线性代数 0 复习序言
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⎛ Er 形式1：任意矩阵A 经初等变换可化为 D = ⎜ ⎝O
O⎞ O⎟ ⎠
形式2：对任一m × n矩阵A，存在初等矩阵 P1 , P2 ,⋯ , Ps , Q1 , Q2 ,⋯ , Qt , 使得
⎛ Er P1 P2 ⋯ Ps AQ1Q2 ⋯ Qt = ⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
形式3 ：任一m×n矩阵 A，存在可逆矩阵
初等变换
⎛ Er D=⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
直观 解释
X-射线
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实对称矩阵
• 特征值全为实数 • 存在正交矩阵Q,使得QTAQ=∧ • 矩阵A一定可对角化 • A的属于不同特征值的特征向量正交 • A的任意特征值的代数重数等于它的几何 维数
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例如：等价标准形定理
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0
a （2014）行列式 0 c
2 − ( A) (ad bc)
a 0 c 0
b 0 d 0
0
b 的值为（ 0 d
）。
2 − − ( B ) (ad bc )
(C ) a d − b c
2
2
2 2
( D) b c − a d
2 2
2
2
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a 0 例7.计算四阶行列式 D = 0 g
课程内部联系 课程间的联系
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可逆
3.突出能力考查，体现选拔性
通过数学科的考试，不但能考查出考生 数学知识的积累是否达到继续学习的基本水 平，而且以数学知识为载体，测量出考生将 知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考 生已有的和潜在的学习能力。
新颖的题型，灵活的 表达方式
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五、复习注意点
1、从语言的视角加强对概念、定理的理解
例如：如何理解下列两句话？
(1) 设A是n阶矩阵， α 是AX=o的非零解。 (2) n阶矩阵A的每行元素之和等于3 。
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（2006年）设3阶实对称矩阵的各行元素之和为3，向量
∴D＝acfh－adeh＋bdeg－bcfg
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2.知识覆盖面广、联系紧密
对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻 意追求知识点的百分比，突出重点，即重点内容 重点考查。题目体现教学重点，既保证一定的比 例，又保持应有的深度，试题难易适当，不出偏 题、怪题和助长死记硬背的题目。
α1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1,1)T
是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。
（1）求矩阵A的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵Q，使得QTAQ=∧； 3 6 ( A − E) （3）求矩阵 A 及矩阵 。 2
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2、从思想的高度加强对常规方法的 把握
1⎞ ⎟ , a , b 为何值时，存在C b⎠
f ( x1 , x2 , x3 ) = 2(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 )2 + (b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 )2
记α = (a1 , a2 , a3 )T , β = (b1 , b2 , b3 )T （1）证明：二次型的矩阵为 A = 2α T α + β T β . （2）若 α , β 是正交的单位向量，证明：二 2 次型的在正交变换下的标准形是 2 y12 + y2 .
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基础篇 （矩阵代数） 矩 阵 行列式 向 量
⇒
问题篇 （核心问题） 线性方程组求 解问题 矩阵对角化判 ⇒ 定问题 二次型化标准 形问题
应 用
知识模块顺序及关系图
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二、课程历史与应用
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的 历史却非常久远．最古老的线性问题是线性方程组的解法，在 中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较 完整的叙述． 由于费马(Fermat)和笛卡儿(Descartes)的工作，线性代数 基本上出现于十七世纪．直到十八世纪末，线性代数的领域还 只限于平面与空间．十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间 的过渡， 矩阵论始于凯莱(Cayley)，在十九世纪下半叶，因若 尔当(Jordan)的工作而达到了它的顶点． “代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国， 当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学 家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，沿用至今．
线性代数是理工类、经管类数学课程 的重要内容． 在考研中(数学一、数学二 和数学三)的比重一般占到22%左右．
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三、课程特点与方法提示
