不等式综合提高
不等式及其性质(提高)知识讲解
不等式及其性质（提高）知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.【要点梳理】知识点一、不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．要点诠释：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；二是确定方向，对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】知识点三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握应注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】类型一、不等式的概念1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是()【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的．。
不等式综合提高
解得 m＞2
b （1）若 ax b的解集为 x ，求a的取 a a<0 值范围________ 。
（2）若不等式（a-2)x>a-2的解集为x<1，求a 的取值范围( B )。 A a < -2 Ba<2 Ca >-2 D a >2 （3）已知不等式（m-1)x>3的解集为x< -1，求m 的值。 3 3
某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加 旅游的的人数估计为10~25人，甲、乙两家旅行社 的服务质量相同，且报价都是每人200元，经过协 商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙 旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游 客八折优惠，该单位选择哪一定旅行社支付的旅游 费用较少？
解答：设该单位参加这次旅游的人数是x人， 选择甲旅行社时，所需的费用为y1， 选择乙旅行社时，所需的费用为y2，则：
V≤40
t≥6000
3x＞5
q＜p+2
x≠3
≤ ≥ ＞＜≠
——不等号
用不等号连接而成的数学式子叫不等式。
不等式的基本性质：
性质0：若a＜b，b＜c，则a＜c。 （传递性）
性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数, 所得到的不等式仍成立. （不等号方向不变）
性质2：（1）不等式的两边都乘(或都除以)
y1=200×0.75x，即y1=150x， y2=200×0.8(x-1)，即y2=160x-160,
y1= y2时，150x=160x-160, 解得x=16; y1 >y2时，150x>160x-160, 解得x<16; y1< y2时，150x<160x-160, 解得x>16;
不等式的综合应用提高。知识梳理
不等式的综合应用【考纲要求】1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3．通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；4．通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；5．能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题．6．通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识．．【知识网络】【考点梳理】考点一：不等式问题中相关方法1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化．在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一．通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰．2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法．方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用．3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰．通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用．4．比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维等，将会起到很好的促进作用．在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法．通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相不等式的综合应用 解不等式问题实际应用问题 不等式中的含参问题 不等式证明成，达到欲证的目的．6．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．考点二：不等式与相关知识的渗透1．不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用．因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用．在解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明．不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中．诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。
数学不等式题解题技巧和突破方法
数学不等式题解题技巧和突破方法数学不等式题在高中数学中占有重要地位，也是考试中常见的题型之一。
解不等式题需要一定的技巧和方法，下面将介绍一些常见的解题技巧和突破方法。
1. 分类讨论法不等式题中常常需要对不同情况进行分类讨论，以找到合适的解题方法。
例如，当不等式中存在绝对值时，可以将其分为正数和负数两种情况进行讨论。
又如，当不等式中有分式时，可以根据分子分母的正负性进行分类讨论。
通过分类讨论，可以将复杂的不等式转化为简单的情况进行求解。
2. 套路法解不等式题时，有一些常见的套路可以帮助我们快速解题。
例如，对于形如a^2 - b^2 > 0的不等式，可以将其因式分解为(a+b)(a-b)>0，并根据乘积为正的性质得到解集。
又如，对于形如a^2 + b^2 > 0的不等式，可以直接得到解集为全体实数。
掌握这些套路可以极大地提高解题效率。
3. 变量替换法有时候，通过合适的变量替换可以简化不等式的形式，从而更容易求解。
例如，当不等式中存在平方根时，可以通过令变量等于平方根的形式，将其转化为简单的二次不等式。
又如，当不等式中存在分式时，可以通过变量替换将其转化为一次不等式。
变量替换的关键是找到合适的变量，使得不等式的形式更简单。
4. 递推法有些不等式题目可以通过递推的方式求解。
递推法的关键是找到递推关系式，通过递推关系式将问题化简为简单的情况。
例如，对于形如a^n - b^n > 0的不等式，可以通过递推关系式(a-b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1))>0得到解集。
递推法可以帮助我们快速求解复杂的不等式题目。
5. 反证法有些不等式题目可以通过反证法求解。
反证法的关键是假设不等式不成立，然后推导出矛盾的结论。
通过反证法可以排除一些不可能的情况，从而找到合适的解集。
例如，对于形如a^2 + b^2 >= 2ab的不等式，可以假设a^2 + b^2 < 2ab，然后推导出矛盾的结论，从而得出a^2 + b^2 >= 2ab的结论。
基本不等式提高题
基本不等式提高题基本不等式提高题1．已知直线l 1：a 2x+y+2=0与直线l 2：bx ﹣（a 2+1）y ﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 2．已知a ＞0，b ＞1且2a+b=4，则+的最小值为（ ）A ．8 B ．4 C ．2 D ．3．设a ＞b ＞0，则a++的最小值为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ．3+24．已知M 是△ABC 内的一点，且，∠BAC=，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为，x ，y ，则的最小值为（ ） A ．16 B ．18 C ．20 D ．24 5．实数x 、y 满足x 2+2xy+y 2+4x 2y 2=4，则x ﹣y 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．26．已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且BD=2AD ，AE=2EC ，点P 是线段DE 上的任意一点，若=x +y ，则xy 的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（ ） A ．2 B ．4 C ．D ．3 8．若log 4（3a+4b ）=log 2，则a+b 的最小值是（ ）A ．6+2 B ．7+2 C ．6+4 D ．7+4 9．设a ＞1，b ＞0，若a+b=2，则的最小值为（ ） A ．3+2 B ．6 C ．4 D ．10．已知正数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1，则S=的最小值为（ ） A ．3 B ．C ．4 D ．2（+1） 11．设x ＞0，y ＞0，x+y ﹣x 2y 2=4，则的最小值等于（ ）A ．2 B ．4 C ．D ．12．已知实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a 4+ab+b 4的最小值为（ ） A ． ﹣ B ． 0C ． 1D ．13．若x ，y ∈R ，函数f （x ）=（x+y ）2+（﹣y ）2的最小值是（ ） A ．4 B ．0 C ．2 D ．