第十讲-第五章角动量变化定理与角动量守恒(2)

r r F = F (r ) er
可以证明，这类有心力必定是保守力 保守力。 可以证明，这类有心力必定是保守力。
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
(2) 运动方程 在有心力场中运动的质量为m的质点， 在有心力场中运动的质量为 的质点，其运动方程为 的质点 r r && = F (r ) e mr
2005年5月考
R
O
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
参考书： 参考书：
• • • • • 力学》 赵凯华，北大， 《力学》，赵凯华，北大，理科物理专业 《大学物理》，卢德馨，南大，大理科班 大学物理》 卢德馨，南大， 基础物理学》 陆果，北大， 《基础物理学》，陆果，北大，理科非物理专业 力学》 张三慧，清华， 《力学》等，张三慧，清华，工科 大学物理》 新版 新版)， 北航， 《大学物理》(新版 ， 北航，工科
(1) 有心力 有心力： 有心力： 方向始终指向或背向一个固定中心的力。 方向始终指向或背向一个固定中心的力。 有心力场： 有心力存在的空间。 有心力场： 有心力存在的空间。 (中心对称 有心力： 中心对称)有心力 有心力的大小仅与参考点 到 有心力的大小仅与参考点P到 中心对称 有心力： 力心O的距离 有关， 的距离r有关 力心 的距离 有关，即
• 《Physics》，R.Resnick，D.Halliday 》 ， • 《Physics》，Tipler 》
作业： 作业： 5.1, 5.3, 5.5, 5.7, 5.9
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
(2) 二维平面运动与角动量守恒
r r r L = r×mv
由于角动量守恒，即它在空间固定不变， 由于角动量守恒，即它在空间固定不变，根据矢 量积的性质就可以得出结论， 只能在垂直于 只能在垂直于L并 量积的性质就可以得出结论，r只能在垂直于 并 通过原点的平面内运动。 通过原点的平面内运动。
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
考试题：如图所示，一个小物体， 考试题：如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌 面上，与一绳的一端相连结， 面上，与一绳的一端相连结，绳的另一端穿过桌面中 心的小孔O. 该物体原以角速度ω在半径为 在半径为R的园周上 心的小孔 该物体原以角速度 在半径为 的园周上 旋转.今将绳从小孔缓慢往下拉 绕O旋转 今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 旋转 今将绳从小孔缓慢往下拉， (A)动能不变 动量改变. (A)动能不变，动量改变. 动能不变， (B) 动量不变，动能改变 动量不变，动能改变. (C) 角动量不变，动量不变 角动量不变，动量不变. (D) 角动量改变，动量改变 角动量改变，动量改变. (E) 角动量不变，动能、动量都改变 角动量不变，动能、动量都改变.
理学院 物理系 陈强
第五章 角动量变化定理 与角动量守恒 第十讲
§5-1. 角动量与力矩 §5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒 §5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒 §5-4.有心运动
1
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-4.有心运动 4.有心运动 一 质点在有心力场中的运动方程
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理中运动的质点的特点 角动量守恒： 由于有心力对力心O的力矩为零 角动量守恒： 由于有心力对力心 的力矩为零，所 的力矩为零， 以在有心力场中运动的质点对力心 力心O 以在有心力场中运动的质点对力心 的角动量守恒； 的角动量守恒； 机械能守恒：由于有心力是保守力， 机械能守恒：由于有心力是保守力，所以在有心力 场中运动的质点的机械能也守恒。 场中运动的质点的机械能也守恒。 在处理有心力场中质点运动的问题时， 在处理有心力场中质点运动的问题时，灵活运用这 两个守恒定律是极其重要的。 两个守恒定律是极其重要的。
r
一般而言，这是一个三维的运动方程。 一般而言，这是一个三维的运动方程。 (3) 二维平面运动与运动方程 由于质点所受的力始终指向或背向力心， 由于质点所受的力始终指向或背向力心，当质点 在初始时刻的速度v 给定后， 在初始时刻的速度 0给定后，质点以后就只能在 所构成的平面内运动， 初速度v 和初始位矢r所构成的平面内运动 所以， 初速度 0和初始位矢 所构成的平面内运动，所以， 有心力场中质点的运动必定在一个平面上， 有心力场中质点的运动必定在一个平面上，是二 维的。 维的。
r r r 之间的夹角。 其中θ 是径矢 r与行星的动量 p或速度v之间的夹角。
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
表示从O到速度矢 若用 r⊥表示从 到速度矢 r 的垂直距离， 量v 的垂直距离，则有
r sin θ ∆ s = r⊥ ∆ s = 2 ∆ S
其中∆S是时间∆ t 内行星与太阳间的联线所扫过的面 于是，行星对太阳O的角动量的公式化为 积。于是，行星对太阳 的角动量的公式化为 dS ∆S L = lim ( 2 m )= 2 m 其中dS 称为掠面速度. 其中 /dt 称为掠面速度 ∆t → 0 dt ∆t 由于万有引力是有心力，它对力心O的力矩总是等于 由于万有引力是有心力，它对力心 的力矩总是等于 所以角动量守恒， 常量， 零，所以角动量守恒，L = 常量，亦即 dS L = =常量 ——开普勒第二定律 开普勒第二定律 dt 2 m
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
[例] 试利用角动量守恒定律 证明关于行星运动的开普 例 试利用角动量守恒定律,证明关于行星运动的开普 勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线， 勒第二定律：任一行星和太阳之间的联线，在相等的 时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变。 时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变。 [证明] 证明] 行星对太阳O的角动量 行星对太阳 的角动量 的大小为 r r L = r × p = r m v sin θ 内行星所走过的弧长， 用∆ s表示时间∆ t内行星所走过的弧长，则有 ∆s L = lim ( r m sin θ ) ∆t → 0 ∆t