35.4切线的判定

利用判定定理时，要注意直线须具备以利用判定定理时，下两个条件,缺一不可: 下两个条件,缺一不可: (1)直线经过半径的外端直线经过半径的外端; (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直直线与这半径垂直。 (2)直线与这半径垂直。
切线的画法
如图，上一点，的切线l 如图，点A是⊙O上一点，过点作⊙O的切线是上一点过点A作的切线 l
一起探究
如图OA是⊙O的半径，过点A作直线 ⊥OA, 是作直线l⊥ 如图的作直线 1、用r表示半径的长，d表示圆心到直线的、表示半径的长表示半径的长，表示圆心到直线l的表示圆心O到直线距离，那么，和有怎样的数量关系有怎样的数量关系？距离，那么，r和d有怎样的数量关系？ 2、指出直线 l和⊙O有什么位置关系、有什么位置关系? 和有什么位置关系
〖例1〗〗
已知：直线经过经过⊙ 上的点上的点C，并且OA=OB，CA=CB。已知：直线AB经过⊙O上的点，并且，。求证：直线是的切线。求证：直线AB是⊙O的切线。的切线
分析：由于AB过分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明 AB 上的点C 所以连接OC， OC AB⊥OC即可即可。 AB⊥OC即可。
o
l A
d=r
直线 l 是⊙O相切．相
3、重新在圆上取几个点，重复上面的过程，指出过半径的、重新在圆上取几个点，重复上面的过程，外端且垂直半径的直线与⊙ 的位置关系的位置关系。外端且垂直半径的直线与⊙O的位置关系。
切线的判断定理：切线的判断定理：
经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．直线是圆的切线．几何符号表达 ∵ OA是半径，OA⊥l于A OA是半径 OA⊥l 是半径， ∴ l是⊙O的切线。的切线。

切线的判定和性质

切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。

而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。

今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。

简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。

可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。

这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。

咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。

切线的性质可是非常重要和有用的。

首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。

这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。

想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。

比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。

而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。

切线的判定常用辅助线

切线的判定定理常用辅助线
与圆有关的位置关系在河南中考中经常出现，分值范围为3——9分，主要考察切线的判定和性质，今天主要来研究切线的判定常用的辅助线。

切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。

类型一：有交点
例一：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。

求证：直线AB是⊙O
类型二：无交点
例二：已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O
为
圆心，OD为半径作⊙
求证：⊙O与AC
总结：
⑴如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.
⑵如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直
线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径针对练习：
1、如图,△ABC 中,AB=AC,AO ⊥BC 于O ，OE ⊥AC 于E,以O 为圆心,OE 为半径作⊙
求证：AB 是⊙O
2、如图
,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在⊙O 上, ∠CAB=30°. 求证:DC 是⊙O 的切线.
D D
3.如图,△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于P ， PE ⊥AC 于E 。

求证:PE 是⊙O 的切线。

4如图，△AOB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝120°，以O 为圆心,5为半径的⊙O 与OA 、OB 相交。

求证：AB 是⊙O 的切线。

O
B
C
E P。

切线的判定和性质

经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
还想出：一条直线，还想出：一条直线，具备了以下三个条件中的两个，一定件中的两个，也满足第三个条件。也满足第三个条件。
（1）直线过圆心，（2）直线过切点，（3）直线与圆的切线垂直。
接下来《练一练》例求证：圆的两条切线互相平行，则两切点的连线是直径。已知:AC、BD分别切圆O于A、B, 且AC//BD. 求证：AB是圆O的直径。方法1.（综合分析法）作OE//AC,连接OA、OB，则 OE//AC//BD ∵OA⊥AC,OB⊥BD（圆的切线垂直于过切点的半径）
证毕
例2.已知梯形ABCD中， AB//CD, ∠A=90°，BC 是⊙O的直径， BC=CD+AB,求证： ⊙O 与AD相切. 证明：作OE垂直于AD于 E,则OE//CD//AB. ∵OC=OB,有DE=EA , ∴ OE=1/2(AB+CD)=1/2BC ∴⊙O和AD相切，切点为 E.(与圆心的距离等腰半径的直线是圆的切线）
切线的判定和性质
切线的判定和性质
1中心内容：了解切线的判定和性质 2重难点：透彻理解判定切线的三个方法，以及较熟练地运用切线的三个性质定理。 3请同学们注意：反证法的证明思路
复习：直线和圆的位置关系有哪些？
可依据：直线与圆的公共点个数公共点个数.分为：相离、相切、相交三种. 相离、相切、公共点个数
例3.如图，由方形ABCD的顶点A引一条直线
与AB、CD、BC的延长线分别交于E、F、G,求证CE和△CGF的外接圆相切.
请思考
证明：∵ABCD是正方形 ∴△FCG是直角三角形作RT△FCG斜边上的中线CO,则 FO=CO=GO,O为△FCG的外接圆的圆心，OC为外接圆的半径. ∵△AED≌△CED(SAS),∴角1=角2 ∵AD//BG,∴∠1=∠G,∴∠2=∠G 又∠3=∠4，∠4+∠G=90°，∴∠3+∠2=90°，OC⊥CE ∴CE和△CFG的外接圆相切于点C.