1 14．设a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=2，a 2+b 2+c 2=12，则c 的最大值和最小值的差为（ ） A ． 2 B ．C ．D ．15．“”称为a ，b ，c 三个正实数的“调和平均数”，若正数x ，y 满足“x ，y ，xy 的调和平均数为3”，则x+2y 的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．8 16．若实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=2，则xy+yz+zx 的取值范围是（ ）A ．[﹣1，2] B ．[1，2] C ．[﹣1，1] D ．[﹣2，2]17．已知x ，y 满足x ≥0，x 2+（y ﹣2）2=2，则w=的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 18．若k ＞1，a ＞0，则k 2a 2+取得最小值时，a 的值为（ ） A ．1 B ．C ．2 D ．4 19．已知a ＞0，b ＞0，f=，则f 的最小值为（ ） A ．8 B ．16 C ．20 D ． 25 20．若正数x ，y 满足+=1，则+的最小值为（ ）A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 21．若正数a ，b ，c 满足c 2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c 的最小值为（ ）A ．B ．2 C ．2 D ．2 22．设a ，b ＞0，且2a+b=1，则2﹣4a 2﹣b 2的最大值是（ ） A +1BCD﹣1．．．．23．已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A ．B．2 C．D．324．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（）A ．（a+b）＞16B．bc（b+c）＞8C．6≤abc≤12D．12≤abc≤2425．已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且=•，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，则+的最大值为__________26．设f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f （x）≥0恒成立，当取得最小值时，a=__________27．在△ABC中，设AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c 分别表示角B，C 所对的边长，则的取值范围是__________28．已知x ，y ，z ∈R +，且x+4y+9z=1，则++的最小值是__________29．已知点A （1，﹣1），B （4，0），C （2，2），平面区域D 是所有满足=+μ（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）的点P （x ，y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则4a+b 的最小值为 __________30．设实数a ，b ，c ，d 满足ab=c 2+d 2=1，则（a ﹣c ）2+（b﹣d ）2的最小值为__________参考答案1．（2015•嘉兴一模）已知直线l 1：a 2x+y+2=0与直线l 2：bx ﹣（a 2+1）y ﹣1=0互相垂直，则|ab|的最小值为（ ）A ． 5B ．4 C ．2 D ．1考点： 基本不等式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 计算题．分析： 由题意可知直线的斜率存在，利用直线的垂直关系，求出a ，b 关系，然后求出ab 的最小值．解答： 解：∵直线l 1与l 2的斜率存在，且两直线垂直，∴a 2b ﹣（a 2+1）=0，∴b=＞0，当a ＞0时，|ab|=ab=a+≥2；当a ＜0时，|ab|=﹣ab=﹣a ﹣≥2， 综上，|ab|的最小值为2． 故选C点评： 此题考查了直线的一般式方程与直线的垂直关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握直线垂直时满足的关系是解本题的关键．2．（2015•重庆模拟）已知a ＞0，b ＞1且2a+b=4，则+的最小值为（ ） A ． 8 B ．4 C ．2 D ．考点： 基本不等式．专题： 导数的综合应用．分析： a ＞0，b ＞1且2a+b=4，由b=4﹣2a ＞0，解得0＜a ＜2．则+==f （a ），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答： 解：∵a ＞0，b ＞1且2a+b=4，∴b=4﹣2a ＞1，解得0＜a ＜．则+===f （a ）， ∴f ′（a ）=+=，当时，f ′（a ）＜0，此时函数单调递减；当＞时，f ′（a ）＞0，此时函数单调递增．∴当a=时，f （a ）取得极小值即最小值，=． ∴+的最小值为．故选：D ．点评： 本题考查了导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2015•哈尔滨校级二模）设a ＞b ＞0，则a++的最小值为（ ） A ． 2 B ．3 C ．4 D ．3+2考点： 基本不等式．专题： 不等式．分析： 由题意可得a ﹣b ＞0，a++=（a ﹣b ）+++b ，由基本不等式可得．解答： 解：解：∵a ＞b ＞0，∴a ﹣b ＞0，∴a++=（a ﹣b ）+++b ≥4=4当且即当（a ﹣b ）===b 即a=2且b=1时取等号， ∴a++的最小值为：4故选：C ．点评： 本题考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键．4．（2015•烟台一模）已知M 是△ABC 内的一点，且，∠BAC=，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为，x ，y ，则的最小值为（ ）A ． 16B ．18 C ．20 D ．24考点： 基本不等式；平面向量数量积的运算．专题： 不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析： 由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S △ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．解答：解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S △ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．点评：本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．（2015•上海二模）实数x、y满足x2+2xy+y2+4x2y2=4，则x﹣y的最大值为（）A B C D2考点：基本不等式．专题：三角函数的求值．分析： x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．化简利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：x2+2xy+y2+4x2y2=4，变形为（x+y）2+（2xy）2=4，设x+y=2cosθ，2xy=2sinθ，θ∈[0，2π）．则（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=4cos2θ﹣4sinθ=5﹣4（sinθ+）2≤5，∴x﹣y．故选：C．点评：本题考查了平方法、三角函数代换方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2015•河南一模）已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且BD=2AD，AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为（）A B C D考点：基本不等式；平面向量的基本定理及其意义．专题：不等式的解法及应用；平面向量及应用．分析：如图所示，，．由于点P是线段DE 上的任意一点，利用向量共线定理可得：存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得2x+y=，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，，．∵点P是线段DE上的任意一点，∴存在实数k使得=k+，与=x+y比较可得：，∴2x+y=，∴，化为xy≤，当且仅当2x=y=时取等号．故选：B．点评： 本题考查了向量共线定理、共面向量基本定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2015•湖南一模）若一个三角形某边长为4，周长为10，则此三角形面积的最大值为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． D ．3考点： 基本不等式．专题： 解三角形．分析： 设三角形另外两边分别为a ，b ．可得a+b=6．由余弦定理可得：42=a 2+b 2﹣2abcosC ，化为，利用=5ab ﹣25，再利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：设三角形另外两边分别为a ，b ．则4+a+b=10， ∴a+b=6．由余弦定理可得：42=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴16=（a+b ）2﹣2ab ﹣2abcosC ，化为，∵，∴==5ab ﹣25=20，当且仅当a=b=3时取等号． ∴．故选：A ．点评： 本题考查了三角形的周长及其面积计算公式、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．（2014•重庆）若log 4（3a+4b ）=log2，则a+b 的最小值是（ ）A ． 