☆ 概念抽象，内容繁杂，相互渗透，联系紧密． ☆ 在线性代数中，概念和计算同样重要，为了掌握线性代数 概念，必须反复阅读教材． ☆ 课程的知识体系与逻辑推理方式独树一帜． 需要了解课程 问题，对课程框架有初步了解． ☆ 线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这 种语言．
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2014线性代数解答题解读
2014 年第 20题
45分 钟训 练题
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2014 年(21)( 本题满分 11 分) 证明 : n 阶矩阵 2014年 (21)(本题满分 本题满分11 11分 证明:
⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜⋮ ⎜ ⎝1 1 ⋯ 1⎞ ⎛ 0 ⋯ 0 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⋯ 1⎟ ⎜ 0 ⋯ 0 2 ⎟ 与 相似。 ⋮ ⋮ ⋮⎟ ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⋯ 1⎠ ⎝ 0 ⋯ 0 n ⎠
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矩 阵 的 秩
数学复习中一定要重视基础知识。对概念和性质 初等变换保留了矩阵的本质内涵—秩 一定要理解其内涵和外延，对各个知识点一定要 弄清楚其区别和联系。
⎛ a11 ⎜ a21 ⎜ A= ⎜ ⎜ ⎜a ⎝ m1
a12 a22 ⋯ am 2
⋯ a1n ⎞ ⎟ ⋯ a2 n ⎟ ⎟ ⋯ ⎟ ⋯ amn ⎟ ⎠
3.思考问题时，要学会寻找解题信息
【龙门镖局】第一集
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】第三集 【龙门镖局 龙门镖局】
阳光照射角度为30 度赋值给α
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2013线性代数解答题解读
⎛1 a ⎞ ⎛0 20. 设 A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎝1 0 ⎠ ⎝1
使得 AC − CA = B . 21.设二次型
线性代数
Linear Algebra
数学科学学院 陈建华
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绪
一、课程内容
论
线性（linear）指量与量之间按 比例 、成 即一次．线性 指量与量之间按比例 比例、成 “线性”即一次． 的关系，在数学上可以理解为一阶 导数 为常数 的函 直线 直线的关系，在数学上可以理解为一阶 的关系，在数学上可以理解为一阶导数 导数为 常数的 二维 和三维直角坐标系 的研究 ，通过 数．线性代数起源于对 ．线性代数起源于对二维 二维和 三维直角坐标系的研究 ，线性代数得以被具体表示．线性代数的理论已被 解析几何 解析几何，线性代数得以被具体表示．线性代数的理论已被 算子理论． 泛化为 泛化为算子理论 线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩 ．针对要解决的问题，从知识 阵可对角化判定和二次型的化简 阵可对角化判定和二次型的化简． 准备的角度首先介绍行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程 的基础内容，循着知识发展的轨迹，再逐一介绍线性代数课程 +问题解决 +应用的结构框架． 三大问题，形成基础知识 基础知识+ 问题解决+
0 c e 0
0 d f 0
b 0 0 h
, D是一个4!＝24项的代数和. 解: 根据定义 根据定义, 这24项中除了acfh, adeh, bdeg, bcfg四项外, 其余项都至少含一个因子0, 因而它们等于零. 列排列是 1234 adeh对应 列排列是1324 acfh对应 对应列 对应列 列排列是 4231 对应列 列排列是 4321 bcfg对应 bdeg对应 对应列
⎛ a11 a12 ⎜ 设A = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32
a13 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a23 ⎟ , P = ⎜ 0 0 1 ⎟ , Q = ⎜ 0 1 0 ⎟ , ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ a33 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
若P m AQ n = A, 则m,n分别是（ D ）
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线性问题广泛应用于工程学、计算机科学、管理科学和 技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线 性化，在线性问题中一次不等式也可以通过引进新变量转化为 等式——即线性方程．因此线性代数的概念和方法应用广泛， 尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解． “在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛 的数学学科了．”
( A) m = 2007, n = 2009 ( B) m = 2007, n = 2008 (C ) m = 2008, n = 2007 ( D) m = 2006, n = 2008
⎧ E （m是偶数） E (i, j ) = ⎨ （m是奇数） ⎩ E (i, j )
m
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P, Q 使得
⎛ Er PAQ = ⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
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不同 代数 语言 表达 下的 同一 个定 理。
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四、 考研试题的特点 四、考研试题的特点
1. 突出基础知识考查 1.突出基础知识考查
选择题和填空题都从线性代数课程基础知识、 重点内容、基本方法出发设计命题。 解答题在考查考生数学基础知识的同时，注重 对学科的内在联系和知识的综合的重点考查，并达 到了必要的深度，构成考研数学试题的主体，让不 同层次的考生都能展示自身的综合素质和能力。