九年级切线的判定的知识点

九年级切线的判定的知识点在九年级数学学习中，切线是一个重要的概念。

它是与圆形或曲线相切并且只在一个点与其相交的直线。

切线的判定有一些基本的知识点，我们来逐一了解。

1. 切点的唯一性对于任意曲线或圆形，其切线只有一个切点。

这是切线与曲线或圆形接触的一个基本特征。

切线与曲线或圆形在切点处有且只有一个公共点，其他点则不相交。

2. 切线的斜率切线的斜率与曲线或圆形在切点处切线的切点的导数有关。

对于圆形，圆心到切点的连线与切线垂直，因此切线的斜率为零；对于曲线，切线的斜率通过求导数来计算。

3. 切线的判定方法九年级中常用的判定切线的方法有以下几种：a) 切线判定法一：切线与曲线或圆形在切点处垂直相交。

根据垂直相交的性质，如果一条直线与另一曲线或圆形在某一点垂直相交，那么这条直线就是曲线或圆形在该点的切线。

b) 切线判定法二：切线与曲线或圆形在切点处的斜率相等。

根据斜率相等的性质，如果一条直线与另一曲线或圆形在某一点的斜率相等，那么这条直线就是曲线或圆形在该点的切线。

c) 切线判定法三：通过导数来判断。

对于曲线来说，如果曲线的导数在某一点存在且有限，那么通过该点的直线就是曲线在该点的切线。

4. 切线的应用切线在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何、物理等学科中。

在几何学中，切线被广泛用于研究曲线的性质和轨迹。

在物理学中，切线被用于描述速度、加速度等概念，并且在运动学和力学中有着重要的地位。

总结起来，九年级数学中关于切线的判定的基本知识点包括切点的唯一性、切线的斜率以及切线的判定方法。

掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用切线的概念，解决各类与切线相关的问题。

在实际的学习和应用中，我们会发现切线的重要性和广泛性，它对数学和其他学科的研究都有着深远的影响。

因此，九年级的学生应该充分理解和掌握这些知识点，以提升数学素养和解决问题的能力。

切线的判定和性质

复习: 一.切线的判定方法有哪些?
1.定义:一条直线和圆只有一个公共点,这条直线叫圆的切线.
2.d=r 直线和圆相切
3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
二.切线的性质有哪些?
1.圆的切线和圆只有一个公共点. 2.圆心到切线的距离等于圆的半径 3. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 4.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 5.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
⑴.公共点已给定.
做法是“连结”半径,让半径“垂直”于直⑵线.公. 共点未给定.
做法是从圆心向直线“作垂线”, 证“垂线段等于半径”.
例1:如图，AB为⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.
求证:DC是⊙O的切线
例2:在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等,且AB与小圆相切于点E,
求证:CD与小圆相切.
例3：如图，AB是半圆⊙O的直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点，求证：CE=CF。
练习1： 1.如图，OC平分∠AOB,D是OC上
任意一点,⊙D与OA相切于E.
求证:OB与⊙D相切.
2.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,⊙O与腰AB切于点 D.
求证:AC与⊙O相切.
小结：
1.在证明中熟练应用切线的判定和性质.
2.在证明一条直线是圆的切线时,会遇到两种情形,要选择适当的途径.