6+2B ． 7+2C ． 6+4D ．7+4考点： 基本不等式；对数的运算性质．专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用对数的运算法则可得＞0，a ＞4，再利用基本不等式即可得出解答： 解：∵3a+4b ＞0，ab ＞0，∴a ＞0．b ＞0 ∵log 4（3a+4b ）=log2，∴log 4（3a+4b ）=log 4（ab ）∴3a+4b=ab ，a ≠4，a ＞0．b ＞0 ∴＞0，∴a ＞4， 则a+b=a+=a+=a+3+=（a ﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号． 故选：D ．点评： 本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．9．（2014•淄博一模）设a ＞1，b ＞0，若a+b=2，则的最小值为（ ） A ． 3+2 B ．6 C ．4 D ．考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 变形利用基本不等式即可得出． 解答： 解：∵a ＞1，b ＞0，a+b=2，∴a ﹣1＞0，a ﹣1+b=1． ∴==3+=3+2．当且仅当b=（a ﹣1），a+b=2， 即a=，b=2﹣时取等号． ∴的最小值为．故选：A ．点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（2015春•和平区校级月考）已知正数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1，则S=的最小值为（ ） A ． 3 B ．C ．4 D ．2（+1）考点： 基本不等式；二维形式的柯西不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由题意可得1﹣z 2=x 2+y 2≥2xy ，从而可得≥，由基本不等式和不等式的性质可得≥≥4解答： 解：由题意可得0＜z ＜1，0＜1﹣z ＜1，∴z （1﹣z ）≤（）2=，当且仅当z=（1﹣z ）即z=时取等号， 又∵x 2+y 2+z 2=1，∴1﹣z 2=x 2+y 2≥2xy ，当且仅当x=y 时取等号，∴≥1， ∴≥1，∴≥，∴≥≥4，当且仅当x=y=且z=时取等号， ∴S=的最小值为4故选：C点评： 本题考查基本不等式，涉及不等式的性质和配凑的方法，属中档题．11．（2015•赫章县校级模拟）设x ＞0，y ＞0，x+y ﹣x 2y 2=4，则的最小值等于（ ） A ． 2 B ．4 C ．D ．考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由x+y ﹣x 2y 2=4可得x+y=x 2y 2+4，x ＞0，y ＞0．于是==xy+，再利用基本不等式即可得出．解答： 解：由x+y ﹣x 2y 2=4可得x+y=x 2y 2+4，x ＞0，y ＞0．∴=，当且仅当xy=2时取等号， 因此的最小值等于4．故选：B ．点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．12．（2014•鸠江区校级自主招生）已知实数a ，b 满足a 2+b 2=1，则a 4+ab+b 4的最小值为（ ） A ． ﹣ B ． 0 C ． 1 D ．考点： 基本不等式．专题： 三角函数的求值．分析： 由a 2+b 2=1，可设a=cos θ，b=sin θ，θ∈[0，2π）．利用倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性即可得出．解答： 解：∵a 2+b 2=1，∴可设a=cos θ，b=sinθ，θ∈[0，2π）．∴a 4+ab+b 4=cos 4θ+cos θsin θ+sin 4θ=（cos 2θ+sin 2θ）2﹣2sin 2θcos 2θ+cos θsin θ =+1 =，当sin2θ=﹣1时，上式取得最小值为0．故选：B ．点评： 本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性，考查了转化方法，属于中档题．13．（2014•四川二模）若x ，y ∈R ，函数f （x ）=（x+y ）2+（﹣y ）2的最小值是（ ）A ． 4B ．0 C ．2 D ．1考点： 基本不等式．专题： 计算题；不等式的解法及应用．分析： f （x ）=（x+y ）2+（﹣y ）2表示（x ，）与（﹣y ，y ）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=﹣x 上的点的距离的最小值的平方，由曲线的性质可求答案．解答： 解：f （x ）=（x+y ）2+（﹣y ）2表示（x ，）与（﹣y ，y ）两点间距离的平方，则问题转化为求曲线y=上的点到y=﹣x 上的点的距离的最小值的平方， 而两曲线关于y=x 对称，∴（1，1）或（﹣1，﹣1）到（0，0）的距离的平方即为所求， d=2=2，故选：C ．点评： 该题考查函数的最值问题，考查转化思想，解决该题的关键是熟练式子的几何意义并能正确转化．14．（2014•绵阳三模）设a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=2，a 2+b 2+c 2=12，则c 的最大值和最小值的差为（ ） A ． 2 B ． C ． D ．考点： 基本不等式．专题： 计算题．分析： 将c 看成常数，求出a+b ，ab ，构造方程x2﹣（2﹣c ）x+c 2﹣2c ﹣4=0，应用判别式不小于0，解出不等式，求出c 的最大值和最小值，作差即可．解答： 解：∵a+b+c=2，∴a+b=2﹣c ．∵a 2+b 2+c 2=12，∴（a+b ）2﹣2ab+c 2=12，∴（2﹣c ）2﹣2ab+c 2=12，∴ab=c 2﹣2c ﹣4．于是a ，b 可以看成是关于x 的方程x 2﹣（2﹣c ）x+c 2﹣2c ﹣4=0的两根，∴△=（2﹣c ）2﹣4（c 2﹣2c ﹣4）≥0， 解得，﹣2≤c ≤，∴c 的最大值为，最小值为﹣2， 即c 的最大值和最小值的差为． 故选C ．点评： 本题主要考查多元最值问题，解决的方法是将其中的一个看作常数，应用基本不等式或二次方程有实数解的条件，判别式不小于0，解出不等式．15．（2014•金华模拟）“”称为a ，b ，c 三个正实数的“调和平均数”，若正数x ，y 满足“x ，y ，xy 的调和平均数为3”，则x+2y 的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．8考点：基本不等式．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：由调和平均数的定义，结合已知得到x=，再由x＞0得到y＞1，把x=代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．解答：解：由“调和平均数”定义知，x，y，xy的调和平均数为，整理得：x+y+1=xy，x=，∵x=＞0，∴y＞1．则x+2y=====．当且仅当2（y﹣1）=，即y=2时上式等号成立．∴x+2y的最小值是7．故选：C．点评：本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、y的关系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中档题．16．（2014•黄冈模拟）若实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=2，则xy+yz+zx 的取值范围是（ ） A ． [﹣1，2] B ． [1，2] C ． [﹣1，1] D ．[﹣2，2]考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 利用（x ﹣y ）2+（x ﹣z ）2+（y ﹣z ）2≥0，可得x 2+y 2+z 2≥xy+xz+yz ，又（x+y+z ）2=x 2+y 2+z 2+2（xy+yz+xz ）≥0，即可得出．解答： 解：∵（x ﹣y ）2+（x ﹣z ）2+（y ﹣z ）2≥0，∴x 2+y 2+z 2≥xy+xz+yz ， ∴xy+yz+zx ≤2；又（x+y+z ）2=x 2+y 2+z 2+2（xy+yz+xz ）≥0，∴xy+xz+yz ≥=﹣1．综上可得：﹣1≤xy+xz+yz ≤2． 故选：A ．点评： 本题考查了不等式的性质和灵活应用乘法公式的能力，属于中档题．17．（2014•惠州模拟）已知x ，y 满足x ≥0，x 2+（y ﹣2）2=2，则w=的最大值为（ ） A ． 4 B ．5 C ．6 D ．7考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用． 分析： 首先将w 的式子展开成3+，要求w 的最大值，即求的最大值，运用不等式x 2+y2≥2xy ，当且仅当x=y 时取等号，结合条件x 2+（y ﹣2）2=2，求出x ，y ，从而得到最大值．解答： 解：w=可化为w=3+，要求w=的最大值，即求的最大值，∵x ≥0，x 2+（y ﹣2）2=2， ∴x ≥0，2﹣≤y ≤2， 若x=0，则y=2，w=3，若x ≥0，y=0，则不成立，∴x ＞0，y ＞0．∵x 2+y 2≥2xy ，∴≤1，当且仅当取等号，即x=y=1时，w=取最大值，且为4． 故选：A ．点评： 本题主要考查基本不等式及变形的运用，应注意等号成立的条件，即取最值的条件，有时要检验．18．（2014•武清区三模）若k ＞1，a ＞0，则k 2a 2+取得最小值时，a 的值为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．4考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由基本不等式可得k 2a 2+≥当且仅当a=时取等号，又≥16，当且仅当=，即k=2时取等号，代入a=，可得答案．解答： 解：∵k ＞1，a ＞0，由基本不等式可得k 2a 2+≥2= 当且仅当k 2a 2=，即a=时取等号， 又==8（+）≥16当且仅当=，即k=2时取等号，∴当k=2即a=时，k 2a 2+取得最小值故选：B ．点评： 本题考查基本不等式，准确变形并注意等号成立的条件是解决问题的关键，属中档题．19．（2014•上海模拟）已知a ＞0，b ＞0，f=，则f 的最小值为（ ） A ． 8 B ．