知识点：秩为1的矩阵；A∽B ∽ C；P-1AP=D 45分 钟训 练题
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四、参考书目
[M]. 同济大学编 ,北京：高等教育出版社， 2000 线性代数[M]. [M].同济大学编 同济大学编, 北京：高等教育出版社，2000 1. 线性代数 线性代数与空间解析几何 [M]. 俞正光编，北京：清华大学出版社， 2003 2. 2.线性代数与空间解析几何 线性代数与空间解析几何[M]. 俞正光编，北京：清华大学出版社，2003 线性代数 [M]. 陈维新编著.北京：科学出版社， 2004 3. 3.线性代数 线性代数[M]. 北京：科学出版社，2004 高等代数 [M]. 王萼芳编著 .北京：清华大学出版社， 1996 4. 4.高等代数 高等代数[M]. 王萼芳编著. 北京：清华大学出版社，1996 5. 高等代数 [M]. 北京大学力学系几何与代数教研室代数小组编 .北京：高等 5.高等代数 高等代数[M]. 北京大学力学系几何与代数教研室代数小组编. 2003 教育出版社， 教育出版社，2003 线性代数 [M]. 李尚志编著 .北京：高等教育出版社， 2006 6. 6.线性代数 线性代数[M]. 李尚志编著. 北京：高等教育出版社，2006 高等代数与空间解析几何 [M]. 孟道骥编著 .北京： 科学出版社， 2002 7. 7.高等代数与空间解析几何 高等代数与空间解析几何[M]. [M].孟道骥编著 孟道骥编著. 科学出版社，2002 线性代数及其应用 [M]. David C. Lay 著，刘深泉等译 .北京：机械工业出 8. 8.线性代数及其应用 线性代数及其应用[M]. Lay著，刘深泉等译 著，刘深泉等译. 2005 版社， 版社，2005 数学的原理与实践 [M]. （中译本）申大维等译 .北京：高等教育出版社 9. 9.数学的原理与实践 数学的原理与实践[M]. [M].（中译本）申大维等译 年（美国 COMAP 出版） 1998 1998年（美国 年（美国COMAP COMAP出版） 10．Elementary Linear Algebra [M]. Bernard Kolman主编. Macmillan 年 1986年 Publishin Company， 1986 11．Linear Algebra [M]. Michael Artin 著.北京：机械工业出版社， 2004
O⎞ O⎟ ⎠
形式2：对任一m × n矩阵A，存在初等矩阵 P1 , P2 ,⋯ , Ps , Q1 , Q2 ,⋯ , Qt , 使得
⎛ Er P1 P2 ⋯ Ps AQ1Q2 ⋯ Qt = ⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
形式3 ：任一m×n矩阵 A，存在可逆矩阵
初等变换
⎛ Er D=⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
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实对称矩阵
• 特征值全为实数 • 存在正交矩阵Q,使得QTAQ=∧ • 矩阵A一定可对角化 • A的属于不同特征值的特征向量正交 • A的任意特征值的代数重数等于它的几何 维数
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例如：等价标准形定理
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0
a （2014）行列式 0 c
2 − ( A) (ad bc)
a 0 c 0
b 0 d 0
0
b 的值为（ 0 d
）。
2 − − ( B ) (ad bc )
(C ) a d − b c
2
2
2 2
( D) b c − a d
2 2
2
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a 0 例7.计算四阶行列式 D = 0 g
课程内部联系 课程间的联系
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可逆
3.突出能力考查，体现选拔性
通过数学科的考试，不但能考查出考生 数学知识的积累是否达到继续学习的基本水 平，而且以数学知识为载体，测量出考生将 知识迁移到不同情境的能力，从而检测出考 生已有的和潜在的学习能力。
新颖的题型，灵活的 表达方式
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五、复习注意点
1、从语言的视角加强对概念、定理的理解
例如：如何理解下列两句话？
(1) 设A是n阶矩阵， α 是AX=o的非零解。 (2) n阶矩阵A的每行元素之和等于3 。
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（2006年）设3阶实对称矩阵的各行元素之和为3，向量
∴D＝acfh－adeh＋bdeg－bcfg
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2.知识覆盖面广、联系紧密
对数学基础知识的考查，要求全面，但不刻 意追求知识点的百分比，突出重点，即重点内容 重点考查。题目体现教学重点，既保证一定的比 例，又保持应有的深度，试题难易适当，不出偏 题、怪题和助长死记硬背的题目。
α1 = (−1, 2, −1)T , α 2 = (0, −1,1)T
是齐次线性方程组Ax=0的两个解向量。
（1）求矩阵A的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵Q，使得QTAQ=∧； 3 6 ( A − E) （3）求矩阵 A 及矩阵 。 2
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2、从思想的高度加强对常规方法的 把握
1⎞ ⎟ , a , b 为何值时，存在C b⎠
f ( x1 , x2 , x3 ) = 2(a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 )2 + (b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 )2
记α = (a1 , a2 , a3 )T , β = (b1 , b2 , b3 )T （1）证明：二次型的矩阵为 A = 2α T α + β T β . （2）若 α , β 是正交的单位向量，证明：二 2 次型的在正交变换下的标准形是 2 y12 + y2 .