判定切线的方法

判定切线的方法在微积分中，切线是一个非常重要的概念，它在解析几何和微分学中都有着广泛的应用。

切线的概念是指曲线上某一点附近的近似直线，它的斜率可以用来描述曲线在该点处的变化率。

因此，切线的判定方法对于理解曲线的性质和求解相关问题非常重要。

一、函数的导数。

函数的导数是切线斜率的一个重要工具。

如果一个函数在某一点可导，那么在这一点处的导数就是该点处切线的斜率。

因此，我们可以通过求函数在特定点处的导数来判定切线的斜率，从而得到切线的方程。

二、切线的斜率公式。

对于曲线上一点的切线斜率，我们可以使用导数的定义来求解。

设曲线上点P的坐标为（x0，y0），则切线的斜率可以表示为：k = f'(x0)。

其中f'(x0)表示函数在点x0处的导数。

通过这个公式，我们可以直接求出切线在特定点的斜率，从而得到切线的方程。

三、切线的方程。

有了切线的斜率，我们就可以得到切线的方程。

以点P（x0，y0）为例，切线的方程可以表示为：y y0 = k(x x0)。

其中k为切线的斜率，（x0，y0）为切线上的一点。

通过这个方程，我们可以得到切线的具体方程，进而对曲线进行更深入的研究。

四、切线的判定方法。

在实际问题中，我们需要根据具体的曲线和点的情况来判定切线。

一般来说，我们可以通过以下步骤来判定切线：1. 求解函数在特定点处的导数，得到切线的斜率；2. 根据切线的斜率和切点的坐标，得到切线的方程；3. 通过切线的方程来描述曲线在该点附近的近似直线。

通过以上的方法，我们可以比较准确地判定曲线在特定点处的切线，从而对曲线的性质和变化进行更深入的研究。

五、举例说明。

举一个简单的例子来说明切线的判定方法。

考虑函数f(x) = x^2，在点（1，1）处判定切线。

首先求解函数在点（1，1）处的导数，得到f'(1) = 2。

然后根据切线的斜率和切点的坐标，得到切线的方程为y 1 = 2(x 1)。

通过这个方程，我们可以得到曲线在点（1，1）处的切线方程，进而对曲线在该点的性质进行研究。

切线的判定和性质

切线的判定和性质1. 引言在数学中，切线是研究曲线的一个重要概念。

切线可以描述曲线在某一点上的局部行为，并有着独特的性质。

本文将介绍切线的判定方法，以及切线的一些重要性质。

2. 切线的判定方法2.1 直观判定法直观上，我们可以将切线理解为与曲线在某一点相切且只在该点上与曲线相交一次的直线。

从几何的角度来看，我们可以通过观察曲线在某一点的附近形状来判定该点是否存在切线。

2.2 解析判定法除了直观的方法，我们还可以通过解析的方法来判定切线的存在。

对于给定的曲线，我们可以求得其导数，并通过导数的性质来进行判定。

切线的斜率等于曲线在该点的导数值。

因此，如果曲线在某一点的导数存在且不为无穷大，那么该点存在切线。

具体而言，我们可以通过以下步骤来判定切线的存在：1.求得曲线的导数。

2.计算曲线在给定点处的导数值。

3.判断导数值是否为有限数值。

如果导数值存在且不为无穷大，则该点存在切线。

3. 切线的性质切线作为曲线的局部近似，具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。

3.1 切线与曲线的关系切线与曲线相切于该点，因此，切线与曲线在该点处具有相同的斜率。

这意味着切线可以用来近似曲线在该点的局部变化趋势。

3.2 切线的方程对于给定曲线上的点P(x0, y0)，过该点的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)其中，m为曲线在点P处的斜率。