16 C ．20 D ．25考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 两次利用基本不等式的性质即可得出． 解答： 解：∵a ＞0，b ＞0，∴f=≥==≥16，当且仅当a=4b ，=2，即a=4，b=1时取等号．故选：B ．点评： 本题考查了基本不等式的性质，注意等号成立的条件，属于基础题．20．（2014•和平区校级模拟）若正数x ，y 满足+=1，则+的最小值为（ ） A ． 1 B ．4 C ．8 D ．16考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 由正数x ，y 满足+=1，可得x ﹣1=．（y＞1），代入利用基本不等式即可得出．解答： 解：∵正数x ，y 满足+=1，∴（y ＞1），∴x ﹣1=．则+=（y﹣1）+=4，当且仅当y=3（x=）时取等号．∴+的最小值为4．故选：B．点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．21．（2014•唐山二模）若正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，则a+2b+c的最小值为（）A ．B．2C．2 D．2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，利用乘法公式和基本不等式可得：（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，即可得出．解答：解：∵正数a，b，c满足c2+4bc+2ac+8ab=8，∴（a+2b+c）2=a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc≥4ab+c2+4ab+2ac+4bc=8，当且仅当a=2b＞0时取等号．∴，因此a+2b+c 的最小值为．故选：D．点评：本题考查了乘法公式和基本不等式的应用，属于中档题．22．（2014春•峰峰矿区校级期末）设a，b＞0，且2a+b=1，则2﹣4a2﹣b2的最大值是（）A ．+1 B．C．D．﹣1考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先将2a+b=1两边平方，然后将2﹣4a2﹣b2化简一下，然后利用二次函数求出ab的最值，从而可求出所求．解答：解：∵2a+b=1，∴（2a+b）2=1，∴S=2﹣4a2﹣b2=4ab+2﹣1，∴ab有最大值时S有最大值．∵2a+b=1，∴2ab=b﹣b2=﹣（b ﹣）2≤，∴当b=时，2ab 有最大值∴当b=时，a=，S 有最大值+﹣1=故选C．点评：本题主要考查了基本不等式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．23．（2014春•沙坪坝区校级期末）已知实数x＞0，y＞0，0＜λ＜2，且x+y=3，则的最小值为（）A ．B．2 C．D．3考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于实数x＞0，y＞0，x+y=3，可得2x+（2﹣λ）y+λy=6．变形为∴=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵实数x＞0，y＞0，x+y=3，∴2x+（2﹣λ）y+λy=6．∴==3，当且仅当2x=（2﹣λ）y=λy ，x+y=3，即x=1，y=2，λ=1时取等号． ∴的最小值为3． 故选：D ．点评： 本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．24．（2015•南宁二模）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin2A+sin2B+sin2C=，面积S ∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（ ）A ． （a+b ）＞16B ． bc （b+c ）＞8C ． 6≤abc ≤12D ． 12≤abc≤24考点： 基本不等式；三角形中的几何计算． 专题： 解三角形；不等式的解法及应用．分析： 利用和差化积可得：sin2A+sin2B+sin2C=4sinCsinAsinB ，可得sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R ，利用正弦定理可得及S=，可得sinAsinBsinC==，即R 2=4S ，由于面积S满足1≤S ≤2，可得2≤R ≤，即可判断出．解答：解：∵sin2A+sin2B+sin2C=2sin（A+B）cos （A﹣B）+2sinCcosC=2sinC[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]=4sinCsinAsinB，∴4sinCsinAsinB=，即sinCsinAsinB=，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，可得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R 2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得8≤abc，显然选项C，D不一定正确，A．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，B．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，故选：B．点评：本题考查了三角函数和差化积、三角形的面积计算公式、正弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（2014•怀远县校级模拟）已知点F （0，1），直线l ：y=﹣1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且=•，动点P 的轨迹为C ，已知圆M 过定点D （0，2），圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA|=l 1，|DB|=l 2，则+的最大值为（）A ． 2B ． 3C ． 2D ． 3考点： 基本不等式；平面向量的综合题．专题： 不等式的解法及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： 如图所示，设P （x ，y ），则Q （x ，﹣1），由=•，利用数量积运算得到动点P的轨迹C 为：x 2=4y ．设M ．（a ∈R ）．得到⊙M 的方程为：=．令y=0，则x 2﹣2ax+a 2=4，可得A （a+2，0），B （a ﹣2，0）．利用两点之间的距离公式可得|DA|=l 1，|DB|=l 2．当a ≠0时，+==变形利用基本不等式即可得出．a=0，直接得出．解答：解：如图所示，设P（x，y），则Q（x，﹣1），∵=•，∴（0，y+1）•（﹣x，2）=（x，y﹣1）•（x，﹣2），∴2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），化为x2=4y．∴动点P的轨迹C为：x2=4y．设M．（a∈R）．则⊙M的方程为：=．化为．令y=0，则x2﹣2ax+a2=4，解得x=a+2，或a﹣2．取A（a+2，0），B（a﹣2，0）．∴|DA|=l 1=，|DB|=l 2=．当a≠0时，+=====2≤2=2，当且仅当a=时取等号．当a=0时，+=2．综上可得：+的最大值为2．故选：C．点评：本题综合考查了数量积的运算、点的轨迹方程、两点之间的距离公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．26．（2014•凉山州模拟）设函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab ≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，当取得最小值时，a的值为（）A ．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一次函数的单调性可得a2﹣b2≥2．再利用基本不等式可得≥=，令|b|=t＞0，g（t）=，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．解答：解：∵函数f（x）=a2﹣2﹣b2x（ab≠0），当﹣1≤x≤1时，f（x）≥0恒成立，∴f（1）=a2﹣2﹣b2≥0，化为a2﹣b2≥2．∴≥=，令|b|=t＞0，g（t）=，则==，令g′（t）=0，解得t2=1．令g′（t）＞0，解得t2＞1，此时函数g（x）单调递增；令g′（t）＜0，解得0＜t2＜1，此时函数g（x）单调递减．∴当t2=1时，函数g（t）取得最小值，g（1）=12．此时a 2=b2+2=1+2=3，解得a=．故选：D．点评：本题考查了一次函数的单调性、基本不等式、利用导数研究其单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．27．（2014春•红岗区校级期末）在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD=BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则的取值范围是（ ）A ．[2，] B ． [2，] C ． [3，] D ．[3，]考点： 基本不等式． 专题： 解三角形；不等式的解法及应用．分析： 由三角形的面积公式可得S △ABC ==bcsinA ，可得sinA ，由余弦定理可得cosA ，可得≤，再由基本不等式可得≥2，综合可得．解答： 解：∵BC 边上的高AD=BC=a ，∴S △ABC ==bcsinA ，∴sinA=，∵cosA==（）， ∴=2cosA+sinA=sin （A+α）≤，其中tanA=2， 又由基本不等式可得≥2=2，∴的取值范围是[2，]．故选：A点评： 本题考查三角形的面积公式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式以及基本不等式，属中档题．28．（2014春•龙华区校级期末）已知x ，y ，z ∈R +，且x+4y+9z=1，则++的最小值是（ ）A ． 9B ． 16C ． 36D ．