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基础篇 （矩阵代数） 矩 阵 行列式 向 量
⇒
问题篇 （核心问题） 线性方程组求 解问题 矩阵对角化判 ⇒ 定问题 二次型化标准 形问题
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二、课程历史与应用
线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的 历史却非常久远．最古老的线性问题是线性方程组的解法，在 中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较 完整的叙述． 由于费马(Fermat)和笛卡儿(Descartes)的工作，线性代数 基本上出现于十七世纪．直到十八世纪末，线性代数的领域还 只限于平面与空间．十九世纪上半叶才完成了到 n 维向量空间 的过渡， 矩阵论始于凯莱(Cayley)，在十九世纪下半叶，因若 尔当(Jordan)的工作而达到了它的顶点． “代数”这一个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国， 当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学 家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，沿用至今．
线性代数是理工类、经管类数学课程 的重要内容． 在考研中(数学一、数学二 和数学三)的比重一般占到22%左右．
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三、课程特点与方法提示
☆ 概念抽象，内容繁杂，相互渗透，联系紧密． ☆ 在线性代数中，概念和计算同样重要，为了掌握线性代数 概念，必须反复阅读教材． ☆ 课程的知识体系与逻辑推理方式独树一帜． 需要了解课程 问题，对课程框架有初步了解． ☆ 线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这 种语言．
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2014 年第 20题
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2014 年(21)( 本题满分 11 分) 证明 : n 阶矩阵 2014年 (21)(本题满分 本题满分11 11分 证明:
⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜⋮ ⎜ ⎝1 1 ⋯ 1⎞ ⎛ 0 ⋯ 0 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⋯ 1⎟ ⎜ 0 ⋯ 0 2 ⎟ 与 相似。 ⋮ ⋮ ⋮⎟ ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⋯ 1⎠ ⎝ 0 ⋯ 0 n ⎠
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矩 阵 的 秩
数学复习中一定要重视基础知识。对概念和性质 初等变换保留了矩阵的本质内涵—秩 一定要理解其内涵和外延，对各个知识点一定要 弄清楚其区别和联系。
⎛ a11 ⎜ a21 ⎜ A= ⎜ ⎜ ⎜a ⎝ m1
a12 a22 ⋯ am 2
⋯ a1n ⎞ ⎟ ⋯ a2 n ⎟ ⎟ ⋯ ⎟ ⋯ amn ⎟ ⎠
3.思考问题时，要学会寻找解题信息
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2013线性代数解答题解读
⎛1 a ⎞ ⎛0 20. 设 A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎝1 0 ⎠ ⎝1
使得 AC − CA = B . 21.设二次型
线性代数
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数学科学学院 陈建华
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一、课程内容
论
线性（linear）指量与量之间按 比例 、成 即一次．线性 指量与量之间按比例 比例、成 “线性”即一次． 的关系，在数学上可以理解为一阶 导数 为常数 的函 直线 直线的关系，在数学上可以理解为一阶 的关系，在数学上可以理解为一阶导数 导数为 常数的 二维 和三维直角坐标系 的研究 ，通过 数．线性代数起源于对 ．线性代数起源于对二维 二维和 三维直角坐标系的研究 ，线性代数得以被具体表示．线性代数的理论已被 解析几何 解析几何，线性代数得以被具体表示．线性代数的理论已被 算子理论． 泛化为 泛化为算子理论 线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩 ．针对要解决的问题，从知识 阵可对角化判定和二次型的化简 阵可对角化判定和二次型的化简． 准备的角度首先介绍行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程 的基础内容，循着知识发展的轨迹，再逐一介绍线性代数课程 +问题解决 +应用的结构框架． 三大问题，形成基础知识 基础知识+ 问题解决+
0 c e 0