3.3 切线的唯一性切线与曲线相交于该点且只在该点上相交一次，因此切线是唯一的。

换句话说，通过给定点且与曲线相切的直线只有一条。

3.4 切线的性质总结综上所述，切线具有以下性质：•切线与曲线在相切点处具有相同的斜率。

•切线的方程可以表示为 y - y0 = m(x - x0)，其中m为曲线在相切点处的斜率。

•给定点且与曲线相切的切线是唯一的。

4. 总结本文介绍了切线的判定方法和一些重要性质。

我们可以通过直观判定法或解析判定法来判断切线的存在，切线具有与曲线在相切点处相同的斜率，可以用来近似描述曲线的局部行为。

切线的判定中学九年级数学课件模板制作

证明方法
通过证明所作的辅助线与圆只有一个交点，从而证明原直线为圆的切线。
切线的判定方法三：利用切线性质定理
切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
应用方式
在解题过程中，可以利用切线性质定理来判断某直线是否为圆的切线，或者用于证明某直线为圆的切线。
03
切线定理的应用
切线定理在几何证明中的应用
切线定理在实际问题中的应用
实际问题建模
将实际问题抽象为几何模型，利用切线定理解决实际问题，如机械制造、建筑设计等领域。
优化设计方案
通过应用切线定理，优化设计方案，提高实际问题的解决效率和质量。
04
切线定理的证明
切线定理的证明方法一：反证法
反证法概述
反证法是通过假设某一命题不成立，然后推导出与已知事实或定理相矛盾的结论，从而证明原命题成立的方法。
切线的判定中学九年级数学课件模板制作
目录
• 切线的定义与性质 • 切线的判定方法 • 切线定理的应用 • 切线定理的证明 • 练习题与答案
01
切线的定义与性质
切线的定义
切线的定义
切线是一条与圆只有一个公共点的直线，这个公共点叫做切点。
切线的判定
在圆上任取一点，从这点出发作圆的切线，则这条切线一定是过定点的直线。
切线定理的反证法证明
假设直线与圆不相切，则直线与圆有两个交点，设为A和B。连接A、B两点与圆心O，则角AOB为两倍的弦AB所对的圆心角，小于圆周角ACB，这与已知条件矛盾，所以假
设不成立，原命题成立。
切线定理的证明方法二：构造法
构造法概述
构造法是通过构造一个与原命题相关的图形或模型，然后利用已知定理或性质进行证明的方法。

判定切线的方法

判定切线的方法
在数学中，切线是一条与曲线相切的直线，它在曲线上只有一个公共点，并且
与曲线在该点处有相同的斜率。

切线的概念在微积分中占据着重要的地位，因此切线的判定方法也是我们需要掌握的重要知识之一。

首先，我们来看一下判定一条直线是否为曲线的切线的方法。

在给定曲线上的
一点P，我们需要判定一条直线l是否为曲线在点P处的切线。

为了判定这一点，
我们可以沿着曲线在点P处取一点Q，并计算直线l与曲线在点P和点Q处的斜率。

如果这两个斜率相等，那么直线l就是曲线在点P处的切线。

其次，我们来看一下如何利用导数来判定切线。

在微积分中，我们知道曲线在
某一点的切线斜率等于曲线在该点的导数值。

因此，我们可以通过计算曲线在点P
处的导数值来判定切线。

如果直线l的斜率等于曲线在点P处的导数值，那么直线
l就是曲线在点P处的切线。

除了以上两种方法外，我们还可以利用切线的定义来判定切线。

根据切线的定义，切线与曲线在点P处有且仅有一个公共点，并且有相同的斜率。

因此，我们
可以通过求解曲线和直线的交点来判定直线是否为曲线在点P处的切线。

如果曲
线和直线在点P处有且仅有一个公共点，并且在该点处有相同的斜率，那么直线l
就是曲线在点P处的切线。

总结一下，判定切线的方法包括利用斜率的定义、导数的概念以及切线的定义。

通过掌握这些方法，我们可以更加准确地判定一条直线是否为曲线在某一点处的切线。

同时，这些方法也为我们在微积分中的学习提供了重要的理论支持。

希望本文对您有所帮助，谢谢阅读。

九年级数学切线的性质及判定

九年级数学切线的性质及判定一．切线的判定方法：⑴．切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。

⑵．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二．辅助线规律：（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直简称：“有点，连接，证垂直”。

即当条件中已知直线与圆满有公共点时，利用“⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。

（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径简称：“无点，作垂线，证（等于）半径”。

即当条件没有告诉直线与圆有公共点时，利用“（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。

三．例题讲析：例1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB求证：直线AB是⊙O的切线。

例2. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米求证：AB与⊙O相切例3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线。

例4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。

例5. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD求证：DC是⊙O的切线。

例6. 如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA，求证：PA是⊙O的切线例7. 如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E求证：DE与⊙O相切例8. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E点在BC上。

求证：PE是⊙O的切线。

四．练习：1、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°（1）求∠P大小。

切线知识点总结

切线知识点总结一、切线的定义切线是指在几何图形中，与该图形的曲线或曲面相切的直线。

具体来说，在平面上，如果一条直线与一个圆相交，且相交点只有一个，那么这条直线就是圆的切线；在三维空间中，如果一个平面与一个曲面相切，那么这个平面就是曲面的切平面，切平面与曲面交线称为曲面的切线。