81考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 变形可得++=（++）（x+4y+9z ）=14+（+）+（+）+（+），由基本不等式可得．解答： 解：∵x ，y ，z ∈R +，且x+4y+9z=1， ∴++=（++）（x+4y+9z ） =14++++++=14+（+）+（+）+（+）≥14+2+2+2=36当且仅当=且=且=时取到故选：C点评： 本题考查基本不等式，准确变形是解决问题的关键，属基础题．29．（2014秋•安徽期末）已知点A （1，﹣1），B （4，0），C （2，2），平面区域D 是所有满足=+μ（1＜λ≤a ，1＜μ≤b ）的点P （x ，y ）组成的区域．若区域D 的面积为8，则4a+b 的最小值为 （ ）A ．5B ． 4C ． 9D ． 5+4考点： 基本不等式；平面向量的基本定理及其意义． 专题： 不等式的解法及应用．分析： 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH ∥AN ，BF ∥AM ，NG ∥AM ，MG ∥AN ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意可知：点P （x ，y ）组成的区域D 为图中的四边形EFGH 及其内部．利用向量的夹角公式可得cos ∠CAB=，利用四边形EFGH 的面积S==8，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得|AN|=a|AB|，|AM|=b|AC|，作CH∥AN，BF∥AM，NG∥AM，MG∥AN，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形．由题意可知：点P（x，y）组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部．∵=（3，1），=（1，3），=（﹣2，2），∴=，=，=．∴cos∠CAB===，．∴四边形EFGH的面积S==8，∴（a﹣1）（b﹣1）=1，即．∴4a+b=（4a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=3时取等号．∴4a+b的最小值为9．故选：C．点评：本题考查了向量的夹角公式、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．30．（2014春•榕城区校级期中）设实数a，b，c，d满足ab=c2+d2=1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A ．+1 B．3+2C．﹣1 D．3﹣2考点：基本不等式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，分别画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可．联立方程解出点A，B的坐标，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：如图所示，画出函数y=x，y=，圆x2+y2=1的图象．由于对称性，只考虑第一象限内的最小距离即可．联立解得x=y=1；联立，解得．∴（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值==3．故选：D．点评：本题考查了圆锥曲线的图象、方程组的解法、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．。
提高不等式综合解题能力的教案设计
提高不等式综合解题能力的教案设计一、教学目标1.理解不等式的概念、性质和解法；2.掌握不等式的基本解法和常用技巧；3.培养学生的分析问题和综合运用知识的能力；4.提高学生的解题思维能力和应用能力。
二、教学内容1.不等式的基本概念和性质；2.不等式的解法和技巧；3.不等式综合解题。
三、教学重点1.不等式的解法和技巧；2.不等式综合解题。
四、教学难点1.不等式的综合运用；2.不等式与实际问题的联系。
五、教学方法1.经验教学法——讲授基本概念和解法，引导学生掌握不等式的基本技巧；2.理解教学法——通过实际生活中的问题，引导学生理解不等式的概念和应用；3.综合教学法——结合实际问题，引导学生综合运用不等式解题。
六、教学步骤1.引入（5分钟）通过实际问题引入不等式概念，如：小明去超市买东西，超市有促销，满100元减20元，那么小明要买多少东西才能享受此优惠？2.讲解不等式的基本概念和性质（10分钟）介绍不等式基本概念及符号，范围，绝对值等相关概念；讲解不等式的性质，包括“正负性、可加性”等。
3.讲解不等式的基本解法和常用技巧（15分钟）介绍化简不等式的方法和技巧、分式不等式的处理方法、二次不等式的求解方法、矛盾式的应用等，让学生掌握基本解法和常用技巧。
4.练习一（15分钟）让学生自行解答5道基本类型不等式练习题，加深对基本技巧的掌握。
5.引入不等式综合解题（10分钟）通过实际问题，引导学生发现不等式与实际问题的联系，引入不等式综合解题。
6.讲解不等式综合解题的基本过程和方法（15分钟）引导学生分析不等式的应用，结合实际问题选取合适的方法结合解题，介绍分析问题、综合运用知识的思维方法，让学生掌握综合解题的基本过程和方法。
7.练习二（25分钟）引入实际生活中的问题，让学生综合运用不等式解题，分级设计不等式综合解题的练习，逐渐提高练习难度。
8.结语（5分钟）对学生本次上课所掌握的知识及方法进行反馈和总结，并布置下一次作业。
不等式与不等式组的综合提高
【本讲主要内容】不等式与不等式组的综合提高A. a>2B. a<2C. a<718D. a>718分析：先分别求出x的解，根据题意列出关于a的不等式，求出a的取值范围。
解：关于x的方程3425()x a+=+∴=+-32512x a327x a=-∴=-x a27 3关于x 的方程()()414343a xa x +=-∴+=-341434()()a x a x ∴+=-1231216ax x ax a ∴=-316x a ∴=-x a 163据题意，得2716a a ->-评析：我们知道，在初中阶段学过的知识中有3个非负数，即||x a a ≥≥≥0002，，，因此称它们为非负数。
当两个或三个非负数的和等于0时，那么每一个数只能为0，如： ||||x y +=0，则x ＝0，y ＝0； ||x y +=20，则x y ＝，＝00；x y 220+=，则x y ＝，＝00； a b +=0，则a b ==00，等。
【考点突破】【考点指要】对于稍加综合的不等式，对培养同学们分析问题及解决问题的能力是很重要的，而且常的，不要理解错误。
例2. 如果关于x 的不等式()a x a -<+15和2x<4的解集相同，则a 的值为__________。
分析：两个不等式中一个含有字母a ，另一个没有字母，只要分别求出x 的解集，可由它们的解集相同，求出a 的值。
解： ()a x a -<+15∴当a>1时，x a a <+-51① 当a<1时，x a a >+-51②∵2x<4∴它的解集为x<2 ③ 又知它们的解集相同，由①③ ∴+=a 52 ∴+-=+--=⨯-=-()()()()()a b 111121236评析：将不等式的解集化为n<x<m 的形式，再与-<<11x 进行对照，从而求出字母的值。
不等式(不等式组)提高经典练习题
1. 解下列不等式:（1）3[2(2)]3(1)x x x x --≥-- (2) 382(10)127x x x ---+≥2. 求不等式组的整数解：(1)32222(1)5x x x x ⎧-≤-⎪⎨⎪+>-⎩ (2）32823x x x x +<+⎧⎪⎨≥⎪⎩ (3)312(2)5233x x x x +<+⎧⎪⎨-≤+⎪⎩3. 求不等式2(53)3(12)x x x +>--的最小整数解4. 已知不等式20x -<的解也是关于x 的不等式312m x->的解，求m 的取值范围。
5.已知关于x 的不等式2x+2x a +≥（）的解集在数轴上的表示如图所示，求关于x 的53ax a +>不等式的解集。
6. (1)解不等式：47(1)5(2)3x x +-<+-；(2）若（1）中的不等式的最小整数解是关于x 的方程24x ax -=的解，求a 的值。
已知2(1)3x x -<-，化简:242x x +---7. 关于x 的不等式234mx x -<+的解集为63x m <-，试化简21m m ---8. 若是关于x 的一元一次不等式21(2)15m m x+-->，则这不等式的解集为 。
9. 解下列不等式（组)，并把解集在数轴上表示出来。
（1）2(13)797x +-≤≤ （2)41005411213x x xx x -<⎧⎪+>⎨⎪-≥+⎩(3）3(1)2(9)3 3.5 1.4 1.40.50.7x x x x ->+⎧⎪-+⎨-≤-⎪⎩10. 若关于x 的不等式0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，求m 的取值范围.11. 已知不等式2(1)53(1)4x x +-<++的最小整数解是关于x 的方程153x mx -=的解，求代数式2211m m --的值.12. 已知226(35)0m m n -+--=,且(32)15n m x -<-，化简25253x x +--+.13. 求不等式25673x--≤<的整数解 已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，求a 的取值范围。
高中数学学习中如何提高数学不等式题的解题能力
高中数学学习中如何提高数学不等式题的解题能力数学不等式题在高中数学学习中占据重要地位，解题能力的提高对学生来说至关重要。
本文将介绍几种方法和技巧，帮助学生提高数学不等式题的解题能力。
I. 熟悉不等式常见性质不等式题的解题能力建立在对不等式的性质和规律的理解上。
学生应该熟悉以下常见性质：1. 加减性质：两边同时加减同一个数，不等式的大小关系保持不变。
2. 等号性质：如果两个不等式的左边和右边分别相等，那么两个不等式的大小关系相同。
3. 倍增性质：如果两边同时乘以同一个正数，则不等式的大小关系保持不变；若乘以同一个负数，则不等式的大小关系改变。
4. 取倒性质：如果两个不等式在同一边同时取倒数，则不等式的大小关系发生改变。
II. 善于利用基本不等式基本不等式是高中数学中经常用到的重要不等式，包括算术平均-几何平均不等式和柯西-施瓦茨不等式等。
学生应该熟练掌握这些基本不等式，并灵活运用于不等式题的解答中。
