的能力.教师在学生练习过程中，巡视指导，帮助有困难同学形成正确认知，在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？例2—个用电器的电阻是可调节的，其范围是110〜220Ω，已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示.(1 )输出功率犘与电阻只有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？【分析】要想顺利解决本题，应了解电学中关于电功率P、电阻R和电压U的关系，即有PR= U2，可以发现2UPR=或2URP=.这样由于用电器电压U = 220V是确定的，从而可得（1)的解应为P =2220R，再把R = 110和R = 220代入可得电功率P值分别为440 W和220 W，故电功率P的范围为220≤P≤440.事实上，这里还可以由2220RP=及 110≤R≤220，得110≤2220P≤220,得220≤P≤440.【教学说明】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关的电学知识，即PR= U2，然后让学生独立完成，由于题目难度不大，学生应该能予以解决，对个别有困难的同学，可予以指导，也可让他们与同伴交流，从而能解决问题，在大多数同学完成以后，教师仍可设置以下两个问题，让学生进一步加深对知识的理解：（1 )想一想，为什么收音机的音量，某些台灯的亮度以及电风扇的转速都可以调节？（2)你还能列举一些生活中用电器应用反比例函数性质的例子吗？培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强学生的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用6小时到达目的地.(1)当他按原路返回来，汽车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？(2)如果该司机必须在4 h之内回到甲地，则返程时的平均速度不能低于多少？2.新建成的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需贴瓷砖，已知楼体的外表面面积为5×103 m2 .(1)所需的瓷砖块数n与每块瓷砖的面积 S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白、蓝三种颜色的瓷砖，每块瓷砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2：2: 1，则需要三种瓷砖各多少块？3.如图是放置在桌面上的一个圆台，已知圆台的上底面积是下底面积的1/4，此时圆台对桌面的压强为100 Pa.若把圆台翻过来放，则它对桌面的压强是多大呢？【教学说明】由学生独立完成，然后相互交流，发现问题，及时纠正，从而巩固对反比例函数的性质的理解.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1. ( 1 )V=806t ⨯ ，V =480t （t ＞0）. (2)V =4804= 120 (km/h). 2.（1）n • S = 5× 103 , n =3510S⨯ (S >0). (2)80cm 2=8×10-3m 2.353510 6.2510810n -⨯==⨯⨯(块）， 则有n 灰=6.25×105×25= 2.5×105(块)，n 白=6.25×105×25 =2.5×105(块) ,n 蓝=6.25×105×51=1.25×105(块）.3. 解：设下底面积为S 0，则上底面积为04S . 由F p S= ，且当S = S 0时,p = 100，∴0100F pS S ==⨯ . 同一物体质量不变，∴ F=100S 0是定值.000100400(Pa)44S S F S p S S ∴====当时，. 因此，当把圆台翻过来放置时，它对桌面的压强是400Pa.四、师生互动，课堂小结1.请举出一些应用反比例函数的实例,同伴之间相互交流.2.说说这节课你又有哪些收获？1. 布置作业：从教材“习题26.2”中选取.2. 完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课讨论了反比例函数的其他一些应用（主要是在物理学科中的应用）.在这些实际应用中，备课时应注意到与学生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识之间的联系.。
反比例函数的应用举例及实际意义
反比例函数的应用举例及实际意义
1.比例电阻器：在电流和电阻之间存在反比例关系。
当电阻增加时，电流减小；当电阻减小时，电流增加。
因此，比例电阻器可以调整电流的大小。
这在电子设备中非常常见，比如调节音量的旋钮。
2.速度和时间之间的关系：在很多情况下，物体的速度与所花费的时间成反比例关系。
例如，在旅行中，当你以较高的速度行驶时，你所需要的时间就会减少。
这在规划旅行路线、预计到达时间等方面非常有用。
3.燃料消耗和行驶里程：汽车的燃料消耗和行驶里程之间存在反比例关系。
当你以较高的速度行驶时，燃料消耗会增加，行驶里程会减少。
这对于驾驶员来说是很重要的信息，可以帮助他们规划加油站的位置和充分利用燃料。
4.水槽的排水时间：在一个水槽中，水的排水速度与排水时间成反比例关系。
当排水速度增加时，排水时间就会减少。
这对于设计水池和浇灌系统是重要的，可以帮助决定排水口的位置和大小。
5.人口增长和资源消耗：人口增长和资源消耗之间存在反比例关系。
当人口增长速度减慢时，资源消耗会相对减少。
这对于人口政策的制定和可持续发展非常重要，可以帮助平衡资源分配和环境保护。
6.投资回报率：投资回报率与投资额之间存在反比例关系。
当投资额增加时，投资回报率会减少。
这对于投资者来说是重要信息，可以帮助他们判断投资的风险和潜在收益。
以上仅是反比例函数应用的一些例子，实际上反比例函数在许多领域中都有应用。
通过理解反比例函数的实际意义，我们可以更好地理解和解决实际问题，并做出更明智的决策。
《实际问题与反比例函数》课件
解：当 V =60 时，p =100，则 pV=6
000，
A.气压 p 与体积 V 表达式为 p= ，则 k＞0，故不符
合题意；
6 000
B.当 p=70时，V=
＞80，故不符合题意；
70
C.当体积 V 变为原来的一半时，对应的气压 p 变为原
来的2倍，故不符合题意；
D.当60≤V≤100时，气压 p 随着体积 V 的增大而减小，
600
∴ F 关于l 的函数解析式为F= .