二、切线的判定在平面几何中，判断一条直线是否为圆的切线可以采用如下两种方法：1. 使用切线判定定理进行判定。

切线判定定理指出，一条直线与一个圆相切的充分必要条件是这条直线与圆的圆心之间的距离等于圆的半径，即直线与圆的圆心的距离刚好等于圆的半径时，这条直线就是圆的切线。

2. 使用直线方程和圆的方程进行判定。

设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r², 如果直线的方程为y=kx+m，那么当直线与圆的方程联立时，求得的交点满足系统方程同时成立，那么直线就是圆的切线。

在空间中，判断一个平面是否为曲面的切平面也可以采用相似的方法进行判定。

三、切线的性质1. 切线和圆相切于圆上的点处互相垂直。

如果直线与圆相切于圆上的点处，那么这条直线与圆的切点处的切线互相垂直。

2. 切线与半径的夹角是直角。

在圆的切点处，切线和半径的夹角是90度。

3. 切线的斜率等于曲线在切点处的导数。

在函数的图像中，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。

四、切线的求解1. 在平面几何中，求解一个直线与一个圆的切点位置可以采用切线判定定理，根据直线与圆的方程，通过联立方程求解直线与圆的交点，求得的交点就是切点的位置。

2. 在空间几何中，求解一个平面与一个曲面的切线可以采用类似的方法，根据平面与曲面的方程，求解平面与曲面的交线即可得到曲面的切线。

五、切线的应用1. 在几何学中，切线经常用于证明几何性质，如证明两个圆相切、证明曲线的凹凸性等；2. 在物理学中，切线常用于描述运动过程中的速度、加速度等；3. 在工程学中，切线常用于计算曲线的斜率、弧长等。

切线的判定

A
例题讲解：
例2 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB， CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC
O
∵ OA=OB ， CA=CB ，
∴△OAB是等腰三角形，OC是底边 AB上的中线.
∴ OC⊥AB. ∴ AB是⊙O的切线.
A
C
B
连半径，证垂直
例3：如图，O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为⊙O的半径。求证：⊙O与AC相切。 B
根据直线和圆相交、相切、相离的定义： · 直线和⊙O相交 d＜r； A O B M · O 直线和⊙O相离 d＞r；直线和⊙O相切
d = r. D
· O
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A做直线l⊥OA,则圆心O 到直线 l 的距离是多少？
o
l
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
A
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
(2)连半径，证垂直 (3)作垂直，证半径
D
证明：过O作OE⊥AC于E。
A E
O
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径
C
作垂直，证半径
∴ AC是⊙O的切线。
练一练：
1、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
(1)求证:DE是⊙O的切线. (2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．
例题讲解例1：如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°，
AT=AB,求证AT 是⊙O的切线.
证明:
∵ ∠ABT = 45°，AT=AB
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT = 90°. ∴Байду номын сангаасTA⊥OA. O · ∵ OA是⊙O的半径， T B

3.4切线的判定

如图，A,B为⊙O上的两点，AC为过点A的一条直线，如果 ∠AOB＝120°，那么∠CAB= 时， AC是⊙O切线 A
O
.
B
C
练习
如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， A PE⊥AC于E。求证:PE是⊙O的切线。证明：连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OBP=∠C。 ∴OP∥AC。 ∵PE⊥AC， ∴∠PEC=90° ∴ ∠OPE=∠PEC=90° ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。
切线的判定定理
磐石回中：蔡艳平
温故知新
1、如何判断直线和圆的位置关系？
（1）直线和圆公共点个数；（2）数量关系：圆心到直线的距离d与半径r的大小关系。 2、直线和圆相切的判断方法：（1）直线和圆公共点个数：有且只有一个公共点。（2）数量关系： d=r 。
3.过圆上一点如何作圆的切线？
〖牛刀小试〗
1、如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。直线AB是⊙O的切线吗？为什么？证明：连接OC. ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ AB⊥OC . 又∵ 点C在⊙O上 ∴ AB是⊙O的切线.
O
A
C
B
连半径,证垂直。
〖牛刀小试〗
2.如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆 B 心，OD为半径作⊙O。 D 求证： AC与⊙O相切。 O
2. 常用的添辅助线方法 ⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直） ⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径）
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切线的判定定理证明