III. 尝试各种解法解不等式题时，应尝试不同的解题方法，以寻找最简洁高效的解法。
常见的解题方法包括：1. 代入法：将不等式中的变量代入具体的数值，进行计算和比较。
2. 图像法：绘制函数图像，通过观察图像的特点来推断不等式的解集。
3. 分类讨论法：将不等式中的变量进行分类讨论，找出每个分类下的不等式解集，最后合并得到整体的解集。
4. 倒推法：从不等式的解集出发，反向推导原始的不等式，以验证解集的正确性。
5. 数学归纳法：通过数学归纳法证明不等式在所有可能情况下成立。
IV. 多做习题，掌握解题技巧掌握数学不等式题的解题技巧和方法是提高解题能力的关键。
学生应多做各种类型的不等式习题，积累解题经验，逐步提高解题技巧。
V. 合理安排学习时间数学的学习需要时间和耐心。
学生应合理安排学习时间，每天保持一定的数学学习时间，并将重点放在数学不等式题上，通过反复练习和思考，逐渐提高解题速度和准确度。
VI. 寻求帮助学生在学习中遇到困难或问题时，应及时向老师、同学或家长寻求帮助。
一元一次不等式,基础,提高,综合,学生版
一元一次不等式（组）解不等式组 ①⎪⎩⎪⎨⎧--≤--x x x x 14214)23( ②⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+356634)1(513x x x x⑶()72321235312x x x x x -⎧+>+⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩ ⑷()43321311522x x x x-<+⎧⎪⎨->-⎪⎩能力提升1.若不等式组⎩⎨⎧>->-0x 2b 2a x 的解集是1x 1<<-，则=+2006)b a (___________。
2.不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 62的解集是4>x ，那么m 的取值范围是___________。
3.若不等式组11x mx ⎧⎨>⎩≤无解，则m 的取值范围是___________。
4..不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-622131m x m x 的解集是36+<m x ，则m 的取值范围是___________。
5.若不等式组x-a 03-2x>-1≥⎧⎨⎩有5个整数解，则a 的取范围是___________。
6.若不等式5231x ax x >⎧⎨+<+⎩的解集为x>4，则a 的取值范围是___________。
7.已知关于x 的不等式(32)4a b x a b --＜的解集为x ＞﹣23，试求bx —a ＞o 的解集。
3x+y=k 8.如果方程组 的解x ，y 满足x+y ＜2，求k 的取值范围。
x+3y=23x+2y=k+19.当k 为何负整数时， 方程组的解适合x ＞y 。
4x+3y=k —13x+y=1+3m10（练习）.已知关于x ，y 的方程组 的解满足x+y ＞0，求m 的取值范围。
x+3y=1—m11（练习）.已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y xmy x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围。
12.若关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a xa 的解，求a 的取值范围。
一元一次不等式-基础-提高-综合-学生版
一元一次不等式（组）及应用1．如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>ba(B)ba＜1 (C)ba 11< (D)ab ＜12．如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．(A)－2＜x ＜4(B)－2＜x ≤4 (C)－2≤x ＜4(D)－2≤x ≤43．a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．(A)若a ＞b ，则a 2＞b 2(B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b| (D)若｜a ｜≠|b|，则a ≠b4．｜a ｜＋a 的值一定是( )．(A)大于零 (B)小于零(C)不大于零(D)不小于零5、判断题1）．不等式5－x ＞2的解集有无数个． ( ) 2）．不等式x ＞－1的整数解有无数个．( ) 3）．不等式32421<<-x 的整数解有0，1，2，3，4． ( ) 4）．若a ＞b ＞0＞c ，则.0>cab( )6．若a 是有理数，比较2a 和3a 的大小．7．若不等式3x －a ≤0只有三个正整数解，求a 的取值范围．8．对于整数a ，b ，c ，d ，定义bd ac cdb a -=，已知3411<<db ，则b ＋d 的值为_________．9．已知b ＜a ＜2，用“＜”或“＞”填空：(1)(a －2)(b －2)______0； (2)(2－a)(2－b)______0；(3)(a －2)(a －b)______0． 10．已知a ＜b ＜0．用“＞”或“＜”填空：(1)2a______2b ； (2)a 2______b 2；(3)a 3______b 3；(4)a 2______b 3； (5)｜a ｜______｜b ｜； (6)m 2a______m 2b(m ≠0)． 11．不等式4x －3＜4的解集中，最大的整数x ＝______． 12．关于x 的不等式mx ＞n ，当m______时，解集是m nx <；当m______时，解集是mn x >． 13．若0＜a ＜b ＜1，则下列不等式中，正确的是( )．,11;11;1;1b a b a b a b a <><>④③②① (A)①③(B)②③(C)①④(D)②④14．下列命题结论正确的是( )．①若a ＞b ，则－a ＜－b ；②若a ＞b ，则3－2a ＞3－2b ；③8｜a ｜＞5｜a ｜． (A)①②③(B)②③ (C)③(D)以上答案均不对15．若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )．(A)a ＜0(B)a ＞－1(C)a ＜－1(D)a ＜116．当x 取什么值时，式子563-x 的值为(1)零；(2)正数；(3)小于1的数．17．若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ．18．解关于x 的不等式ax ＞b(a ≠0)．19．若x 是非负数，则5231x-≤-的解集是______． 20．使不等式x －2≤3x ＋5成立的负整数是______．21．已知(x －2)2＋｜2x －3y －a ｜＝0，y 是正数，则a 的取值范围是______． 22．下列各对不等式中，解集不相同的一对是(______)．(A)72423x x +<-与－7(x －3)＜2(4＋2x) (B)3921+<-x x 与3(x －1)＜－2(x ＋9)(C)31222-≥+x x 与3(2＋x)≥2(2x －1) (D)x x ->+414321与3x ＞－1 23．如果关于x 的方程5432bx a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是( )． (A)b a 53> (B)a b 53≥ (C)5a ＝3b (D)5a ≥3b24.解下列不等式(1)3[x －2(x －7)]≤4x ． (2).17)10(2383+-≤--y y y (3).151)13(21+<--y y y (4).15)2(22537313-+≤--+x x x(5)).1(32)]1(21[21-<---x x x x(6)⋅->+-+2503.0.02.003.05.09.04.0x x x25．x 取什么值时，代数式413--x 的值不小于8)1(32++x 的值．26．已知关于x 的方程3232x m x x -=--的解是非负数，m 是正整数，求m 的值．27．(1)已知x ＜a 的解集中的最大整数为3，则a 的取值范围是______；(2)已知x ＞a 的解集中最小整数为－2，则a 的取值范围是______． 28．适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解：(1)x 只有一个整数解；(2)x 一个整数解也没有．29．当310)3(2k k -<-时，求关于x 的不等式k x x k ->-4)5(的解集．30．已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小．31．某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件．(1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x 的代数式表示y ．(2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?32．某单位要印刷一批宣传资料，在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件，甲印刷厂提出：凡印刷数量超过2000份的，超过部分的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过3000份的，超过部分印刷费可按8折收费．(1)若该单位要印刷2400份宣传资料，则甲印刷厂的费用是______，乙印刷厂的费用是______． (2)根据印刷数量大小，请讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料可获得更大优惠?33．（1）求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321),2(352x x x x 的整数解． （2）求不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+<2512,912x x x x 的整数解。
高一：基本不等式提高
高一提高课程“基本不等式”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长知识定位本讲内容：利用基本不等式解题的一些技巧；基本不等式知识延伸 掌握目标：1. 能利用基本不等式解题的一些技巧提高解题的准确性；2. 掌握基本不等式的延伸内容；3. 能利用基本不等式的延伸内容来解决一些相关问题； 重点：利用基本不等式及其延伸内容求最值难点：在运用基本不等式时，要特别注意掌握各种解题技巧。