600
当 l=1.5 m 时，F= =400 (N).
1.5
600
对于函数 F=
，当 l =1.5 m时，F
=400 N，此时杠
杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400 N的力.
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
对地面的压强减小，就不会陷入泥中了.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么，
(1)木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函
数关系？
600
解：(1) p 是 S 的反比例函数， =
，S＞0．
(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：(2)当 S=0.2
m2
时， =
(W 是常数).
(2)当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例，
即=
(F 是常数).
新知探究 跟踪训练
1.有一个可以改变体积的密闭容器内装有
一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积
时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ (单
人教版九年级下册数学全册教案6.2实际问题与反比例函数
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题，如物体下落的高度与时间关系。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握反比例函数的基本性质，并能将其应用于解决实际问题，提高数学抽象和逻辑推理能力。
2.通过实际问题与反比例函数的结合，培养学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实问题。
3.培养学生运用数学语言表达问题的能力，提升交流与合作素养，激发团队协作解决问题的意识。
-反比例函数图像的理解，特别是x轴和y轴的渐近线。
-在实际问题中如何正确建立反比例函数模型，特别是从题目中提炼关键信息。
-反比例函数在不同情境下的应用，如面积与边长、速度与时间等关系的转换。
-解决反比例函数问题时涉及到的代数运算，如分数、乘除运算等。
举例：针对难点内容，教师可以采用以下方法帮助学生理解：
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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布尔津镇初级中学教案
课 题 26．2实际问题与反比例函数（1）
课时及授
课时间
1 课时 授课人
年 月 日
教学目标 (学习目标)
一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。
2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。
二、过程与方法 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立
反比例函数模型，进而解决问题。
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见。
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具
教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型
教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析
实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的
思想
教学用具 幻灯片
教学方法(学习方法) 观察探究、对比，小组合作学习 教学过程 一、 创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境． (1)请你解释他们这样做的道理． (2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化? (3)如果人和木板对湿地的压力合计600N ，那么? ① 含S 的代数式表示p ，P 是S 的反比例函数吗? 为什么?
② 木板面积为0.2m 2时，压强是多少?
③如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大? ④直角坐标系中，作出相应的函数图象． ⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交
流．
备注
(补
充)
布尔津镇初级中学教案
课题26．2实际问题与反比例函数（2）
课时及授
课时间 1 课时
授课人年月日
教学目标(学习目
标) 一、知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题。
二、过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程。
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
三、情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见。
．2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具
教学重点掌握从实际问题中建构反比例函数模型
教学难点从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想
教学用具幻灯片
教学方法
(学习方
法)
观察探究、对比，小组合作学习
教学过程一、创设问题情境，引入新课
活动1
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关
系：
x(元) 3 4 5 6
y(个) 20 15 12 10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对
(x，y)的对应点；
(2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图
象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x
之间的函数关系式，若(2)猜测并确定y与x之间的函数
关系式，并画出图象；备注(补充)
（4）物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
在此活动中，教师应重点关注：
①生动手操作的能力；
②学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
根据表中的数据在平面直角坐标系中描出了对应点(3，20)，(4，15)，(5，12)，(6，10)．
(2)由下图可猜测此函数为反比例函数图象的一支，设y＝
k
x
，把点(3，20)代人y＝
k
x
，得k＝60．
所以y＝
60
x
．
把点(4，15)(5，12)(6，10)代人上式均成立．
所以y与x的函数关系式为y＝
60
x
．
(3)物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，即x≤10，根据y＝60x 在第一象限y随x的增大而减小，所以
①60y ≤10，y＞1O，∴1Oy≥60，y≥6．
②所以W＝(x－2)y＝(x－2)×60x ＝60－120x
③当x＝10时，W有最大值．
④即当日销售单价x定为10元时，才能获得最大
利润．
二、讲授新课
活动2
[例2]码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间．
(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨／天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系?
(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型
②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有：k＝3×80＝240．
所以v与t的函数式为
v＝240
t
．
(2)由于遭到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，求平均每天至少卸多少吨货物?即当t≤5时，v至少为多少呢?
由v＝240
t
得t＝
240
v
，
t≤5，所以240
v
≤5，
又∵v＞O，所以240≤5v
解得v≥48．
所以船上的货物要在不超过5日内卸载完毕，平均每天至少却4.8吨货物．
生：老师，我认为得出v与t的函数关系后，借助于图象也可以完成第(2)问．
画出v＝240
t
在第一象限内的图象(因为t＞O)．如下
图．
当t＝5时，代入v＝240
t
，得v＝48 根据反比例函数的
性质．v＝240
t
在第一象限，v随t的增大而减小．所以
当0＜t≤5时，v≥48．即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨．。