切线的判定定理证明哇塞，一看到“切线的判定定理证明”这个题目，是不是感觉有点头大？嘿嘿，其实我一开始也是！在数学的奇妙世界里，切线就像是一颗神秘的星星，而切线的判定定理就像是找到这颗星星的地图。

想象一下，一个圆就像一个大大的甜甜圈，圆上的某一点就像是甜甜圈上的一颗巧克力豆。

如果有一条直线，刚好在这颗巧克力豆的位置和甜甜圈只有一个亲密接触点，那这条直线不就是切线吗？那怎么证明这条直线就是切线呢？老师在课堂上讲的时候，我那叫一个认真听啊！老师说，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这就好比，你是一个勇敢的探险家，圆的半径就是你手里的指南针，而垂直于半径的直线就是你要走的道路。

只有当你沿着正确的方向，也就是垂直于半径的方向走，并且从指南针的最外端出发，才能真正找到宝藏，也就是证明这条直线是切线。

我和同桌一起讨论这个问题的时候，他还一脸懵，问我：“这咋就证明了呢？”我就跟他说：“你想想啊，如果直线不垂直于半径，那不就像走路走歪了，能到达正确的地方吗？”他听了，好像有点开窍了。

还有一次，小组讨论的时候，我们为了一个细节争得面红耳赤。

有人说：“这不是很明显吗？”另一个人马上反驳：“明显啥呀明显，你得说出个道理来！”大家七嘴八舌，好不热闹。

其实，证明切线的判定定理，就像是搭积木。

每一个条件，每一个步骤，都是一块积木。

只有把每一块都放对位置，才能搭出坚固漂亮的房子，也就是完成证明。

你说，数学是不是很神奇？它就像是一个充满谜题的大宝藏，等着我们去挖掘，去解开。

虽然有时候会觉得很难，但是当你真正搞懂了，那种成就感，简直无与伦比！所以呀，我觉得切线的判定定理证明虽然有点复杂，但是只要我们用心去探索，就一定能掌握它！。

切线的判定证半径

切线的判定证半径半径与切线的关系是几何学中的一个重要概念。

在几何学中，切线是指与曲线相切于一点的直线。

而半径则是从圆心到圆上任意一点的线段长度。

本文将探讨半径与切线的判定方法，并解释其原理。

一、半径与切线的关系在圆中，半径与切线有着紧密的联系。

当一条直线与圆相交于一点，并且该直线通过该点的圆心时，这条直线就是圆的切线。

而这条直线与圆心到该点的线段即为半径。

二、判定半径为切线的条件判定半径为切线的条件是：若在圆上有一点P，以这点为圆心作一条直线，当且仅当这条直线与圆相切于点P时，这条直线就是圆的切线。

三、判定半径为切线的方法1. 观察直线与圆的位置关系。

当直线与圆相交于一点，并且通过该点的直线过圆心时，可以判断该直线为圆的切线。

这是因为切线与圆相交于一点，并且通过圆心，所以该直线即为切线。

2. 利用切线与半径的垂直关系。

在圆上取一点P，连接圆心O与切点T，连接OP，由于半径与切线垂直，所以OT与切线平行。

利用平行线的性质，可以得出OT与切线平行，从而OT即为切线。

因此，半径OP即为切线。

3. 利用切线与圆的切点关系。

当直线与圆相交于一点，并且该点是圆的切点时，可以判断该直线为圆的切线。

这是因为切线与圆相切于一点，所以该直线即为切线。

四、判定半径为切线的实例假设有一个圆，圆心为O，半径为r。

在圆上取一点P，并连接OP。

现判断OP是否为切线。

观察直线OP与圆的位置关系。

若直线OP与圆相交于一点，并且通过该点的直线过圆心O，则可以判断直线OP为圆的切线。

利用切线与半径的垂直关系。

连接圆心O与切点T，连接OT。

观察OT与直线OP的位置关系。

若OT与直线OP平行，则可以判断直线OP为圆的切线。

观察点P与圆的切点关系。

若点P是圆的切点，则可以判断直线OP 为圆的切线。

根据以上的判定方法，我们可以判断直线OP是否为圆的切线，从而确定半径与切线的关系。

总结：半径与切线在圆中有着紧密的关系。

通过观察直线与圆的位置关系、切线与半径的垂直关系以及切线与圆的切点关系，可以判定半径是否为切线。

35.4切线的判定