考试分析：基本不等式是高中阶段的重要内容，是学生不容易掌握的重点知识之一，关键是其变形灵活，形式多姿多样，具有一定的难度。
对于基本不等式的考查形式一般是利用它求最值或者证明不等式.而且运用基本不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形，创造条件满足应用情境后再解决问题.知识梳理➢ 知识点一：利用基本不等式解题的一些技巧技巧一：凑项 技巧二：凑系数 技巧三： 分离 技巧四：换元技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()af x x x=+的单调性。
技巧六：整体代换 技巧七：取平方例题精讲【试题来源】 【题目】已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
【凑项】 【答案】见解析【解析】因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
【知识点】基本不等式提高 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】 【题目】设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
不等式综合提高
【本讲教育信息】一. 教学内容：一元一次不等式（组）综合提高二. 教学重点：一元一次不等式（组）应用三. 知识点扫描：1＞不等式三个性质2＞解不等式组的一般步骤：①分别求出各个不等式的解集；②找出各个解集的公共部分四. 中考考点分析：不等式及不等式组是近几年中考必考内容，主要考查不等式性质、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）解集的数轴表示、求一元一次不等式（组）的特殊解、尤其是不等式（组）的应用题更是近几年中考命题的热点。
其次考查对数学的应用能力，通过不等式（组）对代数式进行比较以确定最佳方案，近几年多考查由数轴来观察不等式（组）的解集情况，探求不等式（组）中的待定系数的取值范围等内容，这部分内容分值约为3～8分，2009年将以实际生活题材为背景，结合当今社会热点问题在解集中找出最佳方案是命题的一个热点。
【典型例题】例1、比较3x 2－2x ＋7与4x 2－2x ＋7的大小解析：比较两个多项式的大小，可采取作差法，∵a －b ＞0∴a ＞b （或∵a －b ＜0∴a ＜b ） ∵（3x 2－2x ＋7）－（4x 2－2x ＋7）＝3x 2－2x ＋7－4x 2＋2x －7＝－x 2∵任何有理数的平方都是非负数，即x 2≥0∴根据不等式性质③有－x 2≤0∴3x 2－2x ＋7≤4x 2－2x ＋7例2. ⎩⎨⎧->+->+1x 48x )1x (22x 3的解集是________。
解析：由不等式3x ＋2＞2（x －1）得x ＞－4；由不等式x ＋8＞4x －1得x ＜3∴不等式组的解集是－4＜x ＜3例3. 解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>+②①23201x x x 并写出该不等式组的最大整数解。
解析：解析：由不等式①，得x ＞－１；由不等式②，得x ≤2∴不等式组的解集是：－１＜x ≤2则该不等式组的最大整数解是2。
例4. “六、一”儿童节前夕，某消防部队官兵了解到一小学的小朋友喜欢福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友作为节日礼物。
北京四中数学必修五教案第三章 不等式综合之提高篇
不等式综合 编稿： 审稿：【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,，不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒nn a b >(*1)n N n ∈>且要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二、三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >（2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三、线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数；（2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四、基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞,且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值；,(0,)x y ∈+∞,且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41。
初中生如何提高不等式解题速度与正确率
初中生如何提高不等式解题速度与正确率一、熟练掌握不等式的基本性质和运算法则1.不等式的基本性质：（1）如果a>b，那么a+c>b+c（其中c为任意实数）。
（2）如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）如果a>b且c<d，那么a+c>b+d。
（4）如果a>b且ac>bc。
2.不等式的运算法则：（1）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（2）反向相加：如果a>b且c<d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c（其中c为任意实数）。
（4）反向相减：如果a>b且c>d，那么a-c<b-d。
二、学会运用图像法解不等式图像法是一种简单直观的解不等式方法。
将不等式转化为等式，然后在坐标系中画出等式的图像。
接着，根据不等式的方向（大于或小于）判断解集。
例如，解不等式2x-3y>6。
将其转化为等式2x-3y=6，然后画出等式的图像。
由于不等式是大于6，所以解集为图像上方的部分。
三、培养解题思路和策略1.分析题目，找出已知条件和未知量。
2.根据已知条件和未知量，选择合适的解题方法（如代入法、排除法、图像法等）。
3.按照解题步骤，逐步求解。
4.检查答案，确保符合题意。
1.多做不等式的练习题，熟悉各种类型的题目。
3.遇到难题时，不要慌张，学会分析题目，逐步求解。
4.注重基础知识的积累，提高数学素养。
五、注重课堂学习和课外辅导相结合1.认真听讲，学好课堂知识。
2.遇到问题，及时向老师请教。
3.参加课外辅导班，提高自己的数学水平。
4.结合课堂学习和课外辅导，形成自己的学习方法。
初中生在学习不等式时，往往觉得这是一块难啃的骨头，但实际上，只要掌握了正确的方法，不等式也可以变得不那么可怕。
要想提高解题速度和正确率，关键还是要熟练掌握基本性质和运算法则，这是提升解题能力的基础。
八年级不等式培优提高练习[1]
![八年级不等式培优提高练习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/a554ac2700f69e3143323968011ca300a6c3f6f8.png)
1．若关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（）A．a B．C．﹣2D．﹣22．设a，b是常数，不等式+＞0的解集为x＜，则关于x的不等式bx﹣a＜0的解集是（）A．x＞B．x＜﹣C．x＞﹣D．x＜3．若不等式（ax﹣1）（x+2）＞0的解集是﹣3＜x＜﹣2，那么a等于（）A．B．C．3 D．一34．不等式的解集为x＞2，则m的值为（）A．4 B．2 C．D．5．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（）A．5＜m≤6 B．5≤m＜6 C．5≤m≤6 D．5＜m＜66．已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（）A．ac＞bc B．C．c﹣a＞c﹣b D．c+a＞c+b 7．下列命题中：①如果a＜b，那么ac2＜bc2；②关于x的不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a＜1；③若是自然数，则满足条件的正整数x有4个．正确的命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．若x是方程2x+m﹣3（m﹣1）=1+x的解为负数，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m＜﹣1 C．m＞1 D．m＜19．按下面的程序计算：若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种10．若x为任意实数时，二次三项式x2﹣6x+c的值都不小于0，则常数c 满足的条件是（）A．c≥0 B．c≥9 C．c＞0 D．c＞911．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜212．关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥313．已知△ABC的边长分别为2x+1，3x，5，则△ABC的周长L的取值范围是（）A．6＜L＜36 B．10＜L≤11 C．11≤L＜36 D．10＜L＜36 14．已知实数x、y同时满足三个条件：①3x﹣2y=4﹣p，②4x﹣3y=2+p，③x＞y，那么实数p的取值范围是（）A．p＞﹣1 B．p＜1 C．p＜﹣1 D．p＞115．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m= ．16．若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于．17．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，则k 的取值范围是．18．若不等式组有解，那么a必须满足．19．已知a、b都是实数，且a=，b=，b＜＜2a，那么实数x的取值范围是．20．