0 d f 0
b 0 0 h
, D是一个4!＝24项的代数和. 解: 根据定义 根据定义, 这24项中除了acfh, adeh, bdeg, bcfg四项外, 其余项都至少含一个因子0, 因而它们等于零. 列排列是 1234 adeh对应 列排列是1324 acfh对应 对应列 对应列 列排列是 4231 对应列 列排列是 4321 bcfg对应 bdeg对应 对应列
⎛ a11 a12 ⎜ 设A = ⎜ a21 a22 ⎜a ⎝ 31 a32
a13 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0 0 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a23 ⎟ , P = ⎜ 0 0 1 ⎟ , Q = ⎜ 0 1 0 ⎟ , ⎜ 0 1 0⎟ ⎜ 1 0 0⎟ a33 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠
若P m AQ n = A, 则m,n分别是（ D ）
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线性问题广泛应用于工程学、计算机科学、管理科学和 技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线 性化，在线性问题中一次不等式也可以通过引进新变量转化为 等式——即线性方程．因此线性代数的概念和方法应用广泛， 尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解． “在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛 的数学学科了．”
( A) m = 2007, n = 2009 ( B) m = 2007, n = 2008 (C ) m = 2008, n = 2007 ( D) m = 2006, n = 2008
⎧ E （m是偶数） E (i, j ) = ⎨ （m是奇数） ⎩ E (i, j )
m
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P, Q 使得
⎛ Er PAQ = ⎜ ⎝O
O⎞ ⎟ O⎠
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不同 代数 语言 表达 下的 同一 个定 理。
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四、 考研试题的特点 四、考研试题的特点
1. 突出基础知识考查 1.突出基础知识考查
选择题和填空题都从线性代数课程基础知识、 重点内容、基本方法出发设计命题。 解答题在考查考生数学基础知识的同时，注重 对学科的内在联系和知识的综合的重点考查，并达 到了必要的深度，构成考研数学试题的主体，让不 同层次的考生都能展示自身的综合素质和能力。
知识点：秩为1的矩阵；A∽B ∽ C；P-1AP=D 45分 钟训 练题
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四、参考书目
[M]. 同济大学编 ,北京：高等教育出版社， 2000 线性代数[M]. [M].同济大学编 同济大学编, 北京：高等教育出版社，2000 1. 线性代数 线性代数与空间解析几何 [M]. 俞正光编，北京：清华大学出版社， 2003 2. 2.线性代数与空间解析几何 线性代数与空间解析几何[M]. 俞正光编，北京：清华大学出版社，2003 线性代数 [M]. 陈维新编著.北京：科学出版社， 2004 3. 3.线性代数 线性代数[M]. 北京：科学出版社，2004 高等代数 [M]. 王萼芳编著 .北京：清华大学出版社， 1996 4. 4.高等代数 高等代数[M]. 王萼芳编著. 北京：清华大学出版社，1996 5. 高等代数 [M]. 北京大学力学系几何与代数教研室代数小组编 .北京：高等 5.高等代数 高等代数[M]. 北京大学力学系几何与代数教研室代数小组编. 2003 教育出版社， 教育出版社，2003 线性代数 [M]. 李尚志编著 .北京：高等教育出版社， 2006 6. 6.线性代数 线性代数[M]. 李尚志编著. 北京：高等教育出版社，2006 高等代数与空间解析几何 [M]. 孟道骥编著 .北京： 科学出版社， 2002 7. 7.高等代数与空间解析几何 高等代数与空间解析几何[M]. [M].孟道骥编著 孟道骥编著. 科学出版社，2002 线性代数及其应用 [M]. David C. Lay 著，刘深泉等译 .北京：机械工业出 8. 8.线性代数及其应用 线性代数及其应用[M]. Lay著，刘深泉等译 著，刘深泉等译. 2005 版社， 版社，2005 数学的原理与实践 [M]. （中译本）申大维等译 .北京：高等教育出版社 9. 9.数学的原理与实践 数学的原理与实践[M]. [M].（中译本）申大维等译 年（美国 COMAP 出版） 1998 1998年（美国 年（美国COMAP COMAP出版） 10．Elementary Linear Algebra [M]. Bernard Kolman主编. Macmillan 年 1986年 Publishin Company， 1986 11．Linear Algebra [M]. Michael Artin 著.北京：机械工业出版社， 2004