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是．21．关于x的不等式x﹣3＞的解集在数轴上表示如图所示，则a的值是．22．已知关于x的分式方程的解为负数，那么字母a的取值范围是．23．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①或②．解①得x＞；解②得x＜﹣3．∴不等式的解集为x＞或x＜﹣3．请你仿照上述方法解决下列问题：（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．（2）求不等式≥0的解集．24．x取哪些整数值时，不等式5x+2＞3（x﹣1）与x﹣1≤7﹣都成立？25．已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a 的取值范围．26．已知一元一次不等式mx﹣3＞2x+m．（1）若它的解集是x＜，求m的取值范围；（2）若它的解集是x＞，试问：这样的m是否存在？如果存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由．27．用等号或不等号填空：（1）比较4m与m2+4的大小当m=3时，4m m2+4当m=2时，4m m2+4当m=﹣3时，4m m2+4（2）无论取什么值，4m与m2+4总有这样的大小关系吗？试说明理由．（3）比较x2+2与2x2+4x+6的大小关系，并说明理由．（4）比较2x+3与﹣3x﹣7的大小关系．28．是否存在整数m，使关于x的不等式1+＞+与关于x的不等式x+1＞的解集相同？若存在，求出整数m和不等式的解集；若不存在，请说明理由．29．已知关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为x＜，（1）求的值．（2）求关于x的不等式ax＞b的解集．30．若不等式组的偶数解a满足方程组，求x2+y2的值．31．小明把三个数﹣1，2﹣a，在数轴上从左到右依次排列在三个对应点上，你能确定a的取值范围吗？请写出你的解答过程．32．阅读下面的例题，并回答问题．【例题】解一元二次不等式：x2﹣2x﹣8＞0．解：对x2﹣2x﹣8分解因式，得x2﹣2x﹣8=（x﹣1）2﹣9=（x﹣1）2﹣32=（x+2）（x﹣4），∴（x+2）（x﹣4）＞0．由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得①或②解①得x＞4；解②得x＜﹣2．故x2﹣2x﹣8＞0的解集是x＞4或x＜﹣2．（1）直接写出x2﹣9＞0的解是；（2）仿照例题的解法解不等式：x2+4x﹣21＜0；（3）求分式不等式：≤0的解集．。
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一、考点突破
一元一次不等式（组）是初中数学的重要内容，历年中考试题中一元一次不等式（组）的内容是必考热点问题。
这类题考查基础知识、基本性质及灵活运用所学知识解决实际问题的能力。
二、重难点提示
重点：一元一次不等式（组）的解法、性质和应用。
难点：不等式（组）的解集、性质；应用不等式（组）解决实际问题。
能力提升类
不为0，那么分式的值只能是正整数，则6－x 是12的正整数约数，可据此进行求解。
解：①如果a ＜b ，那么ac 2＜bc 2；若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故错误；
②关于x 的不等式（a －1）x ＞1－a 的解集是x ＜－1，则a ＜1；符合不等式的运算法则，正确。
③若
x -612是自然数，即x
-612
＞0，且6－x 是12的约数，则满足条件的正整数x 有5，4，3，2共4个，正确。
综上，②③正确
点评：本题涉及考点较多，要求学生有较强的综合运用知识分析解决问题的能力。
例2 已知方程组：的解x，y满足2x＋y≥0，求m的取值范围。
一点通：本题首先要解这个关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，根据题意，可以得到一个关于m的不等式，从而求出m的取值范围。
解：②－①×2得，
已知，且－
程组的系数特点，直接将它们相减，然后得到用含k的代数式表示x－y的式子，则简便得多。
综合运用类
例4 使不等式组⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++>++>++a x a x x x )1(3434503
12恰有两个整数解的实数a 的取值范围是什
么？
一点通：先求出不等式组的解集，再根据x 的两个整数解求出a 的取值范围即可。
解：由0312>++x x 两边同乘以6得3x ＋2（x ＋1）＞0，解得x ＞52
-
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥+09
2509
13
11m m
解得11
13-≤m≤25
∵m 为整数
∴m ＝－1，0，1，2。
答：存在这样的整数m ＝－1，0，1，2，可使方程组的解x 、y 为非负数，且个数为4。
点评：此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是把字母m 看做一个常数，先解方程，再解一元一次不等式组，还要注意题目的求解要求。
例6. 如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的
整数a 有多少个，b 有多少个。
在数轴上表示如下图所示：
a
⎩⎨
⎧-≤+-≥+350
1800)3018(400
1800)3018(x x 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≥24530
6129x x
所以不等式组的解集为：6
129≤x≤245
30
∵x 为正整数 ∴x ＝30
答：剩余经费还能为30名学生每人购买一个书包和一件文化衫。
点评：解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组。
例8 某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆。
经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）学校所有可行的租车方案共有多少种；
（2）如果甲种车的租金为每辆2000元，乙种车的租金为每辆1800元，则租用甲种车多少辆，租用乙种车多少辆，可使租车费用最省。
一点通：（1）设租用甲种车x 辆，则乙种车（10－x ）辆。
不等关系：①两种车共坐人数不少于340人；②两种车共载行李不少于170件。
（2）因为车的总数是一定的，所以租费用少的车越多越省钱。
解：（1）设租用甲种车x 辆，则乙种车为（10－x ）辆。
根据题意，得
⎩⎨
⎧≥-+≥-+170
)10(2016340
)10(3040x x x x ， 解得4≤x≤7.5 又x 是整数， ∴x ＝4或5或6或7。
共有四种方案：
①甲种车4辆，乙种车6辆； ②甲种车5辆，乙种车5辆； ③甲种车6辆，乙种车4辆； ④甲种车7辆，乙种车3辆。
2）因为乙种车的租金较少，所以租用的乙种车越多，总费用越少。
故选方案①。
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键的描述语，进而找到所求量的不等关系。
1. 运用数形结合的方法，即使数量关系与几何图形巧妙地结合在一起，利用数轴上的位置关系，求不等式组的解，可使解题过程更加形象直观.
2. 在利用不等式（组）解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨。
3. 在一元一次不等式或不等式组中，设置一些未知的系数，给定相应的条件，确定这些未知数的系数，即不等式（组）中的参数，是不等式部分的重要题型，它能综合考查不等式的性质，解答时应注意综合考查条件。
问题：已知不等式3x －a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是多少？ 一点通：先解不等式，再画出数轴即可直观解答。
解：3x －a≤0， 移项得3x≤a ， 系数化为1得x≤3
a 可见，3≤
3
a
＜4，即9≤a ＜12时，不等式3x －a≤0的正整数解恰是1，2，3。
点评：此题是一道根据整数解逆推不等式常数项取值范围的题目，借助图形可以直观的解答。
（答题时间：60分钟）
1. 解下列不等式： （1）|1－
3-5
4
x |＞3 （2）5≤|5x －3|≤10 （3）|x ＋1|＋|4－x|＜6 （4）||x －1|－|x ＋2||＞1 2. 解不等式||x ＋3|－|x －3||＞3。
3. 解关于x 的不等式|x －1|＋a －1＞0。
4. 解不等式1≤|3x －5|≤2。
*5. 已知a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，求
c
a
的取值范围。
**6. 某住户的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求该住户的电话号码。
1. 解：（1）原不等式化为：1－
354x -＜－3或1－35
4
x -＞3， 解1－354x -＜－3得，x ＞7；解1－354
x -＞3，得x ＜－1，
∴原不等式的解为：x ＜－1或x ＞7。
（2）原不等式化为：5≤5x －3≤10或－10≤5x －3≤－5，
由①得3|6|3x ≤⎧⎨⎩－－＞，即x≤－3；
由②得33|2|3
x x ≤⎧⎨⎩－＜＞，即－3＜x ＜－32或32＜x≤3；
由③得⎩⎨⎧>>3
|6|3x ，即x ＞3。
由①②③式可知，原不等式的解为：x ＜－32或x ＞32。
3. 解：由|x －1|＋a －1＞0得|x －1|＞1－a 。
当a ＞1时，解集是任意实数； 当a≤1时，x ＜a 或x ＞2－a 。
4. 解：分析此不等式可知，实际上是解不等式组|35|1|35|2x x ≥⎧⎨≤⎩－－①
②
，
∴－2＜c a ＜－1
2。
故答案为：－2＜c a ＜－1
2。
6. 解：设前3位数是x ，第4位数是y ，后4位数是z ，则有
1014405
1000016970x y z x y z ++=++=⎧⎨
⎩
，
∴1111y－x＝285，
∵100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，∴y＝1，x＝826，z＝6144，
∴该住户的电话号码是：82616144。